第一类曲线积分要求积分上限大于积分下限，并不是说改变方向会影响结果。只是通过这个规定，我们可以免去中间的过程。

从有问题的弧长公式说起

对参数向量定义的曲线 C:r⃗(t)C:\vec{r}(t)，从 t=at = a 到 t=bt = b 的这段弧长为

s=∫Cds=∫ab∣dr⃗dt∣dts = \int_{C}^{} \mathrm{d}s= \int_{a}^{b} \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \mathrm{d}t

看上去似乎没什么问题。但我们知道，对定积分来说，交换上下限会导致结果的正负相反。而一段曲线从 t=bt = b 到 t=at = a 的长度应该等于从 t=at = a 到 t=bt = b 的长度。这公式显然与事实不符。

问题出在哪里呢？不妨想一下该公式可以怎样修改。为了解决上述问题，一个更准确的弧长公式应该长这样

s=∣∫ab∣dr⃗dt∣dt∣s = \left| \int_{a}^{b} \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \mathrm{d}t \right|

如果把绝对值放进去，马上就发现了问题所在

s=∫ab∣dr⃗dt∣∣dt∣s = \int_{a}^{b} \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \left| \mathrm{d}t \right|

是的，问题的根源就在于弧长微元。改正后的弧长微元变为

ds=∣dr⃗dt∣∣dt∣\mathrm{d}s = \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \left| \mathrm{d}t \right|

弧长微元就是一小段曲线的长度，肯定为非负数，而 dt\mathrm{d}t 有可能是负数，所以必须加上绝对值。

可加上了绝对值后怎么积分？定积分公式里的积分微元并没有套着绝对值这个玩意。所以我们接下来要去掉绝对值。

去掉绝对值以计算积分

回到刚才提出的正确的弧长公式上

s=∫ab∣dr⃗dt∣∣dt∣s = \int_{a}^{b} \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \left| \mathrm{d}t \right|

当 a<ba < b 时，上限大于下限，积分微元 dt>0\mathrm{d}t > 0，此时 ∣dt∣=dt\left| \mathrm{d}t \right| = \mathrm{d}t，可以直接去掉绝对值

s=∫ab∣dr⃗dt∣dt(a<b)s = \int_{a}^{b} \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \mathrm{d}t \quad (a < b)

当 a>ba > b 时，上限小于下限，积分微元 dt<0\mathrm{d}t < 0，此时 ∣dt∣=−dt\left| \mathrm{d}t \right| =- \mathrm{d}t ，去掉绝对值后多了个负号。但，通过交换上下限可以再多个负号，负负得正，从而抵消了绝对值的影响

s=−∫ab∣dr⃗dt∣dt=∫ba∣dr⃗dt∣dt(a>b)s = -\int_{a}^{b} \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \mathrm{d}t=\int_{b}^{a} \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \mathrm{d}t \quad (a > b)

总结一下

s={∫ab∣dr⃗dt∣dta<b∫ba∣dr⃗dt∣dta>bs = \begin{cases} \int_{a}^{b} \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \mathrm{d}t & a < b \\ \int_{b}^{a} \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \mathrm{d}t & a > b \end{cases}

可以看出，去掉绝对值以及可能多出的负号后，积分上限始终大于积分下限。

第一类曲线积分与计算弧长的积分类似，无非多乘了个被积函数 FF

∫CFds=∫abF∣dr⃗dt∣∣dt∣={∫abF∣dr⃗dt∣dta<b∫baF∣dr⃗dt∣dta>b\int_{C}^{} F\mathrm{d}s = \int_{a}^{b} F\left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \left| \mathrm{d}t \right| = \begin{cases} \int_{a}^{b} F\left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \mathrm{d}t & a < b \\ \int_{b}^{a} F\left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \mathrm{d}t & a > b \end{cases}

所以，第一类曲线积分要求积分上限大于积分下限，并不是说改变方向会影响结果。只是通过这个规定，我们可以免去中间的过程。

如果规定了积分时上限必须大于下限，那么在积分前就可以直接写 ds=∣dr⃗dt∣dt\mathrm{d}s = \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \mathrm{d}t 而不需要给 dt\mathrm{d}t 添加绝对值；如果不做这个规定，为了准确，就不得不补上绝对值，然后积分时再把 ds=∣dr⃗dt∣∣dt∣\mathrm{d}s = \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \left| \mathrm{d}t \right| 的绝对值去掉。然而，经过我们之前的分析，后者捣鼓半天计算出来的结果却和前者完全相同。可以说，这个规定实际上省去了很多麻烦。

