流形上的微积分（五）：黎曼度量

流形上的度量

在前一篇笔记《广义斯托克斯定理》中，我们用广义斯托克斯定理统一了格林定理、高斯定理和斯托克斯定理。但这些定理都存在另一种表述，后者使用了梯度、散度、旋度这些向量分析中的概念。

为了建立微分形式语言和向量分析语言的联系，我们需要补充黎曼度量的概念，以及与之相关的音乐同构、霍奇星算子、法空间和余法空间。

黎曼度量

设 $M$ 是一个 $n$ 维光滑流形。黎曼度量 $g$ 在每一点 $p\in M$ 上表示为 $g_p$ ，把两个切空间中的向量映射到实数

g_p: T_pM\times T_pM\to \mathbb R

黎曼度量是一个光滑、正定、对称的双线性映射

光滑指 $g_p$ 随 $p$ 光滑变化
对称指 $g_p(v,w)=g_p(w,v)$
正定指若 $v\neq 0$ ，则 $g_p(v,v)>0$
双线性指对两个切向量都满足线性 $g_p(au+bv,w)=ag_p(u,w)+bg_p(v,w)$

满足这些条件的 $g$ 就叫 $M$ 上的一个黎曼度量，带有黎曼度量的流形 $(M,g)$ 称为黎曼流形。

欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中的标准内积就是一个黎曼度量

g: T_p\mathbb{R}^n \times T_p\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}

通常简记为

g(u,v) = \langle u, v \rangle

逆黎曼度量

逆黎曼度量是黎曼度量的逆度量，把两个余向量映射到实数

g_p^{-1}: T_p^*M \times T_p^*M \to \mathbb{R}

对于 $\mathbb{R}^n$ ，标准欧式度量的逆度量定义为

g^{-1}: T_p^*\mathbb{R}^n \times T_p^*\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}

作为矩阵的黎曼度量

黎曼度量可以表示为矩阵。设切空间 $T_pM$ 的基为 $\set{e_1, e_2, \cdots, e_n}$ ，黎曼度量可表示为一个 $n\times n$ 矩阵

G = \begin{bmatrix} g_p(e_1,e_1) & g_p(e_1,e_2) & \cdots & g_p(e_1,e_n) \\ g_p(e_2,e_1) & g_p(e_2,e_2) & \cdots & g_p(e_2,e_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ g_p(e_n,e_1) & g_p(e_n,e_2) & \cdots & g_p(e_n,e_n) \\ \end{bmatrix}

由黎曼度量的对称性和正定性可知，度量矩阵 $G$ 是一个对称矩阵和正定矩阵

\begin{align*} G^T = G \\ G \succ 0 \end{align*}

从而，黎曼度量把两个向量映射到实数可以写为一个双线性型

g(u, v) = u^TGv

逆黎曼度量也可以表示为矩阵，并且逆度量矩阵 $G^{-1}$ 就是度量矩阵 $G$ 的逆矩阵。用 $g^{ik}$ 表示 $G^{-1}$ 中的 $(i,k)$ 个元素，用 $g_{kj}$ 表示 $G$ 中的第 $(k,j)$ 个元素，根据逆矩阵的定义，有

\sum_k g^{ik}g_{kj} = \delta_j^i

对于 $\mathbb{R}^n$ 中的标准欧式度量而言，其度量矩阵是单位矩阵，且逆度量矩阵也是单位矩阵

G = G^{-1} = I

从而矩阵和逆矩阵中的每个元素为

\begin{align*} g_{ij} = \delta_{ij} \\ g^{ij} = \delta^{ij} \\ \end{align*}

作为张量的黎曼度量

黎曼度量把两个向量映射到实数，因此是一个 $(0,2)$ 型张量

g_p\in T^0_2(T_pM)

$T^0_2(T_pM)$ 有 $n^2$ 个张量基，分别为

E_{ij} = \mathrm{d}x^i\rvert_p \otimes \mathrm{d}x^j\rvert_p

于是黎曼度量可以展开为基的线性组合

g_p =\sum_{i, j} g_{ij}E_{ij} = \sum_{i, j} g_{ij} \mathrm{d}x^i\rvert_p \otimes \mathrm{d}x^j\rvert_p

同理，逆黎曼度量把两个余向量映射到实数，因此是一个 $(2,0)$ 型张量

g_p^{-1}\in T^2_0(T_pM)

$T^2_0(T_pM)$ 的 $n^2$ 个张量基分别为

E^{ij} = \partial_i\rvert_p \otimes \partial_j\rvert_p

因此逆黎曼度量也可以展开为

g_p^{-1} =\sum_{i, j} g^{ij}E^{ij} = \sum_{i, j} g^{ij} \partial_i\rvert_p \otimes \partial_j\rvert_p

如果考虑对称性，则黎曼度量属于对称二阶协变张量空间

g_p\in \operatorname{Sym}^2(T_p^*M)

该空间的维数为

\dim\operatorname{Sym}^2(T_p^*M)=\frac{n(n+1)}2

因此可以选择对称化的张量作为基

dx^i\otimes dx^i \qquad dx^i\otimes dx^j+dx^j\otimes dx^i

这样只需要 $\frac{n(n+1)}2$ 个基。

逆黎曼度量也同理，其属于对称二阶逆变张量空间，也只需要 $\frac{n(n+1)}2$ 个基

g^{-1}_p\in \operatorname{Sym}^2(T_pM)

