本文主要介绍平面曲线和空间曲面上的积分——这些函数在物理中出现得非常频繁，但多数教科书对它们的介绍都非常零碎且不够清晰。

本文的主要内容来自我三年前阅读《托马斯微积分》时做的笔记。后来我通过《可视化微分几何和形式》接触到了流形。现在尝试用相关理论对笔记进行重构。

作为流形的曲线和曲面

参数化表示

平面曲线可以表示为 R→R2\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 向量函数

r⃗(t)=[x(t)y(t)] \vec{r}(t) = \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \end{bmatrix}

若定义基向量 i⃗=(1,0)T,j⃗=(0,1)T\vec{i}=(1,0)^T, \vec{j}=(0,1)^T 则得到

r⃗(t)=x(t)i⃗+y(t)j⃗ \vec{r}(t) = x(t) \vec{i} + y(t) \vec{j}

这就是平面曲线的参数化表示。

该向量函数将一维的自变量映射为二维的值，这表明平面曲线的本质是嵌入二维空间的一维对象。这意味着，在局部，平面曲线其实是直的。

在微分几何中，这种具有局部平坦性质的、嵌入高维空间的低维对象，被称作流形——因此，平面曲线是嵌入 R2\mathbb{R}^2 空间的一维流形。

类似地，空间曲面是二维流形嵌入 R3\mathbb{R}^3 空间

r⃗(u,v)=x(u,v)i⃗+y(u,v)j⃗+z(u,v)k⃗ \vec{r}(u,v) = x(u,v) \vec{i} + y(u,v) \vec{j} + z(u,v) \vec{k}

其中 i⃗=(1,0,0)T,j⃗=(0,1,0)T,k⃗=(0,0,1)T\vec{i}=(1,0,0)^T, \vec{j}=(0,1,0)^T, \vec{k}=(0,0,1)^T

而空间曲线就是一维流形嵌入 R3\mathbb{R}^3 空间

r⃗(t)=x(t)i⃗+y(t)j⃗+z(t)k⃗ \vec{r}(t) = x(t) \vec{i} + y(t) \vec{j} + z(t) \vec{k}

虽然本文不详细讨论空间曲线，但微分几何相关原理同样适用于这种流形。

隐式表示

平面曲线还可以表示为显式函数 y=f(x)y = f(x) 或隐式函数 F(x,y)=0F(x,y) = 0。前者可以轻易地进行参数化，只需令 t=xt=x，从而

r⃗(x)=xi⃗+f(x)j⃗ \vec{r}(x) = x \vec{i} + f(x) \vec{j}

后者则没有通用的参数化方法

  • 如果能够解出 y=f(x)y=f(x) 或 x=g(y)x=g(y)，那么可以复用前者的参数化方法，比如令 t=xt=x 或 t=yt=y
  • 如果曲线比较常用，那么通常都会有标准的参数化方法，比如圆和椭圆可以用三角函数进行参数化，双曲线可以用双曲函数进行参数化

若上述方法都不行，则该曲线可能不存在初等的参数化表达式。但这并不妨碍我们把它看作一个流形——它们是同一个几何对象，只是有的描述方式更加方便。

对于空间曲面也一样。显式曲面 z=f(x,y)z=f(x,y) 可以令 u=x,v=yu=x,v=y，从而参数化为

r⃗(x,y)=xi⃗+yj⃗+f(x,y)k⃗ \vec{r}(x,y) = x \vec{i} + y \vec{j} + f(x,y) \vec{k}

隐式曲面 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 也不存在通用的参数化方法，但常见的曲面大多都有简单的参数化公式。

流形上的向量

平面曲线上的切向量

对于平面曲线 r⃗(t)=x(t)i⃗+y(t)j⃗\vec{r}(t) = x(t) \vec{i} + y(t) \vec{j} ，切向量的方向就是曲线在局部线性增长的方向。而这种线性近似可以通过微分表示

dr⃗(t)=dx(t)i⃗+dy(t)j⃗ \mathrm{d}\vec{r}(t) = \mathrm{d}x(t) \vec{i} + \mathrm{d}y(t) \vec{j}

各分量的微分为

dx(t)=x′(t)dtdy(t)=y′(t)dt \mathrm{d}x(t) = x'(t)\mathrm{d}t \\ \mathrm{d}y(t) = y'(t)\mathrm{d}t \\

代入得到

dr⃗(t)=x′(t)dti⃗+y′(t)dtj⃗ \mathrm{d}\vec{r}(t) = x'(t)\mathrm{d}t \vec{i} + y'(t)\mathrm{d}t \vec{j}

于是可以定义 R→R2\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 函数的导数

dr⃗dt(t)=x′(t)i⃗+y′(t)j⃗ \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}(t) = x'(t) \vec{i} + y'(t) \vec{j}

其方向是曲线的切向，大小是切向上的速度。将其归一化后就得到了单位切向量

T⃗=dr⃗dt∣dr⃗dt∣ \vec{T} = \frac{\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}}{\left| \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right|}

空间曲面上的切向量

空间曲面 r⃗(u,v)\vec{r}(u,v) 上的点可以沿多个方向运动——每个方向都是切向。因此，空间曲面上的切向量并不唯一，在一点处的所有切向量张成了一个切平面 TpT_p。

TpT_p 是一个二维空间，只要找到其中两个线性无关的向量作为基向量，就可以表示该空间中的所有向量。而基向量可以简单地选取

ru=∂r⃗∂urv=∂r⃗∂v \mathbf{r}_u = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \qquad \mathbf{r}_v = \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}

这便是 r⃗(u,v)\vec{r}(u,v) 的偏导数：前者为固定 uu 只变化 vv 时的速度向量，后者为固定 vv 只变化 uu 时的速度向量。只要二者线性无关，其张成的空间便为切空间

Tp=Span⁡{ru,rv} T_p = \operatorname{Span}\{\mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v\}

从而所有位于切平面上的向量，即切向量，都可以表示为 ru\mathbf{r}_u 和 rv\mathbf{r}_v 的线性组合。

平面曲线上的法向量

平面曲线的法向量定义为垂直切向量的向量

N⃗⊥T⃗⇒N⃗⋅T⃗=0 \vec{N} \perp \vec{T} \Rightarrow \vec{N} \cdot \vec{T} = 0

即

NxTx+NyTy=0 N_xT_x + N_yT_y = 0

其值并不唯一。即使限制长度为 11，也存在方向相反的两个单位向量。可以取 Nx=−Ty,Ny=TxN_x=-T_y, N_y=T_x，或者 Nx=Ty,Ny=−TxN_x=T_y, N_y=-T_x，从而得到单位法向量

N⃗right=(Ty,−Tx)TN⃗left=(−Ty,Tx)T \vec{N}_{\mathrm{right}}=(T_y,-T_x)^T \quad \vec{N}_{\mathrm{left}}=(-T_y,T_x)^T

对于闭合曲线围成的区域，通常以逆时针方向作为边界的正方向，此时左法向量指向区域内部，右法向量指向区域外部。在相关的积分中，一般默认使用向外的法向量，即右法向量。

对于显式定义的曲线 y=f(x)y=f(x) ，由其参数化表达式 r⃗(x)=xi⃗+f(x)j⃗\vec{r}(x) = x \vec{i} + f(x) \vec{j} 得到

dr⃗dx=i⃗+f′(x)j⃗ \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}x} = \vec{i} + f'(x) \vec{j}

从而有

N⃗=±f′(x)i⃗−j⃗1+f′(x)2 \vec{N} = \pm \frac{f'(x) \vec{i} - \vec{j}}{\sqrt{1 + f'(x)^2}}

若曲线由 F(x,y)=0F(x,y)=0 定义，则对其进行全微分可得

dF=∂F∂xdx+∂F∂ydy=0 \mathrm{d}F = \frac{\partial F}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial F}{\partial y}\mathrm{d}y = 0

