从欧氏空间到流形

在前一篇笔记《点上的线性代数》里，我们讨论的空间始终和欧氏空间有关。比如

  • 向量空间 Rn\mathbb{R}^n
  • 余向量空间 (Rn)∗(\mathbb{R}^n)^*
  • 张量空间 Tsr(R)T^r_s(\mathbb{R})
  • 外幂空间 Λs((Rn)∗)\Lambda^s\bigl((\mathbb{R}^n)^*\bigr)

欧氏空间是平坦的，但我们研究的通常不是空间，而是空间中的对象。比如 R2\mathbb{R}^2 中的一条曲线

(t,t2)t∈R \bigl(t,t^2\bigr) \qquad t \in \mathbb{R}

在 R2\mathbb{R}^2 中看这条线，显然线是弯曲的。但如果把这条线本身当成一个空间 CC，那么站在线中的一点上，我们会发现 CC 仍然是平坦的。CC 中的点只能沿着 CC 运动，要么往前要么往后。因此在 CC 中的点看来，这条曲线和直线没有区别。也就是说，这条曲线在局部可以看作一个一维空间 R\mathbb{R} 。

流形研究的就是这种在局部看起来像 Rn\mathbb{R}^n 的空间。

流形

拓扑流形

一个 nn 维拓扑流形 MM 是一个局部像 Rn\mathbb{R}^n 的空间。更正式地说，对任意 p∈Mp\in M，存在一个开邻域 UU 和一个同胚映射 φ\varphi，该同胚映射把 UU 中的点变成开子集 V⊂RnV\subset\mathbb R^n 中的点

φ:U⊂M→V⊂Rn \varphi: U\subset M \to V\subset\mathbb{R}^n

同胚映射 φ\varphi 要求是一个双射，并且同胚映射 φ\varphi 和其逆映射 φ\varphi 都是连续的。

同胚在拓扑学里指的是两个空间在拓扑意义下具有相同的形状。因此，nn 维拓扑流形就是一个在拓扑角度可以把局部视为 Rn\mathbb{R}^n 的空间。特别地，Rn\mathbb{R}^n 本身可以看作一个 nn 维流形。

把 (U,φ)(U, \varphi) 称为拓扑流形 MM 上的一个坐标图。由于同胚映射 φ\varphi 把流形中的小区域 U⊂MU\subset M 映射到欧氏空间 V⊂RnV\subset\mathbb{R}^n 中，而欧氏空间中的点有很自然的坐标 (v1,v2,⋯ ,vn)(v^1, v^2, \cdots, v^n)。因此我们用同胚映射在拓扑流形上建立局部坐标。

我们可以将同胚映射 φ\varphi 视为一组局部坐标函数 xix^i，每个坐标函数都把点映射到一个实数

φ=(x1,x2,⋯ ,xn)xi:U→R \varphi = \bigl( x^1, x^2, \cdots, x^n \bigr) \qquad x^i:U\to \mathbb R

点 pp 在坐标图下的局部坐标，就由这一组实数组成

φ(p)=(x1(p),x2(p),⋯ ,xn(p))p∈U \varphi(p) = \bigl(x^1(p),x^2(p),\cdots,x^n(p)\bigr) \qquad p\in U

由于 φ\varphi 是双射且可逆，因此，其逆映射 φ−1:V→U\varphi^{-1}: V \to U 可以把 V⊂RnV\subset\mathbb{R}^n 中的坐标映射到 U⊂MU\subset M 中的点

φ−1(v)=pv=(v1,v2,⋯ ,vn)∈V \varphi^{-1}(v) = p \qquad v = (v^1, v^2, \cdots, v^n) \in V

光滑流形

如果流形 MM 上有两个坐标图 (U,φ),(V,ψ)(U,\varphi), (V,\psi)，且重叠区域不为空集

U∩V≠∅ U\cap V\neq \varnothing

那么在重叠区域 U∩VU\cap V 中，同一个点可以有两套坐标

x=φ(p)y=ψ(p) x=\varphi(p) \qquad y=\psi(p)

从 xx 坐标变成 yy 坐标，需要经过两次映射

x→φ−1p→ψy x \xrightarrow{\varphi^{-1}} p \xrightarrow{\psi} y

二者的复合就是坐标变换映射

ψ∘φ−1:φ(U∩V)→ψ(U∩V) \psi\circ\varphi^{-1}: \varphi(U\cap V) \to \psi(U\cap V)

设 { (Uα,φα) }\set{(U_\alpha,\varphi_\alpha)} 是一族坐标图，其中的开集覆盖整个流形

M=⋃αUα M=\bigcup_\alpha U_\alpha

如果任意两个坐标图 (Uα,φα),(Uβ,φβ)(U_\alpha,\varphi_\alpha),(U_\beta,\varphi_\beta) 在重叠区域 Uα∩Uβ≠∅U_\alpha \cap U_\beta\neq \varnothing 上的坐标变换映射都是 C∞C^\infty 光滑映射

φβ∘φα−1:φα(Uα∩Uβ)→φβ(Uα∩Uβ) \varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}: \varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta) \to \varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)

那么这些坐标图组成一个光滑图册。

光滑流形就是具有这种光滑结构的拓扑流形。这种光滑结构也可以叫做微分结构，因此光滑流形有时也被称为微分流形。

子流形

嵌入

设 M,NM,N 是光滑流形，如果存在一个光滑映射 FF，该映射能够把 MM 以保持其光滑结构和拓扑结构且不产生自交的方式放入 NN 中

F:M→N F:M\to N

那么就称 FF 是一个嵌入，F(M)⊂NF(M)\subset N 是嵌入子流形（简称子流形），NN 是 F(M)F(M) 的环境流形。

包含

包含映射 ii 是一种嵌入，可以理解成在环境流形空间中看子流形中的同一个点。如果 MM 是环境流形 NN 中的一个子流形，那么包含映射 ii 把 MM 中的一个点视为 NN 中的同一个点

i(p)=pi:M↪N i(p)=p \qquad i: M \hookrightarrow N

由于这种包含非常自然，所以也可以简记为

M⊂N M \subset N

比如，我们可以把单位圆 S1S^1 画在平面 R2\mathbb{R}^2 上，这就得到了一个把 S1S^1 放进 R2\mathbb{R}^2 的包含

i:S1↪R2 i: S^1 \hookrightarrow \mathbb{R}^2

可以记为 i(S1)⊂R2i(S^1) \subset \mathbb{R}^2 或者 S1⊂R2S^1\subset \mathbb{R}^2。

S1S^1 是一个一维流形，而 ii 把这个一维流形中的每个点映射到 R2\mathbb{R}^2 中的同一个点。此时称 i(S1)i(S^1) 是 R2\mathbb{R}^2 的子流形，R2\mathbb{R}^2 是 i(S1)i(S^1) 的环境流形。或者直接说 S1S^1 是 R2\mathbb{R}^2 的子流形。

同理，平面曲线是 R2\mathbb{R}^2 的一维流形，空间曲线是 R3\mathbb{R}^3 的一维流形，空间曲面是 R3\mathbb{R}^3 的二维流形。

拉回

拉回就是把作用在环境流形上的函数限制在子流形上。

包含映射诱导了一个拉回，其定义为

i∗f=f∘i i^*f = f \circ i

即先把子流形上的点视为环境流形中的点，然后再输入给函数。

比如，对于函数 f:R2→Rf:\mathbb R^2\to\mathbb R，包含 i:S1↪R2i: S^1 \hookrightarrow \mathbb{R}^2 诱导的拉回将其限制在流形上

i∗f:S1→R2 i^* f: S^1 \to \mathbb{R}^2

由于包含得到的其实是同一个点 i(p)=pi(p)=p，所以函只是定义域被限制了，行为并没有被改变

i∗f(p)=f(p)p∈S1 i^* f(p) = f(p) \qquad p \in S^1

这种拉回也非常自然，可以简记为

f∣S1 f|_{S^1}

流形的表示

流形的参数式表示

流形的参数式表示，是一个局部参数化映射和包含映射的复合。

设 nn 维光滑流形 MM 中的一个坐标图为 (U,φ)(U, \varphi)，其中 φ:U⊂M→V⊂Rn\varphi: U\subset M \to V\subset\mathbb{R}^n 给出了一个局部坐标映射，把 UU 中的点变成 V∈RnV\in \mathbb{R}^n 中的坐标

φ(p)=(v1,v2,⋯ ,vn) \varphi(p) = (v^1,v^2,\cdots,v^n)

局部参数化映射 φ−1:V⊂Rn→U⊂M\varphi^{-1}: V\subset\mathbb{R}^n \to U\subset M 是局部坐标映射的逆映射，用 V∈RnV\in \mathbb{R}^n 中的坐标表示 UU 中的点

φ−1(v1,v2,⋯ ,vn)=p \varphi^{-1}(v^1,v^2,\cdots,v^n)= p

然后再用包含映射，把流形 MM 中的点视为环境流形 RN\mathbb{R}^N 上的点

i:M↪RN i: M \hookrightarrow \mathbb{R}^N

流形的参数式表示是二者的复合

V⊂Rn→φ−1U⊂M→iRN V\subset\mathbb R^n \xrightarrow{\varphi^{-1}} U\subset M \xrightarrow{i} \mathbb R^N

可以写为

X=i∘φ−1:V⊂Rn→RN X=i\circ\varphi^{-1}:V \subset \mathbb{R}^n\to\mathbb R^N

比如嵌入 R3\mathbb{R}^3 的单位球面 S2S^2 是一个二维流形，因此可以用 R2\mathbb{R}^2 中的 (θ,ϕ)(\theta, \phi) 坐标表示球面上的点。而球面上的点又可以看成 R3\mathbb{R}^3 中的点，从而写为 (x,y,z)(x,y,z)。因此，单位球面的参数式表示可以写为

