广义斯托克斯定理

在前一篇笔记《微分形式》的最后，我们讨论了广义斯托克斯定理，不过其严格的写法中还需要进行拉回

∫Mdω=∫∂Mi∗ω \int_M \mathrm{d}\omega = \int_{\partial M} i^*\omega

其中

  • MM 是紧致、有定向、带边界的 nn 维光滑流形，∂M\partial M 是 MM 的边界，采用由 MM 诱导的边界定向
  • ω\omega 是定义在流形上的 n−1n-1 次微分形式，dω\mathrm{d}\omega 是 ω\omega 的外微分
  • i:∂M↪Mi:\partial M\hookrightarrow M 是包含映射，而 i∗i^* 是其诱导的拉回

我们将首先推导广义斯托克斯定理，然后用其统一微积分基本定理、曲线积分基本定理、格林定理、高斯定理和斯托克斯定理。

流形的边界

定义闭半空间为

Hn={ (x1,⋯ ,xn)∈Rn∣xn≥0 } \mathbb H^n=\Set{ (x^1,\cdots,x^n)\in\mathbb R^n \mid x^n\geq 0 }

一个 nn 维光滑带边界流形 MM，在每个点 pp 都有一个局部坐标映射，可以将点用闭半空间中的坐标表示

φ:U⟶V⊆Hn \varphi:U\longrightarrow V\subseteq\mathbb H^n

这与普通流形的定义几乎完全相同，唯一的区别是

  • 普通流形的坐标图取值于 Rn\mathbb R^n 的开集
  • 带边界流形的坐标图取值于 Hn\mathbb H^n 的相对开集

定义闭半空间的边界为

∂Hn={ (x1,⋯ ,xn)∈Rn∣xn=0 } \partial \mathbb H^n=\Set{(x^1,\cdots,x^n)\in\mathbb R^n \mid x^n=0}

从而在带边界流形上，可以定义流形的边界为

∂M={ p∈M∣φ(p)∈∂Hn } \partial M=\Set{ p\in M \mid \varphi(p) \in \partial \mathbb H^n }

流形的边界不依赖于坐标图的选择，因为半空间之间的微分同胚必须把边界点映射到边界点。

流形的内部就表示为商空间

Int⁡M=M∖∂M={ p∈M∣p∉∂M } \operatorname{Int}M=M\setminus\partial M = \Set{ p\in M \mid p\notin \partial M }

流形边界的维度

设 p∈∂Mp\in\partial M，并取其边界坐标图

φ:U→V⊆Hn \varphi:U\to V\subseteq\mathbb H^n

将坐标图限制在边界上

φ∣U∩∂M:U∩∂M→V∩∂Hn \varphi\rvert_{U\cap\partial M}: U\cap\partial M\to V\cap \partial \mathbb H^n

由于最后一个坐标恒为零，直接丢弃它，得到

φ∣U∩∂M(p)=(x1(p),⋯ ,xn−1(p)) \varphi\rvert_{U\cap\partial M}(p)=(x^1(p),\cdots,x^{n-1}(p))

这些坐标图构成了 ∂M\partial M 上的光滑图册。因此流形边界作为一个流形，其维度为

dim⁡∂M=n−1 \dim\partial M=n-1

并且 ∂M\partial M 本身是一个没有边界的流形，即

∂(∂M)=∅ \partial(\partial M)=\varnothing

流形边界的定向

设 p∈∂Mp\in\partial M。包含映射 i:∂M↪Mi:\partial M\hookrightarrow M 是一个光滑嵌入，其切映射是另一个包含映射

dip:Tp(∂M)↪TpM di_p:T_p(\partial M)\hookrightarrow T_pM

因此可以自然地将 Tp(∂M)T_p(\partial M) 视为 TpMT_pM 的一个 (n−1)(n-1) 维子空间。在半空间坐标中，可以得到

Tp(∂M)=span⁡{ ∂∂x1∣p,⋯ ,∂∂xn−1∣p } T_p(\partial M) =\operatorname{span}\Set{ \left.\frac{\partial}{\partial x^1}\right\rvert_p, \cdots, \left.\frac{\partial}{\partial x^{n-1}}\right\rvert_p }

即 ∂∂xn∣p\left.\frac{\partial}{\partial x^n}\right\rvert_p 属于 TpMT_pM 但不属于 Tp(∂M)T_p(\partial M)。

约定

−∂∂xn∣p∂∂xn∣p -\left.\frac{\partial}{\partial x^n}\right|_p \qquad \left.\frac{\partial}{\partial x^n}\right|_p

分别表示向外和向内的方向。即对于

v=∑i=1nvi∂∂xi∈TpM v=\sum_{i=1}^n v^i\frac{\partial}{\partial x^i}\in T_pM

当 vn<0v^n<0 时向量向外指，当 vn>0v^n>0 时向量向内指，当 vn=0v^n=0 时向量沿边界切向。

用 νp\nu_p 表示 TpMT_pM 中任意向外指的向量。当且仅当一组有序基

(νp,dip(v1),⋯ ,dip(vn−1)) \bigl( \nu_p,di_p(v_1),\cdots,di_p(v_{n-1}) \bigl)

是 TpMT_pM 的正定向基时

(v1,⋯ ,vn−1) (v_1,\cdots,v_{n-1})

是 Tp(∂M)T_p(\partial M) 的正定向基。这被称作向外优先的定向约定。

标准定向

根据行列式的几何性质，向外优先的定向约定存在一个行列式判别法。若 (e1,…,en)(e_1,\ldots,e_n) 是 TpMT_pM 的一个正定向基，(νp,dip(v1),…,dip(vn−1))(\nu_p,di_p(v_1),\ldots,di_p(v_{n-1})) 是变换得到的新基，设二者之间的关系为

νp=∑j=1naj0ejdip(vk)=∑j=1najkej \nu_p=\sum_{j=1}^n a_{j0}e_j \qquad di_p(v_k)=\sum_{j=1}^n a_{jk}e_j

