流形上的微积分（一）：点上的线性代数

向量

标量是一个实数，而向量是由多个实数组成，其中每个实数叫做分量。我们把分量写在上标

v = (v^1, v^2, \cdots, v^n)

分量的个数就是向量的维数。

线性组合

向量可以和标量相乘，等价于每个分量和标量相乘

av = (av^1, av^2, \cdots, av^n)

向量之间可以相加，等价于每个分量分别相加

v + w = (v^1+w^1, v^2+w^2, \cdots, v^n+w^n)

向量 $v_1, v_2, \cdots, v_n$ 的线性组合，定义为每个向量乘上一个标量后求和

a_1v_1 + a_2v_2 + \cdots + a_nv_n

线性空间

向量之间的线性组合可以得到一个新的向量，而新的向量也可以参与线性组合，得到更多的向量。最终，经过不断地线性组合，我们得到了能够得到的所有向量。这所有的向量构成一个线性空间，称为向量空间。

向量空间可以理解为一个集合，其中任意向量之间的线性组合仍然在这个集合中，即这个集合对于线性组合是封闭的。

比如，所有由具有两个分量的向量，组成的空间称为 $\mathbb{R}^2$ 空间，可以写为

\mathbb{R}^2 = \Set{ (x,y) \mid x,y\in \mathbb{R} }

更一般地， $\mathbb{R}^n$ 空间是一个向量空间，其中的向量有 $n$ 个分量，且每个分量都可以是任意实数

\mathbb{R}^n = \Set{ (x_1, x_2, \cdots, x_n) \mid x_1, x_2, \cdots, x_n\in \mathbb{R} }

基

基被定义为一组向量，这些向量能够通过线性组合得到空间中的所有向量，并且任意一个基都无法用其它基的线性组合表示。后者可以简称为这些向量线性无关。

基的数量恰好等于空间的维数。当基的数量小于空间的维数时，无法通过线性组合得到空间中的所有向量；当基的数量大于空间的维数时，则存在一个基可以表示为其它基的线性组合。

对于 $\mathbb{R}^n$ 空间，基通常记为 $\set{e_1, e_2, \cdots, e_n}$ ，其中 $e_i$ 只有第 $i$ 个分量为 $1$ ，其余分量都为 $0$ 。

我们可以说空间是由基生成的，这表示为

\operatorname{span} \set{ v_1, v_2, \cdots, v_n } = \Set{ a_1v_1 + a_2v_2 + \cdots + a_nv_n \mid a_1, a_2, \cdots, a_n\in \mathbb{R} }

因此 $\mathbb{R}^n$ 也可以记为

\mathbb{R}^n = \operatorname{span}\set{e_1, e_2, \cdots, e_n}

余向量

余向量，也叫对偶向量，是一个作用于向量的线性泛函，把向量映射到实数

\omega: V \to \mathbb{R}

这种映射是线性的

\omega(av+bw) = a\omega(v) + b\omega(w)

对偶空间

余向量把向量映射到实数。但我们也可以认为，向量把余向量映射到实数，即向量是一个作用在余向量上的线性映射

v(\omega) = \omega(v) \in \mathbb{R}

这种映射同样是线性的

v(a\omega + b \eta) = av(\omega) + bv(\eta)

或者写为

(a\omega + b \eta)(v) = a\omega(v) + b\eta(v)

总之，所有的余向量构成了一个线性空间。余向量空间表示为 $V^*$ ，是向量空间 $V$ 的对偶空间

V^* : V \to\mathbb{R}

对偶空间和原空间的维数相同

\dim V^* = \dim V

因为对有限维向量空间，双对偶同构于原向量空间

(V^*)^* : V^* \to \mathbb{R} \qquad (V^*)^* \cong V

所以我们可以认为从余向量到实数的线性映射就是一个向量。这种同构此前已自然地将其表示为 $v(\omega) = \omega(v)$ 。

对偶基

余向量空间也是一个线性空间，因此，如果余向量空间的维数为 $n$ ，那么可以在其中找到 $n$ 个基，其线性组合可以表示余向量空间中的所有余向量。因为余向量空间时向量空间的对偶空间，所以这些基也叫向量空间的对偶基。

当余向量和向量同时出现时，由于每种向量都有基以及对应的分量，这会造成混乱，并产生大量的求和 $\sum$ 符号。于是，爱因斯坦求和约定中约定

向量空间的基指标为下标，向量分量的坐标为上标
余向量空间的基指标为上标，余向量分量的坐标为下标
如果同一个指标在一项中出现两次，且一次在上一次在下，则默认对其求和

对于 $n$ 维向量空间 $V$ ，设其基为 $\set{e_1, e_2, \cdots, e_n}$ ，则向量可表示为

v = v^je_j

设余向量空间 $V^*$ 的基为 $\set{e^1, e^2, \cdots, e^n}$ ，则余向量可表示为

\omega = \omega_ie^i

对偶基作用在向量上得到向量的分量

e^i(v) = v^i

余向量作用在基上得到余向量的分量

\omega_j = \omega(e_j)