特别地，对于 $\mathbb{R}^n$ ，标准欧式度量可以展开为

g = \sum_i \mathrm{d}x^i\otimes\mathrm{d}x^i

标准欧式度量的逆度量可以展开为

g^{-1} = \sum_i \partial_i\otimes\partial_i

也就是说，标准欧氏度量中非零的基项只有 $n$ 个。

音乐同构

音乐同构指由黎曼度量 $g_p$ 诱导的切空间 $T_pM$ 和余切空间 $T_p^*M$ 之间的同构。

黎曼流形上的音乐同构

设 $(M, g)$ 是一个黎曼流形，在点 $p\in M$ 上的音乐同构包含一对互逆映射：降号和升号。降号把切向量变成余切向量，升号把余切向量变成切向量

\begin{align*} \flat_p&: T_pM\to T_p^*M \\ \sharp_p&: T_p^*M\to T_pM \end{align*}

对 $v\in T_pM$ 定义降号 $\flat_p$ 为

v \xrightarrow{b_p} g_p(v, \cdot)

即

v^{\flat_p}(u) = g_p(v, u) \qquad u \in T_pM

此时 $v^{\flat_p}$ 可以认为是一个余向量，作用在向量上得到一个实数。

同理，对 $\omega\in T_p^*M$ 定义升号 $\sharp_p$ 为

\omega \xrightarrow{\sharp_p} g^{-1}_p(\omega, \cdot)

即

\eta(\omega^{\sharp_p}) = g^{-1}_p(\eta, \omega) \qquad \eta \in T_p^*M

此时 $\omega^{\sharp_p}$ 可以认为是一个向量，被余向量映射到一个实数。

或者升号可以表示为

g_p(\omega^{\sharp_p}, u) = \omega(u) \qquad u \in T_pM

逆黎曼度量也可以用升号表示为黎曼度量

g_p^{-1}(\alpha,\beta) =g_p(\alpha^\sharp,\beta^\sharp) \qquad \alpha,\beta\in T_p^*M

欧氏空间中的音乐同构

对于 $\mathbb{R}^n$ ，标准欧式度量诱导的同构为

\begin{align*} \flat: T_p\mathbb{R}^n \to T_p^*\mathbb{R}^n \\ \sharp: T_p^*\mathbb{R}^n \to T_p\mathbb{R}^n \end{align*}

用内积表示为

\begin{align*} v^\flat(u) = \left\langle v,u \right\rangle \\ \left\langle \omega^\sharp, u \right\rangle = \omega(u) \end{align*}

逆欧式度量也可以用音乐同构表示为

g^{-1}(\alpha, \beta) = \left\langle \alpha^\sharp, \beta^\sharp \right\rangle

也可以直接记为

g^{-1}(\alpha, \beta) =\left\langle \alpha, \beta \right\rangle

甚至是

\alpha(v)=\left\langle \alpha, v \right\rangle = \left\langle v, \alpha \right\rangle

音乐同构的性质

音乐同构是线性的

\begin{align*} \left( av + bu \right)^\flat = a(v)^\flat + b(u)^\flat \\ \left( a\omega + b\eta\right)^\sharp = a(\omega)^\sharp + b(\eta)^\sharp \\ \end{align*}

音乐同构是可逆的

[v^\flat]^\sharp = v \qquad [\omega^\sharp]^\flat = \omega

即

\flat^{-1} = \sharp \qquad \sharp^{-1} = \flat

向量和余向量的同构

音乐同构之所以叫降号和升号，是因为分量坐标的指标分别发生了下降和上升。切向量的分量约定使用上标，余切向量的分量约定使用下标。因此，切向量变成余切向量时，分量指标下降，称为降号；而余切向量变成切向量时，分量指标上升，称为升号。

设 $T_pM$ 中的基为 $\set{e_1, e_2, \cdots, e_n}$ ，对偶基为 $\set{e^1, e^2, \cdots, e^n}$ ，度量矩阵 $G$ 的第 $(i,j)$ 个元素为 $g_{ij} = g(e_i,e_j)$ ，逆度量矩阵 $G^{-1}$ 的第 $(i,j)$ 个元素为 $g^{ij}$ 。

从向量到余向量

降号作用在基 $e_i$ 上得到

\begin{align*} (e_i)^\flat(u) &= g(e_i, u) \\ &= \sum_j u^j g(e_i,e_j) \\ &= \sum_j g_{ij}u^j \\ &= \sum_j g_{ij}e^j(u) \end{align*}

即

(e_i)^\flat = \sum_j g_{ij}e^j

从而可以把向量按分量展开后进行音乐同构

\begin{align*} \left(\sum_i v^ie_i \right)^\flat &= \sum_i v^i (e_i)^\flat \\ &= \sum_i v^i \sum_j g_{ij}e^j \\ &= \sum_j \sum_i v^ig_{ij}e^j \\ &= \sum_j v_je^j \end{align*}

