本文介绍目前主要的导数类型以及相应的符号，包括牛顿、拉格朗日、莱布尼茨、欧拉等古典记号，以及基于算子的现代微分符号。

牛顿记号

牛顿记号在函数上加点来表示导数。加几个点就表示几阶导

y˙y¨ \dot{y} \quad \ddot{y}

除少数物理书外现在已经不再使用该记号了。它没法表示任意阶的导数和偏导数。

关于牛顿记号还有一些小趣事：据说它曾阻碍了英国的数学发展。为了争夺微积分的发明权，英国学界长期拒绝使用莱布尼茨的符号体系。这导致英国数学严重脱节于欧洲大陆近百年。直到十九世纪，一批年轻的学者强行将莱布尼茨记号引入了英国，才终于改变了这一局面。

拉格朗日记号

拉格朗日记号在函数右上角加撇来表示导数。加几个撇就表示几阶导，任意阶导数则改为括号和数字

f′(x)f′′(x)f(n)(x) f'(x) \quad f''(x) \quad f^{(n)}(x)

该记号很方便书写，且能够表示任意阶导数——但无法表示偏导数。因此多数微积分入门教材最终还是会引入莱布尼茨记号。

莱布尼茨记号

莱布尼茨记号用两个无穷小量的比值来表示导数

dydxd2ydx2dnydxn \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \quad \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} \quad \frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n}

该记号虽然是教科书中最常见的符号，并且非常方便记忆链式法则，但其实很容易引起初学者的误解。虽然在古典微积分中，导数确实被定义为微小量之商，但这种观点早已被现代微积分淘汰了。

现在应该将 ddx\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} 理解为一个算子——它自身是不可分割的。算子作用在 yy 上可以得到 yy 的导数。而求高阶导数时可以把算子记为 nn 次方 dndxn\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}，以表示连续作用 nn 次。

莱布尼茨记号可以很方便地表示偏导数

∂f∂x∂2f∂x2∂nf∂xn∂m+nf∂ym∂xn \frac{\partial f}{\partial x} \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \quad \frac{\partial^n f}{\partial x^n} \quad \frac{\partial^{m+n} f}{\partial y^m\partial x^n}

其中 ∂m+nf∂ym∂xn\frac{\partial^{m+n} f}{\partial y^m\partial x^n} 是混合偏导数，求导顺序为从右到左，因此其表示先对 xx 求 nn 次偏导，再对 yy 求 mm 次偏导。

下标记号

下标记号用于简化偏导数

fx=∂f∂xfxx=∂2f∂x2fxy=∂2f∂y∂x f_{x} = \frac{\partial f}{\partial x} \quad f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}

下标记号的偏导顺序为从左到右，因此 fxyf_{xy} 是先对 xx 求偏导，再对 yy 求偏导。

微分算子

微分算子也叫欧拉记号，是对莱布尼茨记号的简化

D=ddxDn=dndxn \mathcal{D} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \quad \mathcal{D}^n = \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}

虽然欧拉并不了解微分算子理论，他只是为了方便而发明此符号——不过这确实就是最适合现代微积分理论的导数符号。欧拉记号明确了微分本身是一个不可分割的算子，不像莱布尼茨记号那样暗示导数是商；同时，欧拉记号还让对算子本身进行代数运算这一操作变得十分自然。

正如乘法之于加法，矩阵之于方程组，微分算子不仅是一种简写，它还带来了许多新的发现，比如

  • 将微分理解为线性算子空间中的元素
    D∈Hom(V,W) \mathcal{D} \in \mathrm{Hom}(V, W)
  • 定义积分为微分的逆运算
    y=D−1Dy y = \mathcal{D}^{-1} \mathcal{D}y
  • 用微分算子的多项式定义微分方程
    (∑i=0naiDi)y=0 \left(\sum_{i=0}^n a_i\mathcal{D}^i\right)y = 0
  • 定义微分算子指数
    etD=∑n=0∞tnn!Dn e^{t\mathcal{D}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} \mathcal{D}^n

