本文从一根弦出发，首先推导了描述其振动的偏微分方程，再用行波法逐步求得通解，之后继续考虑初始条件和边界条件得到特解，并用傅里叶级数对结果进行了展开。
接着，本文讨论了驻波的性质，用传递函数对声音传播过程进行了建模，并介绍了人的听觉系统，解释了基频决定音高、拨弦位置影响音色的原因。
最后，本文研究了乐理知识背后的数学原理，包括调律、和弦和节奏。
全文很长，可以挑感兴趣的阅读。
振动弦# 众所周知，声音由振动产生。而对于大多数乐器，这种振动最初都是弦的振动。
波动方程# 不过，弦的振动毕竟较点的振动更为复杂，因此，我们要对问题进行简化：振动只能是竖直方向的。
该假设使得弦上每一点的横坐标被固定。于是，我们可用函数 u ( x , t ) u(x, t) u ( x , t ) t t t x x x u u u u ( x ) u(x) u ( x )
\begin{tikzpicture}[x=1pt, y=1pt, font=\normalsize]
\draw[gray, thin, ->] (0,0) -- (0,250) node[above] {$u(x)$};
\draw[gray, thin, ->] (0,0) -- (400,0) node[right] {$x$};
\node[gray] at (0,-10) {$0$};
\node[gray] at (360,-10) {$L$};
\draw[black, thick] (0,0) .. controls (150,220) and (300,60) .. (360,0);
\coordinate (P) at (60,70);
\filldraw[black] (P) circle (3pt) node[above] {$P$};
\draw[gray, dashed] (60, 70) -- (60, 0);
\coordinate (Q) at (120,105);
\filldraw[black] (Q) circle (3pt) node[above] {$Q$};
\draw[gray, dashed] (120, 105) -- (120, 0);
\draw[black, <->] (60,20) -- (120,20) node[above, midway] {$\Delta x$};
\draw[blue, line width=2pt] (P) .. controls (80,85) and (100,98) .. (Q);
\draw[red, thick, ->] (P) -- ++(-28,-28) node[below right] {$\mathbf{T}_1$};
\draw[red, thick, ->] (Q) -- ++(36,10) node[above right] {$\mathbf{T}_2$};
\draw[black, thin, dashed] (60,70) -- (110,70);
\draw[purple, thin] (70,70) arc (0:-130:10) node[pos=0, below right] {$\theta_1$};
\draw[black, thin, dashed] (120,105) -- (170,105);
\draw[purple, thin] (130,105) arc (0:18:10) node[pos=0, below right] {$\theta_2$};
\end{tikzpicture}
现在我们对弦上一小段平衡时长度为 Δ x \Delta x Δ x ∂ 2 u ∂ t 2 \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} ∂ t 2 ∂ 2 u μ \mu μ
Δ F = μ Δ x ∂ 2 u ∂ t 2
\Delta F = \mu\Delta x \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
Δ F = μ Δ x ∂ t 2 ∂ 2 u 我们假设了弦不会水平运动，因此这段弧的两端点处，其张力之差只能是竖直方向的。用 T T T θ \theta θ T sin θ T\sin\theta T sin θ
Δ F = Δ ( T sin θ )
\Delta F = \Delta (T\sin\theta)
Δ F = Δ ( T sin θ ) 消去 Δ \Delta Δ
Δ ( T sin θ ) Δ x = μ ∂ 2 u ∂ t 2
\frac{\Delta (T\sin\theta)}{\Delta x} = \mu \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
Δ x Δ ( T sin θ ) = μ ∂ t 2 ∂ 2 u 如果振动产生的 θ \theta θ sin θ \sin\theta sin θ tan θ \tan\theta tan θ tan θ = ∂ u ∂ x \tan\theta = \frac{\partial u}{\partial x} tan θ = ∂ x ∂ u
Δ ( T ∂ u ∂ x ) Δ x = μ ∂ 2 u ∂ t 2
\frac{\Delta (T\frac{\partial u}{\partial x})}{\Delta x} = \mu \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
Δ x Δ ( T ∂ x ∂ u ) = μ ∂ t 2 ∂ 2 u 令 Δ x → 0 \Delta x \to 0 Δ x → 0
∂ ∂ x ( T ∂ u ∂ x ) = μ ∂ 2 u ∂ t 2
\frac{\partial}{\partial x} \left( T \frac{\partial u}{\partial x} \right) = \mu \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
∂ x ∂ ( T ∂ x ∂ u ) = μ ∂ t 2 ∂ 2 u 我们只考虑 T T T μ \mu μ
a 2 ∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ 2 u ∂ t 2
a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
a 2 ∂ x 2 ∂ 2 u = ∂ t 2 ∂ 2 u 其中 a = T μ a = \sqrt{\frac{T}{\mu}} a = μ T
对于波动方程，多数人可能比较了解分离变量法，该方法的主要步骤如下
假设 u ( x , t ) u(x, t) u ( x , t ) x x x t t t u ( x , t ) = v ( x ) w ( t ) u(x, t) = v(x)w(t) u ( x , t ) = v ( x ) w ( t ) 将 u ( x , t ) = v ( x ) w ( t ) u(x, t) = v(x)w(t) u ( x , t ) = v ( x ) w ( t ) v ( x ) v(x) v ( x ) w ( t ) w(t) w ( t ) 得到 u ( x , t ) u(x, t) u ( x , t ) 也就是说，分离变量法在得到解之前先假设了解的形式。我认为这非常不自然，因此选用行波法来求解，不过这要求更多的注意力。
注意到，我们可引入两个新的变量
ξ = x + a t η = x − a t
\begin{align*}
\xi = x + a t \\
\eta = x - a t
\end{align*}
ξ = x + a t η = x − a t 分别求偏导
∂ ξ ∂ x = 1 , ∂ ξ ∂ t = a ∂ η ∂ x = 1 , ∂ η ∂ t = − a
\begin{align*}
\frac{\partial \xi}{\partial x} =1 &, \frac{\partial \xi}{\partial t} = a\\
\frac{\partial \eta}{\partial x} =1 &, \frac{\partial \eta}{\partial t} = -a
\end{align*}
∂ x ∂ ξ = 1 ∂ x ∂ η = 1 , ∂ t ∂ ξ = a , ∂ t ∂ η = − a 由多元函数链式法则得
∂ u ∂ x = ∂ u ∂ ξ ∂ ξ ∂ x + ∂ u ∂ η ∂ η ∂ x = ∂ u ∂ ξ + ∂ u ∂ η ∂ u ∂ t = ∂ u ∂ ξ ∂ ξ ∂ t + ∂ u ∂ η ∂ η ∂ t = a ∂ u ∂ ξ − a ∂ u ∂ η
\begin{align*}
\frac{\partial u}{\partial x} &= \frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \xi} + \frac{\partial u}{\partial \eta} \\
\frac{\partial u}{\partial t} &= \frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial t} = a\frac{\partial u}{\partial \xi} -a\frac{\partial u}{\partial \eta}
\end{align*}
∂ x ∂ u ∂ t ∂ u = ∂ ξ ∂ u ∂ x ∂ ξ + ∂ η ∂ u ∂ x ∂ η = ∂ ξ ∂ u + ∂ η ∂ u = ∂ ξ ∂ u ∂ t ∂ ξ + ∂ η ∂ u ∂ t ∂ η = a ∂ ξ ∂ u − a ∂ η ∂ u 这里的 u u u
∂ ∂ x ( u ) = ( ∂ ∂ ξ + ∂ ∂ η ) ( u ) ⇒ ∂ ∂ x = ∂ ∂ ξ + ∂ ∂ η ∂ ∂ t ( u ) = ( a ∂ ∂ ξ − a ∂ ∂ η ) ( u ) ⇒ ∂ ∂ t = a ∂ ∂ ξ − a ∂ ∂ η
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial x}(u) = \left(\frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial}{\partial \eta}\right)(u) &\Rightarrow \frac{\partial }{\partial x} = \frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial}{\partial \eta} \\