X(θ,ϕ)=(sin⁡θcos⁡ϕ,sin⁡θsin⁡ϕ,cos⁡θ) X(\theta,\phi)=( \sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta )

单从公式上看，这就是用 R2\mathbb{R}^2 中的坐标表示 R3\mathbb{R}^3 中的点。局部参数化映射和包含映射这两个映射都和流形有关，但二者复合后的表达式里却看不出流形本身了。

参数式表示可以很自然地表示流形。平面曲线可以表示为 U⊂R→R2U \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 映射

X(t)=(x(t),y(t))t∈U X(t) = \bigl(x(t),y(t)\bigr) \qquad t \in U

空间曲面可以表示为 U⊂R2→R3U \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 映射

X(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))(u,v)∈U X(u,v) = \bigl( x(u,v),y(u,v),z(u,v) \bigr) \qquad (u,v) \in U

空间曲线可以表示为 U⊂R→R3U \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3 映射

X(t)=(x(t),y(t),z(t))t∈U X(t) = \bigl( x(t),y(t),z(t) \bigr) \qquad t \in U

更一般地，一个 U⊂Rn→RNU \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^N 映射可以表示为

X(u)=(X1(u),X2(u),⋯ ,XN(u))u=(u1,u2,⋯ ,un)∈U X(u) = \bigl(X_1(u), X_2(u), \cdots, X_N(u)\bigr) \qquad u = (u^1, u^2, \cdots, u^n)\in U

流形的显式表示

流形的显式表示可以看成参数式表示的一种特殊情况。

比如空间曲面可以表示为显式函数

z=f(x,y) z = f(x, y)

对应的参数式表示就是

X(x,y)=(x,y,f(x,y)) X(x, y) = \bigl( x, y, f(x,y) \bigr)

更一般地，对于 Rk→Rn−k\mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^{n-k} 显式函数

(uk+1,uk+2⋯ ,un)=f(u1,u2,⋯ ,uk) (u^{k+1}, u^{k+2} \cdots, u^n) = f(u^1, u^2, \cdots, u^k)

其参数式表示为

X(u)=(u,f(u))u=(u1,u2,⋯ ,uk)∈Rk X(u) = \bigl(u, f(u)\bigr) \qquad u = (u^1, u^2, \cdots, u^k) \in \mathbb{R}^k

流形的隐式表示

流形的隐式表示，就是把流形写成方程组的解集。

设环境流形为 Rn\mathbb{R}^n，取一个函数 FF 作为光滑映射

F:Rn→Rn−k F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n-k}

令映射的结果为 cc，得到一个方程或方程组，或者说隐函数

F(x)=c F(x) = c

将其解集表示为

M={ x∈Rn∣F(x)=c } M = \Set{ x\in\mathbb R^n \mid F(x)=c }

如果方程是正则的，那么 MM 是一个光滑流形，且维度为

dim⁡M=k \dim M=k

并且，此时在局部可以得到一个用 kk 个坐标表示另外 n−kn-k 个坐标的 Rk→Rn−k\mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^{n-k} 显函数。经过适当的坐标重排后，可以记为

f(u1,u2,⋯ ,uk)=(uk+1,uk+2⋯ ,un) f(u^1, u^2, \cdots, u^k) = (u^{k+1}, u^{k+2} \cdots, u^n)

这个显函数可以进一步变成流形局部的参数式表示

X(u)=(u,f(u))u=(u1,u2,⋯ ,uk)∈Rk X(u) = \bigl(u, f(u)\bigr) \qquad u = (u^1, u^2, \cdots, u^k) \in \mathbb{R}^k

不过，这种局部参数式表示不一定能用到整个流形上。

比如 R3\mathbb{R}^3 中的单位球面 S2S^2 可以表示为

S2={ (x,y,z)∈R3∣x2+y2+z2=1 } S^2 = \Set{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 = 1}

其中的方程为

F(x,y,z)=1 F(x,y,z) = 1

函数则是

F(x,y,z)=x2+y2+z2F:R3→R F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 \qquad F: \mathbb{R^3} \to \mathbb{R}

S2S^2 的维度为

dim⁡S2=3−1=2 \dim S^2 = 3-1 = 2

上半球可以表示为显函数

z=f+(x,y)=1−x2−y2 z = f_+(x,y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}

下半球面则表示为另一个显函数

z=f−(x,y)=−1−x2−y2 z = f_-(x,y) = -\sqrt{1 - x^2 - y^2}

切空间

切空间的几何定义

从几何的角度，切向就是流形上一点可以沿着流形运动的方向，切向量则是在选定方向的基础上再指定长度，可以理解为流形上一点的速度。

切向并不唯一。在一维流形上，一个点可以往前运动或者往后运动。而在更高维的流形上，一个点有更多可以运动的方向。长度也不唯一。选定方向后，点可以运动地比较快，也可以运动地比较慢。因此，流形上一点的切向量构成了一个线性空间，称为切空间。

记流形 MM 在点 pp 上的切空间为 TpMT_pM。由于切空间 TpMT_pM 是一个线性空间，因此如果其维数为 nn

dim⁡TpM=n \dim T_pM = n

那么可以在 TpMT_pM 中指定 nn 个基向量 { e1,⋯ ,en }\set{e_1, \cdots, e_n}，其线性组合可以表示切空间中的所有向量

span⁡{ e1,⋯ ,en }=TpM \operatorname{span} \set{e_1, \cdots, e_n} = T_pM

如果把欧氏空间 Rn\mathbb{R}^n 看作一个流形，那么其切空间 TpRnT_p\mathbb{R}^n 和自身同构

TpRn≅Rn T_p\mathbb{R}^n \cong \mathbb{R}^n

因此，对于不同点 p,q∈Rnp,q\in\mathbb R^n，可以自然地将 (ei)p(e_i)_p 和 (ei)q(e_i)_q 视为为同一个标准基向量 eie_i。但对于一般的流形，通常不存在这种全局的基向量，所以在每个点都存在由局部切空间基建立的局部坐标系。

切空间的分析定义

现用分析中的 ε−δ\varepsilon-\delta 语言定义流形上的切空间。

分析中的切向量

取流形 MM 中一条经过点 pp 的光滑曲线，这条曲线上的点可以用开区间 (−ε,ε)(-\varepsilon,\varepsilon) 中的值作为坐标，且 00 就对应点 pp

γ:(−ε,ε)→Mγ(0)=p \gamma:(-\varepsilon,\varepsilon)\to M \qquad \gamma(0)=p

取 pp 附近的一个坐标图

(U,φ)φ:U→Rn (U,\varphi) \qquad \varphi:U\to \mathbb R^n

如果 t∈(−δ,δ)⊂(−ε,ε)t\in(-\delta,\delta)\subset(-\varepsilon,\varepsilon) 时 γ(t)∈U\gamma(t)\in U，那么二者的复合在参数区间 (−δ,δ)(-\delta,\delta) 内就是一条普通的欧氏空间曲线

φ∘γ:(−δ,δ)→Rn \varphi\circ\gamma:(-\delta,\delta)\to \mathbb R^n

可以在 t=0t=0 处对这条欧氏空间曲线求导

(φ∘γ)′(0)∈Rn (\varphi\circ\gamma)'(0)\in\mathbb R^n

得到的结果是一个欧氏空间中的向量，描述了曲线 γ\gamma 经过 pp 时的瞬时速度。这就是点 pp 上的切向量在坐标图 (U,φ)(U, \varphi) 下的坐标。

设 φ\varphi 由局部坐标函数组成

φ=(x1,⋯ ,xn) \varphi=(x^1,\cdots,x^n)

那么二者复合得到

φ∘γ=(x1∘γ,⋯ ,xn∘γ) \varphi\circ\gamma = \bigl( x^1\circ\gamma,\cdots,x^n\circ\gamma \bigr)

求导后得到

(φ∘γ)′(t)=(ddtx1(γ(t)),⋯ ,ddtxn(γ(t))) (\varphi\circ\gamma)'(t) = \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}x^1\bigl( \gamma(t)\bigr ), \cdots, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}x^n\bigl( \gamma(t)\bigr ) \right)

设切向量的坐标为

(φ∘γ)′(0)=(v1,⋯ ,vn) (\varphi\circ\gamma)'(0)=(v^1,\cdots,v^n)

从而每个坐标等于

ddt∣0xi(γ(t))=vi \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \right|_0 x^i\bigl( \gamma(t)\bigr ) = v^i

分析中的切空间

记所有经过 pp 的光滑曲线为

Cp={ γ:(−ε,ε)→M∣γ(0)=p } \mathcal C_p = \Set{ \gamma:(-\varepsilon,\varepsilon)\to M \mid \gamma(0)=p }

对两条曲线 γ1,γ2\gamma_1,\gamma_2，当且仅当在某个包含 pp 的坐标图 (U,φ)(U,\varphi) 中满足

(φ∘γ1)′(0)=(φ∘γ2)′(0) (\varphi\circ\gamma_1)'(0)=(\varphi\circ\gamma_2)'(0)

则认为两条曲线等价

γ1∼γ2 \gamma_1\sim\gamma_2

定义一个切向量为曲线的一个等价类

v=[γ] v = [\gamma]

切空间为所有等价类组成的集合，或者写为商集

TpM=Cp/∼={ [γ]∣γ∈Cp } T_pM=\mathcal C_p/\sim = \Set{ [\gamma] \mid \gamma\in\mathcal C_p }

等价的定义与具体的坐标图无关。假设 pp 还落在另一个坐标图 (V,ψ)(V,\psi) 里，则 ψ∘γ\psi\circ\gamma 可以表示为

ψ∘γ=(ψ∘φ−1)∘(φ∘γ) \psi\circ\gamma = (\psi\circ\varphi^{-1})\circ(\varphi\circ\gamma)