偏微分算子可以类似地表示为

∂x=∂∂x∂xn=∂n∂xn∂ym∂xn=∂m+n∂ym∂xn \partial_x = \frac{\partial}{\partial x} \quad \partial^n_x = \frac{\partial^n}{\partial x^n} \quad \partial^m_y\partial^n_x = \frac{\partial^{m+n}}{\partial y^m\partial x^n}

它和莱布尼茨记号一样按从右到左的顺序结合，因此 ∂ym∂xn\partial^m_y\partial^n_x 是先对 xx 求 nn 次偏导，再对 yy 求 mm 次偏导。

向量微分算子

向量微分算子也叫哈密顿算子，用于对向量函数 f:Rn→Rf: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} 或 F⃗:Rn→Rm\vec{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m 进行微分。

设空间的标准正交基为 {e1,e2,⋯ ,en}\{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \cdots, \mathbf{e}_n \}，那么向量微分算子可以表示为

∇=∑i=1n∂iei \nabla = \sum_{i=1}^n\partial_i\mathbf{e}_i

从而梯度为

grad⁡f=∇f=∑i=1n∂ifei \begin{align*} \operatorname{grad}f &= \nabla f \\ &= \sum_{i=1}^n\partial_if\mathbf{e}_i \end{align*}

散度为

div⁡F⃗=∇⋅F⃗=(∑i=1n∂iei)⋅F⃗=∑i=1n∂iFi \begin{align*} \operatorname{div} \vec{F} &= \nabla \cdot \vec{F} \\ &= \left( \sum_{i=1}^n\partial_i\mathbf{e}_i \right) \cdot \vec{F} \\ &= \sum_{i=1}^n\partial_iF_i \end{align*}

类似地还有拉普拉斯算子

∇2=∇⋅∇=(∑i=1n∂iei)⋅(∑i=1n∂iei)=∑i=1n∂i2 \nabla^2 = \nabla \cdot \nabla = \left( \sum_{i=1}^n\partial_i\mathbf{e}_i \right) \cdot \left( \sum_{i=1}^n\partial_i\mathbf{e}_i \right) = \sum_{i=1}^n\partial_i^2

拉普拉斯算子作用于函数上，其实就是求其梯度的散度

div⁡(grad⁡f)=∇2f=∑i=1n∂i2f \begin{align*} \operatorname{div}(\operatorname{grad} f) &= \nabla^2 f \\ &= \sum_{i=1}^n\partial_i^2f \end{align*}

二阶导数是对梯度求梯度。为了防止和拉普拉斯算子混淆，通常会写为 ∇⊗2\nabla^{\otimes 2}

∇⊗2f=∇⊗(∇f)=(∑i=1n∂iei)⊗(∑i=1n∂ifei)=∑i=1n∑j=1n(∂iei)⊗(∂jfej)=∑i=1n∑j=1n∂i∂jf(ei⊗ej) \begin{align*} \nabla^{\otimes 2} f &= \nabla \otimes (\nabla f) \\ &= \left( \sum_{i=1}^n\partial_i\mathbf{e}_i \right) \otimes \left( \sum_{i=1}^n\partial_if\mathbf{e}_i \right) \\ &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (\partial_i\mathbf{e}_i)\otimes(\partial_j f \mathbf{e}_j) \\ &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\partial_i\partial_j f (\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j) \end{align*}

其中 ⊗\otimes 表示张量积。高阶导数继续使用 ⊗\otimes 进行递归定义

∇⊗kf=∇⊗(∇⊗(k−1)f) \nabla^{\otimes k} f = \nabla \otimes (\nabla^{\otimes (k-1)} f)

向量微分算子不局限于三维空间，不过只有在三维空间中，旋度才是一个向量并且可以用向量微分算子和叉乘进行定义。此时向量微分算子通常表示为

∇=∂xi⃗+∂yj⃗+∂zk⃗ \nabla = \partial_x\vec{i} + \partial_y\vec{j} + \partial_z\vec{k}