\frac{\partial}{\partial t}(u) = \left(a\frac{\partial}{\partial \xi} -a \frac{\partial}{\partial \eta}\right)(u) &\Rightarrow \frac{\partial }{\partial t} = a \frac{\partial}{\partial \xi} -a \frac{\partial}{\partial \eta}
\end{align*}
∂ x ∂ ( u ) = ( ∂ ξ ∂ + ∂ η ∂ ) ( u ) ∂ t ∂ ( u ) = ( a ∂ ξ ∂ − a ∂ η ∂ ) ( u ) ⇒ ∂ x ∂ = ∂ ξ ∂ + ∂ η ∂ ⇒ ∂ t ∂ = a ∂ ξ ∂ − a ∂ η ∂ 用算子继续偏微分，得到
∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ ∂ x ( ∂ u ∂ ξ + ∂ u ∂ η ) = ( ∂ ∂ ξ + ∂ ∂ η ) ( ∂ u ∂ ξ + ∂ u ∂ η ) = ∂ 2 u ∂ ξ 2 + 2 ∂ 2 u ∂ ξ ∂ η + ∂ 2 u ∂ η 2 ∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ ∂ t ( a ∂ u ∂ ξ − a ∂ u ∂ η ) = ( a ∂ ∂ ξ − a ∂ ∂ η ) ( a ∂ u ∂ ξ − a ∂ u ∂ η ) = a 2 ∂ 2 u ∂ ξ 2 − 2 a 2 ∂ 2 u ∂ ξ ∂ η + a 2 ∂ 2 u ∂ η 2
\begin{align*}
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} &= \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial u}{\partial \xi} + \frac{\partial u}{\partial \eta}\right) \\
&= \left( \frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial}{\partial \eta} \right) \left(\frac{\partial u}{\partial \xi} + \frac{\partial u}{\partial \eta}\right) \\
&= \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + 2\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} \\
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} &= \frac{\partial}{\partial t} \left( a \frac{\partial u}{\partial \xi} -a \frac{\partial u}{\partial \eta} \right) \\
&= \left( a\frac{\partial}{\partial \xi} -a \frac{\partial}{\partial \eta} \right) \left( a \frac{\partial u}{\partial \xi} -a \frac{\partial u}{\partial \eta} \right) \\&= a^2\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} - 2a^2\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} + a^2\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}
\end{align*}
∂ x 2 ∂ 2 u ∂ t 2 ∂ 2 u = ∂ x ∂ ( ∂ ξ ∂ u + ∂ η ∂ u ) = ( ∂ ξ ∂ + ∂ η ∂ ) ( ∂ ξ ∂ u + ∂ η ∂ u ) = ∂ ξ 2 ∂ 2 u + 2 ∂ ξ ∂ η ∂ 2 u + ∂ η 2 ∂ 2 u = ∂ t ∂ ( a ∂ ξ ∂ u − a ∂ η ∂ u ) = ( a ∂ ξ ∂ − a ∂ η ∂ ) ( a ∂ ξ ∂ u − a ∂ η ∂ u ) = a 2 ∂ ξ 2 ∂ 2 u − 2 a 2 ∂ ξ ∂ η ∂ 2 u + a 2 ∂ η 2 ∂ 2 u 代回到原方程中，有
a 2 ( ∂ 2 u ∂ ξ 2 + 2 ∂ 2 u ∂ ξ ∂ η + ∂ 2 u ∂ η 2 ) = a 2 ∂ 2 u ∂ ξ 2 − 2 a 2 ∂ 2 u ∂ ξ ∂ η + a 2 ∂ 2 u ∂ η 2
a^2 \left(\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + 2\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} \right) = a^2\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} - 2a^2\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} + a^2\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}
a 2 ( ∂ ξ 2 ∂ 2 u + 2 ∂ ξ ∂ η ∂ 2 u + ∂ η 2 ∂ 2 u ) = a 2 ∂ ξ 2 ∂ 2 u − 2 a 2 ∂ ξ ∂ η ∂ 2 u + a 2 ∂ η 2 ∂ 2 u 化简得
∂ 2 u ∂ ξ ∂ η = 0
\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} = 0
∂ ξ ∂ η ∂ 2 u = 0 这可以看作是 ∂ ∂ ξ ( ∂ u ∂ η ) = 0 \frac{\partial}{\partial \xi} \left( \frac{\partial u}{\partial \eta} \right) = 0 ∂ ξ ∂ ( ∂ η ∂ u ) = 0 ∂ ∂ η ( ∂ u ∂ ξ ) = 0 \frac{\partial}{\partial \eta} \left( \frac{\partial u}{\partial \xi} \right) = 0 ∂ η ∂ ( ∂ ξ ∂ u ) = 0 ∂ u ∂ η \frac{\partial u}{\partial \eta} ∂ η ∂ u ξ \xi ξ ∂ u ∂ ξ \frac{\partial u}{\partial \xi} ∂ ξ ∂ u η \eta η
∂ u ∂ ξ = v ( ξ ) ∂ u ∂ η = w ( η )
\begin{align*}
\frac{\partial u}{\partial \xi} = v(\xi) \\
\frac{\partial u}{\partial \eta} = w(\eta)
\end{align*}
∂ ξ ∂ u = v ( ξ ) ∂ η ∂ u = w ( η ) 由全微分公式得
d u = ∂ u ∂ ξ d ξ + ∂ u ∂ η d η = v ( ξ ) d ξ + w ( η ) d η
\mathrm{d}u = \frac{\partial u}{\partial\xi}\mathrm{d}\xi + \frac{\partial u}{\partial\eta}\mathrm{d}\eta = v(\xi)\mathrm{d}\xi + w(\eta)\mathrm{d}\eta
d u = ∂ ξ ∂ u d ξ + ∂ η ∂ u d η = v ( ξ ) d ξ + w ( η ) d η 从而
u ( ξ , η ) = ∫ v ( ξ ) d ξ + ∫ w ( η ) d η = f ( ξ ) + g ( η )
u(\xi, \eta) = \int v(\xi)\mathrm{d}\xi + \int w(\eta)\mathrm{d}\eta = f(\xi) + g(\eta)
u ( ξ , η ) = ∫ v ( ξ ) d ξ + ∫ w ( η ) d η = f ( ξ ) + g ( η ) 将 ξ = x + a t \xi = x+at ξ = x + a t η = x − a t \eta = x- at η = x − a t
u ( x , t ) = f ( x + a t ) + g ( x − a t )
u(x,t) = f(x+at) + g(x−at)
u ( x , t ) = f ( x + a t ) + g ( x − a t ) 这就是波动方程的通解——两个沿相反方向传播的行波之和：f ( x + a t ) f(x+at) f ( x + a t ) a a a g ( x − a t ) g(x−at) g ( x − a t ) a a a
初始条件# 弦振动不同于一般的波动，其有一些特殊的限制条件。下列公式分别表示左边界固定、右边界固定、初始速度和初始位移
{ u ( 0 , t ) = 0 u ( L , t ) = 0 ∂ u ∂ t ( x , 0 ) = ψ ( x ) u ( x , 0 ) = φ ( x )
\begin{cases}
u(0, t) = 0 \\
u(L, t) = 0 \\
\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = \psi(x) \\
u(x, 0) = \varphi(x)
\end{cases}
⎩ ⎨ ⎧ u ( 0 , t ) = 0 u ( L , t ) = 0 ∂ t ∂ u ( x , 0 ) = ψ ( x ) u ( x , 0 ) = φ ( x ) 我们先解决后两个初始条件。将 t = 0 t=0 t = 0
u ( x , 0 ) = f ( x ) + g ( x ) = φ ( x )
u(x,0) = f(x) + g(x) = \varphi(x)
u ( x , 0 ) = f ( x ) + g ( x ) = φ ( x ) 求 u ( x , t ) u(x,t) u ( x , t ) t t t
∂ u ∂ t ( x , t ) = a f ′ ( x + a t ) − a g ′ ( x − a t )
\frac{\partial u}{\partial t}(x, t) = a f'(x+at) - a g'(x-at)
