本文最初的目的是整理我三年前阅读《托马斯微积分》时做的笔记。但在写作的过程中，我通过《可视化微分几何和形式》 / 《流形上的分析》等书籍接触到了更现代的观点。因此，本文后来经历了大规模的重构。

现在，本文的整体路线如下

  1. 《点上的线性代数》 准备一些代数工具，包括向量、余向量、矩阵、张量、楔积，为后续研究流形上的代数结构做准备。
  2. 《流形的逐点线性化》 讲解流形几何的基本概念，包括流形、子流形、切空间、余切空间、张量空间、外幂空间、丛、截面，主要研究代数结构在流形上的变化。
  3. 《微分形式》 介绍微分形式，以及外微分和对微分形式的积分。
  4. 《广义斯托克斯定理》 是全文的高潮。推导广义斯托克斯定理，并用其统一微积分基本定理、曲线积分基本定理、格林定理、高斯定理和斯托克斯定理。
  5. 《黎曼度量》 介绍黎曼度量，以及与之相关的音乐同构、霍奇星算子、法空间和余法空间，为后续建立从微分形式语言到向量分析语言的对应做铺垫。
  6. 《经典向量分析》 将经典向量分析中的点积、叉积、梯度、密度、散度、旋度用微分形式的语言重新定义。

总之，笔记采取的原则是

  1. 先准备工具，再介绍概念，最后推导公式
  2. 从抽象到具体，从一般到特殊
  3. 同一个概念尽量不重复介绍，除非有必要从不同的视角看同一个概念