将这些系数排列成矩阵

A=[a10a11⋯a1,n−1a20a21⋯a2,n−1⋮⋮⋮an0an1⋯an,n−1] A= \begin{bmatrix} a_{10}&a_{11}&\cdots&a_{1,n-1}\\ a_{20}&a_{21}&\cdots&a_{2,n-1}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n0}&a_{n1}&\cdots&a_{n,n-1} \end{bmatrix}

当且仅当 det⁡A>0\det A>0 时，(νp,dip(v1),…,dip(vn−1))(\nu_p,di_p(v_1),\ldots,di_p(v_{n-1})) 是 TpMT_pM 的正定向基，从而 (v1,…,vn−1)(v_1,\ldots,v_{n-1}) 是 Tp(∂M)T_p(\partial M) 的正定向基。

于是可以取 TpMT_pM 的正定向基为

(∂∂x1∣p,…,∂∂xn∣p) \left( \left.\frac{\partial}{\partial x^1}\right\rvert_p, \ldots, \left.\frac{\partial}{\partial x^n}\right\rvert_p \right)

取向外指的向量为

νp=−∂∂xn∣p \nu_p=-\left.\frac{\partial}{\partial x^n}\right\rvert_p

取 Tp(∂M)T_p(\partial M) 的有序基为

(∂∂x1∣p,…,∂∂xn−1∣p) \left( \left.\frac{\partial}{\partial x^1}\right\rvert_p, \ldots, \left.\frac{\partial}{\partial x^{n-1}}\right\rvert_p \right)

考察

(−∂∂xn∣p,∂∂x1∣p,…,∂∂xn−1∣p) \left( -\left.\frac{\partial}{\partial x^n}\right\rvert_p, \left.\frac{\partial}{\partial x^1}\right\rvert_p, \ldots, \left.\frac{\partial}{\partial x^{n-1}}\right\rvert_p \right)

得到系数矩阵

A=[010⋯0001⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯1−100⋯0] A= \begin{bmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\\ -1&0&0&\cdots&0 \end{bmatrix}

计算行列式

detA=(−1)n det A=(-1)^n

这意味着，如果 nn 为偶数，则 (∂∂x1,…,∂∂xn−1)\left(\frac{\partial}{\partial x^1},\ldots,\frac{\partial}{\partial x^{n-1}}\right) 是边界的正定向基；如果 nn 为奇数，则 (∂∂x1,…,∂∂xn−1)\left(\frac{\partial}{\partial x^1},\ldots,\frac{\partial}{\partial x^{n-1}}\right) 是边界的负定向基。这就是流形边界的标准定向。

这意味着，如果 MM 采用标准坐标 (x1,x2,⋯ ,xn)(x^1, x^2, \cdots, x^n)，则 ∂M\partial M 相对于标准坐标 (x1,x2,⋯ ,xn−1)(x^1, x^2, \cdots, x^{n-1}) 需要乘上定向符号 (−1)n(-1)^n。

标准体积形式

流形边界的标准定向和标准体积形式诱导的定向相同。

取 MM 上的标准体积形式为

ωM=dx1∧⋯∧dxn \omega_M=dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n

对于任意 nn 个向量 v1,…,vn∈TpRnv_1,\ldots,v_n\in T_p\mathbb R^n，有序基 (v1,…,vn)(v_1,\ldots,v_n) 是正定向基，当且仅当

ωM(v1,…,vn)>0 \omega_M(v_1,\ldots,v_n)>0

由楔积的定义有

ωM(v1,…,vn)=∣dx1(v1)⋯dx1(vn)⋮⋱⋮dxn(v1)⋯dxn(vn)∣ \omega_M(v_1,\ldots,v_n)= \begin{vmatrix} dx^1(v_1)&\cdots&dx^1(v_n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ dx^n(v_1)&\cdots&dx^n(v_n) \end{vmatrix}

特别地

ωM(∂∂x1,…,∂∂xn)=1>0 \omega_M \left( \frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n} \right)=1>0

而

ωM(−∂∂xn,∂∂x1,…,∂∂xn−1)=∣010⋯0001⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯1−100⋯0∣=(−1)n \omega_M \left( -\frac{\partial}{\partial x^n}, \frac{\partial}{\partial x^1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^{n-1}} \right) =\begin{vmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\\ -1&0&0&\cdots&0 \end{vmatrix} =(-1)^n

可以在边界处选取一个光滑向外向量场 ν\nu，通过内乘和拉回定义边界上的 (n−1)(n-1)-形式为

ω∂M=i∗(ινω) \omega_{\partial M} =i^*(\iota_\nu\omega)

由拉回和内乘的定义得到

(ω∂M)p(v1,…,vn−1)=(ινω)p(dip(v1),…,dip(vn−1))=ωp(νp,dip(v1),…,dip(vn−1)) \begin{align*} (\omega_{\partial M})_p(v_1,\ldots,v_{n-1}) &=(\iota_\nu\omega)_p (di_p(v_1),\ldots,di_p(v_{n-1})) \\ &=\omega_p(\nu_p,di_p(v_1),\ldots,di_p(v_{n-1})) \end{align*}

因此，当且仅当 (ω∂M)p(v1,…,vn−1)>0(\omega_{\partial M})_p(v_1,\ldots,v_{n-1}) > 0 时 (νp,dip(v1),…,dip(vn−1)(\nu_p, di_p(v_1), \ldots, di_p(v_{n-1}) 是 TpMT_pM 的正定向基，进而根据向外优先的定向约定有 (v1,…,vn−1)(v_1, \ldots, v_{n-1}) 是 Tp(∂M)T_p(\partial M) 的正定向基。

若取向外向量场为

ν=−∂∂xn \nu=-\frac{\partial}{\partial x^n}

根据内乘的定义

ι∂∂xn(dx1∧⋯∧dxn)=(−1)n−1dx1∧⋯∧dxn−1 \iota_{\frac{\partial}{\partial x^n}} (dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n)= (-1)^{n-1}dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n-1}

所以

ινωM=−ι∂∂xnωM=(−1)ndx1∧⋯∧dxn−1 \iota_\nu\omega_M =-\iota_{\frac{\partial}{\partial x^n}}\omega_M =(-1)^n dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n-1}