即

(∂F∂xi⃗+∂F∂yj⃗)⋅(dxi⃗+dyj⃗)=0 (\frac{\partial F}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial F}{\partial y}\vec{j}) \cdot (\mathrm{d}x\vec{i} + \mathrm{d}y\vec{j}) = 0

而 dxi⃗+dyj⃗\mathrm{d}x\vec{i} + \mathrm{d}y\vec{j} 恰好和切向量同向。因此把 ∇F=∂F∂xi⃗+∂F∂yj⃗\nabla F = \frac{\partial F}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial F}{\partial y}\vec{j} 归一化后就得到了单位法向量

N⃗=±∇F∣∇F∣ \vec{N} = \pm \frac{\nabla F}{\left| \nabla F\right|}

另外，如果将曲线看作处在 xyxy 平面内，而 xyxy 平面又处在 xyzxyz 空间中。那么取 k⃗\vec{k} 作为 zz 轴的单位向量（遵循右手法则），就可以得到平面曲线上的切向量和右法向量的关系

{T⃗=k⃗×N⃗rightN⃗right=T⃗×k⃗ \begin{cases} \vec{T} = \vec{k} \times \vec{N}_{\mathrm{right}} \\ \vec{N}_{\mathrm{right}} = \vec{T} \times \vec{k} \end{cases}

其中 ×\times 为叉积，也遵循右手法则。

空间曲面上的法向量

空间曲面的法向量定义为垂直切平面的向量

N⃗⊥T⃗⇒N⃗⋅T⃗=0 \vec{N} \perp \vec{T} \Rightarrow \vec{N} \cdot \vec{T} = 0

其中 T⃗\vec{T} 是任意位于切平面的向量。

对于空间曲面 r⃗(u,v)\vec{r}(u,v)，法向量可以通过对两个切向量进行叉积得到。其中切向量最方便的取法就是 ∂r⃗∂u\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} 和 ∂r⃗∂u\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}。从而单位法向量为

N⃗=±∂r⃗∂u×∂r⃗∂v∣∂r⃗∂u×∂r⃗∂v∣ \vec{N} = \pm \frac{\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}}{\left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} \right|}

隐式曲面 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 的单位法向量为

N⃗=±∇F∣∇F∣ \vec{N} = \pm \frac{\nabla F}{\left| \nabla F \right|}

而显式曲面 z=f(x,y)z=f(x,y) 可以改写为 F(x,y,z)=f(x,y)−z=0F(x,y,z)=f(x,y) - z = 0，然后代入 ∇F=fxi⃗+fyj⃗−k⃗\nabla F=f_x\vec{i} + f_y\vec{j} - \vec{k}，从而得到

N⃗=±fxi⃗+fyj⃗−k⃗1+fx2+fy2 \vec{N} = \pm \frac{f_x \vec{i} + f_y \vec{j} - \vec{k}}{\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}}

或者改写为参数式曲面，然后用切向量的叉积求出单位法向量。

空间曲面上的单位法向量同样不唯一，因为方向可以相反。当在闭合曲面围成的区域上进行积分时，通常会选择向外的那个法向量。

测度

R2\mathbb{R}^2 和 R3\mathbb{R}^3 都是典型的欧几里得空间。在欧式空间 Rn\mathbb{R}^n 中，通常使用 ℓ2\ell^2 范数来度量 a,b∈Rn\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n 之间的距离

d(a,b)=∑i=1n(ai−bi)2 d(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (a_i - b_i)^2}

该度量可以表示为内积

d(a,b)2=⟨a−b,a−b⟩ d(\mathbf{a}, \mathbf{b})^2 = \langle \mathbf{a}-\mathbf{b}, \mathbf{a}-\mathbf{b}\rangle

这里的内积就是向量的点积 ⟨a,b⟩=aTb\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle = \mathbf{a}^T \mathbf{b}。

而点到原点的距离，或者说原点到该点的向量长度，可进一步简化为

∥a∥=∑i=1nai2=⟨a,a⟩ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} = \sqrt{\langle \mathbf{a}, \mathbf{a}\rangle}

曲线和曲面作为嵌入欧氏空间的流形，可通过将内积限制在流形上从而继承这种度量。有了度量后，就可以计算在流形上积分时需要的测度——长度微元和面积微元。

平面曲线上的长度微元

对于平面曲线 r⃗(t)=x(t)i⃗+y(t)j⃗\vec{r}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j}，其长度微元表示参数空间（一维直线）上长度为 dt\mathrm{d}t 的线段映射到值空间（二维平面）后的长度。

这种映射在局部近似为线性，可以用微分表示为

dr⃗=[dxdy]=[x′(t)dty′(t)dt]=[x′(t)y′(t)]dt=dr⃗dtdt \mathrm{d}\vec{r} = \begin{bmatrix} \mathrm{d}x \\ \mathrm{d}y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x'(t)\mathrm{d}t \\ y'(t)\mathrm{d}t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{bmatrix} \mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t

该线性映射把参数空间中的一维向量 dt\mathrm{d}t 映射为值空间中的二维向量 dr⃗\mathrm{d}\vec{r}，后者被叫做位移向量。而位移向量的长度可以通过内积直接计算，由此得到平面曲线上的长度微元

ds=∥dr⃗∥=∣dr⃗dt∣dt \mathrm{d}s = \| \mathrm{d}\vec{r} \| = \left| \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \right| \mathrm{d}t

或者将其写为外微分形式

(ds)2=⟨dr⃗,dr⃗⟩=(dx)2+(dy)2 (\mathrm{d}s)^2 = \langle \mathrm{d}\vec{r}, \mathrm{d}\vec{r} \rangle = (\mathrm{d}x)^2 + (\mathrm{d}y)^2

这样更方便计算显式曲线 y=f(x)y=f(x) 长度微元。由微分关系 dy=f′(x)dx\mathrm{d}y = f'(x) \mathrm{d}x 得到

ds=(dx)2+(dy)2=1+f′(x)2dx \mathrm{d}s = \sqrt{(\mathrm{d}x)^2 + (\mathrm{d}y)^2} = \sqrt{1+f'(x)^2} \mathrm{d}x

隐式曲线的推导稍微麻烦点。先求 F(x,y)F(x,y) 的全微分

dF=∂F∂xdx+∂F∂ydy=0 \mathrm{d}F = \frac{\partial F}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial F}{\partial y}\mathrm{d}y = 0

然后有

dy=−∂F∂x∂F∂ydx \mathrm{d}y = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}\mathrm{d}x

最后得到

ds=1+(∂F∂x∂F∂y)2dx \mathrm{d}s = \sqrt{1+\left(\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}\right)^2} \mathrm{d}x

这表示沿着 xx 轴积分的长度微元。沿着 yy 轴积分的长度微元很类似，只是交换了 xx 和 yy 的位置

ds=1+(∂F∂y∂F∂x)2dy \mathrm{d}s = \sqrt{1+\left(\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial x}}\right)^2} \mathrm{d}y

该方法还可以推广到不局限于 xx 轴或 yy 轴的任意直线 LL。首先求 FF 沿 dr⃗\mathrm{d}\vec{r} 方向的全微分

dF=∇F⋅dr⃗=0 \mathrm{d}F = \nabla F \cdot \mathrm{d}\vec{r} = 0

然后把 dr⃗\mathrm{d}\vec{r} 分解到两个正交的方向上

dr⃗=T⃗dL+N⃗dn \mathrm{d}\vec{r} = \vec{T}\mathrm{d}L + \vec{N}\mathrm{d}n

从而

∇F⋅(T⃗dL+N⃗dn)=(∇F⋅T⃗)dL+(∇F⋅N⃗)dn=0 \nabla F \cdot (\vec{T}\mathrm{d}L + \vec{N}\mathrm{d}n) = (\nabla F \cdot \vec{T})\mathrm{d}L + (\nabla F \cdot \vec{N})\mathrm{d}n = 0

于是

dn=−∇F⋅T⃗∇F⋅N⃗dL \mathrm{d}n = -\frac{\nabla F \cdot \vec{T}}{\nabla F \cdot \vec{N}}\mathrm{d}L