对偶基作用在基上，指标相同为 $1$ ，指标不同为 $0$

e^i(e_j) = \delta_j^i \equiv \begin{cases} 1 & i = j\\ 0 & i \ne j \end{cases}

内积

任意余向量作用在向量上，可以写为

\omega(v) = \omega_ie^i(v^je_j) = \omega_iv^je^i(e_j) = \omega_iv^j\delta^i_j

因此当指定基后，余向量作用在向量上，就是把余向量和向量中对应的分量分别相乘后求和。我们将其定义为余向量和向量之间的内积

\omega(v) = \sum_i^n \omega_iv^i = \langle \omega | v\rangle

左边的 $\bra{\omega}$ 表示余向量，右边的 $\ket{v}$ 表示向量。而更常见的内积符号是

\langle u , v\rangle

其中左右都是向量。这种符号利用了一种同构，其实质是把一个向量当作余向量作用到另一个向量上。

在矩阵里，通常用行向量表示余向量，用列向量表示向量。因此，余向量和向量之间的内积，有时还会写为行向量左乘列向量，或者两个向量之间的点积

\langle u, v\rangle = \langle u^T | v \rangle = u^Tv = u \cdot v

矩阵

线性变换

对于一个 $m \times n$ 矩阵

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix}

如果为矩阵指定 $V^*$ 中的基 $\set{e^1, e^2, \cdots, e^n}$ ，那么矩阵的一行就可以看作一个余向量的各个分量

\omega_i = \sum_j^n a_{ij}e^j

从而矩阵的每一行都表示一个 $V^*$ 中的余向量

A = \begin{bmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \vdots \\ \omega_m \end{bmatrix}

取一个 $V$ 中的向量

v = v^ie_i

而矩阵和向量相乘，就是每一行的余向量分别作用到向量上

Av = \begin{bmatrix} \omega_1(v) \\ \omega_2(v) \\ \vdots \\ \omega_m(v) \\ \end{bmatrix}

再为矩阵指定 $W$ 中的基 $\set{f_1, f_2, \cdots, f_m}$ ，那么矩阵的一列就可以看作一个向量的各个分量。从而矩阵和 $V$ 中的向量相乘，得到的是一个 $W$ 中的向量

\begin{align*} Av &= \sum_i^m \omega_i(v)f_i \\ &= \sum_i^m \left( \sum_j^n a_{ij}e^j \right)(v) f_i \\ &= \sum_i^m \sum_j^n a_{ij}e^j(v) f_i \\ &= \sum_i^m \sum_j^n a_{ij}v^j f_i \end{align*}

在这个意义上，矩阵 $A$ 是一个线性变换，接受一个向量然后输出一个向量

A: V \to W

这通常被称作矩阵左乘

v \mapsto Av

特别地，矩阵左乘基 $e_k$ 得到矩阵的第 $k$ 列

Ae_k = \sum_i^m \sum_j^n a_{ij}e^j(e_k) f_i = \sum_i^m a_{ik} f_i = \begin{bmatrix} a_{1k} \\ a_{2k} \\ \vdots \\ a_{mk} \\ \end{bmatrix}

对偶变换

此前，我们把矩阵的行解释为余向量，列解释为向量。如果反过来解释，那么矩阵所代表的线性变换就会有所不同。不过数学上已经约定好了矩阵的行和列如何解释，所以我们先把原矩阵转置过来，得到一个 $n \times m$ 矩阵

A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix}

我们为矩阵指定 $W$ 中的基 $\set{f_1, f_2, \cdots, f_m}$ ，那么这个矩阵的一行可以看成一个向量的各个分量

v_j = \sum_i^m a_{ij}f_i

从而矩阵的每一行都表示一个 $W$ 中的向量

A^T = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \\ \end{bmatrix}

取一个 $W^*$ 中的余向量

\omega = \omega_if^i

而余向量和矩阵相乘，就是余向量分别作用到每一行的向量上

A^T\omega = \begin{bmatrix} \omega(v_1) \\ \omega(v_2) \\ \vdots \\ \omega(v_n) \\ \end{bmatrix}

再为矩阵指定 $V^*$ 中的基 $\set{e^1, e^2, \cdots, e^n}$ ，那么矩阵的一列就可以看作一个余向量的各个分量，从而 $W^*$ 中的余向量和矩阵相乘得到的是一个 $V^*$ 中的余向量

\begin{align*} A^T \omega &= \sum_j^n \omega(v_i)e^j \\ &= \sum_j^n \omega\left(\sum_i^m a_{ij}f_i\right)e^j \\ &= \sum_j^n \sum_i^m a_{ij}\omega(f_i)e^j \\ &= \sum_j^n \sum_i^m a_{ij}\omega_ie^j \end{align*}

因此，矩阵的转置 $A^T$ 也是一个线性变换，接受一个余向量，然后输出一个余向量。这通常被称为矩阵 $A^T$ 左乘 $\omega$ ，或者矩阵 $A$ 右乘 $\omega$

\omega \mapsto A^T\omega=\omega A

特别地，矩阵右乘对偶基 $f^k$ 得到矩阵的第 $k$ 行

f^kA = \sum_j^n \sum_i^m a_{ij}f^k(f_i)e^j = \sum_j^n a_{kj}e^j = \begin{bmatrix} a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} & \end{bmatrix}

余向量 $\omega \in W^*$ 是一个 $W\to\mathbb{R}$ 映射，矩阵 $A$ 是一个 $V \to W$ 映射。因此，余向量和矩阵相乘，也可以看作映射的复合

V \xrightarrow{A} W \xrightarrow{\omega} \mathbb{R}

复合的结果是 $V^*$ 中的余向量

\omega \circ A: V \to\mathbb{R}

由于复合后先进行 $A$ 再进行 $\omega$ ，所以这种复合叫对 $\omega$ 前复合 $A$ 。抛开余向量，单独看矩阵，矩阵的对偶就定义为前复合原矩阵