拉回到边界后，得到边界上的体积形式

ω∂M=(−1)ni∗(dx1∧⋯∧dxn−1) \omega_{\partial M} =(-1)^n i^*(dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n-1})

进而对于边界的任意有序基 (v1,…,vn−1)(v_1,\ldots,v_{n-1}) 有

ω∂M(v1,…,vn−1)=(−1)n(dx1∧⋯∧dxn−1)(dip(v1),…,dip(vn−1))=(−1)ndet⁡(dxpk(dip(vj)))k,j=1n−1 \begin{align*} \omega_{\partial M}(v_1,\ldots,v_{n-1}) &=(-1)^n (dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n-1}) (di_p(v_1),\ldots,di_p(v_{n-1})) \\ &=(-1)^n \det\left(dx^k_p(di_p(v_j))\right)_{k,j=1}^{n-1} \end{align*}

欧式空间中的广义斯托克斯定理

对于欧氏空间

Rn={ (x1,x2,⋯ ,xn)∣xi∈R } \mathbb{R}^n = \Set{ (x^1, x^2, \cdots, x^n) \mid x^i \in \mathbb{R} }

设 ω\omega 是 Rn\mathbb{R}^n 上的一个 (n−1)(n-1) 次微分形式，将其记为

ω=∑i=1n(−1)i−1fidx1∧⋯∧dxi^∧⋯∧dxn \omega=\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}f_i dx^1\wedge\cdots\wedge\widehat{dx^i} \wedge\cdots\wedge dx^n

这里引入 (−1)i−1(-1)^{i-1} 是为了让外微分的表达式更简洁。计算外微分，得到

dω=∑i=1n(−1)i−1dfi∧dx1∧⋯∧dxi^∧⋯∧dxn d\omega=\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}df_i \wedge dx^1\wedge\cdots\wedge \widehat{dx^i}\wedge\cdots\wedge dx^n

其中 fif_i 的全微分为

dfi=∑j=1n∂fi∂xjdxj df_i=\sum_{j=1}^n\frac{\partial f_i}{\partial x^j}dx^j

当 j≠ij\neq i 时，楔积中存在重复指标，因此结果为零。所以只需代入 j=ij = i 的项

dω=∑i=1n(−1)i−1∂fi∂xidxi∧dx1∧⋯∧dxi^∧⋯∧dxn d\omega= \sum_{i=1}^n(-1)^{i-1} \frac{\partial f_i}{\partial x^i} dx^i\wedge dx^1\wedge\cdots \wedge\widehat{dx^i}\wedge\cdots\wedge dx^n

利用楔积的反对称性交换楔积顺序，让 dxidx^i 填补 dxi^\widehat{dx^i} 的空位，得到

dω=∑i=1n∂fi∂xidx1∧⋯∧dxn d\omega= \sum_{i=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x^i} dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n

其中 dx1∧⋯∧dxndx^1\wedge\cdots\wedge dx^n 是 Rn\mathbb{R}^n 上的标准体积形式。对 dωd\omega 进行积分，得到

∫Rndω=∑i=1n∫Rn∂fi∂xidx1⋯dxn \int_{\mathbb R^n}d\omega =\sum_{i=1}^n\int_{\mathbb R^n} \frac{\partial f_i}{\partial x^i}dx^1\cdots dx^n

这就是普通的多元函数积分。对于第 ii 个积分项，其积分范围是 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty)，有

∫Rn∂fi∂xidx1⋯dxn=∫−∞+∞∂fi∂xidxi∫Rn−1dx1⋯dxi−1dxi+1dxn \int_{\mathbb R^n} \frac{\partial f_i}{\partial x^i} dx^1\cdots dx^n =\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial f_i}{\partial x^i} dx^i \int_{\mathbb R^{n-1}} dx^1\cdots dx^{i-1}dx^{i+1}dx^n

其中

∫−∞+∞∂fi∂xidxi=fi(⋯ ,+∞,⋯ )−fi(⋯ ,−∞,⋯ ) \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial f_i}{\partial x^i} dx^i= f_i(\cdots,+\infty,\cdots) -f_i(\cdots,-\infty,\cdots)

关系到函数在无穷远处的取值。之所以出现这种情况，是因为欧氏空间不是一个紧流形。对于欧氏空间中的子集，紧等价于闭且有界。因为欧氏空间不存在边界，所以是非紧流形。

广义斯托克斯定理若想在这种非紧流形上成立，则额外要求微分形式是紧支撑的，即支撑集 supp⁡ω\operatorname{supp}\omega 是一个紧集

supp⁡ω={ p∈M∣ω(p)≠0 }‾ \operatorname{supp}\omega =\overline{\Set{ p\in M \mid \omega(p)\neq 0 }}

其中上划线表示取闭包。也就是说 ω\omega 中的每个分量函数都在无穷远处严格为 00

fi(⋯ ,+∞,⋯ )=0fi(⋯ ,−∞,⋯ )=0 \begin{align*} f_i(\cdots,+\infty,\cdots) = 0 \\ f_i(\cdots,-\infty,\cdots) = 0 \end{align*}

于是原先的积分也为 00

∫−∞+∞∂fi∂xi=0 \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial f_i}{\partial x^i}= 0

进而 dωd\omega 在整个 Rn\mathbb{R}^n 上的积分也为 00

∫Rndω=0 \boxed{\int_{\mathbb R^n}d\omega=0}

并且，由于欧式空间不存在边界

∂Rn=∅ \partial \mathbb{R}^n = \varnothing

所以 ω\omega 在边界上的积分也为 00

∫∂Rnω=0 \boxed{\int_{\partial \mathbb{R}^n}\omega=0}

从而得到在欧式空间中的广义斯托克斯定理

∫Rndω=∫∂Rnω \boxed{\int_{\mathbb R^n}d\omega=\int_{\partial \mathbb{R}^n}\omega}

半空间中的广义斯托克斯定理

由于半空间也不是一个紧流形，因此其上的广义斯托克斯定理也要求被积函数是紧支撑的。

对于半空间

Hn={ (x1,⋯ ,xn)∈Rn∣xn≥0 } \mathbb H^n=\Set{(x^1,\cdots,x^n)\in\mathbb R^n \mid x^n\geq 0}

