从微分形式到向量分析

在前一篇笔记《黎曼度量》中，我们介绍了黎曼度量。欧氏空间中存在标准欧式度量——这可以看作一种特殊的黎曼度量。利用这一度量，我们可以用微分形式的语言重新定义经典向量分析中的各种概念，包括点积、叉积、梯度、密度、散度、旋度。

对于每个概念，我们先介绍经典向量分析中的几何含义，随后再给出微分形式的表示方式。

点积

向量分析语言的点积

在向量分析中，点积定义为向量的各分量相乘后求和

a⃗⋅b⃗=∑iaibi \vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_i a_ib_i

点积的结果是一个数。在几何上，点积表示其中一个向量投影到另一个向量上的长度，因此值和两个向量的夹角 θ\theta 有关

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ \vec{a} \cdot \vec{b} = \lvert\vec{a}\rvert \lvert\vec{b}\rvert\cos\theta

向量场的点积则逐点定义为

p→F⃗⋅G⃗=F⃗(p)⋅G⃗(p) p \xrightarrow{\vec{F} \cdot \vec{G}} = \vec{F}(p) \cdot \vec{G}(p)

因此向量场的点积是一个标量场。

微分形式语言的点积

在黎曼流形上，向量的点积可以表示为一个余向量对另一个向量的作用，而余向量通过黎曼度量诱导的音乐同构得到

u⋅v=g(u,v)=u♭(v) u \cdot v = g(u, v) = u^\flat(v)

向量场的点积也逐点定义为

p→X⋅Ygp(Xp,Yp)=(Xp)♭(Yp) p \xrightarrow{X\cdot Y} g_p(X_p, Yp) = (X_p)^\flat(Y_p)

可以写为

X⋅Y=g(X,Y) X\cdot Y=g(X,Y)

或者用霍奇星算子定义为

X♭∧⋆Y♭=(X⋅Y)volg X^\flat\wedge\star Y^\flat= (X\cdot Y)\mathrm{vol}_g

即

X⋅Y=⋆(X♭∧⋆Y♭) X\cdot Y=\star(X^\flat\wedge\star Y^\flat)

欧氏空间中的点积

因此，对于两个 Rn\mathbb{R}^n 上的 1-形式

α=∑inαidxiβ=∑inβidxi \begin{align*} \alpha = \sum_i^n\alpha_idx^i \\ \beta = \sum_i^n \beta_idx^i \end{align*}

由霍奇星算子的线性性得到

⋆β=∑inβi⋆dxi \star \beta = \sum_i^n \beta_i \star dx^i

在欧氏空间标准正交基下有

⋆dxj=(−1)j−1dx1∧⋯∧dxj^∧⋯∧dxn \star dx^j = (-1)^{j-1} dx^1\wedge\cdots\wedge \widehat{dx^j} \wedge\cdots\wedge dx^n

进行楔积

α∧⋆β=(∑i=1nαidxi)∧(∑j=1nβj⋆dxj)=∑i=1n∑j=1nαiβj(dxi∧⋆dxj) \begin{align*} \alpha\wedge\star\beta &=\left( \sum_{i=1}^n\alpha_i dx^i \right) \wedge\left( \sum_{j=1}^n\beta_j\star dx^j \right) \\ &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \alpha_i\beta_j\left( dx^i\wedge\star dx^j \right) \end{align*}

当 i≠ji\ne j 时

dxi∧⋆dxj=0 dx^i\wedge\star dx^j = 0

当 i=ji= j 时

dxi∧⋆dxj=(−1)i−1dxi∧dx1∧⋯∧dxi^∧⋯∧dxn=(−1)i−1(−1)i−1dx1∧⋯∧dxn=dx1∧⋯∧dxn \begin{align*} dx^i\wedge\star dx^j &= (-1)^{i-1} dx^i\wedge dx^1\wedge\cdots\wedge \widehat{dx^i} \wedge\cdots\wedge dx^n \\ &= (-1)^{i-1}(-1)^{i-1} dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n \\ &= dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n \end{align*}

统一写为

dxi∧⋆dxj=δijdx1∧⋯∧dxn dx^i\wedge\star dx^j =\delta^{ij}dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n

代入得到

α∧⋆β=∑i,j=1nαiβjδijdx1∧⋯∧dxn=∑i=1nαiβidx1∧⋯∧dxn=(∑i=1nαiβi)dx1∧⋯∧dxn \begin{align*} \alpha\wedge\star\beta &=\sum_{i,j=1}^n\alpha_i\beta_j\delta^{ij} dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n \\ &=\sum_{i=1}^n\alpha_i\beta_i dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n \\ &=\left( \sum_{i=1}^n \alpha_i\beta_i \right) dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n \end{align*}

最终有

⋆(α∧⋆β)=∑i=1nαiβi \star(\alpha\wedge\star\beta) =\sum_{i=1}^n \alpha_i\beta_i

因此，对于两个向量场

F⃗=(f1,f2,⋯ ,fn)G⃗=(g1,g2,⋯ ,gn) \begin{align*} \vec{F} = (f_1, f_2, \cdots, f_n) \\ \vec{G} = (g_1, g_2, \cdots, g_n) \end{align*}

点积得到

F⃗⋅G⃗=∑i=1nfigi \vec{F}\cdot \vec{G} = \sum_{i=1}^n f_ig_i

二维欧氏空间中的点积

对于 R2\mathbb{R}^2 中的，对于两个 11-形式

α=f1dx+f2dyβ=g1dx+g2dy \begin{align*} \alpha=f_1dx+f_2dy \\ \beta=g_1dx+g_2dy \end{align*}

由

⋆dx=dy⋆dy=−dx \star dx=dy \quad \star dy=-dx

得到

⋆β=−g2dx+g1dy \star \beta = -g_2dx+g_1dy

楔积得到

α∧⋆β=(f1g1+f2g2)dx∧dy \alpha\wedge\star\beta = (f_1g_1+f_2g_2)dx\wedge dy

从而

⋆(α∧⋆β)=f1g1+f2g2 \star(\alpha\wedge\star\beta) = f_1g_1+f_2g_2

因此对于两个同构的向量场

F⃗=(f1,f2)G⃗=(g1,g2) \vec{F}=(f_1,f_2) \qquad \vec{G}=(g_1,g_2)

其点积是一个标量场

F⃗⋅G⃗=f1g1+f2g2 \vec{F} \cdot \vec{G} = f_1g_1+f_2g_2

三维欧式空间中的点积

在 R3\mathbb{R}^3 中，对于两个 11-形式

α=f1dx+f2dy+f3dzβ=g1dx+g2dy+g3dz \begin{align*} \alpha=f_1dx+f_2dy+f_3dz \\ \beta=g_1dx+g_2dy+g_3dz \end{align*}

由

⋆dx=dy∧dz⋆dy=dz∧dx⋆dz=dx∧dz \star dx=dy\wedge dz \quad \star dy=dz\wedge dx \quad \star dz=dx\wedge dz

得到

⋆β=g1dy∧dz+g2dz∧dx+g3dx∧dz \star \beta = g_1dy\wedge dz+g_2dz\wedge dx+g_3dx\wedge dz

楔积为

α∧⋆β=(f1g1+f2g2+f3g3)dx∧dy∧dz \alpha\wedge\star\beta= (f_1g_1+f_2g_2+f_3g_3) dx\wedge dy\wedge dz

从而

⋆(α∧⋆β)=f1g1+f2g2+f3g3 \star(\alpha\wedge\star\beta) = f_1g_1+f_2g_2+f_3g_3

因此对于两个同构的向量场

F⃗=(f1,f2,f3)G⃗=(g1,g2,g3) \vec{F}=(f_1,f_2,f_3) \qquad \vec{G}=(g_1,g_2,g_3)

其点积是一个标量场

F⃗⋅G⃗=f1g1+f2g2+f3g3 \vec{F} \cdot \vec{G} = f_1g_1+f_2g_2+f_3g_3

叉积

向量分析语言的叉积

在向量分析里，叉积只在三维空间中才有定义

a⃗×b⃗=∣i⃗j⃗k⃗a1a2a3b1b2b3∣ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}

向量叉积得到的结果仍然是一个向量，且垂直于原来的两个向量，具体方向由右手定则确定

a⃗×b⃗⊥a⃗a⃗×b⃗⊥b⃗ \vec{a} \times \vec{b} \perp \vec{a} \qquad \vec{a} \times \vec{b} \perp \vec{b}

在几何上，叉积的长度表示两个向量张成的平行四边形的面积，因此和两个向量的夹角 θ\theta 有关

∣a⃗×b⃗∣=∣a⃗∣∣b⃗∣sin⁡θ | \vec{a}\times\vec{b} | = \lvert\vec{a}\rvert\lvert\vec{b}\rvert\sin\theta

向量场的叉积则逐点定义为

p→F⃗×G⃗=F⃗(p)×G⃗(p) p \xrightarrow{\vec{F} \times \vec{G}} = \vec{F}(p) \times \vec{G}(p)

因此向量场的叉积仍然是一个向量场。

微分形式语言的叉积

在黎曼流形上，向量的叉积可以通过黎曼度量和体积形式定义为

g(u×v,w)=volg(u,v,w) g(u\times v,w)=\mathrm{vol}_g(u,v,w)

向量场的叉积也逐点定义为

p→X×Ygp(Xp×Yp,Zp)=volg(Xp,Yp,Zp) p \xrightarrow{X\times Y} g_p(X_p \times Yp, Z_p) = \mathrm{vol}_g(X_p, Y_p, Z_p)

可以写为

g(X×Y,Z)=volg(X,Y,Z)Z∈TpM g(X\times Y,Z)=\mathrm{vol}_g(X,Y,Z) \qquad Z\in T_pM

或者用霍奇星算子定义为

X×Y=[⋆(X♭∧Y♭)]♯ X\times Y=[\star(X^\flat\wedge Y^\flat)]^\sharp

并且，用霍奇星算子和音乐同构，叉积还可以被推广到任意 n≥2n \ge 2 维度的流形上。

在 33 维流形上，22-形式的霍奇星是 11-形式。这意味着两个向量可以先通过音乐同构变成 1-形式，然后通过楔积得到 2-形式，再通过霍奇星算子得到 1-形式，最后通过音乐同构变回向量

[⋆(u♭∧v♭)]♯∈span⁡{ u,v }⊥ [\star(u^\flat\wedge v^\flat)]^\sharp \in \operatorname{span}\set{u, v}^\perp

这表示两个向量的一个正交补向量，也就是向量分析中的叉积。

在 22 维流形上，11-形式的霍奇星算子仍然是 11-形式。这意味着单个向量可以先通过音乐同构变成 1-形式，然后通过霍奇星算子得到 1-形式，最后通过音乐同构变回向量

[⋆(v♭)]♯∈span⁡{ v }⊥ [\star(v^\flat)]^\sharp \in \operatorname{span}\set{v}^\perp

这表示原向量的一个正交补向量，在几何上就是逆时针旋转 90∘90^\circ，也可以看成对单个向量的叉积。

继续推广这种做法，就可以得到广义叉积

v1×⋯×vn−1=[⋆(v1♭∧⋯∧vn−1♭)]♯∈span⁡{ v1,⋯ ,vn−1 }⊥ v_1 \times \cdots \times v_{n-1} =[\star(v_1^\flat \wedge \cdots \wedge v_{n-1}^\flat)]^\sharp \in \operatorname{span}\set{v_1, \cdots, v_{n-1}}^\perp

nn 维空间的叉积需要 n−1n-1 个向量，这可以倒着推回去：最终的向量通过音乐同构转换 11-形式得到，而 11-形式通过霍奇星算子作用在 n−1n-1-形式上得到，而 n−1n-1-形式通过对 n−1n-1 个 11-形式进行楔积得到，这些 11-形式最初通过音乐同构转换向量得到。

欧氏空间中的叉积

对于 Rn\mathbb{R}^n 给定 n−1n-1 个 1-形式

αa=∑i=1nαaidxia=1,…,n−1 \alpha_a=\sum_{i=1}^n\alpha_{ai} dx^i \qquad a=1,\ldots,n-1

根据楔积的多线性性得到

α1∧⋯∧αn−1=∑i1,…,in−1=1n(∏a=1n−1αaia)dxi1∧⋯∧dxin−1 \alpha_1\wedge\cdots\wedge\alpha_{n-1} =\sum_{i_1,\ldots,i_{n-1}=1}^n \left( \prod_{a=1}^{n-1}\alpha_{ai_a} \right) dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_{n-1}}

在欧氏空间标准正交基下有

⋆(dxi1∧⋯∧dxin−1)=∑j=1nεi1⋯in−1jdxj \star(dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_{n-1}})= \sum_{j=1}^n\varepsilon_{i_1\cdots i_{n-1}j}dx^j

代入得到

⋆(α1∧⋯∧αn−1)=∑i1,…,in−1=1n(∏a=1n−1αaia)⋆(dxi1∧⋯∧dxin−1)=∑j=1n(∑i1,…,in−1=1nεi1⋯in−1j∏a=1n−1αaia)dxj \begin{align*} \star(\alpha_1\wedge\cdots\wedge\alpha_{n-1}) &=\sum_{i_1,\ldots,i_{n-1}=1}^n \left( \prod_{a=1}^{n-1}\alpha_{ai_a} \right) \star(dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_{n-1}}) \\ &=\sum_{j=1}^n \left( \sum_{i_1,\ldots,i_{n-1}=1}^n \varepsilon_{i_1\cdots i_{n-1}j} \prod_{a=1}^{n-1}\alpha_{ai_a} \right)dx^j \end{align*}

这个结果可以用行列式进行简化。定义一个 (n−1)×n(n-1)\times n 矩阵

A=[α11α12⋯α1nα21α22⋯α2n⋮⋮⋱⋮αn−1,1αn−1,2⋯αn−1,n] A= \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\alpha_{12}&\cdots&\alpha_{1n} \\ \alpha_{21}&\alpha_{22}&\cdots&\alpha_{2n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ \alpha_{n-1,1}&\alpha_{n-1,2}&\cdots&\alpha_{n-1,n} \end{bmatrix}

记 Aj^A_{\widehat j} 为从 AA 中删除第 jj 列后得到的 (n−1)×(n−1)(n-1)\times(n-1) 方阵。根据行列式展开规则，有

∑i1,…,in−1=1nεi1⋯in−1j∏a=1n−1αaia=(−1)n−jdet⁡Aj^ \sum_{i_1,\ldots,i_{n-1}=1}^n \varepsilon_{i_1\cdots i_{n-1}j} \prod_{a=1}^{n-1}\alpha_{ai_a}= (-1)^{n-j}\det A_{\widehat j}

因此

⋆(α1∧⋯∧αn−1)=∑j=1n(−1)n−jdet⁡(Aj^)dxj \star(\alpha_1\wedge\cdots\wedge\alpha_{n-1})= \sum_{j=1}^n(-1)^{n-j} \det(A_{\widehat j})dx^j

二维欧氏空间中的叉积

在 R2\mathbb{R}^2 中，对于 11-形式

α=f1dx+f2dy \alpha = f_1dx + f_2dy

有

⋆α=−f2dx+f1dy \star \alpha = - f_2dx + f_1dy

因此对于向量场

F⃗=(f1,f2) \vec{F}=(f_1,f_2)

其叉积就是逆时针旋转 90∘90^\circ

×F⃗=(−f2,f1) \times \vec{F} = (-f_2,f_1)

三维欧氏空间中的叉积

在 R3\mathbb{R}^3 中，对于两个 11-形式

α=f1dx+f2dy+f3dzβ=g1dx+g2dy+g3dz \begin{align*} \alpha=f_1dx+f_2dy+f_3dz \\ \beta=g_1dx+g_2dy+g_3dz \end{align*}

有

α∧β=(f2g3−f3g2)dy∧dz+(f3g1−f1g3)dz∧dx+(f1g2−f2g1)dx∧dy \alpha\wedge\beta= (f_2g_3-f_3g_2)dy\wedge dz +(f_3g_1-f_1g_3)dz\wedge dx +(f_1g_2-f_2g_1)dx\wedge dy

利用

⋆(dy∧dz)=dx⋆(dz∧dx)=dy⋆(dx∧dy)=dz \star(dy\wedge dz)=dx \qquad \star(dz\wedge dx)=dy \qquad \star(dx\wedge dy)=dz

得到

⋆(α∧β)=(f2g3−f3g2)dx+(f3g1−f1g3)dy+(f1g2−f2g1)dz \star(\alpha\wedge\beta) =(f_2g_3-f_3g_2)dx +(f_3g_1-f_1g_3)dy +(f_1g_2-f_2g_1)dz

因此对于两个向量场

F⃗=(f1,f2,f3)G⃗=(g1,g2,g3) \vec{F}=(f_1,f_2,f_3) \qquad \vec{G}=(g_1,g_2,g_3)

其叉积是一个向量场

F⃗×G⃗=(f2g3−f3g2,f3g1−f1g3,f1g2−f2g1) \vec{F} \times \vec{G} = (f_2g_3-f_3g_2, f_3g_1-f_1g_3, f_1g_2-f_2g_1)

特别地，对于 R3\mathbb{R}^3 中 dzdz 分量为 00 的两个 11-形式

α=f1dx+f2dyβ=g1dx+g2dy \begin{align*} \alpha=f_1dx+f_2dy \\ \beta=g_1dx+g_2dy \end{align*}

得到

⋆(α∧β)=(f1g2−f2g1)dz \star(\alpha\wedge\beta) =(f_1g_2-f_2g_1)dz

也就是说，对于定义在 R2\mathbb{R}^2 上的向量场，可以零延拓为 R3\mathbb{R}^3 上的向量场

F⃗=(f1,f2,0)G⃗=(g1,g2,0) \vec{F}=(f_1,f_2,0) \qquad \vec{G}=(g_1,g_2,0)

叉积得到沿 zz 轴的向量

F⃗×G⃗=(0,0,f1g2−f2g1) \vec{F} \times \vec{G} = (0, 0, f_1g_2-f_2g_1)

梯度

向量分析语言的梯度

在向量分析里，光滑函数 f:Rn→Rf: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} 的梯度 grad⁡f\operatorname{grad}f 是其诱导出的向量场

grad⁡f=∇f=(∂f∂x1,…,∂f∂xn) \operatorname{grad}f = \nabla f= \left( \frac{\partial f}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x^n} \right)

其中

∇f:Rn→Rn \nabla f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n

在 p∈Rnp\in \mathbb{R}^n 处得到一个向量

∇f(p)=(∂f∂x1(p),…,∂f∂xn(p)) \nabla f(p)= \left( \frac{\partial f}{\partial x^1}(p), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x^n}(p) \right)