∂ t ∂ u ( x , t ) = a f ′ ( x + a t ) − a g ′ ( x − a t ) 注意 f f f g g g ∫ v ( ξ ) d ξ \int v(\xi)\mathrm{d}\xi ∫ v ( ξ ) d ξ ∫ w ( η ) d η \int w(\eta)\mathrm{d}\eta ∫ w ( η ) d η t = 0 t=0 t = 0 ∂ u ∂ t \frac{\partial u}{\partial t} ∂ t ∂ u
∂ u ∂ t ( x , 0 ) = a f ′ ( x ) − a g ′ ( x ) = ψ ( x )
\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = a f'(x) - a g'(x) = \psi(x)
∂ t ∂ u ( x , 0 ) = a f ′ ( x ) − a g ′ ( x ) = ψ ( x ) 从而得到
f ′ ( x ) − g ′ ( x ) = 1 a ψ ( x )
f'(x) - g'(x) = \frac{1}{a}\psi(x)
f ′ ( x ) − g ′ ( x ) = a 1 ψ ( x ) 对两侧同时积分
f ( x ) − g ( x ) = 1 a ∫ 0 x ψ ( s ) d s + C
f(x) - g(x) = \frac{1}{a}\int_{0}^{x} \psi(s) \mathrm{d}s + C
f ( x ) − g ( x ) = a 1 ∫ 0 x ψ ( s ) d s + C 将上式与 f ( x ) + g ( x ) = φ ( x ) f(x) + g(x) = \varphi(x) f ( x ) + g ( x ) = φ ( x )
f ( x ) = 1 2 φ ( x ) + 1 2 a ∫ 0 x ψ ( s ) d s + C 2 g ( x ) = 1 2 φ ( x ) − 1 2 a ∫ 0 x ψ ( s ) d s − C 2
\begin{align*}
f(x) &= \frac{1}{2}\varphi(x) + \frac{1}{2a}\int_{0}^{x} \psi(s)\mathrm{d}s + \frac{C}{2} \\
g(x) &= \frac{1}{2}\varphi(x) - \frac{1}{2a}\int_{0}^{x} \psi(s)\mathrm{d}s - \frac{C}{2}
\end{align*}
f ( x ) g ( x ) = 2 1 φ ( x ) + 2 a 1 ∫ 0 x ψ ( s ) d s + 2 C = 2 1 φ ( x ) − 2 a 1 ∫ 0 x ψ ( s ) d s − 2 C 把 f f f g g g u ( x , t ) u(x,t) u ( x , t )
u ( x , t ) = 1 2 [ φ ( x + a t ) + φ ( x − a t ) ] + 1 2 a [ ∫ 0 x + a t ψ ( s ) d s − ∫ 0 x − a t ψ ( s ) d s ]
u(x,t) = \frac12\left[ \varphi(x+at) + \varphi(x-at) \right] + \frac{1}{2a}\left[ \int_{0}^{x+at} \psi(s)\mathrm{d}s - \int_{0}^{x-at} \psi(s)\mathrm{d}s \right]
u ( x , t ) = 2 1 [ φ ( x + a t ) + φ ( x − a t ) ] + 2 a 1 [ ∫ 0 x + a t ψ ( s ) d s − ∫ 0 x − a t ψ ( s ) d s ] 合并积分项
u ( x , t ) = 1 2 [ φ ( x + a t ) + φ ( x − a t ) ] + 1 2 a ∫ x − a t x + a t ψ ( s ) d s
u(x,t) = \frac12\left[ \varphi(x+at) + \varphi(x-at) \right] + \frac{1}{2a} \int_{x-at}^{x+at} \psi(s)\mathrm{d}s
u ( x , t ) = 2 1 [ φ ( x + a t ) + φ ( x − a t ) ] + 2 a 1 ∫ x − a t x + a t ψ ( s ) d s 这就是达朗贝尔公式 。
边界条件# 不过我们还有两个边界条件没用上，难道这些条件是多余的吗？试着把它们代入，发现
u ( 0 , t ) = 1 2 [ φ ( a t ) + φ ( − a t ) ] + 1 2 a ∫ − a t a t ψ ( s ) d s = 0 u ( L , t ) = 1 2 [ φ ( L + a t ) + φ ( L − a t ) ] + 1 2 a ∫ L − a t L + a t ψ ( s ) d s = 0
\begin{align*}
u(0,t) &= \frac12\left[ \varphi(at) + \varphi(-at) \right] + \frac{1}{2a} \int_{-at}^{at} \psi(s)\mathrm{d}s = 0 \\
u(L,t) &= \frac12\left[ \varphi(L+at) + \varphi(L-at) \right] + \frac{1}{2a} \int_{L-at}^{L+at} \psi(s)\mathrm{d}s = 0
\end{align*}
u ( 0 , t ) u ( L , t ) = 2 1 [ φ ( a t ) + φ ( − a t ) ] + 2 a 1 ∫ − a t a t ψ ( s ) d s = 0 = 2 1 [ φ ( L + a t ) + φ ( L − a t ) ] + 2 a 1 ∫ L − a t L + a t ψ ( s ) d s = 0 这里 φ \varphi φ a t at a t − a t -at − a t L + a t L+at L + a t L − a t L-at L − a t ψ \psi ψ [ − a t , a t ] [-at, at] [ − a t , a t ] [ L − a t , L + a t ] [L-at, L+at] [ L − a t , L + a t ] φ \varphi φ ψ \psi ψ [ 0 , L ] [0, L] [ 0 , L ]
为什么会发生这种情况？在物理上可以这样理解：如果区间是无界的，那么传播出去的波动就不会再回来影响到自身；但由于区间有限，波动被反射，从而产生了更复杂的影响。因此对于有限区间 [ 0 , L ] [0,L] [ 0 , L ]
再列出一下刚才得到的结果
φ ( a t ) + φ ( − a t ) + 1 a ∫ − a t a t ψ ( s ) d s = 0 φ ( L + a t ) + φ ( L − a t ) + 1 a ∫ L − a t L + a t ψ ( s ) d s = 0
\begin{align*}
\varphi(at) + \varphi(-at) + \frac{1}{a} \int_{-at}^{at} \psi(s)\mathrm{d}s &= 0 \\
\varphi(L+at) + \varphi(L-at) + \frac{1}{a} \int_{L-at}^{L+at} \psi(s)\mathrm{d}s &= 0
\end{align*}
φ ( a t ) + φ ( − a t ) + a 1 ∫ − a t a t ψ ( s ) d s φ ( L + a t ) + φ ( L − a t ) + a 1 ∫ L − a t L + a t ψ ( s ) d s = 0 = 0 可以发现 φ \varphi φ ψ \psi ψ 0 0 0 L L L φ \varphi φ ψ \psi ψ 0 0 0 L L L
φ ~ ( x ) = { φ ( x ) 0 ≤ x ≤ L − φ ( − x ) − L ≤ x < 0 − φ ( 2 L − x ) L < x ≤ 2 L
\tilde\varphi(x) = \begin{cases}
\varphi(x) & 0\le x\le L \\
-\varphi(-x) & -L\le x<0 \\
-\varphi(2L-x) & L< x\le 2L
\end{cases}
φ ~ ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ φ ( x ) − φ ( − x ) − φ ( 2 L − x ) 0 ≤ x ≤ L − L ≤ x < 0 L < x ≤ 2 L ψ ~ ( x ) = { ψ ( x ) 0 ≤ x ≤ L − ψ ( − x ) − L ≤ x < 0 − ψ ( 2 L − x ) L < x ≤ 2 L
\tilde\psi(x) = \begin{cases}
\psi(x) & 0\le x\le L \\
-\psi(-x) & -L\le x<0 \\
-\psi(2L-x) & L< x\le 2L
\end{cases}
ψ ~ ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ ψ ( x ) − ψ ( − x ) − ψ ( 2 L − x ) 0 ≤ x ≤ L − L ≤ x < 0 L < x ≤ 2 L 但这仍然不够。当 t → ∞ t\to \infty t → ∞ x + a t x+at x + a t x − a t x-at x − a t + ∞ +\infty + ∞ − ∞ -\infty − ∞ φ \varphi φ ψ \psi ψ x + a t x+at x + a t x − a t x-at x − a t
用 D D D D D D
先作关于 0 0 0 D D D [ 0 , L ] [0, L] [ 0 , L ] [ − L , L ] [-L, L] [ − L , L ] 再作关于 L L L D D D [ − L , L ] [-L, L] [ − L , L ] [ − L , 3 L ] [-L, 3L] [ − L , 3 L ] 继续作关于 0 0 0 D D D [ − L , 3 L ] [-L, 3L] [ − L , 3 L ] [ − 3 L , 3 L ] [-3L, 3L] [ − 3 L , 3 L ] 注意到，关于 0 0 0 L L L 0 0 0 L L L 2 L 2L 2 L
使用最终被延拓出来的函数，u ( x , t ) u(x,t) u ( x , t )
