本文将从线性代数的角度，将单变量函数 R→R\mathbb{R} \to \mathbb{R} 的微分扩展到多变量函数 Rn→R\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} 上。用到的数学工具只有向量和矩阵。

多元函数的微分

一阶导数：梯度向量

设 f:Rn→Rf: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}，我们可以对自变量 x=(x1,x2,⋯ ,xn)T\mathbf{x}=(x_1, x_2, \cdots, x_n)^T 的每个分量分别求导数

∂f∂xi=lim⁡h→0f(x1,⋯ ,xi+h,⋯ ,xn)−f(x1,⋯ ,xi,⋯ ,xn)h \frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1,\cdots,x_i+h,\cdots,x_n) - f(x_1,\cdots,x_i,\cdots,x_n)}{h}

这就是 ff 的偏导数。但偏导数固定其余分量，只变化第 ii 个分量，因此只能表示对特定方向的变化率。

若想表示对任意方向的变化率，则我们需要一种来自线性代数的方法——先把原向量分解到每个分量上，然后计算各分量方向上的变化量，最后求和得到总的变化量。若 ff 在 x0\mathbf{x}_0 处可微，则在 x0\mathbf{x}_0 处 ff 有局部的线性性，因此这种分解是成立的。

对于单位向量 u∈Rn\mathbf{u} \in \mathbb{R}^n，其坐标已经完成了分解

u=[u1u2⋮un] \mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix}

从而函数在该方向的变化率，即方向导数为

Duf(x)=∂f∂x1u1+∂f∂x2u2+⋯+∂f∂xnun=∑i=1n∂f∂xiui D_{\mathbf{u}} f(\mathbf{x}) = \frac{\partial f}{\partial x_1} u_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} u_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n} u_n = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} u_i

写成向量形式

Duf(x)=[∂f∂x1∂f∂x2⋯∂f∂xn]u D_{\mathbf{u}} f(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} & \frac{\partial f}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{bmatrix} \mathbf{u}

该行向量的转置就是梯度向量——由各一阶偏导数组成的列向量

∇f(x)=[∂f∂x1∂f∂x2⋮∂f∂xn] \nabla f(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} \\ \frac{\partial f}{\partial x_2} \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{bmatrix}

函数沿 dx=(dx1,dx2,⋯ ,dxn)T\mathrm{d}\mathbf{x} = (\mathrm{d}x_1, \mathrm{d}x_2, \cdots, \mathrm{d}x_n)^T 的变化量为

df=∇f(x)⋅dx=∑i=1n∂f∂xidxi \mathrm{d}f = \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} \mathrm{d}x_i

这就是全微分公式。

二阶导数：海森矩阵

要继续求二阶导数，直接对梯度向量 ∇f\nabla f 的每个分量 ∂f∂xi\frac{\partial f}{\partial x_i} 继续求全微分即可

d(∂f∂xi)=∑j=1n∂∂xj(∂f∂xi)dxj=∑j=1n∂2f∂xj∂xidxj=[∂2f∂x1∂xi∂2f∂x2∂xi⋯∂2f∂xn∂xi][dx1dx2⋮dxn] \begin{align*} \mathrm{d} \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} \right) &= \sum_{j=1}^n \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} \right) \mathrm{d}x_j \\ &= \sum_{j=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} \mathrm{d}x_j \\ &= \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_i} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_i} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_i} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathrm{d}x_1 \\ \mathrm{d}x_2 \\ \vdots \\ \mathrm{d}x_n \end{bmatrix} \end{align*}

写成完整的矩阵形式

d[∂f∂x1∂f∂x2⋮∂f∂xn]=[∂2f∂x12∂2f∂x2∂x1⋯∂2f∂xn∂x1∂2f∂x1∂x2∂2f∂x22⋯∂2f∂xn∂x2⋮⋮⋱⋮∂2f∂x1∂xn∂2f∂x2∂xn⋯∂2f∂xn2][dx1dx2⋮dxn] \mathrm{d}\begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} \\ \frac{\partial f}{\partial x_2} \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathrm{d}x_1 \\ \mathrm{d}x_2 \\ \vdots \\ \mathrm{d}x_n \end{bmatrix}