点 pp 处的方向导数由梯度和方向向量进行 Rn\mathbb{R}^n 中的标准内积得到

Dvf(p)=⟨∇f(p),v⟩ D_vf(p)=\langle\nabla f(p),v\rangle

当 vv 是一个单位向量时

∥v∥=⟨v,v⟩=1 \left\lVert v \right\rVert = \left\langle v,v \right\rangle = 1

有

⟨∇f(p),v⟩≤∥∇f(p)∥ \langle\nabla f(p),v\rangle \le \lVert \nabla f(p) \rVert

只有当 f(p)f(p) 和 vv 同向时，可以取等号。因此，梯度指向的是函数增长最快的方向。

微分形式语言的梯度

在黎曼流形 (M,g)(M,g) 上，对于光滑函数 f:M→Rf: M \to \mathbb{R}，其梯度 grad⁡f\operatorname{grad}f 用外微分和音乐同构定义为

grad⁡f=(df)♯ \operatorname{grad}f = (\mathrm{d}f)^\sharp

在 p∈Mp\in M 处有

grad⁡f(p)=(dfp)♯ \operatorname{grad}f(p) = (df_p)^\sharp

dfp∈Tp∗Mdf_p\in T_p^*M 是一个 1-形式，可以作用在 v∈TpMv\in T_pM 上，从而得到用导子定义的方向导数

dfp(v)=v(f) \mathrm{d}f_p(v) = v(f)

欧氏空间中的梯度

对于 Rn→R\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} 函数

f(x1,x2,⋯ ,xn) f(x^1, x^2, \cdots, x^n)

外微分得到的 1-形式为

df=∑in∂f∂xidxi \mathrm{d}f =\sum_i^n \frac{\partial f}{\partial x^i}dx^i

梯度为

grad⁡f=(df)♯=∑in∂f∂xi∂∂xi \operatorname{grad}f =(\mathrm{d}f)^\sharp =\sum_i^n \frac{\partial f}{\partial x^i} \frac{\partial}{\partial x^i}

在 p∈Rnp\in \mathbb{R}^n 处得到

dfp=∑in∂f∂xi(p)dxi∣p \mathrm{d}f_p =\sum_i^n \frac{\partial f}{\partial x^i}(p) dx^i\rvert_p

对于 v∈TpRnv\in T_p\mathbb{R}^n 有

dfp(v)=v(f)=∑nivi∂f∂xi(p) \mathrm df_p(v) =v(f) =\sum_n^i v^i\frac{\partial f}{\partial x^i}(p)

二维欧式空间中的梯度

对于 R2→R\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} 函数

f(x,y) f(x, y)

外微分得到的 1-形式为

df=∂f∂xdx+∂f∂ydy \mathrm{d}f =\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+ \frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y

梯度为

grad⁡f=(df)♯=∂f∂x∂∂x+∂f∂y∂∂y \operatorname{grad}f =(\mathrm{d}f)^\sharp =\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial}{\partial y}

在 p=(px,py)∈R2p=(p^x,p^y)\in \mathbb{R}^2 处得到

dfp=∂f∂x(px,py)dxp+∂f∂y(px,py)dyp \mathrm{d}f_p =\frac{\partial f}{\partial x}(p^x,p^y)dx_p + \frac{\partial f}{\partial y}(p^x,p^y)dy_p

对于 v=(vx,vy)∈TpR2v = (v^x, v^y)\in T_p\mathbb{R}^2 有

dfp(v)=v(f)=vx∂f∂x(px,py)+vy∂f∂y(px,py) \mathrm df_p(v) =v(f) =v^x\frac{\partial f}{\partial x}(p^x,p^y)+ v^y\frac{\partial f}{\partial y}(p^x,p^y)

三维欧式空间中的梯度

对于 R3→R\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} 函数

f(x,y,z) f(x, y, z)

外微分得到的 1-形式为

df=∂f∂xdx+∂f∂ydy+∂f∂zdz \mathrm{d}f =\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+ \frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y + \frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{d}z

梯度为

grad⁡f=(df)♯=∂f∂x∂∂x+∂f∂y∂∂y+∂f∂z∂∂z \operatorname{grad}f =(\mathrm{d}f)^\sharp =\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial}{\partial z}

在 p=(px,py,pz)∈R3p=(p^x,p^y,p^z)\in \mathbb{R}^3 处得到

dfp=∂f∂x(px,py,pz)dxp+∂f∂y(px,py,pz)dyp+∂f∂z(px,py,pz)dzp \mathrm{d}f_p =\frac{\partial f}{\partial x}(p^x,p^y,p^z)dx_p + \frac{\partial f}{\partial y}(p^x,p^y,p^z)dy_p + \frac{\partial f}{\partial z}(p^x,p^y,p^z)dz_p

对于 v=(vx,vy,vz)∈TpR3v = (v^x, v^y, v^z)\in T_p\mathbb{R}^3 有

dfp(v)=v(f)=vx∂f∂x(px,py,pz)+vy∂f∂y(px,py,pz)+vz∂f∂z(px,py,pz) \mathrm df_p(v) =v(f) =v^x\frac{\partial f}{\partial x}(p^x,p^y,p^z) + v^y\frac{\partial f}{\partial y}(p^x,p^y,p^z) + v^z\frac{\partial f}{\partial z}(p^x,p^y,p^z)

单位切向量和单位法向量

对于 Rn\mathbb{R}^n 中的向量

v=vi∂∂xi v=v^i\frac{\partial}{\partial x^i}

其长度有多种表示方式

  • 用欧式度量表示

    ∥v∥2=g(v,v) \lVert v\rVert^2 =g(v,v)

  • 用内积表示

    ∥v∥2=⟨v,v⟩ \lVert v\rVert^2 =\left\langle v,v \right\rangle

  • 用向量之间的点积表示

    ∥v∥2=v⋅v \lVert v\rVert^2 =v \cdot v

  • 用行向量和列向量相乘表示

    ∥v∥2=vTv \lVert v\rVert^2 = v^Tv

这些结果都是一样的

∥v∥2=∑in(vi)2 \lVert v\rVert^2 = \sum_i^n (v^i)^2

从而向量的长度为

∥v∥=∑in(vi)2 \lVert v\rVert = \sqrt{\sum_i^n (v^i)^2}

向量的单位化就是将其变成长度为 11 的向量

v^=v∥v∥ \hat v=\frac{v}{\lVert v\rVert}

同理，对于余向量

α=aidxi \alpha = a_idx^i

其长度等于通过音乐同构得到的向量的长度

∥α∥2=∥α♯∥2=⟨α♯,α♯⟩=∑in(αi)2 \begin{align*} \lVert \alpha \rVert^2 &= \lVert \alpha^\sharp \rVert^2 \\ &= \langle \alpha^\sharp, \alpha^\sharp \rangle \\ &= \sum_i^n (\alpha_i)^2 \end{align*}

对余向量的单位化就是将其变成长度为 11 的余向量

α^=α∥α∥ \hat \alpha=\frac{\alpha}{\lVert \alpha\rVert}

为了后续计算的需要，现推导欧氏空间中嵌入流形的单位切向量和单位法向量的坐标表示，包括参数式、显式、隐式三种表示对应的公式。

参数式表示的单位切向量和单位法向量

设参数式表示 X:U⊂Rk⟶RnX:U\subset\mathbb R^k\longrightarrow\mathbb R^n 为

X(u1,…,uk)=(X1(u),…,Xn(u)) X(u^1,\ldots,u^k) =(X^1(u),\ldots,X^n(u))

其微分为

Xa=(∂X1∂ua,⋯ ,∂Xn∂ua) X_a=\left( \frac{\partial X^1}{\partial u^a}, \cdots, \frac{\partial X^n}{\partial u^a} \right)

记微分矩阵 DX(u)∈Rn×kDX(u)\in \mathbb{R}^{n\times k} 为

DX(u)=[X1(u)⋯Xk(u)]=[∂X1∂u1(u)⋯∂X1∂uk(u)⋮⋱⋮∂Xn∂u1(u)⋯∂Xn∂uk(u)] DX(u) = \begin{bmatrix} X_1(u) & \cdots & X_k(u) \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \dfrac{\partial X^1}{\partial u^1}(u) & \cdots & \dfrac{\partial X^1}{\partial u^k}(u) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial X^n}{\partial u^1}(u) & \cdots & \dfrac{\partial X^n}{\partial u^k}(u) \\ \end{bmatrix}

且有

rank⁡DX(u)=k \operatorname{rank}DX(u)=k

参数式表示的单位切向量

切向量基为

TX(u)M=span⁡{ X1(u),…,Xk(u) } T_{X(u)}M=\operatorname{span}\set{X_1(u),\ldots,X_k(u)}

因此，对任意 v=(v1,v2,⋯ ,uk)∈Rkv=(v^1, v^2, \cdots, u^k)\in \mathbb{R}^k 得到切向量

∑akvaXa(u)=DX(u)v \sum_a^k v^a X_a(u) = DX(u)v

切向量长度的平方为

∥DX(u)v∥2=(DX(u)v)T(DX(u)v)=vTDX(u)TDX(u)v \begin{align*} \left\lVert DX(u)v \right\rVert^2 &=(DX(u)v)^T(DX(u)v) \\ &=v^TDX(u)^TDX(u)v \\ \end{align*}

单位化后得到

T(v)=DX(u)vvTDX(u)TDX(u)v \boxed{ T(v) = \frac{ DX(u)v }{ \sqrt{v^TDX(u)^TDX(u)v} } }

特别地，当 k=1k=1 时，切空间的维度为 11，此时有

X:U⊂R⟶RnDX(u)=X′(u)=(∂X1∂u,⋯ ,∂Xn∂u) X:U\subset\mathbb R\longrightarrow\mathbb R^n \qquad DX(u) = X'(u) =\left( \frac{\partial X^1}{\partial u}, \cdots, \frac{\partial X^n}{\partial u} \right)

从而单位法向量为

T(u)=X′(u)∥X′(u)∥ \boxed{ T(u)=\frac{ X'(u) }{ \left\lVert X'(u) \right\rVert } }

参数式表示的单位法向量

法向量 n∈NX(u)Mn\in N_{X(u)}M 要求满足

⟨n,Xa(u)⟩=0 \left\langle n,X_a(u) \right\rangle =0

构造切空间上的正交投影

PT(u)=DX(u)[DX(u)TDX(u)]−1DX(u)T P_T(u)=DX(u) \big[DX(u)^TDX(u)\big]^{-1} DX(u)^T

从而法空间上的正交投影为

PN(u)=In−DX(u)[DX(u)TDX(u)]−1DX(u)T P_N(u)=I_n-DX(u) \big[DX(u)^TDX(u)\big]^{-1} DX(u)^T

于是对任意 v∈Rnv\in\mathbb R^n，只要 PN(u)v≠0P_N(u)v\neq0，就可以得到法向量

PN(u)v P_N(u)v

其长度的平方为

∥PN(u)v∥2=(PN(u)v)T(PN(u)v)=vT(PN(u)TPN(u))v=vTPN(u)v=vTv−vTDX(u)[DX(u)TDX(u)]−1DX(u)Tv \begin{align*} \left\lVert P_N(u)v \right\rVert^2 &=(P_N(u)v)^T(P_N(u)v) \\ &= v^T(P_N(u)^TP_N(u))v \\ &= v^TP_N(u)v \\ &=v^Tv- v^TDX(u) \big[DX(u)^TDX(u)\big]^{-1} DX(u)^Tv \end{align*}

因此单位法向量为

N(u)=Inv−DX(u)[DX(u)TDX(u)]−1DX(u)TvvTv−vTDX(u)(DX(u)TDX(u))−1DX(u)Tv \boxed{ N(u)=\frac{ I_nv-DX(u) \big[DX(u)^TDX(u)\big]^{-1} DX(u)^Tv }{ \sqrt{ v^Tv- v^TDX(u) \big(DX(u)^TDX(u)\big)^{-1} DX(u)^Tv } } }

特别地，当 k=n−1k=n-1 时，法空间的维度为 11。此时有

X:U⊂Rn−1⟶RnDX(u)=[X1(u)⋯Xn−1(u)] X:U\subset\mathbb R^{n-1}\longrightarrow\mathbb R^n \qquad DX(u)=\begin{bmatrix} X_1(u) & \cdots & X_{n-1}(u) \end{bmatrix}

可以使用广义叉积得到法向量

X1×⋯×Xn−1=[⋆(X1♭∧⋯∧Xn−1♭)]♯ X_1 \times \cdots \times X_{n-1} =[\star(X_1^\flat\wedge\cdots\wedge X_{n-1}^\flat)]^\sharp

其长度的平方为

∥X1×⋯×Xn−1∥2=∥⋆(X1♭∧⋯∧Xn−1♭)∥2=∥X1♭∧⋯∧Xn−1♭∥2=det⁡([⟨Xi,Xj⟩]i,j=1n−1)=det⁡DX(u)TDX(u) \begin{align*} \left\lVert X_1 \times \cdots \times X_{n-1} \right\rVert^2 &=\left\lVert \star(X_1^\flat\wedge\cdots\wedge X_{n-1}^\flat) \right\rVert^2 \\ &=\left\lVert X_1^\flat\wedge\cdots\wedge X_{n-1}^\flat \right\rVert^2 \\ &=\det\left( \left[\langle X_i,X_j\rangle\right]_{i,j=1}^{n-1} \right) \\ &=\det DX(u)^TDX(u) \end{align*}

因此单位法向量为

N(u)=X1(u)×⋯×Xn−1(u)∥X1(u)×⋯×Xn−1(u)∥ \boxed{ N(u)=\frac{ X_1(u) \times \cdots \times X_{n-1}(u) }{ \left\lVert X_1(u) \times \cdots \times X_{n-1}(u) \right\rVert } }

显式表示的单位切向量和单位法向量

设显式表示 f:Rk→Rn−kf:\mathbb R^k\to\mathbb R^{n-k} 为

(uk+1,…,un)=f(u1,…,uk) (u^{k+1},\ldots,u^n)=f(u^1,\ldots,u^k)

可以构造出参数式表示 X:U⊂Rk⟶RnX:U\subset\mathbb R^k\longrightarrow\mathbb R^n

X(u)=(u,f(u)) X(u)=(u, f(u))

记 ff 的雅可比矩阵为

Df(u)∈Rn−k×k Df(u)\in\mathbb R^{{n-k}\times k}

那么参数化的 n×kn\times k 微分矩阵为

DX(u)=[IkDf(u)] DX(u)= \begin{bmatrix} I_k \\ Df(u) \end{bmatrix}

显式表示的单位切向量

切空间为

TX(u)M={ (v,Df(u))  |  v∈Rk } T_{X(u)}M =\Set{ \bigl(v,Df(u)\bigr) | v\in\mathbb R^k }

切向量可以表示为

[vDf(u)v]=DX(u)v \begin{bmatrix} v \\ Df(u)v \end{bmatrix} =DX(u)v

其长度的平方为

∥DX(u)v∥2=(DX(u)v)T(DX(u)v)=vT(DX(u)TDX(u))v=vT[Ik+Df(u)TDf(u)]v \begin{align*} \left\lVert DX(u)v \right\rVert^2 &= (DX(u)v)^T(DX(u)v) \\ &= v^T(DX(u)^TDX(u))v \\ &= v^T\bigl[I_k+Df(u)^TDf(u)\bigr]v \end{align*}

因此当 v∈Rk∖{ 0 }v\in\mathbb R^k\setminus\set{0} 时，相应的单位切向量为

T(v)=(v,Df(u))vT[Ik+Df(u)TDf(u)]v \boxed{ T(v)=\frac{ \bigl(v,Df(u)\bigr) }{ \sqrt{v^T\bigl[I_k+Df(u)^TDf(u)\bigr]v} } }

特别地，当 k=1k=1 时，此时切空间的维度为 11，有

f:R→Rn−1DX(u)=[1f′(u)] f:\mathbb R\to\mathbb R^{n-1} \qquad DX(u)= \begin{bmatrix} 1 \\ f'(u) \end{bmatrix}

从而单位切向量为

T(u)=(1,f′(u))1+∥f′(u)∥2 \boxed{ T(u)=\frac{ (1,f'(u)) }{ \sqrt{1+\|f'(u)\|^2} } }

显式表示的单位法向量

任取 N=(a,b)∈Rk×Rn−kN=(a,b)\in\mathbb R^k\times\mathbb R^{n-k}，要求 NN 与所有切向量正交，即

⟨N,DX(u)v⟩=0∀v∈Rk \left\langle N,DX(u)v \right\rangle=0 \qquad \forall v\in\mathbb R^k

计算得到

⟨N,DX(u)v⟩=⟨(a,b),(Ik,Df(u))v⟩=aTv+bTDf(u)Tv=(a+Df(u)Tb)Tv=0 \begin{align*} \left\langle N,DX(u)v \right\rangle &= \left\langle (a,b),(I_k,Df(u))v \right\rangle\\ &=a^Tv+b^TDf(u)^Tv \\ &=(a+Df(u)^Tb)^Tv \\ &= 0\\ \end{align*}

由于对任意 v∈Rkv\in\mathbb R^k 都成立，因此

a+Df(u)Tb=0a=−Df(u)Tb \begin{align*} a+Df(u)^Tb &= 0 \\ a &= -Df(u)^Tb \end{align*}

因此，对任意 b∈Rn−kb\in \mathbb{R}^{n-k} 可以取 (−Df(u)Tb,b)(-Df(u)^Tb,b) 作为法向量，从而法空间为

NX(u)M={ (−Df(u)Tb,b)  |  b∈Rn−k } N_{X(u)}M =\Set{ (-Df(u)^Tb,b) | b\in\mathbb R^{n-k} }

记矩阵

B(u)=[−Df(u)TIn−k] B(u) = \begin{bmatrix} -Df(u)^T \\ I_{n-k} \end{bmatrix}

从而法向量表示为

(−Df(u)Tb,b)=B(u)b (-Df(u)^Tb,b) = B(u)b

法向量长度的平方为

∥B(u)b∥2=(B(u)b)T(B(u)b)=bT(B(u)TB(u))b=bT(In−k+Df(u)Df(u)T)b \begin{align*} \left\lVert B(u)b \right\rVert^2 &= (B(u)b)^T(B(u)b) \\ &= b^T(B(u)^TB(u))b \\ &= b^T(I_{n-k}+Df(u)Df(u)^T)b \end{align*}