A^*(-) = - \circ A

矩阵原先代表从 $V\to W$ 的线性变换，矩阵的对偶代表原变换的对偶变换 $W^*\to V^*$

\begin{align*} A&: V \to W \\ A^*&: W^* \to V^* \end{align*}

对于映射，其对偶会改变映射的方向

\begin{align*} V &\xrightarrow{A} W \\ V^* &\xleftarrow{A^*} W^* \end{align*}

双线性变换

矩阵既可以左乘，也可以右乘。如果同时进行左乘和右乘，那么就得到了一个双线性变换。

设 $A$ 是一个 $V\to W$ 矩阵，同时左乘 $v \in V$ 和右乘 $\omega \in W^*$ 得到

(\omega, v) \mapsto \omega A v

这通常被称为矩阵的双线性型，其运算顺序是从右到左。因此 $Av$ 先得到一个向量，然后 $\omega$ 将其映射到实数。

这个变换记为 $B_A$ ，接受一个余向量和一个向量，然后输出一个实数

B_A: W^* \times V \to \mathbb{R}

之所以称为双线性，是因为这对于余向量和向量都满足线性

\begin{align*} B_A(\omega, av+bw) &= aB_A(\omega, v) + bB_A(\omega, w) \\ B_A(a\omega + b\eta, v) &= aB_A(\omega, v) + bB_A(\eta, v) \end{align*}

矩阵的基

设 $A$ 是一个 $V\to W$ 矩阵， $\set{e_i}_{i=1}^n$ 和 $\set{e^i}_{i=1}^n$ 分别是 $V$ 的基和对偶基， $\set{f_i}_{i=1}^m$ 和 $\set{f^i}_{i=1}^m$ 分别是 $W$ 的基和对偶基，展开双线性型中的向量和余向量

\omega A v = (\omega_if^i)A(v^je_j) = \omega_iv^j(f^iAe_j)

将 $f^iAe_j$ 记为矩阵元 $A_j^i$ ，从而双线性型可以展开为

\omega A v = \omega_j A_j^i v^i

矩阵 $A$ 单独左乘 $e_j$ 得到的 $Ae_j$ 是矩阵的第 $j$ 列；矩阵 $A$ 单独右乘 $f^i$ 得到的 $f^iA$ 是矩阵的第 $i$ 行。而 $f^iAe_j$ 先左乘 $e_j$ 再右乘 $f^i$ ，得到的恰好就是矩阵第 $i$ 行、第 $j$ 列的单个元素

a_{ij} = f^iAe_j = A_j^i

我们可以把矩阵元 $f^iAe_j$ 看成矩阵的分量，矩阵的基就是一个只在第 $i$ 行，第 $j$ 列为 $1$ 的矩阵 $E_j^i$ ，从而矩阵可以展开为

A = \sum_i^m\sum_j^n A_j^iE_j^i

矩阵基 $E_j^i$ 左乘 $e_k$ 得到

E_j^ie_k = e^j(e_k)f_i = \delta^j_kf_i = \begin{cases} f_i & k=j \\ 0 & k\ne j \end{cases}

进一步有

E_j^iv = e^j(v)f_i = v^jf_i

即，矩阵基左乘向量，就是把输入向量 $v\in V$ 的第 $j$ 个分量作为输出向量 $E_j^i(v)\in W$ 的第 $i$ 个分量。

矩阵基 $E_j^i$ 右乘 $f^k$ 得到

f^kE_j^i = f^k(f_i)e^j = \delta^k_ie^j = \begin{cases} e^j & k=i \\ 0 & k\ne i \end{cases}

进一步有

\omega E_j^i = \omega(f_i)e^j = \omega_ie^j

即，矩阵基右乘余向量，就是把输入余向量 $\omega\in W^*$ 的第 $i$ 个分量作为输出余向量 $E_j^i(\omega)\in V^*$ 的第 $j$ 个分量。

矩阵基 $E_j^i$ 同时左乘向量和右乘余向量，得到

\omega E_j^iv = \omega(f_i)e^j(v) = \omega_iv^j

即，矩阵基同时左乘向量和右乘余向量，就是把余向量的第 $i$ 个分量和向量的第 $j$ 个分量相乘，得到一个实数。

显然，对于 $m\times n$ 矩阵，矩阵基 $E_j^i$ 共有 $m\times n$ 个。

外积

由于 $E_j^iv = e^j(v)f_i$ 和 $\omega E_j^i = \omega(f_i)e^j$ ，因此单个矩阵基 $E_j^i$ 可以由 $e^j$ 和 $f_i$ 组合得到，可以记为

E_j^i = f_i e^j

这叫做向量的外积。左边为列向量，右边为行向量，得到的结果是一个矩阵

uv^T = \begin{bmatrix} u_1v_1 & u_1v_2 & \cdots & u_1v_n \\ u_2v_1 & u_2v_2 & \cdots & u_2v_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ u_mv_1 & u_mv_2 & \cdots & u_mv_n \\ \end{bmatrix}

$f_i$ 可表示为一个只有第 $i$ 行为 $1$ 的列向量， $e_j$ 可表示为一个只有第 $j$ 列为 $1$ 的行向量，因此二者的外积就是一个只有第 $i$ 行、第 $j$ 列为 $1$ 的矩阵。