最后计算长度微元

(ds)2=∥dr⃗∥2=∥T⃗dL+N⃗dn∥2=(T⃗⋅T⃗)(dL)2+(N⃗⋅N⃗)(dn)2+2(T⃗⋅N⃗)dLdn \begin{align*} (\mathrm{d}s)^2 &= \left\| \mathrm{d}\vec{r} \right\|^2 \\ &= \left\| \vec{T}\mathrm{d}L + \vec{N}\mathrm{d}n \right\|^2 \\ &= (\vec{T}\cdot\vec{T})(\mathrm{d}L)^2 + (\vec{N}\cdot\vec{N})(\mathrm{d}n)^2 + 2(\vec{T} \cdot \vec{N})\mathrm{d}L\mathrm{d}n \end{align*}

由于正交 T⃗⋅N⃗=0\vec{T} \cdot \vec{N} = 0 和单位向量 T⃗⋅T⃗=N⃗⋅N⃗=1\vec{T}\cdot\vec{T} = \vec{N}\cdot\vec{N} = 1，从而得到

(ds)2=(dL)2+(dn)2=(dL)2+(∇F⋅T⃗∇F⋅N⃗)2(dL)2=(∇F⋅N⃗)2+(∇F⋅T⃗)2(∇F⋅N⃗)2(dL)2 \begin{align*} (\mathrm{d}s)^2 &= (\mathrm{d}L)^2 + (\mathrm{d}n)^2 \\ &= (\mathrm{d}L)^2 + \left(\frac{\nabla F \cdot \vec{T}}{\nabla F \cdot \vec{N}} \right)^2(\mathrm{d}L)^2 \\ &= \frac{(\nabla F \cdot \vec{N})^2 + (\nabla F \cdot \vec{T})^2}{(\nabla F \cdot \vec{N})^2} (\mathrm{d}L)^2 \end{align*}

由于 T⃗\vec{T} 和 N⃗\vec{N} 是平面内的标准正交基，所以

∣∇F∣2=(∇F⋅N⃗)2+(∇F⋅T⃗)2 |\nabla F|^2 = (\nabla F \cdot \vec{N})^2 + (\nabla F \cdot \vec{T})^2

从而

(ds)2=∣∇F∣2(∇F⋅N⃗)2(dL)2 (\mathrm{d}s)^2 = \frac{|\nabla F|^2}{(\nabla F \cdot \vec{N})^2} (\mathrm{d}L)^2

两边同时开平方，便得到了沿着 LL 积分的长度微元

ds=∣∇F∣∣∇F⋅N⃗∣dL \mathrm{d}s = \frac{|\nabla F|}{\left|\nabla F \cdot \vec{N}\right|} \mathrm{d}L

其中 N⃗\vec{N} 是直线 LL 的单位法向量。

在几何上，这可以理解为曲线的长度微元 ds\mathrm{d}s 被投影到直线 LL 上，从而投影直线上的长度微元为

dL=ds∣cos⁡θ∣ \mathrm{d}L = \mathrm{d}s|\cos\theta|

这里的 θ\theta 是曲线法向量 n⃗\vec{n} 和投影直线法向量 N⃗\vec{N} 的夹角。而曲线法向量为

n⃗=∇F∣∇F∣ \vec{n} = \frac{\nabla F}{\left| \nabla F \right|}

从而得到

cos⁡θ=n⃗⋅N⃗=∇F⋅N⃗∣∇F∣ \cos\theta = \vec{n} \cdot \vec{N} = \frac{\nabla F\cdot \vec{N}}{\left| \nabla F \right|}

于是

ds=dL∣cos⁡θ∣=∣∇F∣∣∇F⋅N⃗∣dL \mathrm{d}s = \frac{\mathrm{d}L}{|\cos\theta|} = \frac{\left|\nabla F\right|}{\left| \nabla F \cdot \vec{N}\right|} \mathrm{d}L

空间曲面上的面积微元

对于空间曲面 r⃗(u,v)=x(u,v)i⃗+y(u,v)j⃗+z(u,v)k⃗\vec{r}(u,v) = x(u,v) \vec{i} + y(u,v) \vec{j} + z(u,v) \vec{k}，其面积微元表示参数空间（二维平面）上面积为 dudv\mathrm{d}u\mathrm{d}v 的矩形映射到值空间（三维空间）后的面积。

这种映射同样在局部是线性的，用微分表示为

dr⃗=[dxdydz] \mathrm{d}\vec{r} = \begin{bmatrix} \mathrm{d}x \\ \mathrm{d}y \\ \mathrm{d}z \end{bmatrix}

而 dx\mathrm{d}x 可以通过全微分求得

dx=∂x∂udu+∂x∂vdv \mathrm{d}x = \frac{\partial x}{\partial u} \mathrm{d}u + \frac{\partial x}{\partial v} \mathrm{d}v

改为向量形式

dx=[∂x∂u∂x∂v][dudv] \mathrm{d}x = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathrm{d}u \\ \mathrm{d}v \end{bmatrix}

对 dy\mathrm{d}y 和 dz\mathrm{d}z 也进行全微分，从而得到

dr⃗=[dxdydz]=[∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v∂z∂u∂z∂v][dudv] \mathrm{d}\vec{r} = \begin{bmatrix} \mathrm{d}x \\ \mathrm{d}y \\ \mathrm{d}z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathrm{d}u \\ \mathrm{d}v \end{bmatrix}

该映射将参数空间中的二维向量 (du,dv)T(\mathrm{d}u, \mathrm{d}v)^T 映射为值空间的三维向量 dr⃗\mathrm{d}\vec{r}。但我们需要的是面积，而在三维空间中，面积可以通过位移向量的叉积进行计算。

参数空间中由 (du,0)T(\mathrm{d}u, 0)^T 和 (0,dv)T(0, \mathrm{d}v)^T 作为邻边的矩形，其面积为 dudv\mathrm{d}u\mathrm{d}v。而这两邻边映射到值空间后，分别变为 ∂r⃗∂udu=(∂x∂u,∂y∂u,∂z∂u)Tdu\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\mathrm{d}u = (\frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial u})^T\mathrm{d}u 和 ∂r⃗∂vdv=(∂x∂v,∂y∂v,∂z∂v)Tdv\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}\mathrm{d}v = (\frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial v}, \frac{\partial z}{\partial v})^T\mathrm{d}v。这两个位移向量在三维空间中张成了一个平行四边形，其面积可用叉积表示为

∣∂r⃗∂udu×∂r⃗∂vdv∣=∣∂r⃗∂u×∂r⃗∂v∣dudv \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\mathrm{d}u \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}\mathrm{d}v \right| = \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} \right| \mathrm{d}u\mathrm{d}v

从而得到面积微元

dσ=∣∂r⃗∂u×∂r⃗∂v∣dudv \mathrm{d}\sigma = \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} \right| \mathrm{d}u\mathrm{d}v

面积微元同样可以写为外微分的形式。首先设

dru=(dxu,dyu,dzu)Tdrv=(dxv,dyv,dzv)T \mathrm{d}\mathbf{r}_u=(\mathrm{d}x_u,\mathrm{d}y_u,\mathrm{d}z_u)^T \\ \mathrm{d}\mathbf{r}_v=(\mathrm{d}x_v,\mathrm{d}y_v,\mathrm{d}z_v)^T \\

然后将面积微元表示为叉积的长度

(dσ)2=∥dru×drv∥2 (\mathrm{d}\sigma)^2 = \left\| \mathrm{d}\mathbf{r}_u \times \mathrm{d}\mathbf{r}_v \right\|^2

接着计算叉积

dru×drv=∣ijkdxudyudzudxvdyvdzv∣ \mathrm{d}\mathbf{r}_u \times \mathrm{d}\mathbf{r}_v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ \mathrm{d}x_u & \mathrm{d}y_u & \mathrm{d}z_u \\ \mathrm{d}x_v & \mathrm{d}y_v & \mathrm{d}z_v \end{vmatrix}