于是当 b≠0∈Rn−kb\ne0\in \mathbb{R}^{n-k} 时有单位法向量

N(b)=(−Df(u)Tb,b)bT(In−k+Df(u)Df(u)T)b \boxed{ N(b)= \frac{(-Df(u)^Tb,b)} {\sqrt{b^T(I_{n-k}+Df(u)Df(u)^T)b}} }

特别地，当 k=n−1k=n-1 时，法空间的维度为 11，此时有

f:Rn−1→RDf=∇f=(∂f∂u1,…,∂f∂un−1) f:\mathbb R^{n-1}\to\mathbb R \qquad Df = \nabla f=\left( \frac{\partial f}{\partial u^1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial u^{n-1}} \right)

法向量可以取

(−∇f,1) (-\nabla f, 1)

其长度的平方为

∥(−∇f,1)∥2=(−∇f,1)T(−∇f,1)=1+∇fT∇f=1+∥∇f∥2 \begin{align*} \left\lVert (-\nabla f, 1) \right\rVert^2 &=(-\nabla f, 1)^T(-\nabla f, 1) \\ &=1+\nabla f^T\nabla f \\ &=1+ \left\lVert \nabla f \right\rVert^2 \end{align*}

从而单位化后

N(u)=(−∇f(u),1)1+∥∇f(u)∥2 \boxed{ N(u) = \frac{ (-\nabla f(u),1) }{ \sqrt{1+ \lVert\nabla f(u)\rVert^2} } }

隐式表示的单位切向量和单位法向量

设隐式表示 F:Rn→Rn−kF:\mathbb R^n\to\mathbb R^{n-k} 为

M={ x∈Rn  |  F(x)=0 } M=\Set{ x\in\mathbb R^n | F(x)=0 }

其中

F(x)=(F1(x),F2(x),⋯ ,Fn−k(x)) F(x)=\bigl( F^1(x), F^2(x), \cdots, F^{n-k}(x) \bigr)

其梯度为

∇Fa=(∂Fa∂x1,⋯ ,∂Fa∂xn) \nabla F^a = \left( \frac{\partial F^a}{\partial x^1}, \cdots, \frac{\partial F^a}{\partial x^n} \right)

记 FF 的雅可比矩阵为

DF(x)=[∇F1(x)T⋮∇Fn−k(x)T]=[∂F1∂x1(x)⋯∂F1∂xn(x)⋮⋱⋮∂Fn−k∂x1(x)⋯∂Fn−k∂xn(x)] DF(x)= \begin{bmatrix} \nabla F^1(x)^T \\ \vdots \\ \nabla F^{n-k}(x)^T \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial F^1}{\partial x^1}(x) &\cdots& \dfrac{\partial F^1}{\partial x^n}(x) \\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \dfrac{\partial F^{n-k}}{\partial x^1}(x) &\cdots& \dfrac{\partial F^{n-k}}{\partial x^n}(x) \end{bmatrix}

并且在每个 x∈Mx\in M 处，雅可比矩阵满足正则性条件

rank⁡DF(x)=n−k \operatorname{rank}DF(x)=n-k

隐式表示的单位切向量

切向量 v∈TxMv\in T_xM 要求满足

⟨∇Fi(x),v⟩=0 \langle\nabla F^i(x),v\rangle=0

用 DF(x)DF(x) 构造法空间上的投影算子

PN(x)=DF(x)T[DF(x)DF(x)T]−1DF(x) P_N(x)=DF(x)^T \bigl[DF(x)DF(x)^T\bigr]^{-1} DF(x)

从而切空间上的正交投影为

PT(x)=In−DF(x)T[DF(x)DF(x)T]−1DF(x) P_T(x)=I_n-DF(x)^T \bigl[DF(x)DF(x)^T\bigr]^{-1}DF(x)

于是对任意 a∈Rna\in\mathbb R^n，只要 PT(x)a≠0P_T(x)a\neq0，可以得到切向量

PT(x)a P_T(x)a

其长度的平方为

∥PT(x)a∥2=(PT(x)a)T(PT(x)a)=aT(PT(x)TPT(x))a=aTPT(x)a=aTa−aTDF(x)T[DF(x)DF(x)T]−1DF(x)a \begin{align*} \left\lVert P_T(x)a \right\rVert^2 &=(P_T(x)a)^T(P_T(x)a) \\ &= a^T(P_T(x)^TP_T(x))a \\ &= a^TP_T(x)a \\ &=a^Ta- a^TDF(x)^T \big[DF(x)DF(x)^T\big]^{-1} DF(x)a \end{align*}

因此单位切向量为

T(a)=Ina−DF(x)T[DF(x)DF(x)T]−1DF(x)aaTa−aTDF(x)T[DF(x)DF(x)T]−1DF(x)a \boxed{ T(a)=\frac{ I_na-DF(x)^T \bigl[DF(x)DF(x)^T\bigr]^{-1}DF(x)a }{ \sqrt{ a^Ta- a^TDF(x)^T \big[DF(x)DF(x)^T\big]^{-1} DF(x)a } } }

特别地，当 k=1k=1 时，切空间的维度为 11。此时有

F:Rn→Rn−1DF(x)=[∇F1(x)T⋮∇Fn−1(x)T] F:\mathbb R^n\to\mathbb R^{n-1} \qquad DF(x)= \begin{bmatrix} \nabla F^1(x)^T \\ \vdots \\ \nabla F^{n-1}(x)^T \\ \end{bmatrix}

可以使用广义叉积得到切向量

∇F1×⋯×∇Fn−1=[⋆(dF1∧⋯∧dFn−1)]♯ \nabla F^1 \times\cdots\times \nabla F^{n-1} =[\star(dF^1\wedge\cdots\wedge dF^{n-1})]^\sharp

其长度的平方为

∥∇F1×⋯×∇Fn−1∥2=∥⋆(dF1∧⋯∧dFn−1)∥2=∥dF1∧⋯∧dFn−1∥2=det⁡([⟨∇Fi,∇Fj⟩]i,j=1n−1)=det⁡(DFDFT) \begin{align*} \lVert\nabla F^1\times\cdots\times\nabla F^{n-1}\rVert^2 &=\left\lVert \star(dF^1\wedge\cdots\wedge dF^{n-1}) \right\rVert^2 \\ &=\left\lVert dF^1\wedge\cdots\wedge dF^{n-1} \right\rVert^2 \\ &=\det\left( \left[\left\langle \nabla F^i,\nabla F^j \right\rangle\right]_{i,j=1}^{n-1} \right) \\ &=\det (DFDF^T) \end{align*}

因此单位切向量为

T(x)=∇F1(x)×⋯×∇Fn−1(x)∥∇F1(x)×⋯×∇Fn−1(x)∥ \boxed{ T(x)=\frac{ \nabla F^1(x) \times \cdots \times \nabla F^{n-1}(x) }{ \lVert\nabla F^1(x) \times\cdots\times\nabla F^{n-1}(x) \rVert } }

隐式表示的单位法向量

法空间表示为

NxM=span⁡{ ∇F1(x),…,∇Fn−k(x) } N_xM=\operatorname{span}\set{ \nabla F^1(x), \ldots, \nabla F^{n-k}(x) }

因此，对任意 u=(u1,u2,⋯ ,un−k)∈Rn−ku=(u^1, u^2, \cdots, u^{n-k})\in \mathbb{R}^{n-k} 得到法向量

∑i=1n−kui∇Fi(x)=DF(x)Tu \sum_{i=1}^{n-k}u^i\nabla F^i(x) =DF(x)^Tu

其长度的平方为

∥DF(x)Tu∥2=(DF(x)Tu)T(DF(x)Tu)=uTDF(x)DF(x)Tu \begin{align*} \left\lVert DF(x)^Tu \right\rVert^2 &=(DF(x)^Tu)^T(DF(x)^Tu) \\ &= u^T DF(x)DF(x)^Tu \\ \end{align*}

归一化后，得到单位法向量

N(u)=DF(x)TuuTDF(x)DF(x)Tu \boxed{ N(u) = \frac{DF(x)^Tu}{ \sqrt{u^T DF(x)DF(x)^Tu} } }

特别地，当 k=n−1k=n-1 时，此时有

F:Rn→RDF(x)=∇F(x)T F:\mathbb R^n\to\mathbb R \qquad DF(x) = \nabla F(x)^T

从而单位法向量为

N(x)=∇F(x)∥∇F(x)∥ \boxed{ N(x)=\frac{ \nabla F(x) }{ \lVert\nabla F(x)\rVert } }

平面曲线的单位切向量和单位法向量

对于平面曲线 C⊂R2C\subset \mathbb{R}^2，其切空间 TpCT_pC 和法空间 NpCN_pC 的维度为

dim⁡TpC=1dim⁡NpC=1 \dim T_pC = 1 \qquad \dim N_pC = 1

因此 TpCT_pC 的一组基中只有一个切向量， NpCN_pC 的一组基中只有一个法向量。

根据向外优先的定向约定，对于闭合曲线，指向区域外的方向的是正法向，而正切向是逆时针方向。

平面曲线参数式表示的单位切向量和单位法向量

对于参数式定义的平面曲线

X(t)=(x(t),y(t)) X(t) = (x(t), y(t))

有

X′(t)=(x′(t),y′(t)) X'(t) = (x'(t), y'(t))

且在曲线上满足

X′(t)≠(0,0) X'(t) \ne (0,0)

单位切向量为

T(t)=(x′(t),y′(t))x′(t)2+y′(t)2 \boxed{ T(t)=\frac{ (x'(t), y'(t)) }{ \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} } }

用广义叉积 ×X′\times X' 把 X′X' 逆时针旋转 90∘90^\circ

×X′=(−y′,x′) \times X' = (-y', x')

从而单位法向量为

N(t)=(−y′(t),x′(t))x′(t)2+y′(t)2 \boxed{ N(t) = \frac{ (-y'(t), x'(t)) }{ \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} } }

平面曲线显式表示的单位切向量和单位法向量

对于显式定义的平面曲线

y=f(x) y=f(x)

得到其参数化表示为

X(x)=(x,f(x)) X(x) = (x, f(x))

有

X′(x)=(1,f′(x)) X'(x) = (1, f'(x))

从而单位切向量为

T(x)=(1,f′(x))1+f′(x)2 \boxed{ T(x)=\frac{(1,f'(x))}{ \sqrt{1 + f'(x)^2} } }

单位法向量为

N(x)=(−f′(x),1)1+f′(x)2 \boxed{ N(x) = \frac{(-f'(x), 1)}{ \sqrt{1 + f'(x)^2} } }

平面曲线隐式表示的单位切向量和单位法向量

对于隐式定义的平面曲线

F(x,y)=0 F(x,y)=0

有

∇F(x,y)=(Fx(x,y),Fy(x,y)) \nabla F(x,y) =\bigl( F_x(x,y),F_y(x,y) \bigr)

且在曲线上满足

∇F≠(0,0) \nabla F \neq (0,0)

切向量可以通过广义叉积 ×∇F\times \nabla F，即逆时针旋转 90∘90^\circ 得到

×F=(−Fy(x,y),Fx(x,y)) \times F = (-F_y(x,y), F_x(x,y))

从而单位切向量为

T(x,y)=(−Fy(x,y),Fx(x,y))Fx(x,y)2+Fy(x,y)2 \boxed{ T(x,y) = \frac{ (-F_y(x,y),F_x(x,y)) }{ \sqrt{F_x(x,y)^2+F_y(x,y)^2} } }

单位法向量为

N(x,y)=(Fx(x,y),Fy(x,y))Fx(x,y)2+Fy(x,y)2 \boxed{ N(x,y) = \frac{ (F_x(x,y),F_y(x,y)) }{ \sqrt{F_x(x,y)^2+F_y(x,y)^2} } }

空间曲面的单位切向量和单位法向量

对于空间曲面 S⊂R3S\subset \mathbb{R}^3，其切空间 TpCT_pC 和法空间的维度为

dim⁡TpS=2dim⁡NpS=1 \dim T_pS = 2 \qquad \dim N_pS = 1

因此 TpST_pS 的一组基中需要两个线性无关的切向量，而 NpSN_pS 的一组基中只有一个法向量。

根据向外优先的定向约定，对于闭合曲面，正法向指向围成区域的外部，而正切向和正法向之间满足右手定则，即右手四指从第一个正切向基弯向第二个正切向基时，大拇指指向正法向。

空间曲面参数式表示的单位切向量和单位法向量

对于参数式定义的空间曲面

X(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) X(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))

有

Xu(u,v)=(xu(u,v),yu(u,v),zu(u,v))Xv(u,v)=(xv(u,v),yv(u,v),zv(u,v)) \begin{align*} X_u(u,v) &= (x_u(u,v),y_u(u,v),z_u(u,v)) \\ X_v(u,v) &= (x_v(u,v),y_v(u,v),z_v(u,v)) \\ \end{align*}

直接选择两个偏导数 Xu,XvX_u,X_v 作为切向量，归一化后得到单位切向量

Tu(u,v)=(xu(u,v),yu(u,v),zu(u,v))xu(u,v)2+yu(u,v)2+zu(u,v)2Tv(u,v)=(xv(u,v),yv(u,v),zv(u,v))xv(u,v)2+yv(u,v)2+zv(u,v)2 \boxed{ \begin{align*} T_u(u,v) &=\frac{ (x_u(u,v), y_u(u,v),z_u(u,v)) }{ \sqrt{x_u(u,v)^2+y_u(u,v)^2 + z_u(u,v)^2} } \\ T_v(u,v) &=\frac{ (x_v(u,v), y_v(u,v),z_v(u,v)) }{ \sqrt{x_v(u,v)^2+y_v(u,v)^2 + z_v(u,v)^2} } \\ \end{align*} }

用叉积 Xu×XvX_u\times X_v 得到法向量

Xu×Xv=∣ijkxuyuzuxvyvzv∣=[yuzv−zuyvzuxv−xuzvxuyv−yuxv] X_u\times X_v =\begin{vmatrix} i & j & k \\ x_u & y_u & z_u \\ x_v & y_v & z_v \\ \end{vmatrix} =\begin{bmatrix} y_uz_v-z_uy_v \\ z_ux_v-x_uz_v \\ x_uy_v-y_ux_v \end{bmatrix}

从而单位法向量为

N(u,v)=Xu(u,v)×Xv(u,v)∥Xu(u,v)×Xv(u,v)∥ \boxed{ N(u,v) = \frac{ X_u(u,v)\times X_v(u,v) }{ \left\lVert X_u(u,v)\times X_v(u,v) \right\rVert } }

空间曲面显式表示的单位切向量和单位法向量

对于显式定义的平面曲线

z=f(x,y) z=f(x,y)

得到其参数化表示为

X(x,y)=(x,y,f(x,y)) X(x,y) = (x, y, f(x,y))

有

Xx(x,y)=(1,0,fx(x,y))Xy(x,y)=(0,1,fy(x,y)) \begin{align*} X_x(x,y) &= (1, 0, f_x(x,y)) \\ X_y(x,y) &= (0, 1, f_y(x,y)) \\ \end{align*}

从而单位切向量为

Tx(x,y)=(1,0,fx(x,y))1+fx(x,y)2Ty(x,y)=(0,1,fy(x,y))1+fy(x,y)2 \boxed{ \begin{align*} T_x(x,y) &=\frac{ (1, 0, f_x(x,y)) }{ \sqrt{1 + f_x(x,y)^2} } \\ T_y(x,y) &=\frac{ (0, 1, f_y(x,y)) }{ \sqrt{1 + f_y(x,y)^2} } \end{align*} }

叉积得到

Xx(x,y)×Xy(x,y)=∣ijk10fx01fy∣=[−fx(x,y)−fy(x,y)1] X_x(x,y) \times X_y(x,y) =\begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 0 & f_x \\ 0 & 1 & f_y \\ \end{vmatrix} =\begin{bmatrix} -f_x(x,y) \\ -f_y(x,y) \\ 1 \end{bmatrix}

单位法向量为

N(x,y)=(−fx(x,y),−fy(x,y),1)1+fx(x,y)2+fy(x,y)2 \boxed{ N(x,y) = \frac{ (-f_x(x,y), -f_y(x,y), 1) }{ \sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2} } }

空间曲面隐式表示的单位切向量和单位法向量

对于隐式定义的空间曲面

F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0

有

∇F(x,y,z)=(Fx(x,y,z),Fy(x,y,z),Fz(x,y,z)) \nabla F(x,y,z) =\bigl( F_x(x,y,z), F_y(x,y,z), F_z(x,y,z) \bigr)

且在曲面上满足

∇F≠(0,0,0) \nabla F \neq (0,0,0)

雅可比矩阵为

DF=∇F DF=\nabla F

构造切空间的正交投影

PT=I3−DFT[DFDFT]−1DF=I3−∇F∇FT∥∇F∥2 \begin{align*} P_T &= I_3-DF^T \left[DFDF^T\right]^{-1}DF \\ &= I_3-\frac{\nabla F\nabla F^T}{\lVert\nabla F\rVert^2} \end{align*}

取两个向量 u,v∈R3u,v\in \mathbb{R}^3 满足

∣uTPTuuTPTvvTPTuvTPTv∣>0 \begin{vmatrix} u^TP_Tu & u^TP_Tv\\ v^TP_Tu & v^TP_Tv \end{vmatrix}>0

则可以得到线性无关的两个切向量

PTu=u−∇F∇FTu∥∇F∥2PTv=v−∇F∇FTv∥∇F∥2 \begin{align*} P_Tu &= u - \frac{\nabla F\nabla F^Tu}{\lVert\nabla F\rVert^2} \\ P_Tv &= v - \frac{\nabla F\nabla F^Tv}{\lVert\nabla F\rVert^2} \end{align*}

用向量三重积简化归一化的结果

PTu∥PTu∥=∇F×(u×∇F)∥∇F×(u×∇F)∥PTv∥PTv∥=∇F×(v×∇F)∥∇F×(v×∇F)∥ \begin{align*} \frac{P_Tu}{\lVert P_Tu\rVert} &= \frac{ \nabla F\times(u\times\nabla F) }{ \lVert\nabla F\times(u\times\nabla F)\rVert } \\ \frac{P_Tv}{\lVert P_Tv\rVert} &= \frac{ \nabla F\times(v\times\nabla F) }{ \lVert\nabla F\times(v\times\nabla F)\rVert } \\ \end{align*}