同构的余向量在对偶基中的坐标 $v_j$ 和向量在基中的坐标之间的关系为

v_j = \sum_i g_{ij}v^i

在矩阵的视角下，音乐同构中的降号就是度量矩阵左乘切向量

v^\flat = Gv

特别地，对于标准欧式度量有 $g_{ij}=\delta_{ij}$ ，从而向量变成余向量后坐标相同，只不过基变成了对偶基

v = \sum_i v^i e_i \xrightarrow{\flat} v^\flat =\sum_i v^i e^i

即

(v^\flat)_i = \sum_j \delta_{ij} v^j = v^i

从余向量到向量

升号作用在对偶基 $e^i$ 上得到

\begin{align*} g\bigl((e^i)^\sharp, u\bigr) &= e^i(u) \\ \sum_j u^jg\bigl((e^i)^\sharp, e_j\bigr) &= u^i \\ \end{align*}

可以推出

\begin{align*} g\bigl((e^i)^\sharp, e_j\bigr) &= \delta^i_j \\ &= \sum_k g^{ik}g_{kj} \\ &= \sum_k g^{ik}g(e_k,e_j) \\ &= g\left( \sum_k g^{ik}e_k, e_j \right) \end{align*}

即

(e^i)^\sharp = \sum_j g^{ij}e_j

从而可以把余向量按分量展开后进行音乐同构

\begin{align*} \left(\sum_i\omega_ie^i\right)^\sharp &= \sum_i\omega_i(e^i)^\sharp\\ &= \sum_i\omega_i \sum_j g^{ij}e_j\\ &= \sum_j \sum_i \omega_ig^{ij}e_j \\ &= \sum_j\omega^je_j \end{align*}

同构的向量在基中的坐标 $\omega^j$ 和余向量在对偶基中的坐标之间的关系为

\omega^j = \sum_i g^{ij}\omega_i

在矩阵的视角下，音乐同构中的升号就是逆度量矩阵左乘余切向量

\omega^\sharp = G^{-1}\omega

特别地，对于标准欧式度量有 $g^{ij}=\delta^{ij}$ ，从而余向量变成向量也只改变基，不改变坐标

\alpha=\sum_i \alpha_i e^i \xrightarrow{\sharp} \alpha^\sharp=\sum_i \alpha_i e_i

即

(\alpha^\sharp)^i = \sum_j \delta^{ij}\alpha_j=\alpha_i

向量场和余向量场的同构

音乐同构可以作用在场上。通过逐点运用，得到向量场和余向量场之间的同构

\begin{align*} \flat&: \Gamma(TM) \to \Gamma(T^*M) \\ \sharp&: \Gamma(T^*M) \to \Gamma(TM) \end{align*}

对于任意向量场 $X\in\mathfrak X(M)$ ，对于 $p\in M$ 有

p \xrightarrow{X} X_p \in T_pM

逐点定义 $X^\flat$ 为

p \xrightarrow{X^\flat} (X_p)^\flat \in T_p^*M

因此 $X^\flat$ 可以看成一个余向量场，或者说 1-形式，把每个点映射到一个余向量。

同理，对于任意 1-形式 $\omega\in\Omega^1(M)$ ，对于 $p\in M$ 有

p \xrightarrow{\omega} \omega_p \in T_p^*M

逐点定义 $\omega^\sharp$ 为

p \xrightarrow{\omega^\sharp} \omega_p^\sharp \in T_pM

因此 $\omega^\sharp$ 可以看成一个向量场，把每个点映射到一个向量。

在向量分析里，欧氏空间中的向量场通常写为

\vec{F} = (f_1, f_2, \cdots, f_n)

这其实默认使用了欧氏空间中的标准正交基

X = (f_1, f_2, \cdots, f_n) = \sum_i^n f_i \frac{\partial}{\partial x^i}

通过音乐同构得到的 1-形式为

X^\flat = \sum_i^n f_i dx^i

霍奇星算子

设 $(M,g)$ 是一个 $n$ 维定向黎曼流形，霍奇星算子把 $k$ 次微分形式变成 $n-k$ 次微分形式

\star: \Omega^k(M) \to \Omega^{n-k}(M)

设 $\alpha, \beta$ 是两个 $k$ -形式，霍奇星算子定义为

\alpha\wedge \star\beta = \langle \alpha, \beta \rangle_g \mathrm{vol}_g

其中 $\langle\alpha, \beta\rangle_g$ 是黎曼度量 $g$ 诱导的 k-形式内积， $\mathrm{vol}_g$ 是黎曼度量 $g$ 诱导的体积形式。

微分形式内积

对于两个 1-形式，逆黎曼度量给出了其内积

\langle\alpha,\beta\rangle_g = g^{-1}(\alpha, \beta)

这可以推广到 $k$ -形式。黎曼度量诱导的 k-形式内积为

\langle\alpha,\beta\rangle_g =\frac{1}{k!} (g^{-1})^{\otimes k}(\alpha,\beta)

其中 $g^{-1}$ 是逆黎曼度量，而 $(g^{-1})^{\otimes k}$ 表示其自身进行 $k$ 次张量积，从而得到 $(2k,0)$ 型张量

(g^{-1})^{\otimes k}: (T^*M)^{2k}\longrightarrow\mathbb R

其可以作用于 $2k$ 个余切向量，得到

\begin{align*} (g^{-1})^{\otimes k} (\theta^1,\eta^1,\ldots,\theta^k,\eta^k) &=\prod_{i=1}^k g^{-1}(\theta^i,\eta^i) \\ &=\det\bigl( g^{-1}(\theta^i,\eta^j) \bigr)_{i,j=1}^k \end{align*}