该矩阵的转置就是海森矩阵

Hf(x)=[∂2f∂x12∂2f∂x1∂x2⋯∂2f∂x1∂xn∂2f∂x2∂x1∂2f∂x22⋯∂2f∂x2∂xn⋮⋮⋱⋮∂2f∂xn∂x1∂2f∂xn∂x2⋯∂2f∂xn2] \mathbf{H}_f(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}

引入海森矩阵后，上述结果可优美地表示为

d(∇f)=HfTdx \mathrm{d}(\nabla f) = \mathbf{H}_f^{T} \mathrm{d}\mathbf{x}

现计算沿 dx=(dx1,dx2,⋯ ,dxn)T\mathrm{d}\mathbf{x} = (\mathrm{d}x_1, \mathrm{d}x_2, \cdots, \mathrm{d}x_n)^T 的二阶变化量。我们已经得到了梯度向量的变化量 d(∇f)\mathrm{d} \left(\nabla f\right)，接着计算点积即可

d2f=d(∇f)⋅dx=(HfTdx)Tdx=dxTHfdx \begin{align*} \mathrm{d}^2 f &= \mathrm{d} \left(\nabla f\right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{x} \\ &= \left( \mathbf{H}_f^T \mathrm{d}\mathbf{x} \right)^T \mathrm{d}\mathbf{x} \\ &= \mathrm{d}\mathbf{x}^T \mathbf{H}_f \mathrm{d}\mathbf{x} \end{align*}

这是一个标准的二次型。后文会尝试将其分解，以讨论更多的几何与代数含义。

当然，海森矩阵存在的前提是 ff 具有二阶可微性。同时，若 ff 的所有二阶偏导数连续，即 f∈C2f \in C^2，则混合偏导数与求导顺序无关

∂2f∂xi∂xj=∂2f∂xj∂xi \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}

从而海森矩阵是对称矩阵，即 HfT=Hf\mathbf{H}_f^T = \mathbf{H}_f。

高阶导数：张量与微分算子

那么，多元函数的任意阶导数怎么求呢？先回顾一下 Rn→R\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} 函数的一阶和二阶导数，它们的求导方式其实可以用微分算子进行统一表示。

定义微分算子

∇=[∂1∂2⋮∂n] \nabla = \begin{bmatrix} \partial_1 \\ \partial_2 \\ \vdots \\ \partial_n \end{bmatrix}

其中 ∂i=∂∂xi\partial_i = \frac{\partial}{\partial x_i} 是对偏导数算子的简写。

一阶导数可以表示为该算子与函数的张量积。此时可以将张量积理解为线性代数中的外积

D1f=∇⊗f=∇(fT)=∇f \mathcal{D}^1 f = \nabla \otimes f = \nabla (f^T) = \nabla f

算子是 nn 维向量，和标量 ff 求张量积，得到 nn 维向量，即

∇f=[∂1∂2⋮∂n]f=[∂1f∂2f⋮∂nf] \nabla f = \begin{bmatrix} \partial_1 \\ \partial_2 \\ \vdots \\ \partial_n \end{bmatrix} f = \begin{bmatrix} \partial_1 f\\ \partial_2 f\\ \vdots \\ \partial_n f \end{bmatrix}

这就是梯度向量。继续把微分算子和一阶导数进行张量积，就得到了二阶导数

D2f=∇⊗(D1f)=∇(∇f)T=∇∇Tf \mathcal{D}^2 f = \nabla \otimes (\mathcal{D}^1 f) = \nabla (\nabla f)^T = \nabla \nabla^T f

算子仍然是 nn 维向量，和 nn 维向量 ∇f\nabla f 求张量积，得到 n×nn \times n 维矩阵，即

∇∇Tf=[∂1∂2⋮∂n][∂1∂2⋯∂n]f=[∂1∂1f∂1∂2f⋯∂1∂nf∂2∂1f∂2∂2f⋯∂2∂nf⋮⋮⋱⋮∂n∂1f∂n∂2f⋯∂n∂nf] \begin{align*} \nabla \nabla^T f &= \begin{bmatrix} \partial_1 \\ \partial_2 \\ \vdots \\ \partial_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \partial_1 & \partial_2 & \cdots & \partial_n \end{bmatrix} f \\ &= \begin{bmatrix} \partial_1\partial_1 f & \partial_1\partial_2 f & \cdots & \partial_1\partial_n f \\ \partial_2\partial_1 f & \partial_2\partial_2 f & \cdots & \partial_2\partial_n f \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \partial_n\partial_1 f & \partial_n\partial_2 f & \cdots & \partial_n\partial_n f \end{bmatrix} \end{align*}