从而单位切向量为

Tu(x,y,z)=∇F(x,y,z)×(u×∇F(x,y,z))∥∇F(x,y,z)×(u×∇F(x,y,z))∥Tv(x,y,z)=∇F(x,y,z)×(v×∇F(x,y,z))∥∇F(x,y,z)×(v×∇F(x,y,z))∥ \boxed{ \begin{align*} T_u(x,y,z) &= \frac{ \nabla F(x,y,z)\times(u\times\nabla F(x,y,z)) }{ \lVert\nabla F(x,y,z)\times(u\times\nabla F(x,y,z))\rVert } \\ T_v(x,y,z) &= \frac{ \nabla F(x,y,z)\times(v\times\nabla F(x,y,z)) }{ \lVert\nabla F(x,y,z)\times(v\times\nabla F(x,y,z))\rVert } \\ \end{align*} }

单位法向量为

N(x,y,z)=(Fx(x,y,z),Fy(x,y,z),Fz(x,y,z))Fx(x,y,z)2+Fy(x,y,z)2+Fz(x,y,z)2 \boxed{ N(x,y,z) = \frac{ \bigl( F_x(x,y,z), F_y(x,y,z), F_z(x,y,z) \bigr) }{ \sqrt{F_x(x,y,z)^2+F_y(x,y,z)^2+F_z(x,y,z)^2} } }

空间曲线的单位切向量和单位法向量

对于空间曲线 C⊂R3C\subset\mathbb{R}^3，其切空间 TpCT_pC 和法空间 NpCN_pC 的维度为

dim⁡TpC=1dim⁡NpC=2 \dim T_pC=1 \qquad \dim N_pC=2

因此 TpCT_pC 的一组基中只有一个切向量，而 NpCN_pC 的一组基中需要两个线性无关的法向量。

根据向外优先的定向约定，对于闭合曲线，正法向指向围成区域的外部，而正切向是逆时针方向。

空间曲线参数式表示的单位切向量和单位法向量

对于参数式定义的空间曲线

X(t)=(x(t),y(t),z(t)) X(t)=(x(t),y(t),z(t))

有

X′(t)=(x′(t),y′(t),z′(t)) X'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))

且在曲线上满足

X′(t)≠(0,0,0) X'(t)\neq(0,0,0)

从而单位切向量为

T(t)=(x′(t),y′(t),z′(t))x′(t)2+y′(t)2+z′(t)2 \boxed{ T(t)=\frac{ (x'(t),y'(t),z'(t)) }{ \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2} } }

有

DX=X′ DX = X'

构造法空间的正交投影

PN=I3−DX[DXTDX]−1DXT=I3−X′X′T∥X′∥2 \begin{align*} P_N &=I_3-DX\bigl[DX^TDX\bigr]^{-1}DX^T\\ &=I_3-\frac{X'X'^T}{\lVert X'\rVert^2} \end{align*}

取两个向量 u,v∈R3u,v\in\mathbb{R}^3 满足

∣uTPNuuTPNvvTPNuvTPNv∣>0 \begin{vmatrix} u^TP_Nu&u^TP_Nv\\ v^TP_Nu&v^TP_Nv \end{vmatrix}>0

则可以得到线性无关的两个法向量

PNu=u−X′X′Tu∥X′∥2PNv=v−X′X′Tv∥X′∥2 \begin{align*} P_Nu &=u-\frac{X'X'^Tu}{\lVert X'\rVert^2}\\ P_Nv &=v-\frac{X'X'^Tv}{\lVert X'\rVert^2} \end{align*}

用向量三重积简化归一化的结果

PNu∥PNu∥=X′×(u×X′)∥X′×(u×X′)∥PNv∥PNv∥=X′×(v×X′)∥X′×(v×X′)∥ \begin{align*} \frac{P_Nu}{\lVert P_Nu\rVert} &= \frac{ X'\times(u\times X') }{ \lVert X'\times(u\times X')\rVert } \\ \frac{P_Nv}{\lVert P_Nv\rVert} &= \frac{ X'\times(v\times X') }{ \lVert X'\times(v\times X')\rVert } \end{align*}

从而单位法向量为

Nu(t)=X′(t)×(u×X′(t))∥X′(t)×(u×X′(t))∥Nv(t)=X′(t)×(v×X′(t))∥X′(t)×(v×X′(t))∥ \boxed{ \begin{align*} N_u(t) &= \frac{ X'(t)\times(u\times X'(t)) }{ \lVert X'(t)\times(u\times X'(t))\rVert }\\ N_v(t) &= \frac{ X'(t)\times(v\times X'(t)) }{ \lVert X'(t)\times(v\times X'(t))\rVert } \end{align*} }

空间曲线显式表示的单位切向量和单位法向量

对于显式定义的空间曲线

{y=f(x)z=g(x) \begin{cases} y=f(x)\\ z=g(x) \end{cases}

得到其参数化表示为

X(x)=(x,f(x),g(x)) X(x)=(x,f(x),g(x))

有

X′(x)=(1,f′(x),g′(x)) X'(x)=(1,f'(x),g'(x))

从而单位切向量为

T(x)=(1,f′(x),g′(x))1+f′(x)2+g′(x)2 \boxed{ T(x)=\frac{ (1,f'(x),g'(x)) }{ \sqrt{1+f'(x)^2+g'(x)^2} } }

此时有

B(x)=[−f′(x)−g′(x)1001] B(x)= \begin{bmatrix} -f'(x)&-g'(x)\\ 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}

对任意 b≠0∈R2b\ne 0\in \mathbb{R}^2，有法向量

B(u)b B(u)b

取 R2\mathbb R^2 的标准基

b1=(1,0)b2=(0,1) b_1=(1,0) \qquad b_2=(0,1)

得到两个线性无关的法向量

B(x)b1=(−f′(x),1,0)B(x)b2=(−g′(x),0,1) \begin{align*} B(x)b_1&=(-f'(x),1,0)\\ B(x)b_2&=(-g'(x),0,1) \end{align*}

归一化之后的单位法向量为

N1(x)=(−f′(x),1,0)1+f′(x)2N2(x)=(−g′(x),0,1)1+g′(x)2 \boxed{ \begin{align*} N_1(x) &=\frac{ (-f'(x),1,0) }{ \sqrt{1+f'(x)^2} }\\[8pt] N_2(x) &=\frac{ (-g'(x),0,1) }{ \sqrt{1+g'(x)^2} } \end{align*} }

空间曲线隐式表示的单位切向量和单位法向量

对于隐式定义的空间曲线

{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0 \begin{cases} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{cases}

有

∇F=(Fx,Fy,Fz)∇G=(Gx,Gy,Gz) \begin{align*} \nabla F&=(F_x,F_y,F_z) \\ \nabla G&=(G_x,G_y,G_z) \end{align*}

且在曲线上满足

∇F×∇G≠(0,0,0) \nabla F\times\nabla G\neq(0,0,0)

其雅可比矩阵为

DH=[FxFyFzGxGyGz] D H= \begin{bmatrix} F_x&F_y&F_z\\ G_x&G_y&G_z \end{bmatrix}

用叉积 ∇F×∇G\nabla F\times\nabla G 得到切向量

∇F×∇G=∣ijkFxFyFzGxGyGz∣=[FyGz−FzGyFzGx−FxGzFxGy−FyGx] \nabla F\times\nabla G= \begin{vmatrix} i&j&k\\ F_x&F_y&F_z\\ G_x&G_y&G_z \end{vmatrix} =\begin{bmatrix} F_yG_z-F_zG_y\\ F_zG_x-F_xG_z\\ F_xG_y-F_yG_x \end{bmatrix}

从而单位切向量为

T(x,y,z)=∇F(x,y,z)×∇G(x,y,z)∥∇F(x,y,z)×∇G(x,y,z)∥ \boxed{ T(x,y,z)=\frac{ \nabla F(x,y,z)\times\nabla G(x,y,z) }{ \lVert\nabla F(x,y,z)\times\nabla G(x,y,z)\rVert } }

直接选择两个梯度 ∇F,∇G\nabla F, \nabla G 作为法向量，归一化后得到单位法向量

NF(x,y,z)=(Fx(x,y,z),Fy(x,y,z),Fz(x,y,z))Fx(x,y,z)2+Fy(x,y,z)2+Fz(x,y,z)2NG(x,y,z)=(Gx(x,y,z),Gy(x,y,z),Gz(x,y,z))Gx(x,y,z)2+Gy(x,y,z)2+Gz(x,y,z)2 \boxed{ \begin{align*} N_F(x,y,z) &= \frac{ (F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z)) }{ \sqrt{F_x(x,y,z)^2+F_y(x,y,z)^2+F_z(x,y,z)^2} }\\[8pt] N_G(x,y,z) &= \frac{ (G_x(x,y,z),G_y(x,y,z),G_z(x,y,z)) }{ \sqrt{G_x(x,y,z)^2+G_y(x,y,z)^2+G_z(x,y,z)^2} } \end{align*} }

密度

黎曼体积密度

设 (M,g)(M,g) 是一个 nn 维光滑黎曼流形。对任意 p∈Mp\in M 及 v1,…,vn∈TpMv_1,\ldots,v_n\in T_pM，有

dVg(v1,…,vn)=det⁡(gp(vi,vj))i,j=1n dV_g (v_1,\ldots,v_n)= \sqrt{\det\bigl(g_p(v_i,v_j)\bigr)_{i,j=1}^n}

记格拉姆矩阵为两两内积组成的矩阵

G(v1,…,vn)=[g(v1,v1)⋯g(v1,vn)⋮⋱⋮g(vn,v1)⋯g(vn,vn)] G(v_1,\ldots,v_n)= \begin{bmatrix} g(v_1,v_1)&\cdots&g(v_1,v_n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ g(v_n,v_1)&\cdots&g(v_n,v_n) \end{bmatrix}

则黎曼体积密度可以记为

dVg(v1,…,vn)=det⁡G(v1,…,vn) dV_g(v_1,\ldots,v_n)= \sqrt{\det G(v_1,\ldots,v_n)}

对密度的积分也叫第一类积分。由于被积密度为方向无关的体积密度，因此第一类积分不依赖方向——沿着任意参数空间，积分结果都不变。对于 f:M→Rf:M\to \mathbb{R}，其在 MM 上对体积密度的积分记为

∫MfdVg \int_M fdV_g

黎曼体积密度的性质

黎曼体积密度是非负的

dVg(v1,…,vn)≥0 dV_g (v_1,\ldots,v_n)\geq 0

黎曼体积密度在标准正交基下归一化。如果 e1,…,ene_1,\ldots,e_n 是 gg 的正交标准基，即

g(ei,ej)=δij g(e_i,e_j)=\delta_{ij}

那么此时由基内积组成的格拉姆矩阵，或者说度量矩阵，是一个单位矩阵，从而有

dVg(e1,…,en)=1 dV_g(e_1,\ldots,e_n)=1

曼体积密度有良好的坐标变换性质。若一组新向量 (w1,w2,⋯ ,wn)(w_1, w_2, \cdots, w_n) 为

wj=∑i=1nviAji w_j=\sum_{i=1}^n v_i A^i_j

于是

g(wi,wj)=g(∑k=1nvkAik,∑ℓ=1nvℓAjℓ)=∑k,ℓ=1nAikg(vk,vℓ)Ajℓ \begin{align*} g(w_i,w_j) &=g\left( \sum_{k=1}^n v_kA^k_i, \sum_{\ell=1}^n v_\ell A^\ell_j \right)\\ &=\sum_{k,\ell=1}^n A^k_ig(v_k,v_\ell)A^\ell_j \end{align*}

即格拉姆矩阵满足

G(w1,⋯ ,wn)=ATG(v1,⋯ ,vn)A G(w_1, \cdots, w_n)=A^T G(v_1, \cdots, v_n)A

从而有

dVg(w1,…,wn)=det⁡(ATG(v1,⋯ ,vn)A)=∣det⁡A∣det⁡G(v1,⋯ ,vn)=∣det⁡A∣dVg(v1,⋯ ,vn) \begin{align*} dV_g (w_1,\ldots,w_n) &=\sqrt{\det(A^T G(v_1, \cdots, v_n)A)} \\ &=|\det A|\sqrt{\det G(v_1, \cdots, v_n)} \\ &=|\det A|dV_g(v_1, \cdots, v_n) \\ \end{align*}

所以新向量组的体积密度为

dVg(w1,…,wn)=∣det⁡A∣dVg(v1,…,vn) dV_g(w_1,\ldots,w_n)= |\det A| dV_g(v_1,\ldots,v_n)

黎曼流形上的体积密度

在局部坐标 (x1,…,xn)(x^1,\ldots,x^n) 下，度量矩阵的分量为

gij(p)=gp(∂∂xi,∂∂xj) g_{ij}(p)= g_p\left( \frac{\partial}{\partial x^i}, \frac{\partial}{\partial x^j} \right)

从而有

dVg(∂∂x1,…,∂∂xn)=det⁡(gij(p)) dV_g\left( \frac{\partial}{\partial x^1},\ldots, \frac{\partial}{\partial x^n} \right)= \sqrt{\det(g_{ij}(p))}

即

dVg=det⁡(gij)∣dx1∧⋯∧dxn∣ dV_g= \sqrt{\det(g_{ij})} \lvert dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n \rvert

也可以简写为

dVg=det⁡(gij)∣dx1⋯dxn∣=det⁡(gij)dx1⋯dxn dV_g = \sqrt{\det(g_{ij})} \lvert dx^1\cdots dx^n\rvert = \sqrt{\det(g_{ij})} dx^1\cdots dx^n

黎曼体积密度描述的是无符号的几何体积，而黎曼体积形式则在黎曼体积密度的基础上加入了定向信息，是一种有符号的几何体积。因此，也可以将黎曼体积密度记为

dVg=∣vol⁡g∣ dV_g = \lvert\operatorname{vol}_g\rvert

设局部坐标映射为

φ:U⟶φ(U)⊂Rn \varphi:U\longrightarrow \varphi(U)\subset\mathbb R^n

在局部坐标中 f:M→Rf:M\to\mathbb{R} 的积分表示为

∫MfdVg=∫φ(U)f(φ−1(u))det⁡(gij(φ−1(u)))du1⋯dun \int_M fdV_g =\int_{\varphi(U)} f(\varphi^{-1}(u)) \sqrt{\det(g_{ij}(\varphi^{-1}(u)))} du^1\cdots du^n

欧氏空间中的体积密度

在标准笛卡尔坐标 (x1,…,xn)(x^1,\ldots,x^n) 下，欧氏度量为

g=∑indxi⊗dxi g = \sum_i^n dx^i\otimes dx^i

即

gij=δijdet⁡(gij)=1 g_{ij}=\delta_{ij} \qquad \det(g_{ij}) = 1

因此黎曼体积密度变为

dVRn=∣dx1⋯dxn∣ dV_{\mathbb{R}^n}= |dx^1\cdots dx^n|

也可以简记为

dVRn=dx1⋯dxn dV_{\mathbb{R}^n}= dx^1\cdots dx^n

对于 f:Rn→Rf:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} 的积分为

∫RnfdVRn=∫Rnf(x1,…,xn)dx1⋯dxn \int_{\mathbb R^n}fdV_{\mathbb R^n} =\int_{\mathbb R^n} f(x^1,\ldots,x^n) dx^1\cdots dx^n

特别地，对于 R1\mathbb{R}^1，此时体积密度其实是长度密度，也叫长度微元，通常记为

dL=dx dL = dx

在 [a,b][a,b] 上的积分表示为

∫abf(x)dx \int_a^b f(x)dx

对于 R2\mathbb{R}^2，此时体积密度其实是面积密度，也叫面积微元，通常记为

dA=dxdy dA = dxdy

在 [a1,b1]×[a2,b2][a_1,b_1]\times[a_2,b_2] 上的积分表示为

∫a2b2∫a1b1f(x,y)dxdy \int_{a_2}^{b_2}\int_{a_1}^{b_1} f(x,y)dxdy

对于 R3\mathbb{R}^3，此时体积密度就是传统意义上的体积密度，也叫体积微元，通常记为

dV=dxdydz dV = dxdydz

在 [a1,b1]×[a2,b2]×[a3,b3][a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times[a_3,b_3] 上的积分表示为

∫a3b3∫a2b2∫a1b1f(x,y,z)dxdydz \int_{a_3}^{b_3}\int_{a_2}^{b_2}\int_{a_1}^{b_1} f(x,y,z)dxdydz

对于更高维的欧氏空间，体积密度不再是传统意义上的体积密度，而是一种更广义的、高维空间中的体积密度。

欧氏空间中嵌入流形的体积密度

设 M⊂RnM\subset\mathbb R^n 是一个 kk 维光滑嵌入子流形。可通过将欧式内积限制在 MM 上，让子流形MM 继承欧式度量，从而成为一个 kk 维黎曼流形。即定义 MM 上的诱导度量为

gp(u,v)=⟨u,v⟩Rnu,v∈TpM g_p(u,v)=\langle u,v\rangle_{\mathbb R^n} \qquad u,v\in T_pM

特别地，对于 Rn\mathbb{R}^n 中的 11 维子流形，即曲线，其体积密度通常记为 dsds，并且可以乘上单位切向量，得到有向线元

dr⃗=T⃗ds d \vec{r} = \vec{T} ds

对于 Rn\mathbb{R}^n 中的 n−1n-1 维子流形，即超曲面，其体积密度通常记为 dσd\sigma，并且可以乘上单位法向量，得到有向面元

dS⃗=N⃗dσ d \vec{S} = \vec{N} d\sigma

现推导欧氏空间中嵌入流形体积密度的坐标表示，包括参数式、显式、隐式三种表示对应的公式，以及曲线和超曲面上的特殊情况。

参数式表示的体积密度

设参数式表示 X:U⊂Rk⟶M⊂RnX:U\subset\mathbb R^k\longrightarrow M\subset\mathbb R^n 为

X(u1,…,uk)=(X1(u),…,Xn(u)) X(u^1,\ldots,u^k) =(X^1(u),\ldots,X^n(u))

其微分为

Xa=(∂X1∂ua,⋯ ,∂Xn∂ua) X_a=\left( \frac{\partial X^1}{\partial u^a}, \cdots, \frac{\partial X^n}{\partial u^a} \right)

诱导度量在参数坐标下满足

gij=⟨Xi,Xj⟩Rn g_{ij}=\langle X_i,X_j\rangle_{\mathbb R^n}

记雅可比矩阵 DX(u)∈Rn×kDX(u)\in \mathbb{R}^{n\times k} 为

DX(u)=[X1(u)⋯Xk(u)] DX(u) = \begin{bmatrix} X_1(u) & \cdots & X_k(u) \\ \end{bmatrix}