展开行列式和内积，得到

(dσ)2=(dyudzv−dzudyv)2+(dzudxv−dxudzv)2+(dxudyv−dyudxv)2 (\mathrm{d}\sigma)^2 = (\mathrm{d}y_u\mathrm{d}z_v-\mathrm{d}z_u\mathrm{d}y_v)^2 + (\mathrm{d}z_u\mathrm{d}x_v-\mathrm{d}x_u\mathrm{d}z_v)^2 + (\mathrm{d}x_u\mathrm{d}y_v-\mathrm{d}y_u\mathrm{d}x_v)^2

用楔积表示各分量

dy∧dz=dyudzv−dzudyvdz∧dx=dzudxv−dxudzvdx∧dy=dxudyv−dyudxv \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z = \mathrm{d}y_u\mathrm{d}z_v-\mathrm{d}z_u\mathrm{d}y_v \\ \mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x = \mathrm{d}z_u\mathrm{d}x_v-\mathrm{d}x_u\mathrm{d}z_v \\ \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y = \mathrm{d}x_u\mathrm{d}y_v-\mathrm{d}y_u\mathrm{d}x_v

得到

dσ=(dx∧dy)2+(dy∧dz)2+(dz∧dx)2 \mathrm{d}\sigma = \sqrt{(\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y)^2 + (\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z)^2 + (\mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x)^2}

这样可以方便地推导显式曲面 z=f(x,y)z=f(x,y) 的面积微元。由 dz=fxdx+fydy\mathrm{d}z = f_x\mathrm{d}x+f_y\mathrm{d}y 展开楔积

dy∧dz=dy∧(fxdx+fydy)=fxdxdydz∧dx=(fxdx+fydy)∧dx=fydxdydx∧dy=dxdy \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z = \mathrm{d}y \wedge (f_x\mathrm{d}x+f_y\mathrm{d}y) = f_x\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ \mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x = (f_x\mathrm{d}x+f_y\mathrm{d}y) \wedge \mathrm{d}x = f_y\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y = \mathrm{d}x\mathrm{d}y

代入得到

dσ=1+fx2+fy2dxdy \mathrm{d}\sigma = \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} \mathrm{d}x \mathrm{d}y

而隐式曲线 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 的面积微元，其推导过程和平面曲线的长度微元类似。首先还是计算 FF 沿着 r⃗\vec{r} 的全微分

∇F⋅dr⃗=0 \nabla F \cdot \mathrm{d}\vec{r} = 0

然后把 dr⃗\mathrm{d}\vec{r} 分解到任意平面及其法向量上。其中平面的两个正交基分别为 T1⃗\vec{T_1} 和 T2⃗\vec{T_2}

dr⃗=T⃗1dL1+T⃗2dL2+N⃗dn \mathrm{d}\vec{r} = \vec{T}_1 \mathrm{d}L_1 + \vec{T}_2 \mathrm{d}L_2 + \vec{N} \mathrm{d}n

代入得到

(∇F⋅T⃗1)dL1+(∇F⋅T⃗2)dL2+(∇F⋅N⃗)dn=0 (\nabla F \cdot \vec{T}_1)\mathrm{d}L_1 + (\nabla F \cdot \vec{T}_2)\mathrm{d}L_2 + (\nabla F \cdot \vec{N})\mathrm{d}n = 0

当固定 dL2=0\mathrm{d}L_2=0 时，有

dn1=−∇F⋅T⃗1∇F⋅N⃗dL1 \mathrm{d}n_1 = -\frac{\nabla F \cdot \vec{T}_1}{\nabla F \cdot \vec{N}} \mathrm{d}L_1

由此得到参数沿着 T⃗1\vec{T}_1 变化时曲面上实际的位移向量

dr⃗1=(T⃗1−∇F⋅T⃗1∇F⋅N⃗N⃗)dL1 \mathrm{d}\vec{r}_1 = \left(\vec{T}_1 - \frac{\nabla F \cdot \vec{T}_1}{\nabla F \cdot \vec{N}}\vec{N}\right)\mathrm{d}L_1

同理参数沿 T⃗2\vec{T}_2 变化时曲面上实际的位移向量为

dr⃗2=(T⃗2−∇F⋅T⃗2∇F⋅N⃗N⃗)dL2 \mathrm{d}\vec{r}_2 = \left(\vec{T}_2 - \frac{\nabla F \cdot \vec{T}_2}{\nabla F \cdot \vec{N}}\vec{N}\right)\mathrm{d}L_2

而曲面的面积微元就是位移向量叉积的长度

(dσ)2=∥dr⃗1×dr⃗2∥2 (\mathrm{d}\sigma)^2 = \left\| \mathrm{d}\vec{r}_1 \times \mathrm{d}\vec{r}_2 \right\|^2

计算叉积

dr⃗1×dr⃗2=(T⃗1−∇F⋅T⃗1∇F⋅N⃗N⃗)×(T⃗2−∇F⋅T⃗2∇F⋅N⃗N⃗)dL1dL2=(T⃗1×T⃗2−∇F⋅T⃗1∇F⋅N⃗N⃗×T⃗2−∇F⋅T⃗2∇F⋅N⃗T⃗1×N⃗+∇F⋅T⃗1∇F⋅T⃗2(∇F⋅N⃗)2N⃗×N⃗)dL1dL2 \begin{align*} \mathrm{d}\vec{r}_1 \times \mathrm{d}\vec{r}_2 &= \left(\vec{T}_1 - \frac{\nabla F \cdot \vec{T}_1}{\nabla F \cdot \vec{N}}\vec{N}\right) \times \left(\vec{T}_2 - \frac{\nabla F \cdot \vec{T}_2}{\nabla F \cdot \vec{N}}\vec{N}\right) \mathrm{d}L_1\mathrm{d}L_2 \\ &= \left( \vec{T}_1\times\vec{T}_2 - \frac{\nabla F \cdot \vec{T}_1}{\nabla F \cdot \vec{N}}\vec{N}\times\vec{T}_2 - \frac{\nabla F \cdot \vec{T}_2}{\nabla F \cdot \vec{N}}\vec{T}_1\times\vec{N} + \frac{\nabla F \cdot \vec{T}_1\nabla F \cdot \vec{T}_2}{(\nabla F \cdot \vec{N})^2}\vec{N}\times\vec{N} \right)\mathrm{d}L_1\mathrm{d}L_2 \end{align*}

代入

T⃗1×T⃗2=N⃗N⃗×T⃗2=−T⃗1T⃗1×N⃗=−T⃗2N⃗×N⃗=0⃗dL1dL2=dA \begin{align*} \vec{T}_1\times\vec{T}_2 &= \vec{N} \\ \vec{N}\times\vec{T}_2 &= -\vec{T}_1 \\ \vec{T}_1\times\vec{N} &= -\vec{T}_2 \\ \vec{N}\times\vec{N} &= \vec{0} \\ \mathrm{d}L_1\mathrm{d}L_2 &= \mathrm{d}A \end{align*}

得到

dr⃗1×dr⃗2=(N⃗+∇F⋅T⃗1∇F⋅N⃗T⃗1+∇F⋅T⃗2∇F⋅N⃗T⃗2)dA \mathrm{d}\vec{r}_1 \times \mathrm{d}\vec{r}_2 = \left( \vec{N} + \frac{\nabla F \cdot \vec{T}_1}{\nabla F \cdot \vec{N}}\vec{T}_1 + \frac{\nabla F \cdot \vec{T}_2}{\nabla F \cdot \vec{N}}\vec{T}_2 \right)\mathrm{d}A