设 ω\omega 是一个紧支撑的 (n−1)(n-1) 次微分形式，将其记为

ω=∑i=1n(−1)i−1fidx1∧⋯∧dxi^∧⋯∧dxn \omega=\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}f_i dx^1\wedge\cdots\wedge\widehat{dx^i} \wedge\cdots\wedge dx^n

同样得到外微分为

dω=∑i=1n∂fi∂xidx1∧⋯∧dxn d\omega= \sum_{i=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x^i} dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n

对 dωd\omega 进行积分

∫Hndω=∑i=1n∫Hn∂fi∂xidx1⋯dxn \int_{\mathbb H^n}d\omega =\sum_{i=1}^n \int_{\mathbb H^n}\frac{\partial f_i}{\partial x^i}dx^1\cdots dx^n

当 i≠ni\ne n 时，由于半空间中的 xix^i 坐标没有边界，利用 fif_i 的紧支撑性，得到积分为 00

∫−∞+∞∂fi∂xidxi=fi(⋯ ,+∞,⋯ )−fi(⋯ ,−∞,⋯ )=0 \begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial f_i}{\partial x^i}dx^i &=f_i(\cdots,+\infty,\cdots) -f_i(\cdots,-\infty,\cdots) \\ &=0 \end{align*}

因此只需考虑 i=ni=n 的积分项，此时积分区域为 [0,+∞)[0,+\infty)。同样利用 fnf_n 的紧支撑性，得到

∫0∞∂fn∂xndxn=fn(x1,⋯ ,xn−1,∞)−fn(x1,⋯ ,xn−1,0)=−fn(x1,⋯ ,xn−1,0) \begin{align*} \int_0^\infty\frac{\partial f_n}{\partial x^n}dx^n &=f_n(x^1,\cdots,x^{n-1},\infty) -f_n(x^1,\cdots,x^{n-1},0) \\ &=-f_n(x^1,\cdots,x^{n-1},0) \end{align*}

于是有

∫Hndω=−∫Rn−1fn(x1,⋯ ,xn−1,0)dx1⋯dxn−1 \boxed{ \int_{\mathbb H^n}d\omega =-\int_{\mathbb R^{n-1}} f_n(x^1,\cdots,x^{n-1},0) dx^1\cdots dx^{n-1} }

现在考虑在半空间边界 ∂Hn\partial \mathbb{H}^n 上的积分

∂Hn={ (x1,⋯ ,xn)∈Rn∣xn=0 } \partial \mathbb H^n=\Set{(x^1,\cdots,x^n)\in\mathbb R^n \mid x^n=0}

依照向外优先的定向约定，∂Hn\partial \mathbb H^n 相对于标准坐标 (x1,⋯ ,xn−1)(x^1,\cdots,x^{n-1}) 的定向符号为 (−1)n(-1)^n。

另一方面，边界上的拉回 i:Hn↪∂Hni:\mathbb{H}^n \hookrightarrow \partial\mathbb{H}^n 满足

i∗(dxn)=0 i^*(dx^n)=0

由于拉回保持楔积，因此拉回后 ω\omega 中含 dxndx^n 的项全部为 00，从而得到

i∗ω=(−1)n−1fn(x1,⋯ ,xn−1,0)dx1∧⋯∧dxn−1 i^*\omega =(-1)^{n-1}f_n(x^1,\cdots,x^{n-1},0) dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n-1}

因此，在边界上的积分为

∫∂Hnω=(−1)n∫Rn−1i∗ω=(−1)n(−1)n−1∫Rn−1fn(x1,⋯ ,xn−1,0)dx1⋯dxn−1 \begin{align*} \int_{\partial \mathbb{H}^n}\omega &= (-1)^n \int_{\mathbb R^{n-1}} i^*\omega\\ &=(-1)^n(-1)^{n-1} \int_{\mathbb R^{n-1}} f_n(x^1,\cdots,x^{n-1},0)dx^1\cdots dx^{n-1} \end{align*}

即

∫∂Hnω=−∫Rn−1fn(x1,⋯ ,xn−1,0)dx1⋯dxn−1 \boxed{ \int_{\partial \mathbb{H}^n}\omega =-\int_{\mathbb R^{n-1}}f_n(x^1,\cdots,x^{n-1},0)dx^1\cdots dx^{n-1} }

从而得到半空间中的广义斯托克斯定理

∫Hndω=∫∂Hnω \boxed{ \int_{\mathbb H^n}d\omega = \int_{\partial \mathbb{H}^n}\omega }

流形上的广义斯托克斯定理

在把广义斯托克斯定理推广到一般流形上之前，我们先要补充两个概念：紧流形和单位分解。

如果对于拓扑空间 MM 的任意开覆盖 M=⋃α∈AUαM=\bigcup_{\alpha\in A}U_\alpha 都存在有限多个开集 Uα1,⋯ ,UαNU_{\alpha_1},\cdots,U_{\alpha_N} 使得

M=Uα1∪⋯∪UαN M=U_{\alpha_1}\cup\cdots\cup U_{\alpha_N}

那么称 MM 是紧致的。如果一个光滑流形作为拓扑空间是紧致的，那么就称其为紧流形。

对于光滑流形 MM 的开覆盖 { Uα }α∈A\set{U_\alpha}_{\alpha\in A}，存在从属于该开覆盖的单位分解 { ρα }α∈A\set{\rho_\alpha}_{\alpha\in A}，其满足

  1. 光滑性，即 ρα:M→[0,1]\rho_\alpha: M\to[0,1] 是光滑函数
  2. 支撑包含性，即 supp⁡ρα⊆Uα\operatorname{supp}\rho_\alpha \subseteq U_\alpha 光滑函数的支撑集是对应开邻域的子集
  3. 局部有限性，即 { supp⁡ρα }α∈A\set{\operatorname{supp}\rho_\alpha}_{\alpha\in A} 是局部有限的，每一点都有一个邻域只与有限多个支撑集相交
  4. 单位恒等性，即对任意 p∈Mp\in M，有 ∑α∈Aρα(p)=1\sum_{\alpha\in A}\rho_\alpha(p)=1

