[{"content":"函数的基本概念：从加运算说起 在数学上，我们已经习惯书写 1+2+3+⋯+1001 + 2 + 3 + \\cdots + 1001+2+3+⋯+100 这种表达式。尽管看起来非常普通，但这个表达式里其实已经包含了非常多函数式编程的重要思想。\n函数定义 好吧，你可能会说，这里面哪有函数呢？其实 +++ 就是一个二元函数，可以等价为 add⁡\\operatorname{add}add\nx+y=add⁡(x,y) x + y = \\operatorname{add}(x, y) x+y=add(x,y)add⁡\\operatorname{add}add 输入两个实数，输出一个实数。我们可以用符号表示为\nadd⁡:(R,R)→R \\operatorname{add}: (\\mathbb{R},\\mathbb{R}) \\to \\mathbb{R} add:(R,R)→R在 Javascript 里可以这样定义\nfunction add(x, y) { return x + y; } 或者使用箭头函数\nconst add = (x, y) =\u0026gt; x + y; 有了 add 后，就可以改写原来的表达式。为了更可读，我们对代码进行缩进\nadd( 1, add( 2, add( 3, // ... ), ), ); 可以看到，虽然表达式变得更加复杂，但计算结果是一样的。\n不过，这里其中有一些细微的差异：计算顺序不相同。+++ 通常默认为左结合，即从左到右，从 111 到 100100100；而我们的函数表达式其实是从右到左，从 100100100 到 111。\n函数的类型 +++、−-−（减运算）、×\\times×、÷\\div÷ 都是二元函数，即接受两个参数并返回一个值。它们可以统一表示为\nf:(R,R)→R f: (\\mathbb{R},\\mathbb{R}) \\to \\mathbb{R} f:(R,R)→R不过 ÷\\div÷ 的第二个操作数不能为 000，所以它更准确的表示为 f:(R,R∗)→Rf: (\\mathbb{R},\\mathbb{R}^*) \\to \\mathbb{R}f:(R,R∗)→R。其中 R∗\\mathbb{R}^*R∗ 表示 R\\mathbb{R}R 除去 {0}\\{0\\}{0} 中元素的差集，也就是 R∗=R∖{0}\\mathbb{R}^*=\\mathbb{R} \\setminus \\{0\\}R∗=R∖{0}。\n而 −-−（取负运算）、sin⁡\\sinsin、cos⁡\\coscos、log⁡\\loglog（底数为自然对数）、exp⁡\\expexp（底数为自然对数）都是一元函数，可以表示为\nf:R→R f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R} f:R→R同样的，log⁡\\loglog 只能作用在正实数上，因此更准确的表示为 f:R+→Rf: \\mathbb{R^+} \\to \\mathbb{R}f:R+→R；exp⁡\\expexp 的结果只可能为正实数，所以更准确的表示为 f:R→R+f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}^+f:R→R+。\n这种表示其实就可以作为函数的类型。\n在实际编程中，我们会面对非常多的类型。比如在 TypeScript 中就有 number / string / boolean / null / undefined 等基础类型，T[] / [T1, T2] / { p1: T1; p2: T2 } / T1 | T2 等复合类型，以及直接把字面量作为类型的字面量类型。函数同样也有类型，它的类型由参数类型和返回值类型共同决定\nfunction parseInteger(s: string) { return /^\\d+$/.test(s) ? Number(s) : \u0026#34;请输入非负整数\u0026#34;; } 上述函数的类型就是 string =\u0026gt; number | \u0026quot;请输入非负整数\u0026quot;，即参数类型为 string，值类型可能是 number，也可能是字面量 \u0026quot;请输入非负整数\u0026quot;。\n函数类型的主要用处，就是推导函数之间能否组合，以及组合后会得到的函数会是什么类型。\n函数的组合 现实世界中的函数是无穷无尽的，因为函数之间可以组合，而组合后可以得到一个新的函数。\n不过我们先考虑纯数学中的例子。我们定义一个一元函数\nf(x)=x+1x2−1 f(x) = \\frac{x + 1}{x^2 - 1} f(x)=x2−1x+1​使用 add、sub、mul、div 改写后能够更清晰地看出函数组合的本质\nfunction f(x) { return div(add(x, 1), sub(mul(x, x), 1)); } 其中 mul 的值被作为 sub 的参数，而 add 和 sub 的值又作为 div 的参数。这就引出了函数组合需要满足的要求：只有当上一个函数的输出可以作为下一个函数的输入时，这种组合才是可能的。\n上述例子中，输出是可以匹配输入的。div 的第二个参数是 R∗\\mathbb{R}^*R∗，值是 sub 的值，而 sub 可能返回的值的范围是 [−1,+∞)[-1, +\\infty)[−1,+∞)，而 div 第二个参数的。由于 [−1,+∞)∖R∗={0}[-1, +\\infty) \\setminus \\mathbb{R}^* = \\{0\\}[−1,+∞)∖R∗={0} 不为空集，因此存在不能用作输入的值；同样因为 [−1,+∞)∩R∗=[−1,0]∩(0,+∞)[-1, +\\infty) \\cap \\mathbb{R}^*=[-1, 0] \\cap (0, +\\infty)[−1,+∞)∩R∗=[−1,0]∩(0,+∞) 不为空集，所以存在可以用作输入的值；\n经过一番推理后，我们可以确定这个函数的类型为\nf:R∖{−1,1}→R∖{0,−0.5} f: \\mathbb{R} \\setminus \\{-1, 1\\} \\to \\mathbb{R} \\setminus \\{ 0, -0.5 \\} f:R∖{−1,1}→R∖{0,−0.5}现在我们构造一个特殊的例子，看看当输出不匹配输入时会发生什么\nf(x)=log⁡(−exp⁡(x)) f(x)= \\log(-\\exp(x)) f(x)=log(−exp(x)) 首先 exp⁡\\expexp 的值变换为 R→R+\\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}^+R→R+ 然后 −-− 的输入接上 exp⁡\\expexp 的输出，值变换为 R+→R−\\mathbb{R}^+ \\to \\mathbb{R}^-R+→R− 最后 log⁡\\loglog 的输入接上 −-− 的输出 R−\\mathbb{R}^-R−，但 log⁡\\loglog 只定义在 R+\\mathbb{R}^+R+ 上，且 R+∩R−=∅\\mathbb{R}^+ \\cap \\mathbb{R}^- = \\emptyR+∩R−=∅ 最后我们发现，任何 x∈Rx \\in \\mathbb{R}x∈R 都无法作为 fff 的输入。因此在实数范围内，这种组合是失败的，我们没有得到新的函数。\n在实际编程里，函数类型的推导与之类似。\n比如在 TypeScript 中\nconst getLength = (s: string): number =\u0026gt; s.length; const isBig = (n: number): boolean =\u0026gt; n \u0026gt; 32; 分别对应类型\ngetLength:string→numberisBig:number→boolean \\begin{align*} \\text{getLength} \u0026amp;: \\text{string} \\to \\text{number} \\\\ \\text{isBig} \u0026amp;: \\text{number} \\to \\text{boolean} \\end{align*} getLengthisBig​:string→number:number→boolean​如果把 getLength 的返回值作为 isBig 的参数\nconst isLongString = (s) =\u0026gt; isBig(getLength(s)); 由于两者类型都是 number，因此可以进行组合，并且能够推断出 isLongString 的类型应该为\nlengthSquared:string→boolean \\text{lengthSquared}: \\text{string} \\to \\text{boolean} lengthSquared:string→boolean但反过来把 isBig 的返回值作为 getLength 的参数就存在问题\nconst bad = (n) =\u0026gt; getLength(isBig(s)); 这里 isBig 的返回值是 boolean 而 getLength 的参数为 string，类型不匹配。因此无法这样组合。\n函数的复合 函数复合是一种特殊的函数组合，通常用于一组输入和输出可以匹配的函数。\n还是先在纯数学中举例。我们有这样一组一元函数\nf:A→Bg:B→Ch:C→D \\begin{align*} f: A \\to B \\\\ g: B \\to C \\\\ h: C \\to D \\\\ \\end{align*} f:A→Bg:B→Ch:C→D​我们希望先计算 fff，再计算 ggg，最后计算 hhh，即\nA→fB→gC→hD A \\xrightarrow{f} B \\xrightarrow{g} C \\xrightarrow{h} D Af​Bg​Ch​D那么这个组合出来的函数需要这样写\nh(g(f(x))) h(g(f(x))) h(g(f(x)))如果再多计算几个函数，这种嵌套会变得非常复杂，难以阅读。数学中用办法简化此时的函数组合，就是函数复合\nh∘g∘f:A→D h \\circ g \\circ f: A \\to D h∘g∘f:A→D复合的顺序是从右到左。函数复合是直接对函数进行计算，得到的结果是一个新的函数。在这个函数上输入原来的参数，就可以得到之前组合后的结果\n(h∘g∘f)(x)=h(g(f(x))) (h \\circ g \\circ f)(x) = h(g(f(x))) (h∘g∘f)(x)=h(g(f(x)))有部分编程语言可以类似这样简化函数复合的写法。最常见的语法就是管道——几乎就是把函数复合换了个符号，只不过管道的顺序是从左到右，而函数复合是从右到左\nh∘g∘f⇔f∣g∣h h \\circ g \\circ f \\Leftrightarrow f \\mid g \\mid h h∘g∘f⇔f∣g∣h而最初送入管道的值，通常就放到管道的最左边\nx∣f∣g∣h x \\mid f \\mid g \\mid h x∣f∣g∣h比如 Bash 的管道\ncat server.log \\ | grep \u0026#34;ERROR\u0026#34; \\ | sort \\ | uniq -c 这可以被理解为\nuniq_count(sort(grep_error(cat(\u0026#34;server.log\u0026#34;)))); 每个函数（bash 中的术语是命令）的输入是文本，输出也是文本，因此每个函数都是\nText→Text \\text{Text} \\to \\text{Text} Text→Text这满足了函数复合的要求——前一个函数的输出匹配下一个函数的输入。而管道就是把前一个函数的输出作为下一个函数的输入，这就是一种更清晰的、减少函数嵌套的函数复合语法。\n再比如 jq 的管道\n.users[] | select(.age \u0026gt;= 18) | .name jq 的每个函数都输入 JSON 对象，然后输出 JSON 对象\nJSON→JSON \\text{JSON} \\to \\text{JSON} JSON→JSON甚至 SQL 也能支持管道语法，比如 GoogleSQL\nFROM users |\u0026gt; WHERE age \u0026gt;= 18 |\u0026gt; SELECT name, age |\u0026gt; ORDER BY age DESC |\u0026gt; LIMIT 10; SQL 的每个函数（SQL 中的术语是操作）都接收表，然后返回表\nTable→Table \\text{Table} \\to \\text{Table} Table→Table而在最纯粹的函数式语言 Haskell 里，函数复合的语法更是直接\nsumSquaresOfEvens :: [Int] -\u0026gt; Int sumSquaresOfEvens = sum . map (^2) . filter even Haskwll 的函数复合是从右到左而非从左到右，完全照搬数学上的写法，连符号都很相似\nsum∘map(square)∘filter(even) \\text{sum} \\circ \\text{map(square)} \\circ \\text{filter(even)} sum∘map(square)∘filter(even)显然，sum、map (^2)、filter even 这些函数都接受数字返回数字\nNumber→Number \\text{Number} \\to \\text{Number} Number→Number因此这些函数可以把输入输出连接起来，复合成一个函数。\nJavaScript 目前还没有原生的管道语法，不过可以自己手动实现一个简易的 pipe\nexport function pipe(...fns) { return (value) =\u0026gt; fns.reduce((value, fn) =\u0026gt; fn(value), value); } 这里 pipe 本身是一个函数，它的参数是函数，返回值也是函数。这叫做高阶函数——我们马上就会讲到。\npipe 返回的函数只有一个参数 value。pipe 会首先把自身参数中的第一个函数作用在这个 value 上，得到的值会被第二个函数作用，然后新的值再被第三个函数作用，一直重复直到最后一个函数作用完成。\nreduce 会在后续详细介绍。这里只需要知道，reduce 有两个参数：第二个参数是初始值，第一个参数是函数。而这个函数的第一个参数是上次计算的结果（未计算时就是初始值），第二个参数是调用 reduce 的数组中的一个元素。\n高阶函数：函数族、泛函与算子 我猜你应该在尝试弄懂 reduce 各参数的含义时被绕晕了。坏消息是，我们已经介绍完了函数的基本概念，后续的内容都将开始变得抽象。而好消息是，如果逐渐地深入，那么理解这些概念其实并不困难。我相信当你真正体会到函数式编程中那些数学理论的美妙时，也会无可救药地为之着迷。\n高阶函数指的是参数或返回值中含有函数的函数。典型的高阶函数有三种：函数族、泛函与算子。\n函数族 函数族的输入是数，输出是函数。\n在数学上，典型的函数族就是对数函数族\nLog⁡:a↦log⁡a \\operatorname{Log}: a \\mapsto \\log_a Log:a↦loga​其类型为\nLog⁡:R+∖{1}→(R+→R) \\operatorname{Log}: \\mathbb{R}^+ \\setminus \\{1\\} \\to (\\mathbb{R}^+ \\to \\mathbb{R}) Log:R+∖{1}→(R+→R)对数函数族接受一个底数，然后返回一个对数函数。\n所有对数函数都可以通过 Log⁡\\operatorname{Log}Log 函数族生成出来。而对于那些常用的对数函数，数学中都有别名\nLog⁡(e)=log⁡e=ln⁡Log⁡(10)=log⁡10=lg⁡ \\begin{align*} \\operatorname{Log}(e) \u0026amp;= \\log_e = \\ln \\\\ \\operatorname{Log}(10) \u0026amp;= \\log_{10} = \\lg \\end{align*} Log(e)Log(10)​=loge​=ln=log10​=lg​对返回的函数进行调用就能得到值，这可以等价为对原来的函数族调用两次\nlog⁡ax=Log⁡(a)(x) \\log_a x = \\operatorname{Log}(a)(x) loga​x=Log(a)(x)虽然后一种写法在数学上不太常见，但在函数式编程里却非常重要。后面提到的柯里化就和函数族密切相关。\n指数函数族也可以这样表示，通过接受底数，返回一个指数函数\nExp⁡:a↦ax \\operatorname{Exp}: a \\mapsto a^x Exp:a↦ax类型可以表示为\nExp⁡:R+∖{1}→(R→R+) \\operatorname{Exp}: \\mathbb{R}^+ \\setminus \\{1\\} \\to (\\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}^+) Exp:R+∖{1}→(R→R+)在 JavaScript 里可以如下定义函数族\nconst Log = (a) =\u0026gt; (x) =\u0026gt; Math.log(x) / Math.log(a); 然后通过这个函数族生成一系列函数并调用\nconst ln = Log(Math.E); const lg = Log(10); lg(1000); Log(10)(1000); 也展示一下 Haskell 的写法\nlogFamily :: Floating a =\u0026gt; a -\u0026gt; a -\u0026gt; a logFamily a x = log x / log a ln = logFamily (exp 1) log10 = logFamily 10 log10 1000 logFamily 10 1000 当然对于 Haskell，标准库里其实已经有了对数函数族 logBase，直接用就行\nlog10 = logBase 10 log10 1000 logBase 10 1000 泛函 泛函的输入是函数，输出是数。\n在数学上，典型的泛函就是定积分\n∫ab:f↦F(b)−F(a) \\int_{a}^{b}: f \\mapsto F(b) - F(a) ∫ab​:f↦F(b)−F(a)不考虑积分区间和可积性等问题，其类型为\n∫ab:(R→R)→R \\int_{a}^b: (\\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}) \\to \\mathbb{R} ∫ab​:(R→R)→R拉格朗日泛函就是一个用定积分定义的泛函\nL(f)=∫01f(x)dx L(f) = \\int_0^1 f(x) \\mathrm{d}x L(f)=∫01​f(x)dx把这个泛函作用于函数，就能得到一个数\nL(2x)=∫012xdx=1 L(2x) = \\int_0^1 2x \\mathrm{d}x = 1 L(2x)=∫01​2xdx=1Haskell 的标准库里没有积分，我们先实现一个简单的数值积分\nintegrate :: Double -\u0026gt; Double -\u0026gt; (Double -\u0026gt; Double) -\u0026gt; Double integrate a b f = let n = 10000 dx = (b - a) / fromIntegral n in sum [f (a + (fromIntegral i + 0.5) * dx) * dx | i \u0026lt;- [0 .. n - 1]] 然后可以这样表示拉格朗日泛函\nl :: (Double -\u0026gt; Double) -\u0026gt; Double l f = integrate 0 1 f 最后给这泛函一个函数，就会返回其在 [0,1][0, 1][0,1] 上定积分的结果。由于数值积分的精度问题，结果不完全准确\nghci\u0026gt; l (\\x -\u0026gt; 2 * x) 0.9999999999999998 ghci\u0026gt; l (\\x -\u0026gt; 3 * x) 1.5000000000000004 ghci\u0026gt; l (\\x -\u0026gt; 3 * x * x) 0.9999999974999992 算子 算子的输入和输出都是函数。\n在数学上，典型的算子就是求导\nD:f↦f′ D: f \\mapsto f\u0026#x27; D:f↦f′同样不考虑可微性，其类型为\nD:(R→R)→(R→R) \\mathcal{D}: (\\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}) \\to (\\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}) D:(R→R)→(R→R)求导算子接受一个函数，然后返回其导函数，比如\nD:x2↦2x \\mathcal{D}: x^2 \\mapsto 2x D:x2↦2x变限积分也是一个算子，这是一种上限或下限不固定的积分。比如变上限积分\n∫ax:f↦F(x)−F(a) \\int_a^x: f \\mapsto F(x) - F(a) ∫ax​:f↦F(x)−F(a)在不考虑可积性时，其类型也是\n∫ax:(R→R)→(R→R) \\int_a^x: (\\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}) \\to (\\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}) ∫ax​:(R→R)→(R→R)变限积分接受一个函数，返回其原函数。比如\n∫0x:2x↦x2 \\int_{0}^{x}: 2x \\mapsto x^2 ∫0x​:2x↦x2在 Haskell 的标准库里没有微分，我们先定义一个简单的数值微分\nderivative :: (Double -\u0026gt; Double) -\u0026gt; (Double -\u0026gt; Double) derivative f = \\x -\u0026gt; let h = 1e-6 in (f (x + h) - f (x - h)) / (2 * h) 然后对 x2x^2x2 运用求导算子\nsquare\u0026#39; = derivative (\\x -\u0026gt; x * x) 得到的就是其导函数 2x2x2x。不过由于数值微分的精度问题，不完全准确\nghci\u0026gt; square\u0026#39; 2 4.000000000115023 ghci\u0026gt; square\u0026#39; 3 6.000000000838668 ghci\u0026gt; square\u0026#39; 4 8.000000000230045 ghci\u0026gt; square\u0026#39; 5 10.00000000139778 对于变上限积分也一样。还是使用之前编写的数值积分\nintegrate :: Double -\u0026gt; Double -\u0026gt; (Double -\u0026gt; Double) -\u0026gt; Double integrate a b f = let n = 10000 dx = (b - a) / fromIntegral n in sum [f (a + (fromIntegral i + 0.5) * dx) * dx | i \u0026lt;- [0 .. n - 1]] 这里第一个参数是下限，第二个参数是上限，第三个参数是函数。我们要交换一下变量顺序，让下限的后一个参数是函数\nintegralFromLower :: Double -\u0026gt; (Double -\u0026gt; Double) -\u0026gt; (Double -\u0026gt; Double) integralFromLower a f x = integrate a x f 这部分内容在柯里化部分会详细介绍。现在我们就得到了变上限积分算子\nintegralFromLower0 :: (Double -\u0026gt; Double) -\u0026gt; (Double -\u0026gt; Double) integralFromLower0 = integralFromLower 0 然后对 2x2x2x 运用变上限积分算子\nsquare = integralFromLower0 (\\x -\u0026gt; 2 * x) 得到的函数就是 x2x^2x2。不过由于数值积分的精度问题，不完全准确\nghci\u0026gt; square 2 3.999999999999999 ghci\u0026gt; square 3 9.0 ghci\u0026gt; square 4 15.999999999999996 ghci\u0026gt; square 5 25.0 柯里化：把多元函数变成一连串一元函数 柯里化示例：不定积分、变限积分和定积分 前面定义定积分和变限积分的时候其实已经多次出现了不定积分。在数学上，不定积分接受一个函数，返回其原函数族\n∫:f↦FC \\int: f \\mapsto F_C ∫:f↦FC​FCF_CFC​ 数学上更常见的写法是 F(x)+CF(x)+CF(x)+C，但这里我们将 CCC 看作一个参数，只有指定了这个参数，才能确定函数族中的一个函数。\n不考虑可积性时，不定积分的类型为\n∫:(R→R)→(R→(R→R)) \\int: (\\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}) \\to (\\mathbb{R} \\to (\\mathbb{R} \\to \\mathbb{R})) ∫:(R→R)→(R→(R→R))比如\n∫:2x↦x2+C \\int: 2x \\mapsto x^2 + C ∫:2x↦x2+C在指定 CCC 后才能确定唯一的原函数。\n我们把不定积分 I=∫I = \\intI=∫ 定义为一个三元函数：第一个参数是下限，第二个参数是上限，第三个参数是被积函数，返回值是定积分的结果。\nI:(R,R,(R→R))→R I: (\\mathbb{R}, \\mathbb{R}, (\\mathbb{R} \\to \\mathbb{R})) \\to \\mathbb{R} I:(R,R,(R→R))→R这里复杂的嵌套看着很不舒服。我们用 C(R)C(\\mathbb{R})C(R) 表示函数，并把参数改写成笛卡尔积的形式\nI:R×R×C(R)→R I: \\mathbb{R} \\times \\mathbb{R} \\times C(\\mathbb{R}) \\to \\mathbb{R} I:R×R×C(R)→R仔细研究一下从不定积分到定积分的这个过程，我们会发现一件很有趣的事情：不定积分固定了下限后就成了变上限积分 Ia=∫axI_a = \\int_a^xIa​=∫ax​；而变上限积分再固定下限，或者不定积分固定上下限，就成了定积分 Iab=∫abI_a^b = \\int_a^bIab​=∫ab​\nI(a)=IaI(a)(b)=Ia(b)=Iab \\begin{align*} I(a) \u0026amp;= I_a \\\\ I(a)(b) \u0026amp;= I_a(b) = I_a^b \\end{align*} I(a)I(a)(b)​=Ia​=Ia​(b)=Iab​​因此，虽然 III 是一个三元函数，但我们并不需要为每个参数都进行赋值才能得到结果。