用 DfDf 表示 ff 的导数，用下标 DftDf_t 表示导数在 tt 处的值，从而由链式法则得到

D(ψ∘γ)0=D(ψ∘φ−1)φ(p)D(φ∘γ)0 D(\psi\circ\gamma)_0 = D(\psi\circ\varphi^{-1})_{\varphi(p)} D(\varphi\circ\gamma)_0

其中 D(φ∘γ)0D(\varphi\circ\gamma)_0 是坐标图 (U,φ)(U,\varphi) 下的坐标，D(ψ∘γ)0D(\psi\circ\gamma)_0 是坐标图 (V,ψ)(V,\psi) 下的坐标。由于 D(ψ∘φ−1)φ(p)D(\psi\circ\varphi^{-1})_{\varphi(p)} 的值与曲线无关，因此其对任意曲线都相同，是一个用于转换坐标的雅可比矩阵。

同时这也意味着，同一个切向量在不同坐标之间的变换是线性的。D(ψ∘φ−1)φ(p)D(\psi\circ\varphi^{-1})_{\varphi(p)} 就是用于线性变换的雅可比矩阵。

取一个切空间中的切向量

v=[γ]∈TpM v=[\gamma]\in T_pM

设 φ\varphi 包含一组局部坐标函数

φ=(x1,⋯ ,xn) \varphi=(x^1,\cdots,x^n)

在坐标图 (U,φ)(U, \varphi) 下，切向量的坐标为

(φ∘γ)′(0)=(v1,⋯ ,vn) (\varphi\circ\gamma)'(0)=(v^1,\cdots,v^n)

每个坐标用链式法则展开

vi=ddt∣0xi(γ(t))=Dxpi(Dγ0) v^i =\left.\frac{d}{dt}\right|_0 x^i(\gamma(t)) =D x^i_p\bigl(D\gamma_0\bigr)

因此这个坐标是由局部坐标函数 xix^i 在 pp 点的导数 DxpiD x^i_p 诱导出来的。更准确地说，是局部坐标系诱导出一组切空间的基向量。把 xix^i 诱导出的基记作

∂i=∂∂xi∣p \partial_i = \left. \frac{\partial}{\partial x^i} \right\vert_p

从而切向量可以记为

v=v1∂1+⋯+vn∂n v = v^1\partial_1 + \cdots + v^n\partial_n

切空间的代数定义

现在用一种代数的方法来定义流形上的切空间。

代数中的切向量

设 MM 是一个光滑流形，把 MM 上的点映射到实数的光滑函数记为

f∈C∞(M,R) f \in C^\infty(M, \mathbb{R})

定义 pp 点的导子 DpD_p 是一个把这些光滑函数映射到实数的线性映射

Dp:C∞(M,R)→R D_p :C^\infty(M, \mathbb{R})\to \mathbb R

导子需要满足莱布尼茨法则

Dp(fg)=f(p)Dp(g)+g(p)Dp(f) D_p(fg)=f(p)D_p(g)+g(p)D_p(f)

莱布尼茨法则里出现了函数相乘，这可以定义为

(fg)(q)=f(q)g(q)q∈M (fg)(q)=f(q)g(q) \qquad q\in M

点 p∈Mp\in M 上的切向量就是 pp 点的一个导子 DpD_p，可以将 Dp(f)D_p(f) 理解为函数 ff 在 pp 点沿着导子所定义的切向的导数。

进一步地，我们实际上不关心函数在远离 pp 处的行为，所以可以将在 pp 处局部行为相同的函数视为同一个函数。把在点 pp 处的开邻域 UU 上与 ff 相同的一类光滑函数称为光滑函数芽，记作

[f]p:U→R [f]_p: U \to \mathbb{R}

点 p∈Up\in U 处的所有光滑函数芽表示为

Cp∞(U,R)={ [f]p∣f∈C∞(U,R) } C^\infty_p(U, \mathbb{R}) =\Set{ [f]_p \mid f \in C^\infty(U, \mathbb{R}) }

因此更准确地说，点 p∈Up\in U 上的切向量是一个把光滑函数芽映射到实数的线性映射

Dp:Cp∞(U,R)→R D_p:C^\infty_p(U, \mathbb{R})\to \mathbb R

这种映射作用在函数上，被作用的函数只考虑 UU 这一开邻域上的定义。

代数中的切空间

流形上的一个切向量对应于一个导子，因此点 pp 上的切空间就是点 pp 上所有导子组成的向量空间

TpM=Der⁡p(Cp∞(U,R)) T_pM = \operatorname{Der}_p(C^\infty_p(U, \mathbb{R}))

取坐标图 (U,φ)(U, \varphi)，设 φ\varphi 包含一组局部坐标函数

φ=(x1,x2,⋯ ,xn) \varphi = (x^1, x^2, \cdots, x^n)

则可以用偏导数定义 nn 个导子

∂∂xi∣p(f)=∂(f∘φ−1)∂xi∣φ(p) \left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right\vert_p(f) =\left. \frac{\partial (f\circ \varphi^{-1})}{\partial x^i} \right|_{\varphi(p)}

显然这些导子满足线性和莱布尼茨法则，并且线性无关，从而

span⁡{ ∂∂x1∣p,⋯ ,∂∂xn∣p }=TpM \operatorname{span} \Set{ \left.\frac{\partial}{\partial x^1}\right\rvert_p, \cdots, \left.\frac{\partial}{\partial x^n}\right\rvert_p } = T_pM

把切向量，即导子展开为

v=∑ivi∂∂xi∣p v = \sum_i v^i\left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right\rvert_p

而 f∈Cp∞(U,R)f\in C^\infty_p(U,\mathbb R) 可以看成一个局部的多元函数

u=(u1,u2,⋯ ,un)∈Uf(u)∈R u = (u^1, u^2, \cdots, u^n) \in U \qquad f(u) \in \mathbb{R}

在 pp 附近，对 ff 做一阶展开

f(q)=f(p)+∑i∂f∂xi∣p(xi(q)−xi(p))+o(∥q−p∥) f(q)=f(p)+\sum_i \left. \frac{\partial f}{\partial x^i} \right\rvert_p \big(x^i(q)-x^i(p)\big) +o(\lVert q-p \rVert)

导子 vv 只看一阶量，因此忽略 o(∥q−p∥)o(\lVert q-p \rVert) 得到

v(f)=∑i∂f∂xi∣pv(xi) v(f)=\sum_i \left. \frac{\partial f}{\partial x^i} \right\rvert_pv(x^i)

其中 ff 在 pp 点的偏导数就是 pp 点的导子作用在 ff 上的结果

∂f∂xi∣p=∂∂xi∣p(f) \left. \frac{\partial f}{\partial x^i} \right\rvert_p =\left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right\rvert_p (f)

从而有

v(f)=∑ivi∂∂xi∣p(f) v(f)=\sum_i v^i \left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right\vert_p(f)

并且坐标 viv^i 等于导子作用在局部坐标函数上得到的值

v(f)=∑iv(xi)∂∂xi∣p(f) v(f)=\sum_i v(x^i) \left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right\vert_p(f)

这些 xix^i 诱导的导子是线性无关的。假设

∑iai∂∂xi∣p=0 \sum_i a^i \left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right\vert_p=0

然后让这个导子作用在另一个局部坐标函数 xjx^j 上

∑iai∂xj∂xi∣p=0 \sum_i a^i \left.\frac{\partial x^j}{\partial x^i}\right\vert_p=0

由于

∂xj∂xi=δij \frac{\partial x^j}{\partial x^i} =\delta_i^j

得到

∑iaiδij=aj=0 \sum_i a^i\delta_i^j=a^j=0

这对所有 jj 都成立

a1=⋯=an=0 a^1=\cdots=a^n=0

因此每个系数都为 00，从而证明了局部坐标函数诱导的导子线性无关，可以作为切空间的基。

切空间基的参数式表示

记平面曲线为 CC，其参数式表示为

X(t)=(x(t),y(t)) X(t) = \bigl(x(t), y(t)\bigr)

在 p=X(t(p))p = X(t(p)) 点上的切空间记作 TpCT_pC。这是一个一维空间，因此每组基只有一个向量。可以用 X(t)X(t) 在 pp 处的导数作为基

dXdt(t(p))=(x′(t(p)),y′(t(p))) \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}(t(p)) = (x'(t(p)),y'(t(p)))

记空间曲面为 SS，其参数式表示为

X(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) X(u,v) = \bigl(x(u,v), y(u,v), z(u,v) \bigr)

在 p=X(u(p),v(p))p = X(u(p),v(p)) 点上的切空间记作 TpST_pS。这是一个二维空间，因此有两个基。可以用 X(u,v)X(u,v) 在 pp 处对 u,vu,v 的两个偏导数作为基

∂X∂u(u(p),v(p))=(∂x∂u(u(p),v(p)),∂y∂u(u(p),v(p)),∂z∂u(u(p),v(p)))∂X∂v(u(p),v(p))=(∂x∂v(u(p),v(p)),∂y∂v(u(p),v(p)),∂z∂v(u(p),v(p))) \begin{align*} \frac{\partial X}{\partial u}(u(p),v(p)) &=\left( \frac{\partial x}{\partial u}(u(p),v(p)), \frac{\partial y}{\partial u}(u(p),v(p)), \frac{\partial z}{\partial u}(u(p),v(p)) \right) \\ \frac{\partial X}{\partial v}(u(p),v(p)) &=\left( \frac{\partial x}{\partial v}(u(p),v(p)), \frac{\partial y}{\partial v}(u(p),v(p)), \frac{\partial z}{\partial v}(u(p),v(p)) \right) \\ \end{align*}

更一般地，对于一个嵌入 RN\mathbb{R}^N 的子流形 MM，其在 p∈Up\in U 处的一个局部正则参数化 X:U⊂Rn→M⊂RNX:U\subset\mathbb{R}^n\rightarrow M\subset\mathbb{R}^N 为