非参数向量定义的曲线的积分

对于显式定义和隐式定义的曲线

C:y=f(x)dydx=f′(x)C:F(x,y)=0dydx=−∂F∂x∂F∂y\begin{align*} & C:y = f(x) & \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f'(x) \\ & C:F(x,y) = 0 & \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y} } \end{align*}

弧长微元可以这样计算

ds=dx2+dy2\mathrm{d}s = \sqrt{\mathrm{d}x^{2} + \mathrm{d}y^{2}}

进一步地

ds=dx2(1+(dydx)2)=1+(dydx)2dx2\mathrm{d}s = \sqrt{\mathrm{d}x^{2} \left( 1 + \left( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right) ^{2} \right) } =\sqrt{ 1 + \left( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right)^{2} }\sqrt{ \mathrm{d}x^{2} }

一些人可能这时候直接就把根号去掉了

ds=1+(dydx)2dx\mathrm{d}s = \sqrt{ 1 + \left( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right)^{2} } \mathrm{d}x

其实这是不准确的。 dx\mathrm{d}x 一定是非负数吗？不一定，所以去掉根号后应该保留绝对值。更准确的写法如下

ds=1+(dydx)2∣dx∣\mathrm{d}s = \sqrt{ 1 + \left( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right)^{2} } \left| \mathrm{d}x \right|

当积分上限大于积分下限时，dx>0\mathrm{d}x > 0；当积分上限小于积分下限时， dx<0\mathrm{d}x < 0。于是，设被积函数为 GG，计算第一类曲线积分

∫CGds=∫abG1+(dydx)2∣dx∣={∫abG1+(dydx)2dxa<b∫baG1+(dydx)2dxa>b\int_{C}^{} G\mathrm{d}s = \int_{a}^{b} G\sqrt{ 1 + \left( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right)^{2} } \left| \mathrm{d}x \right| = \begin{cases} \int_{a}^{b}G\sqrt{ 1 + \left( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right)^{2} }\mathrm{d}x & a < b \\ \int_{b}^{a} G\sqrt{ 1 + \left( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right)^{2} }\mathrm{d}x & a > b \end{cases}

这与参数向量定义的曲线是一致的。

对微元绝对值的解释

在前两节里，我们去除绝对值的操作非常随意，并且出现了在通常的微积分中不会使用的记号 ∣dt∣|\mathrm{d}t|。如果你对上述推导过程感到困惑、怀疑或不满，那么我接下来将讲述这么做的原因。

不过，要理解微元绝对值的本质，首先要回到积分的定义。在此介绍两种主要的定义方式——黎曼和与勒贝格测度。

从黎曼和的角度看

定积分 ∫If(t)dt\int_I f(t)\mathrm{d}t 被定义为黎曼和的极限

∫If(t)dt=lim⁡max⁡Δti→0∑i=1nf(ξi)Δti\int_I f(t)\mathrm{d}t = \lim_{\max\Delta t_i\to0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta t_i

其中 tit_i 构成了被积区间 II 的一个划分，Δti=ti−ti−1\Delta t_i = t_i - t_{i-1} 是小区间的长度，ξi\xi_i 则是小区间内的任意一点。

对于黎曼和，我们将区间按照递增的方向分割，从而使 Δti>0\Delta t_i > 0。当 a<ba < b 时，对区间 I=[a,b]I=[a, b] 按 t0=a<t1<⋯<tn=bt_0=a < t_1 < \dots < t_n=b 进行分割。当 a>ba > b 时，我们对区间 I=[b,a]I=[b, a] 同样按从小到大的方式进行分割。

总之，黎曼积分是对区间定义积分，而非对上下限定义积分。所谓的上下限，即 ∫ab\int_a^b 只是一种简单记法

{∫ab=∫[a,b]a<b∫ab=−∫[b,a]a>b\begin{cases} \int_a^b=\int_{[a, b]} & a < b \\ \int_a^b=-\int_{[b, a]} & a > b \end{cases}