当我们为只指定第一个参数时，我们得到了变上限积分；而变上限积分也可以看作一个二元函数，第一个参数是上限，第二个参数是函数\nI(a)=Ia:R×C(R)→R I(a) = I_a: \\mathbb{R} \\times C(\\mathbb{R}) \\to \\mathbb{R} I(a)=Ia​:R×C(R)→R此时 III 变成了接受一个参数，返回变上限积分的一元函数，其类型为\nI:R→(R×C(R)→R) I: \\mathbb{R} \\to (\\mathbb{R} \\times C(\\mathbb{R}) \\to \\mathbb{R}) I:R→(R×C(R)→R)这和我们最开始看到的类型 R×R×C(R)\\mathbb{R} \\times \\mathbb{R} \\times C(\\mathbb{R})R×R×C(R) 不一样，但显然，这里的 III 仍然是不定积分！因此我们可知这两种类型是同构的\n(R×R×C(R)→R)≅(R→(R×C(R)→R)) (\\mathbb{R} \\times \\mathbb{R} \\times C(\\mathbb{R}) \\to \\mathbb{R}) \\cong (\\mathbb{R} \\to (\\mathbb{R} \\times C(\\mathbb{R}) \\to \\mathbb{R})) (R×R×C(R)→R)≅(R→(R×C(R)→R))这就是柯里化：把多元函数变成一元函数。\n类似地，我们可以继续为变上限积分再指定一个参数，或者为不定积分指定两个参数，就得到了定积分。\nI(a,b)=Ia(b)=Iab:C(R)→R I(a,b) = I_a(b) = I_a^b: C(\\mathbb{R}) \\to \\mathbb{R} I(a,b)=Ia​(b)=Iab​:C(R)→R此时 III 是一个二元函数，接受两个参数返回定积分泛函；IaI_aIa​ 是一个一元函数，接受一个参数返回定积分泛函。它们的类型分别为\nI:R×R→(C(R)→R)Ia:R→(C(R)→R) \\begin{align*} I \u0026amp;: \\mathbb{R} \\times \\mathbb{R} \\to (C(\\mathbb{R}) \\to \\mathbb{R}) \\\\ I_a \u0026amp;: \\mathbb{R} \\to (C(\\mathbb{R}) \\to \\mathbb{R}) \\end{align*} IIa​​:R×R→(C(R)→R):R→(C(R)→R)​由前面可知，Ia=I(a)I_a=I(a)Ia​=I(a)，所以这里还可以认为 III 接受一个参数，然后返回一个一元函数 IaI_aIa​，而 IaI_aIa​ 接受一个参数然后返回一个泛函\nI:R→(R→(C(R)→R)) I: \\mathbb{R} \\to (\\mathbb{R} \\to (C(\\mathbb{R}) \\to \\mathbb{R})) I:R→(R→(C(R)→R))我们发现，我们已经写了四种不同的 III 类型，而这些都是同构的！\nR×R×C(R)→RR→(R×C(R)→R)R×R→(C(R)→R)R→(R→(C(R)→R)) \\begin{align*} \\mathbb{R} \\times \\mathbb{R} \\times C(\\mathbb{R}) \u0026amp;\\to \\mathbb{R} \\\\ \\mathbb{R} \u0026amp;\\to (\\mathbb{R} \\times C(\\mathbb{R}) \\to \\mathbb{R}) \\\\ \\mathbb{R} \\times \\mathbb{R} \u0026amp;\\to (C(\\mathbb{R}) \\to \\mathbb{R}) \\\\ \\mathbb{R} \u0026amp;\\to (\\mathbb{R} \\to (C(\\mathbb{R}) \\to \\mathbb{R})) \\end{align*} R×R×C(R)RR×RR​→R→(R×C(R)→R)→(C(R)→R)→(R→(C(R)→R))​最后这一种类型完全柯里化了，此时 III 可以接受一个参数 I(a)I(a)I(a)，可以接受两个参数 I(a)(b)I(a)(b)I(a)(b)，也可以接受三个参数 I(a)(b)(f)I(a)(b)(f)I(a)(b)(f)，调用起来非常灵活！\n我们继续沿用之前在 Haskell 里实现的简单数值积分\nintegrate :: Double -\u0026gt; Double -\u0026gt; (Double -\u0026gt; Double) -\u0026gt; Double integrate a b f = let n = 10000 dx = (b - a) / fromIntegral n in sum [f (a + (fromIntegral i + 0.5) * dx) * dx | i \u0026lt;- [0 .. n - 1]] Haskell 的函数会自动柯里化。这里第一个参数是下限，第二个参数是上限，第三个参数是函数，返回值是定积分结果。\n如果传入第一个参数，那么我们得到的是一个变上限积分，不过这个变上限积分的第一个参数是上限，第二个参数才是函数\nintegrate a :: Double -\u0026gt; (Double -\u0026gt; Double) -\u0026gt; Double 如果我们想让变上限积分的第一个参数是函数，那么就要交换一下变量顺序。最直观的方法就是像之前展示的那样，重新定义一个函数\nintegralFromLower :: Double -\u0026gt; (Double -\u0026gt; Double) -\u0026gt; (Double -\u0026gt; Double) integralFromLower a f x = integrate a x f 这里非常明确的表示了把 integrate 的第二个参数和第三个参数交换位置，这样 integralFromLower a 得到的函数，其第一个参数就是函数了\nintegralFromLower a :: (Double -\u0026gt; Double) -\u0026gt; Double -\u0026gt; Double 对于二元函数也可以直接使用 flip 交换变量顺序。integrate a 返回的就是一个二元函数，此时用 flip 也是可行的\nintegralFromLower a = flip (integrate a) 如果想要变下限积分也可以使用类似的方法，只需要把上限变成第一个参数，函数变成第二个参数，下限变成第三个参数，这样接受一个参数后返回的函数，其上限固定且第一个参数就是函数\nintegralToUpper :: Double -\u0026gt; (Double -\u0026gt; Double) -\u0026gt; (Double -\u0026gt; Double) integralToUpper b f x = integrate x b f 如果想要不定积分，其第一个参数是函数，然后返回一个函数族，那么要如下修改变量\nintegralIndefinite :: (Double -\u0026gt; Double) -\u0026gt; Double -\u0026gt; Double -\u0026gt; Double integralIndefinite f c x = integrate 0 x f + c 下限 000 是随便选的，因为变上限积分公式允许下限是一个任意常数\nF(x)=∫axf+C F(x) = \\int_a^x f + C F(x)=∫ax​f+C这里不能把 c 像前面那样放到 0 的位置，因为 integrate c x f 实际指的是\n∫cxf \\int_c^x f ∫cx​f于是 integralIndefinite f 返回的是一个以上限为变量的函数 F(x)=∫cxfF(x)=\\int_c^x fF(x)=∫cx​f，而当 x=cx=cx=c 时得到 F(c)=∫ccf=0F(c)=\\int_c^c f = 0F(c)=∫cc​f=0，此时 ccc 的含义不再是积分常数而变成了原函数的零点。\n最后定积分就更简单了，指定上限和下限即可，这里 a 和 b 都要是常数\nintegralDefinite :: (Double -\u0026gt; Double) -\u0026gt; Double integralDefinite f = integrate a b f 柯里化的数学定义 不过不定积分的例子有点太抽象了，我么可以看一个更简单的例子。加法是一个二元函数\nadd⁡:R×R→R \\operatorname{add}: \\mathbb{R} \\times \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R} add:R×R→R我们可以通过柯里化让其变成一元函数\nadd⁡:R→(R→R) \\operatorname{add}: \\mathbb{R} \\to (\\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}) add:R→(R→R)用 JavaScript 表示就是\n// 未柯里化 const add = (x, y) =\u0026gt; x + y // 柯里化 const add = x =\u0026gt; y =\u0026gt; x + y 然后我们就可以一次只传一个参数，或者一次传多个参数，调用方式非常灵活\nconst add5 = add(5) add5(3) add(5)(3) 对于一般的二元函数\nf:A×B→C f: A \\times B \\to C f:A×B→C可以被柯里化为\ncurry⁡(f):A→(B→C) \\operatorname{curry}(f): A \\to (B \\to C) curry(f):A→(B→C)也可以把已经柯里化的函数\ng:A→(B→C) g: A \\to (B \\to C) g:A→(B→C)反柯里化为\nuncurry⁡(g):A×B→C \\operatorname{uncurry}(g): A \\times B \\to C uncurry(g):A×B→C用集合论解释就是，从 A×BA \\times BA×B 映射到 CCC 的所有函数组成的函数空间，与从 AAA 映射到 CB={f∣f:B→C}C^B=\\{f\\mid f: B \\to C\\}CB={f∣f:B→C} 的所有函数组成的函数空间同构\nHom⁡(A×B,C)≅Hom⁡(A,CB) \\operatorname{Hom}(A \\times B, C) \\cong \\operatorname{Hom}(A, C^B) Hom(A×B,C)≅Hom(A,CB)而在范畴论黑话里，这通常表述为：在笛卡尔闭范畴 C\\mathcal CC 上，对每个对象 BBB，积函子\n(−×B):C→CA↦A×B (-\\times B):\\mathcal C\\to\\mathcal C \\qquad A\\mapsto A\\times B (−×B):C→CA↦A×B是幂函子\n(−)B:C→CC↦CB (-)^B:\\mathcal C\\to\\mathcal C \\qquad C\\mapsto C^B (−)B:C→CC↦CB的左伴随\n(−×B)⊣(−)B (-\\times B)\\dashv (-)^B (−×B)⊣(−)B更一般地，任意一个多元函数\nf:A1×A2×⋯ An→B f: A_1 \\times A_2 \\times \\cdots \\ A_n \\to B f:A1​×A2​×⋯ An​→B都可以被柯里化为一连串一元函数\nf:A1→A2→⋯→An→B f: A_1 \\to A_2 \\to \\cdots \\to A_n \\to B f:A1​→A2​→⋯→An​→B柯里化的编程优势 好吧，虽然柯里化在数学上有非常优美的形式，但在编程里把函数柯里化，让其可以更灵活的调用，有什么好处呢？\n显然，一个最直观的用途就是——让多元函数可以进入管道。\n函数的输出始终是一个值（数组实际上也只是类型为数组的一个值）。但多元函数需要多个参数，因此在管道里多元函数没办法把自己的输入接到任何函数的输出上。而柯里化可以多元函数变为一元函数，从而连接进管道中。\n回顾之前提到的 Bash 管道示例\ncat server.log \\ | grep \u0026#34;ERROR\u0026#34; \\ | sort \\ | uniq -c 我们可以认为 grep 其实是一个二元函数，其第一个参数用来指定模式字符串，第二个参数是待匹配的文本。而我们指定了第一个参数后，新的函数变成了一元函数，只需输入待匹配的文本，而这个文本现在就可以通过管道传进来。\n柯里化的另一个好处就是参数复用。通过提前固定一部分参数，得到一个更具体的函数，后续只需使用这个更具体的函数即可，不需要重复传参。而且，即使得到具体函数时使用的参数名称改了，后面的代码通常也不需要修改——只要函数名的语义仍然正确\nconst log = app =\u0026gt; level =\u0026gt; message =\u0026gt; { console.log(`[${app}] [${level}] ${message}`); }; const myAppLog = log(\u0026#34;MyAppName\u0026#34;); const info = myAppLog(\u0026#34;INFO\u0026#34;); const error = myAppLog(\u0026#34;ERROR\u0026#34;); info(\u0026#34;Server started\u0026#34;); error(\u0026#34;Database failed\u0026#34;); 再一个优势就是代码更加声明式，只看函数名就能知道函数有什么用，而不用考虑每个位置的参数是什么意思\nconst applyDiscount = rate =\u0026gt; price =\u0026gt; price * (1 - rate); const vipDiscount = applyDiscount(0.2); const prices = [100, 200, 300]; prices.map(vipDiscount); 4. 函数组合与 Pipe 数学中的函数复合：\ng∘f:A→C g\\circ f:A\\to C g∘f:A→C定义：\n(g∘f)(x)=g(f(x)) (g\\circ f)(x)=g(f(x)) (g∘f)(x)=g(f(x))程序中的：\npipe(f, g, h)(x); 对应：\nh∘g∘f h\\circ g\\circ f h∘g∘f函数复合满足：\n结合律 $$ h\\circ(g\\circ f) (h\\circ g)\\circ f $$\n恒等函数 存在：\nid⁡A:A→A \\operatorname{id}_A:A\\to A idA​:A→A使：\n$$ f\\circ\\operatorname{id} \\operatorname{id}\\circ f f $$\n这两个性质是后续范畴论结构的基础。\n5. map 与 Functor JavaScript：\nxs.map(f); 只是 API 设计成了 method：\nArray object → .map(...) 它与 JavaScript 的：\nnew Map(); 毫无理论关系。\nMap 是键值容器；Array.prototype.map 中的 map 才对应函数式编程中的 mapping。\n完全可以把它改写成独立函数：\nconst map = (f) =\u0026gt; (xs) =\u0026gt; xs.map(f); 于是：\nmap(f)(xs); 更接近数学表示。\n6. Functor 的数学定义 给定两个范畴：\nC,D \\mathcal C,\\mathcal D C,D一个函子：\nF:C→D F:\\mathcal C\\to\\mathcal D F:C→D包含两部分。\n对对象的映射 A↦F(A) A\\mapsto F(A) A↦F(A)对态射的映射 若：\nf:A→B f:A\\to B f:A→B则：\nF(f):F(A)→F(B) F(f):F(A)\\to F(B) F(f):F(A)→F(B)并且必须满足两个定律。\n保持恒等态射 $$ F(\\operatorname{id}_A) \\operatorname{id}_{F(A)} $$\n保持复合 $$ F(g\\circ f) F(g)\\circ F(f) $$\nList / Array 作为例子 对象：\nA↦List(A) A\\mapsto List(A) A↦List(A)函数：\nf:A→B f:A\\to B f:A→B被提升成：\nList(f):List(A)→List(B) List(f):List(A)\\to List(B) List(f):List(A)→List(B)其中：\n$$ List(f)([a_1,\\ldots,a_n]) [f(a_1),\\ldots,f(a_n)] $$\nJavaScript 中就是：\nxs.map(f); 因此 map 的核心作用可以概括为：\n(A→B)⟼(F(A)→F(B)) (A\\to B) \\longmapsto (F(A)\\to F(B)) (A→B)⟼(F(A)→F(B))同时保持恒等与复合。\n7. reduce 比 Monoid 更一般 JavaScript：\nxs.reduce(f, initial); 并不要求 initial 是单位元。\n一般来说：\nfoldl⁡:(A×B→A)→A→List(B)→A \\operatorname{foldl}: (A\\times B\\to A) \\to A \\to List(B) \\to A foldl:(A×B→A)→A→List(B)→A也就是：\nAAA：累积器类型 BBB：元素类型 A×B→AA\\times B\\to AA×B→A：每一步如何更新累积器 初始值只需要属于 AAA 例如：\nusers.reduce( (acc, user) =\u0026gt; ({ ...acc, [user.id]: user, }), {}, ); 这并不是简单的幺半群折叠。\nMonoid 只是一个特殊情况 如果：\n(A,⋆,e) (A,\\star,e) (A,⋆,e)满足：\n$$ (a\\star b)\\star c a\\star(b\\star c) $$\n且：\ne⋆a=a⋆e=a e\\star a=a\\star e=a e⋆a=a⋆e=a那么可以：\nreduce⁡(⋆,e) \\operatorname{reduce}(\\star,e) reduce(⋆,e)例如求和：\n(Z,+,0) (\\mathbb Z,+,0) (Z,+,0)所以：\nMonoid 能自然地产生一种 reduce，但 reduce 本身不要求 Monoid。\n8. Option / Result：扩展陪域 若：\nf:A⇀B f:A\\rightharpoonup B f:A⇀B只是一个部分函数，例如：\nf(x)=1x f(x)=\\frac1x f(x)=x1​在 x=0x=0x=0 时没有定义。\n可以把它改成 total function：\nf^:A→B∪{Failure} \\hat f:A\\to B\\cup\\{\\mathrm{Failure}\\} f^​:A→B∪{Failure}前提是：\nFailure∉B \\mathrm{Failure}\\notin B Failure∈/B更严格地，为避免元素碰撞，常写成不交并：\nB⊔{Failure} B\\sqcup\\{\\mathrm{Failure}\\} B⊔{Failure}或者类型论中常写：\nB+E B+E B+E这里的 +++ 不是普通数值加法，而是 coproduct / sum type。\n程序中：\nOption\u0026lt;B\u0026gt; Result\u0026lt;B, E\u0026gt; 正是在做这件事。\n9. Monad 与错误传播 假设：\nf:A→Result(B,E) f:A\\to Result(B,E) f:A→Result(B,E)g:B→Result(C,E) g:B\\to Result(C,E) g:B→Result(C,E)普通复合：\ng∘f g\\circ f g∘f无法成立，因为 fff 的输出不是 BBB。\nMonad 提供一种组合操作，通常称为：\nbind⁡ \\operatorname{bind} bind类型：\nResult(A,E)→(A→Result(B,E))→Result(B,E) Result(A,E) \\to (A\\to Result(B,E)) \\to Result(B,E) Result(A,E)→(A→Result(B,E))→Result(B,E)于是：\nA→Result(B,E) A\\to Result(B,E) A→Result(B,E)与：\nB→Result(C,E) B\\to Result(C,E) B→Result(C,E)可以进行 Kleisli composition：\ng⋆f:A→Result(C,E) g\\star f: A\\to Result(C,E) g⋆f:A→Result(C,E) 不会产生“error drilling”吗？ 如果手写：\nconst r = f(x); if (!r.ok) return r; return g(r.value); 确实会产生大量样板代码。\n因此实际函数式 API 会把这段逻辑封装进：\nresult.flatMap(g); 或：\nbind(result, g); 从而写成：\nparse(input).flatMap(validate).flatMap(calculate).flatMap(format); 错误传播由 flatMap/bind 自动处理。\n不同语言进一步提供语法糖：\nHaskell do notation Scala for-comprehension Rust ? Elixir with JavaScript Promise.then / async-await 所以 Monad 的意义之一正是：\n把“传播上下文”的样板逻辑从每个业务函数中抽离出来。\n10. 递归与不动点 不能直接写：\nF(n)=nF(n−1) F(n)=nF(n-1) F(n)=nF(n−1)来解释“不动点”，因为这里的 FFF 已经是最终递归函数本身。\n要讨论不动点，必须再高一阶。\n定义一个作用于函数的算子：\nΦ:(N→N)→(N→N) \\Phi:(\\mathbb N\\to\\mathbb N) \\to (\\mathbb N\\to\\mathbb N) Φ:(N→N)→(N→N)定义：\n$$ \\Phi(g)(n) \\begin{cases} 1,\u0026amp;n=0\\ n,g(n-1),\u0026amp;n\u0026gt;0 \\end{cases} $$\n注意：\nggg 是输入函数； Φ(g)\\Phi(g)Φ(g) 是输出函数； 此时没有递归调用 Φ\\PhiΦ。 现在寻找一个函数 fff，满足：\nΦ(f)=f \\Phi(f)=f Φ(f)=f这样的 fff 就是 Φ\\PhiΦ 的不动点。\n代入：\n$$ f(n) \\begin{cases} 1,\u0026amp;n=0\\ n,f(n-1),\u0026amp;n\u0026gt;0 \\end{cases} $$\n于是：\nf(n)=n! f(n)=n! f(n)=n!因此 factorial 可以理解为：\nf=fix⁡(Φ) \\boxed{f=\\operatorname{fix}(\\Phi)} f=fix(Φ)​其中 fixed-point operator 满足：\n$$ \\operatorname{fix}(\\Phi) \\Phi(\\operatorname{fix}(\\Phi)) $$\nLambda Calculus 中的 YYY combinator 就满足类似关系：\nY(Φ)=Φ(Y(Φ)) Y(\\Phi)=\\Phi(Y(\\Phi)) Y(Φ)=Φ(Y(Φ))关键区别：\nΦ \\Phi Φ是“函数 → 函数”的高阶算子；\nf f f才是真正的递归函数。\n总体对应 函数式编程 数学结构 pure function 映射 A→BA\\to BA→B higher-order function 函数空间上的映射 operator 函数 →\\to→ 函数 functional 函数 →\\to→ 标量 closure A→(B→C)A\\to(B\\to C)A→(B→C) / 参数化函数族 currying A×B→C≅A→(B→C)A\\times B\\to C \\cong A\\to(B\\to C)A×B→C≅A→(B→C) composition / pipe 函数复合 map 函子的态射映射 Functor 保持恒等与复合的范畴间映射 reduce / fold 代数上的折叠 monoid reduction fold 的重要特殊情况 Option / Result 扩展陪域 / sum type bind / flatMap Kleisli composition recursion 高阶算子的不动点 函数式编程最值得把握的一条主线是：\n值→函数→函数之间的组合→保持组合的结构 \\boxed{ \\text{值} \\rightarrow \\text{函数} \\rightarrow \\text{函数之间的组合} \\rightarrow \\text{保持组合的结构} } 值→函数→函数之间的组合→保持组合的结构​所以 FP 最深层的魅力并不只是“函数是一等公民”，而是：\n程序逐渐变成一个可以用代数规律推理的对象 \\boxed{\\text{程序逐渐变成一个可以用代数规律推理的对象}} 程序逐渐变成一个可以用代数规律推理的对象​这也是它与数学之间最根本的联系。\n","permalink":"https://juemuren.github.io/blog/posts/cs/%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%BC%8F%E7%BC%96%E7%A8%8B/","summary":"探索函数式编程背后美妙的数学理论。","title":"函数式编程：代码中的数学结构"},{"content":"泛函是一种映射，它以函数为自变量，数为因变量，把函数映射为数。\n例如\nF[y]=∫abydx F[y] = \\int_a^b y \\mathrm{d}x F[y]=∫ab​ydx就是一个 C[a,b]→RC[a,b] \\to \\mathbb{R}C[a,b]→R 泛函，其中 C[a,b]C[a,b]C[a,b] 表示区间 [a,b][a,b][a,b] 上所有连续函数组成的集合。\n若一个泛函依赖函数的前 nnn 阶导数，则通常将其定义域写为 Cn[a,b]C^{n}[a,b]Cn[a,b]，这表示区间 [a,b][a,b][a,b] 上所有 nnn 阶连续可导函数组成的集合。许多重要的 Cn[a,b]→RC^{n}[a,b] \\to \\mathbb{R}Cn[a,b]→R 泛函都可以用定积分表示为\nF[y]=∫abL(x,y,y′,y′′,⋯ ,y(n))dx F[y] = \\int_a^b \\mathcal{L}(x,y,y\u0026#x27;,y\u0026#x27;\u0026#x27;,\\cdots,y^{(n)}) \\mathrm{d}x F[y]=∫ab​L(x,y,y′,y′′,⋯,y(n))dx本文将推导 L=L(x,y,y′)\\mathcal{L}=\\mathcal{L}(x, y, y\u0026#x27;)L=L(x,y,y′) 这类泛函的导数，并用得到的结果求解最速降线问题与狄多问题。\n泛函的微分：变分 变分就是泛函的微分。类比于多元函数的微分，变分定义为自变量（函数）沿某一方向的微小扰动所引起因变量（数）变化的线性主部。