X(u)=(X1(u),X2(u),⋯ ,XN(u))u=(u1,u2,⋯ ,un)∈U X(u) = \bigl(X_1(u), X_2(u), \cdots, X_N(u)\bigr) \qquad u = (u^1, u^2, \cdots, u^n) \in U

在 p=X(u1(p),u2(p),⋯ ,un(p))=X(up)p = X(u^1(p), u^2(p), \cdots, u^n(p)) = X(u_p) 点上的切空间 TpMT_pM 是一个 nn 维空间，有 nn 个基。用 X(u)X(u) 在 pp 处对 u1,u2,⋯ ,unu^1, u^2, \cdots, u^n 的 nn 个偏导数作为基，其中对 uiu^i 的偏导数为

∂X∂ui(up)=(∂X1∂ui(up),∂X2∂ui(up),⋯ ,∂XN∂ui(up)) \frac{\partial X}{\partial u^i}(u_p) = \left( \frac{\partial X_1}{\partial u^i}(u_p), \frac{\partial X_2}{\partial u^i}(u_p), \cdots, \frac{\partial X_N}{\partial u^i}(u_p) \right)

这就是子流形 MM 点 pp 上的切空间基在环境流形 RN\mathbb{R}^N 的切空间基下的坐标

{ ∂∂xα }α=1N \Set{\frac{\partial }{\partial x^\alpha}}_{\alpha=1}^N

展开得到

∂X∂ui(up)=∑α=1N∂Xα∂ui(up)∂∂xα \frac{\partial X}{\partial u^i}(u_p) = \sum_{\alpha=1}^N \frac{\partial X_\alpha}{\partial u^i}(u_p) \frac{\partial }{\partial x^\alpha}

若将 TpMT_pM 中的切向量在环境空间标准基下的坐标表示为一个列向量

[∂∂u1∣p∂∂u2∣p⋮∂∂un∣p] \begin{bmatrix} \left.\frac{\partial}{\partial u^1}\right|_p \\ \left.\frac{\partial}{\partial u^2}\right|_p \\ \vdots\\ \left.\frac{\partial}{\partial u^n}\right|_p \end{bmatrix}

则其和环境流形 RN\mathbb{R}^N 的切空间基之间的关系，可以表示为矩阵相乘

[∂∂u1∣p∂∂u2∣p⋮∂∂un∣p]=JX(up)T[∂∂x1∂∂x2⋮∂∂xN] \begin{bmatrix} \left.\frac{\partial}{\partial u^1}\right|_p \\ \left.\frac{\partial}{\partial u^2}\right|_p \\ \vdots\\ \left.\frac{\partial}{\partial u^n}\right|_p \end{bmatrix} = J_X(u_p)^{\mathsf T} \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x^1} \\ \frac{\partial}{\partial x^2} \\ \vdots\\ \frac{\partial}{\partial x^N} \end{bmatrix}

其中 JX(up)J_X(u_p) 就是 pp 处的 N×nN \times n 雅可比矩阵

JX(up)=[∂X1∂u1(up)∂X1∂u2(up)⋯∂X1∂un(up)∂X2∂u1(up)∂X2∂u2(up)⋯∂X2∂un(up)⋮⋮⋱⋮∂XN∂u1(up)∂XN∂u2(up)⋯∂XN∂un(up)] J_X(u_p)= \begin{bmatrix} \frac{\partial X_1}{\partial u^1}(u_p)& \frac{\partial X_1}{\partial u^2}(u_p)& \cdots& \frac{\partial X_1}{\partial u^n}(u_p) \\ \frac{\partial X_2}{\partial u^1}(u_p)& \frac{\partial X_2}{\partial u^2}(u_p)& \cdots& \frac{\partial X_2}{\partial u^n}(u_p) \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial X_N}{\partial u^1}(u_p)& \frac{\partial X_N}{\partial u^2}(u_p)& \cdots& \frac{\partial X_N}{\partial u^n}(u_p) \end{bmatrix}

行指标 α=1,⋯ ,N\alpha=1,\cdots,N 对应环境空间的坐标分量，列指标 i=1,⋯ ,ni=1,\cdots,n 对应子流形的局部参数。

余切空间

余切空间的定义

流形 MM 中点 pp 上的余切向量 ω\omega 是一个把切向量 vv 映射到实数的线性泛函

v∈TpM↦ωω(v)∈R v \in T_pM \xmapsto{\omega} \omega(v) \in \mathbb{R}

这种线性可表示为

ω(au+bv)=aω(u)+bω(v)(aω+bη)(v)=aω(v)+bη(v) \begin{align*} \omega(au + bv) = a\omega(u) + b\omega(v) \\ (a\omega+b\eta)(v) = a\omega(v) + b\eta(v) \end{align*}

流形 MM 的每个点 pp 上所有的余切向量构成一个线性空间，称为余切空间 Tp∗MT_p^*M。余切空间是切空间 TpMT_pM 的对偶空间

Tp∗M=(TpM)∗=Hom⁡(TpM,R) T_p^*M = (T_pM)^* = \operatorname{Hom}(T_pM, \mathbb{R})

余切空间的维度和切空间相同

dim⁡Tp∗M=dim⁡TpM=n \dim T_p^*M = \dim T_pM = n

对于光滑函数 f:M→Rf:M\to\mathbb R，其在 p∈Mp\in M 处的微分 dfp\mathrm{d}f_p 就是一个余切向量

dfp∈Tp∗M \mathrm{d}f_p \in T_p^*M

这种微分通过将切向量视为导子来定义。微分 dfp\mathrm{d}f_p 作用在切向量 v∈TpMv\in T_pM 上，定义为导子 vv 作用在光滑函数 f∈C∞(M,R)f\in C^\infty(M, \mathbb{R}) 上

dfp(v)=v(f)dfp:TpM→R \mathrm{d}f_p(v) = v(f) \qquad \mathrm{d}f_p: T_pM \to \mathbb{R}

余切空间的基

设 MM 是 nn 维光滑流形，取 pp 处的局部坐标函数为

(x1,⋯ ,xn) (x^1,\cdots,x^n)

那么余切空间 Tp∗MT_p^*M 的基定义为局部坐标函数的微分

{ dx1∣p,⋯ ,dxn∣p } \Set{ \mathrm{d}x^1\rvert_p, \cdots, \mathrm{d}x^n\rvert_p }

其中 dxi∣p\mathrm{d}x^i\rvert_p 是 xix^i 在 pp 点的微分，表示为

dxi∣p(v)=v(xi)dxi∣p:TpM→R \mathrm{d}x^i\rvert_p(v)=v(x^i) \qquad \mathrm{d}x^i\rvert_p: T_pM \to \mathbb{R}

再取 TpMT_pM 中的一组基

{ ∂∂x1∣p,⋯ ,∂∂xn∣p } \Set{ \left.\frac{\partial}{\partial x^1}\right\rvert_p, \cdots, \left.\frac{\partial}{\partial x^n}\right\rvert_p }

把导子 vv 展开得到

dxi∣p(v)=(∑jvj∂∂xj∣p)(xi)=∑jvj∂xi∂xj∣p=∑jvjδji=vi \begin{align*} \mathrm{d}x^i\rvert_p(v) &= \left( \sum_j v^j\left.\frac{\partial}{\partial x^j}\right\rvert_p \right)(x^i) \\ &= \sum_j v^j \left.\frac{\partial x^i}{\partial x^j}\right\rvert_p \\ &= \sum_j v^j \delta^i_j \\ &= v^i \end{align*}

特别地，余切空间基作用在切空间基上满足

dxi∣p(∂∂xj∣p)=δji \mathrm{d}x^i\rvert_p \left( \left.\frac{\partial}{\partial x^j}\right\rvert_p \right)=\delta^i_j

因此余切空间基是切空间基的对偶基。任意余切向量都可以写为

ω=∑i=1naidxi∣p \omega = \sum_{i=1}^n a_i \mathrm{d}x^i\vert_p

从而光滑函数 f:M→Rf:M\to\mathbb{R} 在 pp 处的微分可表示为

dfp=∑i=1n∂f∂xi(p)dxi \mathrm{d}f_p = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^i}(p)\mathrm{d}x^i

其中 ∂f∂xi\frac{\partial f}{\partial x^i} 就是普通多元函数的偏导数。光滑函数的微分作用在切向量上得到

dfp(v)=(∑i=1n∂f∂xi(p)dxi)(v)=∑i=1n∂f∂xi(p)(dxi(v))=∑i=1n∂f∂xi(p)vi \begin{align*} \mathrm{d}f_p(v) &= \left( \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^i}(p)\mathrm{d}x^i \right)(v) \\ &= \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x^i}(p)\bigl(\mathrm{d}x^i(v)\bigr) \\ &= \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x^i}(p)v^i \end{align*}

这就是普通多元函数的方向导数。

余切空间基的参数式表示

对于一个嵌入 RN\mathbb{R}^N 的子流形 MM，其在 p∈Up\in U 处的一个局部正则参数化 X:U⊂Rn→M⊂RNX:U\subset\mathbb{R}^n\rightarrow M\subset\mathbb{R}^N 为

X(u)=(X1(u),X2(u),⋯ ,XN(u)) X(u) = \bigl(X_1(u), X_2(u), \cdots, X_N(u)\bigr)

在 X(up)=pX(u_p) = p 点上的切空间 TpMT_pM 是一个 nn 维空间，其基记为 { e1,e2,⋯ ,en }\set{e_1, e_2, \cdots, e_n}。其中 eje_j 是 uju^j 诱导的切空间基，在环境流形 RN\mathbb{R}^N 的切空间基 { ∂∂xβ }β=1N\Set{\frac{\partial }{\partial x^\beta}}_{\beta=1}^N 中展开得到

ej=∂X∂uj(up)=∑β=1N∂Xβ∂uj(up)∂∂xβ e_j = \frac{\partial X}{\partial u^j}(u_p) = \sum_{\beta=1}^N \frac{\partial X_\beta}{\partial u^j}(u_p) \frac{\partial }{\partial x^\beta}