u ( x , t ) = 1 2 [ φ ~ ( x + a t ) + φ ~ ( x − a t ) ] + 1 2 a ∫ x − a t x + a t ψ ~ ( s ) d s
u(x,t) = \frac12\left[ \tilde\varphi(x+at) + \tilde\varphi(x-at) \right] + \frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at} \tilde\psi(s)\mathrm{d}s
u ( x , t ) = 2 1 [ φ ~ ( x + a t ) + φ ~ ( x − a t ) ] + 2 a 1 ∫ x − a t x + a t ψ ~ ( s ) d s 级数展开# 但我们还要做一些更有趣的事情。经过不断地奇延拓，我们可以断言，φ ~ ( x ) \tilde\varphi(x) φ ~ ( x ) ψ ~ ( x ) \tilde\psi(x) ψ ~ ( x ) 2 L 2L 2 L
φ ~ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ φ n sin n π x L , φ n = 2 L ∫ 0 L φ ( s ) sin n π s L d s ψ ~ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ψ n sin n π x L , ψ n = 2 L ∫ 0 L ψ ( s ) sin n π s L d s
\begin{align*}
\tilde\varphi(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\varphi_n\sin\frac{n\pi x}{L} &, \varphi_n = \frac{2}{L}\int_0^L\varphi(s)\sin\frac{n\pi s}{L}\mathrm{d}s \\
\tilde\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\psi_n\sin\frac{n\pi x}{L} &, \psi_n=\frac{2}{L}\int_0^L\psi(s)\sin\frac{n\pi s}{L}\mathrm{d}s
\end{align*}
φ ~ ( x ) = n = 1 ∑ ∞ φ n sin L nπ x ψ ~ ( x ) = n = 1 ∑ ∞ ψ n sin L nπ x , φ n = L 2 ∫ 0 L φ ( s ) sin L nπ s d s , ψ n = L 2 ∫ 0 L ψ ( s ) sin L nπ s d s 把此级数代入之前的公式。先来处理含 φ ~ \tilde\varphi φ ~
sin n π ( x + a t ) L + sin n π ( x − a t ) L = 2 sin n π x L cos n π a t L
\sin\frac{n\pi(x+at)}{L}+\sin\frac{n\pi(x-at)}{L}=2\sin\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{n\pi a t}{L}
sin L nπ ( x + a t ) + sin L nπ ( x − a t ) = 2 sin L nπ x cos L nπa t 因此
1 2 [ φ ~ ( x + a t ) + φ ~ ( x − a t ) ] = 1 2 ∑ n = 1 ∞ φ n [ sin n π ( x + a t ) L + sin n π ( x − a t ) L ] = ∑ n = 1 ∞ φ n cos n π a t L sin n π x L
\begin{align*}
& \frac12[\tilde\varphi(x+at)+\tilde\varphi(x-at)] \\
=& \frac12\sum_{n=1}^\infty\varphi_n\left[\sin\frac{n\pi(x+at)}{L}+\sin\frac{n\pi(x-at)}{L}\right] \\
=& \sum_{n=1}^\infty\varphi_n\cos\frac{n\pi a t}{L}\sin\frac{n\pi x}{L}
\end{align*}
= = 2 1 [ φ ~ ( x + a t ) + φ ~ ( x − a t )] 2 1 n = 1 ∑ ∞ φ n [ sin L nπ ( x + a t ) + sin L nπ ( x − a t ) ] n = 1 ∑ ∞ φ n cos L nπa t sin L nπ x 再来处理含 ψ ~ \tilde\psi ψ ~
∫ x − a t x + a t sin n π s L d s = L n π [ cos n π ( x − a t ) L − cos n π ( x + a t ) L ] = 2 L n π sin n π x L sin n π a t L
\begin{align*}
& \int_{x-at}^{x+at}\sin\frac{n\pi s}{L}\mathrm{d}s \\
=& \frac{L}{n\pi} \left[\cos\frac{n\pi(x-at)}{L}-\cos\frac{n\pi(x+at)}{L}\right] \\
=& \frac{2L}{n\pi}\sin\frac{n\pi x}{L}\sin\frac{n\pi a t}{L}
\end{align*}
= = ∫ x − a t x + a t sin L nπ s d s nπ L [ cos L nπ ( x − a t ) − cos L nπ ( x + a t ) ] nπ 2 L sin L nπ x sin L nπa t 于是
1 2 a ∫ x − a t x + a t ψ ~ ( s ) d s = 1 2 a ∑ n = 1 ∞ ψ n ( ∫ x − a t x + a t sin n π s L d s ) = 1 2 a ∑ n = 1 ∞ ψ n 2 L n π sin n π x L sin n π a t L = ∑ n = 1 ∞ L n π a ψ n sin n π a t L sin n π x L
\begin{align*}
& \frac1{2a} \int_{x-at}^{x+at} \tilde\psi(s)\mathrm{d}s \\
=& \frac1{2a} \sum_{n=1}^{\infty} \psi_n \left( \int_{x-at}^{x+at} \sin\frac{n\pi s}{L}\mathrm{d}s \right) \\
=& \frac1{2a}\sum_{n=1}^\infty\psi_n\frac{2L}{n\pi}\sin\frac{n\pi x}{L}\sin\frac{n\pi a t}{L} \\
=& \sum_{n=1}^\infty\frac{L}{n\pi a}\psi_n\sin\frac{n\pi a t}{L}\sin\frac{n\pi x}{L}
\end{align*}
= = = 2 a 1 ∫ x − a t x + a t ψ ~ ( s ) d s 2 a 1 n = 1 ∑ ∞ ψ n ( ∫ x − a t x + a t sin L nπ s d s ) 2 a 1 n = 1 ∑ ∞ ψ n nπ 2 L sin L nπ x sin L nπa t n = 1 ∑ ∞ nπa L ψ n sin L nπa t sin L nπ x 合并结果，得到
u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ φ n cos n π a t L sin n π x L + ∑ n = 1 ∞ L n π a ψ n sin n π a t L sin n π x L = ∑ n = 1 ∞ ( φ n cos n π a t L + L n π a ψ n sin n π a t L ) sin n π x L
\begin{align*}
u(x,t)
&= \sum_{n=1}^\infty\varphi_n\cos\frac{n\pi a t}{L}\sin\frac{n\pi x}{L} + \sum_{n=1}^\infty\frac{L}{n\pi a}\psi_n\sin\frac{n\pi a t}{L}\sin\frac{n\pi x}{L} \\
& =\sum_{n=1}^\infty\left(\varphi_n\cos\frac{n\pi a t}{L}+ \frac{L}{n\pi a}\psi_n\sin\frac{n\pi a t}{L}\right)\sin\frac{n\pi x}{L}
\end{align*}
u ( x , t ) = n = 1 ∑ ∞ φ n cos L nπa t sin L nπ x + n = 1 ∑ ∞ nπa L ψ n sin L nπa t sin L nπ x = n = 1 ∑ ∞ ( φ n cos L nπa t + nπa L ψ n sin L nπa t ) sin L nπ x 如果再令 A n = φ n A_n=\varphi_n A n = φ n B n = L n π a ψ n B_n=\frac{L}{n\pi a}\psi_n B n = nπa L ψ n
u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ ( A n cos n π a t L + B n sin n π a t L ) sin n π x L
u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( A_n \cos\frac{n\pi a t}{L} + B_n \sin\frac{n\pi a t}{L} \right) \sin\frac{n\pi x}{L}
u ( x , t ) = n = 1 ∑ ∞ ( A n cos L nπa t + B n sin L nπa t ) sin L nπ x 通常可以认为 ψ = 0 \psi = 0 ψ = 0 B n = 0 B_n = 0 B n = 0
u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ A n cos n π a t L sin n π x L
u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos\frac{n\pi a t}{L} \sin\frac{n\pi x}{L}