旋度则定义为

curl⁡F⃗=∇×F⃗=(∂xi⃗+∂yj⃗+∂zk⃗)⋅(Fxi⃗+Fyj⃗+Fzk⃗)=(∂yFz−∂zFy)i⃗+(∂zFx−∂xFz)j⃗+(∂xFy−∂yFx)k⃗ \begin{align*} \operatorname{curl} \vec{F} &= \nabla \times \vec{F} \\ &= \left( \partial_x\vec{i} + \partial_y\vec{j} + \partial_z\vec{k} \right) \cdot \left( F_x\vec{i} + F_y\vec{j} + F_z\vec{k} \right) \\ &= (\partial_y F_z-\partial_z F_y)\vec{i} + (\partial_z F_x-\partial_x F_z)\vec{j} + (\partial_x F_y-\partial_y F_x)\vec{k} \end{align*}

泛函微分算子

泛函把函数映射为数，其微分被叫做变分。泛函微分算子更标准的名称是变分算子，也可以叫欧拉-拉格朗日算子，其作用在泛函上，得到泛函的导数，也叫变分导数。

许多重要的泛函都可以表示为拉格朗日函数 LL 的定积分，形如

F[y]=∫abL(x,y,y′)dx F[y] = \int_a^b L(x, y, y') \mathrm{d}x

对该泛函运用变分算子得到

δFδy(x)=∂L∂y−ddx(∂L∂y′) \frac{\delta F}{\delta y(x)} = \frac{\partial L}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \frac{\partial L}{\partial y'} \right)

如果嫌弃莱布尼茨风格的符号过于繁琐，也可以使用欧拉风格的符号

Ey(x)=∂∂y−ddx∂∂y′ \mathcal{E}_{y(x)} = \frac{\partial}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial}{\partial y'}

对于更一般的拉格朗日函数

L=L(x,y,y′,y′′,⋯ ,y(n)) L=L(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)})

其变分导数为

δFδy(x)=Ey(x)L=∑k=0n(−1)kdkdxk(∂L∂y(k)) \frac{\delta F}{\delta y(x)} = \mathcal{E}_{y(x)}L = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}x^k} \left( \frac{\partial L}{\partial y^{(k)}} \right)

外微分算子

外微分算子同样源于莱布尼茨记号，不过它的内涵则完全不同——外微分作用在微分形式上，将 kk 形式变为 k+1k+1 形式。

kk 形式可表示为

ω=∑I∈IkfI(x)dxi1∧dxi2∧⋯∧dxik \omega = \sum_{I \in \mathcal I_k} f_I(x) \mathrm{d}x^{i_1} \wedge \mathrm{d}x^{i_2} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_k}

其中 Ik={(i1,i2,⋯ ,ik)∣1≤i1<i2<⋯<ik≤n}\mathcal I_k =\{(i_1, i_2, \cdots, i_k) \mid 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n\}，而 ∧\wedge 表示楔积。

它的外微分为 k+1k+1 形式

dω=∑I∈IkdfI(x)∧dxi1∧⋯∧dxik \mathrm{d}\omega = \sum_{I \in \mathcal I_k} \mathrm{d}f_I(x) \wedge \mathrm{d}x^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_k}

代入 dfI(x)=∑j=1n∂xjfI(x)dxj\mathrm{d}f_I(x) = \sum_{j=1}^{n} \partial_{x^j}f_I(x) \mathrm{d}x^j 得到

dω=∑I∈Ik∑j=1n∂xjfI(x)dxj∧dxi1∧dxi2∧⋯∧dxik \mathrm{d}\omega = \sum_{I \in \mathcal I_k} \sum_{j=1}^{n} \partial_{x^j}f_I(x) \mathrm{d}x^j \wedge \mathrm{d}x^{i_1} \wedge \mathrm{d}x^{i_2} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_k}

