微分形式

此前我们铺垫了两条线。一条是《点上的线性代数》，从向量、余向量到张量和楔积；另一条是《流形的逐点的线性化》，从流形、切空间、余切空间、张量空间、外幂空间到丛和截面。在微分形式里，这两条线终于完成了汇合！

如果用一句话概括，那么微分形式就是流形上的一个光滑协变外幂场，流形上的所有 kk 次微分形式组成的空间是流形上余切丛的 kk 次外幂丛的所有光滑截面组成的空间

Ωk(M)=Γ(ΛkT∗M) \Omega^k(M) = \Gamma(\Lambda^kT^*M)

我们先从最简单的 00 次微分形式说起，然后讨论 11 次微分形式和 22 次微分形式，最后讨论一般的 kk 次微分形式。

0-形式

流形 MM 上的 0-形式是一个光滑标量场，把点光滑地映射到实数

f:M→R f: M \to \mathbb{R}

比如 R2\mathbb{R}^2 上的一个 0-形式可以表示为

f(x,y)=x2+y2 f(x, y) = x^2 + y^2

在点 p=(x0,y0)p=(x_0,y_0) 处得到实数

x02+y02 x_0^2 + y_0^2

流形上的所有 0-形式构成了 0-形式空间 Ω0(M)\Omega^0(M)，由所有把流形上一点映射到实数的光滑映射组成

Ω0(M)=C∞(M,R) \Omega^0(M)=C^\infty(M, \mathbb{R})

对于流形上的一点 pp，不同的 0-形式将其映射到不同的实数。因此可以认为，点 pp 上挂着一个实数空间 R\mathbb{R}。若将这个实数空间看作纤维，那么所有纤维的不交并是一个标量丛

⨆p∈M{ p }×R=M×R \bigsqcup_{p\in M} \set{p} \times \mathbb{R} = M \times \mathbb{R}

而 0-形式是这个标量丛的光滑截面

ω∈Γ(M×R) \omega \in \Gamma(M \times \mathbb{R})

特别地，这个标量丛和余切丛的 00 次外幂丛同构

M×R≅Λ0T∗M M \times \mathbb{R} \cong \Lambda^0T^*M

因此流形上所有 0-形式组成的空间可以写为

Ω0(M)=Γ(Λ0T∗M) \Omega^0(M) = \Gamma(\Lambda^0T^*M)

1-形式

流形 MM 上的 1-形式是一个光滑余向量场，把点光滑地映射到余向量

ω:M→Tp∗M \omega: M \to T_p^*M

比如 R2\mathbb{R}^2 上的 1-形式可以写为

ω=f(x,y)dx+g(x,y)dy \omega = f(x,y)\mathrm{d}x + g(x,y)\mathrm{d}y

在点 p=(xp,yp)p=(x_p, y_p) 处的余向量为

ωp=f(xp,yp)dx+g(xp,yp)dy \omega_p = f(x_p, y_p)\mathrm{d}x + g(x_p, y_p)\mathrm{d}y

该余向量把向量 vv 映射为一个实数

ωp(v)=f(xp,yp)dx(v)+g(xp,yp)dy(v)=f(xp,yp)vx+g(xp,yp)vy \begin{align*} \omega_p(v) &= f(x_p, y_p)\mathrm{d}x(v) + g(x_p, y_p)\mathrm{d}y(v) \\ &= f(x_p, y_p)v^x + g(x_p, y_p)v^y \end{align*}

对于流形上的一点 pp，不同的 1-形式将其映射到不同的余切向量。因此可以认为，点 pp 上挂着一个余切空间 Tp∗MT_p^*M。将这个余切空间看作纤维，那么所有纤维的不交并是一个余切丛

⨆p∈M{ p }×Tp∗M=T∗M \bigsqcup_{p\in M} \set{p} \times T_p^*M = T^*M

而 1-形式是这个余切丛的光滑截面

ω∈Γ(T∗M) \omega \in \Gamma(T^*M)

特别地，这个余切丛等于余切丛的 11 次外幂丛

T∗M=Λ1T∗M T^*M = \Lambda^1T^*M

因此流形上的所有 1-形式组成的空间可以写为

Ω1(M)=Γ(Λ1T∗M) \Omega^1(M) = \Gamma(\Lambda^1T^*M)

余切空间 Tp∗MT_p^*M 是一个线性空间，因此可以取一组基，将 p∈Mp\in M 映射到的所有余向量表示为这些基的线性组合。

Tp∗R2T_p^*\mathbb{R}^2 的基是 { dx,dy }\set{\mathrm{d}x, \mathrm{d}y}，从而对于 ω∈Ω1(R2)\omega\in \Omega^1(\mathbb{R}^2) 在 pp 处有

ωp(v)=(f(p)dx+g(p)dy)(v)=f(p)dx(v)+g(p)dy(v) \begin{align*} \omega_p(v) &= \bigl(f(p) \mathrm{d}x + g(p) \mathrm{d}y\bigr)(v) \\ &= f(p)\mathrm{d}x(v) + g(p)\mathrm{d}y(v) \\ \end{align*}

更一般地，对于 nn 维光滑流形 MM，可以在点 p∈Mp\in M 处取一个局部坐标图

(x1,x2,⋯ ,xn):U→Rn (x^1, x^2, \cdots, x^n):U\to \mathbb R^n

于是对 p∈Up\in U，余切空间 Tp∗MT_p^*M 的基为

{ dxi∣p∣1≤i≤n } \Set{ \mathrm{d}x^i\rvert_p \mid 1 \le i \le n }

任意 11-形式 ω∈Ω1(M)\omega\in \Omega^1(M) 在这个邻域 UU 上都可以唯一写为

ω∣U=∑ifidxifi∈C∞(U) \omega\vert_U= \sum_i f_i\mathrm{d}x^i \qquad f_i\in C^\infty(U)

在 pp 点处

ωp=∑ifi(p)dxi∣p \omega_p=\sum_i f_i(p)\mathrm{d}x^i\rvert_p

如果

v=∑jvj∂∂xj∣p∈TpM v=\sum_jv^j\left.\frac{\partial}{\partial x^j}\right\rvert_p \in T_pM

那么

dxi∣p(v)=dxi∣p(∑jvj∂∂xj∣p)=∑jvjdxi∣p(∂∂xj∣p)=∑jvjδji=vi \begin{align*} \mathrm{d}x^i\rvert_p(v) &= \mathrm{d}x^i\rvert_p \left( \sum_jv^j\left.\frac{\partial}{\partial x^j}\right\rvert_p \right) \\ &= \sum_jv^j \mathrm{d}x^i\rvert_p \left(\left.\frac{\partial}{\partial x^j}\right\rvert_p \right) \\ &= \sum_j v^j \delta^i_j \\ &= v^i \end{align*}

从而

ωp(v)=(∑ifi(p)dxi∣p)(v)=∑ifi(p)dxi∣p(v)=∑ifi(p)vi \begin{align*} \omega_p(v) &= \left( \sum_i f_i(p)\mathrm{d}x^i\rvert_p \right)(v) \\ &= \sum_i f_i(p) \mathrm{d}x^i\rvert_p(v) \\ &= \sum_i f_i(p) v^i \end{align*}

2-形式

流形 MM 上的 2-形式是一个光滑协变 22 阶外幂场，把点光滑地映射到 (0,2)(0,2) 型完全反对称张量

ω:M→Λ2(Tp∗M) \omega: M \to \Lambda^2(T_p^*M)

比如 R2\mathbb{R}^2 上的 2-形式可以写为

ω=f(x,y)dx∧dy \omega = f(x, y)\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y

在点 p=(xp,yp)p=(x_p, y_p) 处的 (0,2)(0,2) 型完全反对称张量为

ωp=f(xp,yp)dx∧dy \omega_p = f(x_p, y_p)\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y

该张量把两个向量 u,vu,v 映射为一个实数

ωp(u,v)=f(xp,yp)(dx∧dy)(u,v)=f(xp,yp)∣dx(u)dx(v)dy(u)dy(v)∣=f(xp,yp)(uxvy−uyvx) \begin{align*} \omega_p(u, v) &= f(x_p, y_p)(\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y)(u, v) \\ &= f(x_p, y_p)\begin{vmatrix} \mathrm{d}x(u) & \mathrm{d}x(v) \\ \mathrm{d}y(u) & \mathrm{d}y(v) \end{vmatrix} \\ &= f(x_p, y_p)(u^xv^y-u^yv^x) \end{align*}

对于流形上的一点 pp，不同的 2-形式将其映射到不同的 (0,2)(0,2) 型完全反对称张量。因此可以认为，点 pp 上挂着一个外幂空间 Λ2(Tp∗M)\Lambda^2(T_p^*M)。将这个外幂空间看作纤维，那么所有纤维的不交并是一个外幂丛

⨆p∈M{ p }×Λ2(Tp∗M)=Λ2T∗M \bigsqcup_{p\in M} \set{p} \times \Lambda^2(T_p^*M) = \Lambda^2T^*M

而 2-形式是这个外幂丛的光滑截面

ω∈Γ(Λ2T∗M) \omega \in \Gamma(\Lambda^2T^*M)

因此流形上的所有 2-形式组成的空间可以写为

Ω2(M)=Γ(Λ2T∗M) \Omega^2(M) = \Gamma(\Lambda^2T^*M)

外幂空间 Λ2(Tp∗M)\Lambda^2(T_p^*M) 是一个线性空间，因此可以取一组基，将 p∈Mp\in M 映射到的所有 (0,2)(0,2) 型完全反对称张量表示为这些基的线性组合。

Λ2(Tp∗R3)\Lambda^2(T_p^*\mathbb{R}^3) 的基是 { dx∧dy,dx∧dz,dy∧dz }\set{\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y, \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}z, \mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z}，从而对于 ω∈Ω2(R3)\omega\in \Omega^2(\mathbb{R}^3) 在 pp 处有

ωp(u,v)=(f(p)dx∧dy+g(p)dx∧dz+h(p)dy∧dz)(u,v)=f(p)(dx∧dy)(u,v)+g(p)(dx∧dz)(u,v)+h(p)(dy∧dz)(u,v) \begin{align*} \omega_p(u, v) &= \bigl( f(p)\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y + g(p)\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}z + h(p)\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z \bigr)(u, v) \\ &= f(p)(\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y)(u, v) + g(p)(\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}z)(u, v) + h(p)(\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z)(u, v) \\ \end{align*}

更一般地，对于 nn 维光滑流形 MM，可以在点 p∈Mp\in M 处取一个局部坐标图

(x1,x2,⋯ ,xn):U→Rn (x^1, x^2, \cdots, x^n):U\to \mathbb R^n

于是对 p∈Up\in U，外幂空间 Λ2(Tp∗M)\Lambda^2(T_p^*M) 的基为

{ dxi∣p∧dxj∣p∣1≤i<j≤n } \Set{ \mathrm{d}x^i\rvert_p \wedge \mathrm{d}x^j\rvert_p \mid 1\le i < j \le n }

任意 22-形式 ω∈Ω2(M)\omega\in \Omega^2(M) 在这个邻域 UU 上都可以唯一写为

ω∣U=∑1≤i<j≤nf(i,j)dxi∧dxjf(i,j)∈C∞(U) \omega\vert_U= \sum_{1\le i < j \le n} f_{(i,j)} \mathrm{d}x^i \wedge \mathrm{d}x^j \qquad f_{(i,j)}\in C^\infty(U)