u ( x , t ) = n = 1 ∑ ∞ A n cos L nπa t sin L nπ x 其中
A n = 2 L ∫ 0 L φ ( s ) sin n π s L d s
A_n = \frac{2}{L}\int_0^L\varphi(s)\sin\frac{n\pi s}{L}\mathrm{d}s
A n = L 2 ∫ 0 L φ ( s ) sin L nπ s d s 和松开弦时的初始位移有关。
上面的结果有非常非常多有趣的地方。不过我们先从驻波开始说起。公式中的每一项
A n cos ( n π a L t ) sin ( n π L x )
A_n \cos\left(\frac{n\pi a}{L}t\right) \sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)
A n cos ( L nπa t ) sin ( L nπ x ) 都是一个驻波。这种叠加的驻波在空间和时间上都有规律。
空间规律# 和空间有关的项为 sin ( n π L x ) \sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right) sin ( L nπ x )
sin ( n π L x ) = 0 ⇒ n π L x = k π ⇒ x = k L n , k ∈ N
\begin{align*}
& \sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right) = 0 \\
\Rightarrow & \frac{n\pi}{L}x=k\pi \\
\Rightarrow & x = \frac{kL}{n}, k \in \mathbb{N} \\
\end{align*}
⇒ ⇒ sin ( L nπ x ) = 0 L nπ x = kπ x = n k L , k ∈ N 因此弦上存在一些点永远都不会振动。这些位置称为节点，而
sin ( n π L x ) = 1 ⇒ n π L x = k π + π 2 = ( 2 k + 1 ) π 2 ⇒ x = ( 2 k + 1 ) L 2 n , k ∈ N
\begin{align*}
& \sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right) = 1 \\
\Rightarrow & \frac{n\pi}{L}x = k\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{(2k+1)\pi}{2}\\
\Rightarrow & x = \frac{(2k+1)L}{2n}, k \in \mathbb{N} \\
\end{align*}
⇒ ⇒ sin ( L nπ x ) = 1 L nπ x = kπ + 2 π = 2 ( 2 k + 1 ) π x = 2 n ( 2 k + 1 ) L , k ∈ N 因此弦上还有些位置振动的振幅最大，且就夹在节点之间，这被称为腹点。
下图展示了 n = 1 , 2 , 3 n=1,2,3 n = 1 , 2 , 3
\begin{tikzpicture}[x=1pt, y=1pt, font=\small]
\foreach \n in {1,2,3} {
\begin{scope}[yshift=-\n*120]
\draw[gray, thin] (0,0) -- (400,0);
\draw[domain=0:400, samples=200, thick, black]
plot (\x, {60*sin((\n*pi*\x)/400 r)});
\foreach \i in {0,...,\n} {
\fill[red] ({\i*400/\n}, 0) circle (2pt);
}
\pgfmathsetmacro{\mj}{\n-1}
\foreach \j in {0,...,\mj} {
\fill[blue] ({(\j+0.5)*400/\n}, 0) circle (2pt);
}
\end{scope}
}
\end{tikzpicture}
可以很容易地推算出来，弦的两个端点总是节点，且每个驻波总是有 n + 1 n+1 n + 1 n n n
总之，驻波的空间规律就是：节点永不振动，腹点振动最剧烈，而二者在弦上交替着出现。
时间规律# 和时间有关的项为 cos ( n π a L t ) \cos\left(\frac{n\pi a}{L}t\right) cos ( L nπa t ) x x x
并且，cos ( n π a L t ) \cos\left(\frac{n\pi a}{L}t\right) cos ( L nπa t ) t t t w n = n π a L w_n = \frac{n\pi a}{L} w n = L nπa
f n = w n 2 π = n a 2 L
f_n = \frac{w_n}{2\pi} = \frac{na}{2L}
f n = 2 π w n = 2 L na 对于 n = 1 n=1 n = 1
f 1 = a 2 L
f_1=\frac{a}{2L}
f 1 = 2 L a 对于 n ≥ 2 n\ge 2 n ≥ 2
f n = n f 1
f_n = n f_1
f n = n f 1 基频决定了我们听到的音高。至于其原因，后文马上就会解释。
真实的声波是无穷多个驻波的叠加，人的听觉系统要怎么进行处理呢？
声音传播# 在振动发生到人产生听觉之间，还有许多复杂的过程要考虑。
首先是声音的传播。弦振动会挤压和拉伸周围的空气分子，挤压产生高压区，即密部，拉伸会产生低压区，即疏部。高压区会向外推挤相邻的空气，低压区则会拉拽相邻的空气，由此形成一密一疏互相交替的波动，从而声音可以向四面八方传播。因此声波是一种疏密波，通过这种方式经由空气最后被人接收。
然而，事情并没有这么简单。诸如琴体共鸣、环境、人耳外部结构等因素都会影响到传播。不过，这一切虽然看起来无法分析，但其实都可以在一个理想的假设，即满足线性时不变性质的前提下，统一进行建模
H ( j w ) = H i ( j w ) × H e ( j w ) × H h ( j w )
H(jw) = H_{i}(jw) \times H_{e}(jw) \times H_{h}(jw)
H ( j w ) = H i ( j w ) × H e ( j w ) × H h ( j w ) 其中 j j j w w w H i H_i H i H e H_e H e H h H_h H h H H H P i ( j w ) P_i(jw) P i ( j w ) P o ( j w ) P_o(jw) P o ( j w )
P o ( j w ) = H ( j w ) × P i ( j w )
P_o(jw) = H(jw) \times P_i(jw)
P o ( j w ) = H ( j w ) × P i ( j w ) 这样就可以直接考虑从琴弦产生振动到听者鼓膜处接收到声压的整个物理链路。
对于一个线性时不变系统，传递函数可以表示为
H ( j w ) = ∣ H ( j w ) ∣ e j ∠ H ( j w )
H(jw) = |H(jw)| e^{j\angle H(jw)}
H ( j w ) = ∣ H ( j w ) ∣ e j ∠ H ( j w ) 即
P o ( j w ) = ∣ H ( j w ) ∣ e j ∠ H ( j w ) × P i ( j w )
P_o(jw) = |H(jw)| e^{j\angle H(jw)} \times P_i(jw)
P o ( j w ) = ∣ H ( j w ) ∣ e j ∠ H ( j w ) × P i ( j w ) 这意味着，声压中频率为 w w w ∣ H ( j w ) ∣ |H(jw)| ∣ H ( j w ) ∣ ∠ H ( j w ) \angle H(jw) ∠ H ( j w )
传递函数 H H H
h ( t ) = F − 1 [ H ( j w ) ] = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ H ( j w ) e j w t d w
h(t) = \mathcal{F}^{-1}[H(jw)] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} H(jw) e^{jwt} \mathrm{d}w
h ( t ) = F − 1 [ H ( j w )] = 2 π 1 ∫ − ∞ ∞ H ( j w ) e j wt d w P i ( j w ) P_i(jw) P i ( j w ) P o ( j w ) P_o(jw) P o ( j w ) p i ( t ) p_i(t) p i ( t ) p o ( t ) p_o(t) p o ( t )
在时域上，输出声压信号是脉冲响应与输入声压信号的卷积，即
p o ( t ) = h ( t ) ∗ p i ( t ) = ∫ − ∞ ∞ p i ( τ ) h ( t − τ ) d τ
p_o(t) = h(t) \ast p_i(t) = \int_{-\infty}^{\infty} p_i(\tau) h(t - \tau) \mathrm{d}\tau
p o ( t ) = h ( t ) ∗ p i ( t ) = ∫ − ∞ ∞ p i ( τ ) h ( t − τ ) d τ 这种影响可以理解为信号在时间上的扩散，能够产生滤波、混响等各种效果。
\begin{tikzpicture}[x=1pt, y=1pt, font=\normalsize, >=stealth]
\draw[thick, rounded corners, gray] (0,0) rectangle (100,50) node[midway] {$p_i(t)$};
\draw[thick, rounded corners, gray] (0,150) rectangle (100,200) node[midway] {$P_i(jw)$};
\draw[thick, rounded corners, gray] (200,150) rectangle (300,200) node[midway] {$P_o(jw)$};
\draw[thick, rounded corners, gray] (200,0) rectangle (300,50) node[midway] {$p_o(t)$};
\draw[thick, ->] (50,50) -- (50,150) node[midway, left] {$\mathcal{F}$};
\draw[thick, ->] (100,175) -- (200,175) node[midway, above] {$\times H(jw)$};