计算长度

∥dr⃗1×dr⃗2∥2=[1+(∇F⋅T⃗1∇F⋅N⃗)2+(∇F⋅T⃗2∇F⋅N⃗)2](dA)2=(∇F⋅N⃗)2+(∇F⋅T⃗1)2+(∇F⋅T⃗2)2(∇F⋅N⃗)2(dA)2 \begin{align*} \left\| \mathrm{d}\vec{r}_1 \times \mathrm{d}\vec{r}_2 \right\|^2 &= \left[ 1 + \left(\frac{\nabla F \cdot \vec{T}_1}{\nabla F \cdot \vec{N}}\right)^2 + \left(\frac{\nabla F \cdot \vec{T}_2}{\nabla F \cdot \vec{N}}\right)^2 \right] (\mathrm{d}A)^2 \\ &= \frac{(\nabla F \cdot \vec{N})^2 + (\nabla F \cdot \vec{T}_1)^2 + (\nabla F \cdot \vec{T}_2)^2}{(\nabla F \cdot \vec{N})^2} (\mathrm{d}A)^2 \end{align*}

由于 T⃗1,T⃗2,N⃗\vec{T}_1,\vec{T}_2,\vec{N} 组成了三维空间的标准正交基，故

∣∇F∣2=(∇F⋅N⃗)2+(∇F⋅T⃗1)2+(∇F⋅T⃗2)2 \left| \nabla F \right|^2 = (\nabla F \cdot \vec{N})^2 + (\nabla F \cdot \vec{T}_1)^2 + (\nabla F \cdot \vec{T}_2)^2

从而得到

dσ=∣∇F∣∣∇F⋅N⃗∣dA \mathrm{d}\sigma = \frac{\left|\nabla F\right|}{\left| \nabla F \cdot \vec{N}\right|} \mathrm{d}A

其中 N⃗\vec{N} 是平面 AA 的单位法向量。

在几何上，这可以理解为曲面的面积微元 dσ\mathrm{d}\sigma 被投影到平面 AA 上，从而投影平面上的面积微元为

dA=dσ∣cos⁡θ∣ \mathrm{d}A = \mathrm{d}\sigma |\cos\theta|

这里的 θ\theta 是曲面法向量 n⃗\vec{n} 和投影平面法向量 N⃗\vec{N} 的夹角。而曲面法向量为

n⃗=∇F∣∇F∣ \vec{n} = \frac{\nabla F}{\left| \nabla F \right|}

从而得到

cos⁡θ=n⃗⋅N⃗=∇F⋅N⃗∣∇F∣ \cos\theta = \vec{n} \cdot \vec{N} = \frac{\nabla F\cdot \vec{N}}{\left| \nabla F \right|}

于是

dσ=dA∣cos⁡θ∣=∣∇F∣∣∇F⋅N⃗∣dA \mathrm{d}\sigma = \frac{\mathrm{d}A}{|\cos\theta|} = \frac{\left|\nabla F\right|}{\left| \nabla F \cdot \vec{N}\right|} \mathrm{d}A

第一类积分：对测度积分

第一类积分是对标量密度积分。由于被积测度为方向无关的长度 ds\mathrm{d}s 或面积 dσ\mathrm{d}\sigma，因此第一类积分不依赖方向——沿着任意参数空间，积分结果都不变。

第一类曲线积分

给定标量函数 f:R2→Rf:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}，它在曲线 CC 上的积分为

∫Cf(x,y)ds \int_C f(x,y) \mathrm{d}s

曲线 CC 的参数化表示为

C:r⃗(t)=x(t)i⃗+y(t)j⃗t∈[a,b] C: \vec{r}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} \qquad t \in [a, b]

该 R→R2\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 映射把 f(x,y)f(x,y) 拉回到参数区间 t∈[a,b]t \in [a, b] 上

∫Cf(x,y)ds=∫abf(r⃗(t))∣dr⃗dt∣dt \int_C f(x,y) \mathrm{d}s = \int_a^b f(\vec{r}(t)) \left| \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \right| \mathrm{d}t

第一类曲面积分

给定标量函数 f:R3→Rf:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}，它在曲面 SS 上的积分为

∬Sf(x,y,z)dσ \iint_S f(x,y,z) \mathrm{d}\sigma

曲线 SS 的参数化表示为

S:r⃗(u,v)=x(u,v)i⃗+y(u,v)j⃗+z(u,v)k⃗(u,v)∈[a,b]×[c,d] S: \vec{r}(u,v) = x(u,v)\vec{i} + y(u,v)\vec{j} + z(u,v)\vec{k} \qquad (u,v) \in [a, b]\times[c, d]

该 R2→∈R3\mathbb{R}^2 \to \in \mathbb{R}^3 映射把 f(x,y,z)f(x,y,z) 拉回到参数区间 (u,v)∈[a,b]×[c,d](u,v) \in [a, b]\times[c, d] 上

∬Sf(x,y,z)dσ=∫cd∫abf(r⃗(u,v))∣∂r⃗∂u×∂r⃗∂v∣dudv \iint_S f(x,y,z) \mathrm{d}\sigma = \int_c^d\int_a^b f(\vec{r}(u,v)) \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} \right| \mathrm{d}u\mathrm{d}v

微分形式

微分形式是用来测量有向几何尺寸的映射，其作用在张量上

  • 一形式作用在一阶张量，也就是向量上，得到有向长度
  • 二形式作用在二阶张量，也就是矩阵上，得到有向面积

在欧几里得空间中，向量场和微分形式之间可以通过内积互相对应。

一形式

一形式 φ\boldsymbol{\varphi} 是一个 Rn→R\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} 线性映射，即对于向量 v∈Rn\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n 和标量 a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} 满足

φ(av1+bv2)=aφ(v1)+bφ(v2) \boldsymbol{\varphi}(a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2) = a\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{v}_1) + b\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{v}_2)

而一形式本身也是线性的

(aφ1+bφ2)(v)=aφ1(v)+bφ2(v) (a\boldsymbol{\varphi}_1 + b\boldsymbol{\varphi}_2)(\mathbf{v}) = a\boldsymbol{\varphi}_1(\mathbf{v}) + b\boldsymbol{\varphi}_2(\mathbf{v})

于是一形式对于加法和标量乘法封闭，构成了一个线性空间。其作用的向量，也构成一个线性空间。若将前者叫做一形式空间，后者叫做向量空间，则一形式空间和向量空间互为对偶空间。

为理解这种对称性，可以将 v\mathbf{v} 看作把一形式 φ\boldsymbol{\varphi} 映射为标量的映射，其定义如下

v(φ)≡φ(v) \mathbf{v}(\boldsymbol{\varphi}) \equiv \boldsymbol{\varphi}(\mathbf{v})

从而

v(aφ1+bφ2)=(aφ1+bφ2)(v)=aφ1(v)+bφ2(v) \mathbf{v}(a\boldsymbol{\varphi}_1 + b\boldsymbol{\varphi}_2) = (a\boldsymbol{\varphi}_1 + b\boldsymbol{\varphi}_2)(\mathbf{v}) = a\boldsymbol{\varphi}_1(\mathbf{v}) + b\boldsymbol{\varphi}_2(\mathbf{v})

因此可以将 v(φ)\mathbf{v}(\boldsymbol{\varphi}) 和 φ(v)\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{v}) 用内积符号表示为 ⟨φ,v⟩\langle \boldsymbol{\varphi}, \mathbf{v} \rangle，这种记法更强调对称性。

如果考虑复数，也可以用狄拉克符号将一形式表示为 ⟨φ∣v⟩\langle \boldsymbol{\varphi} \mid \mathbf{v} \rangle，这种记法更强调非对称性。其中左矢 ⟨φ∣\langle \boldsymbol{\varphi} \mid 是一形式，右矢 ∣v⟩\mid \mathbf{v} \rangle 是其作用的向量，而前者是后者的共轭转置——在这个意义上，也可以将一形式看作行向量。

由于一形式构成了线性空间，因此可以取一组基，并将所有一形式表示为这些基的线性组合。

对于向量空间 TpT_p，设其基为 {e1,e2,⋯ ,en}\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \cdots, \mathbf{e}_n\}，使用爱因斯坦求和约定将其中的向量表示为

v=vjej \mathbf{v} = v^j\mathbf{e}_j

于是其对偶空间 Tp∗T_p^* 的基 {ω1,ω2,⋯ ,ωn}\{ \boldsymbol{\omega}^1, \boldsymbol{\omega}^2, \cdots, \boldsymbol{\omega}^n \} 为