且满足

rank⁡DX(u)=k \operatorname{rank}DX(u)=k

则诱导度量的度量矩阵为

G=DXTDX G=DX^T DX

由黎曼体积密度的定义，有

dVM(u)=det⁡(DX(u)TDX(u))∣du1⋯duk∣ \boxed{ dV_M(u) = \sqrt{\det(DX(u)^T DX(u))} \lvert du^1\cdots du^k\rvert }
超曲面参数式表示的体积密度

当 k=n−1k=n-1 时，有

X:U⊂Rn−1⟶RnDX(u)=[X1(u)⋯Xn−1(u)] X:U\subset\mathbb R^{n-1}\longrightarrow\mathbb R^n \qquad DX(u)=\begin{bmatrix} X_1(u) & \cdots & X_{n-1}(u) \end{bmatrix}

利用广义叉积，得到

∥X1×⋯×Xn−1∥2=∥⋆(X1♭∧⋯∧Xn−1♭)∥2=∥X1♭∧⋯∧Xn−1♭∥2=∣⟨X1,X1⟩⋯⟨X1,Xn−1⟩⋮⋱⋮⟨Xn−1,X1⟩⋯⟨Xn−1,Xn−1⟩∣=det⁡DXTDX \begin{align*} \lVert X_1 \times \cdots \times X_{n-1} \rVert^2 &= \lVert \star (X_1^\flat \wedge \cdots \wedge X_{n-1}^\flat) \rVert^2 \\ &= \lVert X_1^\flat \wedge \cdots \wedge X_{n-1}^\flat \rVert^2 \\ &=\begin{vmatrix} \langle X_1,X_1\rangle & \cdots & \langle X_1, X_{n-1} \rangle \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle X_{n-1},X_1\rangle & \cdots & \langle X_{n-1}, X_{n-1} \rangle \\ \end{vmatrix} \\ &=\det DX^T DX \end{align*}

从而黎曼体积密度为

dσ(u)=∥X1(u)×⋯×Xn−1(u)∥∣du1⋯dun−1∣ \boxed{ d\sigma(u) = \lVert X_1(u) \times \cdots \times X_{n-1}(u) \rVert \lvert du^1\cdots du^{n-1}\rvert }

代入此时 MM 的单位法向量

N(u)=X1(u)×⋯×Xn−1(u)∥X1(u)×⋯×Xn−1(u)∥ N(u)=\frac{ X_1(u) \times \cdots \times X_{n-1}(u) }{ \lVert X_1(u) \times \cdots \times X_{n-1}(u) \rVert }

得到有向面元为

dS⃗(u)=X1(u)×⋯×Xn−1(u)∣du1⋯dun−1∣ \boxed{ d\vec{S}(u) = X_1(u) \times \cdots \times X_{n-1}(u) \lvert du^1\cdots du^{n-1}\rvert }
曲线参数式表示的体积密度

当 k=1k=1 时，有

X:U⊂R⟶RnDX(u)=X′(u) X:U\subset\mathbb R\longrightarrow\mathbb R^n \qquad DX(u)=X'(u)

此时

G=DXTDX=∥X′∥2 G = DX^TDX = \lVert X' \rVert^2

黎曼体积密度为

ds(u)=∥X′(u)∥∣du∣ \boxed{ ds(u) = \lVert X'(u) \rVert \lvert du\rvert }

代入此时 MM 的单位切向量

T(u)=X′(u)∥X′(u)∥ T(u)=\frac{ X'(u) }{ \left\lVert X'(u) \right\rVert }

得到有向线元为

dr⃗(u)=X′(u)∣du∣ \boxed{ d\vec{r}(u) = X'(u) \lvert du\rvert }

显式表示的体积密度

设显式表示 f:Rk→Rn−kf: \mathbb R^k\to\mathbb R^{n-k} 为

(uk+1,…,un)=f(u1,…,uk) (u^{k+1},\ldots,u^n)=f(u^1,\ldots,u^k)

可以构造出参数式表示 X:U⊂Rk⟶RnX:U\subset\mathbb R^k\longrightarrow\mathbb R^n

X(u)=(u,f(u)) X(u)=(u, f(u))

记 ff 的雅可比矩阵为

Df(u)∈Rn−k×k Df(u)\in\mathbb R^{{n-k}\times k}

参数化的 n×kn\times k 微分矩阵为

DX(u)=[IkDf(u)] DX(u)= \begin{bmatrix} I_k \\ Df(u) \end{bmatrix}

从而度量矩阵为

G=DXTDX=Ik+DfTDf G=DX^T DX =I_k+Df^T Df

黎曼体积密度为

dVM(u)=det⁡(Ik+Df(u)TDf(u))∣du1⋯duk∣ \boxed{ dV_M(u)= \sqrt{\det\bigl(I_k+Df(u)^T Df(u)\bigr)} \lvert du^1\cdots du^k\rvert }
超曲面显式表示的体积密度

当 k=n−1k=n-1 时，有

f:Rn−1→RDX(u)=[In−1∇f(u)T] f: \mathbb R^{n-1}\to\mathbb R \qquad DX(u)=\begin{bmatrix} I_{n-1} \\ \nabla f(u)^T \end{bmatrix}

此时度量矩阵为

G=In−1+∇f∇fT G =I_{n-1}+\nabla f \nabla f^T

行列式为

det⁡G=det⁡(In−1+∇f∇fT)=1+∥∇f∥2 \det G = \det(I_{n-1}+\nabla f \nabla f^T) = 1+\lVert \nabla f \rVert^2

从而黎曼体积密度为

dσ(u)=1+∥∇f(u)∥2∣du1⋯dun−1∣ \boxed{ d\sigma(u)= \sqrt{1+\lVert \nabla f(u) \rVert^2} \lvert du^1\cdots du^{n-1}\rvert }

代入此时 MM 的单位法向量

N(u)=(−∇f(u),1)1+∥∇f(u)∥2 N(u) = \frac{ (-\nabla f(u),1) }{ \sqrt{1+ \lVert\nabla f(u)\rVert^2} }

得到有向面元为

dS⃗(u)=(−∇f(u),1)∣du1⋯dun−1∣ \boxed{ d\vec{S}(u) = (-\nabla f(u),1) \lvert du^1\cdots du^{n-1}\rvert }
曲线显式表示的体积密度

当 k=1k=1 时，有

f:R→Rn−1DX(u)=[1f′(u)] f: \mathbb R\to\mathbb R^{n-1} \qquad DX(u)=\begin{bmatrix} 1 \\ f'(u) \end{bmatrix}

此时

G=1+f′Tf′=1+∥f′∥2 G=1+f'^T f' =1+\lVert f' \rVert^2

从而黎曼体积密度为

ds(u)=1+∥f′(u)∥2∣du∣ \boxed{ ds(u)= \sqrt{1+\lVert f'(u) \rVert^2} \lvert du\rvert }

代入此时 MM 的单位切向量

T(u)=(1,f′(u))1+∥f′(u)∥2 T(u)=\frac{ (1,f'(u)) }{ \sqrt{1+\|f'(u)\|^2} }

得到有向线元为

dr⃗(u)=(1,f′(u))∣du∣ \boxed{ d\vec{r}(u) = (1,f'(u)) \lvert du\rvert }

隐式表示的体积密度

设隐式表示 F:Rn→Rn−kF:\mathbb R^n\to\mathbb R^{n-k} 为

M={ x∈Rn  |  F(x)=0 } M=\Set{ x\in\mathbb R^n | F(x)=0 }

把环境坐标拆成

x=(u,v)u∈Rk,v∈Rn−k x=(u,v) \qquad u\in\mathbb R^k,v\in\mathbb R^{n-k}

记

A=DuF(x)∈R(n−k)×kB=DvF(x)∈R(n−k)×(n−k)DF(x)=[AB]∈R(n−k)×n \begin{align*} A &= D_uF(x) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} \\ B &= D_vF(x) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times (n-k)} \\ DF(x) &= \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{(n-k)\times n} \\ \end{align*}

由隐函数定理，当 F(u,v)=0F(u,v) = 0 且 det⁡DvF(x)≠0\det D_vF(x)\ne0 时，u∈Uu\in U 局部存在光滑函数 ff 使得

v=f(u) v = f(u)

从而流形可以参数化为

X(u)=(u,f(u)) X(u) = \bigl(u, f(u)\bigr)

得到参数化的 n×kn\times k 微分矩阵

DX(u)=[IkDf(u)] DX(u)= \begin{bmatrix} I_k \\ Df(u) \end{bmatrix}

对 F(u,f(u))=0F(u,f(u)) = 0 求微分得到

DuF+DvFDf=0Df=−B−1A \begin{align*} D_uF+D_vFDf &= 0 \\ Df &=-B^{-1}A \end{align*}

于是诱导度量的度量矩阵为

G=Ik+DfTDf=Ik+ATB−TB−1A G =I_k+Df^T Df =I_k+A^TB^{-T}B^{-1}A

其行列式为

det⁡G=det⁡(Ik+ATB−TB−1A)=det⁡(In−k+B−1AATB−T)=det⁡(B−1(BBT+AAT)B−T)=det⁡(AAT+BBT)(det⁡B)2=det⁡(DFDFT)(det⁡DvF)2 \begin{align*} \det G &=\det\left(I_k+A^TB^{-T}B^{-1}A\right) \\ &=\det\left(I_{n-k}+B^{-1}AA^TB^{-T}\right) \\ &=\det\left(B^{-1}(BB^T+AA^T)B^{-T}\right) \\ &=\frac{\det(AA^T+BB^T)}{(\det B)^2} \\ &=\frac{\det(DFDF^T)}{(\det D_vF)^2} \\ \end{align*}

从而黎曼体积密度为

dVM(x)=det⁡(DF(x)DF(x)T)∣det⁡DvF(x)∣∣du1⋯duk∣ dV_M(x)= \frac{ \sqrt{\det(DF(x)DF(x)^T)} }{ \lvert\det D_vF(x)\rvert }\lvert du^1\cdots du^k \rvert

进一步地，我们可以将环境坐标拆成正交的两部分

x=Pu+Qv x=Pu+Qv

矩阵 P∈Rn×k,Q∈Rn×(n−k)P\in\mathbb R^{n\times k},Q\in\mathbb R^{n\times(n-k)} 满足

PTP=IkQTQ=In−kPTQ=QTP=0 P^TP=I_k \qquad Q^TQ=I_{n-k} \qquad P^TQ=Q^TP=0

从而得到

u=PTx∈Rkv=QTx∈Rn−k u=P^Tx\in\mathbb R^k \qquad v=Q^Tx\in\mathbb R^{n-k}

在新的坐标系下定义

F~(u,v)=F(Pu+Qv) \widetilde F(u,v)=F(Pu+Qv)

记

A=DuF~(x)=DF(x)PB=DvF~(x)=DF(x)Q \begin{align*} A&=D_u\widetilde F(x)=DF(x) P \\ B&=D_v\widetilde F(x)=DF(x) Q \\ \end{align*}

此时有

DF~(x)=[AB]=DF(x)[PQ] D\widetilde F(x)=\begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix}=DF(x)\begin{bmatrix} P & Q \end{bmatrix}

当 det⁡(DF(x)Q)≠0\det(DF(x)Q)\ne0 时，由隐函数定理，局部存在 v=f(u)v=f(u)。此时参数化及其微分变为

X(u)=Pu+Qf(u)DX(u)=P+QDf(u) \begin{align*} X(u)&=Pu+Qf(u) \\ DX(u)&=P+QDf(u) \end{align*}

对 F(Pu+Qf(u))=0F(Pu+Qf(u))=0 求微分，仍然得到

Df=−B−1A Df=-B^{-1}A

诱导度量依然是

G=Ik+DfTDf G=I_k+Df^TDf

由于 P,QP,Q 是正交矩阵，故

AAT+BBT=DF~(x)DF~(x)T=DF(x)[PQ][PTQT]DF(x)T=DF(x)DF(x)T \begin{align*} AA^T+BB^T &=D\widetilde F(x)D\widetilde F(x)^T \\ &=DF(x)\begin{bmatrix} P & Q \end{bmatrix}\begin{bmatrix} P^T \\ Q^T \end{bmatrix}DF(x)^T \\ &=DF(x)DF(x)^T \\ \end{align*}

最终得到

dVM(x)=det⁡(DF(x)DF(x)T)∣det⁡(DF(x)Q)∣∣du1⋯duk∣ \boxed{ dV_M(x)= \frac{ \sqrt{\det\bigl(DF(x)DF(x)^T\bigr)} }{ \left\lvert\det\bigl(DF(x)Q\bigr)\right\rvert } |du^1\cdots du^k| }
超曲面隐式表示的体积密度

当 k=n−1k=n-1 时，MM 是一个 Rn\mathbb{R}^n 中的 n−1n-1 维超曲面，此时有

F:Rn→RDF=∇FT F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \qquad DF = \nabla F^T

并且

DFDFT=∇FT∇F=∥∇F∥2 DFDF^T =\nabla F^T\nabla F =\lVert\nabla F\rVert^2

设 H⊂RnH\subset\mathbb R^n 是以 NN 为单位法向量的 n−1n-1 维超平面，将环境坐标正交分解为超平面 HH 和法向量 NN 上的两部分

x=Pu+Nvu∈Rn−1,v∈R x=Pu+Nv \qquad u\in\mathbb R^{n-1},v\in\mathbb R

此时

DF(x)N=∇F(x)⋅N DF(x)N=\nabla F(x)\cdot N

从而体积密度为

dσ(x)=∥∇F(x)∥∣∇F(x)⋅N∣∣du1⋯dun−1∣ \boxed{ d\sigma(x)= \frac{ \lVert\nabla F(x)\rVert }{ \lvert\nabla F(x)\cdot N\rvert } \lvert du^1\cdots du^{n-1}\rvert }

其中 NN 是参数超平面 u1⋯un−1u^1\cdots u^{n-1} 上的单位法向量。

代入此时 MM 的单位法向量

N(x)=∇F(x)∥∇F(x)∥ N(x)=\frac{ \nabla F(x) }{ \lVert\nabla F(x)\rVert }

得到有向面元为

dS⃗(x)=∇F(x)∣∇F(x)⋅N∣∣du1⋯dun−1∣ \boxed{ d\vec{S}(x) = \frac{ \nabla F(x) }{ \lvert\nabla F(x)\cdot N\rvert } \lvert du^1\cdots du^{n-1}\rvert }

在几何上，可以理解为超曲面 MM 的体积密度 dσ=dVMd\sigma = \mathrm{d}V_M 被投影到了超平面 HH 的体积密度 dVH=∣du1⋯dun−1∣\mathrm{d}V_H = \lvert du^1\cdots du^{n-1}\rvert 上

dVH=dVM∣cos⁡θ∣ \mathrm{d}V_H = \mathrm{d}V_M\lvert\cos\theta\rvert

这里的 θ\theta 是超曲面单位法向量 NMN_M 和超平面单位法向量 NHN_H 的夹角，即

cos⁡θ=NM⋅NH=∇F⋅NH∥∇F∥ \cos\theta = N_M \cdot N_H = \frac{\nabla F\cdot N_H}{\lVert \nabla F \rVert}

代回便得到

dVM=dVH∣cos⁡θ∣=∥∇F∥∣∇F⋅NH∣dVH \mathrm{d}V_M = \frac{ \mathrm{d}V_H }{ \lvert\cos\theta\rvert } = \frac{ \lVert \nabla F \rVert }{ \lvert \nabla F\cdot N_H \rvert } \mathrm{d}V_H
曲线隐式表示的体积密度

当 k=1k=1 时，有

F:Rn→Rn−1DF(x)=[∇F1(x)T⋮∇Fn−1(x)T] F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n-1} \qquad DF(x) = \begin{bmatrix} \nabla F_1(x)^T \\ \vdots \\ \nabla F_{n-1}(x)^T \end{bmatrix}

利用广义叉积得到

C(x)=∇F1(x)×⋯×∇Fn−1(x)=[⋆(dF1(x)∧⋯∧dFn−1(x))]♯ \begin{align*} C(x) &=\nabla F_1(x) \times \cdots \times \nabla F_{n-1}(x) \\ &=\left[ \star\left( dF_1(x)\wedge\cdots\wedge dF_{n-1}(x) \right) \right]^\sharp \end{align*}

由广义叉积的正交性得到

DF(x)C(x)=0 DF(x)C(x)=0

由曲线切向量的性质得到

DF(x)X′(u)=0 DF(x)X'(u)=0

所以 X′(u)X'(u) 与 C(x)C(x) 平行。即存在非零标量 λ(u)\lambda(u) 使得

X′(u)=λ(u)C(x) X'(u)=\lambda(u)C(x)

将环境坐标正交分解为

x=Tu+Qvu∈R,v∈Rn−1 x=Tu+Qv \qquad u\in\mathbb R, v\in\mathbb R^{n-1}

当 det⁡DF(x)Q≠0\det DF(x)Q\ne0 时，曲线可参数化为

X(u)=Tu+Qf(u) X(u)=Tu+Qf(u)

此时有

TTX(u)=u T^TX(u)=u

对 uu 求微分，得到

TTX′(u)=1 T^TX'(u) = 1

代入 X′(u)=λ(u)C(x)X'(u)=\lambda(u)C(x)，得到

1=λ(u)C(x)⋅T 1=\lambda(u) C(x)\cdot T

因此

λ(u)=1C(x)⋅T \lambda(u)=\frac{1}{C(x)\cdot T}

得到参数化表示为

X′(u)=C(x)C(x)⋅T X'(u)= \frac{C(x)}{C(x)\cdot T}

计算诱导度量

G=∥X′∥2=∥C(x)C(x)⋅T∥2=∥C(x)∥2∣C(x)⋅T∣2 G = \lVert X' \rVert^2 =\left\Vert \frac{C(x)}{C(x)\cdot T} \right\Vert^2 =\frac{\lVert C(x)\rVert^2} {\lvert C(x)\cdot T\rvert^2}

最终得到黎曼体积密度为

ds(x)=∥∇F1(x)×⋯×∇Fn−1(x)∥∣(∇F1(x)×⋯×∇Fn−1(x))⋅T∣∣du∣ \boxed{ ds(x)= \frac{ \lVert \nabla F_1(x) \times \cdots \times \nabla F_{n-1}(x)\rVert }{ \lvert \bigl(\nabla F_1(x) \times \cdots \times \nabla F_{n-1}(x)\bigr) \cdot T\rvert } \lvert du\rvert }