这就是海森矩阵。

推广到三阶导数时，线性代数的外积无法表示张量积了。因此我们必须得定义张量积

一个 MM 阶张量 A\mathcal{A}，维度为 I1×I2×⋯×IMI_1 \times I_2 \times \dots \times I_M，另一个 NN 阶张量 B\mathcal{B}，维度为 J1×J2×⋯×JNJ_1 \times J_2 \times \dots \times J_N，则它们的张量积 C=A⊗B\mathcal{C} = \mathcal{A} \otimes \mathcal{B} 定义为

[A⊗B]i1…iMj1…jN=Ai1…iMBj1…jN[\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}]_{i_1 \dots i_M j_1 \dots j_N} = \mathcal{A}_{i_1 \dots i_M} \mathcal{B}_{j_1 \dots j_N}

其阶数相加为 M+NM + N，维度拼接为 I1×⋯×IM×J1×⋯×JNI_1 \times \dots \times I_M \times J_1 \times \dots \times J_N，而任意位置 (i1…iMj1…jN)(i_1 \dots i_M j_1 \dots j_N) 的元素，就等于原来两个张量在 (i1…iM)(i_1 \dots i_M) 和 (j1…jN)(j_1 \dots j_N) 处元素的乘积。张量积可以看作矩阵（二阶张量）乘法的推广。

由此得到三阶导数的定义

D3f=∇⊗(D2f) \mathcal{D}^3 f = \nabla \otimes (\mathcal{D}^2 f)

D3f\mathcal{D}^3 f 是三阶张量，由一阶张量 ∇\nabla 和二阶张量 D2f\mathcal{D}^2 f 进行向量积得到。

可以进行递归定义

Dkf=∇⊗(Dk−1f) \mathcal{D}^k f = \nabla \otimes (\mathcal{D}^{k-1} f)

如果不断展开，就可以得到

Dkf=∇⊗(Dk−1f)=∇⊗∇⊗(Dk−2f)⋯=∇⊗∇⊗⋯⊗∇f=∇⊗kf \begin{align*} \mathcal{D}^k f &= \nabla \otimes (\mathcal{D}^{k-1} f) \\ &= \nabla \otimes \nabla \otimes (\mathcal{D}^{k-2} f) \\ &\cdots \\ &= \nabla \otimes \nabla \otimes \cdots \otimes \nabla f \\ &= \nabla^{\otimes k} f \end{align*}

其中 ∇⊗k\nabla^{\otimes k} 表示 ∇\nabla 与自己进行张量积 kk 次。

不过实际分析时，一般最多用到二阶导数，毕竟张量表示起来还是太麻烦了。

多元函数微分的应用

代数应用：极值判别

由于一阶变化量和二阶变化量都已经得到，我们可以进一步对多元函数进行泰勒展开

f(x0+h)=f(x0)+∇f(x0)Th+12hTHf(x0)h+o(∥h∥2) f(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}) = f(\mathbf{x}_0) + \nabla f(\mathbf{x}_0)^T \mathbf{h} + \frac{1}{2} \mathbf{h}^T \mathbf{H}_f(\mathbf{x}_0) \mathbf{h} + o(\|\mathbf{h}\|^2)

忽略掉高次项后，函数 ff 在 x0\mathbf{x}_0 附近的性质完全由线性项和二次项主导。

如果 x0\mathbf{x}_0 是驻点，即 ∇f(x0)=0\nabla f(\mathbf{x}_0)=\mathbf{0}，那么上式可被简化为

f(x0+h)−f(x0)=12hTHf(x0)h+o(∥h∥2) f(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}) - f(\mathbf{x}_0) = \frac{1}{2} \mathbf{h}^T \mathbf{H}_f(\mathbf{x}_0) \mathbf{h} + o(\|\mathbf{h}\|^2)