记雅可比矩阵 J∈RN×nJ\in\mathbb R^{N\times n} 第 β\beta 行第 jj 列的元素为

Jjβ=∂Xβ∂uj(up) J^\beta_j=\frac{\partial X_\beta}{\partial u^j}(u_p)

从而简化符号表示

ej=∑β=1NJjβ∂∂xβ e_j= \sum_{\beta=1}^N J^\beta_j\frac{\partial}{\partial x^\beta}

将对偶基记为 { e1,e2,⋯ ,en }\set{e^1, e^2, \cdots, e^n}，满足

ei(ej)=δji e^i(e_j) = \delta^i_j

环境流形 RN\mathbb{R}^N 的余切空间基记为 { dx1,dx2,⋯ ,dxN }\set{\mathrm{d}x^1, \mathrm{d}x^2, \cdots, \mathrm{d}x^N}，满足

dxα(∂∂xβ)=δβα \mathrm{d}x^\alpha \left( \frac{\partial }{\partial x^\beta} \right) = \delta^\alpha_\beta

设对偶基 eie^i 可表示为

ei=∑α=1NAαidxα e^i = \sum_{\alpha=1}^N A^i_\alpha \mathrm{d}x^\alpha

带入对偶条件 ei(ej)=δjie^i(e_j) = \delta^i_j 得到

ei(ej)=(∑α=1NAαidxα)(∑β=1NJjβ∂∂xβ)=∑α=1N∑β=1NAαiJjβdxα(∂∂xβ)=∑α=1N∑β=1NAαiJjβδβα=∑α=1NAαiJjα=δji \begin{align*} e^i(e_j) &=\left( \sum_{\alpha=1}^{N}A^i_\alpha \mathrm dx^\alpha \right)\left( \sum_{\beta=1}^{N}J^\beta_j \frac{\partial}{\partial x^\beta} \right) \\ &=\sum_{\alpha=1}^{N}\sum_{\beta=1}^{N} A^i_\alpha J^\beta_j \mathrm dx^\alpha\left( \frac{\partial}{\partial x^\beta} \right) \\ &=\sum_{\alpha=1}^{N}\sum_{\beta=1}^{N} A^i_\alpha J^\beta_j\delta^\alpha_\beta \\ &=\sum_{\alpha=1}^{N}A^i_\alpha J^\alpha_j \\ &=\delta^i_j \end{align*}

其中 ∑α=1NAαiJjα=δji\sum_{\alpha=1}^N A^i_\alpha J^\alpha_j=\delta^i_j 表示为矩阵乘法就是

AJ=In AJ=I_n

定义系数矩阵为 A=(Aαi)∈Rn×NA=(A^i_\alpha)\in\mathbb R^{n\times N}，因此系数矩阵 AA 是雅可比矩阵 JJ 的左逆。但当 N>nN>n 时，左逆一般不唯一。可以选择雅可比矩阵中的 nn 个行指标

1≤α1<⋯<αn≤N 1\leq\alpha_1<\cdots<\alpha_n\leq N

构造雅可比矩阵的 n×nn\times n 的子矩阵

B=[J1α1⋯Jnα1⋮⋮J1αn⋯Jnαn] B= \begin{bmatrix} J^{\alpha_1}_1&\cdots&J^{\alpha_1}_n \\ \vdots&&\vdots \\ J^{\alpha_n}_1&\cdots&J^{\alpha_n}_n \end{bmatrix}

使其满足

det⁡B≠0 \det B\neq 0

这样的子矩阵就是可逆的，根据逆矩阵的定义，有

∑k=1n(B−1)kiBjk=δji \sum_{k=1}^n(B^{-1})^i_kB^k_j =\delta^i_j

可以让

Aαi={Aαki=(B−1)kik=1,⋯ ,nAαki=0k>n A^i_\alpha = \begin{cases} A^i_{\alpha_k}=(B^{-1})^i_k & k=1,\cdots,n \\ A^i_{\alpha_k} = 0 & k > n \end{cases}

从而得到左逆

∑α=1NAαiJjα=∑k=1n(B−1)kiJjαk=∑k=1n(B−1)kiBjk=δji \begin{align*} \sum_{\alpha=1}^{N}A^i_\alpha J^\alpha_j &=\sum_{k=1}^{n}(B^{-1})^i_kJ^{\alpha_k}_j \\ &=\sum_{k=1}^{n}(B^{-1})^i_kB^k_j \\ &=\delta^i_j \end{align*}

因此

ei=∑k=1n(B−1)kidxαk e^{i}= \sum_{k=1}^n(B^{-1})^i_kdx^{\alpha_k}

由于环境空间是欧氏空间，其上具有标准欧式内积，所以可以唯一地选出一个与子流形法空间正交的环境余切向量作为 eie^i 的代表，不需要依赖于指标 α1,…,αn\alpha_1,\ldots,\alpha_n 的选择。由于黎曼度量按计划在广义斯托克斯定理部分介绍，所以这里先只给出结论

ei=∑α=1N[(JTJ)−1JT]αidxα e^i= \sum_{\alpha=1}^{N} \left[ (J^\mathsf TJ)^{-1}J^\mathsf T \right]^i_{\alpha} \mathrm dx^\alpha

其中 (JTJ)−1JT(J^\mathsf TJ)^{-1}J^\mathsf T 是雅可比矩阵的左伪逆，展开得到

ei=∑α=1N(∑j=1ngij∂Xα∂uj)dxα e^i= \sum_{\alpha=1}^{N} \left( \sum_{j=1}^{n}g^{ij} \frac{\partial X_\alpha}{\partial u^j} \right) \mathrm dx^\alpha

其中 gijg^{ij} 是逆黎曼度量矩阵 G−1G^{-1} 的第 (i,j)(i,j) 个元素，而黎曼度量矩阵 GG 是 n×nn\times n 矩阵，其第 (i,j)(i,j) 个元素为

gij=∑α=1NJiαJjα g_{ij}=\sum_{\alpha=1}^{N}J^\alpha_iJ^\alpha_j

流形间的映射

此前我们研究的映射，要么流形和流形上局部欧氏空间之间的映射，要么是流形一点上不同欧氏空间之间的映射。现在我们要研究流形和流形间的映射。

映射的分解

设光滑流形 MM 维度为 mm，光滑流形 NN 维度为 nn，而光滑映射为

F:M→N F: M\to N

从而

p∈M→FF(p)∈N p\in M \xrightarrow{F} F(p) \in N

在 p∈U⊂Mp\in U\subset M 处取局部坐标 (x1,⋯ ,xm)(x^1,\cdots,x^m)，在 F(p)∈NF(p)\in N 处取局部坐标 (y1,⋯ ,yn)(y^1,\cdots,y^n)。yiy^i 本身可以视为一个坐标函数

yi:N→R y^i:N\to \mathbb R

因此可以与 FF 复合

M→FN→yiR M \xrightarrow{F} N \xrightarrow{y^i} \mathbb{R}

这实际上就是 FiF^i，从而得到

Fi=yi∘F=yi(F) F^i = y^i \circ F = y^i(F)

也就是说，FF 在局部坐标里可以视为由 nn 个映射组成，每个映射都是一个普通多元函数，把 MM 上一点的坐标变成一个实数

(F1,⋯ ,Fn)Fα:U→R (F^1, \cdots, F^n) \qquad F^\alpha: U \to \mathbb{R}

从而完整的映射可以写为

F(u)=(F1(u),F2(u),⋯ ,Fn(u))u=(u1,u2,⋯ ,un)∈U F(u)=\bigl( F^1(u), F^2(u), \cdots, F^n(u) \bigr) \qquad u=(u^1, u^2, \cdots, u^n) \in U

切映射

切映射是流形间映射诱导出来的线性映射。对于光滑映射

F:M→N F: M\to N

其在 pp 处诱导出的线性映射为

dFp:TpM⟶TF(p)N \mathrm{d}F_p:T_pM\longrightarrow T_{F(p)}N

这就是 FF 在 pp 处的切映射，也叫前推。

在 p∈Up\in U 处取局部坐标 (x1,⋯ ,xm)(x^1,\cdots,x^m)，在 F(p)F(p) 处取局部坐标 (y1,⋯ ,yn)(y^1,\cdots,y^n)，则 FF 在局部坐标里可以视为由一组普通多元函数组成

(F1,⋯ ,Fn)Fα:U→R (F^1, \cdots, F^n) \qquad F^\alpha: U \to \mathbb{R}

记 TpMT_pM 中的基为

{ ∂∂x1∣p,⋯ ,∂∂xm∣p } \Set{ \left.\frac{\partial}{\partial x^1}\right\rvert_p, \cdots, \left.\frac{\partial}{\partial x^m}\right\rvert_p }

记 TF(p)NT_{F(p)}N 的基为

{ ∂∂y1∣F(p),⋯ ,∂∂yn∣F(p) } \Set{ \left.\frac{\partial}{\partial y^1}\right\rvert_{F(p)}, \cdots, \left.\frac{\partial}{\partial y^n}\right\rvert_{F(p)} }

那么切映射可以表示为

dFp(∂∂xi∣p)=∑α=1n∂Fα∂xi(p)∂∂yα∣F(p) \mathrm{d}F_p\left( \left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right\rvert_p \right)=\sum_{\alpha=1}^n \frac{\partial F^\alpha}{\partial x^i}(p) \left.\frac{\partial}{\partial y^\alpha}\right\rvert_{F(p)}

其中 ∂Fα∂xi\frac{\partial F^\alpha}{\partial x^i} 就是普通多元函数的偏导数。因此，切映射就是流形间映射的微分。

切映射也可以写为一个 n×mn\times m 矩阵

DFp=[∂F1∂x1(p)⋯∂F1∂xm(p)⋮⋱⋮∂Fn∂x1(p)⋯∂Fn∂xm(p)] DF_p = \begin{bmatrix} \frac{\partial F^1}{\partial x^1}(p) & \cdots & \frac{\partial F^1}{\partial x^m}(p) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial F^n}{\partial x^1}(p) & \cdots & \frac{\partial F^n}{\partial x^m}(p) \end{bmatrix}