在 pp 点处

ωp=∑1≤i<j≤nf(i,j)(p)dxi∣p∧dxj∣p \omega_p= \sum_{1\le i < j \le n} f_{(i,j)}(p) \mathrm{d}x^i\rvert_p \wedge \mathrm{d}x^j\rvert_p

如果

u,v∈TpM u,v \in T_pM

那么

(dxi∣p∧dxj∣p)(u,v)=∣dxi∣p(u)dxi∣p(v)dxj∣p(u)dxj∣p(v)∣=uivj−ujvi \begin{align*} (\mathrm{d}x^i\rvert_p \wedge \mathrm{d}x^j\rvert_p) (u,v) &= \begin{vmatrix} \mathrm{d}x^i\rvert_p(u) & \mathrm{d}x^i\rvert_p(v) \\ \mathrm{d}x^j\rvert_p(u) & \mathrm{d}x^j\rvert_p(v) \end{vmatrix} \\ &= u^iv^j-u^jv^i \end{align*}

从而

ωp(u,v)=(∑1≤i<j≤nf(i,j)(p)dxi∣p∧dxj∣p)(u,v)=∑1≤i<j≤nf(i,j)(p)(dxi∣p∧dxj∣p)(u,v)=∑1≤i<j≤nf(i,j)(p)(uivj−ujvi) \begin{align*} \omega_p(u,v) &= \left( \sum_{1\le i < j \le n} f_{(i,j)}(p) \mathrm{d}x^i\rvert_p \wedge \mathrm{d}x^j\rvert_p \right)(u,v) \\ &= \sum_{1\le i < j \le n} f_{(i,j)}(p) (\mathrm{d}x^i\rvert_p \wedge \mathrm{d}x^j\rvert_p) (u,v) \\ &= \sum_{1\le i < j \le n} f_{(i,j)}(p) (u^iv^j-u^jv^i) \end{align*}

这最终的结果恰好体现了 2-形式的反对称性

ωp(v,u)=−ωp(u,v) \omega_p(v,u)=-\omega_p(u,v)

k-形式

流形 MM 上的 k-形式是一个光滑协变 kk 阶外幂场，把点光滑地映射到 (0,k)(0,k) 型完全反对称张量

ω:M→Λk(Tp∗M) \omega: M \to \Lambda^k(T_p^*M)

对于流形上的一点 pp，不同的 k-形式将其映射到不同的 (0,k)(0,k) 型完全反对称张量。因此可以认为，点 pp 上挂着一个外幂空间 Λk(Tp∗M)\Lambda^k(T_p^*M)。将这个外幂空间看作纤维，那么所有纤维的不交并是一个外幂丛

⨆p∈M{ p }×Λk(Tp∗M)=ΛkT∗M \bigsqcup_{p\in M} \set{p} \times \Lambda^k(T_p^*M) = \Lambda^kT^*M

而 k-形式是这个外幂丛的光滑截面

ω∈Γ(ΛkT∗M) \omega \in \Gamma(\Lambda^kT^*M)

因此流形上的所有 k-形式组成的空间可以写为

Ωk(M)=Γ(ΛkT∗M) \Omega^k(M) = \Gamma(\Lambda^kT^*M)

外幂空间 Λk(Tp∗M)\Lambda^k(T_p^*M) 是一个线性空间，因此可以取一组基，将 p∈Mp\in M 映射到的所有 (0,k)(0,k) 型完全反对称张量表示为这些基的线性组合。

对于 nn 维光滑流形 MM，可以在点 p∈Mp\in M 处取一个局部坐标图

(x1,x2,⋯ ,xn):U→Rn (x^1, x^2, \cdots, x^n):U\to \mathbb R^n

于是对 p∈Up\in U，外幂空间 Λk(Tp∗M)\Lambda^k(T_p^*M) 的基为

{ dxi1∣p∧⋯∧dxik∣p∣1≤i1<⋯<ik≤n } \Set{ \mathrm{d}x^{i_1}\rvert_p\wedge\cdots\wedge \mathrm{d}x^{i_k}\rvert_p \mid 1\le i_1<\cdots<i_k \le n }

为了简化符号，记所有可能的排列为

Ik={ (i1,⋯ ,ik)∣1≤i1<⋯<ik≤n } \mathcal I_k =\Set{(i_1, \cdots, i_k) \mid 1 \le i_1 < \cdots < i_k \le n}

其中的一个排列为 I=(i1,⋯ ,ik)∈IkI = (i_1, \cdots, i_k) \in \mathcal I_k，并记

dxi1∧⋯∧dxik=dx(i1,⋯ ,ik)=dxI \mathrm{d}x^{i_1}\wedge\cdots\wedge \mathrm{d}x^{i_k} =\mathrm{d}x^{(i_1, \cdots, i_k)} = \mathrm{d}x^I

从而任意 kk-形式 ω∈Ωk(M)\omega\in \Omega^k(M) 在这个邻域 UU 上都可以唯一写为

ω∣U=∑I∈IkfIdxIfI∈C∞(U) \omega\vert_U= \sum_{I \in \mathcal I_k} f_I \mathrm{d}x^I \qquad f_I\in C^\infty(U)

在 pp 点处

ωp=∑I∈IkfI(p)dxI∣p \omega_p= \sum_{I \in \mathcal I_k} f_I(p) \mathrm{d}x^I\rvert_p

如果

v1,v2,⋯ ,vk∈TpM v_1, v_2, \cdots, v_k \in T_pM

那么

(dxi1∣p∧⋯∧dxik∣p)(v1,v2,⋯ ,vk)=∣dxi1∣p(v1)dxi1∣p(v2)⋯dxi1∣p(vk)dxi2∣p(v1)dxi2∣p(v2)⋯dxi2∣p(vk)⋮⋮⋱⋮dxik∣p(v1)dxik∣p(v2)⋯dxik∣p(vk)∣=∣v1i1v2i1⋯vki1v1i2v2i2⋯vki2⋮⋮⋱⋮v1ikv2ik⋯vkik∣ \begin{align*} (\mathrm{d}x^{i_1}\rvert_p \wedge\cdots\wedge \mathrm{d}x^{i_k}\rvert_p) (v_1, v_2, \cdots, v_k) &= \begin{vmatrix} \mathrm{d}x^{i_1}\rvert_p(v_1) & \mathrm{d}x^{i_1}\rvert_p(v_2) & \cdots & \mathrm{d}x^{i_1}\rvert_p(v_k) \\ \mathrm{d}x^{i_2}\rvert_p(v_1) & \mathrm{d}x^{i_2}\rvert_p(v_2) & \cdots & \mathrm{d}x^{i_2}\rvert_p(v_k) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathrm{d}x^{i_k}\rvert_p(v_1) & \mathrm{d}x^{i_k}\rvert_p(v_2) & \cdots & \mathrm{d}x^{i_k}\rvert_p(v_k) \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} v^{i_1}_1 & v^{i_1}_2 & \cdots & v^{i_1}_k \\ v^{i_2}_1 & v^{i_2}_2 & \cdots & v^{i_2}_k \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ v^{i_k}_1 & v^{i_k}_2 & \cdots & v^{i_k}_k \\ \end{vmatrix} \end{align*}

从而

ωp(v1,v2,⋯ ,vk)=(∑I∈IkfI(p)dxI∣p)(v1,v2,⋯ ,vk)=∑I∈IkfI(p)dxI∣p(v1,v2,⋯ ,vk)=∑I∈IkfI(p)∣v1i1v2i1⋯vki1v1i2v2i2⋯vki2⋮⋮⋱⋮v1ikv2ik⋯vkik∣ \begin{align*} \omega_p(v_1, v_2, \cdots, v_k) &= \left( \sum_{I \in \mathcal I_k} f_I(p) \mathrm{d}x^I\rvert_p \right)(v_1, v_2, \cdots, v_k) \\ &= \sum_{I \in \mathcal I_k} f_I(p) \mathrm{d}x^I\rvert_p (v_1, v_2, \cdots, v_k) \\ &= \sum_{I \in \mathcal I_k} f_I(p) \begin{vmatrix} v^{i_1}_1 & v^{i_1}_2 & \cdots & v^{i_1}_k \\ v^{i_2}_1 & v^{i_2}_2 & \cdots & v^{i_2}_k \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ v^{i_k}_1 & v^{i_k}_2 & \cdots & v^{i_k}_k \\ \end{vmatrix} \end{align*}

如果完整地展开，结果就是

ωp(v1,v2,⋯ ,vk)=∑1≤i1<⋯<ik≤nf(i1,⋯ ,ik)(p)∣v1i1v2i1⋯vki1v1i2v2i2⋯vki2⋮⋮⋱⋮v1ikv2ik⋯vkik∣ \omega_p(v_1, v_2, \cdots, v_k)= \sum_{1 \le i_1 < \cdots < i_k \le n} f_{(i_1, \cdots, i_k)}(p) \begin{vmatrix} v^{i_1}_1 & v^{i_1}_2 & \cdots & v^{i_1}_k \\ v^{i_2}_1 & v^{i_2}_2 & \cdots & v^{i_2}_k \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ v^{i_k}_1 & v^{i_k}_2 & \cdots & v^{i_k}_k \\ \end{vmatrix}

在点 p∈Mp\in M 上的一个 k-形式给出一个映射，这个映射把 kk 个切向量映射到一个实数，记为

ωp:(TpM)k→R \omega_p: (T_pM)^k \to \mathbb{R}

这一映射满足

  • 多重线性，即对每一个切向量都是线性的

    ωp(v1,⋯ ,avi1+bvi2,⋯ ,vk)=aωp(v1,⋯ ,vi1,⋯ ,vk)+bωp(v1,⋯ ,vi2,⋯ ,vk) \omega_p(v_1, \cdots, av_{i_1} + bv_{i2}, \cdots, v_k) = a\omega_p(v_1, \cdots, v_{i_1}, \cdots, v_k) + b\omega_p(v_1, \cdots, v_{i_2}, \cdots, v_k)

  • 完全反对称性，即交换任意两个切向量都会改变符号

    ωp(v1,⋯ ,vi,⋯ ,vj,⋯ ,vk)=−ωp(v1,⋯ ,vj,⋯ ,vi,⋯ ,vk) \omega_p(v_1, \cdots, v_i, \cdots, v_j, \cdots, v_k) = -\omega_p(v_1, \cdots, v_j, \cdots, v_i, \cdots, v_k)

外微分

外微分是微分形式上的一种运算，把 kk 次微分形式变成 k+1k+1 次微分形式

d:Ωk(M)⟶Ωk+1(M) \mathrm{d}: \Omega^k(M)\longrightarrow \Omega^{k+1}(M)

0-形式的微分

设 MM 是 nn 维光滑流形，MM 上的光滑 0-形式 f∈Ω0(M)f\in\Omega^0(M) 就是光滑标量函数

f:M⊂Rn→R f: M \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}

如果在 p∈Mp\in M 处取局部坐标 (x1,x2,⋯ ,xn)(x^1, x^2, \cdots, x^n)，那么 ff 可以写为

f(x1,x2,⋯ ,xn)∈R f(x^1, x^2, \cdots, x^n) \in \mathbb{R}

其外微分得到 1-形式，这就是多元函数的全微分

df=∑in∂f∂xidxi \mathrm{d}f = \sum_i^n \frac{\partial f}{\partial x^i}\mathrm{d}x^i

k-形式的微分

设 MM 是 nn 维光滑流形，Ωk(M)\Omega^k(M) 表示 MM 上所有光滑 k-形式。如果 k-形式为

ω=∑I∈IkfIdxI \omega=\sum_{I \in \mathcal I_k} f_I \mathrm{d}x^I

那么其外微分后得到的 k+1-形式为

dω=∑I∈IkdfI∧dxI \mathrm{d} \omega = \sum_{I \in \mathcal I_k} \mathrm{d}f_I \wedge \mathrm{d}x^I