此时增量 Δf=f(x0+h)−f(x0)\Delta f = f(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}) - f(\mathbf{x}_0) 的符号由二次型 Q(h)=hTHf(x0)h\mathcal{Q}(\mathbf{h}) =\mathbf{h}^T \mathbf{H}_f(\mathbf{x}_0) \mathbf{h} 决定。

令 A=Hf(x0)\mathbf{A} = \mathbf{H}_f(\mathbf{x}_0)。当 A\mathbf{A} 是实对称矩阵时，可以正交对角化为

A=QΛQT \mathbf{A} = \mathbf{Q} \boldsymbol{\Lambda} \mathbf{Q}^T

其中

Q=[q1q2⋯qn] \mathbf{Q} = \begin{bmatrix} \mathbf{q}_1 & \mathbf{q}_2 & \cdots & \mathbf{q}_n \end{bmatrix}

是正交矩阵。每列 qi\mathbf{q}_i 为标准正交的特征向量，且满足 QT=Q−1\mathbf{Q}^T = \mathbf{Q}^{-1}。而

Λ=[λ10⋯00λ2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯λn] \boldsymbol{\Lambda} = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \\ \end{bmatrix}

是对角矩阵，主对角线上的每个元素 λi\lambda_i 均为实数特征值。

进一步用谱分解将 A\mathbf{A} 展开为秩一矩阵之和

A=QΛQT=[q1q2⋯qn][λ10⋯00λ2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯λn][q1Tq2T⋮qnT]=∑i=1nλiqiqiT \begin{align*} \mathbf{A} &= \mathbf{Q} \boldsymbol{\Lambda} \mathbf{Q}^T \\ &= \begin{bmatrix} \mathbf{q}_1 & \mathbf{q}_2 & \cdots & \mathbf{q}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{q}_1^T \\ \mathbf{q}_2^T \\ \vdots \\ \mathbf{q}_n^T \end{bmatrix} \\ &= \sum_{i=1}^{n} \lambda_i\mathbf{q}_i\mathbf{q}_i^T \end{align*}

于是二次型变为

Q(h)=hTAh=hT(∑i=1nλiqiqiT)h=∑i=1nλihTqiqiTh=∑i=1nλi(h⋅qi)2 \begin{align*} \mathcal{Q}(\mathbf{h}) &= \mathbf{h}^T \mathbf{A} \mathbf{h} \\ &= \mathbf{h}^T \left(\sum_{i=1}^{n} \lambda_i\mathbf{q}_i\mathbf{q}_i^T\right) \mathbf{h}\\ &= \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \mathbf{h}^T\mathbf{q}_i\mathbf{q}_i^T\mathbf{h} \\ &= \sum_{i=1}^{n} \lambda_i (\mathbf{h} \cdot \mathbf{q}_i)^2 \end{align*}

显然 (h⋅qi)2(\mathbf{h} \cdot \mathbf{q}_i)^2 非负。

因此，在驻点处，极值类型由海森矩阵各特征值的符号决定

  • 若所有 λi>0\lambda_i > 0，则海森矩阵正定。对任意非零 h\mathbf{h}，Q(h)>0Q(\mathbf{h}) > 0，从而 f(x0+h)−f(x0)>0f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) - f(\mathbf{x}_0) > 0。此时称 x0\mathbf{x}_0 为局部极小点
  • 若所有 λi<0\lambda_i < 0，则海森矩阵负定。对任意非零 h\mathbf{h}，Q(h)<0Q(\mathbf{h}) < 0，从而 f(x0+h)−f(x0)<0f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) - f(\mathbf{x}_0) < 0。此时称 x0\mathbf{x}_0 为局部极大点
  • 若特征值有正有负，则海森矩阵不定，则存在一些 h\mathbf{h} 使 Q>0Q>0，另一些 h\mathbf{h} 使 Q<0Q<0，于是 ff 在 x0\mathbf{x}_0 处沿不同方向既可能上升也可能下降。此时称 x0\mathbf{x}_0 为鞍点
  • 若所有非零特征值同号且存在零特征值，则海森矩阵半正定或半负定。此时极值判定还需要看更高阶的项

几何应用：曲率

二次型 hTHf(x0)h\mathbf{h}^T \mathbf{H}_f(\mathbf{x}_0) \mathbf{h} 除了可以判别驻点的类型外，还有重要的几何意义——它可以描述截面曲线在 x0\mathbf{x}_0 附近沿不同方向的曲率。