ωi(v)=vi \boldsymbol{\omega}^i(\mathbf{v}) = v^i

进一步地

ωi(vjej)=vivjωi(ej)=vi \begin{align*} \boldsymbol{\omega}^i(v^j\mathbf{e}_j) &= v^i \\ v^j\boldsymbol{\omega}^i(\mathbf{e}_j) &= v^i \end{align*}

联立后可解得

ωi(ej)=δji \boldsymbol{\omega}^i(\mathbf{e}_j) = \delta_j^i

其中 δji\delta_j^i 为克罗内克符号

δji≡{1i=j0i≠j \delta_j^i \equiv \begin{cases} 1 & i = j\\ 0 & i \ne j \end{cases}

这便是对偶基的标准定义。

令一般的一形式 φ\boldsymbol{\varphi} 作用于 v\mathbf{v}

φ(v)=φ(vjej)=vjφ(ej)=ωj(v)φ(ej) \boldsymbol{\varphi}(\mathbf{v}) = \boldsymbol{\varphi}(v^j\mathbf{e}_j) = v^j\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{e}_j) = \boldsymbol{\omega}^j(\mathbf{v})\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{e}_j)

定义 φ\boldsymbol{\varphi} 的分量为 φj=φ(ej)\varphi_j = \boldsymbol{\varphi}(\mathbf{e}_j)，从而得到

φ=φjωj \boldsymbol{\varphi} = \varphi_j\boldsymbol{\omega}^j

梯度

虽然习惯将梯度看作一个向量，但其实将其视为一个一形式更加自然。

grad⁡f=∇f \operatorname{grad}f = \nabla f

旋度与散度

旋度

curl⁡F⃗=∇×F⃗ \operatorname{curl}\vec{F} = \nabla \times \vec{F}

环量密度 == 旋度 ⋅\cdot 旋转轴单位向量

散度

div⁡F⃗=∇⋅F⃗ \operatorname{div}\vec{F} = \nabla \cdot \vec{F}

通量密度 == 散度

平面曲线中的一形式

对于平面曲线中的一形式，其基可以选为坐标函数 x,yx,y。它们是基 i⃗,j⃗\vec{i},\vec{j} 的对偶，可作用在位移向量 dr⃗\mathrm{d}\vec{r} 上，取出其在 i⃗\vec{i} 和 j⃗\vec{j} 方向上的分量 dx,dy\mathrm{d}x,\mathrm{d}y。

给定平面向量场

F⃗(x,y)=P(x,y)i⃗+Q(x,y)j⃗ \vec{F}(x,y)=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j}

它的一形式为

ω=Pdx+Qdy \omega = P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y

若曲线 CC 的参数化为

r⃗(t)=x(t)i⃗+y(t)j⃗ \vec{r}(t)=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}

那么沿曲线有

dr⃗=dr⃗dtdt=T⃗ds \mathrm{d}\vec{r}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t = \vec{T}\mathrm{d}s

于是

F⃗⋅T⃗ds=F⃗⋅dr⃗=Pdx+Qdy \vec{F}\cdot\vec{T}\mathrm{d}s = \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r} = P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y

这说明沿曲线的第二类积分其实就是对一形式积分

∫CF⃗⋅T⃗ds=∫CPdx+Qdy \int_C \vec{F}\cdot\vec{T}\mathrm{d}s = \int_C P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y

将其拉回到参数区间 t∈[a,b]t\in[a,b]，得到

∫CPdx+Qdy=∫ab(P(r⃗(t))x′(t)+Q(r⃗(t))y′(t))dt \int_C P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y = \int_a^b \left(P(\vec{r}(t))x'(t)+Q(\vec{r}(t))y'(t)\right)\mathrm{d}t

如果改变曲线方向，dr⃗\mathrm{d}\vec{r} 变号，所以积分也会变号。这也是第二类曲线积分和第一类曲线积分最明显的区别。

空间中的沿曲线积分完全类似。若

F⃗(x,y,z)=Pi⃗+Qj⃗+Rk⃗ \vec{F}(x,y,z)=P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k}

则对应的一形式为

ω=Pdx+Qdy+Rdz \omega=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z

从而

∫CF⃗⋅T⃗ds=∫CPdx+Qdy+Rdz \int_C \vec{F}\cdot\vec{T}\mathrm{d}s =\int_C P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z

二形式

一形式测量有向线段，而二形式测量有向面积。

在三维空间中，最基本的二形式为

dy∧dz,dz∧dx,dx∧dy \mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z, \qquad \mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x, \qquad \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y

其中 ∧\wedge 称为楔积。它满足反对称性

dx∧dy=−dy∧dx \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y=-\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}x

这表明二形式天然携带方向：交换两个方向后，有向面积的符号就会反过来。

给定三维向量场

F⃗(x,y,z)=Pi⃗+Qj⃗+Rk⃗ \vec{F}(x,y,z)=P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k}

它对应的通量二形式为

η=Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy \eta = P\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z +Q\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x +R\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y

设曲面 SS 的参数化为

r⃗(u,v)=x(u,v)i⃗+y(u,v)j⃗+z(u,v)k⃗ \vec{r}(u,v)=x(u,v)\vec{i}+y(u,v)\vec{j}+z(u,v)\vec{k}

并选择由参数顺序 (u,v)(u,v) 决定的法向量

N⃗dσ=∂r⃗∂u×∂r⃗∂vdudv \vec{N}\mathrm{d}\sigma =\frac{\partial\vec{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\vec{r}}{\partial v}\mathrm{d}u\mathrm{d}v

由于

∂r⃗∂u×∂r⃗∂v=[∂(y,z)∂(u,v)∂(z,x)∂(u,v)∂(x,y)∂(u,v)] \frac{\partial\vec{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\vec{r}}{\partial v} =\begin{bmatrix} \frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} \\ \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)} \\ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \end{bmatrix}

其中

∂(y,z)∂(u,v)dudv=dy∧dz \frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}\mathrm{d}u\mathrm{d}v =\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z

其余两项也类似，所以有

F⃗⋅N⃗dσ=Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy \vec{F}\cdot\vec{N}\mathrm{d}\sigma = P\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z +Q\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x +R\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y

因此过曲面的第二类积分就是对二形式积分

∬SF⃗⋅N⃗dσ=∬SPdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy \iint_S \vec{F}\cdot\vec{N}\mathrm{d}\sigma =\iint_S P\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z +Q\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x +R\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y

若改变曲面的取向，N⃗\vec{N} 变为 −N⃗-\vec{N}，二形式积分的值也会变号。

外微分

微分形式上有一个非常重要的运算，称为外微分，记作 d\mathrm{d}。它会把 kk 形式变成 k+1k+1 形式。

对于标量函数 f(x,y,z)f(x,y,z)，也可以把它看作零形式。它的外微分为

df=∂f∂xdx+∂f∂ydy+∂f∂zdz \mathrm{d}f =\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x +\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y +\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{d}z

这正好对应梯度

grad⁡f=∇f \operatorname{grad} f = \nabla f

也就是说，梯度可以理解为零形式的外微分。

对于平面中的一形式

ω=Pdx+Qdy \omega=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y

外微分为

dω=dP∧dx+dQ∧dy=(∂Q∂x−∂P∂y)dx∧dy \begin{align*} \mathrm{d}\omega &=\mathrm{d}P\wedge\mathrm{d}x+\mathrm{d}Q\wedge\mathrm{d}y \\ &=\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y \end{align*}

其中系数

∂Q∂x−∂P∂y \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}

就是平面向量场的旋度在 zz 方向上的分量

(∇×F⃗)⋅k⃗ (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{k}

因此，旋度可以理解为一形式外微分之后得到的面积密度。它描述的是向量场沿着某个微小边界产生环量的强度。

对于三维中的一形式

ω=Pdx+Qdy+Rdz \omega=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z

外微分为

dω=(∂R∂y−∂Q∂z)dy∧dz+(∂P∂z−∂R∂x)dz∧dx+(∂Q∂x−∂P∂y)dx∧dy \begin{align*} \mathrm{d}\omega &=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z \\ &\quad +\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x \\ &\quad +\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y \end{align*}