其中 fI:Rn→Rf_I: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} 是光滑标量函数，dfI\mathrm{d}f_I 为其全微分

dfI=∑jn∂fI∂xjdxj \mathrm{d}f_I = \sum_j^n \frac{\partial f_I}{\partial x^j} \mathrm{d}x^j

代入得到

dω=∑I∈Ik∑jn∂fI∂xjdxj∧dxI \mathrm{d}\omega = \sum_{I \in \mathcal I_k} \sum_j^n \frac{\partial f_I}{\partial x^j} \mathrm{d}x^j \wedge \mathrm{d}x^I

外微分的性质

外微分是线性的。对于任意微分形式 α,β\alpha,\beta 有

d(aα+bβ)=adα+bdβ d(a\alpha+b\beta)=ad\alpha+bd\beta

外微分对楔积满足分次莱布尼茨法则。如果 α\alpha 是 pp 次微分形式，β\beta 是 qq 次微分形式，那么

d(α∧β)=(dα)∧β+(−1)pα∧dβ d(\alpha\wedge\beta) =(d\alpha)\wedge\beta +(-1)^p\alpha\wedge d\beta

外微分的平方为零

d2=0 \mathrm{d}^2=0

即对任意微分形式连续做两次外微分的结果为零

d(dω)=0 \mathrm{d}(\mathrm{d}\omega) = 0

这可以用楔积和偏微分的运算法则推导出来。记一般的 k-形式为

ω=∑IfIdxI \omega=\sum_I f_I \mathrm{d}x^I

记偏导数为

∂f∂xi=∂xif \frac{\partial f}{\partial x^i} = \partial_{x^i}f

外微分后得到

dω=∑I∑j∂xjfIdxj∧dxI \mathrm{d}\omega = \sum_I\sum_j \partial_{x^j}f_I \mathrm{d}x^j\wedge\mathrm{d}x^I

再次外微分后得到

d2ω=∑I∑j,k∂xk∂xjfIdxk∧dxj∧dxI \mathrm{d}^2\omega = \sum_I\sum_{j,k} \partial_{x^k}\partial_{x^j}f_I \mathrm{d}x^k \wedge \mathrm{d}x^j \wedge \mathrm{d}x^I

设

S=∑j,k∂xk∂xjfIdxk∧dxj∧dxI S = \sum_{j,k} \partial_{x^k}\partial_{x^j}f_I \mathrm{d}x^k \wedge \mathrm{d}x^j \wedge \mathrm{d}x^I

交换哑指标 j,kj,k 后得到

S=∑j,k∂xj∂xkfIdxj∧dxk∧dxI S = \sum_{j,k} \partial_{x^j}\partial_{x^k}f_I \mathrm{d}x^j \wedge \mathrm{d}x^k \wedge \mathrm{d}x^I

由于对光滑函数，偏导顺序可以交换，得到

∂xk∂xjfI=∂xj∂xkfI \partial_{x^k}\partial_{x^j}f_I = \partial_{x^j}\partial_{x^k}f_I

再由楔积的反对称性得到

dxk∧dxj=−dxk∧dxj \mathrm{d}x^k\wedge\mathrm{d}x^j = - \mathrm{d}x^k\wedge\mathrm{d}x^j

因此推出

S=−S⇒S=0 S = -S \Rightarrow S = 0

从而得到

d2ω=0 \mathrm{d}^2\omega = 0

二维欧式空间中的外微分

对于 R2\mathbb{R}^2 中的 0-形式

f(x,y) f(x,y)

其外微分就是全微分，得到 1-形式

df=∂f∂xdx+∂f∂ydy \mathrm{d}f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y

对于 R2\mathbb{R}^2 中的 1-形式

ω=fdx+gdy \omega=f\mathrm{d}x+g\mathrm{d}y

其外微分为 2-形式

dω=df∧dx+dg∧dy \mathrm{d}\omega = \mathrm{d}f\wedge\mathrm{d}x + \mathrm{d}g\wedge\mathrm{d}y

对于 df\mathrm{d}f 有

df=∂f∂xdx+∂f∂ydy=fxdx+fydy \mathrm{d}f= \frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+ \frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y= f_x\mathrm{d}x + f_y\mathrm{d}y

这里用 fxf_x 简化偏导数符号。而由楔积的运算法则得到

dx∧dx=0 \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}x = 0

从而有

df∧dx=(fxdx+fydy)∧dx=fydy∧dx \mathrm{d}f\wedge\mathrm{d}x =(f_x\mathrm{d}x + f_y\mathrm{d}y) \wedge \mathrm{d}x =f_y\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}x

对 dg\mathrm{d}g 有类似的结果。代入得到

dω=fydy∧dx+gxdx∧dy \mathrm{d}\omega= f_y\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}x + g_x\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y

利用楔积的反对称性得到

dy∧dx=−dx∧dy \mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}x = - \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y

最终有

dω=(gx−fy)dx∧dy \mathrm{d}\omega = (g_x - f_y) \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y

对于 R2\mathbb{R}^2 中的 2-形式

dω=fdx∧dy \mathrm{d}\omega = f\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y

其外微分必定为 00

dω=df∧dx∧dy=(fxdx+fydy)∧dx∧dy=0 \begin{align*} \mathrm{d}\omega &= \mathrm{d}f\wedge\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y \\ &= (f_x\mathrm{d}x + f_y\mathrm{d}y)\wedge\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y \\ &= 0 \end{align*}

R2\mathbb{R}^2 中不存在非零的、次数大于 22 的微分形式。

三维欧式空间中的外微分

对于 R3\mathbb{R}^3 中的 0-形式

f(x,y,z) f(x,y,z)

其外微分就是全微分，得到 1-形式

df=∂f∂xdx+∂f∂ydy+∂f∂zdz \mathrm{d}f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y + \frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{d}z

对于 R3\mathbb{R}^3 中的 1-形式

ω=fdx+gdy+hdz \omega=f\mathrm{d}x+g\mathrm{d}y+h\mathrm{d}z

其外微分为 2-形式

dω=df∧dx+dg∧dy+dh∧dz \mathrm{d}\omega= \mathrm{d}f\wedge\mathrm{d}x+ \mathrm{d}g\wedge\mathrm{d}y+ \mathrm{d}h\wedge\mathrm{d}z

对于 df\mathrm{d}f 有

df∧dx=(fxdx+fydy+fzdz)∧dx=fydy∧dx+fzdz∧dx \mathrm{d}f\wedge\mathrm{d}x = (f_x\mathrm{d}x + f_y\mathrm{d}y + f_z\mathrm{d}z) \wedge \mathrm{d}x = f_y\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}x + f_z\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x

对 dg,dh\mathrm{d}g,\mathrm{d}h 有类似的结果。代入所有全微分得到

dω=fydy∧dx+fzdz∧dx+gxdx∧dy+gzdz∧dy+hxdx∧dz+hydy∧dz=(gx−fy)dx∧dy+(hx−fz)dx∧dz+(hy−gz)dy∧dz \begin{align*} \mathrm{d}\omega &= f_y\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}x +f_z\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x +g_x\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y +g_z\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}y +h_x\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}z +h_y\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z \\ &= (g_x - f_y) \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y +(h_x - f_z) \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}z +(h_y - g_z) \mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z \end{align*}

对于 R3\mathbb{R}^3 中的 2-形式

ω=fdx∧dy+gdx∧dz+hdy∧dz \omega = f\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y + g\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}z + h\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z

其外微分为 3-形式

dω=df∧dx∧dy+dg∧dx∧dz+dh∧dy∧dz=fzdz∧dx∧dy+gydy∧dx∧dz+hxdx∧dy∧dz=(fz−gy+hx)dx∧dy∧dz \begin{align*} \mathrm{d}\omega &= \mathrm{d}f \wedge \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y +\mathrm{d}g \wedge \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}z +\mathrm{d}h \wedge \mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z \\ &= f_z \mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y +g_y \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}z +h_x \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z \\ &= (f_z - g_y + h_x) \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z \end{align*}

对于 R3\mathbb{R}^3 中的 3-形式，其外微分也为 00。R3\mathbb{R}^3 中不存在非零的、次数大于 33 的微分形式。

内乘

内乘是微分形式上的一种映射，把 kk 次微分形式变成 k−1k-1 次微分形式

ιX:Ωk(M)→Ωk−1(M) \iota_X: \Omega^k(M)\to\Omega^{k-1}(M)

设 XX 是一个向量场

X(p)∈TpM X(p) \in T_pM

如果 ω\omega 是一个 kk 次微分形式，那么 ιXω\iota_X\omega 是一个 (k−1)(k-1) 次微分形式，其在 p∈Mp\in M 上定义为

(ιXω)p(v1,v2,⋯ ,vk−1)=ω(X(p),v1,v2,⋯ ,vk−1) (\iota_X\omega)_p(v_1, v_2, \cdots, v_{k-1}) =\omega(X(p),v_1, v_2, \cdots, v_{k-1})

也就是说，内乘把向量场 XX 在 pp 处的值塞到微分形式的第一个参数上，从而得到的新微分形式少了一个参数数量，变成 k−1k-1 次微分形式。

如果把其余 k−1k-1 个向量 viv_i 也表示为向量场 XiX_i 在 pp 处的值，那么内乘可以写为

(ιXω)(X1,X2,⋯ ,Xn)=ω(X,X1,X2,⋯ ,Xn) (\iota_X\omega)(X_1, X_2, \cdots, X_n) =\omega(X,X_1, X_2, \cdots, X_n)

内乘的性质

内乘是线性的。对任意微分形式 α,β\alpha,\beta 有

ιX(aα+bβ)=aιXα+bιXβ \iota_X(a\alpha+b\beta) =a\iota_X\alpha+b\iota_X\beta

对光滑函数 ff 有

ιfXω=fιXωιX(fω)=fιXω \begin{align*} \iota_{fX}\omega=f\iota_X\omega \\ \iota_X(f\omega)=f\iota_X\omega \end{align*}

内乘对楔积满足分次莱布尼茨法则。若 α\alpha 是 pp 次微分形式，β\beta 是 qq 次微分形式，则

ιX(α∧β)=(ιXα)∧β+(−1)pα∧(ιXβ) \iota_X(\alpha\wedge\beta) =(\iota_X\alpha)\wedge\beta +(-1)^p\alpha\wedge(\iota_X\beta)