在局部坐标 $(x^1,\ldots,x^n)$ 下，设黎曼度量为

g=g_{ij}dx^i\otimes dx^j

用 $g_{ij}$ 是度量矩阵的分量，用 $g^{ij}$ 表示逆矩阵的分量。对两个基形式有

\begin{align*} \langle dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}, dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j_k}\rangle_g &=\det\left( g^{i_a j_b} \right)_{a,b=1}^k \\ &=\sum_{\sigma\in S_k} \operatorname{sgn}(\sigma) g^{i_1j_{\sigma(1)}} \cdots g^{i_kj_{\sigma(k)}} \end{align*}

进而设两个 $k$ 次微分形式为

\begin{align*} \alpha=\frac{1}{k!}\alpha_{i_1\cdots i_k} dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k} \\ \beta=\frac{1}{k!}\beta_{j_1\cdots j_k} dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j_k} \end{align*}

其中系数完全反对称

$$ \begin{align*} \alpha_{i_{\sigma(1)}\cdots i_{\sigma(k)}} &=\operatorname{sgn}(\sigma)\alpha_{i_1\cdots i_k} \

\beta_{j_{\sigma(1)}\cdots j_{\sigma(k)}} &=\operatorname{sgn}(\sigma)\beta_{j_1\cdots j_k} \end{align*} $$

由内积的双线性性

\langle\alpha,\beta\rangle_g =\frac{1}{(k!)^2} \alpha_{i_1\cdots i_k} \beta_{j_1\cdots j_k} \langle dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}, dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j_k}\rangle_g

代入行列式表达式

\langle\alpha,\beta\rangle_g =\frac{1}{(k!)^2} \alpha_{i_1\cdots i_k} \beta_{j_1\cdots j_k} \sum_{\sigma\in S_k} \operatorname{sgn}(\sigma) g^{i_1j_{\sigma(1)}}\cdots g^{i_kj_{\sigma(k)}}

将求和的哑指标记为 $l_a=j_{\sigma(a)}$ ，然后利用反对称性化简置换求和

\begin{align*} \operatorname{sgn}(\sigma) \alpha_{i_1\cdots i_k} \beta_{j_1\cdots j_k} g^{i_1j_{\sigma(1)}}\cdots g^{i_kj_{\sigma(k)}} &= \operatorname{sgn}(\sigma)^2 \alpha_{i_1\cdots i_k} \beta_{l_1\cdots l_k} g^{i_1l_1}\cdots g^{i_kl_k} \\ &= \alpha_{i_1\cdots i_k} \beta_{l_1\cdots l_k} g^{i_1l_1}\cdots g^{i_kl_k} \end{align*}

而置换群 $S_k$ 一共有 $k!$ 个元素，所以

\sum_{\sigma\in S_k} \operatorname{sgn}(\sigma) \alpha_{i_1\cdots i_k} \beta_{j_1\cdots j_k} g^{i_1j_{\sigma(1)}} \cdots g^{i_kj_{\sigma(k)}}= k!\alpha_{i_1\cdots i_k} \beta_{j_1\cdots j_k} g^{i_1j_1}\cdots g^{i_kj_k}

代回内积公式

\begin{align*} \langle\alpha,\beta\rangle_g &=\frac{k!}{(k!)^2} \alpha_{i_1\cdots i_k} \beta_{j_1\cdots j_k} g^{i_1j_1}\cdots g^{i_kj_k} \\ &=\frac{1}{k!} \alpha_{i_1\cdots i_k} \beta_{j_1\cdots j_k} g^{i_1j_1}\cdots g^{i_kj_k} \end{align*}

最终得到

\langle\alpha,\beta\rangle_g= \frac{1}{k!} g^{i_1j_1}\cdots g^{i_kj_k} \alpha_{i_1\cdots i_k} \beta_{j_1\cdots j_k}

黎曼体积形式

在局部正定向坐标系 $(x^1,\ldots,x^n)$ 中，黎曼体积形式为

\mathrm{vol}_g =\sqrt{\det G} dx^1\wedge dx^2\wedge\cdots\wedge dx^n

其中 $G$ 是度量矩阵， $\det G$ 是度量矩阵的行列式， $dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$ 是坐标体积形式。

这里假设局部坐标与流形选定的定向一致。如果坐标定向相反，则体积形式需要增加一个负号。

特别地， $\mathbb{R}^n$ 中的标准欧式度量是一个单位矩阵，其行列式为 $1$

\det G = 1

从而

\mathrm{vol}_g =dx^1\wedge dx^2\wedge\cdots\wedge dx^n

霍奇星算子的坐标表示

代入微分形式内积和黎曼体积形式，得到

\alpha\wedge\star\beta =\frac{\sqrt{\det G}}{k!} g^{i_1j_1}\cdots g^{i_kj_k}\alpha_{i_1\cdots i_k} \beta_{j_1\cdots j_k} dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n

特别地，可以得到霍奇星算子作用于任意 $k$ 阶微分形式 $\beta$ 的坐标表达式

\star\beta= \frac{\sqrt{\det G}}{k!(n-k)!} \beta^{i_1\cdots i_k} \varepsilon_{i_1\cdots i_k j_1\cdots j_{n-k}} dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j_{n-k}}