这正好是 ∇×F⃗\nabla\times\vec{F} 对应的通量二形式，所以

curl⁡F⃗=∇×F⃗ \operatorname{curl}\vec{F}=\nabla\times\vec{F}

也可以理解为外微分把“沿曲线测量环量的一形式”变成了“穿过曲面测量环量密度的二形式”。

对于通量二形式

η=Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy \eta=P\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z +Q\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x +R\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y

外微分为

dη=(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dx∧dy∧dz \mathrm{d}\eta =\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z

其中系数就是散度

div⁡F⃗=∇⋅F⃗ \operatorname{div}\vec{F}=\nabla\cdot\vec{F}

所以散度可以理解为通量二形式外微分之后得到的体积密度。它描述的是向量场在某个微小体积内产生净流出的强度。

总结起来就是

零形式→d一形式f↦df⟺grad⁡f=∇f \begin{array}{ccl} \text{零形式} & \xrightarrow{\mathrm{d}} & \text{一形式} \\ f & \mapsto & \mathrm{d}f \end{array} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \operatorname{grad} f=\nabla f
一形式→d二形式F⃗⋅dr⃗↦(∇×F⃗)⋅N⃗dσ \begin{array}{ccl} \text{一形式} & \xrightarrow{\mathrm{d}} & \text{二形式} \\ \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r} & \mapsto & (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{N}\mathrm{d}\sigma \end{array}
二形式→d三形式F⃗⋅N⃗dσ↦(∇⋅F⃗)dV \begin{array}{ccl} \text{二形式} & \xrightarrow{\mathrm{d}} & \text{三形式} \\ \vec{F}\cdot\vec{N}\mathrm{d}\sigma & \mapsto & (\nabla\cdot\vec{F})\mathrm{d}V \end{array}

外微分还有一个重要性质

d2=0 \mathrm{d}^2=0

也就是说，对任意微分形式连续做两次外微分，结果都为零。翻译成向量分析语言，就是两个常见恒等式

∇×(∇f)=0⃗ \nabla\times(\nabla f)=\vec{0}

以及

∇⋅(∇×F⃗)=0 \nabla\cdot(\nabla\times\vec{F})=0

这说明“梯度场无旋”和“旋度场无散”并不是两个孤立的公式，而是同一个代数事实 d2=0\mathrm{d}^2=0 的不同表现。

第二类积分：对微分形式积分

第二类积分是对微分形式积分，而微分形式作用于方向相关的对象。因此，第二类积分是方向相关的。

对于沿流形积分，方向就是所选单位切向量的方向；对于过流形积分，方向就是所选单位法向量的方向。

第二类曲线积分

第二类曲线积分可以分为两种常见情形：一种是沿曲线方向的积分，另一种是穿过曲线方向的积分。

沿曲线积分

设平面向量场为

F⃗(x,y)=P(x,y)i⃗+Q(x,y)j⃗ \vec{F}(x,y)=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j}

曲线 CC 的单位切向量为 T⃗\vec{T}。沿曲线方向的第二类曲线积分定义为

I=∫CF⃗⋅T⃗ds I=\int_C \vec{F}\cdot\vec{T}\mathrm{d}s

因为

T⃗ds=dr⃗=dxi⃗+dyj⃗ \vec{T}\mathrm{d}s=\mathrm{d}\vec{r}=\mathrm{d}x\vec{i}+\mathrm{d}y\vec{j}

所以该积分可以写成

I=∫CPdx+Qdy I=\int_C P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y

若曲线参数化为

r⃗(t)=x(t)i⃗+y(t)j⃗,t∈[a,b] \vec{r}(t)=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j},\qquad t\in[a,b]

则

I=∫ab(P(x(t),y(t))x′(t)+Q(x(t),y(t))y′(t))dt I=\int_a^b \left(P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)\right)\mathrm{d}t

如果 CC 是闭合曲线，则该积分称为环量

Circ⁡C(F⃗)=∮CF⃗⋅T⃗ds=∮CPdx+Qdy \operatorname{Circ}_C(\vec{F}) =\oint_C \vec{F}\cdot\vec{T}\mathrm{d}s =\oint_C P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y

环量描述的是向量场沿闭合曲线整体“绕行”的强度。

过曲线积分

在平面中，曲线还可以把区域分成两侧。因此除了沿曲线方向测量向量场，也可以测量向量场穿过曲线的强度。

设曲线 CC 的单位右法向量为

N⃗right=(Ty,−Tx)T \vec{N}_{\mathrm{right}}=(T_y,-T_x)^T

则过曲线的第二类曲线积分定义为

I=∫CF⃗⋅N⃗rightds I=\int_C \vec{F}\cdot\vec{N}_{\mathrm{right}}\mathrm{d}s

因为

T⃗ds=(dx,dy)T \vec{T}\mathrm{d}s=(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)^T

所以

N⃗rightds=(dy,−dx)T \vec{N}_{\mathrm{right}}\mathrm{d}s=(\mathrm{d}y,-\mathrm{d}x)^T

从而

F⃗⋅N⃗rightds=Pdy−Qdx \vec{F}\cdot\vec{N}_{\mathrm{right}}\mathrm{d}s = P\mathrm{d}y-Q\mathrm{d}x

因此过曲线积分可以写为

I=∫CPdy−Qdx I=\int_C P\mathrm{d}y-Q\mathrm{d}x

若 CC 是闭合曲线，则该积分称为通量

Flux⁡C(F⃗)=∮CF⃗⋅N⃗rightds=∮CPdy−Qdx \operatorname{Flux}_C(\vec{F}) =\oint_C \vec{F}\cdot\vec{N}_{\mathrm{right}}\mathrm{d}s =\oint_C P\mathrm{d}y-Q\mathrm{d}x

当 CC 取逆时针方向时，区域位于行进方向左侧，此时右法向量指向区域外部。因此在闭合曲线上，通常用逆时针方向配合右法向量来表示向外通量。

格林定理

设 RR 是平面区域，边界为 C=∂RC=\partial R，并取逆时针方向作为 CC 的正方向。

对于沿曲线积分，格林定理说

∮CPdx+Qdy=∬R(∂Q∂x−∂P∂y)dA \oint_C P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y =\iint_R \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}A

也就是

∮CF⃗⋅T⃗ds=∬R(∇×F⃗)⋅k⃗dA \oint_C \vec{F}\cdot\vec{T}\mathrm{d}s =\iint_R (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{k}\mathrm{d}A

左边是边界上的总环量，右边是区域内部环量密度的累加。

对于过曲线积分，格林定理也可以写成

∮CPdy−Qdx=∬R(∂P∂x+∂Q∂y)dA \oint_C P\mathrm{d}y-Q\mathrm{d}x =\iint_R \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right)\mathrm{d}A

也就是

∮CF⃗⋅N⃗rightds=∬R∇⋅F⃗dA \oint_C \vec{F}\cdot\vec{N}_{\mathrm{right}}\mathrm{d}s =\iint_R \nabla\cdot\vec{F}\mathrm{d}A

左边是边界上的总通量，右边是区域内部通量密度的累加。

这两个公式表面上看是两个不同版本的格林定理，但用微分形式看，它们其实都是

∫∂Rω=∬Rdω \int_{\partial R}\omega = \iint_R \mathrm{d}\omega

其中沿曲线积分取

ω=Pdx+Qdy \omega=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y

过曲线积分取

ω=Pdy−Qdx \omega=P\mathrm{d}y-Q\mathrm{d}x

保守场

沿曲线积分有一个特殊情形：如果向量场可以写成某个标量函数的梯度

F⃗=∇f \vec{F}=\nabla f

则称 F⃗\vec{F} 为保守场，ff 称为势函数。

在微分形式语言中，这意味着

Pdx+Qdy=df P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\mathrm{d}f

于是沿任意曲线 CC 从点 AA 到点 BB 的积分为

∫CF⃗⋅T⃗ds=∫Cdf=f(B)−f(A) \int_C \vec{F}\cdot\vec{T}\mathrm{d}s =\int_C \mathrm{d}f = f(B)-f(A)