\n设\nyε(x)=y(x)+εη(x) y_\\varepsilon(x) = y(x) + \\varepsilon \\eta(x) yε​(x)=y(x)+εη(x)于是自变量的微小变化为\nδy(x)=εη(x) \\delta y(x) = \\varepsilon \\eta(x) δy(x)=εη(x)从而因变量变为\nF[yε]=F[y+εη]=∫abL(x,y+εη,y′+εη′)dx F[y_\\varepsilon] = F[y + \\varepsilon\\eta] = \\int_{a}^{b} \\mathcal{L}(x, y + \\varepsilon\\eta, y\u0026#x27; + \\varepsilon\\eta\u0026#x27;) \\mathrm{d}x F[yε​]=F[y+εη]=∫ab​L(x,y+εη,y′+εη′)dx定义关于 ε\\varepsilonε 的函数 Φ\\PhiΦ\nΦ(ε)=F[y+εη] \\Phi(\\varepsilon) = F[y + \\varepsilon\\eta] Φ(ε)=F[y+εη]从而因变量的变化量为\nΦ(ε)−Φ(0)=Φ′(0)ε+o(ε) \\Phi(\\varepsilon) - \\Phi(0) = \\Phi\u0026#x27;(0)\\varepsilon + o(\\varepsilon) Φ(ε)−Φ(0)=Φ′(0)ε+o(ε)其线性主部，即变分为\nδF=Φ′(0)ε \\delta F = \\Phi\u0026#x27;(0)\\varepsilon δF=Φ′(0)ε于是对 Φ\\PhiΦ 求导\nΦ′(ε)=ddεF[y+εη]=∫ab∂∂εL(x,y+εη,y′+εη′)dx \\Phi\u0026#x27;(\\varepsilon) = \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d} \\varepsilon} F[y + \\varepsilon \\eta] = \\int_{a}^{b} \\frac{\\partial}{\\partial \\varepsilon} \\mathcal{L}(x, y + \\varepsilon\\eta, y\u0026#x27;+ \\varepsilon\\eta\u0026#x27;) \\mathrm{d}x Φ′(ε)=dεd​F[y+εη]=∫ab​∂ε∂​L(x,y+εη,y′+εη′)dx由链式法则\n∂L∂ε=∂L∂x∂x∂ε+∂L∂yε∂yε∂ε+∂L∂yε′∂yε′∂ε \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial \\varepsilon} =\\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial x} \\frac{\\partial x}{\\partial \\varepsilon} +\\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y_\\varepsilon} \\frac{\\partial y_\\varepsilon}{\\partial \\varepsilon} +\\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y_\\varepsilon\u0026#x27;} \\frac{\\partial y_\\varepsilon\u0026#x27;}{\\partial \\varepsilon} ∂ε∂L​=∂x∂L​∂ε∂x​+∂yε​∂L​∂ε∂yε​​+∂yε′​∂L​∂ε∂yε′​​代入\n∂x∂ε=0∂yε∂ε=η∂yε′∂ε=η′ \\begin{align*} \\frac{\\partial x}{\\partial \\varepsilon} \u0026amp;= 0 \\\\ \\frac{\\partial y_\\varepsilon}{\\partial \\varepsilon} \u0026amp;= \\eta \\\\ \\frac{\\partial y_\\varepsilon\u0026#x27;}{\\partial \\varepsilon} \u0026amp;= \\eta\u0026#x27; \\end{align*} ∂ε∂x​∂ε∂yε​​∂ε∂yε′​​​=0=η=η′​得到\n∂L∂ε=∂L∂yεη+∂L∂yε′η′ \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial \\varepsilon} = \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y_\\varepsilon}\\eta + \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y_\\varepsilon\u0026#x27;}\\eta\u0026#x27; ∂ε∂L​=∂yε​∂L​η+∂yε′​∂L​η′从而有\nΦ′(ε)=∫ab(∂L∂yεη+∂L∂yε′η′)dx \\Phi\u0026#x27;(\\varepsilon) = \\int_{a}^{b} \\left( \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y_\\varepsilon}\\eta + \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y_\\varepsilon\u0026#x27;}\\eta\u0026#x27; \\right)\\mathrm{d}x Φ′(ε)=∫ab​(∂yε​∂L​η+∂yε′​∂L​η′)dx令 ε→0\\varepsilon \\to 0ε→0 得到\nΦ′(0)=∫ab(∂L∂yη+∂L∂y′η′)dxΦ′(0)ε=∫ab(∂L∂yεη+∂L∂y′εη′)dx \\begin{align*} \\Phi\u0026#x27;(0) \u0026amp;= \\int_{a}^{b} \\left( \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y}\\eta + \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;}\\eta\u0026#x27; \\right)\\mathrm{d}x \\\\ \\Phi\u0026#x27;(0)\\varepsilon \u0026amp;= \\int_{a}^{b} \\left( \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y}\\varepsilon\\eta + \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;}\\varepsilon\\eta\u0026#x27; \\right)\\mathrm{d}x \\end{align*} Φ′(0)Φ′(0)ε​=∫ab​(∂y∂L​η+∂y′∂L​η′)dx=∫ab​(∂y∂L​εη+∂y′∂L​εη′)dx​代入 δy(x)=εη(x)\\delta y(x) = \\varepsilon \\eta(x)δy(x)=εη(x) 得到最终的变分\nδF=∫ab(∂L∂yδy+∂L∂y′δy′)dx \\boxed{ \\delta F = \\int_a^b \\left( \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y} \\delta y + \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} \\delta y\u0026#x27; \\right) \\mathrm{d}x } δF=∫ab​(∂y∂L​δy+∂y′∂L​δy′)dx​泛函的极值点：欧拉-拉格朗日方程 泛函取到极值的一个必要条件就是变分为零。但上述变分的积分项中同时包含了 δy\\delta yδy 和 δy′\\delta y\u0026#x27;δy′，不方便判断取到零的条件。因此接下来要尝试消去 δy′\\delta y\u0026#x27;δy′。\n首先将 δF\\delta FδF 展开为两个积分项\nδF=∫ab∂L∂yδydx+∫ab∂L∂y′δy′dx \\delta F = \\int_a^b \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y} \\delta y\\mathrm{d}x + \\int_a^b \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} \\delta y\u0026#x27; \\mathrm{d}x δF=∫ab​∂y∂L​δydx+∫ab​∂y′∂L​δy′dx然后对含 δy′\\delta y\u0026#x27;δy′ 的项进行分部积分\n∫ab∂L∂y′δy′dx=[∂L∂y′δy]ab−∫abddx(∂L∂y′)δydx \\int_a^b \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} \\delta y\u0026#x27; \\mathrm{d}x = \\left[ \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} \\delta y \\right]_a^b - \\int_a^b \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}x}\\left( \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} \\right) \\delta y \\mathrm{d}x ∫ab​∂y′∂L​δy′dx=[∂y′∂L​δy]ab​−∫ab​dxd​(∂y′∂L​)δydx代回原式\nδF=∫ab∂L∂yδydx+[∂L∂y′δy]ab−∫abddx(∂L∂y′)δydx=∫ab[∂L∂y−ddx(∂L∂y′)]δydx+[∂L∂y′δy]ab \\begin{align*} \\delta F \u0026amp;= \\int_a^b \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y} \\delta y\\mathrm{d}x + \\left[ \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} \\delta y \\right]_a^b - \\int_a^b \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}x}\\left( \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} \\right) \\delta y \\mathrm{d}x \\\\ \u0026amp;= \\int_a^b \\left[ \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y} - \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}x}\\left( \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} \\right) \\right] \\delta y \\mathrm{d}x + \\left[ \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} \\delta y \\right]_a^b \\end{align*} δF​=∫ab​∂y∂L​δydx+[∂y′∂L​δy]ab​−∫ab​dxd​(∂y′∂L​)δydx=∫ab​[∂y∂L​−dxd​(∂y′∂L​)]δydx+[∂y′∂L​δy]ab​​其中\n[∂L∂y′δy]ab=∂L∂y′(b)δy(b)−∂L∂y′(a)δy(a) \\left[ \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} \\delta y \\right]_a^b = \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;}(b) \\delta y(b) - \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;}(a) \\delta y(a) [∂y′∂L​δy]ab​=∂y′∂L​(b)δy(b)−∂y′∂L​(a)δy(a)固定边界变分 对于常见的变分问题，自变量函数在区间边界上固定，即满足固定边界条件 δy(a)=0\\delta y(a)=0δy(a)=0 和 δy(b)=0\\delta y(b)=0δy(b)=0，从而\n[∂L∂y′δy]ab=0 \\left[ \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} \\delta y \\right]_a^b = 0 [∂y′∂L​δy]ab​=0于是\nδF=∫ab[∂L∂y−ddx(∂L∂y′)]δydx \\boxed{ \\delta F = \\int_a^b \\left[ \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y} - \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}x}\\left( \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} \\right) \\right] \\delta y \\mathrm{d}x } δF=∫ab​[∂y∂L​−dxd​(∂y′∂L​)]δydx​由于区间 (a,b)(a,b)(a,b) 内的 δy\\delta yδy 可以任意变化，因此 δF=0\\delta F=0δF=0 要求和 δy\\delta yδy 相乘的部分必须为零（这就是变分法基本引理），从而得到欧拉-拉格朗日方程\n∂L∂y−ddx(∂L∂y′)=0 \\boxed{ \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y} - \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}x}\\left( \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} \\right) = 0 } ∂y∂L​−dxd​(∂y′∂L​)=0​类比于普通微积分中的导数定义，这里可以推广符号，将上式左边定义为泛函的导数\nδFδy=∂L∂y−ddx(∂L∂y′) \\frac{\\delta F}{\\delta y} = \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y} - \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}x}\\left( \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} \\right) δyδF​=∂y∂L​−dxd​(∂y′∂L​)这样泛函的变分就可视为泛函变分密度的积分\nδF=∫abδFδyδydx \\delta F = \\int_a^b \\frac{\\delta F}{\\delta y} \\delta y \\mathrm{d}x δF=∫ab​δyδF​δydx类似于多变量函数，其全微分为各自变量的偏微分之和\ndF=∑i=1n∂F∂yidyi \\mathrm{d} F = \\sum_{i=1}^n \\frac{\\partial F}{\\partial y_i} \\mathrm{d}y_i dF=i=1∑n​∂yi​∂F​dyi​只不过泛函的自变量是无穷维的、需要用连续变量标记的向量，因此不同于有限维向量中的求和，需要使用积分。\n自由边界变分 如果不假设边界固定，让右端点 x=bx=bx=b 可以自由变化（包括横向和纵向的变化），那么此时问题会更复杂一点。\n由于右端点的横坐标 bbb 可以变化，因此泛函需要改写为\nF[y,b]=∫abL(x,y,y′)dx F[y, b] = \\int_a^b \\mathcal{L}(x,y,y\u0026#x27;) \\mathrm{d}x F[y,b]=∫ab​L(x,y,y′)dx然后类似地定义 bbb 的变化量\nbε=b+εζ b_\\varepsilon = b + \\varepsilon\\zeta bε​=b+εζ从而\nδb=εζ \\delta b=\\varepsilon\\zeta δb=εζ泛函变为\nF[y,bε]=F[y,b+εζ]=∫ab+εζL(x,y,y′)dx F[y, b_\\varepsilon] = F[y, b + \\varepsilon\\zeta] = \\int_a^{b + \\varepsilon\\zeta} \\mathcal{L}(x,y,y\u0026#x27;) \\mathrm{d}x F[y,bε​]=F[y,b+εζ]=∫ab+εζ​L(x,y,y′)dx同样定义一个辅助函数 Φ\\PhiΦ\nΦ(ε)=F[y,b+εζ] \\Phi(\\varepsilon) = F[y, b + \\varepsilon\\zeta] Φ(ε)=F[y,b+εζ]泛函的变化量为\nF[y,b+εζ]−F[y,b]=∫ab+εζL(x,y,y′)dx−∫abL(x,y,y′)dxΦ(ε)−Φ(0)=∫bb+εζL(x,y,y′)dx \\begin{align*} F[y, b + \\varepsilon\\zeta] - F[y, b] \u0026amp;= \\int_a^{b + \\varepsilon\\zeta} \\mathcal{L}(x,y,y\u0026#x27;) \\mathrm{d}x - \\int_a^b \\mathcal{L}(x,y,y\u0026#x27;) \\mathrm{d}x \\\\ \\Phi(\\varepsilon) - \\Phi(0) \u0026amp;= \\int_b^{b + \\varepsilon\\zeta} \\mathcal{L}(x,y,y\u0026#x27;) \\mathrm{d}x \\end{align*} F[y,b+εζ]−F[y,b]Φ(ε)−Φ(0)​=∫ab+εζ​L(x,y,y′)dx−∫ab​L(x,y,y′)dx=∫bb+εζ​L(x,y,y′)dx​展开 Φ(ε)−Φ(0)\\Phi(\\varepsilon) - \\Phi(0)Φ(ε)−Φ(0) 得到线性主部\nΦ(ε)−Φ(0)=Φ′(0)ε+o(ε) \\Phi(\\varepsilon) - \\Phi(0) = \\Phi\u0026#x27;(0)\\varepsilon + o(\\varepsilon) Φ(ε)−Φ(0)=Φ′(0)ε+o(ε)而\nΦ′(ε)=ddεF[y,b+εζ]=∂∂ε∫bb+εζL(x,y,y′)dx=ζL(b+εζ,y(b+εζ),y′(b+εζ)) \\begin{align*} \\Phi\u0026#x27;(\\varepsilon) \u0026amp;= \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d} \\varepsilon} F[y, b + \\varepsilon\\zeta] \\\\ \u0026amp;= \\frac{\\partial}{\\partial \\varepsilon} \\int_b^{b + \\varepsilon\\zeta} \\mathcal{L}(x,y,y\u0026#x27;) \\mathrm{d}x \\\\ \u0026amp;= \\zeta\\mathcal{L}(b+\\varepsilon\\zeta, y(b+\\varepsilon\\zeta), y\u0026#x27;(b+\\varepsilon\\zeta)) \\end{align*} Φ′(ε)​=dεd​F[y,b+εζ]=∂ε∂​∫bb+εζ​L(x,y,y′)dx=ζL(b+εζ,y(b+εζ),y′(b+εζ))​得到端点变化产生的变分\nΦ′(0)ε=L(b,y(b),y′(b))δb \\Phi\u0026#x27;(0)\\varepsilon = \\mathcal{L}(b, y(b), y\u0026#x27;(b))\\delta b Φ′(0)ε=L(b,y(b),y′(b))δb与曲线变化产生的变分加在一起，得到总的变分\nδF=L(b,y(b),y′(b))δb+∫ab(∂L∂yδy+∂L∂y′δy′)dx \\delta F = \\mathcal{L}(b, y(b), y\u0026#x27;(b))\\delta b + \\int_a^b \\left( \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y} \\delta y + \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} \\delta y\u0026#x27; \\right) \\mathrm{d}x δF=L(b,y(b),y′(b))δb+∫ab​(∂y∂L​δy+∂y′∂L​δy′)dx然后进行同样的分部积分，但由于右端点不固定，所以相关项不为零，得到\nδF=L(b,y(b),y′(b))δb+∂L∂y′(b)δy(b)+∫ab[∂L∂y−ddx(∂L∂y′)]δydx \\boxed{ \\delta F = \\mathcal{L}(b, y(b), y\u0026#x27;(b))\\delta b + \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;}(b) \\delta y(b) + \\int_a^b \\left[ \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y} - \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}x}\\left( \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} \\right) \\right] \\delta y \\mathrm{d}x } δF=L(b,y(b),y′(b))δb+∂y′∂L​(b)δy(b)+∫ab​[∂y∂L​−dxd​(∂y′∂L​)]δydx​此时让 δF=0\\delta F=0δF=0 不仅要满足欧拉-拉格朗日方程，还多出了一个额外的条件\nL(b,y(b),y′(b))δb+∂L∂y′(b)δy(b)=0 \\mathcal{L}(b, y(b), y\u0026#x27;(b))\\delta b + \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;}(b) \\delta y(b) = 0 L(b,y(b),y′(b))δb+∂y′∂L​(b)δy(b)=0该条件还可以进一步讨论，从而分为只允许纵坐标变化、只允许横坐标变化和可以任意变化三种情况。\n经过扰动（包括端点的扰动和曲线的扰动）后，最终的右端点变为\nBε(bε,yε(bε)) B_{\\varepsilon}(b_\\varepsilon, y_\\varepsilon(b_\\varepsilon)) Bε​(bε​,yε​(bε​))其纵坐标的变化量为\nδyB=yε(bε)−y(b) \\delta y_B = y_\\varepsilon(b_\\varepsilon) - y(b) δyB​=yε​(bε​)−y(b)而\nyε(bε)=y(b+εζ)+εη(b+εζ) y_\\varepsilon(b_\\varepsilon) = y(b+\\varepsilon\\zeta) + \\varepsilon\\eta(b+\\varepsilon\\zeta) yε​(bε​)=y(b+εζ)+εη(b+εζ)对 y(b+εζ)y(b+\\varepsilon\\zeta)y(b+εζ) 和 η(b+εζ)\\eta(b+\\varepsilon\\zeta)η(b+εζ) 分别进行一阶展开\n{y(b+εζ)=y(b)+εy′(b)ζ+o(ε)η(b+εζ)=η(b)+εη′(b)ζ+o(ε) \\begin{cases} y(b+\\varepsilon\\zeta) = y(b) + \\varepsilon y\u0026#x27;(b)\\zeta + o(\\varepsilon) \\\\ \\eta(b+\\varepsilon\\zeta) = \\eta(b) + \\varepsilon\\eta\u0026#x27;(b)\\zeta + o(\\varepsilon) \\end{cases} {y(b+εζ)=y(b)+εy′(b)ζ+o(ε)η(b+εζ)=η(b)+εη′(b)ζ+o(ε)​忽略二阶小量 ε2η′(b)ζ\\varepsilon^2\\eta\u0026#x27;(b)\\zetaε2η′(b)ζ 和高阶小量 o(ε)o(\\varepsilon)o(ε)，代回原式\nδyB=y(b)+εy′(b)ζ+εη(b)−y(b)=εy′(b)ζ+εη(b)=y′(b)δb+δy(b) \\begin{align*} \\delta y_B \u0026amp;= y(b) + \\varepsilon y\u0026#x27;(b)\\zeta + \\varepsilon\\eta(b) - y(b) \\\\ \u0026amp;= \\varepsilon y\u0026#x27;(b)\\zeta + \\varepsilon\\eta(b) \\\\ \u0026amp;= y\u0026#x27;(b)\\delta b + \\delta y(b) \\end{align*} δyB​​=y(b)+εy′(b)ζ+εη(b)−y(b)=εy′(b)ζ+εη(b)=y′(b)δb+δy(b)​移项得到\nδy(b)=δyB−y′(b)δb \\delta y(b) = \\delta y_B - y\u0026#x27;(b)\\delta b δy(b)=δyB​−y′(b)δb再把上式代入原来的条件\nL(b,y(b),y′(b))δb+∂L∂y′(b)[δyB−y′(b)δb]=0[L(b,y(b),y′(b))−y′(b)∂L∂y′(b)]δb+∂L∂y′(b)δyB=0 \\begin{align*} \\mathcal{L}(b, y(b), y\u0026#x27;(b))\\delta b + \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;}(b) [\\delta y_B - y\u0026#x27;(b)\\delta b] \u0026amp;= 0 \\\\ \\left[ \\mathcal{L}(b, y(b), y\u0026#x27;(b))-y\u0026#x27;(b)\\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;}(b) \\right]\\delta b + \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;}(b) \\delta y_B \u0026amp;= 0 \\end{align*} L(b,y(b),y′(b))δb+∂y′∂L​(b)[δyB​−y′(b)δb][L(b,y(b),y′(b))−y′(b)∂y′∂L​(b)]δb+∂y′∂L​(b)δyB​​=0=0​因此\n当端点横坐标可自由变化而纵坐标固定时，与 δb\\delta bδb 相乘的部分必须为零，得到 L(b,y(b),y′(b))−y′(b)∂L∂y′(b)=0 \\boxed{ \\mathcal{L}(b, y(b), y\u0026#x27;(b))-y\u0026#x27;(b)\\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;}(b) = 0 } L(b,y(b),y′(b))−y′(b)∂y′∂L​(b)=0​ 当端点的纵坐标可自由变化而横坐标固定时，与 δyB\\delta y_BδyB​ 相乘的部分必须为零，得到 ∂L∂y′(b)=0 \\boxed{ \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;}(b) = 0 } ∂y′∂L​(b)=0​ 当端点的横纵坐标均可自由变化时，上面两项都要为零，稍微化简后便得到 ∂L∂y′(b)=0L(b,y(b),y′(b))=0 \\boxed{ \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;}(b) = 0 \\qquad \\mathcal{L}(b, y(b), y\u0026#x27;(b)) = 0 } ∂y′∂L​(b)=0L(b,y(b),y′(b))=0​ 上述条件被称作自然边界条件。