其中

\begin{align*} \beta^{i_1\cdots i_k} &=g^{i_1l_1}\cdots g^{i_kl_k} \beta_{l_1\cdots l_k} \\ \varepsilon_{i_1\cdots i_n} &= \sigma(i_1, \cdots, i_n) \end{align*}

取 $M$ 的局部坐标为 $(x^1, x^2, \cdots, x^n)$ ，对于 $k$ 形式的基

dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}

运用霍奇星算子，得到

\star(dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}) =\frac{\sqrt{\det G}}{(n-k)!} g^{i_1j_1}\cdots g^{i_kj_k} \varepsilon_{j_1\cdots j_k l_1\cdots l_{n-k}} dx^{l_1}\wedge\cdots\wedge dx^{l_{n-k}}

特别地，在 $\mathbb{R}^n$ 中，取标准正交基，从而对于度量矩阵有

g^{ij} = \delta^{ij}

并且霍奇星算子作用在基形式上可以简化为

\star(dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k})= \varepsilon_{i_1\cdots i_kj_1\cdots j_{n-k}} dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j_{n-k}}

其中 $(j_1,\cdots,j_{n-k})$ 是 $(i_1,\cdots,i_k)$ 在 $\set{1,\cdots,n}$ 中的补集，且约定为升序，即

(i_1,\cdots,i_k)^c = (j_1,\cdots,j_{n-k}) \qquad j_1 < \cdots < j_{n-k}

设 $\mathbb{R}^n$ 中的 $k$ 次微分形式表示为

\omega = \sum_{I \in \mathcal{I}_k} f_I \mathrm{d}x^I

运用霍奇星算子后得到

\star\omega= \sum_{I \in \mathcal{I}_k} f_I \sigma(I,I^c) \mathrm{d}x^{I^c}

欧氏空间中的霍奇星算子

在 $\mathbb{R}^2$ 中

\mathrm{vol}_g = \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y

对于 1-形式有

\star\mathrm{d}x = \mathrm{d}y \\ \star\mathrm{d}y = -\mathrm{d}x

在 $\mathbb{R}^3$ 中

\mathrm{vol}_g = \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z

对 0-形式有

\star 1=\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z

对 3-形式有

\star(\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z)=1

对于 1-形式有

\begin{align*} \star \mathrm{d}x=\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z \\ \star \mathrm{d}y=\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x \\ \star \mathrm{d}z=\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y \\ \end{align*}

对 2-形式有

\star(\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z)=\mathrm{d}x \\ \star(\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x)=\mathrm{d}y \\ \star(\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y)=\mathrm{d}z

法空间

法空间的定义依赖环境流形。

如果一个子流形嵌入环境流形之中，那么法向量就是环境流形切空间中与子流形切空间正交的向量。

子流形在一点上的所有法向量构成一个空间，称为法空间。法空间的符号为 $N_p^{\bar{M}}M$ ，其中 $\bar{M}$ 表示环境流形。如果上下文约定了环境流形，那么可以将 $\bar{M}$ 省略。

非黎曼流形中嵌入流形的法空间

非黎曼流形中不存在黎曼度量，此时法向是环境流形中那些不属于子流形切向的那些方向。

设 $M\subseteq\overline M$ 是一个嵌入子流形。在 $p\in M$ 上子流形的切空间包含于环境流形的切空间

T_pM\subseteq T_p\overline M

定义环境流形切空间中的向量等价关系

v\sim w \iff v-w\in T_pM

也就是说，若两个环境流形切空间中的向量只相差一个子流形切空间中的切向量，就认为代表同一个法向

[v] = v + T_pM = \Set{ w\in T_p\bar M \mid w-v\in T_pM }

这定义了一种不依赖度量的正交。从而，法空间可以定义为一个商空间

N_pM = T_p\bar M/T_pM = \Set{ [v] \mid v\in T_p\bar M }

黎曼流形中嵌入流形的法空间

设 $(\overline M,\overline g)$ 是一个 $n$ 维黎曼流形， $M\subseteq\overline M$ 是一个 $m$ 维嵌入子流形。此时用黎曼度量定义正交

v \perp w \Longleftrightarrow \overline{g}_p(v,w) = 0

从而法空间定义为

N_pM= \Set{ v\in T_p\overline M \mid \overline g_p(v,w)=0, \forall w\in T_pM }

法空间的维数为

\dim N_pM = \dim T_p\bar M - \dim T_pM = n - m

并且环境流形切空间可以正交分解为

T_p\overline M=T_pM\oplus N_pM

所有点的法空间组合起来，形成流形的法丛

NM=\bigsqcup_{p\in M}N_pM

这是一个秩为 $n-m$ 的向量丛。

欧氏空间中嵌入流形的法空间

设 $M\subseteq\mathbb R^n$ 是一个 $m$ 维光滑嵌入子流形。此时用 $\mathbb{R}^n$ 中的标准内积定义正交

v\perp w \Longleftrightarrow \langle v, w\rangle = 0

因此 $M$ 在 $p$ 点的法空间定义为切空间的正交补

N_pM = (T_pM)^\perp = \Set{ v \in T_p\mathbb{R}^n\mid \langle v, w\rangle = 0, \forall w \in T_pM }