\draw[thick, ->] (250,150) -- (250,50) node[midway, left] {$\mathcal{F}^{-1}$};
\draw[thick, ->] (100,25) -- (200,25) node[midway, above] {$\ast h(t)$};
\end{tikzpicture}
总之，不管过程怎么样，只要整个系统是线性时不变的，就可以认为其只会影响到各个频率分量的振幅和相位。即使这可能导致某些频率分量直接消失，但也绝不会创造出新的频率。于是我们最后得到的结果为
p o ( t ) = ∑ n = 1 ∞ C n cos ( n π a L t + ϕ n )
p_o(t) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \cos\left(\frac{n\pi a}{L}t + \phi_n \right)
p o ( t ) = n = 1 ∑ ∞ C n cos ( L nπa t + ϕ n ) 其中 C n C_n C n ϕ n \phi_n ϕ n
当然，线性时不变的假设是有点强硬的。我们忽略了所有环节的非线性和时变因素，包括塔尔蒂尼音、多普勒效应等常见现象。但在此还是不将问题复杂化了。
听觉系统# 最后接收到的声压信号被简化为只有时间这个变量，其角频率还是 n π a L \frac{n\pi a}{L} L nπa
事实确实如此。声波经中耳传到耳蜗，引起基底膜振动。而基底膜沿其长度方向，会分别对不同频率的振动产生最大响应，其强度与振幅有关。这种响应的结果就是刺激了相应位置的毛细胞，使其产生神经脉冲。最终这些脉冲被大脑接收、解码并产生听觉感知。
大脑接收到 f 1 f_1 f 1 2 f 1 2f_1 2 f 1 3 f 1 3f_1 3 f 1 f 1 f_1 f 1
可以说，人的听觉系统把传入的复杂周期信号分解为各频率分量，得到了一张记录着各频率振幅的频谱图
\begin{tikzpicture}[x=1pt, y=1pt, font=\small]
\draw[gray, thin, ->] (0,0) -- (0,200) node[above] {$A$};
\draw[gray, thin, ->] (0,0) -- (300,0) node[right] {$f$};
\node[gray] at (-10, -10) {0};
\foreach \n in {1,...,5} {
\node[gray] at (\n*50, -10) {$f_\n$};
\draw[thick, black] (\n*50, 0) -- (\n*50, 180/\n^2) node[above] {$A_\n$};
}
\end{tikzpicture}
由于人的听觉系统对相位的差别不太敏感，更关注振幅，因此各分量的相对振幅最终决定了音色。之前提到了，在声音传播的过程中可能发生频域上的畸变，但由于具体的影响需要实际测量，因此后续将假设振幅之比没有太大变化，即相对振幅为 ∣ A n ∣ ∣ A 1 ∣ \frac{|A_n|}{|A_1|} ∣ A 1 ∣ ∣ A n ∣
而 A n A_n A n φ ( x ) \varphi(x) φ ( x ) p p p h h h
\begin{tikzpicture}[x=1pt, y=1pt, font=\normalsize]
\draw[gray, thin, ->] (0,0) -- (0,200) node[above] {$\varphi(x)$};
\draw[gray, thin, ->] (0,0) -- (400,0) node[right] {$x$};
\node[gray] at (0,-10) {0};
\node[gray] at (350,-10) {$L$};
\draw[thick, black] (0,0) -- (50,180) -- (350,0);
\draw[dashed] (50,180) -- (50,0) node[below] {$p$} node[midway, left] {$h$};
\end{tikzpicture}
于是有
φ ( x ) = { h p x 0 ≤ x ≤ p h L − p ( L − x ) p < x ≤ L
\varphi(x) = \begin{cases}
\dfrac{h}{p}x & 0 \le x \le p \\
\dfrac{h}{L-p}(L-x) & p < x \le L
\end{cases}
φ ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ p h x L − p h ( L − x ) 0 ≤ x ≤ p p < x ≤ L 代入到 A n = 2 L ∫ 0 L φ ( s ) sin n π s L d s A_n = \frac{2}{L}\int_0^L\varphi(s)\sin\frac{n\pi s}{L}\mathrm{d}s A n = L 2 ∫ 0 L φ ( s ) sin L nπ s d s
A n = 2 L [ h p ∫ 0 p x sin n π x L d x + h L − p ∫ p L ( L − x ) sin n π x L d x ]
A_n = \frac{2}{L}\left[ \frac{h}{p}\int_0^p x \sin\frac{n\pi x}{L}dx + \frac{h}{L-p}\int_p^L (L-x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx \right]
A n = L 2 [ p h ∫ 0 p x sin L nπ x d x + L − p h ∫ p L ( L − x ) sin L nπ x d x ] 基于积分公式
∫ x sin ( a x ) d x = 1 a 2 sin ( a x ) − x a cos ( a x )
\int x\sin(ax)dx = \frac{1}{a^2}\sin(ax) -\frac{x}{a}\cos(ax)
∫ x sin ( a x ) d x = a 2 1 sin ( a x ) − a x cos ( a x ) 和
∫ ( L − x ) sin ( a x ) d x = − 1 a 2 sin ( a x ) + x − L a cos ( a x )
\int (L-x)\sin(ax)dx = - \frac{1}{a^2}\sin(ax) + \frac{x-L}{a}\cos(ax)
∫ ( L − x ) sin ( a x ) d x = − a 2 1 sin ( a x ) + a x − L cos ( a x ) 用 a = n π L a = \frac{n\pi}{L} a = L nπ
A n = 2 L [ h L 3 n 2 π 2 p ( L − p ) sin n π p L ] = 2 h L 2 n 2 π 2 p ( L − p ) sin n π p L
A_n = \frac{2}{L}\left[ \frac{h L^3}{n^2\pi^2 p(L-p)}\sin\frac{n\pi p}{L} \right] = \frac{2h L^2}{n^2\pi^2 p(L-p)}\sin\frac{n\pi p}{L}
A n = L 2 [ n 2 π 2 p ( L − p ) h L 3 sin L nπ p ] = n 2 π 2 p ( L − p ) 2 h L 2 sin L nπ p 即
∣ A n ∣ ∝ 1 n 2 ∣ sin n π p L ∣
|A_n| \propto \frac{1}{n^2} \left|\sin\frac{n\pi p}{L}\right|
∣ A n ∣ ∝ n 2 1 sin L nπ p 若 p = L / 2 p = L/2 p = L /2 ∣ A n ∣ ∝ 1 n 2 ∣ sin n π 2 ∣ |A_n| \propto \frac{1}{n^2} \left|\sin\frac{n\pi}{2}\right| ∣ A n ∣ ∝ n 2 1 sin 2 nπ n n n sin n π 2 = 0 \sin\frac{n\pi}{2}=0 sin 2 nπ = 0
若 p = ε ≈ 0 p = \varepsilon \approx 0 p = ε ≈ 0 p = L − ε ≈ L p = L -\varepsilon \approx L p = L − ε ≈ L n n n n ≪ L π ε n \ll \frac{L}{\pi\varepsilon} n ≪ π ε L ∣ sin n π p L ∣ ≈ n π ε L \left|\sin\frac{n\pi p}{L}\right| \approx \frac{n\pi \varepsilon}{L} sin L nπ p ≈ L nπ ε ∣ A n ∣ ∝ 1 n |A_n| \propto \frac{1}{n} ∣ A n ∣ ∝ n 1
除拨弦外，还有击弦、拉弦等不同的振动弦的方式，这些都会产生不同的初始位移，从而映射到不同的 A n A_n A n
根据这些原理，我写了个钢琴模拟器 ，提供 声音合成 、乐谱编辑 等多种功能。
至此终于进入了相对更音乐的领域。
回顾之前关于基频的计算，并把 a = T μ a=\sqrt{\frac{T}{\mu}} a = μ T
f 1 = a 2 L = 1 2 L T μ
f_1=\frac{a}{2L}=\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}
f 1 = 2 L a = 2 L 1 μ T 其中 L L L T T T μ \mu μ
由于基频决定了音高，因此，弦越长、张力越小、密度越大，则音高越低；反之则变高。我们可以据此来设计琴弦，或调整音高。
关于音高的事实可以解答一个疑问：为什么弦不是按得越用力，就振动得越快，从而音调越高？因为弦的基频已经被弦本身决定了，和释放弦的位置无关。当然，现实中的弦被用力按下后确实可能引起长度、张力、线密度的改变，但这种改变是微小且瞬时的，在持续的振动中基本可以忽略。
音乐不是孤立的单音。不同的音先后或同时出现，才能算是音乐。因此，我们需要一套规则——即音阶——来决定哪些音高可以一起使用。而实现音阶的数学手段就是调律。
两根一起发声的弦，基频之比越是简单，人耳听起来就越协调。因为比例越简单，不同基频所产生的谐波列就越容易混合出相同频率的泛音：当两个音基频比为 n 1 : n 2 n_1:n_2 n 1 : n 2 n 2 n_2 n 2 n 1 n_1 n 1