$f_i$ 有 $m$ 个， $e^j$ 有 $n$ 个，二者的外积组合恰好为 $m \times n$ 个，和矩阵基数量相同。

外积得到的矩阵，同时左乘向量和右乘余向量（写为列向量的转置），得到

w^T(uv^T)z = (w^Tu)(v^Tz) = \langle w, u\rangle\langle v, z\rangle

不过外积这一运算只局限于矩阵。后面会将其推广为张量积。

张量

余向量接受一个向量，然后输出实数，并且这种映射对向量是线性的。这叫 $(0, 1)$ 型张量

T: V \to \mathbb{R}

由于双对偶的同构，可以认为向量接受一个余向量，然后输出实数，并且这种映射对余向量是线性的。这叫 $(1, 0)$ 型张量

T: V^* \to \mathbb{R}

矩阵可以看成一个双线性变换，接受一个余向量和一个向量，然后输出实数，并且这种映射对余向量和向量都是线性的。这叫 $(1,1)$ 型张量

T: V^* \times V \to \mathbb{R}

同理，如果一个张量接受两个向量，然后输出实数，并且这种映射对两个向量都是线性的，那么就叫 $(0,2)$ 型张量

T: V \times V \to \mathbb{R}

如果一个张量接受两个余向量，然后输出实数，并且这种映射对两个余向量都是线性的，那么就叫 $(2,0)$ 型张量

T: V^* \times V^* \to \mathbb{R}

一个 $(r,s)$ 型张量定义为，接受 $r$ 个余向量和 $s$ 个向量，然后输出一个实数，并且这种映射对其中所有的余向量和向量都保持线性

T: \underbrace{V^*\times\cdots\times V^*}_{r} \times \underbrace{V\times\cdots\times V}_{s} \longrightarrow \mathbb R

一个 $(r,s)$ 张量作用于余向量和向量上时，约定余向量在前，向量在后，并且可以用 $\mid$ 标记余向量和向量的分界

T( \alpha^{(1)}, \alpha^{(2)}, \cdots, \alpha^{(r)} \mid v_{(1)}, v_{(2)}, \cdots, v_{(s)} )

一个 $(r,s)$ 型张量的阶数为 $r + s$ 。

张量和

只有同型的张量之间才可以相加。两个 $(r,s)$ 型张量相加得到的仍然是 $(r,s)$ 型张量

(T + S)(\cdots \alpha^{(r)} \mid \cdots v_{(s)}) = T(\cdots \alpha^{(r)} \mid \cdots v_{(s)})+S(\cdots \alpha^{(r)} \mid \cdots v_{(s)})

张量积

两个 $(0,1)$ 型张量 $\alpha, \beta \in V^*$ 可以通过张量积得到一个 $(0,2)$ 型张量

(\alpha\otimes\beta)(v,w) = \alpha(v)\beta(w)

两个 $(1,0)$ 型张量 $v, w\in V$ 可以通过张量积得到一个 $(2,0)$ 型张量

(v \otimes w)(\alpha,\beta) = v(\alpha)w(\beta)

一个 $(0,1)$ 型张量 $v\in V$ 和一个 $(1,0)$ 型张量 $\alpha\in V^*$ 可以通过张量积得到一个 $(1,1)$ 型张量

(v \otimes \alpha)(\beta, w) = v(\beta)\alpha(w)

更一般地，一个 $(r_1,s_1)$ 型张量 $T$ 可以和一个 $(r_2,s_2)$ 型张量 $S$ 进行张量积，得到一个 $(r_1+r_1,s_1+s_2)$ 型张量

(T \otimes S)(\cdots \alpha^{(r_1 + r_2)} \mid \cdots v_{(s_1 + s_2)}) = T(\cdots \alpha^{(r_1)} \mid \cdots v_{(s_1)})S(\cdots \alpha^{(r_2)} \mid \cdots v_{(s_2)})

即参数中的前 $r_1$ 个余向量和前 $s_1$ 个向量会给左侧的 $T$ ，而后 $r_2$ 个余向量和后 $s_2$ 个向量会给右侧的 $S$ 。正因如此，张量积通常是不能交换的

T \otimes S \ne S \otimes T

另外， $(0,1)$ 型张量和 $(1,0)$ 型张量的张量积其实也不能交换，不同顺序代表的是不同张量，虽然二者之间存在同构

\begin{align*} v \otimes \omega&: V \times V^* \to \mathbb{R} \\ \omega \otimes v&: V^* \times V \to \mathbb{R} \end{align*}

特别地，标量可以看成一个 $(0,0)$ 型张量，因此 $(r,s)$ 型张量和标量相乘，得到的仍然是 $(r,s)$ 型张量

(a\otimes T)(\cdots \alpha^{(r)} \mid \cdots v_{(s)}) = aT(\cdots \alpha^{(r)} \mid \cdots v_{(s)})

张量积对于左右张量都是线性的

\begin{align*} (T_1 + T_2) \otimes S = T_1\otimes S+ T_2 \otimes S \\ T \otimes (S_1 + S_2) = T\otimes S_1+ T \otimes S_2 \\ (aT) \otimes S = a(T \otimes S) = T \otimes (aS) \end{align*}

张量空间

张量构成的空间也是一个线性空间。对于向量空间 $V$ 上的 $(r,s)$ 型张量，其张量空间通常记为

T^r_s(V) = \underbrace{V\otimes\cdots\otimes V}_r \otimes \underbrace{V^*\otimes\cdots\otimes V^*}_s = V^{\otimes r}\otimes (V^*)^{\otimes s}

张量空间的基，可以用向量空间 $V$ 中的基 $\set{e_1, e_2, \cdots, e_n}$ 和对偶基 $\set{e^1, e^2, \cdots, e^n}$ 表示为

e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_r} \otimes e^{j_1}\otimes\cdots\otimes e^{j_s}