维数同样为

\dim N_pM = n - m

有正交分解

\mathbb R^n=T_pM\oplus N_pM

法空间基的参数式表示

设 $m$ 维流形 $M\subseteq\mathbb R^n$ 有参数式表示

X(u^1,\ldots,u^m): U\subset \mathbb R^m\to\mathbb R^n

在 $X(u_p)=p\in M$ 处有 $m$ 个线性无关的切向量作为基

X_{u^i} = \frac{\partial X}{\partial u^i}(u_p) = \left( \frac{\partial X_1}{\partial u^i}(u_p), \frac{\partial X_2}{\partial u^i}(u_p), \cdots, \frac{\partial X_N}{\partial u^i}(u_p) \right)

将切向量作为列向量排列，得到参数化的雅可比矩阵

J_X(p)= \begin{bmatrix} X_{u^1},\ldots,X_{u^m} \end{bmatrix} \in\mathbb R^{n\times m}

由于 $X$ 是正则参数化，因此

\operatorname{rank}J_X(p)=m

法向量 $v\in\mathbb R^n$ 与 $\forall w\in T_pM$ 正交，而后者可以展开为基的线性组合

\langle v, w\rangle = \sum_i^n w^i\langle v, X_{u^i} \rangle = 0

因此法向量只需满足

\langle v,X_{u^i}\rangle=0 \qquad i=1,\ldots,m

展开欧氏内积

\langle v,X_{u^i}\rangle= \sum_{a=1}^n v_a\frac{\partial X_a}{\partial u^i}(u_p)

得到 $m$ 个线性方程

\begin{cases} \displaystyle\sum_{a=1}^n \frac{\partial X_a}{\partial u^1}(u_p)v_a &=0 \\ \displaystyle\sum_{a=1}^n \frac{\partial X_a}{\partial u^2}(u_p)v_a &=0 \\ &\vdots\\ \displaystyle\sum_{a=1}^n \frac{\partial X_a}{\partial u^m}(u_p)v_a &=0 \end{cases}

改写为矩阵形式

J_X(p)^Tv = 0

记

A=J_X(p)^T\in\mathbb R^{m\times n}

由于 $\operatorname{rank}A=m$ ，可以选择 $m$ 个线性无关的列。适当调整列顺序后，将矩阵写成分块形式

A=\begin{bmatrix} A_1&A_2 \end{bmatrix}

其中 $A_1\in\mathbb R^{m\times m},A_2\in\mathbb R^{m\times(n-m)}$ 且 $A_1$ 可逆。

相应地，将向量 $v$ 分为 $v^{(1)}\in\mathbb R^m$ 和 $v^{(2)}\in\mathbb R^{n-m}$ 两部分

v= \begin{bmatrix} v^{(1)} \\ v^{(2)} \end{bmatrix}

于是 $Av=0$ 等价于

A_1v^{(1)}+A_2v^{(2)}=0

因为 $A_1$ 可逆，得到

v^{(1)}=-A_1^{-1}A_2v^{(2)}

从而法向量的通解为

v= \begin{bmatrix} -A_1^{-1}A_2v^{(2)} \\ v^{(2)} \end{bmatrix}

进一步可以记为

v= \begin{bmatrix} -A_1^{-1}A_2\\ I_{n-m} \end{bmatrix} v^{(2)} = B_N v^{(2)}

这里 $I_{n-m}$ 是 $(n-m)\times(n-m)$ 单位矩阵，而

B_N= \begin{pmatrix} -A_1^{-1}A_2\\ I_{n-m} \end{pmatrix} \in\mathbb R^{n\times(n-m)}

的列向量就构成法空间的一组基。即对于

B_N= \begin{bmatrix} n_1&n_2&\cdots&n_{n-m} \end{bmatrix}

有

N_pM= \operatorname{span}\set{n_1,\ldots,n_{n-m}}

上述 $n_1,\ldots,n_{n-m}$ 只要求线性无关，不要求单位长度或相互正交。而标准正交基要求满足

\langle \nu_\alpha,\nu_\beta\rangle= \delta_{\alpha\beta} \qquad \alpha,\beta=1,\ldots,n-m

可对矩阵 $B_N$ 进行正交规范化。一种方法是

Q_N=B_N(B_N^TB_N)^{-1/2}

由于 $B_N$ 列满秩， $B_N^TB_N$ 是正定矩阵，存在逆平方根，并且

Q_N^TQ_N=I_{n-m} \qquad J_X(p)^TQ_N=0

因此， $Q_N$ 的 $n-m$ 个列向量就是 $N_pM$ 的一组标准正交基。

余法空间

余法空间的定义同样依赖环境流形。

如果一个子流形嵌入环境流形之中，那么余法向量就是环境流形余切空间中在子流形切空间上恒为零的余向量。

子流形在一点上的所有余法向量构成一个空间，称为余法空间。余法空间 $N_p^*M$ 和法空间的对偶空间 $(N_pM)^*$ 之间存在自然的同构。

法空间的对偶空间

设 $M\subseteq\overline M$ 是一个 $m$ 维嵌入子流形，环境流形是 $n$ 维流形。法空间 $N_pM$ 的对偶空间由所有把法向量 $n\in N_pM$ 映射到实数的线性泛函组成