人们在不断实践中总结出来了很多好听的频率，2 : 1 2:1 2 : 1 3 : 2 3:2 3 : 2 4 : 3 4:3 4 : 3 5 : 4 5:4 5 : 4
基于纯律，人们发明了一些复杂的调律方法。比如五度相生律：从一个音高开始，不断向上纯五度，即频率乘 3 / 2 3/2 3/2 2 2 2
C ( 1 ) → × 3 / 2 G ( 3 / 2 ) → × 3 / 2 ÷ 2 D ( 9 / 8 ) → × 3 / 2 A ( 27 / 16 ) → …
C(1) \xrightarrow{\times 3/2} G(3/2) \xrightarrow{\times 3/2\div 2} D(9/8) \xrightarrow{\times 3/2} A(27/16) \to \dots
C ( 1 ) × 3/2 G ( 3/2 ) × 3/2 ÷ 2 D ( 9/8 ) × 3/2 A ( 27/16 ) → … 这样就能生成一个八度内所有的音高
音名 频率比 C C C 1 G G G 3/2 D D D 9/8 A A A 27/16 E E E 81/64 B B B 243/128 F ♯ / G ♭ F^\sharp / G^\flat F ♯ / G ♭ 729/512 C ♯ / D ♭ C^\sharp / D^\flat C ♯ / D ♭ 2187/2048 G ♯ / A ♭ G^\sharp / A^\flat G ♯ / A ♭ 6561/4096 D ♯ / E ♭ D^\sharp / E^\flat D ♯ / E ♭ 19683/16384 A ♯ / B ♭ A^\sharp / B^\flat A ♯ / B ♭ 59049/32768 F F F 177147/131072 C C C 531441/524288
经过 12 12 12 12 12 12 7 7 7 C C C
( 3 2 ) 12 ≈ 129.746 ≠ 2 7 = 128
\left(\frac{3}{2}\right)^{12} \approx 129.746 \quad \ne \quad 2^7 = 128
( 2 3 ) 12 ≈ 129.746 = 2 7 = 128 但两者终究并不相等。这个差值被称为毕达哥拉斯逗号。
五度相生律的优点是所有五度都是完美的 3 : 2 3:2 3 : 2 C C C F ♯ F^\sharp F ♯ B B B G G G F ♯ F^\sharp F ♯ G G G
十二平均律# 为了彻底解决转调问题，人们又发明了十二平均律：将一个八度平均分成 12 12 12
2 1 / 12 ≈ 1.059463
2^{1/12} \approx 1.059463
2 1/12 ≈ 1.059463 从一个音 f 0 f_0 f 0 k k k
f k = 2 k / 12 f 0
f_k = 2^{k/12}f_0
f k = 2 k /12 f 0 这样，任何两个半音之间的比例只取决于它们相距的半音数，与调无关，这就解决了转调的问题。
并且，十二平均律和纯律的音程差别不大。从 C C C G G G 7 7 7 2 7 / 12 ≈ 1.4983 2^{7/12} \approx 1.4983 2 7/12 ≈ 1.4983 1.5 1.5 1.5
为了更方便地比较不同调律之间的微小差异，需要引入音分这一概念
δ cent = 1200 log 2 f 1 f 2
\delta_{\text{cent}} = 1200 \log_2\frac{f_1}{f_2}
δ cent = 1200 log 2 f 2 f 1 半音的音程为 100 100 100 1200 1200 1200
音程 纯律 十二平均律 差值 八度 1200 1200 0 纯五度 701.96 700 -1.96 大三度 386.31 400 +13.69
可见十二平均律的大三度牺牲了相对较多的纯度。不过这换来了转调的自由，因此那些音高固定的乐器在现代更普遍采用十二平均律。
在理解了单音的音高和音阶之后，接着研究更为复杂的情形——和弦，即多个弦同时开始振动。这一领域涉及到群论——这是一个研究对称性的数学分支。
循环群# 十二平均律将一个八度等分为 12 12 12 Z 12 = { 0 , 1 , 2 , … , 11 } \mathbb{Z}_{12} = \{0,1,2,\dots,11\} Z 12 = { 0 , 1 , 2 , … , 11 } Z 12 \mathbb{Z}_{12} Z 12
和弦 集合表示 C C C { 0 , 4 , 7 } \{0,4,7\} { 0 , 4 , 7 } C C C { 0 , 3 , 7 } \{0,3,7\} { 0 , 3 , 7 } C C C { 0 , 4 , 8 } \{0,4,8\} { 0 , 4 , 8 } C C C { 0 , 3 , 6 } \{0,3,6\} { 0 , 3 , 6 }
在 Z 12 \mathbb{Z}_{12} Z 12 12 12 12 a , b ∈ Z 12 a, b \in \mathbb{Z}_{12} a , b ∈ Z 12 + 12 +_{12} + 12
a + 12 b = ( a + b ) m o d 12
a +_{12} b = (a + b) \bmod 12
a + 12 b = ( a + b ) mod 12 其中符号 m o d 12 \bmod 12 mod 12 12 12 12 12 12 12 Z 12 \mathbb{Z}_{12} Z 12
x m o d m = y ⟺ y ∈ Z _ m ∧ x ∈ { y + m k ∣ k ∈ Z }
x \bmod m = y \Longleftrightarrow y \in \mathbb{Z}\_{m} \land x \in \{ y + mk \mid k\in \mathbb{Z} \}
x mod m = y ⟺ y ∈ Z _ m ∧ x ∈ { y + mk ∣ k ∈ Z } 因此 Z 12 \mathbb{Z}_{12} Z 12
进一步地，我们可以再定义一种加法，让集合中所有元素加上一个整数，得到一个新的集合。对于 k ∈ Z k \in \mathbb{Z} k ∈ Z X X X
X + 12 k = { x + 12 k ∣ x ∈ X }
X +_{12} k = \{x +_{12} k \mid x \in X\}
X + 12 k = { x + 12 k ∣ x ∈ X } 在音乐上这被叫做移调。大三和弦的移调还是大三和弦，小三和弦的移调还是小三和弦。例如，C C C { 0 , 4 , 7 } \{0,4,7\} { 0 , 4 , 7 } 5 5 5 { 5 , 9 , 0 } \{5,9,0\} { 5 , 9 , 0 } { 0 , 5 , 9 } \{0,5,9\} { 0 , 5 , 9 } F F F
循环群的另一个重要的映射是取负。对于 x ∈ Z 12 x \in \mathbb{Z}_{12} x ∈ Z 12 − 12 -_{12} − 12
− 12 x = − x m o d 12
-_{12}x=-x \bmod 12
− 12 x = − x mod 12 具体地说
{ − 12 x = 0 ( x = 0 ) − 12 x = 12 − x ( x ≠ 0 )
\begin{cases}
-_{12}x = 0 & (x = 0)\\
-_{12}x = 12 - x & (x \ne 0)
\end{cases}
{ − 12 x = 0 − 12 x = 12 − x ( x = 0 ) ( x = 0 ) 对集合取负也一样定义为
− 12 X = { − 12 x ∣ x ∈ X }
-_{12}X = \{-_{12}x \mid x \in X\}
− 12 X = { − 12 x ∣ x ∈ X } 在音乐上这被叫做倒影。大三和弦的倒影就是小三和弦。例如，C C C { 0 , 4 , 7 } \{0,4,7\} { 0 , 4 , 7 } { 0 , 8 , 5 } \{0,8,5\} { 0 , 8 , 5 } { 0 , 5 , 8 } \{0,5,8\} { 0 , 5 , 8 } F F F
如果把 Z 12 \mathbb{Z}_{12} Z 12 x x x x x x d 0 , 6 d_{0,6} d 0 , 6
\begin{tikzpicture}[x=1pt, y=1pt, font=\normalsize]
\draw[thick, gray] (0,0) circle (90);
\foreach \k in {0,...,11} {
\pgfmathsetmacro{\angle}{90 - \k*30}
\coordinate (P\k) at ({90*cos(\angle)}, {90*sin(\angle)});
\fill[black] (P\k) circle (2pt);
\node at ({100*cos(\angle)}, {100*sin(\angle)}) {\k};
}
\draw[thick, dashed, gray] (P0) -- (P6);
\draw[thick, blue] (P0) -- (P4) -- (P7) -- cycle;
\draw[thick, dashed, purple] (P0) -- (P5) -- (P9) -- cycle;
\draw[thick, dashed, orange] (P0) -- (P5) -- (P8) -- cycle;
\end{tikzpicture}
每类和弦都会有一些独特的性质。除大三、小三、增三和减三外，还有很多类和弦，但这里只列举上述和弦的特征
和弦类型 听觉特征 大三和弦 明亮、稳定、开阔 小三和弦 暗淡、柔和、忧郁 增三和弦 膨胀、悬空、向外 减三和弦 紧缩、压抑、向内
置换群# 勋伯格发明了十二音技法，其核心思想是将一个八度内的 12 12 12 Z 12 = { 0 , 1 , … , 11 } \mathbb{Z}_{12}=\{0,1,\dots,11\} Z 12 = { 0 , 1 , … , 11 } S 12 S_{12} S 12
S 12 = { ( a 0 , a 1 , … , a 11 ) ∣ { a 0 , a 1 , … , a 11 } = Z 12 }
S_{12} = \{ (a_0, a_1, \dots, a_{11}) \mid \{a_0, a_1, \dots, a_{11}\} = \mathbb{Z}_{12} \}
S 12 = {( a 0 , a 1 , … , a 11 ) ∣ { a 0 , a 1 , … , a 11 } = Z 12 } 现在我们研究对序列的操作。如果把每个操作都视为一个元素，然后所有操作组成一个集合，并在此集合上定义操作与操作之间的运算，那么这个集合也能变成一个群，我们叫它置换群。