现在再来考虑 ∣dt∣|\mathrm{d}t| 的意义。我们将其对应于 ∣Δti∣|\Delta t_i|，于是弧长积分用黎曼和定义为

∫ab∣dr⃗dt∣∣dt∣=lim⁡max⁡Δti→0∑i=1n∣dr⃗dt(ξi)∣∣Δti∣\int_a^b \left| \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \right| |\mathrm{d}t| = \lim_{\max\Delta t_i\to0} \sum_{i=1}^n \left| \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}(\xi_i) \right| |\Delta t_i|

当然，这不是标准的写法，但我们可以对 ∣Δti∣|\Delta t_i| 稍微解释一下。如果采用对黎曼积分的另一种理解，也就是基于上下限而非区间定义积分，那么只要始终按照从下限到上限的顺序取值，黎曼积分依然满足原有的性质。

因此，当 a<ba < b 时，参数按递增的方向分割，此时 ∣Δti∣=Δti|\Delta t_i| = \Delta t_i，于是有

lim⁡max⁡Δti→0∑i=1n∣dr⃗dt(ξi)∣∣Δti∣=lim⁡max⁡Δti→0∑i=1n∣dr⃗dt(ξi)∣Δti(a<b)\lim_{\max\Delta t_i\to0} \sum_{i=1}^n \left| \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}(\xi_i) \right| |\Delta t_i| = \lim_{\max\Delta t_i\to0} \sum_{i=1}^n \left| \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}(\xi_i) \right| \Delta t_i \quad (a < b)

若 a>ba > b，则参数按递减的方向分割，此时 ∣Δti∣=−Δti|\Delta t_i| = -\Delta t_i，于是有

lim⁡max⁡Δti→0∑i=1n∣dr⃗dt(ξi)∣∣Δti∣=lim⁡max⁡Δti→0∑i=1n−∣dr⃗dt(ξi)∣Δti(a>b)\lim_{\max\Delta t_i\to0} \sum_{i=1}^n \left| \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}(\xi_i) \right| |\Delta t_i| = \lim_{\max\Delta t_i\to0} \sum_{i=1}^n -\left| \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}(\xi_i) \right| \Delta t_i \quad (a > b)

显然这分别对应了前文 ∫ab∣dr⃗dt∣dt\int_a^b \left| \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \right| \mathrm{d}t 和 −∫ab∣dr⃗dt∣dt-\int_a^b \left| \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \right| \mathrm{d}t 两种情况。

从测度论的角度看

在测度论中，积分 ∫abf(t)dt\int_a^b f(t)\mathrm{d}t 是相对于勒贝格测度的，而 dt\mathrm{d}t 表示该测度的微分形式。勒贝格测度本质上是非负的，它度量集合的长度，并且不涉及方向。

当我们写下 ∫abf(t)dt\int_a^b f(t)\mathrm{d}t 时，通常默认 a<ba < b ，积分区间 [a,b][a,b] 的勒贝格测度就是 b−ab-a。但符号 ∫ab\int_a^b 只是一种约定，若 a>ba > b，则其并不对应一个自然的定向测度，其实际被定义为 −∫ba-\int_b^a。

现在回到 ∣dt∣|\mathrm{d}t|。在测度论的框架下这也不是标准写法，但我们可以这样理解：无论参数 tt 从 aa 到 bb 是递增还是递减，我们总是取参数区间 [min⁡(a,b),max⁡(a,b)][\min(a,b),\max(a,b)] 上的勒贝格测度。因此

∫abf(t)∣dt∣=∫min⁡(a,b)max⁡(a,b)f(t)dt\int_a^b f(t)|\mathrm{d}t| = \int_{\min(a,b)}^{\max(a,b)} f(t)\mathrm{d}t

这里右侧的积分是通常的勒贝格积分。换句话说，∣dt∣|\mathrm{d}t| 将参数区间视为一个无定向的集合，积分结果只依赖于该集合的测度，而与参数遍历的方向无关。

于是对于弧长公式

s=∫ab∣dr⃗dt∣∣dt∣s = \int_a^b \left| \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \right| |\mathrm{d}t|

由之前对 ∣dt∣|\mathrm{d}t| 的定义得到

s=∫min⁡(a,b)max⁡(a,b)∣dr⃗dt∣dts = \int_{\min(a,b)}^{\max(a,b)} \left| \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \right| \mathrm{d}t

从而自动满足了积分上限大于积分下限的约定。这正是测度论观点带来的简洁性：弧长本质上是相对于无定向勒贝格测度的积分，参数的方向被完全吸收进测度的非负性中。