\n另一种情况是，端点被限制在曲线 y=ψ(x)y=\\psi(x)y=ψ(x) 上，此时有\nδyB=ψ′(b)δb \\delta y_B = \\psi\u0026#x27;(b) \\delta b δyB​=ψ′(b)δb代入得到\n[L(b,y(b),y′(b))−y′(b)∂L∂y′(b)]δb+ψ′(b)∂L∂y′(b)δb=0[L(b,y(b),y′(b))−y′(b)∂L∂y′(b)+ψ′(b)∂L∂y′(b)]δb=0 \\begin{align*} \\left[ \\mathcal{L}(b, y(b), y\u0026#x27;(b))-y\u0026#x27;(b)\\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;}(b) \\right]\\delta b + \\psi\u0026#x27;(b)\\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;}(b)\\delta b \u0026amp;= 0 \\\\ \\left[ \\mathcal{L}(b, y(b), y\u0026#x27;(b))-y\u0026#x27;(b)\\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;}(b) + \\psi\u0026#x27;(b)\\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;}(b) \\right]\\delta b \u0026amp;= 0 \\end{align*} [L(b,y(b),y′(b))−y′(b)∂y′∂L​(b)]δb+ψ′(b)∂y′∂L​(b)δb[L(b,y(b),y′(b))−y′(b)∂y′∂L​(b)+ψ′(b)∂y′∂L​(b)]δb​=0=0​从而有\nL(b,y(b),y′(b))−y′(b)∂L∂y′(b)+ψ′(b)∂L∂y′(b)=0 \\boxed{ \\mathcal{L}(b, y(b), y\u0026#x27;(b))-y\u0026#x27;(b)\\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;}(b) + \\psi\u0026#x27;(b)\\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;}(b)= 0 } L(b,y(b),y′(b))−y′(b)∂y′∂L​(b)+ψ′(b)∂y′∂L​(b)=0​这叫做横截条件。\n变分法的应用：最速降线问题 最速降线问题 设一质点从原点 A=(0,0)A=(0,0)A=(0,0) 运动到 B=(w,h)B=(w, h)B=(w,h) 处（w,h\u0026gt;0w, h \u0026gt; 0w,h\u0026gt;0 且 yyy 轴正方向向下），初速度为零，重力加速度为 ggg，忽略所有摩擦力。质点沿哪条曲线运动所需的时间最短？\n这是固定边界变分问题。\n将解表示为时间泛函的极值点 设曲线为\ny=y(x) y = y(x) y=y(x)由能量守恒得到 (x,y)(x,y)(x,y) 处的速度为\nv=2gy v = \\sqrt{2gy} v=2gy​弧长微元为\nds=1+(y′)2dx \\mathrm{d}s = \\sqrt{1 + (y\u0026#x27;)^2}\\mathrm{d}x ds=1+(y′)2​dx从而时间可表示为一个泛函\nT[y]=∫ABdsv=∫0w1+(y′)22gydx T[y] = \\int_A^B \\frac{\\mathrm{d}s}{v} = \\int_0^{w} \\frac{\\sqrt{1 + (y\u0026#x27;)^2}}{\\sqrt{2gy}} \\mathrm{d}x T[y]=∫AB​vds​=∫0w​2gy​1+(y′)2​​dx因此最速降线就是使 T[y]T[y]T[y] 取极小值的函数。\n求时间泛函的极值点 由于常数 2g\\sqrt{2g}2g​ 不影响泛函的极值点，因此定义拉格朗日函数时忽略掉它\nL(y,y′)=1+(y′)2y=y−12[1+(y′)2]12 \\mathcal{L}(y, y\u0026#x27;) = \\frac{\\sqrt{1 + (y\u0026#x27;)^2}}{\\sqrt{y}} = y^{-\\frac{1}{2}} [1 + (y\u0026#x27;)^2]^{\\frac{1}{2}} L(y,y′)=y​1+(y′)2​​=y−21​[1+(y′)2]21​显然 L\\mathcal{L}L 中不包含自变量 xxx。下面利用这一性质计算欧拉-拉格朗日方程的首次积分——这也叫贝尔特拉米恒等式。\n首先得到\n∂L∂x=0 \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial x} = 0 ∂x∂L​=0然后计算全导数\ndLdx=∂L∂x+∂L∂ydydx+∂L∂y′dy′dx=y′∂L∂y+y′′∂L∂y′ \\frac{\\mathrm{d}\\mathcal{L}}{\\mathrm{d}x} = \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial x} + \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y} \\frac{\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d}x} + \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} \\frac{\\mathrm{d}y\u0026#x27;}{\\mathrm{d}x} = y\u0026#x27;\\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y} + y\u0026#x27;\u0026#x27;\\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} dxdL​=∂x∂L​+∂y∂L​dxdy​+∂y′∂L​dxdy′​=y′∂y∂L​+y′′∂y′∂L​接着把欧拉-拉格朗日方程 ∂L∂y=ddx(∂L∂y′)\\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y} = \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}x}\\left( \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} \\right)∂y∂L​=dxd​(∂y′∂L​) 代入其中\ndLdx=y′ddx(∂L∂y′)+y′′∂L∂y′ \\frac{\\mathrm{d}\\mathcal{L}}{\\mathrm{d}x} = y\u0026#x27;\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}x}\\left( \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} \\right) + y\u0026#x27;\u0026#x27;\\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} dxdL​=y′dxd​(∂y′∂L​)+y′′∂y′∂L​反向使用导数的乘积法则，得到\ndLdx=ddx(y′∂L∂y′) \\frac{\\mathrm{d}\\mathcal{L}}{\\mathrm{d}x} = \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}x}\\left( y\u0026#x27;\\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} \\right) dxdL​=dxd​(y′∂y′∂L​)再移项合并求导\nddx(L−y′∂L∂y′)=0 \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}x} \\left( \\mathcal{L} - y\u0026#x27;\\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} \\right) = 0 dxd​(L−y′∂y′∂L​)=0最后对两侧同时积分，得到贝尔特拉米恒等式\nL−y′∂L∂y′=C \\mathcal{L} - y\u0026#x27;\\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} = C L−y′∂y′∂L​=C原先的欧拉-拉格朗日方程中还有二阶导数，现在只剩下一阶导数了。接下来的任务就是求解这个一阶微分方程。\n首先计算偏导数\n∂L∂y′=y−1212[1+(y′)2]−12(2y′)=y′y[1+(y′)2] \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} = y^{-\\frac{1}{2}} \\frac{1}{2} [1 + (y\u0026#x27;)^2]^{-\\frac{1}{2}} (2y\u0026#x27;) = \\frac{y\u0026#x27;}{\\sqrt{y[1 + (y\u0026#x27;)^2]}} ∂y′∂L​=y−21​21​[1+(y′)2]−21​(2y′)=y[1+(y′)2]​y′​然后把 L\\mathcal{L}L 和 ∂L∂y′\\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;}∂y′∂L​ 代入贝尔特拉米恒等式\n1+(y′)2y−y′y′y[1+(y′)2]=C1y[1+(y′)2]=C1y[1+(y′)2]=C2y[1+(y′)2]=1C2 \\begin{align*} \\frac{\\sqrt{1 + (y\u0026#x27;)^2}}{\\sqrt{y}} - y\u0026#x27; \\frac{y\u0026#x27;}{\\sqrt{y[1 + (y\u0026#x27;)^2]}} \u0026amp;= C \\\\ \\frac{1}{\\sqrt{y[1+(y\u0026#x27;)^2]}} \u0026amp;= C \\\\ \\frac{1}{y[1+(y\u0026#x27;)^2]} \u0026amp;= C^2 \\\\ y[1+(y\u0026#x27;)^2] \u0026amp;= \\frac{1}{C^2} \\end{align*} y​1+(y′)2​​−y′y[1+(y′)2]​y′​y[1+(y′)2]​1​y[1+(y′)2]1​y[1+(y′)2]​=C=C=C2=C21​​这里更换一下常数符号 1C2=2r\\frac{1}{C^2} = 2rC21​=2r ，得到\ny[1+(y′)2]=2r y[1+(y\u0026#x27;)^2] = 2r y[1+(y′)2]=2r接下来是需要注意力的三角变换。令\ny′=cot⁡θ2 y\u0026#x27;=\\cot\\frac{\\theta}{2} y′=cot2θ​代入上式得到\ny(1+cot⁡2θ2)=2rycsc⁡2θ2=2ry=2rsin⁡2θ2y=r(1−cos⁡θ) \\begin{align*} y\\left(1+\\cot^2\\frac{\\theta}{2}\\right) \u0026amp;= 2r \\\\ y \\csc^2\\frac{\\theta}{2} \u0026amp;= 2r \\\\ y \u0026amp;= 2r\\sin^2\\frac{\\theta}{2} \\\\ y \u0026amp;= r(1-\\cos\\theta) \\end{align*} y(1+cot22θ​)ycsc22θ​yy​=2r=2r=2rsin22θ​=r(1−cosθ)​现在有了 yyy 关于 θ\\thetaθ 的参数方程，再得到 xxx 关于 θ\\thetaθ 的参数方程就可以确定曲线了。\n先求 dy\\mathrm{d}ydy\ndy=rsin⁡θdθ \\mathrm{d}y = r \\sin\\theta \\mathrm{d}\\theta dy=rsinθdθ然后间接计算 dx\\mathrm{d}xdx\ndx=dyy′=rsin⁡θdθcot⁡θ2=r(2sin⁡θ2cos⁡θ2sin⁡θ2cos⁡θ2)dθ=r(2sin⁡2θ2)dθ=r(1−cos⁡θ)dθ \\begin{align*} \\mathrm{d}x \u0026amp;= \\frac{\\mathrm{d}y}{y\u0026#x27;} \\\\ \u0026amp;= \\frac{r \\sin\\theta \\mathrm{d}\\theta}{\\cot\\frac{\\theta}{2}} \\\\ \u0026amp;= r (2\\sin\\frac{\\theta}{2}\\cos\\frac{\\theta}{2}\\frac{\\sin\\frac{\\theta}{2}}{\\cos\\frac{\\theta}{2}}) \\mathrm{d}\\theta \\\\ \u0026amp;= r (2\\sin^2\\frac{\\theta}{2}) \\mathrm{d}\\theta \\\\ \u0026amp;= r (1 - \\cos\\theta) \\mathrm{d}\\theta \\end{align*} dx​=y′dy​=cot2θ​rsinθdθ​=r(2sin2θ​cos2θ​cos2θ​sin2θ​​)dθ=r(2sin22θ​)dθ=r(1−cosθ)dθ​最后两侧同时积分\nx=r(θ−sin⁡θ)+C x = r(\\theta - \\sin\\theta) + C x=r(θ−sinθ)+C代入曲线必过的原点坐标 A=(0,0)A=(0,0)A=(0,0) 即可确定常数值\nC=0 C = 0 C=0于是最速降线为\n{x=r(θ−sin⁡θ)y=r(1−cos⁡θ) \\begin{cases} x = r(\\theta - \\sin\\theta) \\\\ y = r(1-\\cos\\theta) \\end{cases} {x=r(θ−sinθ)y=r(1−cosθ)​这正是摆线的参数方程。\n最速降线问题的解 代入曲线经过的另一个点 B=(w,h)B=(w,h)B=(w,h) 得到方程\n{w=r(θB−sin⁡θB)h=r(1−cos⁡θB) \\begin{cases} w = r(\\theta_B - \\sin\\theta_B) \\\\ h = r(1-\\cos\\theta_B) \\end{cases} {w=r(θB​−sinθB​)h=r(1−cosθB​)​消去 rrr 后得到\nθB−sin⁡θB1−cos⁡θB=wh \\frac{\\theta_B - \\sin\\theta_B}{1-\\cos\\theta_B} = \\frac{w}{h} 1−cosθB​θB​−sinθB​​=hw​可惜这是一个超越方程，无法得到 θB\\theta_BθB​ 的初等函数表示。\n假设用数值方法求出了 0\u0026lt;θB\u0026lt;2π0 \u0026lt; \\theta_B \u0026lt; 2\\pi0\u0026lt;θB​\u0026lt;2π，代入便可得到\nr=h1−cos⁡θB=wθB−sin⁡θB r = \\frac{h}{1-\\cos\\theta_B} = \\frac{w}{\\theta_B - \\sin\\theta_B} r=1−cosθB​h​=θB​−sinθB​w​代回参数方程便得到了最终的曲线\n{x=wθB−sin⁡θB(θ−sin⁡θ)y=h1−cos⁡θB(1−cos⁡θ)θ∈[0,θB] \\boxed{ \\begin{cases} x = \\frac{w}{\\theta_B - \\sin\\theta_B}(\\theta - \\sin\\theta) \\\\ y = \\frac{h}{1-\\cos\\theta_B}(1-\\cos\\theta) \\\\ \\theta \\in [0, \\theta_B] \\end{cases} } ⎩⎨⎧​x=θB​−sinθB​w​(θ−sinθ)y=1−cosθB​h​(1−cosθ)θ∈[0,θB​]​​需要注意的是，这条曲线并不严格满足 C1[0,w]C^1[0,w]C1[0,w]，因为在 θ=0\\theta=0θ=0 处斜率无穷大，不可求导。但变分法的实际要求更为宽松，因此结论仍然有效。\n最短的时间也可以计算出来。首先是速度\nv=2gy=2gr(1−cos⁡θ)=2grsin⁡θ2 v = \\sqrt{2gy} = \\sqrt{2gr(1-\\cos\\theta)} = 2\\sqrt{gr}\\sin\\frac{\\theta}{2} v=2gy​=2gr(1−cosθ)​=2gr​sin2θ​然后求弧长微元\nds=dx2+dy2=(dxdθ)2+(dydθ)2dθ \\mathrm{d}s = \\sqrt{\\mathrm{d}x^2 + \\mathrm{d}y^2} = \\sqrt{\\left(\\frac{\\mathrm{d}x}{\\mathrm{d}\\theta}\\right)^2 + \\left( \\frac{\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d}\\theta} \\right)^2 }\\mathrm{d}\\theta ds=dx2+dy2​=(dθdx​)2+(dθdy​)2​dθ分别得到\n{dxdθ=r(1−cos⁡θ)dydθ=rsin⁡θ \\begin{cases} \\frac{\\mathrm{d}x}{\\mathrm{d}\\theta} = r(1-\\cos\\theta) \\\\ \\frac{\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d}\\theta} = r\\sin\\theta \\end{cases} {dθdx​=r(1−cosθ)dθdy​=rsinθ​于是\nds=r2(1−cos⁡θ)2+r2sin⁡2θdθ=2rsin⁡θ2dθ \\mathrm{d}s = \\sqrt{r^2(1-\\cos\\theta)^2+r^2\\sin^2\\theta}\\mathrm{d}\\theta = 2r\\sin\\frac{\\theta}{2}\\mathrm{d}\\theta ds=r2(1−cosθ)2+r2sin2θ​dθ=2rsin2θ​dθ从而\nTmin=∫ABdsv=∫0θBrgdθ=θBrg T_{\\text{min}} = \\int_{A}^{B} \\frac{\\mathrm{d}s}{v} = \\int_{0}^{\\theta_B} \\sqrt{\\frac{r}{g}}\\mathrm{d}\\theta = \\theta_B\\sqrt{\\frac{r}{g}} Tmin​=∫AB​vds​=∫0θB​​gr​​dθ=θB​gr​​代入 r=h1−cos⁡θBr=\\frac{h}{1-\\cos\\theta_B}r=1−cosθB​h​ 得到最短时间\nTmin=θBhg(1−cos⁡θB) \\boxed{ T_{\\text{min}} = \\theta_B\\sqrt{\\frac{h}{g(1-\\cos\\theta_B)}} } Tmin​=θB​g(1−cosθB​)h​​​可以对比一下直线下降所需的时间。此时质点做匀加速直线运动，初速度为 000，终速度为 2gh\\sqrt{2gh}2gh​，然后由平均速度乘时间等于路程得到\n2gh2Tline=w2+h2 \\frac{\\sqrt{2gh}}{2}T_{\\text{line}} = \\sqrt{w^2 + h^2} 22gh​​Tline​=w2+h2​即\nTline=2w2+2h2gh \\boxed{ T_{\\text{line}} = \\sqrt{ \\frac{2w^2 + 2h^2}{gh} } } Tline​=gh2w2+2h2​​​另外，本例其实只证明了取极值的必要条件，并没有证明充分性。因此实际的结论是：如果存在最速降线，那么一定是前文求出的摆线，且时间为前文求出的时间。\nconst board = JXG.JSXGraph.initBoard(BOARDID, { boundingbox: [-1, -1, 10, 10], axis: true, showCopyright: false, showNavigation: false, }); const g = 9.8 function theta(w, h) { let lastW; let lastH; let lastTheta; if (w === lastW \u0026amp;\u0026amp; h === lastH) { return lastTheta; } lastW = w; lastH = h; lastTheta = JXG.Math.Numerics.fzero( (t) =\u0026gt; (t - Math.sin(t)) - w / h * (1 - Math.cos(t)), [1e-2, 2 * Math.PI - 1e-2] ); return lastTheta; } function r(w, h) { return h / (1 - Math.cos(theta(w, h))); } function timeCycloid(w, h) { return theta(w, h) * Math.sqrt(r(w, h) / g); } function timeLine(w, h) { return Math.sqrt(2 * (w * w + h * h) / (g * h)) } const A = board.create(\u0026#34;point\u0026#34;, [0, 0], { name: \u0026#34;A\u0026#34;, fixed: true }); const B = board.create(\u0026#34;point\u0026#34;, [2, 1], { name: \u0026#34;B\u0026#34; }); board.create(\u0026#39;line\u0026#39;, [A, B], { straightFirst: false, straightLast: false, strokeColor: \u0026#39;green\u0026#39;, strokeWidth: 3 }) board.create(\u0026#39;curve\u0026#39;, [ (t) =\u0026gt; r(B.X(), B.Y()) * (t - Math.sin(t)), (t) =\u0026gt; r(B.X(), B.Y()) * (1 - Math.cos(t)), 0, () =\u0026gt; theta(B.X(), B.Y()) ], { strokeWidth: 3 }); board.create(\u0026#34;text\u0026#34;, [ () =\u0026gt; B.X() + 0.25, () =\u0026gt; B.Y() + 0.25, () =\u0026gt; `(${B.X().toFixed(2)}, ${B.Y().toFixed(2)})` ]) board.create(\u0026#34;text\u0026#34;, [ 0.5, 8.5, () =\u0026gt; ` 摆线时间 ${timeCycloid(B.X(), B.Y())}\u0026lt;br\u0026gt; 直线时间 ${timeLine(B.X(), B.Y())} ` ]); 变分法的应用：狄多问题 狄多问题 设一曲线从原点 A=(0,0)A=(0, 0)A=(0,0) 出发，经过上半平面回到 xxx 轴 B=(d,0)B=(d, 0)B=(d,0) 处（d\u0026gt;0d\u0026gt;0d\u0026gt;0 且可任取），其总长度为 lll。哪条曲线与 xxx 轴围成的面积最大？\n这是右端点横坐标可变化的自由边界变分问题。\n将解表示为面积泛函的极值点 设曲线为\ny=y(x) y=y(x) y=y(x)狄多问题有一个约束条件，即长度需满足\nl=∫ABds=∫0d1+(y′)2dx l = \\int_A^B \\mathrm{d}s = \\int_0^d \\sqrt{1+(y\u0026#x27;)^2} \\mathrm{d}x l=∫AB​ds=∫0d​1+(y′)2​dx围成的面积可表示为\nS[y,d]=∫0dydx S[y, d] = \\int_0^d y \\mathrm{d}x S[y,d]=∫0d​ydx因此与 xxx 轴围成面积最大的曲线就是使 S[y,d]S[y, d]S[y,d] 取极大值，且满足约束条件 ∫0d1+(y′)2dx−l=0\\int_0^d \\sqrt{1+(y\u0026#x27;)^2} \\mathrm{d}x - l = 0∫0d​1+(y′)2​dx−l=0 的函数。