先来研究最基本的平移操作，其正对应着我们之前讲的加法 + 12 +_{12} + 12 s ∈ S 12 s \in S_{12} s ∈ S 12
s + 12 k = ( a 0 + 12 k , a 1 + 12 k , … , a 11 + 12 k )
s +_{12} k = (a_0 +_{12} k, a_1 +_{12} k, \dots, a_{11} +_{12} k)
s + 12 k = ( a 0 + 12 k , a 1 + 12 k , … , a 11 + 12 k ) 我们用 t k t_k t k
t k : s ↦ s + 12 k
t_k: s \mapsto s +_{12} k
t k : s ↦ s + 12 k 这样所有的 t k t_k t k
T 12 = { t k ∣ k ∈ Z 12 }
T_{12} = \{t_k \mid k\in \mathbb{Z}_{12}\}
T 12 = { t k ∣ k ∈ Z 12 } 现在定义 T 12 T_{12} T 12 ∘ 12 \circ_{12} ∘ 12 t a , t b ∈ T 12 t_a, t_b \in T_{12} t a , t b ∈ T 12
t b ∘ 12 t a
t_b \circ_{12} t_a
t b ∘ 12 t a 来表示这两个操作的复合，顺序为从右到左，即先进行 t a t_a t a t b t_b t b s ∈ S 12 s \in S_{12} s ∈ S 12
t b ∘ 12 t a : s ↦ t a s + 12 a ↦ t b ( s + 12 a ) + 12 b
t_b \circ_{12} t_a: s \xmapsto{t_a} s +_{12} a \xmapsto{t_b} (s +_{12} a) +_{12} b
t b ∘ 12 t a : s t a s + 12 a t b ( s + 12 a ) + 12 b 由于 + 12 +_{12} + 12
t b ∘ 12 t a : s ↦ s + 12 ( a + 12 b )
t_b \circ_{12} t_a: s \mapsto s +_{12} (a +_{12} b)
t b ∘ 12 t a : s ↦ s + 12 ( a + 12 b ) 也就是说
t b ∘ 12 t a = t a + 12 b
t_b \circ_{12} t_a = t_{a+_{12}b}
t b ∘ 12 t a = t a + 12 b 由于 + 12 +_{12} + 12 ∘ 12 \circ_{12} ∘ 12 s s s 12 12 12 Z 12 \mathbb{Z}_{12} Z 12 T 12 T_{12} T 12
不过，对于 S 12 S_{12} S 12
对于十二音技法而言，除移调这个平移置换外，还有下面这些对序列常用的置换，设原序列 s = ( a 0 , a 1 , … , a 11 ) s = (a_0, a_1, \dots, a_{11}) s = ( a 0 , a 1 , … , a 11 )
置换名 作用 数学表示 原形 序列不变 s ↦ ( a 0 , a 1 , … , a 11 ) s \mapsto (a_0, a_1, \dots, a_{11}) s ↦ ( a 0 , a 1 , … , a 11 ) 逆行 将序列反转 s ↦ ( a 11 , a 10 , … , a 0 ) s \mapsto (a_{11}, a_{10}, \dots, a_0) s ↦ ( a 11 , a 10 , … , a 0 ) 倒影 对每个元素取负 s ↦ ( − a 0 , − a 1 , … , − a 11 ) s \mapsto (-a_0, -a_1, \dots, -a_{11}) s ↦ ( − a 0 , − a 1 , … , − a 11 ) 逆行倒影 先倒影再逆行 s ↦ ( − a 11 , − a 10 , … , − a 0 ) s \mapsto (-a_{11}, -a_{10}, \dots, -a_0) s ↦ ( − a 11 , − a 10 , … , − a 0 )
移调有 12 12 12 4 4 4 48 48 48 48 48 48 48 48 48 Z 12 \mathbb{Z}_{12} Z 12 48 48 48
总之，音乐中的移调、逆行、倒影等手法，无论多么复杂，都可以理解为置换群中的一种置换。
最后再讨论一下音乐的另一个重要概念——节奏。
节奏中通常都有循环的小节或模式，每个循环周期内又可分成 m m m 1 1 1 0 0 0
序列的长度就等于节奏模式的长度 m m m 1 1 1 n n n [ 1 , 0 , 1 , 0 ] [1,0,1,0] [ 1 , 0 , 1 , 0 ] m = 4 , n = 2 m=4, n=2 m = 4 , n = 2
通常，在给定 m m m n n n n n n m m m
解决这个最均匀分布问题，需要使用到数论的知识。
先考虑一个较为简单的情形：在 8 8 8 5 5 5 m = 8 , n = 5 m=8, n=5 m = 8 , n = 5
\begin{tikzpicture}[x=1pt, y=1pt, font=\small]
\foreach \i in {0,...,7} {
\ifnum\i<5
\fill[black] (\i*40,100) rectangle (30+\i*40,120) node[midway, white] {1};
\else
\fill[gray] (\i*40,100) rectangle (30+\i*40,120) node[midway, black] {0};
\fi
}
\foreach \i in {0,2,4,6,7} {
\fill[black] (\i*40,50) rectangle (30+\i*40,70) node[midway, white] {1};
}
\foreach \i in {1,3,5} {
\fill[gray] (\i*40,50) rectangle (30+\i*40,70) node[midway, black] {0};
}
\end{tikzpicture}
我们的做法是
得到初始序列 [ 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 0 ] [1,1,1,1,1,0,0,0] [ 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 0 ] 将初始序列分成 [ 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ] [1,1,1,1,1] [ 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ] [ 0 , 0 , 0 ] [0,0,0] [ 0 , 0 , 0 ] [ 0 , 0 , 0 ] [0,0,0] [ 0 , 0 , 0 ] [ 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ] [1,1,1,1,1] [ 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ] [ 1 , 0 ] , [ 1 , 0 ] , [ 1 , 0 ] , [ 1 , 1 ] [1,0],[1,0],[1,0],[1,1] [ 1 , 0 ] , [ 1 , 0 ] , [ 1 , 0 ] , [ 1 , 1 ] 把片段拼接起来 [ 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 1 ] [1,0,1,0,1,0,1,1] [ 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 1 ] 5 5 5 8 8 8 这种节奏被叫做欧几里得节奏，更一般的构造方法为
初始化一个包含 n n n 1 1 1 m − n m-n m − n 0 0 0 反复将较短的序列折叠到较长的序列上，直到剩余序列的长度都不超过 2 2 2 将最后剩下的序列按顺序拼接，得到节奏模式 当然，欧几里得本人不知道什么是欧几里得节奏，只是这一算法和欧几里得计算最大公约数的算法很像，所以后人将其命名为欧几里得节奏。
那为什么一个求最大公约数的算法能用来设计最均匀分布的节奏呢？
这得回顾一下欧几里得算法。假设 m > n m > n m > n m m m n n n gcd ( m , n ) \gcd(m,n) g cd( m , n )
计算 m ÷ n m \div n m ÷ n r r r 若 r = 0 r=0 r = 0 n n n 若 r ≠ 0 r\ne0 r = 0 gcd ( m , n ) = gcd ( n , m m o d n ) \gcd(m,n)=\gcd(n,m \bmod n) g cd( m , n ) = g cd( n , m mod n ) m m o d n = r m \bmod n = r m mod n = r gcd ( n , r ) \gcd(n,r) g cd( n , r ) 重复以上步骤，直到余数为 0 0 0 回到节奏的均匀分布问题上，设 m ÷ n = q ⋯ r m\div n = q \cdots r m ÷ n = q ⋯ r q q q r r r
如果 r = 0 r=0 r = 0 m m m n n n q q q 1 1 1 q − 1 q-1 q − 1 r = 0 r=0 r = 0 m m m n n n n n n
如果 r ≠ 0 r\ne0 r = 0 n n n q q q 1 1 1 q − 1 q-1 q − 1 r r r n n n n n n m m m m ÷ n m\div n m ÷ n r r r n n n n ÷ r n\div r n ÷ r r ≠ 0 r\ne0 r = 0 m m m n n n gcd ( n , r ) \gcd(n,r) g cd( n , r )
本文介绍了振动弦、驻波、人的听觉系统、调律、和弦、节奏，尽管东西很多，但这依然不可能穷尽音乐中的所有原理。
在音乐的最深处，会是什么？也许是数学，如果用一种本体论的说法，那么音乐就是数学在时间中的回响，音乐的本质是数学。
至于数学为何能引起人的感动——那答案恐怕已不在数学之中。这涉及到哲学上的心身问题——自笛卡尔提出心身二元论后，对这一问题就出现了各种各样的解释——至今没有一个能让所有人都满意：如果承认心身二分，那么音乐就存在着某种超越数学的感性溢出，它无法被完全还原为物质变化，而是通过某种神秘的、不为人知的方式引起了人的感觉；如果取消心身二分，那么音乐就不过是引发了一种复杂的神经状态，它完全可以被数学描述，只不过人们将其命名为感动。