这就是沿曲线积分的基本定理。它说明在保守场中，沿曲线积分只与起点和终点有关，与路径无关。

如果 CC 是闭合曲线，那么起点和终点相同，所以

∮CF⃗⋅T⃗ds=0 \oint_C \vec{F}\cdot\vec{T}\mathrm{d}s=0

此外，由于

d2f=0 \mathrm{d}^2f=0

所以保守场必然无旋

∇×F⃗=0⃗ \nabla\times\vec{F}=\vec{0}

反过来，如果定义域没有洞，比如是单连通区域，那么无旋也可以推出保守。于是保守场的常见判别可以概括为

F⃗=∇f⟺∫ABF⃗⋅T⃗ds 与路径无关⟺∮CF⃗⋅T⃗ds=0⟺∇×F⃗=0⃗ \vec{F}=\nabla f \quad\Longleftrightarrow\quad \int_A^B \vec{F}\cdot\vec{T}\mathrm{d}s \text{ 与路径无关} \quad\Longleftrightarrow\quad \oint_C \vec{F}\cdot\vec{T}\mathrm{d}s=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \nabla\times\vec{F}=\vec{0}

这里最后一个等价关系需要区域单连通；若区域有洞，无旋场未必一定存在全局势函数。

第二类曲面积分

曲面积分中最常见的第二类积分是通量积分。

设三维向量场为

F⃗(x,y,z)=Pi⃗+Qj⃗+Rk⃗ \vec{F}(x,y,z)=P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k}

曲面 SS 选定单位法向量 N⃗\vec{N} 后，过曲面的第二类曲面积分定义为

I=∬SF⃗⋅N⃗dσ I=\iint_S \vec{F}\cdot\vec{N}\mathrm{d}\sigma

它表示向量场穿过曲面 SS 的总通量。

若曲面参数化为

r⃗(u,v)=x(u,v)i⃗+y(u,v)j⃗+z(u,v)k⃗(u,v)∈D \vec{r}(u,v)=x(u,v)\vec{i}+y(u,v)\vec{j}+z(u,v)\vec{k} \qquad (u,v)\in D

并且取

N⃗dσ=∂r⃗∂u×∂r⃗∂vdudv \vec{N}\mathrm{d}\sigma =\frac{\partial\vec{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\vec{r}}{\partial v}\mathrm{d}u\mathrm{d}v

则通量积分可以拉回到参数区域 DD 上

∬SF⃗⋅N⃗dσ=∬DF⃗(r⃗(u,v))⋅(∂r⃗∂u×∂r⃗∂v)dudv \iint_S \vec{F}\cdot\vec{N}\mathrm{d}\sigma =\iint_D \vec{F}(\vec{r}(u,v))\cdot \left(\frac{\partial\vec{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\vec{r}}{\partial v}\right) \mathrm{d}u\mathrm{d}v

也可以用二形式表示为

∬SF⃗⋅N⃗dσ=∬SPdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy \iint_S \vec{F}\cdot\vec{N}\mathrm{d}\sigma =\iint_S P\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z +Q\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x +R\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y

若 SS 是闭合曲面，则该积分称为闭合曲面的通量

Flux⁡S(F⃗)=∯SF⃗⋅N⃗dσ \operatorname{Flux}_S(\vec{F}) =\oiint_S \vec{F}\cdot\vec{N}\mathrm{d}\sigma

闭合曲面通常取外法向量作为正方向。

斯托克斯定理

格林定理讨论的是平面区域与其边界之间的关系。斯托克斯定理则将它推广到空间曲面。

设 SS 是带边界的有向曲面，边界为

C=∂S C=\partial S

若 SS 的单位法向量为 N⃗\vec{N}，则边界 CC 的正方向由右手法则决定：右手拇指指向 N⃗\vec{N}，四指弯曲的方向就是 CC 的正方向。

斯托克斯定理说

∮CF⃗⋅T⃗ds=∬S(∇×F⃗)⋅N⃗dσ \oint_C \vec{F}\cdot\vec{T}\mathrm{d}s =\iint_S (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{N}\mathrm{d}\sigma

左边是曲面边界上的总环量，右边是曲面内部旋度通量的累加。

在微分形式语言中，若

ω=Pdx+Qdy+Rdz \omega=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z

则

dω=(∇×F⃗)⋅N⃗dσ \mathrm{d}\omega = (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{N}\mathrm{d}\sigma

所以斯托克斯定理可以写成

∫∂Sω=∬Sdω \int_{\partial S}\omega=\iint_S \mathrm{d}\omega

当 SS 恰好是 xyxy 平面中的区域时，N⃗=k⃗\vec{N}=\vec{k}，斯托克斯定理就退化为格林定理的环量形式。

高斯定理

高斯定理讨论的是三维区域和其边界曲面之间的关系。

设 DD 是三维空间中的有界区域，边界为

S=∂D S=\partial D

并取 SS 的外法向量为正方向。对于向量场

F⃗=Pi⃗+Qj⃗+Rk⃗ \vec{F}=P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k}

高斯定理说

∯SF⃗⋅N⃗dσ=∭D∇⋅F⃗dV \oiint_S \vec{F}\cdot\vec{N}\mathrm{d}\sigma =\iiint_D \nabla\cdot\vec{F}\mathrm{d}V

左边是闭合曲面上的总通量，右边是区域内部散度的累加。

从物理直觉看，散度表示单位体积内净流出的强度。于是对整个区域积分后，就得到了穿过边界曲面的总净流出量。

用微分形式表示，通量二形式为

η=Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy \eta=P\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z +Q\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x +R\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y

其外微分为

dη=(∇⋅F⃗)dx∧dy∧dz \mathrm{d}\eta=(\nabla\cdot\vec{F})\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z

因此高斯定理可以写成

∫∂Dη=∭Ddη \int_{\partial D}\eta=\iiint_D \mathrm{d}\eta

广义斯托克斯公式

格林定理、斯托克斯定理和高斯定理看起来分别对应平面区域、空间曲面和空间区域，但它们的结构完全一致：边界上的积分等于内部外微分的积分。

这就是广义斯托克斯公式

∫∂Mω=∫Mdω \int_{\partial M}\omega=\int_M \mathrm{d}\omega

其中 MM 是有向流形，∂M\partial M 是它的边界，ω\omega 是定义在边界上可积分的微分形式。

不同维度下，它对应不同的经典定理：

Mωdω对应定理区间fdf微积分基本定理平面区域Pdx+Qdy(Qx−Py)dx∧dy格林定理空间曲面Pdx+Qdy+Rdzcurl⁡F⃗ 对应的二形式斯托克斯定理空间区域Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy(∇⋅F⃗)dV高斯定理 \begin{array}{c|c|c|c} M & \omega & \mathrm{d}\omega & \text{对应定理} \\ \hline \text{区间} & f & \mathrm{d}f & \text{微积分基本定理} \\ \text{平面区域} & P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y & \left(Q_x-P_y\right)\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y & \text{格林定理} \\ \text{空间曲面} & P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z & \operatorname{curl}\vec{F}\text{ 对应的二形式} & \text{斯托克斯定理} \\ \text{空间区域} & P\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y & (\nabla\cdot\vec{F})\mathrm{d}V & \text{高斯定理} \end{array}

这样看，向量分析中的三个积分定理并不是互不相关的技巧，而是同一个定理在不同维度、不同微分形式上的表现。

回到本文开头的观点：曲线和曲面都是嵌入欧氏空间的流形。第一类积分是在这些流形上对测度积分，第二类积分是在这些流形上对微分形式积分。而微分形式的外微分，则把边界上的积分和内部的密度积分联系起来。