这其实就是雅可比矩阵，不过这种矩阵表示依赖于所选取的局部坐标系。一般流形不存在覆盖整个流形的全局坐标，因此矩阵表示只适用于局部。对于欧氏空间 F:Rm→RnF: \mathbb R^m \to \mathbb R^n，标准坐标系在整个空间上都适用，因此可以在所有点使用同一套基来表示切映射。

余切映射

余切映射是切映射的对偶。对于切映射

dFp:TpM⟶TF(p)N \mathrm{d}F_p:T_pM\longrightarrow T_{F(p)}N

其对偶为

(dFp)∗:TF(p)∗N⟶Tp∗M (\mathrm{d}F_p)^*: T_{F(p)}^*N \longrightarrow T_p^*M

这就是余切映射，也叫拉回。

对于 v∈TpMv\in T_pM，其先利用切映射将其前推到 TF(p)NT_{F(p)}N 中，然后再被 ω∈TF(p)∗N\omega\in T_{F(p)}^*N 作用，得到实数

v∈TpM→dFpdFp(v)∈TF(p)N→ωω(dFp(v))∈R v \in T_pM \xrightarrow{\mathrm{d}F_p} \mathrm{d}F_p(v) \in T_{F(p)}N \xrightarrow{\omega} \omega(\mathrm{d}F_p(v)) \in \mathbb{R}

也就是说，先进行 dFp\mathrm{d}F_p 再进行 ω\omega，即 ω\omega 前复合 dFp\mathrm{d}F_p 得到的复合映射可以直接作用在 v∈TpMv\in T_pM 上。因此，这是一个 Tp∗MT_p^*M 中的余向量

ω∘dFp∈Tp∗M:TpM→R \omega \circ \mathrm{d}F_p \in T_p^*M: T_pM \to \mathbb{R}

因此余切映射就定义为前复合切映射

(dFp)∗ω=ω∘dFp (\mathrm{d}F_p)^*\omega = \omega \circ \mathrm{d}F_p

作用在向量上，可以记为

((dFp)∗ω)(v)=(ω∘dFp)(v)=ω(dFp(v)) \bigl( (\mathrm{d}F_p)^*\omega \bigr)(v) =(\omega \circ \mathrm{d}F_p)(v) =\omega(\mathrm{d}F_p(v))

如果使用矩阵表示，那么余切映射就是雅可比矩阵的转置。当切映射为 n×mn\times m 矩阵时，余切映射就是 m×nm\times n 矩阵

(DFp)T=[∂F1∂x1(p)⋯∂Fn∂x1(p)⋮⋱⋮∂F1∂xm(p)⋯∂Fn∂xm(p)] (DF_p)^T = \begin{bmatrix} \frac{\partial F^1}{\partial x^1}(p) & \cdots & \frac{\partial F^n}{\partial x^1}(p) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial F^1}{\partial x^m}(p) & \cdots & \frac{\partial F^n}{\partial x^m}(p) \end{bmatrix}

用导子定义切映射和余切映射

如果把切向量看作导子，那么切映射可以把一个导子 v∈TpMv\in T_pM 变成另一个导子 dFp(v)∈TF(p)N\mathrm{d}F_p(v)\in T_{F(p)}N

TpM→dFpTF(p)N T_pM \xrightarrow{\mathrm{d}F_p} T_{F(p)}N

新导子 dFp(v)∈TF(p)N\mathrm{d}F_p(v)\in T_{F(p)}N 作用在光滑函数 f∈C∞(N,R)f\in C^\infty(N, \mathbb{R}) 上。而 f:N→Rf: N \to \mathbb{R} 的输入恰好是光滑映射 F:M→NF: M \to N 的输出。因此，ff 可以前复合 FF，把输入拉回到 MM 上

M→FN→fR M \xrightarrow{F} N \xrightarrow{f} \mathbb{R}

复合映射是 C∞(M,R)C^\infty(M, \mathbb{R}) 中的光滑函数，可以成为原导子 v∈TpMv\in T_pM 的输入

f∘F:M→R f \circ F: M \to \mathbb{R}

因此，我们可以用代数的语言定义切映射为

(dFp(v))(f)=v(f∘F) \bigl( \mathrm{d}F_p(v) \bigr)(f) = v(f\circ F)

左侧包含了两次映射：先是切映射 dFp\mathrm{d}F_p 以原导子 vv 作为输入得到新导子，然后新导子再以 ff 作为输入得到实数。根据定义，这等价于先用 FF 把 ff 拉回到 MM 上得到 f∘Ff\circ F，再让原来的导子 vv 作用于拉回得到的复合映射。

定义中的连续作用在数学上写起来有点麻烦，所以有时也把切映射简写为

(F∗pv)(f)=v(f∘F)F∗p:TpM→TF(p)N (F_{*p}v)(f) = v(f\circ F) \qquad F_{*p}:T_pM\to T_{F(p)}N

余切映射 (dFp)∗(\mathrm{d}F_p)^* 定义为切映射的对偶

((dFp)∗ω)(v)=ω∘dFp(v)=ω(F∗pv) ((\mathrm{d}F_p)^*\omega)(v)=\omega \circ \mathrm{d}F_p(v) = \omega(F_{*p}v)

这里的括号嵌套也看着不舒服，所以有时也把余切映射简写为

(Fp∗ω)(v)=ω(F∗pv)Fp∗:TF(p)∗N⟶Tp∗M (F^*_p\omega)(v) = \omega(F_{*p}v) \qquad F^*_p: T_{F(p)}^*N \longrightarrow T_p^*M

进一步地，可以约定函数的拉回就是前复合映射

F∗f=f∘F F^*f = f\circ F

那么我们就得到了非常漂亮，也很便于记忆的一对公式

(F∗pv)(f)=v(F∗f)(Fp∗ω)(v)=ω(F∗pv) \boxed{ \begin{align*} (F_{*p}v)(f) &= v(F^*f) \\ (F^*_p\omega)(v) &= \omega(F_{*p}v) \end{align*} }

流形间映射与函数的复合

根据导子的定义，导子 v∈TpMv\in T_pM 作用于 g∈C∞(M,R)g\in C^\infty(M, \mathbb{R}) 得到的 v(g)v(g) 就是 gg 在 pp 点的微分

dgp(v)=v(g) \mathrm{d}g_p(v) = v(g)

切映射将原导子 vv 变成新导子 dFp(v)\mathrm{d}F_p(v)，新导子作用在 f∈C∞(N,R)f\in C^\infty(N, \mathbb{R}) 上，得到 ff 在点 F(p)F(p) 上的微分

(dFp(v))(f)=dfF(p)(dFp(v)) (\mathrm{d}F_p(v))(f) = \mathrm{d}f_{F(p)}(\mathrm{d}F_p(v))

于是对于微分的拉回，有

(Fp∗dfF(p))(v)=dfF(p)(F∗pv)=(F∗pv)(f)=v(F∗f)=d(F∗f)p(v) \begin{align*} (F^*_p\mathrm{d}f_{F(p)})(v) &=\mathrm{d}f_{F(p)}(F_{*p}v) \\ &=(F_{*p}v)(f) \\ &=v(F^* f) \\ &=\mathrm{d}(F^* f)_p(v) \\ \end{align*}

因此得到

Fp∗(dfF(p))=d(F∗f)p \boxed{ F^*_p(\mathrm{d}f_{F(p)}) = \mathrm{d}(F^* f)_p }

也就是说，拉回的微分等于微分的拉回，即微分和拉回的顺序可交换。

右侧 F∗F^* 是对函数的拉回，可以写为前复合映射 f∘Ff \circ F；左侧 F∗F^* 是对余切向量的拉回，可以写为前复合切映射 dfF(p)∘dFp\mathrm{d}f_{F(p)} \circ \mathrm{d}F_p。交换下顺序，得到

d(f∘F)p=dfF(p)∘dFp \boxed{ \mathrm{d}(f \circ F)_p = \mathrm{d}f_{F(p)} \circ \mathrm{d}F_p }

这就是流形上的链式法则。复合的微分是微分的复合，并且保持原先复合的顺序。

流形间映射与流形间映射的复合

对于两个流形间映射的复合

M→FN→GP M\xrightarrow{F}N\xrightarrow{G}P

得到一个新的流形间映射

G∘F:M→P G \circ F: M \to P

其切映射依然符合链式法则

d(G∘F)p=dGF(p)∘dFp d(G\circ F)_p = dG_{F(p)}\circ dF_p

其余切映射是切映射的对偶

(d(G∘F)p)∗=(dGF(p)∘dFp)∗=(dFp)∗∘(dGF(p))∗ (d(G\circ F)_p)^* =(dG_{F(p)}\circ dF_p)^* =(dF_p)^*\circ(dG_{F(p)})^*

即切映射保持复合的方向，余切映射反转复合的方向

d(G∘F)p=dGF(p)∘dFp(d(G∘F)p)∗=(dFp)∗∘(dGF(p))∗ \boxed{ \begin{align*} d(G\circ F)_p &= dG_{F(p)}\circ dF_p \\ (d(G\circ F)_p)^* &= (dF_p)^*\circ(dG_{F(p)})^* \end{align*} }

更进一步地，我们把流形间映射的复合也写为拉回

G∘F=F∗G G\circ F = F^* G

从而复合映射的余切映射可以记为

(F∗G)∗ω=F∗(G∗ω) \boxed{ (F^* G)^*\omega = F^*(G^*\omega) }

这看起来就容易理解多了——上式表达的只是拉回的可结合性。

张量空间

在流形的一点 p∈Mp\in M 处，记切空间为 TpMT_pM，余切空间为 Tp∗MT_p^*M。其上的 (r,s)(r,s) 型张量空间定义为

Tsr(TpM)=(TpM)⊗r⊗(Tp∗M)⊗s T^r_s(T_pM)= (T_pM)^{\otimes r}\otimes (T_p^*M)^{\otimes s}