现在可以正式推导广义斯托克斯定理了。设 MM 是紧致、有定向、带边界的 nn 维光滑流形，取一组与定向相容的坐标图构成的有限开覆盖和局部坐标映射

M=⋃α=1NUαφα:Uα⟶Vα M=\bigcup_{\alpha=1}^N U_\alpha \qquad \varphi_\alpha:U_\alpha\longrightarrow V_\alpha

其中 VαV_\alpha 是 Rn\mathbb{R}^n 或 Hn\mathbb{H}^n 的开子集。再取从属于开覆盖 { Uα }α=1N\set{U_\alpha}_{\alpha=1}^N 的光滑单位分解 { ρα }α=1N\set{\rho_\alpha}_{\alpha=1}^N，并且有

supp⁡ρα⊆Uα∑α=1Nρα=1 \operatorname{supp}\rho_\alpha\subseteq U_\alpha \qquad \sum_{\alpha=1}^N\rho_\alpha=1

对于 ραω\rho_\alpha\omega 满足

supp⁡ραω⊆supp⁡ρα⊆Uα \operatorname{supp}\rho_\alpha\omega \subseteq\operatorname{supp}\rho_\alpha \subseteq U_\alpha

因此可以把全局微分形式拆成局部微分形式之和

ω=∑α=1Nραω \omega=\sum_{\alpha=1}^N\rho_\alpha\omega

在流形上进行积分

∫Mdω=∫Md(∑α=1Nραω)=∑α=1N∫Md(ραω) \int_Md\omega =\int_M d\left(\sum_{\alpha=1}^N\rho_\alpha\omega\right) =\sum_{\alpha=1}^N\int_Md(\rho_\alpha\omega)

在边界上进行积分

∫∂Mω=∫∂M(∑α=1Nρα)ω=∑α=1N∫∂Mραω \int_{\partial M}\omega =\int_{\partial M}\left(\sum_{\alpha=1}^N\rho_\alpha\right)\omega =\sum_{\alpha=1}^N\int_{\partial M}\rho_\alpha\omega

现在只需对每个 α\alpha 证明

∫Md(ραω)=∫∂Mραω \int_Md(\rho_\alpha\omega) =\int_{\partial M}\rho_\alpha\omega

记 η=ραω\eta=\rho_\alpha\omega，有 supp⁡η⊂Uα\operatorname{supp}\eta\subset U_\alpha，于是可对 UαU_\alpha 分两种情况讨论。

第一种情况是内部坐标图，即 Uα∩∂M=∅U_\alpha\cap\partial M=\varnothing。此时 φα:Uα⟶Vα⊂Rn\varphi_\alpha:U_\alpha\longrightarrow V_\alpha\subset\mathbb R^n 的逆映射诱导的拉回

(φα−1)∗:Ωk(Uα)⟶Ωk(Vα) (\varphi_\alpha^{-1})^*:\Omega^k(U_\alpha)\longrightarrow\Omega^k(V_\alpha)

把 η\eta 拉回到 VαV_\alpha 上。再通过零延拓，将 η\eta 视为整个 Rn\mathbb R^n 上的紧支撑微分形式 η~∈Ωn(Rn)\widetilde\eta\in \Omega^n(\mathbb{R}^n)

η~x={((φα−1)∗η)xx∈Vα0x∈Rn∖Vα \widetilde{\eta}_x= \begin{cases} \big((\varphi_\alpha^{-1})^*\eta\big)_x & x\in V_\alpha \\ 0 & x\in\mathbb R^n\setminus V_\alpha \end{cases}

最后由欧氏空间上的广义斯托克斯定理，得到

∫Uαdη=∫Vαd((φα−1)∗η)=∫Rndη~=∫∂Rnη~=∫∂M∩Uαη \begin{align*} \int_{U_\alpha}d\eta &=\int_{V_\alpha}d\big((\varphi_\alpha^{-1})^*\eta\big) \\ &=\int_{\mathbb R^n}d\widetilde\eta \\ &=\int_{\partial\mathbb R^n}\widetilde\eta \\ &=\int_{\partial M\cap U_\alpha}\eta \end{align*}

第二种情况是边界坐标图，即 Uα∩∂M≠∅U_\alpha\cap\partial M\neq\varnothing。此时 φα:Uα⟶Vα⊂Hn\varphi_\alpha:U_\alpha\longrightarrow V_\alpha\subset\mathbb H^n 满足

φα(Uα∩∂M)=Vα∩∂Hn \varphi_\alpha(U_\alpha\cap\partial M) =V_\alpha\cap\partial\mathbb H^n

且 (φα−1)∗(\varphi_\alpha^{-1})^* 同样将 η\eta 拉回到 VαV_\alpha，再利用零延拓得到 Hn\mathbb H^n 上紧支撑的 (n−1)(n-1) 次微分形式 η~∈Ωn−1(Hn)\widetilde\eta\in\Omega^{n-1}(\mathbb H^n)

η~x={((φα−1)∗η)xx∈Vα0x∈Hn∖Vα \widetilde{\eta}_x= \begin{cases} \big((\varphi_\alpha^{-1})^*\eta\big)_x & x\in V_\alpha \\ 0 & x\in\mathbb H^n\setminus V_\alpha \end{cases}

采用边界诱导的定向，并由半空间上的广义斯托克斯定理，得到

∫Uαdη=∫Vαd((φα−1)∗η)=∫Hndη~=∫∂Hnη~=∫∂M∩Uαη \begin{align*} \int_{U_\alpha}d\eta &=\int_{V_\alpha}d\big((\varphi_\alpha^{-1})^*\eta\big) \\ &=\int_{\mathbb H^n}d\widetilde\eta \\ &=\int_{\partial\mathbb H^n}\widetilde\eta \\ &=\int_{\partial M\cap U_\alpha}\eta \end{align*}