其中 TT 是沿着参数坐标 uu 的单位切向量。

代入此时 MM 的单位切向量

T(x)=∇F1(x)×⋯×∇Fn−1(x)∥∇F1(x)×⋯×∇Fn−1(x)∥ T(x)=\frac{ \nabla F^1(x) \times \cdots \times \nabla F^{n-1}(x) }{ \lVert \nabla F_1(x) \times \cdots \times \nabla F_{n-1}(x)\rVert }

得到有向线元为

dr⃗(u)=∇F1(x)×⋯×∇Fn−1(x)∣(∇F1(x)×⋯×∇Fn−1(x))⋅T∣∣du∣ \boxed{ d\vec{r}(u) = \frac{ \nabla F^1(x) \times \cdots \times \nabla F^{n-1}(x) }{ \lvert \bigl(\nabla F_1(x) \times \cdots \times \nabla F_{n-1}(x)\bigr) \cdot T\rvert } \lvert du\rvert }

平面曲线上的体积密度

对于平面曲线 CC，其体积密度也叫长度微元，用 dsds 表示。

给定标量函数 f:R2→Rf:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}，它在曲线 CC 上的积分为

∫Cf(x,y)ds \int_C f(x,y) \mathrm{d}s

平面曲线参数式表示的体积密度

对于参数式定义的平面曲线

X(t)=(x(t),y(t)) X(t) = \bigl( x(t), y(t) \bigr)

其微分为

X′(t)=(x′(t),y′(t)) X'(t) = \bigl( x'(t), y'(t) \bigr)

雅可比矩阵为

DX(t)=X′(t) DX(t) = X'(t)

度量矩阵为

G=DXTDX=∥X′∥2 G=DX^T DX =\lVert X' \rVert^2

黎曼体积密度为

ds(t)=∥X′(t)∥dt \boxed{ ds(t) = \lVert X'(t) \rVert dt }

平面曲线显式表示的体积密度

对于显式定义的平面曲线

y=f(x) y=f(x)

参数化为

X(t)=(t,f(t)) X(t) = \bigl( t, f(t) \bigr)

雅可比矩阵为

DX(t)=[1f′(t)] DX(t) = \begin{bmatrix} 1 \\ f'(t) \end{bmatrix}

度量矩阵为

G=DXTDX=1+(f′)2 G=DX^T DX =1 + (f')^2

其黎曼体积密度为

ds(x)=1+f′(x)2dx \boxed{ \mathrm{d}s(x) = \sqrt{1+f'(x)^2} \mathrm{d}x }

平面曲线隐式表示的体积密度

对于隐式定义的平面曲线

F(x,y)=0 F(x,y) = 0

沿任意直线 LL 的体积密度为

ds(x,y)=∥∇F(x,y)∥∣∇F(x,y)⋅N∣dL \boxed{ \mathrm{d}s(x,y) = \frac{ \lVert\nabla F(x,y)\rVert }{ \lvert\nabla F(x,y) \cdot N\rvert } \mathrm{d}L }

其中 NN 是直线 LL 上的单位法向量，dL\mathrm{d}L 是直线 LL 的体积密度。

特别地，沿着 xx 轴的体积密度为

ds(x,y)=∥∇F(x,y)∥∣Fy(x,y)∣dx \boxed{ \mathrm{d}s(x,y) = \frac{ \lVert\nabla F(x,y)\rVert }{ \lvert F_y(x,y) \rvert } \mathrm{d}x \\ }

空间曲面上的体积密度

对于空间曲面 SS，其体积密度也叫面积微元，用 dσd\sigma 表示。

给定标量函数 f:R3→Rf:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}，它在曲面 SS 上的积分为

∬Sf(x,y,z)dσ \iint_S f(x,y,z) \mathrm{d}\sigma

空间曲面参数式表示的体积密度

对于参数式定义的空间曲面

X(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) X(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))

有

Xu(u,v)=(xu(u,v),yu(u,v),zu(u,v))Xv(u,v)=(xv(u,v),yv(u,v),zv(u,v)) \begin{align*} X_u(u,v) &= (x_u(u,v),y_u(u,v),z_u(u,v)) \\ X_v(u,v) &= (x_v(u,v),y_v(u,v),z_v(u,v)) \\ \end{align*}

雅可比矩阵为

DX(u,v)=[Xu(u,v)Xv(u,v)] DX(u,v) = \begin{bmatrix} X_u(u,v) & X_v(u,v) \end{bmatrix}

度量矩阵为

G=DXTDX=[XuTXuXuTXvXvTXuXvTXv] G=DX^T DX =\begin{bmatrix} X_u^TX_u & X_u^TX_v \\ X_v^TX_u & X_v^TX_v \end{bmatrix}

其行列式可用叉积表示为

det⁡G=∣XuTXuXuTXvXvTXuXvTXv∣=∣Xu×Xv∣2 \det G = \begin{vmatrix} X_u^TX_u & X_u^TX_v \\ X_v^TX_u & X_v^TX_v \end{vmatrix} = \lvert X_u \times X_v \rvert^2

从而体积密度为

dσ(u,v)=∣Xu(u,v)×Xv(u,v)∣dudv \boxed{ \mathrm{d}\sigma(u,v) = \lvert X_u(u,v) \times X_v(u,v) \rvert \mathrm{d}u\mathrm{d}v }

空间曲面显式表示的体积密度

对于显式定义的曲面

z=f(x,y) z=f(x,y)

参数化为

X(x,y)=(x,y,f(x,y)) X(x,y) = \bigl( x, y, f(x,y) \bigr)

有

Xx(x,y)=(1,0,fx(x,y))Xy(x,y)=(0,1,fy(x,y)) \begin{align*} X_x(x,y) &= (1, 0, f_x(x,y)) \\ X_y(x,y) &= (0, 1, f_y(x,y)) \\ \end{align*}

雅可比矩阵为

DX=[XxXy]=[I2∇fT] DX = \begin{bmatrix} X_x & X_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_2 \\ \nabla f^T \end{bmatrix}

度量矩阵为

G=DXTDX=I2+∇f∇fT=[1+fx2fxfyfyfx1+fy2] G=DX^T DX =I_2 + \nabla f\nabla f^T =\begin{bmatrix} 1 + f_x^2 & f_xf_y \\ f_yf_x & 1 + f_y^2 \end{bmatrix}

其行列式为

det⁡G=1+fx2+fy2 \det G = 1 + f_x^2 + f_y^2

其体积密度为

dσ(x,y)=1+fx(x,y)2+fy(x,y)2dxdy \boxed{ \mathrm{d}\sigma(x,y) = \sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2} \mathrm{d}x \mathrm{d}y }

空间曲面隐式表示的体积密度

对于隐式定义的曲面

F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0

沿任意平面 AA 的体积密度为

dσ(x,y,z)=∥∇F(x,y,z)∥∣∇F⋅N∣dA \boxed{ \mathrm{d}\sigma(x,y,z) = \frac{ \lVert\nabla F(x,y,z)\rVert }{ \lvert \nabla F \cdot N\rvert } \mathrm{d}A }

其中 NN 是平面 AA 上的单位法向量，dA\mathrm{d}A 是平面 AA 的体积密度。

特别地，沿着 xyxy 平面的体积密度为

ds(x,y,z)=∥∇F(x,y,z)∥∣Fz(x,y,z)∣dxdy \boxed{ \mathrm{d}s(x,y,z) = \frac{ \lVert\nabla F(x,y,z)\rVert }{ \lvert F_z(x,y,z) \rvert } \mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ }

空间曲线上的体积密度

对于空间曲线 CC，其体积密度也叫长度微元，用 dsds 表示。

给定标量函数 f:R3→Rf:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}，它在曲线 CC 上的积分为

∫Cf(x,y,z)ds \int_C f(x,y,z) \mathrm{d}s

空间曲线参数式表示的体积密度

对于参数式定义的空间曲线

X(t)=(x(t),y(t),z(t)) X(t) = (x(t), y(t), z(t))

有

X′(t)=(x′(t),y′(t),z′(t)) X'(t) = \bigl( x'(t),y'(t),z'(t) \bigr)

雅可比矩阵为

DX(t)=X′(t) DX(t) = X'(t)

度量矩阵为

G=DXTDX=∥X′∥2 G=DX^T DX =\lVert X' \rVert^2

从而体积密度为

ds(t)=∥X′(t)∥dt \boxed{ \mathrm{d}s(t) = \lVert X'(t) \rVert \mathrm{d}t }

空间曲线显式表示的体积密度

对于显式定义的空间曲线

{y=f(x)z=g(x) \begin{cases} y=f(x)\\ z=g(x) \end{cases}

其参数化表示为

X(x)=(x,f(x),g(x)) X(x)=(x,f(x),g(x))

有

X′(x)=(1,f′(x),g′(x)) X'(x)=(1,f'(x),g'(x))

雅可比矩阵为

DX(x)=X′(x) DX(x) = X'(x)

度量矩阵为

G=DXTDX=1+f′(x)2+g′(x)2 G=DX^T DX =1 + f'(x)^2 + g'(x)^2

体积密度为

ds(x)=1+f′(x)2+g′(x)2dx \boxed{ \mathrm{d}s(x) = \sqrt{1 + f'(x)^2 + g'(x)^2} \mathrm{d}x }

空间曲线隐式表示的体积密度

对于隐式定义的空间曲线

{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0 \begin{cases} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{cases}

有

∇F=(Fx,Fy,Fz)∇G=(Gx,Gy,Gz) \begin{align*} \nabla F&=(F_x,F_y,F_z) \\ \nabla G&=(G_x,G_y,G_z) \end{align*}

黎曼体积密度为

ds(x,y,z)=∥∇F(x,y,z)×∇G(x,y,z)∥∣(∇F(x,y,z)×∇G(x,y,z))⋅T∣∣du∣ \boxed{ ds(x,y,z)= \frac{ \lVert \nabla F(x,y,z) \times \nabla G(x,y,z)\rVert }{ \lvert \bigl(\nabla F(x,y,z) \times \nabla G(x,y,z)\bigr) \cdot T\rvert } \lvert du\rvert }

其中 TT 是沿着参数坐标 uu 的单位切向量。

特别地，沿 xx 轴的体积密度为

ds(x,y,z)=∥∇F(x,y,z)×∇G(x,y,z)∥∣FyGz−FzGy∣∣dx∣ \boxed{ ds(x,y,z)= \frac{ \lVert \nabla F(x,y,z) \times \nabla G(x,y,z)\rVert }{ \lvert F_yG_z-F_zG_y\rvert } \lvert dx\rvert }

散度

向量分析语言中的通量

设 S⊂RnS\subset \mathbb{R}^n 是一个 n−1n-1 维定向流形，即 Rn\mathbb{R}^n 中的超曲面。在向量分析里，通量定义为向量场 F⃗\vec{F} 穿过流形 SS 的量

ΦS(F⃗)=∫SF⃗⋅dS⃗=∫SF⃗⋅N⃗dσ \boxed{ \Phi_S(\vec{F}) =\int_S \vec F \cdot d\vec{S} =\int_S \vec{F} \cdot \vec{N} \mathrm{d}\sigma }

其中 N⃗\vec{N} 是 SS 上的单位法向量，dσ\mathrm{d}\sigma 是 SS 的体积密度，F⃗⋅N⃗\vec{F} \cdot \vec{N} 是 SS 上的通量密度，F⃗⋅N⃗dσ\vec{F} \cdot \vec{N} \mathrm{d}\sigma 是通量微元。通量就是对通量微元的积分。

从几何的角度，在 p∈Sp\in S 处，F⃗(p)\vec{F}(p) 与 N⃗(p)\vec{N}(p) 的夹角决定了 pp 处通量的正负，F⃗(p)\vec{F}(p) 投影到 N⃗(p)\vec{N}(p) 上的长度决定了 pp 处通量的大小——这正是点积的几何意义。总通量就是对每个点上的通量求和。当 SS 被无限细分后，每个点上的通量就变成了通量密度乘体积密度，求和也改为积分。

向量分析语言中的散度

当 SS 是一个闭合的超曲面时，存在一个以 SS 为边界的 nn 维流形，表示为 Ω\Omega，并且有

S=∂Ω S = \partial \Omega

将 Ω\Omega 划分成许多微小的定向区域

Ω=⋃α=1NΩα \Omega=\bigcup_{\alpha=1}^N\Omega_\alpha

记任意两个相邻小区域 Ωα,Ωβ\Omega_\alpha,\Omega_\beta 的公共边界为

Sαβ=∂Ωα∩∂Ωβ S_{\alpha\beta} =\partial\Omega_\alpha\cap\partial\Omega_\beta

由于 Ω\Omega 具有一致的定向，因此 Ωα,Ωβ\Omega_\alpha,\Omega_\beta 在 SαβS_{\alpha\beta} 上的诱导方向必定相反。即在 SαβS_{\alpha\beta} 上有

∫SαβF⃗⋅N⃗dσ+∫−SαβF⃗⋅N⃗dσ=0 \int_{S_{\alpha\beta}}\vec F\cdot \vec{N} d\sigma+ \int_{-S_{\alpha\beta}}\vec F\cdot \vec{N} d\sigma=0

因此，所有内部边界的积分两两抵消，只剩下整个 Ω\Omega 的外边界 SS 上的通量。于是 ∂Ω\partial \Omega 上的通量等于各 ∂Ωα\partial \Omega_\alpha 上的通量之和

Φ∂Ω(F⃗)=∑α=1NΦ∂Ωα(F⃗) \Phi_{\partial\Omega}(\vec F) = \sum_{\alpha=1}^{N} \Phi_{\partial\Omega_\alpha}(\vec F)

不断地缩小每个区域 Ωα\Omega_\alpha，就可以得到一个点上的通量密度。

用 Vol⁡(Ωα)\operatorname{Vol}(\Omega_\alpha) 表示 Ωα\Omega_\alpha 的体积，则 F⃗\vec{F} 在点 p∈Ωαp\in \Omega_\alpha 上的通量密度定义为

ϕ(p)=lim⁡Ωα→pΦ∂Ωα(F⃗)Vol⁡(Ωα)=lim⁡Ωα→p∫∂ΩαF⃗⋅N⃗dσ∫ΩαdVΩα \begin{align*} \phi(p) &= \lim_{\Omega_\alpha \to p} \frac{ \Phi_{\partial \Omega_\alpha}(\vec{F}) }{ \operatorname{Vol}(\Omega_\alpha) } \\ &= \lim_{\Omega_\alpha \to p} \frac{ \int_{\partial {\Omega_\alpha}} \vec{F} \cdot \vec{N} d\sigma }{ \int_{\Omega_\alpha} dV_{\Omega_\alpha} } \\ \end{align*}

展开点积并由 Nidσ=ι∂∂xidVΩαN^i d\sigma=\iota_{\frac{\partial}{\partial x^i}}dV_{\Omega_\alpha} 得到

∫∂ΩαF⃗⋅N⃗dσ=∑in∫∂ΩαFiNidσ=∑i∫∂ΩαFiι∂∂xidVΩα=∑i∫∂ΩαιFdVΩα \begin{align*} \int_{\partial \Omega_\alpha} \vec{F} \cdot \vec{N} d\sigma &=\sum_i^n \int_{\partial \Omega_\alpha} F^iN^i d\sigma \\ &= \sum_i \int_{\partial \Omega_\alpha} F^i \iota_{\frac{\partial}{\partial x^i}} dV_{\Omega_\alpha} \\ &= \sum_i \int_{\partial \Omega_\alpha} \iota_F dV_{\Omega_\alpha} \end{align*}

应用广义斯托克斯定理得到

∫∂ΩαιFdVΩα=∫Ωαd(ιFdVΩα)=∫Ωα(∑i=1n∂Fi∂xi)dVΩα=∑i=1n∫Ωα∂Fi∂xidVΩα \begin{align*} \int_{\partial \Omega_\alpha} \iota_F dV_{\Omega_\alpha} &= \int_{\Omega_\alpha} d(\iota_F dV_{\Omega_\alpha}) \\ &= \int_{\Omega_\alpha}\left( \sum_{i=1}^n\frac{\partial F^i}{\partial x^i} \right) dV_{\Omega_\alpha} \\ &=\sum_{i=1}^n \int_{\Omega_\alpha} \frac{\partial F^i}{\partial x^i} dV_{\Omega_\alpha} \end{align*}

即

∫∂ΩαF⃗⋅N⃗dσ=∑i=1n∫Ωα∂Fi∂xidVΩα \int_{\partial \Omega_\alpha} \vec{F} \cdot \vec{N} d\sigma =\sum_{i=1}^n \int_{\Omega_\alpha} \frac{\partial F^i}{\partial x^i} dV_{\Omega_\alpha}

于是得到 F⃗\vec{F} 在 pp 上的通量密度为

ϕ(p)=lim⁡Ωα→p∑i=1n∫Ωα∂Fi∂xidVΩα∫ΩαdVΩα=∑i=1nlim⁡Ωα→p∫Ωα∂Fi∂xidVΩα∫ΩαdVΩα \begin{align*} \phi(p) &=\lim_{\Omega_\alpha \to p} \frac{ \sum_{i=1}^n \int_{\Omega_\alpha} \frac{\partial F^i}{\partial x^i} dV_{\Omega_\alpha} }{ \int_{\Omega_\alpha} dV_{\Omega_\alpha} } \\ &= \sum_{i=1}^n \lim_{\Omega_\alpha \to p} \frac{ \int_{\Omega_\alpha} \frac{\partial F^i}{\partial x^i} dV_{\Omega_\alpha} }{ \int_{\Omega_\alpha} dV_{\Omega_\alpha} } \\ \end{align*}

取极限得到

lim⁡Ωα→p∫Ωα∂Fi∂xidVΩα∫ΩαdVΩα=∂Fi∂xi(p) \lim_{\Omega_\alpha \to p} \frac{ \int_{\Omega_\alpha} \frac{\partial F^i}{\partial x^i} dV_{\Omega_\alpha} }{ \int_{\Omega_\alpha} dV_{\Omega_\alpha} } = \frac{\partial F^i}{\partial x^i}(p)

最终求和得到通量密度

ϕ(p)=∑i=1n∂Fi∂xi(p) \boxed{ \phi(p) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F^i}{\partial x^i}(p) }

∑i=1n∂Fi∂xi(p)\sum_{i=1}^n \frac{\partial F^i}{\partial x^i}(p) 是一个标量，这就是 F⃗\vec F 在 pp 处的散度

div⁡F⃗(p)=∑in∂Fi∂xi(p) \operatorname{div} \vec{F}(p) = \sum_i^n \frac{\partial F^i}{\partial x^i}(p)