(N_pM)^*= \operatorname{Hom}(N_pM,\mathbb R)

如果

N_pM=\operatorname{span}\set{n_1,\ldots,n_{n-m}}

则可以定义对偶基

n^1,\ldots,n^{n-m}\in(N_pM)^*

满足

n^\alpha(n_\beta)=\delta^\alpha_\beta

从而得到法空间的对偶空间的基

(N_pM)^*= \operatorname{span}\set{n^1,\ldots,n^{n-m}}

其维度和法空间相同

\dim(N_pM)^*=n-m

黎曼流形中嵌入流形的余法空间

设 $(\overline M,\overline g)$ 是一个 $n$ 维黎曼流形， $M\subseteq\overline M$ 是一个 $m$ 维嵌入子流形。余法空间定义为切空间 $T_pM$ 的零化子

N_p^*M=\operatorname{Ann}(T_pM)=\Set{ \omega\in T_p^*\overline{M} \mid \omega(v)=0, \forall v\in T_pM }

余法空间 $N_p^*M$ 是环境流形余切空间 $T_p^*\overline{M}$ 的子空间。而法空间 $N_pM$ 是环境流形切空间 $T_p\overline{M}$ 的子空间

N_pM= \Set{ v\in T_p\overline M \mid \overline g_p(v,w)=0, \forall w\in T_pM }

余法空间和法空间对偶空间中的元素可以一一对应。定义映射 $\Phi$ 为

\omega\in N_p^*M\subset T_p^*\overline{M} \xrightarrow{\Phi} \omega\rvert_{N_pM}

即 $\Phi$ 把 $\omega$ 限制在 $N_pM$ 上。由于 $\omega\in T_p^*\overline{M}$ 是线性泛函，其限制 $\omega|_{N_pM}$ 仍然是线性泛函，因此 $\Phi(\omega)\in(N_pM)^*$ ，有

\Phi: N_p^*M \longrightarrow (N_pM)^*

需证明其单射性和满射性。由于黎曼度量给出了正交直和分解

T_p\overline{M}=T_pM\oplus N_pM

任何 $u\in T_p\overline{M}$ 都可以唯一分解成

u=u^\top+u^\perp \qquad u^\top\in T_pM,u^\perp\in N_pM

而 $\alpha\in N_p^*M$ 在 $u^\top\in T_pM$ 切向量上恒为零，因此

\begin{align*} \alpha(u) &=\alpha(u^\top+u^\perp) \\ &=\alpha\rvert_{T_pM}(u^\top)+\alpha\rvert_{N_pM}(u^\perp) \\ &=\alpha\rvert_{N_pM}(u^\perp) \\ \end{align*}

进一步地，取取任意 $\alpha,\beta\in N_p^*M$ ，设 $\Phi(\alpha)=\Phi(\beta)$ ，即 $\alpha|_{N_pM} = \beta|_{N_pM}$ ，从而有

\alpha(u) =\alpha\rvert_{N_pM}(u^\perp) =\beta\rvert_{N_pM}(u^\perp) =\beta(u)

即 $\Phi(\alpha)=\Phi(\beta) \iff \alpha = \beta$ ，从而证明了单射性。

反过来，任意 $\lambda\in(N_pM)^*$ 都可以用来定义一个环境流形上 $T_p^*\overline{M}$ 的余向量

\alpha(u)=\lambda(u^\perp)

按定义 $\alpha$ 在 $T_pM$ 上恒为零，所以

\alpha\in N_p^*M

从而对 $\forall n\in N_pM$ 有

\begin{align*} \Phi(\alpha)(n) &=\alpha\rvert_{N_pM}(n) \\ &=\alpha(n) \\ &=\lambda(n^\perp) \\ &=\lambda(n) \end{align*}

即 $\Phi(\alpha)=\lambda$ ，从而证明了满射性。

因此 $\Phi: N_p^*M \longrightarrow (N_pM)^*$ 是一个双射，从而得到同构

N_p^*M \cong (N_pM)^*

法空间和余法空间的同构

对于黎曼流形 $(\overline{g},\overline{M})$ 中的嵌入流形 $M\subseteq\overline{M}$ ，环境流形的黎曼度量 $\overline g$ 诱导了环境流形切空间和环境流形余切空间之间的同构

\begin{align*} \overline g_p^\flat &: T_p\overline M\longrightarrow T_p^*\overline M \qquad v^\flat = \overline g_p(v,\cdot) \\ \overline g_p^\sharp &: T_p^*\overline M\longrightarrow T_p\overline M \qquad \omega^\sharp = \overline g^{-1}_p(\omega,\cdot) \\ \end{align*}

将其限制在法空间和余法空间上，就得到了法空间和余法空间的同构

\begin{align*} \overline g_p^\flat\rvert_{N_pM}: N_pM \to N_p^*M \\ \overline g_p^\sharp\rvert_{N_p^*M}: N_p^*M \to N_pM \end{align*}

法丛和法向量场

法丛

对于黎曼流形 $(\overline{g},\overline{M})$ 中的嵌入流形 $M\subseteq\overline{M}$ ，每个点 $p$ 上都存在一个法纤维 $\set{p}\times N_pM$ ，法丛定义为所有法纤维的不交并