综合一下，得到

∫Md(ραω)=∫Uαd(ραω)=∫∂M∩Uαραω=∫∂Mραω \int_M d(\rho_\alpha\omega) =\int_{U_\alpha}d(\rho_\alpha\omega) =\int_{\partial M\cap U_\alpha}\rho_\alpha\omega =\int_{\partial M}\rho_\alpha\omega

至此其实已经完成了对广义斯托克斯定理的推导。最后代回对 α\alpha 求和的式子中

∫Mdω=∑α=1N∫Md(ραω)=∑α=1N∫∂Mραω=∫∂Mω \int_M d\omega =\sum_{\alpha=1}^N\int_M d(\rho_\alpha\omega) =\sum_{\alpha=1}^N\int_{\partial M}\rho_\alpha\omega =\int_{\partial M}\omega

从而得到流形上的广义斯托克斯定理

∫Mdω=∫∂Mω \boxed{ \int_Md\omega=\int_{\partial M}\omega }

微积分基本定理的微分形式表示

微积分基本定理中的流形定向

取 R1\mathbb{R}^1 中的区间 [a,b][a,b] 作为流形。[a,b][a,b] 是一维流形，其边界是零维流形

∂[a,b]={ a,b } \partial[a,b]=\set{a, b}

边界切空间为零维空间

Ta(∂[a,b])=Tb(∂[a,b])={ 0 } T_a(\partial [a,b])=T_b(\partial [a,b])=\set{0}

零维向量空间的唯一有序基是空基，因此其定向较为特殊。我们可以定义空基在部分边界点上是正定向，在部分边界点上是负定向：根据向外优先的定向约定，如果边界点的向外向量构成 [a,b][a,b] 的正向基，则边界点的空基取正定向；反之，边界点的空基取负定向。

赋予 [a,b][a,b] 由标准体积形式 dxdx 诱导的标准定向

∂∂x \frac{\partial}{\partial x}

在 bb 处，向外向量可以取为 ∂∂x\frac{\partial}{\partial x}，是 [a,b][a,b] 的正向基，因此 bb 的诱导定向为正；在 aa 处，向外向量可以取为 −∂∂x-\frac{\partial}{\partial x}，不是 [a,b][a,b] 的正向基，因此 aa 的诱导定向为负。

微积分基本定理中的外微分

取光滑函数 ff 为 00 次微分形式，其外微分为

df=∂f∂xdx df=\frac{\partial f}{\partial x}dx

因此由广义斯托克斯定理得到

∫[a,b]df=∫∂[a,b]f=f(b)−f(a) \int_{[a,b]} df = \int_{\partial[a,b]} f = f(b) - f(a)

改下符号就得到了微积分基本定理

∫abf′(x)dx=f(b)−f(a) \boxed{ \int_a^b f'(x)dx= f(b) - f(a) }

曲线积分基本定理的微分形式表示

曲线积分基本定理中的流形定向

取从点 AA 到点 BB 的曲线 C⊂RnC\subset \mathbb{R}^n 作为流形。CC 是一维流形，其边界是零维流形

∂C={ A,B } \partial C = \set{A, B}

因此，根据向外优先的定向约定，边界点的向外向量如果是 CC 的正向基，则空基的定向为正；反之，空基的定向为负

设 CC 已经定向。在 p∈∂Cp\in \partial C 处，TpCT_pC 的正定向基为

∂∂x \frac{\partial}{\partial x}

在 AA 处，向外向量可以取为 −∂∂x-\frac{\partial}{\partial x}，因此 AA 的诱导定向为负；在 BB 处，向外向量可以取为 ∂∂x\frac{\partial}{\partial x}，因此 BB 的诱导定向为正。

曲线积分基本定理中的外微分

对于光滑函数 ff，其外微分为

df=∑i=1n∂f∂xidxi df=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x^i}dx^i

由广义斯托克斯定理，得到

∫Cdf=∫∂Cf=f(B)−f(A) \int_C \mathrm{d}f =\int_{\partial C} f = f(B)-f(A)

改下符号就得到了曲线积分基本定理

∮AB∑i=1n∂f∂xidxi=f(B)−f(A) \boxed{ \oint_A^B \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x^i}dx^i = f(B) - f(A) }

特别地，若 df=Pdx+Qdydf=Pdx+Qdy，则得到 R2\mathbb{R}^2 中的曲线积分基本定理

∮ABPdx+Qdy=f(B)−f(A) \boxed{ \oint_A^B P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y = f(B) - f(A) }

若 df=Pdx+Qdy+Rdzdf=Pdx+Qdy+Rdz，则得到 R3\mathbb{R}^3 中的曲线积分基本定理

∮ABPdx+Qdy+Rdz=f(B)−f(A) \boxed{ \oint_A^B P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y + R\mathrm{d}z = f(B) - f(A) }

格林定理的微分形式表示

格林定理中的流形定向

取平面区域 D⊂R2D\subset\mathbb R^2 作为流形。DD 是二维流形，其边界 C⊂R2C\subset \mathbb R^2 是一维流形

∂D=C \partial D = C

定向采用向外优先的定向约定。赋予 DD 由 R2\mathbb{R}^2 标准体积形式诱导的标准定向

ωD=dx∧dy \omega_D=dx\wedge dy

在边界上一点 p∈∂Dp\in \partial D 上，设向外向量在 R2\mathbb{R}^2 的基向量 { ∂∂x,∂∂y }\set{\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y}} 下的坐标为

νp=νx∂∂x+νy∂∂y \nu_p= \nu^x\frac{\partial}{\partial x} +\nu^y\frac{\partial}{\partial y}

设边界切向量的坐标为

T=Tx∂∂x+Ty∂∂y T = T^x\frac{\partial}{\partial x} +T^y\frac{\partial}{\partial y}

用体积形式进行判别，则正切向量要求满足

ωD(νp,T)=∣νxTxνyTy∣>0 \omega_D(\nu_p,T) = \begin{vmatrix} \nu^x & T^x \\ \nu^y & T^y \\ \end{vmatrix}>0