在 Rn\mathbb{R}^n 的每个点上计算 F⃗\vec{F} 的散度，从而得到一个标量场，即 00 次微分形式，记为

div⁡F⃗∈Ω0(Rn) \operatorname{div}\vec{F}\in \Omega^0(\mathbb{R}^n)

向量场的散度可以表示为

div⁡F⃗=∇⋅F⃗ \boxed{ \operatorname{div}\vec{F} = \nabla \cdot \vec{F} }

散度的几何意义就是，向量场在单位体积内净流出的通量，描述了向量场的局部源汇强度。

向量分析语言中的散度定理

由于不断缩小每个区域 Ωα\Omega_\alpha，因此原先对 Ωα\Omega_\alpha 通量的求和需要变为对 Ω\Omega 上通量密度的积分

Φ∂Ω(F⃗)=∑α=1NΦ∂Ωα(F⃗)=∫Ωϕ(p)dVΩ \Phi_{\partial\Omega}(\vec F) =\sum_{\alpha=1}^{N} \Phi_{\partial\Omega_\alpha}(\vec F) =\int_\Omega \phi(p) \mathrm{d}V_\Omega

而 Ω\Omega 上通量密度就等于 F⃗\vec{F} 在 Ω\Omega 中的散度

ϕ(p)=div⁡F⃗(p)=(∇⋅F⃗)(p) \phi(p) = \operatorname{div} \vec{F}(p) = (\nabla \cdot \vec{F})(p)

这便得到了散度定理：穿过闭合超曲面 SS 的通量，等于对以 SS 为边界的 Ω\Omega 中通量密度的积分，而通量密度就等于散度

∫∂ΩF⃗⋅N⃗dV∂Ω=∫Ω∇⋅F⃗dVΩ \boxed{ \int_{\partial \Omega} \vec{F} \cdot \vec{N} \mathrm{d}V_{\partial \Omega} = \int_\Omega \nabla \cdot \vec{F} \mathrm{d}V_\Omega }

也就是说，在边界积分时通量密度是 F⃗⋅N⃗\vec{F} \cdot \vec{N}，在内部区域积分时通量密度是 ∇⋅F⃗\nabla \cdot \vec{F}。

散度定理在 R2\mathbb{R}^2 中的特例，就是过曲线积分时的格林定理

∮CF⃗⋅N⃗ds=∬D∇⋅F⃗dA \oint_C \vec{F}\cdot\vec{N}\mathrm{d}s =\iint_D \nabla\cdot\vec{F}\mathrm{d}A

左边是闭合曲线 CC 上的总通量，右边是围成区域 DD 内部通量密度的积分，而通量密度就等于散度。

散度定理在 R3\mathbb{R}^3 中的特例，就是高斯定理

∯SF⃗⋅N⃗dσ=∭V∇⋅F⃗dV \oiint_S \vec{F}\cdot\vec{N}\mathrm{d}\sigma =\iiint_V \nabla\cdot\vec{F}\mathrm{d}V

左边是闭合曲面 SS 上的总通量，右边是围成区域 VV 内部通量密度的积分，而通量密度就等于散度。

微分形式语言中的通量

用微分形式的语言，通量是对通量形式的积分

ΦS(X)=∫SωX \Phi_S(X)=\int_S \omega_X

通量形式 ωX\omega_X 是超曲面 SS 上的 n−1n-1 次微分形式，由向量场 XX 内乘 Rn\mathbb{R}^n 上的体积形式 dVRndV_{\mathbb{R}^n} 得到

ωX=ιXdVRn=∑i=1nXiι∂∂xi(dx1∧⋯∧dxn)=∑i=1n(−1)i−1Xidx1∧⋯∧dxi^∧⋯∧dxn \begin{align*} \omega_X &=\iota_X dV_{\mathbb{R}^n} \\ &=\sum_{i=1}^n X^i \iota_{\frac{\partial}{\partial x^i}} (dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n) \\ &=\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}X^i dx^1\wedge\cdots\wedge\widehat{dx^i} \wedge\cdots\wedge dx^n \end{align*}

在 Rn\mathbb{R}^n 中，通量形式还可以通过先对向量场 XX 进行音乐同构，再运用霍奇星算子得到

ωX=⋆X♭=∑i=1nXi(⋆dxi)=∑i=1n(−1)i−1Xidx1∧⋯∧dxi^∧⋯∧dxn \begin{align*} \omega_X &= \star X^\flat \\ &= \sum_{i=1}^n X^i (\star dx^i) \\ &=\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}X^i dx^1\wedge\cdots\wedge\widehat{dx^i} \wedge\cdots\wedge dx^n\\ \end{align*}

从而通量在 Rn\mathbb{R}^n 中可以表示为

ΦS(X)=∫S⋆X♭ \boxed{ \Phi_S(X)=\int_S\star X^\flat }

代入通量形式的坐标表示，则通量展开为

ΦS(X)=∑i=1n∫S(−1)i−1Xidx1∧⋯∧dxi^∧⋯∧dxn \Phi_S(X) = \sum_{i=1}^n \int_S (-1)^{i-1}X^i dx^1\wedge\cdots\wedge\widehat{dx^i} \wedge\cdots\wedge dx^n

微分形式语言中的散度

用微分形式的语言，向量场 XX 相对于体积形式 μ\mu 的散度定义为 μ\mu 的李导数与 μ\mu 的比值

div⁡X=LXμμ \operatorname{div} X = \frac{\mathcal L_X\mu}{\mu}

这里除法的结果是一个光滑函数，满足等式

(div⁡X)μ=LXμ (\operatorname{div} X)\mu = \mathcal L_X\mu

由嘉当公式，体积形式 μ\mu 的李导数为

LXμ=d(ιXμ)+ιX(dμ) \mathcal L_X\mu =d(\iota_X\mu)+\iota_X(d\mu)

对于体积形式有 dμ=0d\mu = 0，因此

(div⁡X)μ=LXμ=d(ιXμ) (\operatorname{div} X)\mu = \mathcal L_X\mu = \mathrm{d}(\iota_X\mu)

代入体积形式 μ=dVRn\mu = dV_{\mathbb{R}^n} 以及 ιXdVRn=⋆X♭\iota_X dV_{\mathbb{R}^n}=\star X^\flat 得到

(div⁡X)dVRn=d(⋆X♭) (\operatorname{div}X)\mathrm{d}V_{\mathbb{R}^n} =\mathrm{d}(\star X^\flat)

两边再取一次霍奇星算子，即可将散度表示为

div⁡X=⋆d(⋆X♭) \boxed{ \operatorname{div}X = \star\mathrm{d}(\star X^\flat) }

因此，散度是一个 00-形式，由通量形式先进行外微分，再运用霍奇星算子得到

⋆X♭∈Ωn−1(Rn)→dd(⋆X♭)∈Ωn(Rn)→⋆⋆d(⋆X♭)∈Ω0(Rn) \star X^\flat \in \Omega^{n-1}(\mathbb{R}^n) \xrightarrow{\mathrm{d}} \mathrm{d} (\star X^\flat) \in \Omega^{n}(\mathbb{R}^n) \xrightarrow{\star} \star\mathrm{d} (\star X^\flat) \in \Omega^{0}(\mathbb{R}^n)

在 Rn\mathbb{R}^n 中，对于向量场

X=∑inXiei X=\sum_i^n X_ie_i

其通量形式为

⋆X♭=∑i=1n(−1)i−1Xidx1∧⋯∧dxi^∧⋯∧dxn \star X^\flat = \sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}X^i dx^1\wedge\cdots \wedge\widehat{dx^i}\wedge \cdots\wedge dx^n

散度为

div⁡X=⋆d(∑i=1n(−1)i−1Xidx1∧⋯∧dxi^∧⋯∧dxn)=⋆(∑i=1n∑j=1n(−1)i−1∂Xi∂xjdxj∧dx1∧⋯∧dxi^∧⋯∧dxn)=⋆(∑in(−1)i−1∂Xi∂xidxi∧dx1∧⋯∧dxi^∧⋯∧dxn)=⋆(∑in∂Xi∂xidx1∧⋯∧dxn)=∑in∂Xi∂xi \begin{align*} \operatorname{div}X &= \star d\left( \sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}X^i dx^1\wedge\cdots \wedge\widehat{dx^i}\wedge \cdots\wedge dx^n \right) \\ &= \star \left( \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (-1)^{i-1} \frac{\partial X^i}{\partial x^j} dx^j\wedge dx^1\wedge\cdots \wedge\widehat{dx^i}\wedge \cdots\wedge dx^n \right) \\ &= \star\left( \sum_i^n (-1)^{i-1}\frac{\partial X^i}{\partial x^i} dx^i\wedge dx^1\wedge\cdots \wedge\widehat{dx^i}\wedge \cdots\wedge dx^n \right) \\ &= \star\left( \sum_i^n \frac{\partial X^i}{\partial x^i} dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n \right) \\ &= \sum_i^n \frac{\partial X^i}{\partial x^i} \end{align*}

微分形式语言中的散度定理

对于 S⊂RnS\subset\mathbb{R}^n 闭合超曲面，其围成的区域为 Ω\Omega，从而有

S=∂Ω S = \partial \Omega

散度定理在微分形式语言中，表示为

∫∂ΩιXdVRn=∫Ωdiv⁡XdVRn \boxed{ \int_{\partial \Omega}\iota_X dV_{\mathbb{R}^n}= \int_\Omega \operatorname{div} X dV_{\mathbb{R}^n} }

代入 ιXdVRn=⋆X♭\iota_X dV_{\mathbb{R}^n}=\star X^\flat 和 div⁡X=⋆d(⋆X♭)\operatorname{div} X = \star d(\star X^\flat) 得到

∫∂Ω⋆X♭=∫Ω⋆d(⋆X♭)dVRn \int_{\partial \Omega}\star X^\flat= \int_\Omega \star d(\star X^\flat) dV_{\mathbb{R}^n}

将右式化简一下，就会发现这其实只是广义斯托克斯定理的特例

∫∂Ω⋆X♭=∫Ωd(⋆X♭) \int_{\partial \Omega}\star X^\flat = \int_\Omega d(\star X^\flat)

旋度

向量分析语言中的环量

设 C⊂RnC\subset \mathbb{R}^n 是一个 11 维定向流形，即 Rn\mathbb{R}^n 中的曲线。在向量分析里，环量定义为向量场 F⃗\vec{F} 沿着流形 CC 的量

ΓC(F⃗)=∫CF⃗⋅dr⃗=∫CF⃗⋅T⃗ds \boxed{ \Gamma_C(\vec F) =\int_C\vec F \cdot d\vec{r} =\int_C\vec F\cdot \vec{T} ds }

其中 T⃗\vec{T} 是 CC 上的单位切向量，ds\mathrm{d}s 是 CC 的体积密度，F⃗⋅T⃗\vec{F} \cdot \vec{T} 是 CC 上的环量密度，F⃗⋅T⃗ds\vec{F} \cdot \vec{T} \mathrm{d}s 是环量微元。环量就是对环量微元的积分。

从几何的角度，在 p∈Cp\in C 处，F⃗(p)\vec{F}(p) 与 T⃗(p)\vec{T}(p) 的夹角决定了 pp 处环量的正负，F⃗(p)\vec{F}(p) 投影到 T⃗(p)\vec{T}(p) 上的长度决定了 pp 处环量的大小——这正是点积的几何意义。总环量就是对每个点上的环量求和。当 CC 被无限细分后，每个点上的环量就变成了环量密度乘体积密度，求和也改为积分。

向量分析语言中的旋度

当 CC 是一个闭合曲线时，存在一个以 CC 为边界的 22 维流形，表示为 Σ\Sigma，并且有

C=∂Σ C = \partial \Sigma

将 Σ\Sigma 划分成许多微小的定向区域

Σ=⋃α=1NΣα \Sigma=\bigcup_{\alpha=1}^N\Sigma_\alpha

记任意两个相邻小区域 Σα,Σβ\Sigma_\alpha,\Sigma_\beta 的公共边界为

Cαβ=∂Σα∩∂Σβ C_{\alpha\beta} =\partial\Sigma_\alpha\cap\partial\Sigma_\beta

由于 Σ\Sigma 具有一致的定向，因此 Σα,Σβ\Sigma_\alpha,\Sigma_\beta 在 CαβC_{\alpha\beta} 上的诱导方向必定相反。即在 CαβC_{\alpha\beta} 上有

∫CαβF⃗⋅T⃗ds+∫−CαβF⃗⋅T⃗ds=0 \int_{C_{\alpha\beta}}\vec F\cdot \vec{T} ds+ \int_{-C_{\alpha\beta}}\vec F\cdot \vec{T} ds=0

因此，所有内部边界的积分两两抵消，只剩下整个 Σ\Sigma 的外边界 CC 上的环量。从而 ∂Σ\partial \Sigma 上的环量等于各 ∂Σα\partial \Sigma_\alpha 上的环量之和

Γ∂Σ(F⃗)=∑α=1NΓ∂Σα(F⃗) \Gamma_{\partial\Sigma}(\vec F) = \sum_{\alpha=1}^{N} \Gamma_{\partial\Sigma_\alpha}(\vec F)

不断地缩小每个区域 Σα\Sigma_\alpha，就可以得到一个点上的环量密度。

用 Area⁡(Σα)\operatorname{Area}(\Sigma_\alpha) 表示 Σα\Sigma_\alpha 的面积，则 F⃗\vec{F} 在点 p∈Σαp\in \Sigma_\alpha 上的环量密度定义为

γ(p)=lim⁡Σα→pΓΣα(F⃗)Area⁡(Σα)=lim⁡Σα→p∫∂ΣαF⃗⋅T⃗ds∫ΣαdVΣα \begin{align*} \gamma(p) &= \lim_{\Sigma_\alpha \to p} \frac{ \Gamma_{\Sigma_\alpha}(\vec{F}) }{ \operatorname{Area}(\Sigma_\alpha) } \\ &= \lim_{\Sigma_\alpha \to p} \frac{ \int_{\partial \Sigma_\alpha} \vec{F} \cdot \vec{T} ds }{ \int_{\Sigma_\alpha} dV_{\Sigma_\alpha} } \\ \end{align*}

展开点积并由 Tids=dxiT^i ds=dx^i 得到

∫∂ΣαF⃗⋅T⃗ds=∑in∫∂ΣαFiTids=∑in∫∂ΣαFidxi \begin{align*} \int_{\partial \Sigma_\alpha} \vec{F} \cdot \vec{T} ds &= \sum_i^n \int_{\partial \Sigma_\alpha} F^iT^i ds \\ &= \sum_i^n \int_{\partial\Sigma_\alpha}F^idx^i \end{align*}

应用广义斯托克斯定理得到

∫∂ΣαFidxi=∫Σαd(Fidxi)=∫ΣαdFi∧dxi+Fid(dxi)=∫ΣαdFi∧dxi=∫Σα(∑j=1n∂Fi∂xjdxj)∧dxi=∑j=1n∫Σα∂Fi∂xjdxj∧dxi \begin{align*} \int_{\partial\Sigma_\alpha}F^idx^i &=\int_{\Sigma_\alpha} d(F^idx^i) \\ &=\int_{\Sigma_\alpha} dF^i\wedge dx^i+F^id(dx^i) \\ &=\int_{\Sigma_\alpha} dF^i\wedge dx^i \\ &=\int_{\Sigma_\alpha} \left( \sum_{j=1}^n \frac{\partial F^i}{\partial x^j}dx^j \right) \wedge dx^i \\ &=\sum_{j=1}^n \int_{\Sigma_\alpha} \frac{\partial F^i}{\partial x^j} dx^j\wedge dx^i \\ \end{align*}

即

∫∂ΣαF⃗⋅T⃗ds=∑i=1n∑j=1n∫Σα∂Fi∂xjdxj∧dxi \int_{\partial \Sigma_\alpha} \vec{F} \cdot \vec{T} ds =\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \int_{\Sigma_\alpha} \frac{\partial F^i}{\partial x^j} dx^j\wedge dx^i

代入环量密度，有

γ(p)=lim⁡Σα→p∑i=1n∑j=1n∫Σα∂Fi∂xjdxj∧dxi∫ΣαdVΣα=∑i=1n∑j=1nlim⁡Σα→p∫Σα∂Fi∂xjdxj∧dxi∫ΣαdVΣα \begin{align*} \gamma(p) &= \lim_{\Sigma_\alpha \to p} \frac{ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \int_{\Sigma_\alpha} \frac{\partial F^i}{\partial x^j} dx^j\wedge dx^i }{ \int_{\Sigma_\alpha} dV_{\Sigma_\alpha} } \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lim_{\Sigma_\alpha \to p} \frac{ \int_{\Sigma_\alpha} \frac{\partial F^i}{\partial x^j} dx^j\wedge dx^i }{ \int_{\Sigma_\alpha} dV_{\Sigma_\alpha} } \\ \end{align*}

取极限时，由于 Σα\Sigma_\alpha 始终位于 Σ\Sigma 上，其切空间 TpΣαT_p\Sigma_\alpha 自然收敛到 TpΣT_p\Sigma 上，于是

lim⁡Σα→p∫Σα∂Fi∂xjdxj∧dxi∫ΣαdVΣα=∂Fi∂xj(p)(ujvi−vjui) \lim_{\Sigma_\alpha \to p} \frac{ \int_{\Sigma_\alpha} \frac{\partial F^i}{\partial x^j} dx^j\wedge dx^i }{ \int_{\Sigma_\alpha} dV_{\Sigma_\alpha} } = \frac{\partial F^i}{\partial x^j}(p) \left(u^jv^i-v^ju^i\right)

其中 u,vu,v 是 TpΣT_p\Sigma 的一组正向标准正交基，定向遵循向外向量优先的定向约定，而 vi,uiv^i,u^i 是其坐标分量。最终求和得到环量密度

γ(p)=∑i=1n∑j=1n∂Fi∂xj(p)(ujvi−vjui)=dFp♭(u,v) \boxed{ \gamma(p) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{\partial F^i}{\partial x^j}(p) \left(u^jv^i-v^ju^i\right) = dF^\flat_p(u, v) }

dFp♭dF^\flat_p 是一个 (0,2)(0,2) 型反对称张量，这就是 F⃗\vec{F} 在 pp 处的旋度

curl⁡F⃗(p)=dFp♭ \operatorname{curl} \vec{F}(p) = dF^\flat_p

在 Rn\mathbb{R}^n 的每个点上计算 F⃗\vec{F} 的旋度，从而得到一个 (0,2)(0,2) 型反对称张量场，即 22 次微分形式，记为

curl⁡F⃗∈Ω2(Rn) \operatorname{curl} \vec{F}\in \Omega^2(\mathbb{R}^n)