其中每个位置的指标都可以从 $1, 2, \cdots, n$ 中选一个值。因此，张量空间 $T^r_s(V)$ 的维数为

\dim T^r_s(V) = (\dim V)^{r+s}

其中的张量可以展开为基的线性组合

T = T^{i_1\cdots i_r}_{j_1\cdots j_s} e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_r} \otimes e^{j_1}\otimes\cdots\otimes e^{j_s}

协变和逆变

对于一个 $(r,s)$ 张量，其中 $r$ 是逆变指标的个数， $s$ 是协变指标的个数。按约定逆变指标写在上标，协变指标写在下标。特别地， $(k,0)$ 型张量被称作逆变张量， $(0,k)$ 型张量被称作协变张量。

之所以叫协变和逆变，是因为在基变换时，协变张量的坐标需要进行协变，逆变张量的坐标需要进行逆变。

对于 $(1,0)$ 型逆变张量，即向量，设原来的基和坐标为

v = v^ie_i

设基变换为

f_j = A^i_j e_i

要求在新的基上表示同一个向量

v = v^ie_i = u^jf_j = u^jA^i_je_i

因此新的坐标为

\begin{align*} v^i &= A^i_ju^j \\ u^j &= (A^{-1})^j_iv^i \end{align*}

即坐标变换是基变换的逆变换，或者说坐标分量进行了逆变。

而对于 $(0,1)$ 型协变张量，即余向量，设原来的基和坐标为

\omega = w_ie^i

$\set{e^1, e^2, \cdots, e^n}$ 是 $\set{e_1, e_2, \cdots, e_n}$ 的对偶基，满足

e^i(e_j) = \delta^i_j

设基变换为

f_j = A^i_j e_i

新的对偶基依旧需要满足

\begin{align*} f^k(f_j) &= \delta^k_j \\ f^k(A^i_j e_i) &= \delta^k_j \\ A^i_j f^k(e_i) &= \delta^k_j \\ \end{align*}

由于 $\delta^k_j = e^k(e_j)$ ，设

f^k = B^k_me^m

则

f^k(e_i) = B^k_me^m(e_i) = B^k_m\delta^m_i = B^k_i

从而得到

\begin{align*} A^i_j B^k_i = \delta^k_j \\ B^k_i = (A^{-1})^k_i \end{align*}

于是新的对偶基变为

f^j = (A^{-1})^j_i e^i

要求在新的对偶基上表示同一个余向量

\omega = w_ie^i = \eta_jf^j = \eta_j(A^{-1})^j_i e^i

因此新的坐标为

\begin{align*} w_i &= (A^{-1})^j_i\eta_j \\ \eta_j &= A^i_jw_i \end{align*}

即坐标变换就是基变换，或者说坐标分量进行了协变。

这种协变和逆变可以推广到任意 $(r,s)$ 型张量上。设基为 $\set{e_1, e_2, \cdots, e_n}$ ，对偶基为 $\set{e^1, e^2, \cdots, e^n}$ ，张量在原来的基下写作

T^{i_1\cdots i_r}_{j_1\cdots j_s} e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_r} \otimes e^{j_1}\otimes\cdots\otimes e^{j_s}

设基和对偶基变为

\begin{align*} f_a &= A^i_ae_i \\ f^b &= (A^{-1})^b_je^j \end{align*}

张量在新基下写作

T^{a_1\cdots a_r}_{b_1\cdots b_s} f_{a_1}\otimes\cdots\otimes f_{a_r} \otimes f^{b_1}\otimes\cdots\otimes f^{b_s}

其坐标变换为

T^{a_1\cdots a_r}_{b_1\cdots b_s} = (A^{-1})^{a_1}_{i_1}\cdots (A^{-1})^{a_r}_{i_r} A^{j_1}_{b_1}\cdots A^{j_s}_{b_s} T^{i_1\cdots i_r}_{j_1\cdots j_s}

即每个上标乘一个 $A^{-1}$ ，发生逆变；每个下标乘一个 $A$ ，发生协变。

缩并

缩并就是对一个协变指标和一个逆变指标求和，从而把一个 $(r,s)$ 型张量变为 $(r-1,s-1)$ 型张量。

设一个 $(r,s)$ 型张量为

T= v_1\otimes\cdots\otimes v_r \otimes \alpha^1\otimes\cdots\otimes\alpha^s

缩并第 $i$ 个向量和第 $j$ 个余向量可以表示为

C^i_j(T) = \alpha^j(v_i) v_1\otimes\cdots\widehat{v_i}\cdots\otimes v_r \otimes \alpha^1\otimes\cdots\widehat{\alpha^j}\cdots\otimes\alpha^s

$\widehat{v_i}$ 和 $\widehat{\alpha^j}$ 表示从式子中去除。新的向量是一个 $(r-1,s-1)$ 型张量，并且其系数被乘上 $\alpha^j(v_i)$ 。被用于缩并的两个指标需要来自互为对偶的空间。

更一般地，对于一个 $T^r_s(V)$ 中的张量

T = T^{i_1\cdots i_r}_{j_1\cdots j_s} e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_r} \otimes e^{j_1}\otimes\cdots\otimes e^{j_s}

第 $a$ 个逆变指标和第 $b$ 个协变指标的缩并记作

C^a_b:T^r_s(V)\to T^{r-1}_{s-1}(V)