内乘是反交换的。对于任意两个向量场 X,YX,Y 有

ιXιY=−ιYιX \iota_X\iota_Y=-\iota_Y\iota_X

特别地，当 X=YX=Y 时

ιX2=0 \iota_X^2=0

1-形式的内乘

取 MM 的局部坐标系 (x1,⋯ ,xn)(x^1,\cdots,x^n)。向量场 XX 可以表示为

X=∑i=1nXi(x)∂∂xi X=\sum_{i=1}^n X^i(x)\frac{\partial}{\partial x^i}

1-形式 ω\omega 可以表示为

ω=∑j=1nfj(x)dxj \omega=\sum_{j=1}^n f_j(x)dx^j

根据内乘的定义

ιXω=ω(X)=(∑j=1nfjdxj)(∑i=1nXi∂∂xi)=∑i,jfjXidxj(∂∂xi)=∑i,jfjXiδij=∑ifiXi \begin{align*} \iota_X\omega &=\omega(X) \\ &=\left(\sum_{j=1}^nf_jdx^j\right) \left(\sum_{i=1}^nX^i\frac{\partial}{\partial x^i}\right) \\ &=\sum_{i,j}f_jX^i dx^j\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right) \\ &=\sum_{i,j}f_jX^i\delta^j_i \\ &=\sum_i f_iX^i \end{align*}

从而有

(ιXω)(x)=∑ifi(x)Xi(x) (\iota_X\omega)(x) = \sum_i f_i(x)X^i(x)

1-形式是一个余向量场，把流形上的点映射到余向量；向量场把流形上的点映射到向量。余向量场内乘向量场后得到的是一个标量场，即 0-形式，把流形上的点映射到余向量作用在向量上的结果

ιXω∈Λ0(M):M→R \iota_X\omega\in \Lambda^0(M): M \to \mathbb{R}

k-形式的内乘

设 MM 上的局部坐标为 (x1,⋯ ,xn)(x^1,\cdots,x^n)，向量场为

X=∑i=1nXi∂∂xi X=\sum_{i=1}^n X^i\frac{\partial}{\partial x^i}

kk 次微分形式为

ω=∑I∈IkfIdxI \omega= \sum_{I\in \mathcal{I}_k} f_{I} dx^I

根据内乘的定义

ιXω=ω(X,X1,X2,⋯ ,Xk−1)=(∑IfIdxI)(∑i=1nXi∂∂xi,X1,X2,⋯ ,Xk−1)=∑i,IfIXidxI(∂∂xi,X1,X2,⋯ ,Xk−1) \begin{align*} \iota_X\omega &=\omega(X, X_1, X_2, \cdots, X_{k-1}) \\ &=\left( \sum_{I}f_{I}dx^I \right) \left( \sum_{i=1}^nX^i\frac{\partial}{\partial x^i}, X_1, X_2, \cdots, X_{k-1} \right) \\ &=\sum_{i,I}f_IX^idx^I\left( \frac{\partial}{\partial x^i}, X_1, X_2, \cdots, X_{k-1} \right) \\ \end{align*}

把 dxIdx^I 展开

(dxi1∧⋯∧dxik)(∂∂xi,X1,X2,⋯ ,Xk−1)=∑r=1k(−1)r−1dxir(∂∂xi)(dxi1∧⋯∧dxir^∧⋯∧dxik)(X1,⋯ ,Xk−1)=∑r=1k(−1)r−1δiir(dxi1∧⋯∧dxir^∧⋯∧dxik)(X1,⋯ ,Xk−1) \begin{align*} &(dx^{i1}\wedge\cdots\wedge dx^{ik})\left(\frac{\partial}{\partial x^i}, X_1, X_2, \cdots, X_{k-1}\right) \\ &=\sum_{r=1}^k(-1)^{r-1} dx^{i_r}\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right) \left( dx^{i_1}\wedge\cdots \wedge\widehat{dx^{i_r}}\wedge\cdots \wedge dx^{i_k} \right)(X_1,\cdots,X_{k-1}) \\ &=\sum_{r=1}^k(-1)^{r-1} \delta^{i_r}_i \left( dx^{i_1}\wedge\cdots \wedge\widehat{dx^{i_r}}\wedge\cdots \wedge dx^{i_k} \right)(X_1,\cdots,X_{k-1}) \\ \end{align*}

代回原式，得到

ιXω=∑I∑ifIXi∑r=1k(−1)r−1δiir(dxi1∧⋯∧dxir^∧⋯∧dxik)(X1,⋯ ,Xk−1)=∑IfI∑r=1k(−1)r−1Xir(dxi1∧⋯∧dxir^∧⋯∧dxik)(X1,⋯ ,Xk−1) \begin{align*} \iota_X\omega &=\sum_{I}\sum_i f_IX^i\sum_{r=1}^k(-1)^{r-1} \delta^{i_r}_i \left( dx^{i_1}\wedge\cdots \wedge\widehat{dx^{i_r}}\wedge\cdots \wedge dx^{i_k} \right)(X_1,\cdots,X_{k-1}) \\ &=\sum_{I} f_I \sum_{r=1}^k(-1)^{r-1} X^{i_r} \left( dx^{i_1}\wedge\cdots \wedge\widehat{dx^{i_r}}\wedge\cdots \wedge dx^{i_k} \right)(X_1,\cdots,X_{k-1}) \\ \end{align*}

其中 dxir^\widehat{dx^{i_r}} 表示删去这一项，即

dxi1∧⋯∧dxir^∧⋯∧dxik=dxi1∧⋯∧dxir−1∧dxir+1⋯∧dxik dx^{i_1}\wedge\cdots \wedge\widehat{dx^{i_r}}\wedge\cdots \wedge dx^{i_k}= dx^{i_1}\wedge\cdots \wedge dx^{i_{r-1}}\wedge dx^{i_{r+1}}\cdots \wedge dx^{i_k}

记

J∈Jk−1={ (j1,j2,⋯ ,jk−1)∣1≤j1<j2<⋯<jk−1≤n } J \in \mathcal J_{k-1} = \Set{ (j_1, j_2, \cdots, j_{k-1}) \mid 1 \le j_1 < j_2 < \cdots < j_{k-1} \le n }

将指标重新整理，记

(i,J)=(i,j1,j2,⋯ ,jk−1) (i,J) = (i, j_1, j_2, \cdots, j_{k-1})

当 i∈Ji\in J 时，由于指标重复，有

f(i,J)=0 f_{(i,J)} = 0

当 i∉J∧i=iri\notin J\land i=i_r 时，由反对称性得到

f(i,J)=(−1)r−1fI f_{(i,J)}=(-1)^{r-1}f_I

因此

ιXω=∑J∈Jk−1(∑i=1nXif(i,J))dxJ \iota_X\omega= \sum_{J \in \mathcal J_{k-1}} \left( \sum_{i=1}^n X^i f_{(i,J)} \right)dx^J

二维欧氏空间中的内乘

取 R2\mathbb{R}^2 上的向量场

X=Xx∂∂x+Xy∂∂y X=X^x\frac{\partial}{\partial x}+X^y\frac{\partial}{\partial y}

对于 1-形式

ω=fdx+gdy \omega = f\mathrm{d}x+g\mathrm{d}y

内乘后变为 0-形式，即标量场

ιXω=ω(X)=(fdx+gdy)(Xx∂∂x+Xy∂∂y)=fXx+gXy \begin{align*} \iota_X\omega &= \omega(X) \\ &= (f\mathrm{d}x+g\mathrm{d}y)\left( X^x\frac{\partial}{\partial x}+X^y\frac{\partial}{\partial y} \right) \\ &= fX^x+gX^y \end{align*}

对于 2-形式

ω=fdx∧dy \omega = f\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y

内乘后变为 1-形式，即把一个切向量映射到实数

(ιXω)(Y)=ω(X,Y)=(fdx∧dy)(X,Y)=f(XxYy−XyYx) \begin{align*} (\iota_X\omega)(Y) &= \omega(X, Y) \\ &= (f\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y)(X, Y) \\ &= f(X^xY^y- X^yY^x) \end{align*}

或者先计算

ιX(dx∧dy)=Xxdy−Xydx \iota_X(\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y) = X^xdy-X^ydx

从而有

ιXω=fXxdy−fXydx \iota_X\omega = fX^xdy-fX^ydx

三维欧式空间中的内乘

取 R3\mathbb{R}^3 上的向量场

X=Xx∂∂x+Xy∂∂y+Xz∂∂z X=X^x\frac{\partial}{\partial x}+X^y\frac{\partial}{\partial y}+ X^z\frac{\partial}{\partial z}

对于 1-形式

ω=fdx+gdy+hdz \omega = f\mathrm{d}x+g\mathrm{d}y + h\mathrm{d}z

内乘后变为 0-形式，即标量场

ιXω=ω(X)=fXx+gXy+hXz \begin{align*} \iota_X\omega &= \omega(X) \\ &= fX^x+gX^y + hX^z \end{align*}

对于 2-形式

ω=fdx∧dy+gdx∧dz+hdy∧dz \omega = f\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y + g\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}z + h\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z

对于 dx∧dy\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y 有

ιX(dx∧dy)=Xxdy−Xydx \iota_X(\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y) = X^xdy-X^ydx

内乘后变为 1-形式

ιXω=ιX(fdx∧dy+gdx∧dz+hdy∧dz)=f(ιX(dx∧dy))+g(ιX(dx∧dz))+h(ιX(dy∧dz))=f(Xxdy−Xydx)+g(Xxdz−Xzdx)+h(Xydz−Xzdy)=(−fXy−gXz)dx+(fXx−hXz)dy+(gXx+hXy)dz \begin{align*} \iota_X\omega &= \iota_X( f\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y + g\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}z + h\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z ) \\ &= f( \iota_X(\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y) ) +g( \iota_X(\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}z) ) +h( \iota_X(\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z) ) \\ &= f(X^xdy- X^ydx)+g(X^xdz-X^zdx) + h(X^ydz-X^zdy) \\ &= (-fX^y-gX^z)dx+(fX^x-hX^z)dy+(gX^x+hX^y)dz \end{align*}

对于 3-形式

ω=fdx∧dy∧dz \omega = fdx\wedge dy\wedge dz

内乘后变为 2-形式

ιXω=f(Xxdy∧dz−Xydx∧dz+Xzdx∧dy) \iota_X\omega=f\big( X^xdy\wedge dz -X^ydx\wedge dz +X^zdx\wedge dy \big)

拉回

拉回把一个流形上的微分形式变成另一个流形上的微分形式

F∗:Ωk(N)→Ωk(M) F^*: \Omega^k(N)\to\Omega^k(M)

取一个光滑映射 F:M→NF:M\to N，其切映射为

dFp:TpM→TF(p)N \mathrm{d}F_p: T_pM \to T_{F(p)}N

对于 NN 上的 kk-形式 ω∈Ωk(N)\omega \in \Omega^k(N)，定义拉回为

(F∗ω)p(v1,⋯ ,vk)=ωF(p)(dFp(v1),⋯ ,dFp(vk)) (F^*\omega)_p(v_1,\cdots,v_k) =\omega_{F(p)} \bigl(\mathrm{d}F_p(v_1), \cdots, \mathrm{d}F_p(v_k)\bigr)

其中

v1,⋯ ,vk∈TpM v_1,\cdots,v_k\in T_pM

也就是说 F∗F^* 把 NN 上的微分形式拉回到 MM 上

F∗ω∈Ωk(M) F^*\omega\in\Omega^k(M)