在三维黎曼流形上，梯度、散度和旋度可以通过外微分得到统一的表示

  • 梯度要先对 00 形式求外微分得到 11 形式，再把 11 形式变为向量场
    grad⁡f=(df)♯ \operatorname{grad} f = (\mathrm{d}f)^\sharp
  • 散度要先把向量场变为 11 形式，再求对偶得到 22 形式，接着求外微分得到 33 形式，最后求对偶得到 00 形式
    div⁡F=⋆d(⋆F♭) \operatorname{div} \mathbf{F} = \star \mathrm{d} (\star \mathbf{F}^\flat)
  • 旋度要先把向量场变为 11 形式，再求外微分得到 22 形式，接着求对偶得到 11 形式，最后把 11 形式变为向量场
    curl⁡F=[⋆d(F♭)]♯ \operatorname{curl} \mathbf{F} = \left[ \star \mathrm{d}(\mathbf{F}^\flat) \right]^\sharp

其中

  • ♯\sharp 和 ♭\flat 表示音乐同构，♯\sharp 把 11 形式变为向量场，♭\flat 把向量场变为 11 形式
  • ⋆\star 表示霍奇星算子，其作用于 kk 形式，得到 n−kn-k 形式，其中 nn 是流形的维数

拉普拉斯算子是求梯度的散度，经过复合后可知，其先对 00 形式求外微分得到 11 形式，再求对偶得到 22 形式，接着求外微分得到 33 形式，最后求对偶得到 00 形式

div⁡(grad⁡f)=⋆d[⋆(df)♯♭]=⋆d(⋆df) \begin{align*} \operatorname{div}(\operatorname{grad}f) &= \star \mathrm{d} \left[\star (\mathrm{d}f)^{\sharp\flat} \right] \\ &= \star \mathrm{d} (\star \mathrm{d}f) \end{align*}

广义斯托克斯定理基于外微分，其统一并推广了微积分基本定理、格林定理、高斯定理和斯托克斯定理

∫∂Ωω=∫Ωdω \int_{\partial \Omega} \omega = \int_{\Omega} \mathrm{d}\omega

其中 Ω\Omega 表示流形，∂Ω\partial \Omega 表示 Ω\Omega 的边界，ω\omega 表示微分形式，dω\mathrm{d}\omega 表示 ω\omega 的外微分。

伊藤微分算子

伊藤微分算子和莱布尼茨记号在外观上没有区别，不过它的含义也完全不同。其作用于随机变量 XtX_t 上

dXt=μ(t,Xt)dt+σ(t,Xt)dWt \mathrm{d}X_t = \mu(t, X_t) \mathrm{d}t + \sigma(t, X_t) \mathrm{d}W_t

其中 dWt\mathrm{d}W_t 是标准布朗运动的增量，满足均值为 00，方差为 dt\mathrm{d}t 的正态分布。

若定义函数 f(t,Xt)f(t, X_t)，经典的全微分公式会给出 df=ftdt+fxdXt\mathrm{d}f = f_t \mathrm{d}t + f_x \mathrm{d}X_t，但这在随机环境下是错误的。正确的伊藤微分为

df=12σ2fxx(dWt)2+ftdt+fxdXt=(ft+μfx+12σ2fxx)dt+σfxdWt \begin{align*} \mathrm{d}f &= \frac{1}{2}\sigma^2 f_{xx}(\mathrm{d}W_t)^2 + f_t\mathrm{d}t + f_x \mathrm{d}X_t \\ &= ( f_t + \mu f_x + \frac{1}{2}\sigma^2 f_{xx} ) \mathrm{d}t + \sigma f_x \mathrm{d}W_t \end{align*}

多出来的 12σ2fxx(dWt)2\frac{1}{2}\sigma^2 f_{xx}(\mathrm{d}W_t)^2 产生于布朗运动的二次变差性质：dWt\mathrm{d}W_t 的二阶无穷小量 (dWt)2=dt(\mathrm{d}W_t)^2=\mathrm{d}t，从而不可被忽略。因此，泰勒级数中的 12σ2fxx(dWt)2\frac{1}{2}\sigma^2 f_{xx}(\mathrm{d}W_t)^2 需要被添加到伊藤微分的结果中。