\n求面积泛函的极值点 由于带有约束条件，因此需要用拉格朗日乘子构造一个辅助泛函\nJ[y,d]=S[y,d]+λ(∫0d1+(y′)2dx−l)=∫0dydx+∫0dλ1+(y′)2dx−λl=∫0d(y+λ1+(y′)2)dx−λl \\begin{align*} J[y, d] \u0026amp;= S[y, d] + \\lambda \\left( \\int_0^d \\sqrt{1+(y\u0026#x27;)^2} \\mathrm{d}x - l \\right) \\\\ \u0026amp;= \\int_0^d y \\mathrm{d}x + \\int_0^d \\lambda\\sqrt{1+(y\u0026#x27;)^2} \\mathrm{d}x - \\lambda l\\\\ \u0026amp;= \\int_0^d \\left( y + \\lambda\\sqrt{1 + (y\u0026#x27;)^2} \\right)\\mathrm{d}x - \\lambda l \\end{align*} J[y,d]​=S[y,d]+λ(∫0d​1+(y′)2​dx−l)=∫0d​ydx+∫0d​λ1+(y′)2​dx−λl=∫0d​(y+λ1+(y′)2​)dx−λl​再对 y,dy, dy,d 变分时 λ\\lambdaλ 视为常数，因此 λl\\lambda lλl 不改变泛函的极值条件，定义拉格朗日函数时忽略掉它\nL(y,y′)=y+λ1+(y′)2=y+λ[1+(y′)2]12 \\mathcal{L}(y, y\u0026#x27;) = y + \\lambda\\sqrt{1 + (y\u0026#x27;)^2} = y + \\lambda[1 + (y\u0026#x27;)^2]^{\\frac{1}{2}} L(y,y′)=y+λ1+(y′)2​=y+λ[1+(y′)2]21​由于问题是端点横坐标可自由变化的变分问题，因此极值点需要满足欧拉-拉格朗日方程和自然边界条件。\n先考虑欧拉-拉格朗日方程。由于拉格朗日函数中不包含自变量 xxx，因此复用之前求出的贝尔特拉米恒等式，得到\nL−y′∂L∂y′=C \\mathcal{L} - y\u0026#x27;\\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} = C L−y′∂y′∂L​=C计算偏导数\n∂L∂y′=λ12[1+(y′)2]−12(2y′)=λy′1+(y′)2 \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} = \\lambda\\frac{1}{2}[1 + (y\u0026#x27;)^2]^{-\\frac{1}{2}}(2y\u0026#x27;) = \\lambda \\frac{y\u0026#x27;}{\\sqrt{1+(y\u0026#x27;)^2}} ∂y′∂L​=λ21​[1+(y′)2]−21​(2y′)=λ1+(y′)2​y′​代入 L\\mathcal{L}L 和 ∂L∂y′\\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;}∂y′∂L​\ny+λ1+(y′)2−y′λy′1+(y′)2=Cy+λ11+(y′)2=C \\begin{align*} y + \\lambda\\sqrt{1 + (y\u0026#x27;)^2} - y\u0026#x27;\\lambda \\frac{y\u0026#x27;}{\\sqrt{1+(y\u0026#x27;)^2}} \u0026amp;= C \\\\ y + \\lambda\\frac{1}{\\sqrt{1+(y\u0026#x27;)^2}} \u0026amp;= C \\end{align*} y+λ1+(y′)2​−y′λ1+(y′)2​y′​y+λ1+(y′)2​1​​=C=C​然后化简\nλ1+(y′)2=C−yλ21+(y′)2=(C−y)21+(y′)2=λ2(C−y)2(y′)2=λ2−(C−y)2(C−y)2y′=±λ2−(C−y)2C−y \\begin{align*} \\frac{\\lambda}{\\sqrt{1+(y\u0026#x27;)^2}} \u0026amp;= C - y \\\\ \\frac{\\lambda^2}{1+(y\u0026#x27;)^2} \u0026amp;= (C - y)^2 \\\\ 1+(y\u0026#x27;)^2 \u0026amp;= \\frac{\\lambda^2}{(C-y)^2} \\\\ (y\u0026#x27;)^2 \u0026amp;= \\frac{\\lambda^2 - (C-y)^2}{(C-y)^2} \\\\ y\u0026#x27; \u0026amp;= \\pm \\frac{\\sqrt{\\lambda^2 - (C-y)^2}}{C-y} \\end{align*} 1+(y′)2​λ​1+(y′)2λ2​1+(y′)2(y′)2y′​=C−y=(C−y)2=(C−y)2λ2​=(C−y)2λ2−(C−y)2​=±C−yλ2−(C−y)2​​​接着分离变量\ndydx=±λ2−(C−y)2C−yC−yλ2−(C−y)2dy=±dx \\begin{align*} \\frac{\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d}x} \u0026amp;= \\pm \\frac{\\sqrt{\\lambda^2 - (C-y)^2}}{C-y} \\\\ \\frac{C-y}{\\sqrt{\\lambda^2 - (C-y)^2}} \\mathrm{d}y \u0026amp;= \\pm \\mathrm{d}x \\end{align*} dxdy​λ2−(C−y)2​C−y​dy​=±C−yλ2−(C−y)2​​=±dx​再进行积分变换。令 u=C−yu = C-yu=C−y，于是\ndu=−dy \\mathrm{d}u = -\\mathrm{d}y du=−dy代入得到\n−uλ2−u2du=±dx \\frac{-u}{\\sqrt{\\lambda^2 - u^2}} \\mathrm{d}u = \\pm \\mathrm{d}x λ2−u2​−u​du=±dx两侧同时积分\nλ2−u2=±(x−C′)λ2−u2=(x−C′)2 \\begin{align*} \\sqrt{\\lambda^2 - u^2} \u0026amp;= \\pm (x - C\u0026#x27;) \\\\ \\lambda^2 - u^2 \u0026amp;= (x - C\u0026#x27;)^2 \\end{align*} λ2−u2​λ2−u2​=±(x−C′)=(x−C′)2​代回 u=C−yu = C-yu=C−y 得到\nλ2−(C−y)2=(x−C′)2 \\lambda^2 - (C-y)^2 = (x - C\u0026#x27;)^2 λ2−(C−y)2=(x−C′)2令 C=y0,C′=x0,r=∣λ∣C=y_0, C\u0026#x27;=x_0, r=|\\lambda|C=y0​,C′=x0​,r=∣λ∣，便得到了标准的圆方程\n(x−x0)2+(y−y0)2=r2 (x - x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 (x−x0​)2+(y−y0​)2=r2因此曲线是过上半平面的一段圆弧\ny(x)=y0+r2−(x−x0)2 y(x) = y_0 + \\sqrt{r^2-(x-x_0)^2} y(x)=y0​+r2−(x−x0​)2​再来考虑自然边界条件。由于只允许右端点的横坐标变化，因此\n(L−y′∂L∂y′)∣x=d=0 \\left. \\left(\\mathcal{L}-y\u0026#x27;\\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} \\right)\\right|_{x=d} = 0 (L−y′∂y′∂L​)​x=d​=0而贝尔特拉米恒等式要求 L−y′∂L∂y′=C\\mathcal{L}-y\u0026#x27;\\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial y\u0026#x27;} = CL−y′∂y′∂L​=C，因此有\nC=0 C = 0 C=0由于此前令 C=y0C=y_0C=y0​，于是可知圆心在 xxx 轴上\ny(x)=r2−(x−x0)2 y(x) = \\sqrt{r^2-(x-x_0)^2} y(x)=r2−(x−x0​)2​代入曲线必过的原点 A(0,0)A(0,0)A(0,0)，并由 r,x0\u0026gt;0r, x_0\u0026gt;0r,x0​\u0026gt;0 得到\n0=r2−x02r=x0 \\begin{align*} 0 \u0026amp;= \\sqrt{r^2 - x_0^2} \\\\ r \u0026amp;= x_0 \\end{align*} 0r​=r2−x02​​=x0​​从而有\ny(x)=r2−(x−r)2=2rx−x2 y(x) = \\sqrt{r^2-(x-r)^2} = \\sqrt{2rx - x^2} y(x)=r2−(x−r)2​=2rx−x2​因此最终的圆弧一定是个以 ABABAB 为直径的上半圆。\n狄多问题的解 已知半圆的弧长为\nl=πr l = \\pi r l=πr从而\nr=lπ r = \\frac{l}{\\pi} r=πl​因此右端点的横坐标为\nd=2r=2lπ d = 2r = \\frac{2l}{\\pi} d=2r=π2l​得到最终的曲线表达式\ny(x)=2lπx−x2x∈[0,2lπ] \\boxed{ y(x) = \\sqrt{\\frac{2l}{\\pi}x-x^2} \\qquad x\\in\\left[0,\\frac{2l}{\\pi}\\right] } y(x)=π2l​x−x2​x∈[0,π2l​]​同样地，上述曲线并不满足 C1[0,d]C^1[0,d]C1[0,d]，因为在 x=0,x=dx=0,x=dx=0,x=d 处斜率都为无穷大。但变分法的适用条件更为宽松，因此结论仍然有效。\n还可以顺便求出最大的面积\nSmax=12πr2=l22π S_{\\text{max}} = \\frac{1}{2}\\pi r^2 = \\frac{l^2}{2\\pi} Smax​=21​πr2=2πl2​即\nSmax=l22π \\boxed{ S_{\\text{max}} = \\frac{l^2}{2\\pi} } Smax​=2πl2​​同样地，本例只证明了极值曲线的必要条件。因此，实际的结论是：如果存在与 xxx 轴围成面积最大的曲线，那么这条曲线一定是前文求出的半圆，且面积为前文求出的面积。\nconst board = JXG.JSXGraph.initBoard(BOARDID, { boundingbox: [-2, 10, 20, -1], axis: true, showCopyright: false, showNavigation: false, keepAspectRatio: true }); function r(l) { return l / Math.PI } function d(l) { return 2 * l / Math.PI } function S(l) { return l * l / (2 * Math.PI) } const l = board.create(\u0026#39;slider\u0026#39;, [ [6, 9], [16, 9], [0, 10, 20] ], { name: \u0026#39;l\u0026#39; }); const A = board.create(\u0026#34;point\u0026#34;, [0, 0], { name: \u0026#34;A\u0026#34;, fixed: true }); const B = board.create(\u0026#34;point\u0026#34;, [ () =\u0026gt; d(l.Value()), 0 ], { name: \u0026#34;B\u0026#34;, fixed: true }); board.create(\u0026#39;semicircle\u0026#39;, [A, B]) board.create(\u0026#34;text\u0026#34;, [ 10, 8, () =\u0026gt; `面积 ${S(l.Value())}` ]); ","permalink":"https://juemuren.github.io/blog/posts/math/%E6%B3%9B%E5%87%BD%E4%B8%8E%E5%8F%98%E5%88%86%E6%B3%95/","summary":"介绍泛函和变分法，并分别求解最速降线问题与狄多问题。","title":"泛函与变分法：最速降线问题与狄多问题"},{"content":"本文介绍目前主要的导数类型以及相应的符号，包括牛顿、拉格朗日、莱布尼茨、欧拉等古典记号，以及基于算子的现代微分符号。\n牛顿记号 牛顿记号在函数上加点来表示导数。加几个点就表示几阶导\ny˙y¨ \\dot{y} \\quad \\ddot{y} y˙​y¨​除少数物理书外现在已经不再使用该记号了。它没法表示任意阶的导数和偏导数。\n关于牛顿记号还有一些小趣事：据说它曾阻碍了英国的数学发展。为了争夺微积分的发明权，英国学界长期拒绝使用莱布尼茨的符号体系。这导致英国数学严重脱节于欧洲大陆近百年。直到十九世纪，一批年轻的学者强行将莱布尼茨记号引入了英国，才终于改变了这一局面。\n拉格朗日记号 拉格朗日记号在函数右上角加撇来表示导数。加几个撇就表示几阶导，任意阶导数则改为括号和数字\nf′(x)f′′(x)f(n)(x) f\u0026#x27;(x) \\quad f\u0026#x27;\u0026#x27;(x) \\quad f^{(n)}(x) f′(x)f′′(x)f(n)(x)该记号很方便书写，且能够表示任意阶导数——但无法表示偏导数。因此多数微积分入门教材最终还是会引入莱布尼茨记号。\n莱布尼茨记号 莱布尼茨记号用两个无穷小量的比值来表示导数\ndydxd2ydx2dnydxn \\frac{\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d}x} \\quad \\frac{\\mathrm{d}^2 y}{\\mathrm{d}x^2} \\quad \\frac{\\mathrm{d}^n y}{\\mathrm{d}x^n} dxdy​dx2d2y​dxndny​该记号虽然是教科书中最常见的符号，并且非常方便记忆链式法则，但其实很容易引起初学者的误解。虽然在古典微积分中，导数确实被定义为微小量之商，但这种观点早已被现代微积分淘汰了。\n现在应该将 ddx\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}x}dxd​ 理解为一个算子——它自身是不可分割的。算子作用在 yyy 上可以得到 yyy 的导数。而求高阶导数时可以把算子记为 nnn 次方 dndxn\\frac{\\mathrm{d}^n}{\\mathrm{d}x^n}dxndn​，以表示连续作用 nnn 次。\n莱布尼茨记号可以很方便地表示偏导数\n∂f∂x∂2f∂x2∂nf∂xn∂m+nf∂ym∂xn \\frac{\\partial f}{\\partial x} \\quad \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2} \\quad \\frac{\\partial^n f}{\\partial x^n} \\quad \\frac{\\partial^{m+n} f}{\\partial y^m\\partial x^n} ∂x∂f​∂x2∂2f​∂xn∂nf​∂ym∂xn∂m+nf​其中 ∂m+nf∂ym∂xn\\frac{\\partial^{m+n} f}{\\partial y^m\\partial x^n}∂ym∂xn∂m+nf​ 是混合偏导数，求导顺序为从右到左，因此其表示先对 xxx 求 nnn 次偏导，再对 yyy 求 mmm 次偏导。\n下标记号 下标记号用于简化偏导数\nfx=∂f∂xfxx=∂2f∂x2fxy=∂2f∂y∂x f_{x} = \\frac{\\partial f}{\\partial x} \\quad f_{xx} = \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2} \\quad f_{xy} = \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y\\partial x} fx​=∂x∂f​fxx​=∂x2∂2f​fxy​=∂y∂x∂2f​下标记号的偏导顺序为从左到右，因此 fxyf_{xy}fxy​ 是先对 xxx 求偏导，再对 yyy 求偏导。\n微分算子 微分算子也叫欧拉记号，是对莱布尼茨记号的简化\nD=ddxDn=dndxn \\mathcal{D} = \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}x} \\quad \\mathcal{D}^n = \\frac{\\mathrm{d}^n}{\\mathrm{d}x^n} D=dxd​Dn=dxndn​虽然欧拉并不了解微分算子理论，他只是为了方便而发明此符号——不过这确实就是最适合现代微积分理论的导数符号。欧拉记号明确了微分本身是一个不可分割的算子，不像莱布尼茨记号那样暗示导数是商；同时，欧拉记号还让对算子本身进行代数运算这一操作变得十分自然。\n正如乘法之于加法，矩阵之于方程组，微分算子不仅是一种简写，它还带来了许多新的发现，比如\n将微分理解为线性算子空间中的元素 D∈Hom(V,W) \\mathcal{D} \\in \\mathrm{Hom}(V, W) D∈Hom(V,W) 定义积分为微分的逆运算 y=D−1Dy y = \\mathcal{D}^{-1} \\mathcal{D}y y=D−1Dy 用微分算子的多项式定义微分方程 (∑i=0naiDi)y=0 \\left(\\sum_{i=0}^n a_i\\mathcal{D}^i\\right)y = 0 (i=0∑n​ai​Di)y=0 定义微分算子指数 etD=∑n=0∞tnn!Dn e^{t\\mathcal{D}} = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{t^n}{n!} \\mathcal{D}^n etD=n=0∑∞​n!tn​Dn 偏微分算子可以类似地表示为\n∂x=∂∂x∂xn=∂n∂xn∂ym∂xn=∂m+n∂ym∂xn \\partial_x = \\frac{\\partial}{\\partial x} \\quad \\partial^n_x = \\frac{\\partial^n}{\\partial x^n} \\quad \\partial^m_y\\partial^n_x = \\frac{\\partial^{m+n}}{\\partial y^m\\partial x^n} ∂x​=∂x∂​∂xn​=∂xn∂n​∂ym​∂xn​=∂ym∂xn∂m+n​它和莱布尼茨记号一样按从右到左的顺序结合，因此 ∂ym∂xn\\partial^m_y\\partial^n_x∂ym​∂xn​ 是先对 xxx 求 nnn 次偏导，再对 yyy 求 mmm 次偏导。\n向量微分算子 向量微分算子也叫哈密顿算子，用于对向量函数 f:Rn→Rf: \\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{R}f:Rn→R 或 F⃗:Rn→Rm\\vec{F}: \\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{R}^mF:Rn→Rm 进行微分。\n设空间的标准正交基为 {e1,e2,⋯ ,en}\\{ \\mathbf{e}_1, \\mathbf{e}_2, \\cdots, \\mathbf{e}_n \\}{e1​,e2​,⋯,en​}，那么向量微分算子可以表示为\n∇=∑i=1n∂iei \\nabla = \\sum_{i=1}^n\\partial_i\\mathbf{e}_i ∇=i=1∑n​∂i​ei​从而梯度为\ngrad⁡f=∇f=∑i=1n∂ifei \\begin{align*} \\operatorname{grad}f \u0026amp;= \\nabla f \\\\ \u0026amp;= \\sum_{i=1}^n\\partial_if\\mathbf{e}_i \\end{align*} gradf​=∇f=i=1∑n​∂i​fei​​散度为\ndiv⁡F⃗=∇⋅F⃗=(∑i=1n∂iei)⋅F⃗=∑i=1n∂iFi \\begin{align*} \\operatorname{div} \\vec{F} \u0026amp;= \\nabla \\cdot \\vec{F} \\\\ \u0026amp;= \\left( \\sum_{i=1}^n\\partial_i\\mathbf{e}_i \\right) \\cdot \\vec{F} \\\\ \u0026amp;= \\sum_{i=1}^n\\partial_iF_i \\end{align*} divF​=∇⋅F=(i=1∑n​∂i​ei​)⋅F=i=1∑n​∂i​Fi​​类似地还有拉普拉斯算子\n∇2=∇⋅∇=(∑i=1n∂iei)⋅(∑i=1n∂iei)=∑i=1n∂i2 \\nabla^2 = \\nabla \\cdot \\nabla = \\left( \\sum_{i=1}^n\\partial_i\\mathbf{e}_i \\right) \\cdot \\left( \\sum_{i=1}^n\\partial_i\\mathbf{e}_i \\right) = \\sum_{i=1}^n\\partial_i^2 ∇2=∇⋅∇=(i=1∑n​∂i​ei​)⋅(i=1∑n​∂i​ei​)=i=1∑n​∂i2​拉普拉斯算子作用于函数上，其实就是求其梯度的散度\ndiv⁡(grad⁡f)=∇2f=∑i=1n∂i2f \\begin{align*} \\operatorname{div}(\\operatorname{grad} f) \u0026amp;= \\nabla^2 f \\\\ \u0026amp;= \\sum_{i=1}^n\\partial_i^2f \\end{align*} div(gradf)​=∇2f=i=1∑n​∂i2​f​二阶导数是对梯度求梯度。为了防止和拉普拉斯算子混淆，通常会写为 ∇⊗2\\nabla^{\\otimes 2}∇⊗2\n∇⊗2f=∇⊗(∇f)=(∑i=1n∂iei)⊗(∑i=1n∂ifei)=∑i=1n∑j=1n(∂iei)⊗(∂jfej)=∑i=1n∑j=1n∂i∂jf(ei⊗ej) \\begin{align*} \\nabla^{\\otimes 2} f \u0026amp;= \\nabla \\otimes (\\nabla f) \\\\ \u0026amp;= \\left( \\sum_{i=1}^n\\partial_i\\mathbf{e}_i \\right) \\otimes \\left( \\sum_{i=1}^n\\partial_if\\mathbf{e}_i \\right) \\\\ \u0026amp;= \\sum_{i=1}^n\\sum_{j=1}^n (\\partial_i\\mathbf{e}_i)\\otimes(\\partial_j f \\mathbf{e}_j) \\\\ \u0026amp;= \\sum_{i=1}^n\\sum_{j=1}^n\\partial_i\\partial_j f (\\mathbf{e}_i\\otimes\\mathbf{e}_j) \\end{align*} ∇⊗2f​=∇⊗(∇f)=(i=1∑n​∂i​ei​)⊗(i=1∑n​∂i​fei​)=i=1∑n​j=1∑n​(∂i​ei​)⊗(∂j​fej​)=i=1∑n​j=1∑n​∂i​∂j​f(ei​⊗ej​)​其中 ⊗\\otimes⊗ 表示张量积。高阶导数继续使用 ⊗\\otimes⊗ 进行递归定义\n∇⊗kf=∇⊗(∇⊗(k−1)f) \\nabla^{\\otimes k} f = \\nabla \\otimes (\\nabla^{\\otimes (k-1)} f) ∇⊗kf=∇⊗(∇⊗(k−1)f)向量微分算子不局限于三维空间，不过叉乘只在三维空间中才有良好定义。而旋度又依赖于叉乘，因此只有定义在 R3\\mathbb{R}^3R3 上的函数才能计算旋度。此时向量微分算子通常表示为\n∇=∂xi⃗+∂yj⃗+∂zk⃗ \\nabla = \\partial_x\\vec{i} + \\partial_y\\vec{j} + \\partial_z\\vec{k} ∇=∂x​i+∂y​j​+∂z​k旋度则定义为\ncurl⁡F⃗=∇×F⃗=(∂xi⃗+∂yj⃗+∂zk⃗)⋅(Fxi⃗+Fyj⃗+Fzk⃗)=(∂yFz−∂zFy)i⃗+(∂zFx−∂xFz)j⃗+(∂xFy−∂yFx)k⃗ \\begin{align*} \\operatorname{curl} \\vec{F} \u0026amp;= \\nabla \\times \\vec{F} \\\\ \u0026amp;= \\left( \\partial_x\\vec{i} + \\partial_y\\vec{j} + \\partial_z\\vec{k} \\right) \\cdot \\left( F_x\\vec{i} + F_y\\vec{j} + F_z\\vec{k} \\right) \\\\ \u0026amp;= (\\partial_y F_z-\\partial_z F_y)\\vec{i} + (\\partial_z F_x-\\partial_x F_z)\\vec{j} + (\\partial_x F_y-\\partial_y F_x)\\vec{k} \\end{align*} curlF​=∇×F=(∂x​i+∂y​j​+∂z​k)⋅(Fx​i+Fy​j​+Fz​k)=(∂y​Fz​−∂z​Fy​)i+(∂z​Fx​−∂x​Fz​)j​+(∂x​Fy​−∂y​Fx​)k​泛函微分算子 泛函把函数映射为数，其微分被叫做变分。泛函微分算子更标准的名称是变分算子，也可以叫欧拉-拉格朗日算子，其作用在泛函上，得到泛函的导数，也叫变分导数。\n许多重要的泛函都可以表示为拉格朗日函数 LLL 的定积分，形如\nF[y]=∫abL(x,y,y′)dx F[y] = \\int_a^b L(x, y, y\u0026#x27;) \\mathrm{d}x F[y]=∫ab​L(x,y,y′)dx对该泛函运用变分算子得到\nδFδy(x)=∂L∂y−ddx(∂L∂y′) \\frac{\\delta F}{\\delta y(x)} = \\frac{\\partial L}{\\partial y} - \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}x} \\left( \\frac{\\partial L}{\\partial y\u0026#x27;} \\right) δy(x)δF​=∂y∂L​−dxd​(∂y′∂L​)如果嫌弃莱布尼茨风格的符号过于繁琐，也可以使用欧拉风格的符号\nEy(x)=∂∂y−ddx∂∂y′ \\mathcal{E}_{y(x)} = \\frac{\\partial}{\\partial y} - \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}x} \\frac{\\partial}{\\partial y\u0026#x27;} Ey(x)​=∂y∂​−dxd​∂y′∂​对于更一般的拉格朗日函数\nL=L(x,y,y′,y′′,⋯ ,y(n)) L=L(x,y,y\u0026#x27;,y\u0026#x27;\u0026#x27;,\\cdots,y^{(n)}) L=L(x,y,y′,y′′,⋯,y(n))其变分导数为\nδFδy(x)=Ey(x)L=∑k=0n(−1)kdkdxk(∂L∂y(k)) \\frac{\\delta F}{\\delta y(x)} = \\mathcal{E}_{y(x)}L = \\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \\frac{\\mathrm{d}^k}{\\mathrm{d}x^k} \\left( \\frac{\\partial L}{\\partial y^{(k)}} \\right) δy(x)δF​=Ey(x)​L=k=0∑n​(−1)kdxkdk​(∂y(k)∂L​)外微分算子 外微分算子同样源于莱布尼茨记号，不过它的内涵则完全不同——外微分作用在微分形式上，将 kkk 形式变为 k+1k+1k+1 形式。