拉回的性质

拉回是线性的。对于任意两个 kk 次微分形式 ω,η\omega,\eta 有

F∗(aω+bη)=aF∗ω+bF∗η F^*(a\omega+b\eta)=aF^*\omega+bF^*\eta

对于光滑函数 f∈C∞(N)f\in C^\infty(N) 有

F∗(fω)=(f∘F)F∗ω F^*(f\omega)=(f\circ F)F^*\omega

把复合 f∘Ff\circ F 写为拉回，则拉回保持函数乘法

F∗(fω)=(F∗f)F∗ω F^*(f\omega) = (F^*f)F^*\omega

拉回保持楔积。对于 ω∈Ωp(N)\omega\in\Omega^p(N) 和 η∈Ωq(N)\eta\in\Omega^q(N) 有

F∗(ω∧η)=F∗ω∧F∗η F^*(\omega\wedge\eta)=F^*\omega\wedge F^*\eta

拉回是逆变的，即复合映射诱导的拉回等于各自诱导的拉回的复合

(G∘F)∗=F∗G∗ (G\circ F)^* = F^*G^*

把复合 G∘FG\circ F 也写为拉回，则拉回是可结合的

(F∗G)∗=F∗G∗ (F^*G)^* =F^*G^*

即

(F∗G)∗ω=F∗(G∗ω) (F^*G)^*\omega = F^*(G^*\omega)

1-形式的拉回

设光滑映射为

F:M→N F:M\to N

取 MM 上的局部坐标 (x1,⋯ ,xm)(x^1,\cdots,x^m) 和 NN 上的局部坐标 (y1,⋯ ,yn)(y^1,\cdots,y^n)。把 FF 写为

F(x)=(F1(x),⋯ ,Fn(x)) F(x)=\bigl( F^1(x), \cdots, F^n(x) \bigr)

对于 Tp∗NT_p^*N 上的基 dyi\mathrm{d}y^i 有

F∗dyi=d(yi∘F)=dFi F^*\mathrm{d}y^i = \mathrm{d}(y^i\circ F) = \mathrm{d}F^i

对于光滑函数 ai∈C∞(N,R)a_i\in C^\infty(N,\mathbb{R}) 和 y=F(x)y=F(x) 有

F∗ai(y)=ai(F(x)) F^*a_i(y) = a_i(F(x))

从而对于 1-形式 ω∈Ω1(N)\omega\in \Omega^1(N) 有

ω=∑iai(y)dyi \omega=\sum_i a_i(y)\mathrm{d}y^i

其拉回可表示为

F∗ω=F∗(∑iai(y)dyi)=∑iF∗(ai(y)dyi)=∑i(F∗ai(y))F∗dyi=∑iai(F(x))dFi \begin{align*} F^*\omega &= F^*\left(\sum_i a_i(y)dy^i\right) \\ &= \sum_i F^* \bigl( a_i(y) \mathrm{d}y^i\bigr) \\ &= \sum_i (F^*a_i(y))F^*\mathrm{d}y^i \\ &= \sum_i a_i\bigl(F(x)\bigr)\mathrm{d}F^i \end{align*}

k-形式的拉回

对于 Λk(Tp∗N)\Lambda^k(T_p^*N) 上的基 { dyi1∧⋯∧dyik }\set{\mathrm{d}y^{i_1}\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}y^{i_k}} 有

F∗(dyi1∧⋯∧dyik)=F∗(dyi1)∧⋯∧F∗(dyik)=dFi1∧⋯∧dFik \begin{align*} F^* (dy^{i_1}\wedge\cdots\wedge dy^{i_k}) &= F^*(dy^{i_1})\wedge\cdots\wedge F^*(dy^{i_k})\\ &= dF^{i_1}\wedge\cdots\wedge dF^{i_k} \end{align*}

对于 dFidF^i 有

dFi=∑α=1m∂Fi∂xαdxα dF^i = \sum_{\alpha=1}^m \frac{\partial F^i}{\partial x^\alpha} dx^\alpha

因此

dFi1∧⋯∧dFik=(∑α1∂Fi1∂xα1dxα1)∧⋯∧(∑αk∂Fik∂xαkdxαk)=∑α1,⋯ ,αk∂Fi1∂xα1⋯∂Fik∂xαkdxα1∧⋯∧dxαk \begin{align*} dF^{i_1}\wedge\cdots\wedge dF^{i_k} &= \left( \sum_{\alpha_1} \frac{\partial F^{i_1}}{\partial x^{\alpha_1}} dx^{\alpha_1} \right) \wedge\cdots\wedge \left( \sum_{\alpha_k} \frac{\partial F^{i_k}}{\partial x^{\alpha_k}} dx^{\alpha_k} \right) \\ &= \sum_{\alpha_1,\cdots,\alpha_k} \frac{\partial F^{i_1}}{\partial x^{\alpha_1}} \cdots \frac{\partial F^{i_k}}{\partial x^{\alpha_k}} dx^{\alpha_1}\wedge\cdots\wedge dx^{\alpha_k} \end{align*}

利用楔积的反对称性，只需保留 (1,⋯ ,k)(1,\cdots,k) 的所有排列对应的项

∑α1,⋯ ,αk∂Fi1∂xα1⋯∂Fik∂xαkdxα1∧⋯∧dxαk=∑σ∈Sksgn⁡(σ)∏r=1k∂Fir∂xσ(r)dx1∧⋯∧dxk \sum_{\alpha_1,\cdots,\alpha_k} \frac{\partial F^{i_1}}{\partial x^{\alpha_1}} \cdots \frac{\partial F^{i_k}}{\partial x^{\alpha_k}} dx^{\alpha_1}\wedge\cdots\wedge dx^{\alpha_k}= \sum_{\sigma\in S_k} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{r=1}^k \frac{\partial F^{i_r}}{\partial x^{\sigma(r)}} dx^1\wedge\cdots\wedge dx^k

根据行列式的莱布尼茨展开公式

∑σ∈Sksgn⁡(σ)∏r=1k∂Fir∂xσ(r)=∂(Fi1,⋯ ,Fik)∂(x1,⋯ ,xk) \sum_{\sigma\in S_k} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{r=1}^k \frac{\partial F^{i_r}}{\partial x^{\sigma(r)}}= \frac{\partial(F^{i_1},\cdots,F^{i_k})} {\partial(x^1,\cdots,x^k)}

右侧就是 k×kk \times k 雅可比矩阵的行列式

∂(Fi1,⋯ ,Fik)∂(x1,⋯ ,xk)=∣Fi1x1Fi1x2⋯Fi1xkFi2x1Fi2x2⋯Fi2xk⋮⋮⋱⋮Fikx1Fikx2⋯Fikxk∣ \frac{\partial(F^{i_1},\cdots,F^{i_k})} {\partial(x^1,\cdots,x^k)}= \begin{vmatrix} \frac{F^{i_1}}{x^1} & \frac{F^{i_1}}{x^2} & \cdots & \frac{F^{i_1}}{x^k} \\ \frac{F^{i_2}}{x^1} & \frac{F^{i_2}}{x^2} & \cdots & \frac{F^{i_2}}{x^k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{F^{i_k}}{x^1} & \frac{F^{i_k}}{x^2} & \cdots & \frac{F^{i_k}}{x^k} \\ \end{vmatrix}

从而得到

F∗(dyi1∧⋯∧dyik)=∂(Fi1,⋯ ,Fik)∂(x1,⋯ ,xk)dx1∧⋯∧dxk F^* (dy^{i_1}\wedge\cdots\wedge dy^{i_k})= \frac{\partial(F^{i_1},\cdots,F^{i_k})} {\partial(x^1,\cdots,x^k)} dx^1\wedge\cdots\wedge dx^k

设 NN 上的 kk-形式为

ω=∑I∈IkaI(y)dyi1∧⋯∧dyik \omega = \sum_{I\in \mathcal{I}_k} a_I(y) dy^{i_1}\wedge\cdots\wedge dy^{i_k}

最后再由拉回的线性性，代入原来的微分形式

F∗ω=∑I∈Ik(F∗aI)F∗(dyi1∧⋯∧dyik)=∑I∈IkaI(F(x))∂(Fi1,⋯ ,Fik)∂(x1,⋯ ,xk) \begin{align*} F^*\omega &= \sum_{I\in \mathcal{I}_k} (F^*a_I) F^* (dy^{i_1}\wedge\cdots\wedge dy^{i_k}) \\ &= \sum_{I\in \mathcal{I}_k} a_I(F(x)) \frac{\partial(F^{i_1},\cdots,F^{i_k})} {\partial(x^1,\cdots,x^k)} \end{align*}

其中

Ik={ (i1,i2,⋯ ,ik)∣1≤i1<⋯<ik≤n } \mathcal{I}_k = \Set{ (i_1, i_2, \cdots, i_k) \mid 1 \le i_1 < \cdots < i_k \le n }

二维欧氏空间中的拉回

设光滑映射为

F:R2→R2 F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2

记原空间坐标为 (u,v)(u,v)，目标空间坐标为 (x,y)(x,y)，并设

F(u,v)=(F1(u,v),F2(u,v)) F(u,v)=\big(F^1(u,v),F^2(u,v)\big)

记其诱导的拉回为 F∗F^*

F∗:Ωk(Rx,y2)⟶Ωk(Ru,v2) F^*:\Omega^k(\mathbb R^2_{x,y}) \longrightarrow \Omega^k(\mathbb R^2_{u,v})

对于 0-形式

f(x,y) f(x,y)

拉回就是函数复合

F∗f=f∘F F^*f = f\circ F

对于 1-形式

ω=fdx+gdy \omega = f\mathrm{d}x + g\mathrm{d}y

拉回为

F∗ω=F∗(fdx+gdy)=(F∗f)F∗dx+(F∗g)F∗dy=(f∘F)dF1+(g∘F)dF2=(f∘F)(Fu1du+Fv1dv)+(g∘F)(Fu2du+Fv2dv)=[(f∘F)Fu1+(g∘F)Fu2]du+((f∘F)Fv1+(g∘F)Fv2)dv \begin{align*} F^*\omega &=F^*(f\mathrm{d}x + g\mathrm{d}y) \\ &=(F^*f)F^*\mathrm{d}x + (F^*g)F^*\mathrm{d}y \\ &=(f\circ F)\mathrm{d}F^1 + (g\circ F)\mathrm{d}F^2 \\ &=(f\circ F)\left( F^1_udu + F^1_vdv \right) + (g\circ F)\left( F^2_udu + F^2_vdv \right) \\ &=\left[ (f\circ F) F^1_u +(g\circ F) F^2_u \right]du +\left( (f\circ F) F^1_v +(g\circ F) F^2_v \right)dv \end{align*}

如果把微分形式写为矩阵相乘

ω=[dxdy][fg] \omega = \begin{bmatrix} dx & dy \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f \\ g \end{bmatrix}

那么拉回可以更简洁地表示为

F∗ω=[dF1dF2][f∘Fg∘F]=[dudv]JFT[f∘Fg∘F] F^*\omega = \begin{bmatrix} dF^1 & dF^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f \circ F \\ g \circ F \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} du & dv \end{bmatrix} J_F^T \begin{bmatrix} f \circ F \\ g \circ F \end{bmatrix}

其中的 JFTJ_F^T 就是雅可比矩阵的转置

JF=[Fu1Fv1Fu2Fv2] J_F=\begin{bmatrix} F^1_u&F^1_v \\ F^2_u&F^2_v \end{bmatrix}

如果省略掉基 [dxdy],[dudv]\begin{bmatrix}dx & dy\end{bmatrix},\begin{bmatrix}du & dv\end{bmatrix}，只写出系数，那么有