这实际上诱导的正向就是逆时针方向。可以取矩形区域进行验证

D=[0,1]×[0,1] D=[0,1]\times[0,1]

记标准基为

∂x=∂∂x∂y=∂∂y \partial_x = \frac{\partial }{\partial x} \qquad \partial_y = \frac{\partial }{\partial y}
  • 在下边界 y=0y=0，取 νp=−∂y\nu_p = -\partial_y，则正向基可以为 ∂x\partial_x。即下边界正切向为右
  • 在右边界 x=1x=1，取 νp=∂x\nu_p = \partial_x，则正向基可以为 ∂y\partial_y。即右边界正切向为上
  • 在上边界 y=1y=1，取 νp=∂y\nu_p = \partial_y，则正向基可以为 −∂x-\partial_x。即上边界正切向为左
  • 在左边界 x=0x=0，取 νp=−∂x\nu_p = -\partial_x，则正向基可以为 −∂y-\partial_y。即左边界正切向为下

格林定理中的外微分

在 DD 上取 11 次微分形式

ω=Pdx+Qdy \omega=Pdx+Qdy

外微分为

dω=(∂Q∂x−∂P∂y)dx∧dy d\omega= \left(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\wedge dy

应用广义斯托克斯定理得到

∫∂Dω=∫Ddω \int_{\partial D} \omega = \int_D d\omega

改下符号，把楔积简写为

dx∧dy=dxdy dx\wedge dy = dxdy

就得到了沿曲线积分时的格林定理

=∮CPdx+Qdy∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy \boxed{ =\oint_{C}Pdx+Qdy \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy }

若将微分形式取为

ω=Pdy−Qdx \omega=Pdy-Qdx

应用广义斯托克斯定理，得到过曲线积分时的格林定理

∮CPdy−Qdx=∬D(∂P∂x+∂Q∂y)dxdy \boxed{ \oint_{C}Pdy-Qdx= \iint_D \left(\frac{\partial P}{\partial x} +\frac{\partial Q}{\partial y}\right)dxdy }

高斯定理的微分形式表示

高斯定理中的流形定向

取空间区域 V⊂R3V\subset \mathbb{R}^3 作为流形。VV 是三维流形，其边界 S⊂R3S\subset \mathbb R^3 是二维流形

∂V=S \partial V=S

定向采用向外优先的定向约定。赋予 VV 由 R3\mathbb{R}^3 标准体积形式诱导的标准定向

ωV=dx∧dy∧dz \omega_V=dx\wedge dy\wedge dz

在边界上一点 p∈∂Vp\in \partial V 上，设向外向量在 R3\mathbb{R}^3 的基向量 { ∂∂x,∂∂y,∂∂z }\set{\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y}, \frac{\partial }{\partial z}} 下的坐标为

νp=νx∂∂x+νy∂∂y+νz∂∂z \nu_p= \nu^x\frac{\partial}{\partial x} +\nu^y\frac{\partial}{\partial y} +\nu^z\frac{\partial}{\partial z}

设边界切向量的坐标分别为

(T1,T2)=(T1x∂∂x+T1y∂∂y+T1z∂∂z,T2x∂∂x+T2y∂∂y+T2z∂∂z,) \left(T_1, T_2\right)= \left( T_1^x\frac{\partial}{\partial x} +T_1^y\frac{\partial}{\partial y} +T_1^z\frac{\partial }{\partial z}, T_2^x\frac{\partial}{\partial x} +T_2^y\frac{\partial}{\partial y} +T_2^z\frac{\partial }{\partial z}, \right)

用体积形式进行判别，则正切向量要求满足

ωV(νp,T1,T2)=∣νxT1xT2xνyT1yT2yνzT1zT2z∣>0 \omega_V\left(\nu_p, T_1, T_2 \right) = \begin{vmatrix} \nu^x & T_1^x & T_2^x \\ \nu^y & T_1^y & T_2^y\\ \nu^z & T_1^z & T_2^z \end{vmatrix}>0

这实际上诱导的正向就是右手定则的定向。可以取矩形区域进行验证

V=[0,1]×[0,1]×[0,1] V=[0,1]\times[0,1] \times [0,1]

记标准基为

∂x=∂∂x∂y=∂∂y∂z=∂∂z \partial_x = \frac{\partial }{\partial x} \qquad \partial_y = \frac{\partial }{\partial y} \qquad \partial_z = \frac{\partial }{\partial z}
  • 在 x=1x=1 处，向外向量为 ∂x\partial_x，正切向有序集可以取 (∂y,∂z)(\partial_y,\partial_z)。即在右表面，右手四指从向前卷到向上时，大拇指的向右就是向外向量
  • 在 x=0x=0 处，向外向量为 −∂x-\partial_x，正切向有序集可以取 (∂z,∂y)(\partial_z,\partial_y)。即左表面，右手四指从向上卷到向前时，大拇指的向左就是向外向量
  • 在 y=1y=1 处，向外向量为 ∂y\partial_y，正切向有序集可以取 (∂z,∂x)(\partial_z,\partial_x)。即前表面，右手四指从向上卷到向右时，大拇指的向前就是向外向量
  • 在 y=0y=0 处，向外向量为 −∂y-\partial_y，正切向有序集可以取 (∂x,∂z)(\partial_x,\partial_z)。即后表面，右手四指从向右卷到向上时，大拇指的向后就是向外向量
  • 在 z=1z=1 处，向外向量为 ∂z\partial_z，正切向有序集可以取 (∂x,∂y)(\partial_x,\partial_y)。即上表面，右手四指从向右卷到向前时，大拇指的向上就是向外向量
  • 在 z=0z=0 处，向外向量为 −∂z-\partial_z，正切向有序集可以取 (∂y,∂x)(\partial_y,\partial_x)。即上表面，右手四指从向前卷到向右时，大拇指的向下就是向外向量

高斯定理中的外微分

在 VV 上取 22 次微分形式

ω=Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy \omega=P\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z +Q\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x +R\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y