可展开为

\begin{align*} C^a_b(T) &=T^{i_1\cdots i_{a-1}ki_{a+1} i_r}_{j_1\cdots j_{b-1}kj_{b+1} j_s} \delta^{j_b}_{i_a} e_{i_1}\otimes\cdots e_{i_{a-1}} \otimes e_{i_{a+1}}\cdots\otimes e_{i_r} \otimes e^{j_1}\otimes\cdots e^{j_{b-1}} \otimes e^{j_{b+1}}\cdots\otimes e^{j_s} \end{align*}

上下指标出现了相同的 $k$ ，按照爱因斯坦求和约定自动求和。

若将矩阵视为一个 $(1,1)$ 型张量

T=T^i_je_i\otimes e^j

那么矩阵的迹就是一种缩并

C(T)=T^i_j\delta^j_i = T^i_i = \operatorname{tr}T

最终得到的是 $(0,0)$ 型张量，即一个标量。

矩阵相乘也可以看作一种缩并。取两个矩阵作为 $(1,1)$ 型张量

A=A^i_je_i\otimes e^j \qquad B=B^k_le_k\otimes e^l

二者的张量积是一个 $(2,2)$ 型张量

A \otimes B = A^i_j B^k_l e_i \otimes e_k \otimes e^j \otimes e^l

对指标 $j,k$ 进行缩并，得到

C^k_j(A \otimes B) =A^i_jB^k_l \delta^k_j e_i \otimes e^l =A^i_jB^j_l e_i \otimes e^l

这就是通常意义上的矩阵乘法

(AB)^i_k = A^i_jB^j_k

余向量作用在向量上，也可以看作一种缩并。分别取一个向量和余向量

v=v^i e_i\in V \qquad \alpha=\alpha_j e^j\in V^*

二者的张量积是一个 $(1,1)$ 型张量

v \otimes \alpha = v^i \alpha_j e_i \otimes e^j

进行缩并，得到一个 $(0,0)$ 型张量，即标量

C(v \otimes \alpha) = v^i\alpha_j\delta^j_i = v^i\alpha_i

这通常简记为线性泛函

\alpha(v) = v^i\alpha_i

楔积

楔积，也叫外积。不过，向量的外积是 outer product，而楔积被称为外积时使用的是 exterior product，二者并非同一个数学概念。这里为了避免混淆，后者统一称为楔积。

张量的分解

张量通常是不可交换的，比如对于一个 $(0,2)$ 型张量 $T$ ，交换通常不成立

T(X,Y) \ne T(Y,X)

但我们可以把张量分解成对称部分和反对称部分。

张量 $T$ 中的对称部分记为 $\operatorname{Sym}(T)$ ，对于一个 $(0,2)$ 型张量，这种分解为

\operatorname{Sym}(T)(X, Y) = \frac12\bigl(T(X,Y)+T(Y,X)\bigr)

对称部分具有交换性

\operatorname{Sym}(T)(X, Y) = \operatorname{Sym}(T)(Y, X)

张量 $T$ 中的反对称部分记为 $\operatorname{Alt}(T)$ ，也可以写为 $\Lambda(T)$ 。对于一个 $(0,2)$ 型张量，这种分解为

\Lambda(T)(X, Y) = \operatorname{Alt}(T)(X, Y) = \frac12\bigl(T(X,Y)-T(Y,X)\bigr)

反对称部分具有反交换性

\Lambda(T)(X, Y) = - \Lambda(T)(Y, X)

对于更高阶的张量，完全对称部分要求交换任意两个参数结果都相同，而完全反对称部分要求交换任意两个参数结果都相反。显然，这种完全分解只能定义在 $(r,0)$ 型或 $(0,s)$ 型张量上，因为只有这些张量的所有参数类型都相同，否则有些参数的顺序根本无法交换。

我们更关心 $(0,s)$ 型张量 $T$ 的完全反对称分解，这可以定义为

\Lambda(T)(X_1,\cdots,X_s) = \frac1{s!} \sum_{\sigma\in S_s} \operatorname{sgn}(\sigma) T(X_{\sigma(1)},\cdots,X_{\sigma(s)})

其中 $S_s$ 是 $s$ 个参数指标的所有排列，总数为 $s!$ 个

S_s = \Set{ (a_1, \cdots, a_s) \mid \set{ a_1, \cdots, a_s } = \mathbb{Z}_s }

而 $\operatorname{sgn}(\sigma)$ 值为 $+1$ 或 $-1$ 。当排列 $\sigma$ 为偶排列，即逆序数为偶数时 $\operatorname{sgn}(\sigma)=+1$ ；当排列 $\sigma$ 为奇排列，即逆序数为奇数时 $\operatorname{sgn}(\sigma)=-1$ 。

如果一个张量本身就是反对称的，那么就叫反对称张量。所有 $(0,s)$ 型反对称张量组成的张量空间记为 $\Lambda^s(V^*)$ 。

张量积的分解

对 $(0,p)$ 型张量 $T$ 和 $(0, q)$ 型张量 $S$ ，二者的张量积 $T \otimes S$ 是一个 $(0,p+q)$ 型张量。 $T$ 和 $S$ 可以分解出反对称部分， $T \otimes S$ 也能分解出反对称部分，二者的关系为

\Lambda(T\otimes S) = \Lambda\bigl(\Lambda(T)\otimes \Lambda(S)\bigr)

即两个张量相乘的反对称部分，等于两个张量的反对称部分相乘的反对称部分。

最外层的反对称可进一步展开为

\Lambda(T\otimes S) (v_1,\cdots,v_{p+q}) =\frac{p!q!}{(p+q)!} \sum_{\sigma\in \mathrm{Sh}(p,q)} \operatorname{sgn}(\sigma) \bigl(\Lambda(T)\otimes\Lambda(S)\bigr) (v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(p+q)})