特别地，切空间是 T01(TpM)T^1_0(T_pM) 空间

TpM=T01(TpM) T_pM = T^1_0(T_pM)

而余切空间是 T10(TpM)T^0_1(T_pM) 空间

Tp∗M=T10(TpM) T_p^*M = T^0_1(T_pM)

张量空间的基

记切空间 TpMT_pM 的基为 { ∂1∣p,⋯ ,∂n∣p }\set{\partial_1\rvert_p, \cdots, \partial_n\rvert_p}，余切空间 Tp∗MT_p^*M 的基为 { dxi∣p,⋯ ,dxn∣p }\set{\mathrm{d}x^i\rvert_p, \cdots, \mathrm{d}x^n\rvert_p}，则 Tsr(TpM)T^r_s(T_pM) 中的基为

{ ∂i1∣p⊗⋯⊗∂ir∣p⊗dxj1∣p⊗⋯⊗dxjs∣p∣i1,⋯ ,ir,j1,⋯ ,js∈{ 1,⋯ ,n } } \Set{ \partial_{i_1}\rvert_p \otimes\cdots\otimes \partial_{i_r}\rvert_p \otimes \left.\mathrm{d}x^{j_1}\right\vert_p \otimes\cdots\otimes \left.\mathrm{d}x^{j_s}\right\vert_p \mid i_1,\cdots,i_r,j_1,\cdots,j_s\in\set{1,\cdots,n} }

也就是说 Tsr(TpM)T^r_s(T_pM) 中一组基数量为

dim⁡Tsr(TpM)=(dim⁡TpM)r+s \dim T^r_s(T_pM) = (\dim T_pM)^{r+s}

外幂空间

Tk0(TpM)T^0_k(T_pM) 和 T0k(TpM)T^k_0(T_pM) 中由对称张量组成的子空间记为

Sym⁡k(Tp∗M)⊂Tk0(TpM)Sym⁡k(TpM)⊂T0k(TpM) \begin{align*} \operatorname{Sym}^k(T_p^*M) \subset T^0_k(T_pM) \\ \operatorname{Sym}^k(T_pM) \subset T^k_0(T_pM) \end{align*}

Tk0(TpM)T^0_k(T_pM) 和 T0k(TpM)T^k_0(T_pM) 中由反对称张量组成的子空间称为外幂空间，并且可以用更简单的符号 Λ\Lambda 表示

Λk(Tp∗M)=ALt⁡(Tp∗M)⊂Tk0(TpM)Λk(TpM)=ALt⁡(TpM)⊂T0k(TpM) \begin{align*} \Lambda^k(T_p^*M) = \operatorname{ALt}(T_p^*M) \subset T^0_k(T_pM) \\ \Lambda^k(T_pM) = \operatorname{ALt}(T_pM) \subset T^k_0(T_pM) \end{align*}

其中 ω∈Λk(Tp∗M)\omega \in \Lambda^k(T_p^*M) 被称为完全反对称协变张量，v∈Λk(TpM)v \in \Lambda^k(T_pM) 被称为完全反对称逆变张量。

特别地，实向量空间的 00 次外幂空间是一个实数空间

Λ0(V)≅R \Lambda^0(V) \cong \mathbb{R}

而 11 次外幂空间就等于自身

Λ1(V)=V \Lambda^1(V) = V

外幂空间的基

设切空间 TpMT_pM 的基为 { e1,e2,⋯ ,en }\set{e_1, e_2, \cdots, e_n}，余切空间 Tp∗MT_p^*M 的基为 { e1,e2,⋯ ,en }\set{e^1, e^2, \cdots, e^n}，则外幂空间 Λk(TpM)\Lambda^k(T_pM) 的基为

{ ei1∧ei2∧⋯∧eik∣1≤i1<i2<⋯<ik≤n } \Set{ e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge\cdots\wedge e_{i_k} \mid 1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n }

而外幂空间 Λk(Tp∗M)\Lambda^k(T_p^*M) 的基为

{ ei1∧ei2∧⋯∧eik∣1≤i1<i2<⋯<ik≤n } \Set{ e^{i_1}\wedge e^{i_2}\wedge\cdots\wedge e^{i_k} \mid 1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n }

二者的基数量都为

dim⁡Λk(TpM)=dim⁡Λk(Tp∗M)=(dim⁡TpMk) \dim \Lambda^k(T_pM) = \dim \Lambda^k(T_p^*M) = \binom{\dim T_pM}{k}

外幂空间上的拉回

对于光滑映射

F:M→N F: M \to N

诱导出的切映射为

dFp:TpM→TFp(p)N \mathrm{d}F_p: T_pM \to T_{F_p(p)}N

切映射诱导出的余切映射为

(dFp)∗:TF(p)∗N→Tp∗M (\mathrm{d}F_p)^*:T^*_{F(p)}N\to T_p^*M

余切映射可以继续诱导出外幂上的映射

Λk(dFp)∗:Λk(TF(p)∗N)→Λk(Tp∗M) \Lambda^k(\mathrm{d}F_p)^*: \Lambda^k(T^*_{F(p)}N) \to \Lambda^k(T_p^*M)

简记为 Fp∗F^*_p。对于 ω∈Λk(TF(p)∗N)\omega\in \Lambda^k(T^*_{F(p)}N) 定义 Fp∗F^*_p 为

(Fp∗ω)(v1,⋯ ,vk)=ω(dFp(v1),⋯ ,dFp(vk)) (F^*_p\omega)(v_1,\cdots,v_k)= \omega \left( \mathrm{d}F_p(v_1),\cdots,\mathrm{d}F_p(v_k) \right)

其中

v1,⋯ ,vk∈TpM v_1,\cdots,v_k\in T_pM

也就是说，通过让所有输入的向量先经过切映射 dFp\mathrm{d}F_p 处理，ω\omega 的输入从 TF(p)NT_{F(p)}N 被拉回到 TpMT_pM 上。

纤维和丛

纤维

给定任意映射 f:X→Yf:X\to Y，ff 在 y∈Yy\in Y 上的纤维 XyX_y 定义为

Xy=f−1(y)={x∈X∣f(x)=y} X_y =f^{-1}(y) =\{x\in X\mid f(x)=y\}

丛

丛是一种数学结构，可以写为一个三元组

(E,B,π) (E, B, \pi)

其中 EE 为总空间，BB 为底空间，π\pi 为投影。有时也用总空间 EE 或投影 π\pi 指代丛。

投影 π\pi 把总空间 EE 中的点映射为底空间 BB 中的点

π:E→B \pi: E \to B

底空间的每个点 p∈Bp\in B 上的纤维 EpE_p 是总空间 EE 的子集

Ep=π−1(p)={ e∈E∣π(e)=p } E_p = \pi^{-1}(p) = \Set{ e \in E \mid \pi(e) = p }

由于不同点上的纤维互不相交，因此总空间 EE 可以分解为所有纤维的不交并

E=⨆p∈BEp=⨆p∈Bπ−1(p) E = \bigsqcup_{p\in B} E_p = \bigsqcup_{p\in B} \pi^{-1}(p)

纤维丛

纤维丛是局部平凡的丛，可以写为一个四元组

(E,B,π,F) (E, B, \pi , F)

其中多出的 FF 表示典型纤维。

平凡丛是一个可以写为底空间和典型纤维的直积的丛

E=B×F={ (p,v)∣p∈B,v∈F } E = B \times F = \Set{(p, v) \mid p \in B,v \in F}

此时投影为

(p,v)→πp (p,v) \xrightarrow{\pi} p

而局部平凡就是在局部可以写为这种直积。

对于每个 p∈Bp\in B，都存在一个开邻域 p∈Up\in U 以及同胚映射 Φ\Phi，该同胚映射把 UU 上的一族纤维 π−1(U)\pi^{-1}(U) 映射到一个平凡丛 U×FU \times F

Φ:π−1(U)→U×F \Phi: \pi^{-1}(U) \to U \times F

同胚映射 Φ\Phi 被称为局部平凡化，得到局部一族纤维和平凡丛的同构

π−1(U)≅U×F \pi^{-1}(U) \cong U \times F

局部平凡化满足

pr⁡1∘Φ=π:π−1(U)→U \operatorname{pr}_1 \circ \Phi=\pi: \pi^{-1}(U) \to U

其中 pr⁡1\operatorname{pr}_1 表示第一坐标投影，定义为

pr⁡1:U×F→U(p,v)↦p \operatorname{pr}_1: U\times F\to U \qquad (p,v) \mapsto p

即局部平凡化 Φ\Phi、投影 π\pi 以及第一坐标投影 pr⁡1\operatorname{pr}_1 之间具有如下交换关系

π−1(U)→ΦU×F→pr⁡1Uπ−1(U)→πU \begin{align*} \pi^{-1}(U) \xrightarrow{\Phi} U\times F \xrightarrow{\operatorname{pr}_1} U \\ \pi^{-1}(U) \xrightarrow{\pi} U \end{align*}

纤维丛限制在开集 U⊂BU\subset B 上得到的一个局部平凡丛记为

E∣U=π−1(U) E\vert_U = \pi^{-1}(U)

点 pp 上的纤维可表示为

π−1(p)={ p }×F \pi^{-1}(p) = \set{p} \times F

因此纤维丛里的所有纤维与典型纤维 FF 同构

F≅π−1(p)∀p F \cong \pi^{-1}(p) \qquad \forall p

光滑丛

光滑丛是一个具有微分结构的纤维丛。所谓微分结构，就是局部平凡化可以取为微分同胚，即是一个双射且映射和逆映射都光滑。

更准确地说，纤维丛 (E,B,π,F)(E, B, \pi , F) 中如果存在一组能够覆盖底空间的开集

{ Uα }α∈AB=⋃α∈AUα \set{U_\alpha}_{\alpha\in A} \qquad B=\bigcup_{\alpha\in A}U_\alpha