取一点 x0\mathbf{x}_0 和一个单位方向向量 v∈Rn\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n，考虑经过 x0\mathbf{x}_0 且方向为 v\mathbf{v} 的参数化直线

l⃗(t)=x0+tvt∈R \vec{l}(t) = \mathbf{x}_0 + t\mathbf{v} \quad t\in\mathbb{R}

将 ff 的自变量限制在这条直线上，得到一元函数

g(t)=f(x0+tv) g(t) = f(\mathbf{x}_0 + t\mathbf{v})

g(t)g(t) 的图形是在点 x0\mathbf{x}_0 处用过 v\mathbf{v} 的平面截取出的曲线。对 g(t)g(t) 求导得到

dgdt=∇f(x0+tv)Tv \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}t} =\nabla f(\mathbf{x}_0 + t \mathbf{v})^T \mathbf{v}

二阶导为

d2gdt2=vTHf(x0+tv)v \frac{\mathrm{d}^2g}{\mathrm{d}t^2} = \mathbf{v}^T \mathbf{H}_f(\mathbf{x}_0 + t \mathbf{v}) \mathbf{v}

于是在 t=0t=0 处

g′(0)=∇f(x0)Tvg′′(0)=vTHf(x0)v \begin{align*} g'(0) &= \nabla f(\mathbf{x}_0)^T \mathbf{v} \\ g''(0) &= \mathbf{v}^T \mathbf{H}_f(\mathbf{x}_0) \mathbf{v} \end{align*}

根据平面曲线上曲率的定义，点 x0\mathbf{x}_0 处的有向曲率为

κv=g′′(0)[1+g′(0)2]3/2 \kappa_{\mathbf{v}} = \frac{g''(0)}{\left[1+g'(0)^2\right]^{3/2}}

在驻点处，即 ∇f(x0)=0\nabla f(\mathbf{x}_0)=\mathbf{0} 从而 g′(0)=0g'(0)=0 时，有向曲率的表达式可以大幅简化为

κv=g′′(0)=vTHf(x0)v \kappa_{\mathbf{v}} = g''(0) = \mathbf{v}^T \mathbf{H}_f(\mathbf{x}_0) \mathbf{v}

此时曲率也由二次型 Q(v)=vTHf(x0)v\mathcal{Q}(\mathbf{v}) =\mathbf{v}^T \mathbf{H}_f(\mathbf{x}_0) \mathbf{v} 决定。

令 A=Hf(x0)\mathbf{A} = \mathbf{H}_f(\mathbf{x}_0)，复用之前谱分解的结果

A=∑i=1nλiqiqiT \mathbf{A} = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i\mathbf{q}_i\mathbf{q}_i^T

对于任意方向 v\mathbf{v}，代入可得

vTAv=∑i=1nλi(v⋅qi)2 \mathbf{v}^T \mathbf{A} \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i (\mathbf{v} \cdot \mathbf{q}_i)^2

由正交性可知

qjTAqj=∑i=1nλi(qj⋅qi)2=λj(qjTqj)2=λj \mathbf{q}_j^T \mathbf{A} \mathbf{q}_j = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i (\mathbf{q}_j \cdot \mathbf{q}_i)^2 = \lambda_j(\mathbf{q}_j^T \mathbf{q}_j)^2 = \lambda_j

因此沿着特征向量 qi\mathbf{q}_i 的有向截面曲率，就是对应的特征值 λi\lambda_i。而 v\mathbf{v} 上的曲率是投影到各特征方向 qi\mathbf{q}_i 上的曲率之和。

不过截面曲率只考虑一个方向的曲率，但有一些曲率是综合考虑了所有方向的——比如高斯曲率。

当 n=2n=2 时，函数 f:R2→Rf: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} 的图像是一个曲面，过 x0\mathbf{x}_0 的每个方向都有一条曲线。若用正负号表示弯曲的方向，用绝对值大小表示弯曲的程度，那么就得到了有向法曲率。有向法曲率的最大值和最小值被称为主曲率 k1,k2k_1, k_2，而其方向被叫做主方向。高斯曲率就定义为主曲率的乘积