其中 $\mathrm{Sh}(p,q)$ 是所有保持前 $p$ 个指标和后 $q$ 个指标内部次序的排序

\operatorname{Sh}(p,q) =\Set{ \sigma\in S_{p+q} \mid \sigma(1)<\cdots<\sigma(p) \land \sigma(p+1)<\cdots<\sigma(p+q) }

特别地，对于两个 $(0,1)$ 型张量，二者张量积的反对称部分为

\Lambda(T\otimes S) = \frac12(T\otimes S-S\otimes T)

楔积的定义

楔积定义在两个反对称张量上。对于 $(0,p)$ 型反对称张量 $T$ 和 $(0, q)$ 型反对称张量 $S$ ，二者的楔积定义为

(T\wedge S)(v_1,\cdots,v_{p+q}) =\sum_{\sigma\in \mathrm{Sh}(p,q)} \operatorname{sgn}(\sigma) T(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(p)}) S(v_{\sigma(p+1)},\cdots,v_{\sigma(p+q)})

得到的结果是一个 $(0,p + q)$ 型反对称张量

\wedge: \Lambda^p(V^*) \times \Lambda^q(V^*) \to \Lambda^{p+q}(V^*)

楔积也可以认为是张量积的反对称部分的归一化

T\wedge S = \frac{(p+q)!}{p!q!}\Lambda(T\otimes S)

特别地，对于两个 $(0,1)$ 型张量，二者的楔积为

T\wedge S = 2\Lambda(T\otimes S) = T\otimes S-S\otimes T

对于 $n$ 个 $(0,1)$ 型张量的连续楔积，可以用行列式进行计算

(T_1 \wedge \cdots \wedge T_n)(v_1, \cdots, v_n) = \begin{vmatrix} T_1(v_1) & T_1(v_2) & \cdots & T_1(v_n) \\ T_2(v_1) & T_2(v_2) & \cdots & T_2(v_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ T_n(v_1) & T_n(v_2) & \cdots & T_n(v_n) \\ \end{vmatrix}

展开之后符合原先的定义

(T_1 \wedge \cdots \wedge T_n)(v_1, \cdots, v_n) = \sum_{\sigma\in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^nT_i(v_{\sigma(i)})

楔积的律

楔积最大的特点是满足分次反交换律。若 $\alpha$ 是 $(0,k)$ 型张量， $\beta$ 是 $(0, l)$ 型张量，那么二者的楔积交换顺序后，是否变号由乘积 $kl$ 决定

\alpha\wedge\beta = (-1)^{kl}\beta\wedge\alpha

当 $k$ 和 $l$ 都为奇数时具有反交换性

\alpha \wedge \beta = -\beta \wedge \alpha

可以推出，当 $k$ 是奇数时， $(0,k)$ 型张量与自身的楔积为 $0$

\alpha \wedge \alpha = -\alpha \wedge \alpha = 0

进一步地，对于 $(0,1)$ 型张量的连续 $s$ 次楔积

\alpha^{i_1}\wedge\cdots\wedge \alpha^{i_s}

如果有相同的两个张量 $\alpha^{i_a}$ ，则结果为零

\cdots \wedge\alpha^{i_a}\wedge \cdots \wedge\alpha^{i_a}\wedge \cdots = 0

且交换任意两个张量 $\alpha^{i_a}, \alpha^{i_b}$ 的顺序，结果都会变号

\cdots \wedge\alpha^{i_b}\wedge \cdots \wedge\alpha^{i_a}\wedge \cdots =-\cdots \wedge\alpha^{i_a}\wedge \cdots \wedge\alpha^{i_b}\wedge \cdots

这个性质可以用来给指标重新排序。通过不断交换指标，让小指标往前，大指标往后，最终所有指标都满足递增顺序。而最终变号还是不变号，由初始排列的逆序数决定。

此外，楔积还满足分配律和结合律

\begin{align*} (f\alpha+g\beta)\wedge \gamma &= f(\alpha\wedge\gamma)+g(\beta\wedge\gamma) \\ \alpha\wedge(f\beta+g\gamma) &= f(\alpha\wedge\beta)+g(\alpha\wedge\gamma) \\ (\alpha\wedge\beta)\wedge\gamma &= \alpha\wedge(\beta\wedge\gamma) \end{align*}

外幂空间

所有 $(0,s)$ 型反对称张量组成的空间 $\Lambda^s(V^*)$ 是张量空间 $T^0_s(V)$ 的子空间

\Lambda^s(V^*) \subset T^0_s(V) = (V^*)^{\otimes s}

设 $\dim V=n$ ， $\Lambda^s(V^*)$ 的维数通常比 $(V^*)^{\otimes s}$ 更小

\dim \Lambda^s(V^*) = \binom{n}{s} \le n^s = \dim (V^*)^{\otimes s}

$\Lambda^s(V^*)$ 也是一个线性空间。若 $V^*$ 中的基为 $\set{e^i}_{i=1}^n$ ，则 $\Lambda^s(V^*)$ 中的一组自然基为