ω=[fg]F∗ω=JFT[f∘Fg∘F] \begin{align*} \omega &= \begin{bmatrix} f \\ g \end{bmatrix} \\ F^*\omega &= J_F^T \begin{bmatrix} f \circ F \\ g \circ F \end{bmatrix} \end{align*}

对于 2-形式

ω=fdx∧dy \omega = f\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y

拉回为

F∗ω=F∗(fdx∧dy)=(F∗f)F∗(dx∧dy)=(F∗f)(F∗dx∧F∗dy)=(f∘F)dF1∧dF2=(f∘F)(Fu1du+Fv1dv)∧(Fu2du+Fv2dv)=(f∘F)(Fu1Fv2−Fv1Fu2)du∧dv \begin{align*} F^*\omega &= F^*(f\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y) \\ &= (F^*f)F^*(dx\wedge dy) \\ &= (F^*f)(F^*dx \wedge F^*dy) \\ &= (f\circ F)dF^1\wedge dF^2 \\ &= (f\circ F)(F^1_udu+F^1_vdv)\wedge(F^2_udu+F^2_vdv) \\ &= (f\circ F)(F^1_uF^2_v-F^1_vF^2_u)du\wedge dv \end{align*}

写为行列式就是

F∗ω=(f∘F)det⁡(JF)du∧dv F^*\omega = (f\circ F)\det(J_F)du\wedge dv

三维欧氏空间中的拉回

设光滑映射为

F:R3→R3 F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3

取原空间坐标为 (u,v,w)(u,v,w)，目标空间坐标为 (x,y,z)(x,y,z)，并设

F(u,v,w)=(F1(u,v,w),F2(u,v,w),F3(u,v,w)) F(u,v,w)=\big(F^1(u,v,w),F^2(u,v,w),F^3(u,v,w)\big)

得到雅可比矩阵

JF=[Fu1Fv1Fw1Fu2Fv2Fw2Fu3Fv3Fw3] J_F= \begin{bmatrix} F^1_u&F^1_v&F^1_w \\ F^2_u&F^2_v&F^2_w \\ F^3_u&F^3_v&F^3_w \end{bmatrix}

对于 0-形式

f(x,y,z) f(x,y,z)

拉回为

F∗f=f∘F F^*f = f\circ F

对于 1-形式

ω=fdx+gdy+hdz \omega=f\mathrm{d}x+g\mathrm{d}y+h\mathrm{d}z

拉回为

F∗ω=(f∘F)dF1+(g∘F)dF2+(h∘F)dF3 F^*\omega =(f\circ F)dF^1 +(g\circ F)dF^2 +(h\circ F)dF^3

展开得到

F∗ω=[dF1dF2dF3][f∘Fg∘Fh∘F]=[dudvdw]JFT[f∘Fg∘Fh∘F] F^*\omega = \begin{bmatrix} dF^1 & dF^2 & dF^3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} f\circ F \\ g\circ F \\ h\circ F \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} du & dv & dw \end{bmatrix} J_F^T \begin{bmatrix} f\circ F \\ g\circ F \\ h\circ F \end{bmatrix}

省略掉基，只写系数，得到

ω=[fgh]F∗ω=JFT[f∘Fg∘Fh∘F] \begin{align*} \omega &= \begin{bmatrix} f \\ g \\ h \end{bmatrix} \\ F^*\omega &= J_F^T \begin{bmatrix} f \circ F \\ g \circ F \\ h\circ F \end{bmatrix} \end{align*}

对于 2-形式

ω=fdx∧dy+gdx∧dz+hdy∧dz \omega = f\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y + g\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}z + h\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z

拉回为

F∗ω=(f∘F)dF1∧dF2+(g∘F)dF1∧dF3+(h∘F)dF2∧dF3 F^*\omega =(f\circ F)dF^1\wedge dF^2 +(g\circ F)dF^1\wedge dF^3 +(h\circ F)dF^2\wedge dF^3

对于 dF1∧dF2dF^1\wedge dF^2 有

dF1∧dF2=(Fu1du+Fv1dv+Fw1dw)∧(Fu2du+Fv2dv+Fw2dw)=(Fu1Fv2−Fv1Fu2)du∧dv+(Fu1Fw2−Fw1Fu2)du∧dw+(Fv1Fw2−Fw1Fv2)dv∧dw \begin{align*} dF^1\wedge dF^2 &=(F^1_udu+F^1_vdv+F^1_wdw)\wedge(F^2_udu+F^2_vdv+F^2_wdw) \\ &=(F^1_uF^2_v-F^1_vF^2_u)du\wedge dv +(F^1_uF^2_w-F^1_wF^2_u)du\wedge dw +(F^1_vF^2_w-F^1_wF^2_v)dv\wedge dw \end{align*}

可以用雅可比矩阵的子矩阵的行列式简化符号

det⁡(M33(JF))=∣Fu1Fv1Fu2Fv2∣=Fu1Fv2−Fv1Fu2 \det (M_{33}(J_F))= \begin{vmatrix} F^1_u&F^1_v\\ F^2_u&F^2_v \end{vmatrix} =F^1_uF^2_v-F^1_vF^2_u

其中 Mij(JF)M_{ij}(J_F) 表示去除 JFJ_F 中第 ii 行、第 jj 列后得到的子矩阵。再把 det⁡Mij(JF)\det M_{ij}(J_F) 简记为 MijM_{ij}，得到

dF1∧dF2=M33du∧dv+M32du∧dw+M31dv∧dw dF^1\wedge dF^2 = M_{33}du\wedge dv + M_{32}du\wedge dw + M_{31}dv\wedge dw

完整代入有

F∗ω=(f∘F)(M33du∧dv+M32du∧dw+M31dv∧dw)+(g∘F)(M23du∧dv+M22du∧dw+M21dv∧dw)+(h∘F)(M13du∧dv+M12du∧dw+M11dv∧dw)=[(f∘F)M33+(g∘F)M23+(h∘F)M13]du∧dv+[(f∘F)M32+(g∘F)M22+(h∘F)M12]du∧dw+[(f∘F)M31+(g∘F)M21+(h∘F)M11]dv∧dw \begin{align*} F^*\omega &=(f\circ F)(M_{33}du\wedge dv + M_{32}du\wedge dw + M_{31}dv\wedge dw) \\ &+(g\circ F)(M_{23}du\wedge dv + M_{22}du\wedge dw + M_{21}dv\wedge dw) \\ &+(h\circ F)(M_{13}du\wedge dv + M_{12}du\wedge dw + M_{11}dv\wedge dw) \\ &=\big[(f\circ F)M_{33} +(g\circ F)M_{23} +(h\circ F)M_{13}\big]du\wedge dv \\ &+\big[(f\circ F)M_{32} +(g\circ F)M_{22} +(h\circ F)M_{12}\big]du\wedge dw \\ &+\big[(f\circ F)M_{31} +(g\circ F)M_{21} +(h\circ F)M_{11}\big]dv\wedge dw \end{align*}

进一步地，可以写为

F∗ω=[du∧dvdu∧dwdv∧dw][M33M23M13M32M22M12M31M21M11][f∘Fg∘Fh∘F] F^*\omega= \begin{bmatrix} du\wedge dv & du\wedge dw & dv\wedge dw \end{bmatrix} \begin{bmatrix} M_{33} & M_{23} & M_{13} \\ M_{32} & M_{22} & M_{12} \\ M_{31} & M_{21} & M_{11} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f\circ F\\ g\circ F\\ h\circ F \end{bmatrix}

这里微分形式中使用的基是 { dx∧dy,dx∧dz,dy∧dz }\set{dx\wedge dy, dx\wedge dz, dy\wedge dz}。一种更常见的写法是使用循环基

ω=hdy∧dz+−gdz∧dx+fdx∧dy \omega = h\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z + -g\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x + f\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y

这和原先的 ω\omega 仍然是同一个微分形式，因此有

F∗ω=[(f∘F)M33+(g∘F)M23+(h∘F)M13]du∧dv+[(f∘F)M32+(g∘F)M22+(h∘F)M12]du∧dw+[(f∘F)M31+(g∘F)M21+(h∘F)M11]dv∧dw=[(f∘F)M33+(−g∘F)(−M23)+(h∘F)M13]du∧dv+[(f∘F)(−M32)+(−g∘F)M22+(h∘F)(−M12)]dw∧du+[(f∘F)M31+(−g∘F)(−M21)+(h∘F)M11]dv∧dw \begin{align*} F^*\omega &=\big[(f\circ F)M_{33} +(g\circ F)M_{23} +(h\circ F)M_{13}\big]du\wedge dv \\ &+\big[(f\circ F)M_{32} +(g\circ F)M_{22} +(h\circ F)M_{12}\big]du\wedge dw \\ &+\big[(f\circ F)M_{31} +(g\circ F)M_{21} +(h\circ F)M_{11}\big]dv\wedge dw \\ &=\big[(f\circ F)M_{33} +(-g\circ F)(-M_{23}) +(h\circ F)M_{13}\big]du\wedge dv \\ &+\big[(f\circ F)(-M_{32}) +(-g\circ F)M_{22} +(h\circ F)(-M_{12})\big]dw\wedge du \\ &+\big[(f\circ F)M_{31} +(-g\circ F)(-M_{21}) +(h\circ F)M_{11}\big]dv\wedge dw \end{align*}

从而得到

F∗ω=[dv∧dwdw∧dudu∧dv][M11−M21M31−M12M22−M32M13−M23M33][h∘F−g∘Ff∘F] F^*\omega= \begin{bmatrix} dv\wedge dw & dw\wedge du & du\wedge dv \end{bmatrix} \begin{bmatrix} M_{11} & -M_{21} & M_{31} \\ -M_{12} & M_{22} & -M_{32} \\ M_{13} & -M_{23} & M_{33} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} h\circ F\\ -g\circ F\\ f\circ F \end{bmatrix}

若定义余子式为

Cij=(−1)i+jMij C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}

并定义雅可比矩阵的余子式矩阵为

cof⁡(JF)=[C11C12C13C21C22C23C31C32C33] \operatorname{cof}(J_F)= \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \\ \end{bmatrix}

那么在循环基下有

F∗ω=[dv∧dwdw∧dudu∧dv]cof⁡(JF)T[h∘F−g∘Ff∘F] F^*\omega= \begin{bmatrix} dv\wedge dw & dw\wedge du & du\wedge dv \end{bmatrix} \operatorname{cof}(J_F)^T \begin{bmatrix} h\circ F\\ -g\circ F\\ f\circ F \end{bmatrix}

因此，省略掉循环基，只写出系数，可把拉回记为

ω=[fgh]F∗ω=cof⁡(JF)T[f∘Fg∘Fh∘F] \begin{align*} \omega &= \begin{bmatrix} f \\ g \\ h \end{bmatrix} \\ F^*\omega &= \operatorname{cof}(J_F)^T \begin{bmatrix} f \circ F \\ g \circ F \\ h\circ F \end{bmatrix} \end{align*}

对于 3-形式

ω=fdx∧dy∧dz \omega=fdx\wedge dy\wedge dz

拉回为

F∗ω=(f∘F)dF1∧dF2∧dF3=(f∘F)det⁡(JF)du∧dv∧dw \begin{align*} F^*\omega &=(f\circ F) dF^1\wedge dF^2\wedge dF^3\\ &=(f\circ F)\det(J_F) du\wedge dv\wedge dw \end{align*}