\nkkk 形式可表示为\nω=∑I∈IkfI(x)dxi1∧dxi2∧⋯∧dxik \\omega = \\sum_{I \\in \\mathcal I_k} f_I(x) \\mathrm{d}x^{i_1} \\wedge \\mathrm{d}x^{i_2} \\wedge \\cdots \\wedge \\mathrm{d}x^{i_k} ω=I∈Ik​∑​fI​(x)dxi1​∧dxi2​∧⋯∧dxik​其中 Ik={(i1,i2,⋯ ,ik)∣1≤i1\u0026lt;i2\u0026lt;⋯\u0026lt;ik≤n}\\mathcal I_k =\\{(i_1, i_2, \\cdots, i_k) \\mid 1 \\le i_1 \u0026lt; i_2 \u0026lt; \\cdots \u0026lt; i_k \\le n\\}Ik​={(i1​,i2​,⋯,ik​)∣1≤i1​\u0026lt;i2​\u0026lt;⋯\u0026lt;ik​≤n}，而 ∧\\wedge∧ 表示楔积。\n它的外微分为 k+1k+1k+1 形式\ndω=∑I∈IkdfI(x)∧dxi1∧⋯∧dxik \\mathrm{d}\\omega = \\sum_{I \\in \\mathcal I_k} \\mathrm{d}f_I(x) \\wedge \\mathrm{d}x^{i_1} \\wedge \\cdots \\wedge \\mathrm{d}x^{i_k} dω=I∈Ik​∑​dfI​(x)∧dxi1​∧⋯∧dxik​代入 dfI(x)=∑j=1n∂xjfI(x)dxj\\mathrm{d}f_I(x) = \\sum_{j=1}^{n} \\partial_{x^j}f_I(x) \\mathrm{d}x^jdfI​(x)=∑j=1n​∂xj​fI​(x)dxj 得到\ndω=∑I∈Ik∑j=1n∂xjfI(x)dxj∧dxi1∧dxi2∧⋯∧dxik \\mathrm{d}\\omega = \\sum_{I \\in \\mathcal I_k} \\sum_{j=1}^{n} \\partial_{x^j}f_I(x) \\mathrm{d}x^j \\wedge \\mathrm{d}x^{i_1} \\wedge \\mathrm{d}x^{i_2} \\wedge \\cdots \\wedge \\mathrm{d}x^{i_k} dω=I∈Ik​∑​j=1∑n​∂xj​fI​(x)dxj∧dxi1​∧dxi2​∧⋯∧dxik​在三维黎曼流形上，梯度、散度和旋度可以通过外微分得到统一的表示\n梯度要先对 000 形式求外微分得到 111 形式，再把 111 形式变为向量场 grad⁡f=(df)♯ \\operatorname{grad} f = (\\mathrm{d}f)^\\sharp gradf=(df)♯ 散度要先把向量场变为 111 形式，再求对偶得到 222 形式，接着求外微分得到 333 形式，最后求对偶得到 000 形式 div⁡F=⋆d(⋆F♭) \\operatorname{div} \\mathbf{F} = \\star \\mathrm{d} (\\star \\mathbf{F}^\\flat) divF=⋆d(⋆F♭) 旋度要先把向量场变为 111 形式，再求外微分得到 222 形式，接着求对偶得到 111 形式，最后把 111 形式变为向量场 curl⁡F=[⋆d(F♭)]♯ \\operatorname{curl} \\mathbf{F} = \\left[ \\star \\mathrm{d}(\\mathbf{F}^\\flat) \\right]^\\sharp curlF=[⋆d(F♭)]♯ 其中\n♯\\sharp♯ 和 ♭\\flat♭ 表示音乐同构，♯\\sharp♯ 把 111 形式变为向量场，♭\\flat♭ 把向量场变为 111 形式 ⋆\\star⋆ 表示霍奇星算子，其作用于 kkk 形式，得到 n−kn-kn−k 形式，其中 nnn 是流形的维数 拉普拉斯算子是求梯度的散度，经过复合后可知，其先对 000 形式求外微分得到 111 形式，再求对偶得到 222 形式，接着求外微分得到 333 形式，最后求对偶得到 000 形式\ndiv⁡(grad⁡f)=⋆d[⋆(df)♯♭]=⋆d(⋆df) \\begin{align*} \\operatorname{div}(\\operatorname{grad}f) \u0026amp;= \\star \\mathrm{d} \\left[\\star (\\mathrm{d}f)^{\\sharp\\flat} \\right] \\\\ \u0026amp;= \\star \\mathrm{d} (\\star \\mathrm{d}f) \\end{align*} div(gradf)​=⋆d[⋆(df)♯♭]=⋆d(⋆df)​广义斯托克斯定理基于外微分，其统一并推广了微积分基本定理、格林定理、高斯定理和斯托克斯定理\n∫∂Ωω=∫Ωdω \\int_{\\partial \\Omega} \\omega = \\int_{\\Omega} \\mathrm{d}\\omega ∫∂Ω​ω=∫Ω​dω其中 Ω\\OmegaΩ 表示流形，∂Ω\\partial \\Omega∂Ω 表示 Ω\\OmegaΩ 的边界，ω\\omegaω 表示微分形式，dω\\mathrm{d}\\omegadω 表示 ω\\omegaω 的外微分。\n伊藤微分算子 伊藤微分算子和莱布尼茨记号在外观上没有区别，不过它的含义也完全不同。其作用于随机变量 XtX_tXt​ 上\ndXt=μ(t,Xt)dt+σ(t,Xt)dWt \\mathrm{d}X_t = \\mu(t, X_t) \\mathrm{d}t + \\sigma(t, X_t) \\mathrm{d}W_t dXt​=μ(t,Xt​)dt+σ(t,Xt​)dWt​其中 dWt\\mathrm{d}W_tdWt​ 是标准布朗运动的增量，满足均值为 000，方差为 dt\\mathrm{d}tdt 的正态分布。\n若定义函数 f(t,Xt)f(t, X_t)f(t,Xt​)，经典的全微分公式会给出 df=ftdt+fxdXt\\mathrm{d}f = f_t \\mathrm{d}t + f_x \\mathrm{d}X_tdf=ft​dt+fx​dXt​，但这在随机环境下是错误的。正确的伊藤微分为\ndf=12σ2fxx(dWt)2+ftdt+fxdXt=(ft+μfx+12σ2fxx)dt+σfxdWt \\begin{align*} \\mathrm{d}f \u0026amp;= \\frac{1}{2}\\sigma^2 f_{xx}(\\mathrm{d}W_t)^2 + f_t\\mathrm{d}t + f_x \\mathrm{d}X_t \\\\ \u0026amp;= ( f_t + \\mu f_x + \\frac{1}{2}\\sigma^2 f_{xx} ) \\mathrm{d}t + \\sigma f_x \\mathrm{d}W_t \\end{align*} df​=21​σ2fxx​(dWt​)2+ft​dt+fx​dXt​=(ft​+μfx​+21​σ2fxx​)dt+σfx​dWt​​多出来的 12σ2fxx(dWt)2\\frac{1}{2}\\sigma^2 f_{xx}(\\mathrm{d}W_t)^221​σ2fxx​(dWt​)2 产生于布朗运动的二次变差性质：dWt\\mathrm{d}W_tdWt​ 的二阶无穷小量 (dWt)2=dt(\\mathrm{d}W_t)^2=\\mathrm{d}t(dWt​)2=dt，从而不可被忽略。因此，泰勒级数中的 12σ2fxx(dWt)2\\frac{1}{2}\\sigma^2 f_{xx}(\\mathrm{d}W_t)^221​σ2fxx​(dWt​)2 需要被添加到伊藤微分的结果中。\n","permalink":"https://juemuren.github.io/blog/posts/math/%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%9A%84%E7%AC%A6%E5%8F%B7%E8%B0%B1%E7%B3%BB/","summary":"介绍目前主要的导数类型以及相应的符号，包括牛顿、拉格朗日、莱布尼茨、欧拉等古典记号，以及基于算子的现代微分符号。","title":"微分的符号谱系：从古典记号到现代算子理论"},{"content":"本文主要介绍平面曲线和空间曲面上的积分——这些函数在物理中出现得非常频繁，但多数教科书对它们的介绍都非常零碎且不够清晰。\n本文的主要内容来自我三年前阅读《托马斯微积分》时做的笔记。后来我通过《可视化微分几何和形式》接触到了流形。现在尝试用相关理论对笔记进行重构。\n作为流形的曲线和曲面 参数化表示 平面曲线可以表示为 R→R2\\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}^2R→R2 向量函数\nr⃗(t)=[x(t)y(t)] \\vec{r}(t) = \\begin{bmatrix} x(t) \\\\ y(t) \\end{bmatrix} r(t)=[x(t)y(t)​]若定义基向量 i⃗=(1,0)T,j⃗=(0,1)T\\vec{i}=(1,0)^T, \\vec{j}=(0,1)^Ti=(1,0)T,j​=(0,1)T 则得到\nr⃗(t)=x(t)i⃗+y(t)j⃗ \\vec{r}(t) = x(t) \\vec{i} + y(t) \\vec{j} r(t)=x(t)i+y(t)j​这就是平面曲线的参数化表示。\n该向量函数将一维的自变量映射为二维的值，这表明平面曲线的本质是嵌入二维空间的一维对象。这意味着，在局部，平面曲线其实是直的。\n在微分几何中，这种具有局部平坦性质的、嵌入高维空间的低维对象，被称作流形——因此，平面曲线是嵌入 R2\\mathbb{R}^2R2 空间的一维流形。\n类似地，空间曲面是二维流形嵌入 R3\\mathbb{R}^3R3 空间\nr⃗(u,v)=x(u,v)i⃗+y(u,v)j⃗+z(u,v)k⃗ \\vec{r}(u,v) = x(u,v) \\vec{i} + y(u,v) \\vec{j} + z(u,v) \\vec{k} r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j​+z(u,v)k其中 i⃗=(1,0,0)T,j⃗=(0,1,0)T,k⃗=(0,0,1)T\\vec{i}=(1,0,0)^T, \\vec{j}=(0,1,0)^T, \\vec{k}=(0,0,1)^Ti=(1,0,0)T,j​=(0,1,0)T,k=(0,0,1)T\n而空间曲线就是一维流形嵌入 R3\\mathbb{R}^3R3 空间\nr⃗(t)=x(t)i⃗+y(t)j⃗+z(t)k⃗ \\vec{r}(t) = x(t) \\vec{i} + y(t) \\vec{j} + z(t) \\vec{k} r(t)=x(t)i+y(t)j​+z(t)k虽然本文不详细讨论空间曲线，但微分几何相关原理同样适用于这种流形。\n隐式表示 平面曲线还可以表示为显式函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 或隐式函数 F(x,y)=0F(x,y) = 0F(x,y)=0。前者可以轻易地进行参数化，只需令 t=xt=xt=x，从而\nr⃗(x)=xi⃗+f(x)j⃗ \\vec{r}(x) = x \\vec{i} + f(x) \\vec{j} r(x)=xi+f(x)j​后者则没有通用的参数化方法\n如果能够解出 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 或 x=g(y)x=g(y)x=g(y)，那么可以复用前者的参数化方法，比如令 t=xt=xt=x 或 t=yt=yt=y 如果曲线比较常用，那么通常都会有标准的参数化方法，比如圆和椭圆可以用三角函数进行参数化，双曲线可以用双曲函数进行参数化 若上述方法都不行，则该曲线可能不存在初等的参数化表达式。但这并不妨碍我们把它看作一个流形——它们是同一个几何对象，只是有的描述方式更加方便。\n对于空间曲面也一样。显式曲面 z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y) 可以令 u=x,v=yu=x,v=yu=x,v=y，从而参数化为\nr⃗(x,y)=xi⃗+yj⃗+f(x,y)k⃗ \\vec{r}(x,y) = x \\vec{i} + y \\vec{j} + f(x,y) \\vec{k} r(x,y)=xi+yj​+f(x,y)k隐式曲面 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 也不存在通用的参数化方法，但常见的曲面大多都有简单的参数化公式。\n流形上的向量 平面曲线上的切向量 对于平面曲线 r⃗(t)=x(t)i⃗+y(t)j⃗\\vec{r}(t) = x(t) \\vec{i} + y(t) \\vec{j}r(t)=x(t)i+y(t)j​ ，切向量的方向就是曲线在局部线性增长的方向。而这种线性近似可以通过微分表示\ndr⃗(t)=dx(t)i⃗+dy(t)j⃗ \\mathrm{d}\\vec{r}(t) = \\mathrm{d}x(t) \\vec{i} + \\mathrm{d}y(t) \\vec{j} dr(t)=dx(t)i+dy(t)j​各分量的微分为\ndx(t)=x′(t)dtdy(t)=y′(t)dt \\mathrm{d}x(t) = x\u0026#x27;(t)\\mathrm{d}t \\\\ \\mathrm{d}y(t) = y\u0026#x27;(t)\\mathrm{d}t \\\\ dx(t)=x′(t)dtdy(t)=y′(t)dt代入得到\ndr⃗(t)=x′(t)dti⃗+y′(t)dtj⃗ \\mathrm{d}\\vec{r}(t) = x\u0026#x27;(t)\\mathrm{d}t \\vec{i} + y\u0026#x27;(t)\\mathrm{d}t \\vec{j} dr(t)=x′(t)dti+y′(t)dtj​于是可以定义 R→R2\\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}^2R→R2 函数的导数\ndr⃗dt(t)=x′(t)i⃗+y′(t)j⃗ \\frac{\\mathrm{d}\\vec{r}}{\\mathrm{d}t}(t) = x\u0026#x27;(t) \\vec{i} + y\u0026#x27;(t) \\vec{j} dtdr​(t)=x′(t)i+y′(t)j​其方向是曲线的切向，大小是切向上的速度。将其归一化后就得到了单位切向量\nT⃗=dr⃗dt∣dr⃗dt∣ \\vec{T} = \\frac{\\frac{\\mathrm{d}\\vec{r}}{\\mathrm{d}t}}{\\left| \\frac{\\mathrm{d}\\vec{r}}{\\mathrm{d}t}\\right|} T=​dtdr​​dtdr​​空间曲面上的切向量 空间曲面 r⃗(u,v)\\vec{r}(u,v)r(u,v) 上的点可以沿多个方向运动——每个方向都是切向。因此，空间曲面上的切向量并不唯一，在一点处的所有切向量张成了一个切平面 TpT_pTp​。\nTpT_pTp​ 是一个二维空间，只要找到其中两个线性无关的向量作为基向量，就可以表示该空间中的所有向量。而基向量可以简单地选取\nru=∂r⃗∂urv=∂r⃗∂v \\mathbf{r}_u = \\frac{\\partial \\vec{r}}{\\partial u} \\qquad \\mathbf{r}_v = \\frac{\\partial \\vec{r}}{\\partial v} ru​=∂u∂r​rv​=∂v∂r​这便是 r⃗(u,v)\\vec{r}(u,v)r(u,v) 的偏导数：前者为固定 uuu 只变化 vvv 时的速度向量，后者为固定 vvv 只变化 uuu 时的速度向量。只要二者线性无关，其张成的空间便为切空间\nTp=Span⁡{ru,rv} T_p = \\operatorname{Span}\\{\\mathbf{r}_u, \\mathbf{r}_v\\} Tp​=Span{ru​,rv​}从而所有位于切平面上的向量，即切向量，都可以表示为 ru\\mathbf{r}_uru​ 和 rv\\mathbf{r}_vrv​ 的线性组合。\n平面曲线上的法向量 平面曲线的法向量定义为垂直切向量的向量\nN⃗⊥T⃗⇒N⃗⋅T⃗=0 \\vec{N} \\perp \\vec{T} \\Rightarrow \\vec{N} \\cdot \\vec{T} = 0 N⊥T⇒N⋅T=0即\nNxTx+NyTy=0 N_xT_x + N_yT_y = 0 Nx​Tx​+Ny​Ty​=0其值并不唯一。即使限制长度为 111，也存在方向相反的两个单位向量。可以取 Nx=−Ty,Ny=TxN_x=-T_y, N_y=T_xNx​=−Ty​,Ny​=Tx​，或者 Nx=Ty,Ny=−TxN_x=T_y, N_y=-T_xNx​=Ty​,Ny​=−Tx​，从而得到单位法向量\nN⃗right=(Ty,−Tx)TN⃗left=(−Ty,Tx)T \\vec{N}_{\\mathrm{right}}=(T_y,-T_x)^T \\quad \\vec{N}_{\\mathrm{left}}=(-T_y,T_x)^T Nright​=(Ty​,−Tx​)TNleft​=(−Ty​,Tx​)T对于闭合曲线围成的区域，通常以逆时针方向作为边界的正方向，此时左法向量指向区域内部，右法向量指向区域外部。在相关的积分中，一般默认使用向外的法向量，即右法向量。\n对于显式定义的曲线 y=f(x)y=f(x)y=f(x) ，由其参数化表达式 r⃗(x)=xi⃗+f(x)j⃗\\vec{r}(x) = x \\vec{i} + f(x) \\vec{j}r(x)=xi+f(x)j​ 得到\ndr⃗dx=i⃗+f′(x)j⃗ \\frac{\\mathrm{d}\\vec{r}}{\\mathrm{d}x} = \\vec{i} + f\u0026#x27;(x) \\vec{j} dxdr​=i+f′(x)j​从而有\nN⃗=±f′(x)i⃗−j⃗1+f′(x)2 \\vec{N} = \\pm \\frac{f\u0026#x27;(x) \\vec{i} - \\vec{j}}{\\sqrt{1 + f\u0026#x27;(x)^2}} N=±1+f′(x)2​f′(x)i−j​​若曲线由 F(x,y)=0F(x,y)=0F(x,y)=0 定义，则对其进行全微分可得\ndF=∂F∂xdx+∂F∂ydy=0 \\mathrm{d}F = \\frac{\\partial F}{\\partial x}\\mathrm{d}x + \\frac{\\partial F}{\\partial y}\\mathrm{d}y = 0 dF=∂x∂F​dx+∂y∂F​dy=0即\n(∂F∂xi⃗+∂F∂yj⃗)⋅(dxi⃗+dyj⃗)=0 (\\frac{\\partial F}{\\partial x}\\vec{i} + \\frac{\\partial F}{\\partial y}\\vec{j}) \\cdot (\\mathrm{d}x\\vec{i} + \\mathrm{d}y\\vec{j}) = 0 (∂x∂F​i+∂y∂F​j​)⋅(dxi+dyj​)=0而 dxi⃗+dyj⃗\\mathrm{d}x\\vec{i} + \\mathrm{d}y\\vec{j}dxi+dyj​ 恰好和切向量同向。因此把 ∇F=∂F∂xi⃗+∂F∂yj⃗\\nabla F = \\frac{\\partial F}{\\partial x}\\vec{i} + \\frac{\\partial F}{\\partial y}\\vec{j}∇F=∂x∂F​i+∂y∂F​j​ 归一化后就得到了单位法向量\nN⃗=±∇F∣∇F∣ \\vec{N} = \\pm \\frac{\\nabla F}{\\left| \\nabla F\\right|} N=±∣∇F∣∇F​另外，如果将曲线看作处在 xyxyxy 平面内，而 xyxyxy 平面又处在 xyzxyzxyz 空间中。那么取 k⃗\\vec{k}k 作为 zzz 轴的单位向量（遵循右手法则），就可以得到平面曲线上的切向量和右法向量的关系\n{T⃗=k⃗×N⃗rightN⃗right=T⃗×k⃗ \\begin{cases} \\vec{T} = \\vec{k} \\times \\vec{N}_{\\mathrm{right}} \\\\ \\vec{N}_{\\mathrm{right}} = \\vec{T} \\times \\vec{k} \\end{cases} {T=k×Nright​Nright​=T×k​其中 ×\\times× 为叉积，也遵循右手法则。\n空间曲面上的法向量 空间曲面的法向量定义为垂直切平面的向量\nN⃗⊥T⃗⇒N⃗⋅T⃗=0 \\vec{N} \\perp \\vec{T} \\Rightarrow \\vec{N} \\cdot \\vec{T} = 0 N⊥T⇒N⋅T=0其中 T⃗\\vec{T}T 是任意位于切平面的向量。\n对于空间曲面 r⃗(u,v)\\vec{r}(u,v)r(u,v)，法向量可以通过对两个切向量进行叉积得到。其中切向量最方便的取法就是 ∂r⃗∂u\\frac{\\partial \\vec{r}}{\\partial u}∂u∂r​ 和 ∂r⃗∂u\\frac{\\partial \\vec{r}}{\\partial u}∂u∂r​。从而单位法向量为\nN⃗=±∂r⃗∂u×∂r⃗∂v∣∂r⃗∂u×∂r⃗∂v∣ \\vec{N} = \\pm \\frac{\\frac{\\partial \\vec{r}}{\\partial u} \\times \\frac{\\partial \\vec{r}}{\\partial v}}{\\left| \\frac{\\partial \\vec{r}}{\\partial u} \\times \\frac{\\partial \\vec{r}}{\\partial v} \\right|} N=±​∂u∂r​×∂v∂r​​∂u∂r​×∂v∂r​​隐式曲面 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 的单位法向量为\nN⃗=±∇F∣∇F∣ \\vec{N} = \\pm \\frac{\\nabla F}{\\left| \\nabla F \\right|} N=±∣∇F∣∇F​而显式曲面 z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y) 可以改写为 F(x,y,z)=f(x,y)−z=0F(x,y,z)=f(x,y) - z = 0F(x,y,z)=f(x,y)−z=0，然后代入 ∇F=fxi⃗+fyj⃗−k⃗\\nabla F=f_x\\vec{i} + f_y\\vec{j} - \\vec{k}∇F=fx​i+fy​j​−k，从而得到\nN⃗=±fxi⃗+fyj⃗−k⃗1+fx2+fy2 \\vec{N} = \\pm \\frac{f_x \\vec{i} + f_y \\vec{j} - \\vec{k}}{\\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}} N=±1+fx2​+fy2​​fx​i+fy​j​−k​或者改写为参数式曲面，然后用切向量的叉积求出单位法向量。\n空间曲面上的单位法向量同样不唯一，因为方向可以相反。当在闭合曲面围成的区域上进行积分时，通常会选择向外的那个法向量。\n测度 R2\\mathbb{R}^2R2 和 R3\\mathbb{R}^3R3 都是典型的欧几里得空间。在欧式空间 Rn\\mathbb{R}^nRn 中，通常使用 ℓ2\\ell^2ℓ2 范数来度量 a,b∈Rn\\mathbf{a}, \\mathbf{b} \\in \\mathbb{R}^na,b∈Rn 之间的距离\nd(a,b)=∑i=1n(ai−bi)2 d(\\mathbf{a}, \\mathbf{b}) = \\sqrt{\\sum_{i=1}^{n} (a_i - b_i)^2} d(a,b)=i=1∑n​(ai​−bi​)2​该度量可以表示为内积\nd(a,b)2=⟨a−b,a−b⟩ d(\\mathbf{a}, \\mathbf{b})^2 = \\langle \\mathbf{a}-\\mathbf{b}, \\mathbf{a}-\\mathbf{b}\\rangle d(a,b)2=⟨a−b,a−b⟩这里的内积就是向量的点积 ⟨a,b⟩=aTb\\langle \\mathbf{a}, \\mathbf{b} \\rangle = \\mathbf{a}^T \\mathbf{b}⟨a,b⟩=aTb。\n而点到原点的距离，或者说原点到该点的向量长度，可进一步简化为\n∥a∥=∑i=1nai2=⟨a,a⟩ \\|\\mathbf{a}\\| = \\sqrt{\\sum_{i=1}^{n} a_i^2} = \\sqrt{\\langle \\mathbf{a}, \\mathbf{a}\\rangle} ∥a∥=i=1∑n​ai2​​=⟨a,a⟩​曲线和曲面作为嵌入欧氏空间的流形，可通过将内积限制在流形上从而继承这种度量。有了度量后，就可以计算在流形上积分时需要的测度——长度微元和面积微元。\n平面曲线上的长度微元 对于平面曲线 r⃗(t)=x(t)i⃗+y(t)j⃗\\vec{r}(t) = x(t)\\vec{i} + y(t)\\vec{j}r(t)=x(t)i+y(t)j​，其长度微元表示参数空间（一维直线）上长度为 dt\\mathrm{d}tdt 的线段映射到值空间（二维平面）后的长度。\n这种映射在局部近似为线性，可以用微分表示为\ndr⃗=[dxdy]=[x′(t)dty′(t)dt]=[x′(t)y′(t)]dt=dr⃗dtdt \\mathrm{d}\\vec{r} = \\begin{bmatrix} \\mathrm{d}x \\\\ \\mathrm{d}y \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} x\u0026#x27;(t)\\mathrm{d}t \\\\ y\u0026#x27;(t)\\mathrm{d}t \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} x\u0026#x27;(t) \\\\ y\u0026#x27;(t) \\end{bmatrix} \\mathrm{d}t = \\frac{\\mathrm{d}\\vec{r}}{\\mathrm{d}t}\\mathrm{d}t dr=[dxdy​]=[x′(t)dty′(t)dt​]=[x′(t)y′(t)​]dt=dtdr​dt该线性映射把参数空间中的一维向量 dt\\mathrm{d}tdt 映射为值空间中的二维向量 dr⃗\\mathrm{d}\\vec{r}dr，后者被叫做位移向量。而位移向量的长度可以通过内积直接计算，由此得到平面曲线上的长度微元\nds=∥dr⃗∥=∣dr⃗dt∣dt \\mathrm{d}s = \\| \\mathrm{d}\\vec{r} \\| = \\left| \\frac{\\mathrm{d}\\vec{r}}{\\mathrm{d}t} \\right| \\mathrm{d}t ds=∥dr∥=​dtdr​​dt或者将其写为外微分形式\n(ds)2=⟨dr⃗,dr⃗⟩=(dx)2+(dy)2 (\\mathrm{d}s)^2 = \\langle \\mathrm{d}\\vec{r}, \\mathrm{d}\\vec{r} \\rangle = (\\mathrm{d}x)^2 + (\\mathrm{d}y)^2 (ds)2=⟨dr,dr⟩=(dx)2+(dy)2这样更方便计算显式曲线 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 长度微元。