且这些开集上存在微分同胚作为局部平凡化

Φα:π−1(Uα)→Uα×F \Phi_\alpha:\pi^{-1}(U_\alpha)\to U_\alpha\times F

那么这个丛是一个光滑丛。

向量丛

向量丛是一个具有线性结构的纤维丛。所谓线性结构，就是局部平凡化可以取为一个线性同构，即是一个双射且具有线性。

更准确地说，纤维丛 (E,B,π,F)(E, B, \pi , F) 中如果对于每个点 p∈Bp\in B，其上的纤维同构于一个向量空间

π−1(p)≅Rn \pi^{-1}(p) \cong \mathbb{R}^n

且每个点 p∈Bp\in B 处都存在一个开邻域 UU 和一个局部平凡化 Φ\Phi，使得对每个 q∈Uq\in U 局部平凡化 Φ\Phi 在纤维 EqE_q 上的限制是线性同构

φ∣Eq:Eq→{ q }×Rn≅Rn \varphi|_{E_q}: E_q\to \set{q} \times\mathbb R^n\cong\mathbb R^n

那么这个丛是一个向量丛。

向量丛的典型纤维是一个欧氏空间 Rr\mathbb{R}^r，并且其维数就定义为向量丛 EE 的秩

rank⁡E=dim⁡Rr=r \operatorname{rank}E = \dim \mathbb{R}^r = r

标量丛

流形 MM 上的标量丛 M×RM \times \mathbb{R} 包含每个点以及点上挂着的实数空间 R\mathbb{R}。如果把实数空间看成一条标量纤维 { p }×R\set{p} \times \mathbb{R}，那么标量丛可以视为所有标量纤维的不交并

M×R=⨆p∈M{ p }×R M \times \mathbb{R} = \bigsqcup_{p\in M} \set{p} \times \mathbb{R}

标量丛是一个秩为 11 的平凡丛，也可以叫平凡线丛。标量丛的投影为

π:M×R→M(p,a)↦p \pi: M \times \mathbb{R} \to M \qquad (p, a) \mapsto p

典型纤维是

R \mathbb{R}

切丛

流形 MM 上的切丛 TMTM 包含每个点 pp 以及点上挂着的切空间 TpMT_pM。如果把切空间看成一条切纤维 { p }×TpM\set{p} \times T_pM，那么切丛可以视为所有切纤维的不交并

TM=⨆p∈M{ p }×TpM TM=\bigsqcup_{p\in M} \set{p} \times T_pM

但微分几何里通常简写为

TM=⨆p∈MTpM TM=\bigsqcup_{p\in M}T_pM

切丛的投影为

π:TM→M(p,v)↦p \pi: TM \to M \qquad (p, v) \mapsto p

典型纤维是

Rn \mathbb{R}^n

其限制在开集 U⊂MU\subset M 上得到的局部平凡丛为

TM∣U≅U×Rn TM|_U\cong U\times\mathbb R^n

余切丛

流形 MM 上的余切丛 T∗MT^*M 包含每个点 pp 以及点上挂着的余切空间 Tp∗MT_p^*M。如果把余切空间看成一条余切纤维 { p }×Tp∗M\set{p} \times T_p^*M，那么余切丛可以视为所有余切纤维的不交并

T∗M=⨆p∈M{ p }×Tp∗M T^*M=\bigsqcup_{p\in M} \set{p} \times T_p^*M

但微分几何里通常简写为

T∗M=⨆p∈MTp∗M T^*M=\bigsqcup_{p\in M}T_p^*M

余切丛的投影为

π:T∗M→M(p,ω)↦p \pi: T^*M \to M \qquad (p, \omega) \mapsto p

典型纤维是

(Rn)∗ (\mathbb{R}^n)^*

其限制在开集 U⊂MU\subset M 上得到的局部平凡丛为

T∗M∣U≅U×(Rn)∗ T^*M|_U\cong U\times (\mathbb{R}^n)^*

外幂丛

流形 MM 上余切丛的外幂丛 ΛkT∗M\Lambda^kT^*M 包含每个点 pp 以及点上挂着的外幂空间 Λk(Tp∗M)\Lambda^k(T_p^*M)。如果把外幂空间看成一条外幂纤维 { p }×Λk(Tp∗M)\set{p} \times \Lambda^k(T_p^*M)，那么外幂丛可以视为所有外幂纤维的不交并

ΛkT∗M=⨆p∈M{ p }×Λk(Tp∗M) \Lambda^kT^*M=\bigsqcup_{p\in M} \set{p} \times \Lambda^k(T_p^*M)

但微分几何里通常简写为

ΛkT∗M=⨆p∈MΛk(Tp∗M) \Lambda^kT^*M=\bigsqcup_{p\in M}\Lambda^k(T_p^*M)

投影为

π:ΛkT∗M→M(p,ξ)↦p \pi: \Lambda^kT^*M\to M \qquad (p, \xi)\mapsto p

典型纤维是

Λk((Rn)∗) \Lambda^k\bigl((\mathbb{R}^n)^*\bigr)

其限制在开集 U⊂MU\subset M 上得到的局部平凡丛为

ΛkT∗M∣U≅U×Λk((Rn)∗) \Lambda^kT^*M|_U \cong U\times\Lambda^k\bigl((\mathbb{R}^n)^*\bigr)

特别地，余切丛的 00 次外幂丛和标量丛同构

Λ0T∗M≅M×R \Lambda^0T^*M \cong M \times \mathbb{R}

余切丛的 11 次外幂丛就等于自身

Λ1T∗M=T∗M \Lambda^1T^*M = T^*M

截面

截面把底空间 BB 上的一点映射到总空间 EE 上的一点

s:B→E s: B \to E

截面是投影的右逆，即先截面后投影，等价于底空间 BB 上的恒等映射

π∘s=id⁡B \pi \circ s = \operatorname{id}_B

对于 p∈Bp \in B，截面把 pp 映射到其上的纤维中的一点，而投影又映射了回来

p→sEp→πp p \xrightarrow{s} E_p \xrightarrow{\pi} p

光滑截面

设 π\pi 是一个光滑丛的投影，如果截面 ss 也是光滑映射，那么就称 ss 为一个光滑截面。

丛的所有光滑截面构成了一个光滑截面空间。用符号 Γ(E)\Gamma(E) 表示所有从底空间 BB 到总空间 EE 的光滑截面

Γ(E)={ s∈C∞(B,E)∣π∘s=id⁡B } \Gamma(E) = \Set{ s \in C^\infty(B, E) \mid \pi \circ s = \operatorname{id}_B }

场

场 XX 把 pp 映射到其上挂着的向量空间 VpV_p 中的一点

X(p)=v∈Vp X(p) = v \in V_p

而截面把 pp 映射到其上的纤维 EpE_p 中的一点

s(p)=(p,v)∈Ep{ p }×Vp s(p) = (p, v) \in E_p \set{p} \times V_p

场和截面之间存在一一对应

s(p)=(p,X(p)) s(p) = \bigl(p, X(p) \bigr)

标量场

MM 上的标量场把流形上的每个点光滑地映射到一个实数，这其实就是 MM 上的光滑函数

X∈C∞(M,R) X \in C^\infty(M, \mathbb{R})

其同构于标量丛 M×RM \times \mathbb{R} 上的光滑截面空间

C∞(M,R)=Γ(M×R)={ X∈C∞(M,M×R)∣π∘X=id⁡M } C^\infty(M, \mathbb{R}) = \Gamma(M \times \mathbb{R}) = \Set{ X \in C^\infty(M, M \times \mathbb{R}) \mid \pi \circ X = \operatorname{id}_M }

向量场

MM 上的光滑向量场把流形上的每个点光滑地映射到一个向量。MM 上所有向量场组成的空间记为

X∈X(M) X\in\mathfrak{X}(M)

其同构于切丛 TMTM 上的光滑截面空间

X(M)=Γ(TM)={ X∈C∞(M,TM)∣π∘X=id⁡M } \mathfrak X(M) = \Gamma(TM) = \Set{ X \in C^\infty(M, TM) \mid \pi \circ X = \operatorname{id}_M }

余向量场

MM 上的光滑余向量场把流形上的每个点光滑地映射到一个余向量。MM 上所有余向量场组成的空间记为

X∈Ω1(M) X\in\Omega^1(M)

后续马上会提到，Ω1(M)\Omega^1(M) 就表示流形 MM 上所有 11 次微分形式组成的空间。其同构于外幂丛 ΛkT∗M\Lambda^kT^*M 上的光滑截面空间

Ω1(M)=Γ(T∗M)={ X∈C∞(M,T∗M)∣π∘X=id⁡M } \Omega^1(M) = \Gamma(T^*M) = \Set{ X\in C^\infty(M,T^*M) \mid \pi \circ X=\operatorname{id}_M }

外幂场

MM 上的光滑外幂场把流形上的每个点光滑地映射到一个反对称张量。如果得到的是协变张量，那么这个外幂场是协变外幂场。MM 上的所有光滑协变外幂场组成的空间记为

X∈Ωk(M) X\in \Omega^k(M)

后续马上会讲到，Ωk(M)\Omega^k(M) 就表示流形 MM 上所有 kk 次微分形式组成的空间。其同构于外幂丛 ΛkT∗M\Lambda^kT^*M 上的光滑截面空间

Ωk(M)=Γ(ΛkT∗M)={ X∈C∞(M,ΛkT∗M)∣π∘X=id⁡M } \Omega^k(M)= \Gamma(\Lambda^kT^*M) = \Set{ X \in C^\infty(M, \Lambda^kT^*M) \mid \pi\circ X=\operatorname{id}_M }