其外微分为

dω=(∂P∂x+∂Q∂x+∂R∂x)dx∧dy∧dz \mathrm{d}\omega=\left( \frac{\partial P}{\partial x} +\frac{\partial Q}{\partial x} +\frac{\partial R}{\partial x} \right)\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z

应用广义斯托克斯定理得到

∫∂Vω=∫Vdω \int_{\partial V} \omega = \int_V d\omega

改下符号，把楔积简写为

dx∧dy∧dz=dxdydzdy∧dz=dydzdz∧dx=dzdxdx∧dy=dxdy \begin{align*} dx\wedge dy\wedge dz &= dx dy dz \\ dy\wedge dz &= dydz \\ dz\wedge dx &= dzdx \\ dx\wedge dy &= dxdy \\ \end{align*}

就得到了高斯定理

∯S(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)=∭V(∂P∂x+∂Q∂x+∂R∂x)dxdydz \boxed{ \begin{align*} & \oiint_{S} \left( P\mathrm{d}y\mathrm{d}z +Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x +R\mathrm{d}x\mathrm{d}y \right) \\ &= \iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} +\frac{\partial Q}{\partial x} +\frac{\partial R}{\partial x} \right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z \end{align*} }

斯托克斯定理的微分形式表示

斯托克斯定理中的流形定向

取空间曲面 S⊂R3S\subset\mathbb R^3 作为流形。SS 是二维流形，其边界 C⊂R3C\subset \mathbb R^3 是一维流形

∂S=C \partial S = C

定向采用向外优先的定向约定。设曲面有参数式表示

X(s,t):U⊂R2⟶S⊂R3 X(s,t): U\subset\mathbb R^2\longrightarrow S\subset\mathbb R^3

且 XX 是保持定向的参数化，即

(Xs,Xt)=(∂X∂s,∂X∂t) (X_s,X_t)= \left( \frac{\partial X}{\partial s}, \frac{\partial X}{\partial t} \right)

是 TpST_pS 的正定向基。

赋予参数域 UU 由 R2\mathbb{R}^2 标准体积形式确定的定向

ωU=ds∧dt \omega_U=ds\wedge dt

在 p=X(ps,pt)∈∂Sp=X(p^s,p^t)\in\partial S 上，取 νp∈TpS\nu_p\in T_pS 为沿曲面指向外侧的向量，取 v∈Tp(∂S)v\in T_p(\partial S) 为边界的切向量，并且参数坐标为

νp=νsXs+νtXtT=TsXs+TtXt \nu_p =\nu^sX_s+\nu^tX_t \qquad T=T^sX_s+T^tX_t

那么 TT 为正向基等价于

ωU(νp,T)=∣νsTsνtTt∣>0 \omega_U(\nu_p,T) = \begin{vmatrix} \nu^s & T^s \\ \nu^t & T^t \\ \end{vmatrix} > 0

这实际上诱导的正向就是逆时针方向。可以取矩形参数域进行验证

U=[0,1]×[0,1] U=[0,1]\times[0,1]
  • 在下边界 t=0t=0，取 νp=−Xt\nu_p = -X_t，则正向基可以为 XsX_s。即参数域的下边界正切向为右
  • 在右边界 s=1s=1，取 νp=Xs\nu_p = X_s，则正向基可以为 XtX_t。即参数域的右边界正切向为上
  • 在上边界 t=1t=1，取 νp=Xt\nu_p = X_t，则正向基可以为 −Xs-X_s。即参数域的上边界正切向为左
  • 在左边界 s=0s=0，取 νp=−Xs\nu_p = -X_s，则正向基可以为 −Xt-X_t。即参数域的左边界正切向为下

斯托克斯定理中的外微分

在 SS 上取 11 次微分形式

ω=Pdx+Qdy+Rdz \omega=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z

其外微分为

dω=(∂R∂y−∂Q∂z)dy∧dz+(∂P∂z−∂R∂x)dz∧dx+(∂Q∂x−∂P∂y)dx∧dy d\omega= \left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dy\wedge dz +\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dz\wedge dx +\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\wedge dy

应用广义斯托克斯定理得到

∫∂Sω=∫Sdω \int_{\partial S} \omega = \int_S d\omega

改下符号就得到了斯托克斯定理

∮C(Pdx+Qdy+Rdz)=∬S[(∂R∂y−∂Q∂z)dydz+(∂P∂z−∂R∂x)dzdx+(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy] \boxed{ \begin{align*} & \oint_{C} \left( P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z \right) \\ &= \iint_S \left[ \left( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} \right)dy dz +\left( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} \right)dz dx +\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)dx dy \right] \end{align*} }

经典定理的向量分析表示

格林定理、高斯定理、斯托克斯定理都存在向量分析表示

  • 沿曲线积分时的格林定理

    ∮CF⃗⋅T⃗ds=∬D(∇×F⃗)⋅k⃗dA \oint_C \vec{F}\cdot\vec{T}\mathrm{d}s =\iint_D \left(\nabla\times\vec{F}\right)\cdot\vec{k}\mathrm{d}A

  • 过曲线积分时的格林定理

    ∮CF⃗⋅N⃗ds=∬D∇⋅F⃗dA \oint_C \vec{F}\cdot\vec{N}\mathrm{d}s =\iint_D \nabla\cdot\vec{F}\mathrm{d}A

  • 高斯定理

    ∯SF⃗⋅N⃗dσ=∭V∇⋅F⃗dV \oiint_S \vec{F}\cdot\vec{N}\mathrm{d}\sigma =\iiint_V \nabla\cdot\vec{F}\mathrm{d}V

  • 斯托克斯定理

    ∮CF⃗⋅T⃗ds=∬S(∇×F⃗)⋅N⃗dσ \oint_C \vec{F}\cdot\vec{T}\mathrm{d}s =\iint_S \left(\nabla\times\vec{F}\right)\cdot\vec{N}\mathrm{d}\sigma

这些表示用到了向量分析中的符号，每个符号都有非常重要的几何意义。而目前的微分形式表示还无法看出这些几何意义——因此，接下来我们要建立微分形式语言和向量分析语言之间的对应。

为了完成这种对应，我们需要补充一个此前刻意避开的概念——黎曼度量。