由微分关系 dy=f′(x)dx\\mathrm{d}y = f\u0026#x27;(x) \\mathrm{d}xdy=f′(x)dx 得到\nds=(dx)2+(dy)2=1+f′(x)2dx \\mathrm{d}s = \\sqrt{(\\mathrm{d}x)^2 + (\\mathrm{d}y)^2} = \\sqrt{1+f\u0026#x27;(x)^2} \\mathrm{d}x ds=(dx)2+(dy)2​=1+f′(x)2​dx隐式曲线的推导稍微麻烦点。先求 F(x,y)F(x,y)F(x,y) 的全微分\ndF=∂F∂xdx+∂F∂ydy=0 \\mathrm{d}F = \\frac{\\partial F}{\\partial x}\\mathrm{d}x + \\frac{\\partial F}{\\partial y}\\mathrm{d}y = 0 dF=∂x∂F​dx+∂y∂F​dy=0然后有\ndy=−∂F∂x∂F∂ydx \\mathrm{d}y = -\\frac{\\frac{\\partial F}{\\partial x}}{\\frac{\\partial F}{\\partial y}}\\mathrm{d}x dy=−∂y∂F​∂x∂F​​dx最后得到\nds=1+(∂F∂x∂F∂y)2dx \\mathrm{d}s = \\sqrt{1+\\left(\\frac{\\frac{\\partial F}{\\partial x}}{\\frac{\\partial F}{\\partial y}}\\right)^2} \\mathrm{d}x ds=1+(∂y∂F​∂x∂F​​)2​dx这表示沿着 xxx 轴积分的长度微元。沿着 yyy 轴积分的长度微元很类似，只是交换了 xxx 和 yyy 的位置\nds=1+(∂F∂y∂F∂x)2dy \\mathrm{d}s = \\sqrt{1+\\left(\\frac{\\frac{\\partial F}{\\partial y}}{\\frac{\\partial F}{\\partial x}}\\right)^2} \\mathrm{d}y ds=1+(∂x∂F​∂y∂F​​)2​dy该方法还可以推广到不局限于 xxx 轴或 yyy 轴的任意直线 LLL。首先求 FFF 沿 dr⃗\\mathrm{d}\\vec{r}dr 方向的全微分\ndF=∇F⋅dr⃗=0 \\mathrm{d}F = \\nabla F \\cdot \\mathrm{d}\\vec{r} = 0 dF=∇F⋅dr=0然后把 dr⃗\\mathrm{d}\\vec{r}dr 分解到两个正交的方向上\ndr⃗=T⃗dL+N⃗dn \\mathrm{d}\\vec{r} = \\vec{T}\\mathrm{d}L + \\vec{N}\\mathrm{d}n dr=TdL+Ndn从而\n∇F⋅(T⃗dL+N⃗dn)=(∇F⋅T⃗)dL+(∇F⋅N⃗)dn=0 \\nabla F \\cdot (\\vec{T}\\mathrm{d}L + \\vec{N}\\mathrm{d}n) = (\\nabla F \\cdot \\vec{T})\\mathrm{d}L + (\\nabla F \\cdot \\vec{N})\\mathrm{d}n = 0 ∇F⋅(TdL+Ndn)=(∇F⋅T)dL+(∇F⋅N)dn=0于是\ndn=−∇F⋅T⃗∇F⋅N⃗dL \\mathrm{d}n = -\\frac{\\nabla F \\cdot \\vec{T}}{\\nabla F \\cdot \\vec{N}}\\mathrm{d}L dn=−∇F⋅N∇F⋅T​dL最后计算长度微元\n(ds)2=∥dr⃗∥2=∥T⃗dL+N⃗dn∥2=(T⃗⋅T⃗)(dL)2+(N⃗⋅N⃗)(dn)2+2(T⃗⋅N⃗)dLdn \\begin{align*} (\\mathrm{d}s)^2 \u0026amp;= \\left\\| \\mathrm{d}\\vec{r} \\right\\|^2 \\\\ \u0026amp;= \\left\\| \\vec{T}\\mathrm{d}L + \\vec{N}\\mathrm{d}n \\right\\|^2 \\\\ \u0026amp;= (\\vec{T}\\cdot\\vec{T})(\\mathrm{d}L)^2 + (\\vec{N}\\cdot\\vec{N})(\\mathrm{d}n)^2 + 2(\\vec{T} \\cdot \\vec{N})\\mathrm{d}L\\mathrm{d}n \\end{align*} (ds)2​=∥dr∥2=​TdL+Ndn​2=(T⋅T)(dL)2+(N⋅N)(dn)2+2(T⋅N)dLdn​由于正交 T⃗⋅N⃗=0\\vec{T} \\cdot \\vec{N} = 0T⋅N=0 和单位向量 T⃗⋅T⃗=N⃗⋅N⃗=1\\vec{T}\\cdot\\vec{T} = \\vec{N}\\cdot\\vec{N} = 1T⋅T=N⋅N=1，从而得到\n(ds)2=(dL)2+(dn)2=(dL)2+(∇F⋅T⃗∇F⋅N⃗)2(dL)2=(∇F⋅N⃗)2+(∇F⋅T⃗)2(∇F⋅N⃗)2(dL)2 \\begin{align*} (\\mathrm{d}s)^2 \u0026amp;= (\\mathrm{d}L)^2 + (\\mathrm{d}n)^2 \\\\ \u0026amp;= (\\mathrm{d}L)^2 + \\left(\\frac{\\nabla F \\cdot \\vec{T}}{\\nabla F \\cdot \\vec{N}} \\right)^2(\\mathrm{d}L)^2 \\\\ \u0026amp;= \\frac{(\\nabla F \\cdot \\vec{N})^2 + (\\nabla F \\cdot \\vec{T})^2}{(\\nabla F \\cdot \\vec{N})^2} (\\mathrm{d}L)^2 \\end{align*} (ds)2​=(dL)2+(dn)2=(dL)2+(∇F⋅N∇F⋅T​)2(dL)2=(∇F⋅N)2(∇F⋅N)2+(∇F⋅T)2​(dL)2​由于 T⃗\\vec{T}T 和 N⃗\\vec{N}N 是平面内的标准正交基，所以\n∣∇F∣2=(∇F⋅N⃗)2+(∇F⋅T⃗)2 |\\nabla F|^2 = (\\nabla F \\cdot \\vec{N})^2 + (\\nabla F \\cdot \\vec{T})^2 ∣∇F∣2=(∇F⋅N)2+(∇F⋅T)2从而\n(ds)2=∣∇F∣2(∇F⋅N⃗)2(dL)2 (\\mathrm{d}s)^2 = \\frac{|\\nabla F|^2}{(\\nabla F \\cdot \\vec{N})^2} (\\mathrm{d}L)^2 (ds)2=(∇F⋅N)2∣∇F∣2​(dL)2两边同时开平方，便得到了沿着 LLL 积分的长度微元\nds=∣∇F∣∣∇F⋅N⃗∣dL \\mathrm{d}s = \\frac{|\\nabla F|}{\\left|\\nabla F \\cdot \\vec{N}\\right|} \\mathrm{d}L ds=​∇F⋅N​∣∇F∣​dL其中 N⃗\\vec{N}N 是直线 LLL 的单位法向量。\n在几何上，这可以理解为曲线的长度微元 ds\\mathrm{d}sds 被投影到直线 LLL 上，从而投影直线上的长度微元为\ndL=ds∣cos⁡θ∣ \\mathrm{d}L = \\mathrm{d}s|\\cos\\theta| dL=ds∣cosθ∣这里的 θ\\thetaθ 是曲线法向量 n⃗\\vec{n}n 和投影直线法向量 N⃗\\vec{N}N 的夹角。而曲线法向量为\nn⃗=∇F∣∇F∣ \\vec{n} = \\frac{\\nabla F}{\\left| \\nabla F \\right|} n=∣∇F∣∇F​从而得到\ncos⁡θ=n⃗⋅N⃗=∇F⋅N⃗∣∇F∣ \\cos\\theta = \\vec{n} \\cdot \\vec{N} = \\frac{\\nabla F\\cdot \\vec{N}}{\\left| \\nabla F \\right|} cosθ=n⋅N=∣∇F∣∇F⋅N​于是\nds=dL∣cos⁡θ∣=∣∇F∣∣∇F⋅N⃗∣dL \\mathrm{d}s = \\frac{\\mathrm{d}L}{|\\cos\\theta|} = \\frac{\\left|\\nabla F\\right|}{\\left| \\nabla F \\cdot \\vec{N}\\right|} \\mathrm{d}L ds=∣cosθ∣dL​=​∇F⋅N​∣∇F∣​dL空间曲面上的面积微元 对于空间曲面 r⃗(u,v)=x(u,v)i⃗+y(u,v)j⃗+z(u,v)k⃗\\vec{r}(u,v) = x(u,v) \\vec{i} + y(u,v) \\vec{j} + z(u,v) \\vec{k}r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j​+z(u,v)k，其面积微元表示参数空间（二维平面）上面积为 dudv\\mathrm{d}u\\mathrm{d}vdudv 的矩形映射到值空间（三维空间）后的面积。\n这种映射同样在局部是线性的，用微分表示为\ndr⃗=[dxdydz] \\mathrm{d}\\vec{r} = \\begin{bmatrix} \\mathrm{d}x \\\\ \\mathrm{d}y \\\\ \\mathrm{d}z \\end{bmatrix} dr=​dxdydz​​而 dx\\mathrm{d}xdx 可以通过全微分求得\ndx=∂x∂udu+∂x∂vdv \\mathrm{d}x = \\frac{\\partial x}{\\partial u} \\mathrm{d}u + \\frac{\\partial x}{\\partial v} \\mathrm{d}v dx=∂u∂x​du+∂v∂x​dv改为向量形式\ndx=[∂x∂u∂x∂v][dudv] \\mathrm{d}x = \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial x}{\\partial u} \u0026amp; \\frac{\\partial x}{\\partial v} \\end{bmatrix}\\begin{bmatrix} \\mathrm{d}u \\\\ \\mathrm{d}v \\end{bmatrix} dx=[∂u∂x​​∂v∂x​​][dudv​]对 dy\\mathrm{d}ydy 和 dz\\mathrm{d}zdz 也进行全微分，从而得到\ndr⃗=[dxdydz]=[∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v∂z∂u∂z∂v][dudv] \\mathrm{d}\\vec{r} = \\begin{bmatrix} \\mathrm{d}x \\\\ \\mathrm{d}y \\\\ \\mathrm{d}z \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial x}{\\partial u} \u0026amp; \\frac{\\partial x}{\\partial v} \\\\ \\frac{\\partial y}{\\partial u} \u0026amp; \\frac{\\partial y}{\\partial v} \\\\ \\frac{\\partial z}{\\partial u} \u0026amp; \\frac{\\partial z}{\\partial v} \\end{bmatrix}\\begin{bmatrix} \\mathrm{d}u \\\\ \\mathrm{d}v \\end{bmatrix} dr=​dxdydz​​=​∂u∂x​∂u∂y​∂u∂z​​∂v∂x​∂v∂y​∂v∂z​​​[dudv​]该映射将参数空间中的二维向量 (du,dv)T(\\mathrm{d}u, \\mathrm{d}v)^T(du,dv)T 映射为值空间的三维向量 dr⃗\\mathrm{d}\\vec{r}dr。但我们需要的是面积，而在三维空间中，面积可以通过位移向量的叉积进行计算。\n参数空间中由 (du,0)T(\\mathrm{d}u, 0)^T(du,0)T 和 (0,dv)T(0, \\mathrm{d}v)^T(0,dv)T 作为邻边的矩形，其面积为 dudv\\mathrm{d}u\\mathrm{d}vdudv。而这两邻边映射到值空间后，分别变为 ∂r⃗∂udu=(∂x∂u,∂y∂u,∂z∂u)Tdu\\frac{\\partial \\vec{r}}{\\partial u}\\mathrm{d}u = (\\frac{\\partial x}{\\partial u}, \\frac{\\partial y}{\\partial u}, \\frac{\\partial z}{\\partial u})^T\\mathrm{d}u∂u∂r​du=(∂u∂x​,∂u∂y​,∂u∂z​)Tdu 和 ∂r⃗∂vdv=(∂x∂v,∂y∂v,∂z∂v)Tdv\\frac{\\partial \\vec{r}}{\\partial v}\\mathrm{d}v = (\\frac{\\partial x}{\\partial v}, \\frac{\\partial y}{\\partial v}, \\frac{\\partial z}{\\partial v})^T\\mathrm{d}v∂v∂r​dv=(∂v∂x​,∂v∂y​,∂v∂z​)Tdv。这两个位移向量在三维空间中张成了一个平行四边形，其面积可用叉积表示为\n∣∂r⃗∂udu×∂r⃗∂vdv∣=∣∂r⃗∂u×∂r⃗∂v∣dudv \\left| \\frac{\\partial \\vec{r}}{\\partial u}\\mathrm{d}u \\times \\frac{\\partial \\vec{r}}{\\partial v}\\mathrm{d}v \\right| = \\left| \\frac{\\partial \\vec{r}}{\\partial u} \\times \\frac{\\partial \\vec{r}}{\\partial v} \\right| \\mathrm{d}u\\mathrm{d}v ​∂u∂r​du×∂v∂r​dv​=​∂u∂r​×∂v∂r​​dudv从而得到面积微元\ndσ=∣∂r⃗∂u×∂r⃗∂v∣dudv \\mathrm{d}\\sigma = \\left| \\frac{\\partial \\vec{r}}{\\partial u} \\times \\frac{\\partial \\vec{r}}{\\partial v} \\right| \\mathrm{d}u\\mathrm{d}v dσ=​∂u∂r​×∂v∂r​​dudv面积微元同样可以写为外微分的形式。首先设\ndru=(dxu,dyu,dzu)Tdrv=(dxv,dyv,dzv)T \\mathrm{d}\\mathbf{r}_u=(\\mathrm{d}x_u,\\mathrm{d}y_u,\\mathrm{d}z_u)^T \\\\ \\mathrm{d}\\mathbf{r}_v=(\\mathrm{d}x_v,\\mathrm{d}y_v,\\mathrm{d}z_v)^T \\\\ dru​=(dxu​,dyu​,dzu​)Tdrv​=(dxv​,dyv​,dzv​)T然后将面积微元表示为叉积的长度\n(dσ)2=∥dru×drv∥2 (\\mathrm{d}\\sigma)^2 = \\left\\| \\mathrm{d}\\mathbf{r}_u \\times \\mathrm{d}\\mathbf{r}_v \\right\\|^2 (dσ)2=∥dru​×drv​∥2接着计算叉积\ndru×drv=∣ijkdxudyudzudxvdyvdzv∣ \\mathrm{d}\\mathbf{r}_u \\times \\mathrm{d}\\mathbf{r}_v = \\begin{vmatrix} \\mathbf i \u0026amp; \\mathbf j \u0026amp; \\mathbf k \\\\ \\mathrm{d}x_u \u0026amp; \\mathrm{d}y_u \u0026amp; \\mathrm{d}z_u \\\\ \\mathrm{d}x_v \u0026amp; \\mathrm{d}y_v \u0026amp; \\mathrm{d}z_v \\end{vmatrix} dru​×drv​=​idxu​dxv​​jdyu​dyv​​kdzu​dzv​​​展开行列式和内积，得到\n(dσ)2=(dyudzv−dzudyv)2+(dzudxv−dxudzv)2+(dxudyv−dyudxv)2 (\\mathrm{d}\\sigma)^2 = (\\mathrm{d}y_u\\mathrm{d}z_v-\\mathrm{d}z_u\\mathrm{d}y_v)^2 + (\\mathrm{d}z_u\\mathrm{d}x_v-\\mathrm{d}x_u\\mathrm{d}z_v)^2 + (\\mathrm{d}x_u\\mathrm{d}y_v-\\mathrm{d}y_u\\mathrm{d}x_v)^2 (dσ)2=(dyu​dzv​−dzu​dyv​)2+(dzu​dxv​−dxu​dzv​)2+(dxu​dyv​−dyu​dxv​)2用楔积表示各分量\ndy∧dz=dyudzv−dzudyvdz∧dx=dzudxv−dxudzvdx∧dy=dxudyv−dyudxv \\mathrm{d}y \\wedge \\mathrm{d}z = \\mathrm{d}y_u\\mathrm{d}z_v-\\mathrm{d}z_u\\mathrm{d}y_v \\\\ \\mathrm{d}z \\wedge \\mathrm{d}x = \\mathrm{d}z_u\\mathrm{d}x_v-\\mathrm{d}x_u\\mathrm{d}z_v \\\\ \\mathrm{d}x \\wedge \\mathrm{d}y = \\mathrm{d}x_u\\mathrm{d}y_v-\\mathrm{d}y_u\\mathrm{d}x_v dy∧dz=dyu​dzv​−dzu​dyv​dz∧dx=dzu​dxv​−dxu​dzv​dx∧dy=dxu​dyv​−dyu​dxv​得到\ndσ=(dx∧dy)2+(dy∧dz)2+(dz∧dx)2 \\mathrm{d}\\sigma = \\sqrt{(\\mathrm{d}x \\wedge \\mathrm{d}y)^2 + (\\mathrm{d}y \\wedge \\mathrm{d}z)^2 + (\\mathrm{d}z \\wedge \\mathrm{d}x)^2} dσ=(dx∧dy)2+(dy∧dz)2+(dz∧dx)2​这样可以方便地推导显式曲面 z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y) 的面积微元。由 dz=fxdx+fydy\\mathrm{d}z = f_x\\mathrm{d}x+f_y\\mathrm{d}ydz=fx​dx+fy​dy 展开楔积\ndy∧dz=dy∧(fxdx+fydy)=fxdxdydz∧dx=(fxdx+fydy)∧dx=fydxdydx∧dy=dxdy \\mathrm{d}y \\wedge \\mathrm{d}z = \\mathrm{d}y \\wedge (f_x\\mathrm{d}x+f_y\\mathrm{d}y) = f_x\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y \\\\ \\mathrm{d}z \\wedge \\mathrm{d}x = (f_x\\mathrm{d}x+f_y\\mathrm{d}y) \\wedge \\mathrm{d}x = f_y\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y \\\\ \\mathrm{d}x \\wedge \\mathrm{d}y = \\mathrm{d}x\\mathrm{d}y dy∧dz=dy∧(fx​dx+fy​dy)=fx​dxdydz∧dx=(fx​dx+fy​dy)∧dx=fy​dxdydx∧dy=dxdy代入得到\ndσ=1+fx2+fy2dxdy \\mathrm{d}\\sigma = \\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} \\mathrm{d}x \\mathrm{d}y dσ=1+fx2​+fy2​​dxdy而隐式曲线 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 的面积微元，其推导过程和平面曲线的长度微元类似。首先还是计算 FFF 沿着 r⃗\\vec{r}r 的全微分\n∇F⋅dr⃗=0 \\nabla F \\cdot \\mathrm{d}\\vec{r} = 0 ∇F⋅dr=0然后把 dr⃗\\mathrm{d}\\vec{r}dr 分解到任意平面及其法向量上。其中平面的两个正交基分别为 T1⃗\\vec{T_1}T1​​ 和 T2⃗\\vec{T_2}T2​​\ndr⃗=T⃗1dL1+T⃗2dL2+N⃗dn \\mathrm{d}\\vec{r} = \\vec{T}_1 \\mathrm{d}L_1 + \\vec{T}_2 \\mathrm{d}L_2 + \\vec{N} \\mathrm{d}n dr=T1​dL1​+T2​dL2​+Ndn代入得到\n(∇F⋅T⃗1)dL1+(∇F⋅T⃗2)dL2+(∇F⋅N⃗)dn=0 (\\nabla F \\cdot \\vec{T}_1)\\mathrm{d}L_1 + (\\nabla F \\cdot \\vec{T}_2)\\mathrm{d}L_2 + (\\nabla F \\cdot \\vec{N})\\mathrm{d}n = 0 (∇F⋅T1​)dL1​+(∇F⋅T2​)dL2​+(∇F⋅N)dn=0当固定 dL2=0\\mathrm{d}L_2=0dL2​=0 时，有\ndn1=−∇F⋅T⃗1∇F⋅N⃗dL1 \\mathrm{d}n_1 = -\\frac{\\nabla F \\cdot \\vec{T}_1}{\\nabla F \\cdot \\vec{N}} \\mathrm{d}L_1 dn1​=−∇F⋅N∇F⋅T1​​dL1​由此得到参数沿着 T⃗1\\vec{T}_1T1​ 变化时曲面上实际的位移向量\ndr⃗1=(T⃗1−∇F⋅T⃗1∇F⋅N⃗N⃗)dL1 \\mathrm{d}\\vec{r}_1 = \\left(\\vec{T}_1 - \\frac{\\nabla F \\cdot \\vec{T}_1}{\\nabla F \\cdot \\vec{N}}\\vec{N}\\right)\\mathrm{d}L_1 dr1​=(T1​−∇F⋅N∇F⋅T1​​N)dL1​同理参数沿 T⃗2\\vec{T}_2T2​ 变化时曲面上实际的位移向量为\ndr⃗2=(T⃗2−∇F⋅T⃗2∇F⋅N⃗N⃗)dL2 \\mathrm{d}\\vec{r}_2 = \\left(\\vec{T}_2 - \\frac{\\nabla F \\cdot \\vec{T}_2}{\\nabla F \\cdot \\vec{N}}\\vec{N}\\right)\\mathrm{d}L_2 dr2​=(T2​−∇F⋅N∇F⋅T2​​N)dL2​而曲面的面积微元就是位移向量叉积的长度\n(dσ)2=∥dr⃗1×dr⃗2∥2 (\\mathrm{d}\\sigma)^2 = \\left\\| \\mathrm{d}\\vec{r}_1 \\times \\mathrm{d}\\vec{r}_2 \\right\\|^2 (dσ)2=∥dr1​×dr2​∥2计算叉积\ndr⃗1×dr⃗2=(T⃗1−∇F⋅T⃗1∇F⋅N⃗N⃗)×(T⃗2−∇F⋅T⃗2∇F⋅N⃗N⃗)dL1dL2=(T⃗1×T⃗2−∇F⋅T⃗1∇F⋅N⃗N⃗×T⃗2−∇F⋅T⃗2∇F⋅N⃗T⃗1×N⃗+∇F⋅T⃗1∇F⋅T⃗2(∇F⋅N⃗)2N⃗×N⃗)dL1dL2 \\begin{align*} \\mathrm{d}\\vec{r}_1 \\times \\mathrm{d}\\vec{r}_2 \u0026amp;= \\left(\\vec{T}_1 - \\frac{\\nabla F \\cdot \\vec{T}_1}{\\nabla F \\cdot \\vec{N}}\\vec{N}\\right) \\times \\left(\\vec{T}_2 - \\frac{\\nabla F \\cdot \\vec{T}_2}{\\nabla F \\cdot \\vec{N}}\\vec{N}\\right) \\mathrm{d}L_1\\mathrm{d}L_2 \\\\ \u0026amp;= \\left( \\vec{T}_1\\times\\vec{T}_2 - \\frac{\\nabla F \\cdot \\vec{T}_1}{\\nabla F \\cdot \\vec{N}}\\vec{N}\\times\\vec{T}_2 - \\frac{\\nabla F \\cdot \\vec{T}_2}{\\nabla F \\cdot \\vec{N}}\\vec{T}_1\\times\\vec{N} + \\frac{\\nabla F \\cdot \\vec{T}_1\\nabla F \\cdot \\vec{T}_2}{(\\nabla F \\cdot \\vec{N})^2}\\vec{N}\\times\\vec{N} \\right)\\mathrm{d}L_1\\mathrm{d}L_2 \\end{align*} dr1​×dr2​​=(T1​−∇F⋅N∇F⋅T1​​N)×(T2​−∇F⋅N∇F⋅T2​​N)dL1​dL2​=(T1​×T2​−∇F⋅N∇F⋅T1​​N×T2​−∇F⋅N∇F⋅T2​​T1​×N+(∇F⋅N)2∇F⋅T1​∇F⋅T2​​N×N)dL1​dL2​​代入\nT⃗1×T⃗2=N⃗N⃗×T⃗2=−T⃗1T⃗1×N⃗=−T⃗2N⃗×N⃗=0⃗dL1dL2=dA \\begin{align*} \\vec{T}_1\\times\\vec{T}_2 \u0026amp;= \\vec{N} \\\\ \\vec{N}\\times\\vec{T}_2 \u0026amp;= -\\vec{T}_1 \\\\ \\vec{T}_1\\times\\vec{N} \u0026amp;= -\\vec{T}_2 \\\\ \\vec{N}\\times\\vec{N} \u0026amp;= \\vec{0} \\\\ \\mathrm{d}L_1\\mathrm{d}L_2 \u0026amp;= \\mathrm{d}A \\end{align*} T1​×T2​N×T2​T1​×NN×NdL1​dL2​​=N=−T1​=−T2​=0=dA​得到\ndr⃗1×dr⃗2=(N⃗+∇F⋅T⃗1∇F⋅N⃗T⃗1+∇F⋅T⃗2∇F⋅N⃗T⃗2)dA \\mathrm{d}\\vec{r}_1 \\times \\mathrm{d}\\vec{r}_2 = \\left( \\vec{N} + \\frac{\\nabla F \\cdot \\vec{T}_1}{\\nabla F \\cdot \\vec{N}}\\vec{T}_1 + \\frac{\\nabla F \\cdot \\vec{T}_2}{\\nabla F \\cdot \\vec{N}}\\vec{T}_2 \\right)\\mathrm{d}A dr1​×dr2​=(N+∇F⋅N∇F⋅T1​​T1​+∇F⋅N∇F⋅T2​​T2​)dA计算长度\n∥dr⃗1×dr⃗2∥2=[1+(∇F⋅T⃗1∇F⋅N⃗)2+(∇F⋅T⃗2∇F⋅N⃗)2](dA)2=(∇F⋅N⃗)2+(∇F⋅T⃗1)2+(∇F⋅T⃗2)2(∇F⋅N⃗)2(dA)2 \\begin{align*} \\left\\| \\mathrm{d}\\vec{r}_1 \\times \\mathrm{d}\\vec{r}_2 \\right\\|^2 \u0026amp;= \\left[ 1 + \\left(\\frac{\\nabla F \\cdot \\vec{T}_1}{\\nabla F \\cdot \\vec{N}}\\right)^2 + \\left(\\frac{\\nabla F \\cdot \\vec{T}_2}{\\nabla F \\cdot \\vec{N}}\\right)^2 \\right] (\\mathrm{d}A)^2 \\\\ \u0026amp;= \\frac{(\\nabla F \\cdot \\vec{N})^2 + (\\nabla F \\cdot \\vec{T}_1)^2 + (\\nabla F \\cdot \\vec{T}_2)^2}{(\\nabla F \\cdot \\vec{N})^2} (\\mathrm{d}A)^2 \\end{align*} ∥dr1​×dr2​∥2​=​1+(∇F⋅N∇F⋅T1​​)2+(∇F⋅N∇F⋅T2​​)2​(dA)2=(∇F⋅N)2(∇F⋅N)2+(∇F⋅T1​)2+(∇F⋅T2​)2​(dA)2​由于 T⃗1,T⃗2,N⃗\\vec{T}_1,\\vec{T}_2,\\vec{N}T1​,T2​,N 组成了三维空间的标准正交基，故\n∣∇F∣2=(∇F⋅N⃗)2+(∇F⋅T⃗1)2+(∇F⋅T⃗2)2 \\left| \\nabla F \\right|^2 = (\\nabla F \\cdot \\vec{N})^2 + (\\nabla F \\cdot \\vec{T}_1)^2 + (\\nabla F \\cdot \\vec{T}_2)^2 ∣∇F∣2=(∇F⋅N)2+(∇F⋅T1​)2+(∇F⋅T2​)2从而得到\ndσ=∣∇F∣∣∇F⋅N⃗∣dA \\mathrm{d}\\sigma = \\frac{\\left|\\nabla F\\right|}{\\left| \\nabla F \\cdot \\vec{N}\\right|} \\mathrm{d}A dσ=​∇F⋅N​∣∇F∣​dA其中 N⃗\\vec{N}N 是平面 AAA 的单位法向量。