内乘、拉回、外微分之间的联系

内乘、拉回、外微分是微分形式上的三种运算，对微分形式次数的改变各不相同

  • 外微分增加微分形式的次数

    d:Ωk(M)⟶Ωk+1(M) \mathrm{d}: \Omega^k(M)\longrightarrow \Omega^{k+1}(M)

  • 内乘减少微分形式的次数

    ιX:Ωk(M)→Ωk−1(M) \iota_X: \Omega^k(M)\to\Omega^{k-1}(M)

  • 拉回不改变微分形式的次数

    F∗:Ωk(N)→Ωk(M) F^*: \Omega^k(N)\to\Omega^k(M)

内乘、拉回和外微分两两之间都可以组合，并且存在代数上的性质。

外微分与拉回

外微分和拉回是可交换的

F∗∘d=d∘F∗ F^* \circ \mathrm{d} = \mathrm{d} \circ F^*

即对于 ω∈Ωk(N)\omega\in\Omega^k(N) 和 F∈C∞(M,N)F \in C^\infty(M,N) 有

F∗(dω)=d(F∗ω) F^*(\mathrm{d}\omega)=\mathrm{d}(F^*\omega)

这可以从拉回和外微分的性质中推导出来。在 MM 上取局部坐标 (x1,⋯ ,xm)(x^1,\cdots,x^m)，在 NN 上取局部坐标 (y1,⋯ ,yn)(y^1,\cdots,y^n)。记 ω∈Ωk(N)\omega\in\Omega^k(N) 为

ω=∑IaIdyI \omega=\sum_I a_I \mathrm{d}y^I

由拉回的线性性和对函数乘法的保持得到

F∗ω=∑I(F∗aI)dFI=∑I(aI∘F)dFI F^*\omega = \sum_I (F^*a_I) \mathrm{d}F^I = \sum_I (a_I\circ F) \mathrm{d}F^I

逐点链式法则得到

d(aI∘F)x=d(aI)F(x)∘dFx=(∑j∂aI∂yj(F(x))dyF(x)j)∘dFx=∑j∂aI∂yj(F(x))(dyF(x)j∘dFx)=∑j∂aI∂yj(F(x))dFxj \begin{align*} \mathrm d(a_I\circ F)_x &=\mathrm d(a_I)_{F(x)}\circ\mathrm dF_x\\ &=\left( \sum_j \frac{\partial a_I}{\partial y^j}(F(x)) \mathrm dy^j_{F(x)} \right)\circ\mathrm dF_x\\ &=\sum_j \frac{\partial a_I}{\partial y^j}(F(x)) \left(\mathrm dy^j_{F(x)}\circ\mathrm dF_x\right)\\ &=\sum_j \frac{\partial a_I}{\partial y^j}(F(x)) \mathrm dF^j_x \end{align*}

即

d(aI∘F)=∑j(∂aI∂yj∘F)dFj \mathrm d(a_I\circ F) = \sum_j \left( \frac{\partial a_I}{\partial y^j}\circ F \right) \mathrm dF^j

由外微分的线性性得到

d(F∗ω)=∑Id(aI∘F)∧dFI=∑I,j(∂aI∂yj∘F)dFj∧dFI \begin{align*} \mathrm{d}(F^*\omega) &= \sum_I \mathrm{d}(a_I\circ F)\wedge \mathrm{d}F^I \\ &= \sum_{I,j} \left(\frac{\partial a_I}{\partial y^j}\circ F\right)\mathrm{d}F^j\wedge \mathrm{d}F^I \end{align*}

另一方面

dω=∑I,j∂aI∂yjdyj∧dyI d\omega= \sum_{I,j} \frac{\partial a_I}{\partial y^j} dy^j\wedge dy^I

由拉回的线性性、对函数乘法和楔积的保持得到

F∗(dω)=∑I,j(F∗∂aI∂yj)F∗(dyj)∧F∗(dyI)=∑I,j(∂aI∂yj∘F)dFj∧dFI \begin{align*} F^*(d\omega) &= \sum_{I,j} \left(F^*\frac{\partial a_I}{\partial y^j}\right) F^*(dy^j)\wedge F^*(dy^I) \\ &= \sum_{I,j} \left(\frac{\partial a_I}{\partial y^j}\circ F\right) dF^j \wedge dF^I \end{align*}

故

F∗(dω)=d(F∗ω) F^*(d\omega)=d(F^*\omega)

内乘与拉回

内乘和拉回也是可交换的。设 F:M→NF:M\to N，向量场 X∈X(M)X\in\mathfrak X(M) 和 Y∈X(N)Y\in\mathfrak X(N) 若满足

F∗X=F∗Y F_*X=F^*Y

则有

F∗(ιYω)=ιX(F∗ω) F^*(\iota_Y\omega)= \iota_X(F^*\omega)

这同样可以由内乘和拉回的性质推导出来。由于内乘和拉回都是线性的，因此只需对微分形式的基，即 1-形式的连续楔积证明可交换即可。将其记为

ω=α1∧⋯∧αk \omega=\alpha_1\wedge\cdots\wedge\alpha_k

由内乘的分次莱布尼茨法则得到

ιY(ω)=∑j=1k(−1)j−1α1∧⋯∧(ιYαj)∧⋯∧αk \iota_Y(\omega) =\sum_{j=1}^k(-1)^{j-1} \alpha_1\wedge\cdots\wedge (\iota_Y\alpha_j) \wedge\cdots\wedge\alpha_k

两边取拉回，利用拉回保持楔积得到

F∗(ιYω)=∑j=1k(−1)j−1F∗α1∧⋯∧F∗(ιYαj)∧⋯∧F∗αk F^*(\iota_Y\omega) =\sum_{j=1}^k(-1)^{j-1} F^*\alpha_1\wedge\cdots\wedge F^*(\iota_Y\alpha_j) \wedge\cdots\wedge F^*\alpha_k

而 F∗(ιYαj)F^*(\iota_Y\alpha_j) 为

F∗(ιYαj)=F∗(αj(Y))=αj(Y)∘F=(αj∘Y)∘F F^*(\iota_Y\alpha_j) = F^*(\alpha_j(Y)) = \alpha_j(Y) \circ F = (\alpha_j \circ Y) \circ F

并且由余切映射是切映射的对偶得到

ιX(F∗αj)=(F∗αj)(X)=αj(F∗X)=αj(F∗Y)=αj(Y∘F)=αj∘(Y∘F) \begin{align*} \iota_X(F^*\alpha_j) &=(F^*\alpha_j)(X) \\ &=\alpha_j(F_*X) \\ &=\alpha_j(F^*Y) \\ &=\alpha_j(Y\circ F) \\ &= \alpha_j \circ (Y \circ F) \end{align*}

因此有

F∗(ιYαj)=ιX(F∗αj) F^*(\iota_Y\alpha_j)=\iota_X(F^*\alpha_j)

代入得到

F∗(ιYω)=∑j=1k(−1)j−1F∗α1∧⋯∧ιX(F∗αj)∧⋯∧F∗αk=ιX(F∗α1∧⋯∧F∗αk)=ιX(F∗ω) \begin{align*} F^*(\iota_Y\omega) &=\sum_{j=1}^k(-1)^{j-1} F^*\alpha_1\wedge\cdots\wedge\iota_X(F^*\alpha_j) \wedge\cdots\wedge F^*\alpha_k \\ &=\iota_X(F^*\alpha_1\wedge\cdots\wedge F^*\alpha_k) \\ &=\iota_X(F^*\omega) \end{align*}

故

F∗(ιYω)=ιX(F∗ω) F^*(\iota_Y\omega) = \iota_X(F^*\omega)

外微分与内乘

用内乘 ιX\iota_X 和外微分 dd 可以定义李导数，这也被称作嘉当公式

LX=dιX+ιXd \mathcal L_X=d\iota_X+\iota_Xd

即对任意微分形式 ω\omega，其李导数为

LXω=d(ιXω)+ιX(dω) \mathcal L_X\omega=d(\iota_X\omega)+\iota_X(d\omega)

在几何上，李导数描述微分形式沿向量场 XX 的流发生的变化。

由嘉当公式和外微分平方为零的性质，得到

dLX=d(dιX+ιXd)=dιXd=(dιX+ιXd)d=LXd \begin{align*} d\mathcal L_X &=d(d\iota_X+\iota_Xd) \\ &= d\iota_Xd \\ &=(d\iota_X+\iota_Xd)d \\ &=\mathcal L_Xd \end{align*}

即李导数和外微分是可交换的

dLX=LXd d\mathcal L_X = \mathcal L_Xd

体积形式

对于一个 nn 维光滑流形 MM，其上的体积形式定义为处处非零的 nn 次微分形式

ω∈Ωn(M)ωp≠0,∀p∈M \omega\in \Omega^n(M) \qquad \omega_p\neq 0,\forall p\in M

由于

dim⁡Λn(Tp∗M)=(nn)=1 \dim \Lambda^n(T_p^*M) = \binom{n}{n} = 1

因此取局部坐标图

(x1,⋯ ,xn):U→Rn (x^1,\cdots,x^n): U \to \mathbb{R}^n

任意 nn-形式都可写成

ω=f(x)dx1∧⋯∧dxn \omega=f(x)dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n

当且仅当 f(x)≠0f(x)\neq 0 在整个邻域 UU 上成立时，ω\omega 是一个体积形式。

Rn\mathbb{R}^n 上的标准体积形式为

dx1∧⋯∧dxn dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n

这也叫做欧氏体积。

体积形式诱导的定向

流形的定向可以通过体积形式诱导出来。

对于一个 nn 维光滑流形 MM，其上存在体积形式，等价于 MM 可定向。对于体积形式 ω\omega，规定切空间 TpMT_pM 的一组有序基 (v1,⋯ ,vn)(v_1,\cdots,v_n) 为正定向，当且仅当

ωp(v1,⋯ ,vn)>0 \omega_p(v_1,\cdots,v_n)>0

反之，则称其为负定向基

ωp(v1,⋯ ,vn)<0 \omega_p(v_1,\cdots,v_n)<0

因为 ω\omega 是光滑且处处非零的，所以对任意局部光滑的向量场 X1,⋯ ,XnX_1,\cdots,X_n，连续内乘得到的函数是连续且处处非零的

f=ιXn⋯ιX1ω=ω(X1,⋯ ,Xn) f=\iota_{X_n}\cdots\iota_{X_1}\omega =\omega(X_1,\cdots,X_n)

即

f(p)≠0∀p∈U f(p)\neq 0 \qquad \forall p\in U

因此 ff 在每个连通的局部坐标邻域 UU 上符号恒定。这保证了各点切空间的定向是局部一致的，从而定义了整个流形 MM 的定向。

如果两个体积形式 ω,η\omega,\eta 诱导相同的定向，当且仅当存在光滑正函数 f:M→(0,∞)f:M\to(0,\infty)，使得

η=fω \eta=f\omega

对体积形式的积分

设 MM 是一个可定向的 nn 维光滑流形，取邻域 U∈MU\in M 的局部坐标映射为

φ:U⟶V⊂Rn \varphi:U\longrightarrow V\subset\mathbb R^n

在这个坐标系下的体积形式记为

ω=f(x)dx1∧⋯∧dxn \omega=f(x)dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n