向量场的旋度可以表示为

curl⁡F⃗=dF♭ \boxed{ \operatorname{curl}\vec{F} = dF^\flat }

特别地，在 R3\mathbb{R}^3 中有

dF♭=d(Fxdx+Fydy+Fzdz)=dFxdx+dFydy+dFzdz=(Fyz−Fzy)dy∧dz+(Fzx−Fxz)dz∧dx+(Fxy−Fyx)dx∧dy \begin{align*} dF^\flat &=d(F^xdx+F^ydy+F^zdz) \\ &=dF^xdx + dF^ydy + dF^zdz \\ &=\left( F^z_y-F^y_z \right)dy\wedge dz +\left( F^x_z-F^z_x \right)dz\wedge dx +\left( F^y_x-F^x_y \right)dx\wedge dy \end{align*}

运用霍奇星算子后得到

⋆dF♭=(Fyz−Fzy)dx+(Fzx−Fxz)dy+(Fxy−Fyx)dz \star dF^\flat =\left( F^z_y-F^y_z \right)dx + \left( F^x_z-F^z_x \right)dy + \left( F^y_x-F^x_y \right)dz

在运用音乐同构后得到

[⋆dF♭]♯=(Fyz−Fzy,Fzx−Fxz,Fxy−Fyx) [\star dF^\flat]^\sharp = \left( F^z_y-F^y_z, F^x_z-F^z_x, F^y_x-F^x_y \right)

这和叉积计算得到的结果相同

∇×F⃗=∣ijk∂x∂y∂zFxFyFz∣=(∂yFz−∂zFy,∂zFx−∂xFz,∂xFy−∂yFx) \begin{align*} \nabla \times \vec{F} &= \begin{vmatrix} i & j & k \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ F^x & F^y & F^z \end{vmatrix} \\ &= \left( \partial_yF^z-\partial_zF^y, \partial_zF^x-\partial_xF^z, \partial_xF^y-\partial_yF^x \right) \\ \end{align*}

因此，R3\mathbb{R}^3 中向量场 F⃗\vec{F} 的旋度 22 形式同构于一个向量场，可以记为

curl⁡F⃗=∇×F⃗=(Fyz−Fzy,Fzx−Fxz,Fxy−Fyx) \operatorname{curl}\vec{F} = \nabla \times \vec{F} =\left( F^z_y-F^y_z, F^x_z-F^z_x, F^y_x-F^x_y \right)

并且有

dF♭(u,v)=(Fyz−Fzy)(uyvz−uzvy)+(Fzx−Fxz)(uzvx−uxvz)+(Fxy−Fyx)(uxvy−uyvx)=(∇×F⃗)⋅(u×v) \begin{align*} &dF^\flat(u,v) \\ &= \left( F^z_y-F^y_z \right)(u^yv^z-u^zv^y) +\left( F^x_z-F^z_x \right)(u^zv^x-u^xv^z) +\left( F^y_x-F^x_y \right)(u^xv^y-u^yv^x) \\ &= (\nabla \times \vec{F}) \cdot (u\times v) \end{align*}

由右手定则可知，如果 u,vu,v 是 TpΣT_p\Sigma 上的一组正向标准基，那么 u×vu\times v 是 Σ\Sigma 的单位正法向量。也就是说，环量密度在 R3\mathbb{R}^3 上等于旋度和单位法向量的点积

γ(p)=(∇×F⃗)(p)⋅N⃗(p) \gamma(p) = (\nabla \times \vec{F})(p) \cdot \vec{N}(p)

旋度的几何意义就是，向量场在有向面元上的无穷小环流响应，描述了向量场的局部旋转。

在 R3\mathbb{R}^3 中，向量场在 pp 处的旋转轴就是 (∇×F⃗)(p)(\nabla \times \vec{F})(p) 向量。当旋转轴与 N⃗(p)\vec{N}(p) 同向时，环量密度达到最大。

向量分析语言中的旋度定理

由于不断缩小每个区域 Σα\Sigma_\alpha，因此原先对 Σα\Sigma_\alpha 环量的求和需要变为对 Σ\Sigma 上环量密度的积分

Γ∂Σ(F⃗)=∑α=1NΓ∂Σα(F⃗)=∫Σγ(p)dVΣ \Gamma_{\partial\Sigma}(\vec F) =\sum_{\alpha=1}^{N} \Gamma_{\partial\Sigma_\alpha}(\vec F) =\int_\Sigma \gamma(p) dV_\Sigma

而 Σ\Sigma 上的环量密度就等于 F⃗\vec{F} 在 Σ\Sigma 中的旋度 22 形式作用于 TpΣT_p\Sigma 的一组正向标准基 u,vu,v 上

γ(p)=curl⁡F⃗(p)(u,v)=dF♭(p)(u,v) \gamma(p) = \operatorname{curl}\vec{F}(p)(u,v) = dF^\flat(p)(u,v)

这便得到了旋度定理：穿过闭合曲线 CC 的环量，等于对以 CC 为边界的 Σ\Sigma 中环量密度的积分，而环量密度等于旋度作用在 TpΣT_p\Sigma 的正向标准基 u,vu,v 上

∫∂ΣF⃗⋅T⃗dV∂Σ=∫ΣdF♭(u,v)dVΣ \boxed{ \int_{\partial\Sigma}\vec{F} \cdot \vec{T} dV_{\partial\Sigma} = \int_{\Sigma} dF^\flat(u,v) dV_\Sigma }

也就是说，在边界积分时环量密度是 F⃗⋅T⃗\vec{F} \cdot \vec{T}，在内部区域积分时环量密度是 dF♭(u,v)dF^\flat(u,v)。

旋度定理在 R2\mathbb{R}^2 中的特例，就是沿曲线积分时的格林定理

∮CF⃗⋅T⃗ds=∬D(∇×F⃗)⋅k⃗dA \oint_C \vec{F}\cdot\vec{T}\mathrm{d}s =\iint_D \left(\nabla\times\vec{F}\right)\cdot\vec{k}\mathrm{d}A

左边是闭合曲线 CC 上的总环量，右边先把 F⃗\vec{F} 零延拓为 R3\mathbb{R}^3 中的向量场，然后对围成区域 DD 内部的环量密度积分，而环量密度就等于旋度和 zz 轴上单位向量 k⃗\vec{k} 的点积。

旋度定理在 R3\mathbb{R}^3 中的特例，就是斯托克斯定理

∮CF⃗⋅T⃗ds=∬S(∇×F⃗)⋅N⃗dσ \oint_C \vec{F}\cdot\vec{T}\mathrm{d}s =\iint_S \left(\nabla\times\vec{F}\right)\cdot\vec{N}\mathrm{d}\sigma

左边是闭合曲线 CC 上的总环量，右边是对围成区域 SS 内部环量密度的积分，而环量密度就等于旋度和 SS 上单位正法向量 N⃗\vec{N} 的点积。

微分形式语言中的环量

用微分形式的语言，环量是对环量形式的积分

ΓC(X)=∫CωX \Gamma_C(X)=\int_C \omega_X

环量形式 ωX\omega_X 是曲线 CC 上的 11 次微分形式，由向量场 XX 通过音乐同构得到

ωX=X♭ \omega_X = X^\flat

因此环量表示为

ΓC(X)=∫CX♭ \boxed{ \Gamma_C(X)=\int_C X^\flat }

代入环量形式的坐标表示，则环量展开为

ΓC(X)=∑in∫CXidxi \Gamma_C(X) =\sum_i^n \int_C X^idx^i

微分形式语言中的旋度

用微分形式的语言，向量场 XX 的旋度定义为环量 11-形式的外微分

curl⁡X=dX♭ \boxed{ \operatorname{curl} X = \mathrm{d}X^\flat }

因此旋度是一个 22 次微分形式。

在 Rn\mathbb{R}^n 中，对于向量场

X=∑inXiei X=\sum_i^n X_ie_i

其环量形式为

X♭=∑inXidxi X^\flat =\sum_i^n X_idx^i

旋度为

curl⁡X=d(∑inXidxi)=∑ind(Xidxi)=∑i=1n(dXi∧dxi+Xi d(dxi))=∑i=1ndXi∧dxi=∑i=1n(∑j=1n∂Xi∂xjdxj)∧dxi=∑i,j=1n∂Xi∂xjdxj∧dxi=∑1≤i<j≤n(∂Xj∂xi−∂Xi∂xj)dxi∧dxj \begin{align*} \operatorname{curl} X &= d\left( \sum_i^n X_idx^i \right) \\ &= \sum_i^n d( X_idx^i ) \\ &= \sum_{i=1}^n\left(dX_i\wedge dx^i+X_i\,d(dx^i)\right) \\ &=\sum_{i=1}^n dX_i\wedge dx^i \\ &=\sum_{i=1}^n\left( \sum_{j=1}^n\frac{\partial X_i}{\partial x^j}dx^j \right)\wedge dx^i \\ &=\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial X_i}{\partial x^j} dx^j\wedge dx^i \\ &=\sum_{1\le i<j\le n} \left( \frac{\partial X_j}{\partial x^i} - \frac{\partial X_i}{\partial x^j} \right) dx^i\wedge dx^j \end{align*}

特别地，在 R3\mathbb{R}^3 中，22 次微分形式可以通过霍奇星算子和音乐同构变成一个向量场

dX♭∈Ω2(R3)→⋆⋆d(X♭)∈Ω1(R3)→♯[⋆d(X♭)]♯∈X(R3) \mathrm{d}X^\flat \in \Omega^2(\mathbb{R}^3) \xrightarrow{\star} \star \mathrm{d}(X^\flat) \in \Omega^1(\mathbb{R}^3) \xrightarrow{\sharp} [\star \mathrm{d}(X^\flat)]^\sharp \in \mathfrak{X}(\mathbb{R}^3)

因此 R3\mathbb{R}^3 中的旋度通常定义为一个向量场

curl⁡X=[⋆d(X♭)]♯ \operatorname{curl} X = \left[ \star \mathrm{d}(X^\flat) \right]^\sharp

此时有

curl⁡X=[⋆∑1≤i<j≤3(∂Xj∂xi−∂Xi∂xj)dxi∧dxj]♯=[∑1≤i<j≤3(∂Xj∂xi−∂Xi∂xj)⋆(dxi∧dxj)]♯=[(∂X2∂x1−∂X1∂x2)dx3−(∂X3∂x1−∂X1∂x3)dx2+(∂X3∂x2−∂X2∂x3)dx1]♯=(∂X3∂x2−∂X2∂x3)e1+(∂X1∂x3−∂X3∂x1)e2+(∂X2∂x1−∂X1∂x2)e3=∣e1e2e3∂1∂2∂3X1X2X3∣=∇×X \begin{align*} \operatorname{curl} X &=\left[ \star\sum_{1\le i<j\le 3} \left( \frac{\partial X_j}{\partial x^i} - \frac{\partial X_i}{\partial x^j} \right) dx^i\wedge dx^j \right]^\sharp \\ &= \left[ \sum_{1\le i<j\le 3} \left( \frac{\partial X_j}{\partial x^i} - \frac{\partial X_i}{\partial x^j} \right) \star (dx^i\wedge dx^j) \right]^\sharp \\ &= \left[ \left( \frac{\partial X_2}{\partial x^1}-\frac{\partial X_1}{\partial x^2} \right)dx^3 - \left( \frac{\partial X_3}{\partial x^1}-\frac{\partial X_1}{\partial x^3} \right)dx^2 + \left( \frac{\partial X_3}{\partial x^2}-\frac{\partial X_2}{\partial x^3} \right)dx^1 \right]^\sharp \\ &=\left( \frac{\partial X_3}{\partial x^2}-\frac{\partial X_2}{\partial x^3} \right)e_1 +\left( \frac{\partial X_1}{\partial x^3}-\frac{\partial X_3}{\partial x^1} \right)e_2 +\left( \frac{\partial X_2}{\partial x^1}-\frac{\partial X_1}{\partial x^2} \right)e_3 \\ &=\begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3\\ \partial_1 & \partial_2 & \partial_3\\ X_1 & X_2 & X_3 \end{vmatrix} \\ &=\nabla\times X \end{align*}

微分形式语言中的旋度定理

对于 C⊂RnC\subset\mathbb{R}^n 闭合曲线，其围成的区域为 Σ\Sigma，从而有

C=∂Σ C = \partial \Sigma

旋度定理在微分形式语言中，表示为

∫∂ΣX♭=∫Σcurl⁡X \boxed{ \int_{\partial\Sigma}X^\flat =\int_\Sigma \operatorname{curl}X }

代入 curl⁡X=dX♭\operatorname{curl} X = \mathrm{d}X^\flat 得到

∫∂ΣX♭=∫ΣdX♭ \int_{\partial\Sigma}X^\flat =\int_\Sigma \mathrm{d}X^\flat

显然，这只是广义斯托克斯定理的特例。

经典微积分定理的向量分析表示

曲线积分基本定理的向量分析表示

曲线积分基本定理适用于 C⊂RnC\subset \mathbb{R}^n，即 Rn\mathbb{R}^n 中的曲线。

曲线积分基本定理要求向量场 F⃗\vec{F} 是保守场，即 F⃗\vec{F} 为势函数 ff 的梯度

F⃗=∇f \vec{F} = \nabla f

此时曲线积分基本定理表述为，沿曲线 CC 从点 AA 到点 BB 的积分，等于势函数在 BB 处和 AA 处的值之差

∫ABF⃗⋅T⃗ds=f(B)−f(A) \boxed{ \int_A^B \vec{F} \cdot \vec{T}ds = f(B) - f(A) }

即保守场沿曲线积分的结果只由起点和终点决定，与路径无关。

让起点和终点相同，得到沿闭合曲线的积分

∫PPF⃗⋅T⃗ds=f(P)−f(P)=0 \int_P^P \vec{F} \cdot \vec{T}ds = f(P) - f(P) = 0

即保守场的环路积分为零

∮CF⃗⋅T⃗ds=0 \boxed{ \oint_C \vec{F}\cdot\vec{T}\mathrm{d}s=0 }

利用旋度定理，沿闭合曲线的积分可以表示为

∮CF⃗⋅T⃗ds=∫Σcurl⁡F⃗(u,v)dVΣ=0 \oint_C\vec F\cdot \vec{T} ds = \int_{\Sigma} \operatorname{curl}\vec{F}(u,v) dV_\Sigma = 0

即保守场必然无旋

curl⁡F⃗=0 \boxed{ \operatorname{curl} \vec{F} = 0 }

这也可以由外微分平方为零的性质推导出来

curl⁡F⃗=dF♭=d(∇f)♭=d(df)=0 \operatorname{curl}\vec{F} = dF^\flat = d(\nabla f)^\flat = d(d f) = 0

格林定理的向量分析表示

格林定理适用于 C⊂R2C\subset \mathbb{R}^2，即平面曲线。设向量场为 F⃗=(P,Q)\vec{F} = (P,Q)，T⃗\vec{T} 是 CC 的单位切向量，N⃗\vec{N} 是 CC 的单位法向量。

沿曲线积分表示求环量

∮CF⃗⋅T⃗ds=∮CPdx+Qdy \oint_C \vec{F}\cdot\vec{T}\mathrm{d}s =\oint_C Pdx + Qdy

过曲线积分表示求通量

∮CF⃗⋅N⃗ds=∮CPdy−Qdx \oint_C \vec{F}\cdot \vec{N} ds =\oint_C Pdy-Qdx

沿曲线积分和过曲线积分之间可以简单地进行转换

∮CF⃗⋅N⃗ds=∮CPdy−Qdx=∮C(−Q)dx+Pdy=∮C(−Q)Txds+PTyds=∮CG⃗⋅T⃗ds \begin{align*} \oint_C \vec{F}\cdot \vec{N} ds &=\oint_C Pdy-Qdx \\ &=\oint_C (-Q)dx+Pdy \\ &=\oint_C (-Q)T^xds + PT^yds \\ &=\oint_C \vec{G}\cdot \vec{T} ds \end{align*}

其中 G⃗=(−Q,P)\vec{G} = (-Q,P) 就是逆时针旋转了 90∘90^\circ 的 F⃗=(P,Q)\vec{F}=(P,Q)，可以用广义叉积表示为

G⃗=×F⃗ \vec{G} = \times \vec{F}

因此过曲线积分和沿曲线积分之间的关系为

∮CF⃗⋅N⃗ds=∮C×F⃗⋅T⃗ds \oint_C \vec{F}\cdot \vec{N} ds = \oint_C \times \vec{F} \cdot \vec{T}ds

沿曲线积分的格林定理是旋度定理在 R2\mathbb{R}^2 中的特例，即沿曲线的总环量等于曲线围成的区域内部环量密度的积分

∮CF⃗⋅T⃗ds=∬D(∇×F⃗)⋅k⃗dA \oint_C \vec{F}\cdot\vec{T}\mathrm{d}s =\iint_D (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{k}\mathrm{d}A

过曲线积分的格林定理是散度定理在 R2\mathbb{R}^2 中的特例，即过曲线的总通量等于曲线围成的区域内部通量密度的积分

∮CF⃗⋅N⃗ds=∬D∇⋅F⃗dA \oint_C \vec{F}\cdot\vec{N}\mathrm{d}s =\iint_D \nabla\cdot\vec{F}\mathrm{d}A

高斯定理的向量分析表示

高斯定理适用于 S⊂R3S\subset \mathbb{R}^3，即空间曲面。

高斯定理是散度定理在 R3\mathbb{R}^3 中的特例，即过曲面的总通量等于曲面围成的区域内部通量密度的积分

∯SF⃗⋅N⃗dσ=∭V∇⋅F⃗dV \oiint_S \vec{F}\cdot\vec{N}\mathrm{d}\sigma =\iiint_V \nabla\cdot\vec{F}\mathrm{d}V

斯托克斯定理的向量分析表示

斯托克斯定理适用于 C⊂R3C\subset \mathbb{R}^3，即空间曲线。

斯托克斯定理是旋度定理在 R3\mathbb{R}^3 中的特例，即沿曲线的总环量等于曲线围成的区域内部环量密度的积分

∮CF⃗⋅T⃗ds=∬S(∇×F⃗)⋅N⃗dσ \oint_C \vec{F}\cdot\vec{T}\mathrm{d}s =\iint_S (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{N}\mathrm{d}\sigma