NM=\bigsqcup_{p\in M}\set{p}\times N_pM

在微分几何里，通常简记为

NM=\bigsqcup_{p\in M}N_pM

法丛的投影为

\pi: NM \to M \qquad (p, n) \mapsto p

环境黎曼度量 $\overline{g}$ 给出了环境切丛 $T_p\overline{M}$ 的正交分解

T\overline M|_M=TM\oplus NM

因此，法丛是环境切丛的子丛。若 $\dim\overline M=n$ ， $\dim M=m$ ，则法丛的秩为

\operatorname{rank}NM=n-m

典型纤维是

\mathbb{R}^{n-m}

法向量场

法丛的光滑截面空间为

\Gamma(NM) = \Set{ X \in C^\infty(M, NM) \mid \pi \circ X = \operatorname{id}_M }

也可以将其写为环境切丛光滑截面空间的子空间

\Gamma(NM)=\Set{ \xi\in\Gamma(T\overline M\rvert_M) \mid \overline g(\xi,X)=0, \forall X\in\Gamma(TM) }

法向量场和法丛上的光滑截面一一对应，因此光滑截面 $\xi$ 对应了一个法向量场 $N$

\xi(p) = (p, N(p)) \qquad \forall p\in M

余法丛

余法丛是余法纤维的不交并

N^*M=\bigsqcup_{p\in M}\set{p}\times N_p^*M

或者记为

N^*M=\operatorname{Ann}(TM) \subseteq T^*\overline M|_M

余法丛的投影为

\pi: N^*M \to M \qquad (p, \omega) \mapsto p

典型纤维是

(\mathbb{R}^{n-m})^*

余法向量场

余法丛的光滑截面空间为

\Gamma(N^*M) = \Set{ X \in C^\infty(M, N^*M) \mid \pi \circ X = \operatorname{id}_M }

也可以将其写为环境余切丛光滑截面空间的子空间

\Gamma(N^*M) =\Set{ \xi\in\Gamma(T^*\overline M\rvert_M) \mid \xi(X)=0, \forall X\in\Gamma(TM) }

余法向量场和余法丛上的光滑截面一一对应，因此光滑截面 $\xi$ 对应了一个余法向量场 $\omega$

\xi(p) = (p, \omega(p)) \qquad \forall p\in M

法向量场和余法向量场的同构

通过逐点运用 $\overline{g}$ 诱导的法空间和余法空间的同构，可以得到法向量场和与法向量场之间的同构

\begin{align*} \flat&: \Gamma(NM) \to \Gamma(N^*M) \\ \sharp&: \Gamma(N^*M) \to \Gamma(NM) \end{align*}

对于任意法向量场 $N\in \Gamma(NM)$ ，逐点定义 $N^\flat$ 为

p \xrightarrow{N^\flat} (N_p)^\flat \in N_p^*M

对于任意余法向量场 $\omega\in \Gamma(N^*M)$ ，逐点定义 $\omega^\sharp$ 为

p \xrightarrow{\omega^\sharp} (\omega_p)^\sharp \in N_pM

约束方程

对于黎曼流形 $(\overline{g},\overline{M})$ 中的嵌入流形 $M\subseteq\overline{M}$ ，设其在局部由 $k$ 个独立的约束方程定义

M=\Set{ p\in\overline M \mid F^1(p)=\cdots=F^k(p)=0 }

或者用光滑函数 $F=(F^1, F^2, \cdots, F^k): \overline{M} \to \mathbb{R}^k$ 写为

F(x) = 0

方程满足正则性条件

\operatorname{rank}(dF_p)=k \qquad p\in M

此时切空间表示为

T_pM=\Set{ v\in T_p\overline M \mid dF_p(v)=0 }

余法空间由约束函数的微分张成

N_p^*M=\operatorname{span} \set{dF_p^1,\ldots,dF_p^k}

而利用黎曼度量诱导的音乐同构，法空间可以表示为

N_pM=\operatorname{span} \set{ (dF^1)^\sharp, \ldots, (dF^k)^\sharp }

实际上，这里的 $(dF^a)^\sharp$ 就是 $F^a$ 的梯度

\operatorname{grad}F^a =(dF^a)^\sharp

我们将在下一部分专门研究这些向量分析中的概念，如何用微分形式的语言进行表示。

流形上的度量#

黎曼度量#

逆黎曼度量#

作为矩阵的黎曼度量#

作为张量的黎曼度量#

音乐同构#

黎曼流形上的音乐同构#

欧氏空间中的音乐同构#

音乐同构的性质#

向量和余向量的同构#

从向量到余向量#

从余向量到向量#

向量场和余向量场的同构#

霍奇星算子#

微分形式内积#

黎曼体积形式#

霍奇星算子的坐标表示#

欧氏空间中的霍奇星算子#

法空间#

非黎曼流形中嵌入流形的法空间#

黎曼流形中嵌入流形的法空间#

欧氏空间中嵌入流形的法空间#

法空间基的参数式表示#

余法空间#

法空间的对偶空间#

黎曼流形中嵌入流形的余法空间#

法空间和余法空间的同构#

法丛和法向量场#

法丛#

法向量场#

余法丛#

余法向量场#

法向量场和余法向量场的同构#

约束方程#