K=k1k2 K = k_1 k_2

可以证明，在驻点处，高斯曲率恰好等于海森矩阵的行列式。

计算驻点 x0\mathbf{x}_0 处沿方向 u\mathbf{u} 的有向法曲率

κu=uTHf(x0)u \kappa_{\mathbf{u}} = \mathbf{u}^T \mathbf{H}_f(\mathbf{x}_0) \mathbf{u}

根据瑞利商的性质，能取到这个二次型极值的单位向量，恰好就是海森矩阵 Hf\mathbf{H}_f 的两个特征向量 q1,q2\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2。我们可以验证一下这个结论。

设单位向量为

u=[cos⁡(θ)sin⁡(θ)] \mathbf{u} = \begin{bmatrix} \cos(\theta) \\ \sin(\theta) \end{bmatrix}

把海森矩阵简写为

Hf(x0)=[fxxfxyfxyfyy] \mathbf{H}_f(\mathbf{x}_0) = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{bmatrix}

于是

κu(θ)=[cos⁡(θ)sin⁡(θ)][fxxfxyfxyfyy][cos⁡(θ)sin⁡(θ)]=fxxcos⁡2(θ)+2fxycos⁡(θ)sin⁡(θ)+fyysin⁡2(θ) \begin{align*} \kappa_{\mathbf{u}}(\theta) &= \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(\theta) \\ \sin(\theta) \end{bmatrix} \\ &= f_{xx}\cos^2(\theta) + 2f_{xy}\cos(\theta)\sin(\theta) + f_{yy}\sin^2(\theta) \end{align*}

对 θ\theta 求导

dκudθ=(−2fxx+2fyy)sin⁡θcos⁡θ+2fxy(cos⁡2θ−sin⁡2θ) \frac{\mathrm{d}\kappa_{\mathbf{u}}}{\mathrm{d}\theta} = (-2f_{xx} +2f_{yy})\sin\theta\cos\theta + 2f_{xy}(\cos^2\theta - \sin^2\theta)

令导数为 00，得到

(fxx−fyy)sin⁡θcos⁡θ=fxy(cos⁡2θ−sin⁡2θ) (f_{xx} - f_{yy})\sin\theta\cos\theta = f_{xy}(\cos^2\theta - \sin^2\theta)

而若 u\mathbf{u} 为 H\mathbf{H} 的特征向量，则根据定义有

Hu=λu \mathbf{H}\mathbf{u} = \lambda\mathbf{u}

这得到两个方程

{fxxcos⁡θ+fxysin⁡θ=λcos⁡θfxycos⁡θ+fyysin⁡θ=λsin⁡θ \begin{cases} f_{xx}\cos\theta + f_{xy}\sin\theta = \lambda \cos\theta \\ f_{xy}\cos\theta + f_{yy}\sin\theta = \lambda \sin\theta \end{cases}

消去 λ\lambda 得到

(fxx−fyy)cos⁡θsin⁡θ=fxy(cos⁡2θ−sin⁡2θ) (f_{xx} - f_{yy})\cos\theta\sin\theta = f_{xy}(\cos^2\theta - \sin^2\theta)

这和之前令导数为 00 得到的方程一模一样，于是两个方程有相同的解——这便证明了主方向恰好就是特征向量的方向。而特征向量方向的曲率为 λ1,λ2\lambda_1, \lambda_2，继而得到

K=k1k2=λ1λ2=det⁡Hf(x0) K = k_1 k_2 = \lambda_1 \lambda_2 = \det\mathbf{H}_f(\mathbf{x}_0)

因此，在曲面的驻点处，高斯曲率的符号由海森矩阵的行列式决定

  • 若 det⁡Hf>0\det\mathbf{H}_f > 0，则高斯曲率为正。该点为椭圆点。由于只有两个特征值，因此 λ1,λ2\lambda_1, \lambda_2 必然同号。若两个主曲率同正，则该点为局部极小点；若两个主曲率同负，则该点为局部极大点
  • 若 det⁡Hf<0\det\mathbf{H}_f < 0，则高斯曲率为负。该点为双曲点，也可以叫鞍点
  • 若 det⁡Hf=0\det\mathbf{H}_f = 0，则高斯曲率为零。若一个主曲率为零，另一个非零，则该点为抛物点；若两个主曲率都为零，则该点是退化的情形。