定义在坐标图 (U,φ)(U,\varphi) 上对体积形式的积分为

∫Uω=∫φ(U)f(x1,⋯ ,xn)dx1⋯dxn \int_U\omega= \int_{\varphi(U)} f(x^1,\cdots,x^n)dx^1\cdots dx^n

这里的 dx1⋯dxndx^1\cdots dx^n 就是普通微积分中的体积元，或者说勒贝格测度。在确定了 Rn\mathbb{R}^n 的标准定向之后，Rn\mathbb{R}^n 上的标准体积形式 dx1∧⋯∧dxndx^1\wedge\cdots\wedge dx^n 就等价于普通微积分中的体积元 dx1⋯dxndx^1\cdots dx^n。

对体积形式的积分要求坐标图与流形的定向相容，并且对微分形式的积分与定向相容的坐标选择无关。假设有两组定向相容的局部坐标 x=(x1,…,xn)x=(x^1,\ldots,x^n) 和 y=(y1,…,yn)y=(y^1,\ldots,y^n)，根据微分形式的坐标变换法则有

dx1∧⋯∧dxn=det⁡(∂x∂y)dy1∧⋯∧dyn dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n= \det\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right) dy^1\wedge\cdots\wedge dy^n

因此

ω=f(x(y))det⁡(∂x∂y)dy1∧⋯∧dyn \omega= f(x(y)) \det\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right) dy^1\wedge\cdots\wedge dy^n

由于两组坐标与定向相容，故雅可比矩阵行列式为正。这与多重积分的换元公式是一致的

∫f(x)dx1⋯dxn=∫f(x(y))∣det⁡∂x∂y∣dy1⋯dyn \int f(x)dx^1\cdots dx^n= \int f(x(y)) \left|\det\frac{\partial x}{\partial y}\right|dy^1\cdots dy^n

对微分形式的积分

对微分形式的积分也叫第二类积分，把微分形式映射到一个实数

∫ϕ:Ωk(M)→R \int_\phi: \Omega^k(M) \to \mathbb{R}

设 SS 是 MM 中的一个可定向的 kk 维光滑子流形，且存在与定向相容的局部参数化映射

ϕ:U⊂Rk⟶S \phi:U\subset\mathbb R^k\longrightarrow S

其中 UU 取标准定向，参数坐标为

(u1,⋯ ,uk) (u^1,\cdots,u^k)

定义 ω\omega 沿 ϕ\phi 的积分为

∫ϕω=∫Uϕ∗ω \int_\phi \omega = \int_U \phi^*\omega

也可以记为在子流形 SS 上对 ω\omega 进行积分

∫Sω=∫Uϕ∗ω \int_S \omega = \int_U \phi^*\omega

由于在 U⊂RkU\subset\mathbb R^k 上每个 kk 次微分形式都可以唯一写成

φ∗ω=f(u1,⋯ ,uk)du1∧⋯∧duk \varphi^*\omega=f(u^1,\cdots,u^k) du^1 \wedge \cdots \wedge du^k

所以有

∫Uϕ∗ω=∫Uf(u1,⋯ ,uk)du1⋯duk \int_U \phi^*\omega = \int_U f(u^1,\cdots,u^k)du^1\cdots du^k

因此，对微分形式的积分，就是把微分形式通过参数化拉回到欧氏空间，然后进行普通的多重积分。

对微分形式的积分也可以用内乘进行定义。由 ϕ\phi 可以诱导出 kk 个切向量

Xi=∂ϕ∂ui X_i = \frac{\partial \phi}{\partial u^i}

定义对微分形式的积分为

∫ϕω=∫U(ιXk⋯ιX1ω)ϕ(u)du1⋯duk \int_\phi \omega = \int_U (\iota_{X_k}\cdots\iota_{X_1}\omega)_{\phi(u)} du^1\cdots du^k

其中 ιXk⋯ιX1ω\iota_{X_k}\cdots\iota_{X_1}\omega 表示对 ω\omega 进行连续内乘

ιXk⋯ιX1ω=ω(X1,⋯ ,Xk) \iota_{X_k}\cdots\iota_{X_1}\omega =\omega(X_1,\cdots,X_k)

于是有

∫ϕω=∫Uωϕ(u)(∂ϕ∂u1,…,∂ϕ∂uk)du1⋯duk \int_\phi \omega = \int_U \omega_{\phi(u)} \left( \frac{\partial\phi}{\partial u^1}, \dots, \frac{\partial\phi}{\partial u^k} \right) du^1\cdots du^k

因此，对微分形式的积分，就是把微分形式通过不断内乘变为函数，然后进行普通的多重积分。

1-形式的积分

设光滑 nn 维流形 MM 上的 11-形式为 ω∈Ω1(M)\omega\in\Omega^1(M)。取一条参数曲线 γ\gamma，其由分段光滑的局部参数化映射组成

γ:[a,b]⊂R⟶M \gamma:[a,b] \subset \mathbb{R}\longrightarrow M

γ\gamma 诱导的拉回把 ω\omega 拉回到参数区间 [a,b][a,b] 上

γ∗ω∈Ω1([a,b]) \gamma^*\omega\in\Omega^1([a,b])

定义 11-形式 ω\omega 沿曲线 γ\gamma 的积分为

∫γω=∫abγ∗ω \int_\gamma\omega =\int_a^b\gamma^*\omega

取局部坐标系 (U,x1,⋯ ,xn)(U,x^1,\cdots,x^n)，则 1-形式可表示为

ω=∑i=1nfi(x)dxi \omega=\sum_{i=1}^n f_i(x)dx^i

设曲线 γ\gamma 的像包含于 UU，其坐标表示为

γ(t)=(x1(t),⋯ ,xn(t)) \gamma(t)=(x^1(t),\cdots,x^n(t))

从而有

γ∗ω=∑i=1nfi(γ(t))dxi=∑i=1nfi(γ(t))dxidtdt \gamma^*\omega =\sum_{i=1}^n f_i(\gamma(t))\mathrm{d}x^i =\sum_{i=1}^n f_i(\gamma(t))\frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}t} \mathrm{d} t

得到

∫γω=∫ab∑infi(γ(t))dxidtdt \int_\gamma\omega= \int_a^b \sum_i^n f_i(\gamma(t)) \frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}t} \mathrm{d} t

当流形是欧氏空间 Rn\mathbb{R}^n 时，这就是经典的曲线积分。

k-形式的积分

取 MM 的局部坐标 (x1,⋯ ,xn)(x^1,\cdots,x^n)，记其中的 kk 次微分形式为

ω=∑I∈IkaI(x)dxI \omega= \sum_{I \in \mathcal{I}_k} a_I(x) dx^I

取 SS 的局部坐标 (t1,⋯ ,tk)(t^1,\cdots, t^k)，参数化映射为

φ(t)=(x1(t),⋯ ,xn(t)) \varphi(t)= \bigl(x^1(t),\cdots,x^n(t)\bigr)

代入 kk-形式拉回的坐标表示

φ∗ω=∑I∈IkaI(φ(t))∂(xi1,⋯ ,xik)∂(t1,⋯ ,tk)dt1∧⋯∧dtk \varphi^*\omega= \sum_{I \in \mathcal{I}_k} a_I(\varphi(t)) \frac{\partial(x^{i_1},\cdots,x^{i_k})} {\partial(t^1,\cdots,t^k)} dt^1\wedge\cdots\wedge dt^k

最终得到对微分形式积分的坐标表示

∫φω=∫U∑I∈IkaI(φ(t))∂(xi1,⋯ ,xik)∂(t1,⋯ ,tk)dt1⋯dtk \int_\varphi\omega =\int_U \sum_{I \in \mathcal{I}_k} a_{I}(\varphi(t)) \frac{\partial(x^{i_1},\cdots,x^{i_k})} {\partial(t^1,\cdots,t^k)} dt^1\cdots dt^k

其中定义 Rk\mathbb{R}^k 上对标准定向的体积形式的积分为

∫Udt1∧⋯∧dtk=∫Udt1⋯dtk \int_U dt^1\wedge\cdots\wedge dt^k= \int_U dt^1\cdots dt^k

注意到，参数化映射诱导了 kk 个向量场

∂φ∂t1,⋯ ,∂φ∂tk \frac{\partial\varphi}{\partial t^1}, \cdots, \frac{\partial\varphi}{\partial t^k}

根据拉回的定义

φ∗ω(∂∂t1,⋯ ,∂∂tk)=ωφ(t)(∂φ∂t1,⋯ ,∂φ∂tk) \varphi^*\omega \left( \frac{\partial}{\partial t^1}, \cdots, \frac{\partial}{\partial t^k} \right)= \omega_{\varphi(t)} \left( \frac{\partial\varphi}{\partial t^1}, \cdots, \frac{\partial\varphi}{\partial t^k} \right)

因此得到等价公式

∫φω=∫Uωφ(t)(∂φ∂t1,…,∂φ∂tk)dt1⋯dtk \int_\varphi\omega= \int_U \omega_{\varphi(t)} \left( \frac{\partial\varphi}{\partial t^1}, \ldots, \frac{\partial\varphi}{\partial t^k} \right) dt^1\cdots dt^k

这可以理解为用 kk 个向量场进行内乘

∫φω=∫U(ιXk⋯ιX1ω)φ(u)dt1⋯dtk \int_\varphi \omega = \int_U (\iota_{X_k}\cdots\iota_{X_1}\omega)_{\varphi(u)} dt^1\cdots dt^k

其中

Xi=∂φ∂ti X_i = \frac{\partial \varphi}{\partial t^i}

微分形式积分的性质

对微分形式的积分满足线性性。若 ω,η\omega,\eta 都是可以在 MM 上积分的 kk 次微分形式，则

∫M(aω+bη)=a∫Mω+b∫Mη \int_M(a\omega+b\eta) =a\int_M\omega+b\int_M\eta

对微分形式的积分满足区域可加性。若 M=M1∪M2M=M_1\cup M_2，两个区域内部不相交，且定向相容，则

∫Mω=∫M1ω+∫M2ω \int_M\omega =\int_{M_1}\omega+\int_{M_2}\omega

微分形式的积分依赖于流形的定向。若 −M-M 表示将流形 MM 的定向反转，则

∫−Mω=−∫Mω \int_{-M}\omega=-\int_M\omega

微分形式的积分满足坐标变换不变性。设流形间的光滑映射为 F:N⟶MF:N\longrightarrow M，若 FF 保持定向，则

∫Mω=∫NF∗ω \int_M\omega=\int_NF^*\omega

若 FF 反转定向，则

∫NF∗ω=−∫Mω \int_NF^*\omega=-\int_M\omega

微分形式满足支集局部性。若微分形式 ω\omega 在区域 MM 上恒为零，则

∫Mω=0 \int_M\omega=0

此前我们用拉回和内乘表示对微分形式的积分。事实上，对微分形式的积分还可以用外微分表示——这就是广义斯托克斯定理。设 MM 是一个紧致可定向的 nn 维光滑流形，ω\omega 是定义在 MM 上的光滑 (n−1)(n-1) 次微分形式。则广义斯托克斯理指出

∫Mdω=∫∂Mω \int_M d\omega=\int_{\partial M}\omega

其中 dωd\omega 是 ω\omega 的外微分，∂M\partial M 是 MM 的边界。

广义斯托克斯定理的详细推导，以及其如何统一微积分中的经典定理，我们将在下一部分介绍。