\Set{ e^{i_1}\wedge\cdots\wedge e^{i_s} \mid 1\le i_1<\cdots<i_s\le n }

特别地，对于 $V^*$ 的 $1$ 阶外幂空间 $\Lambda^1(V^*)$ ，其基就是 $V^*$ 中的基

\Set{ e^{i} \mid 1\le i \le n }

而对于 $V^*$ 的 $0$ 阶外幂空间 $\Lambda^0(V^*)$ ，其同构于实数空间

\Lambda^0(V^*) \cong \mathbb{R}

拉回

拉回可以看成一种推广到张量上的对偶。

余向量的拉回

给定线性映射

A:V\to W

其诱导出一个拉回算子 $A^*$

A^*: W^* \to V^*

拉回算子 $A^*$ 作用在余向量 $\omega\in W^*$ 上，得到前复合 $A$ 的新的余向量

A^*\omega = \omega \circ A

这其实就是对偶映射的定义。不过，拉回这个词显然更加形象

V \xrightarrow{A} W \xrightarrow{\omega} \mathbb{R}

这里 $\omega$ 原本是作用在 $W$ 上的向量，但其输入被 $A$ 拉回到 $V$ 上，得到新的余向量

A^*\omega\in V^*

协变张量的拉回

给定线性映射

A:V\to W

对于一个 $k$ 阶协变张量

T\in (W^*)^{\otimes k}

$A$ 可以诱导出一个拉回

(A^*)^{\otimes k}: (W^*)^{\otimes k} \to (V^*)^{\otimes k}

简记为 $A^*$ 。其作用在协变张量上得到

A^*T\in (V^*)^{\otimes k}

可表示为

(A^*T)(v_1,\dots,v_k) = T(Av_1,\dots,Av_k)

即，通过让所有输入的向量先经过 $A$ 处理， $T$ 从一个 $(W^*)^{\otimes k}$ 中的协变张量变成了 $(V^*)^{\otimes k}$ 中的协变张量 $A^*T$ 。也就是说， $T$ 的每个输入向量从 $W$ 被 $A$ 拉回到了 $V$ 上。

楔积的拉回

映射 $A:V\to W$ 同样可以诱导出对反对称协变张量的拉回

\Lambda^k A^*: \Lambda^k(W^*) \to \Lambda^k(V^*)

简记为 $A^*$ 。其定义和对协变张量的拉回完全相同

(A^*\omega)(v_1,\dots,v_k) = \omega(Av_1,\dots,Av_k) \qquad \omega \in \Lambda^k(W^*)

但反对称协变张量的特殊之处在于，楔积能够保持拉回

A^*(\alpha\wedge\beta) = A^*\alpha\wedge A^*\beta

映射的拉回

拉回本身是由映射 $A: V\to W$ 诱导出来的，但我们也可以用一个映射诱导出来的拉回去拉回另一个映射。考虑如下映射的复合

V\xrightarrow{A}W\xrightarrow{B}U

这里 $B$ 的输入被 $A$ 从 $W$ 拉回到 $V$ 。我们将其视为拉回算子 $A^*$ 作用在 $B$ 上，得到前复合 $A$ 的新映射

A^*B = B \circ A: V \to U

这其实也是对偶映射的定义

A^*: W^*\to V^*

和对余向量的拉回并没有区别，只是输入的类型变成了映射

A^*(-)=-\circ A

拉回的拉回

我们试着在 $B\circ A$ 后接上一个余向量

V\xrightarrow{A}W\xrightarrow{B}U \xrightarrow{\omega} \mathbb{R}

我们可以认为发生了连续拉回：先是 $\omega$ 的输入被 $B$ 从 $U$ 拉回到 $W$ ，然后再被 $A$ 拉回到 $V$ 。我们也可以只发生了一次拉回： $A$ 和 $B$ 的复合映射 $B\circ A$ 把 $\omega$ 的输入从 $U$ 拉回到 $V$ 。我们将其写为

A^*(B^*\omega) = (B\circ A)^* \omega =(A^*B)^*\omega

也就是说，拉回是可结合的。也可以推导出

(B\circ A)^*\omega=A^*(B^*\omega)=(A^*\circ B^*)\omega

即复合映射 $B\circ A$ 诱导的拉回，这等价于各自诱导的拉回的复合，只是此时复合的顺序要反转

V^*\xleftarrow{A^*}W^*\xleftarrow{B^*}U^*

但抛弃掉复合符号，只把拉回当成算子，公式其实是更容易记忆的——这不过就是拉回的结合性而已。

进一步地，对于更多的连续拉回

V_1\xrightarrow{A_1}V_2\xrightarrow{A_2} \cdots \xrightarrow{A_n} V_n

用复合的写法有

(A_n \circ \cdots \circ A_2 \circ A_1)^* = A_1^* \circ A_2^* \circ \cdots \circ A_n^*

如果给右式输入一个余向量，并把前复合改为括号，那么其实写法上就很接近拉回了

(A_1^* \circ A_2^* \circ \cdots \circ A_n^*)\omega =A_1^*\bigl(A_2^*(\cdots A_n^*(\omega))\bigr)

由于拉回算子满足结合律，所以运算顺序和括号并不重要

(A_1^* \circ A_2^* \circ \cdots \circ A_n^*)\omega = A^*_1A^*_2\cdots A^*_n\omega

向量#

线性组合#

线性空间#

基#

余向量#

对偶空间#

对偶基#

内积#

矩阵#

线性变换#

对偶变换#

双线性变换#

矩阵的基#

外积#

张量#

张量和#

张量积#

张量空间#

协变和逆变#

缩并#

楔积#

张量的分解#

张量积的分解#

楔积的定义#

楔积的律#

外幂空间#

拉回#

余向量的拉回#

协变张量的拉回#

楔积的拉回#

映射的拉回#

拉回的拉回#

向量