\n在几何上，这可以理解为曲面的面积微元 dσ\\mathrm{d}\\sigmadσ 被投影到平面 AAA 上，从而投影平面上的面积微元为\ndA=dσ∣cos⁡θ∣ \\mathrm{d}A = \\mathrm{d}\\sigma |\\cos\\theta| dA=dσ∣cosθ∣这里的 θ\\thetaθ 是曲面法向量 n⃗\\vec{n}n 和投影平面法向量 N⃗\\vec{N}N 的夹角。而曲面法向量为\nn⃗=∇F∣∇F∣ \\vec{n} = \\frac{\\nabla F}{\\left| \\nabla F \\right|} n=∣∇F∣∇F​从而得到\ncos⁡θ=n⃗⋅N⃗=∇F⋅N⃗∣∇F∣ \\cos\\theta = \\vec{n} \\cdot \\vec{N} = \\frac{\\nabla F\\cdot \\vec{N}}{\\left| \\nabla F \\right|} cosθ=n⋅N=∣∇F∣∇F⋅N​于是\ndσ=dA∣cos⁡θ∣=∣∇F∣∣∇F⋅N⃗∣dA \\mathrm{d}\\sigma = \\frac{\\mathrm{d}A}{|\\cos\\theta|} = \\frac{\\left|\\nabla F\\right|}{\\left| \\nabla F \\cdot \\vec{N}\\right|} \\mathrm{d}A dσ=∣cosθ∣dA​=​∇F⋅N​∣∇F∣​dA第一类积分：对测度积分 第一类积分是对标量密度积分。由于被积测度为方向无关的长度 ds\\mathrm{d}sds 或面积 dσ\\mathrm{d}\\sigmadσ，因此第一类积分不依赖方向——沿着任意参数空间，积分结果都不变。\n第一类曲线积分 给定标量函数 f:R2→Rf:\\mathbb{R}^2 \\to \\mathbb{R}f:R2→R，它在曲线 CCC 上的积分为\n∫Cf(x,y)ds \\int_C f(x,y) \\mathrm{d}s ∫C​f(x,y)ds曲线 CCC 的参数化表示为\nC:r⃗(t)=x(t)i⃗+y(t)j⃗t∈[a,b] C: \\vec{r}(t) = x(t)\\vec{i} + y(t)\\vec{j} \\qquad t \\in [a, b] C:r(t)=x(t)i+y(t)j​t∈[a,b]该 R→R2\\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}^2R→R2 映射把 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 拉回到参数区间 t∈[a,b]t \\in [a, b]t∈[a,b] 上\n∫Cf(x,y)ds=∫abf(r⃗(t))∣dr⃗dt∣dt \\int_C f(x,y) \\mathrm{d}s = \\int_a^b f(\\vec{r}(t)) \\left| \\frac{\\mathrm{d}\\vec{r}}{\\mathrm{d}t} \\right| \\mathrm{d}t ∫C​f(x,y)ds=∫ab​f(r(t))​dtdr​​dt第一类曲面积分 给定标量函数 f:R3→Rf:\\mathbb{R}^3 \\to \\mathbb{R}f:R3→R，它在曲面 SSS 上的积分为\n∬Sf(x,y,z)dσ \\iint_S f(x,y,z) \\mathrm{d}\\sigma ∬S​f(x,y,z)dσ曲线 SSS 的参数化表示为\nS:r⃗(u,v)=x(u,v)i⃗+y(u,v)j⃗+z(u,v)k⃗(u,v)∈[a,b]×[c,d] S: \\vec{r}(u,v) = x(u,v)\\vec{i} + y(u,v)\\vec{j} + z(u,v)\\vec{k} \\qquad (u,v) \\in [a, b]\\times[c, d] S:r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j​+z(u,v)k(u,v)∈[a,b]×[c,d]该 R2→∈R3\\mathbb{R}^2 \\to \\in \\mathbb{R}^3R2→∈R3 映射把 f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z) 拉回到参数区间 (u,v)∈[a,b]×[c,d](u,v) \\in [a, b]\\times[c, d](u,v)∈[a,b]×[c,d] 上\n∬Sf(x,y,z)dσ=∫cd∫abf(r⃗(u,v))∣∂r⃗∂u×∂r⃗∂v∣dudv \\iint_S f(x,y,z) \\mathrm{d}\\sigma = \\int_c^d\\int_a^b f(\\vec{r}(u,v)) \\left| \\frac{\\partial \\vec{r}}{\\partial u} \\times \\frac{\\partial \\vec{r}}{\\partial v} \\right| \\mathrm{d}u\\mathrm{d}v ∬S​f(x,y,z)dσ=∫cd​∫ab​f(r(u,v))​∂u∂r​×∂v∂r​​dudv微分形式 微分形式是用来测量有向几何尺寸的映射，其作用在张量上\n一形式作用在一阶张量，也就是向量上，得到有向长度 二形式作用在二阶张量，也就是矩阵上，得到有向面积 在欧几里得空间中，向量场和微分形式之间可以通过内积互相对应。\n一形式 一形式 φ\\boldsymbol{\\varphi}φ 是一个 Rn→R\\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{R}Rn→R 线性映射，即对于向量 v∈Rn\\mathbf{v} \\in \\mathbb{R}^nv∈Rn 和标量 a,b∈Ra, b \\in \\mathbb{R}a,b∈R 满足\nφ(av1+bv2)=aφ(v1)+bφ(v2) \\boldsymbol{\\varphi}(a\\mathbf{v}_1+b\\mathbf{v}_2) = a\\boldsymbol{\\varphi}(\\mathbf{v}_1) + b\\boldsymbol{\\varphi}(\\mathbf{v}_2) φ(av1​+bv2​)=aφ(v1​)+bφ(v2​)而一形式本身也是线性的\n(aφ1+bφ2)(v)=aφ1(v)+bφ2(v) (a\\boldsymbol{\\varphi}_1 + b\\boldsymbol{\\varphi}_2)(\\mathbf{v}) = a\\boldsymbol{\\varphi}_1(\\mathbf{v}) + b\\boldsymbol{\\varphi}_2(\\mathbf{v}) (aφ1​+bφ2​)(v)=aφ1​(v)+bφ2​(v)于是一形式对于加法和标量乘法封闭，构成了一个线性空间。其作用的向量，也构成一个线性空间。若将前者叫做一形式空间，后者叫做向量空间，则一形式空间和向量空间互为对偶空间。\n为理解这种对称性，可以将 v\\mathbf{v}v 看作把一形式 φ\\boldsymbol{\\varphi}φ 映射为标量的映射，其定义如下\nv(φ)≡φ(v) \\mathbf{v}(\\boldsymbol{\\varphi}) \\equiv \\boldsymbol{\\varphi}(\\mathbf{v}) v(φ)≡φ(v)从而\nv(aφ1+bφ2)=(aφ1+bφ2)(v)=aφ1(v)+bφ2(v) \\mathbf{v}(a\\boldsymbol{\\varphi}_1 + b\\boldsymbol{\\varphi}_2) = (a\\boldsymbol{\\varphi}_1 + b\\boldsymbol{\\varphi}_2)(\\mathbf{v}) = a\\boldsymbol{\\varphi}_1(\\mathbf{v}) + b\\boldsymbol{\\varphi}_2(\\mathbf{v}) v(aφ1​+bφ2​)=(aφ1​+bφ2​)(v)=aφ1​(v)+bφ2​(v)因此可以将 v(φ)\\mathbf{v}(\\boldsymbol{\\varphi})v(φ) 和 φ(v)\\boldsymbol{\\varphi}(\\mathbf{v})φ(v) 用内积符号表示为 ⟨φ,v⟩\\langle \\boldsymbol{\\varphi}, \\mathbf{v} \\rangle⟨φ,v⟩，这种记法更强调对称性。\n如果考虑复数，也可以用狄拉克符号将一形式表示为 ⟨φ∣v⟩\\langle \\boldsymbol{\\varphi} \\mid \\mathbf{v} \\rangle⟨φ∣v⟩，这种记法更强调非对称性。其中左矢 ⟨φ∣\\langle \\boldsymbol{\\varphi} \\mid⟨φ∣ 是一形式，右矢 ∣v⟩\\mid \\mathbf{v} \\rangle∣v⟩ 是其作用的向量，而前者是后者的共轭转置——在这个意义上，也可以将一形式看作行向量。\n由于一形式构成了线性空间，因此可以取一组基，并将所有一形式表示为这些基的线性组合。\n对于向量空间 TpT_pTp​，设其基为 {e1,e2,⋯ ,en}\\{\\mathbf{e}_1, \\mathbf{e}_2, \\cdots, \\mathbf{e}_n\\}{e1​,e2​,⋯,en​}，使用爱因斯坦求和约定将其中的向量表示为\nv=vjej \\mathbf{v} = v^j\\mathbf{e}_j v=vjej​于是其对偶空间 Tp∗T_p^*Tp∗​ 的基 {ω1,ω2,⋯ ,ωn}\\{ \\boldsymbol{\\omega}^1, \\boldsymbol{\\omega}^2, \\cdots, \\boldsymbol{\\omega}^n \\}{ω1,ω2,⋯,ωn} 为\nωi(v)=vi \\boldsymbol{\\omega}^i(\\mathbf{v}) = v^i ωi(v)=vi进一步地\nωi(vjej)=vivjωi(ej)=vi \\begin{align*} \\boldsymbol{\\omega}^i(v^j\\mathbf{e}_j) \u0026amp;= v^i \\\\ v^j\\boldsymbol{\\omega}^i(\\mathbf{e}_j) \u0026amp;= v^i \\end{align*} ωi(vjej​)vjωi(ej​)​=vi=vi​联立后可解得\nωi(ej)=δji \\boldsymbol{\\omega}^i(\\mathbf{e}_j) = \\delta_j^i ωi(ej​)=δji​其中 δji\\delta_j^iδji​ 为克罗内克符号\nδji≡{1i=j0i≠j \\delta_j^i \\equiv \\begin{cases} 1 \u0026amp; i = j\\\\ 0 \u0026amp; i \\ne j \\end{cases} δji​≡{10​i=ji=j​这便是对偶基的标准定义。\n令一般的一形式 φ\\boldsymbol{\\varphi}φ 作用于 v\\mathbf{v}v\nφ(v)=φ(vjej)=vjφ(ej)=ωj(v)φ(ej) \\boldsymbol{\\varphi}(\\mathbf{v}) = \\boldsymbol{\\varphi}(v^j\\mathbf{e}_j) = v^j\\boldsymbol{\\varphi}(\\mathbf{e}_j) = \\boldsymbol{\\omega}^j(\\mathbf{v})\\boldsymbol{\\varphi}(\\mathbf{e}_j) φ(v)=φ(vjej​)=vjφ(ej​)=ωj(v)φ(ej​)定义 φ\\boldsymbol{\\varphi}φ 的分量为 φj=φ(ej)\\varphi_j = \\boldsymbol{\\varphi}(\\mathbf{e}_j)φj​=φ(ej​)，从而得到\nφ=φjωj \\boldsymbol{\\varphi} = \\varphi_j\\boldsymbol{\\omega}^j φ=φj​ωj梯度 虽然习惯将梯度看作一个向量，但其实将其视为一个一形式更加自然。\ngrad⁡f=∇f \\operatorname{grad}f = \\nabla f gradf=∇f旋度与散度 旋度\ncurl⁡F⃗=∇×F⃗ \\operatorname{curl}\\vec{F} = \\nabla \\times \\vec{F} curlF=∇×F环量密度 === 旋度 ⋅\\cdot⋅ 旋转轴单位向量\n散度\ndiv⁡F⃗=∇⋅F⃗ \\operatorname{div}\\vec{F} = \\nabla \\cdot \\vec{F} divF=∇⋅F通量密度 === 散度\n平面曲线中的一形式 对于平面曲线中的一形式，其基可以选为坐标函数 x,yx,yx,y。它们是基 i⃗,j⃗\\vec{i},\\vec{j}i,j​ 的对偶，可作用在位移向量 dr⃗\\mathrm{d}\\vec{r}dr 上，取出其在 i⃗\\vec{i}i 和 j⃗\\vec{j}j​ 方向上的分量 dx,dy\\mathrm{d}x,\\mathrm{d}ydx,dy。\n给定平面向量场\nF⃗(x,y)=P(x,y)i⃗+Q(x,y)j⃗ \\vec{F}(x,y)=P(x,y)\\vec{i}+Q(x,y)\\vec{j} F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j​它的一形式为\nω=Pdx+Qdy \\omega = P\\mathrm{d}x + Q\\mathrm{d}y ω=Pdx+Qdy若曲线 CCC 的参数化为\nr⃗(t)=x(t)i⃗+y(t)j⃗ \\vec{r}(t)=x(t)\\vec{i}+y(t)\\vec{j} r(t)=x(t)i+y(t)j​那么沿曲线有\ndr⃗=dr⃗dtdt=T⃗ds \\mathrm{d}\\vec{r}=\\frac{\\mathrm{d}\\vec{r}}{\\mathrm{d}t}\\mathrm{d}t = \\vec{T}\\mathrm{d}s dr=dtdr​dt=Tds于是\nF⃗⋅T⃗ds=F⃗⋅dr⃗=Pdx+Qdy \\vec{F}\\cdot\\vec{T}\\mathrm{d}s = \\vec{F}\\cdot\\mathrm{d}\\vec{r} = P\\mathrm{d}x+Q\\mathrm{d}y F⋅Tds=F⋅dr=Pdx+Qdy这说明沿曲线的第二类积分其实就是对一形式积分\n∫CF⃗⋅T⃗ds=∫CPdx+Qdy \\int_C \\vec{F}\\cdot\\vec{T}\\mathrm{d}s = \\int_C P\\mathrm{d}x+Q\\mathrm{d}y ∫C​F⋅Tds=∫C​Pdx+Qdy将其拉回到参数区间 t∈[a,b]t\\in[a,b]t∈[a,b]，得到\n∫CPdx+Qdy=∫ab(P(r⃗(t))x′(t)+Q(r⃗(t))y′(t))dt \\int_C P\\mathrm{d}x+Q\\mathrm{d}y = \\int_a^b \\left(P(\\vec{r}(t))x\u0026#x27;(t)+Q(\\vec{r}(t))y\u0026#x27;(t)\\right)\\mathrm{d}t ∫C​Pdx+Qdy=∫ab​(P(r(t))x′(t)+Q(r(t))y′(t))dt如果改变曲线方向，dr⃗\\mathrm{d}\\vec{r}dr 变号，所以积分也会变号。这也是第二类曲线积分和第一类曲线积分最明显的区别。\n空间中的沿曲线积分完全类似。若\nF⃗(x,y,z)=Pi⃗+Qj⃗+Rk⃗ \\vec{F}(x,y,z)=P\\vec{i}+Q\\vec{j}+R\\vec{k} F(x,y,z)=Pi+Qj​+Rk则对应的一形式为\nω=Pdx+Qdy+Rdz \\omega=P\\mathrm{d}x+Q\\mathrm{d}y+R\\mathrm{d}z ω=Pdx+Qdy+Rdz从而\n∫CF⃗⋅T⃗ds=∫CPdx+Qdy+Rdz \\int_C \\vec{F}\\cdot\\vec{T}\\mathrm{d}s =\\int_C P\\mathrm{d}x+Q\\mathrm{d}y+R\\mathrm{d}z ∫C​F⋅Tds=∫C​Pdx+Qdy+Rdz二形式 一形式测量有向线段，而二形式测量有向面积。\n在三维空间中，最基本的二形式为\ndy∧dz,dz∧dx,dx∧dy \\mathrm{d}y\\wedge\\mathrm{d}z, \\qquad \\mathrm{d}z\\wedge\\mathrm{d}x, \\qquad \\mathrm{d}x\\wedge\\mathrm{d}y dy∧dz,dz∧dx,dx∧dy其中 ∧\\wedge∧ 称为楔积。它满足反对称性\ndx∧dy=−dy∧dx \\mathrm{d}x\\wedge\\mathrm{d}y=-\\mathrm{d}y\\wedge\\mathrm{d}x dx∧dy=−dy∧dx这表明二形式天然携带方向：交换两个方向后，有向面积的符号就会反过来。\n给定三维向量场\nF⃗(x,y,z)=Pi⃗+Qj⃗+Rk⃗ \\vec{F}(x,y,z)=P\\vec{i}+Q\\vec{j}+R\\vec{k} F(x,y,z)=Pi+Qj​+Rk它对应的通量二形式为\nη=Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy \\eta = P\\mathrm{d}y\\wedge\\mathrm{d}z +Q\\mathrm{d}z\\wedge\\mathrm{d}x +R\\mathrm{d}x\\wedge\\mathrm{d}y η=Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy设曲面 SSS 的参数化为\nr⃗(u,v)=x(u,v)i⃗+y(u,v)j⃗+z(u,v)k⃗ \\vec{r}(u,v)=x(u,v)\\vec{i}+y(u,v)\\vec{j}+z(u,v)\\vec{k} r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j​+z(u,v)k并选择由参数顺序 (u,v)(u,v)(u,v) 决定的法向量\nN⃗dσ=∂r⃗∂u×∂r⃗∂vdudv \\vec{N}\\mathrm{d}\\sigma =\\frac{\\partial\\vec{r}}{\\partial u}\\times\\frac{\\partial\\vec{r}}{\\partial v}\\mathrm{d}u\\mathrm{d}v Ndσ=∂u∂r​×∂v∂r​dudv由于\n∂r⃗∂u×∂r⃗∂v=[∂(y,z)∂(u,v)∂(z,x)∂(u,v)∂(x,y)∂(u,v)] \\frac{\\partial\\vec{r}}{\\partial u}\\times\\frac{\\partial\\vec{r}}{\\partial v} =\\begin{bmatrix} \\frac{\\partial(y,z)}{\\partial(u,v)} \\\\ \\frac{\\partial(z,x)}{\\partial(u,v)} \\\\ \\frac{\\partial(x,y)}{\\partial(u,v)} \\end{bmatrix} ∂u∂r​×∂v∂r​=​∂(u,v)∂(y,z)​∂(u,v)∂(z,x)​∂(u,v)∂(x,y)​​​其中\n∂(y,z)∂(u,v)dudv=dy∧dz \\frac{\\partial(y,z)}{\\partial(u,v)}\\mathrm{d}u\\mathrm{d}v =\\mathrm{d}y\\wedge\\mathrm{d}z ∂(u,v)∂(y,z)​dudv=dy∧dz其余两项也类似，所以有\nF⃗⋅N⃗dσ=Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy \\vec{F}\\cdot\\vec{N}\\mathrm{d}\\sigma = P\\mathrm{d}y\\wedge\\mathrm{d}z +Q\\mathrm{d}z\\wedge\\mathrm{d}x +R\\mathrm{d}x\\wedge\\mathrm{d}y F⋅Ndσ=Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy因此过曲面的第二类积分就是对二形式积分\n∬SF⃗⋅N⃗dσ=∬SPdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy \\iint_S \\vec{F}\\cdot\\vec{N}\\mathrm{d}\\sigma =\\iint_S P\\mathrm{d}y\\wedge\\mathrm{d}z +Q\\mathrm{d}z\\wedge\\mathrm{d}x +R\\mathrm{d}x\\wedge\\mathrm{d}y ∬S​F⋅Ndσ=∬S​Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy若改变曲面的取向，N⃗\\vec{N}N 变为 −N⃗-\\vec{N}−N，二形式积分的值也会变号。\n外微分 微分形式上有一个非常重要的运算，称为外微分，记作 d\\mathrm{d}d。它会把 kkk 形式变成 k+1k+1k+1 形式。\n对于标量函数 f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z)，也可以把它看作零形式。它的外微分为\ndf=∂f∂xdx+∂f∂ydy+∂f∂zdz \\mathrm{d}f =\\frac{\\partial f}{\\partial x}\\mathrm{d}x +\\frac{\\partial f}{\\partial y}\\mathrm{d}y +\\frac{\\partial f}{\\partial z}\\mathrm{d}z df=∂x∂f​dx+∂y∂f​dy+∂z∂f​dz这正好对应梯度\ngrad⁡f=∇f \\operatorname{grad} f = \\nabla f gradf=∇f也就是说，梯度可以理解为零形式的外微分。\n对于平面中的一形式\nω=Pdx+Qdy \\omega=P\\mathrm{d}x+Q\\mathrm{d}y ω=Pdx+Qdy外微分为\ndω=dP∧dx+dQ∧dy=(∂Q∂x−∂P∂y)dx∧dy \\begin{align*} \\mathrm{d}\\omega \u0026amp;=\\mathrm{d}P\\wedge\\mathrm{d}x+\\mathrm{d}Q\\wedge\\mathrm{d}y \\\\ \u0026amp;=\\left(\\frac{\\partial Q}{\\partial x}-\\frac{\\partial P}{\\partial y}\\right)\\mathrm{d}x\\wedge\\mathrm{d}y \\end{align*} dω​=dP∧dx+dQ∧dy=(∂x∂Q​−∂y∂P​)dx∧dy​其中系数\n∂Q∂x−∂P∂y \\frac{\\partial Q}{\\partial x}-\\frac{\\partial P}{\\partial y} ∂x∂Q​−∂y∂P​就是平面向量场的旋度在 zzz 方向上的分量\n(∇×F⃗)⋅k⃗ (\\nabla\\times\\vec{F})\\cdot\\vec{k} (∇×F)⋅k因此，旋度可以理解为一形式外微分之后得到的面积密度。它描述的是向量场沿着某个微小边界产生环量的强度。\n对于三维中的一形式\nω=Pdx+Qdy+Rdz \\omega=P\\mathrm{d}x+Q\\mathrm{d}y+R\\mathrm{d}z ω=Pdx+Qdy+Rdz外微分为\ndω=(∂R∂y−∂Q∂z)dy∧dz+(∂P∂z−∂R∂x)dz∧dx+(∂Q∂x−∂P∂y)dx∧dy \\begin{align*} \\mathrm{d}\\omega \u0026amp;=\\left(\\frac{\\partial R}{\\partial y}-\\frac{\\partial Q}{\\partial z}\\right)\\mathrm{d}y\\wedge\\mathrm{d}z \\\\ \u0026amp;\\quad +\\left(\\frac{\\partial P}{\\partial z}-\\frac{\\partial R}{\\partial x}\\right)\\mathrm{d}z\\wedge\\mathrm{d}x \\\\ \u0026amp;\\quad +\\left(\\frac{\\partial Q}{\\partial x}-\\frac{\\partial P}{\\partial y}\\right)\\mathrm{d}x\\wedge\\mathrm{d}y \\end{align*} dω​=(∂y∂R​−∂z∂Q​)dy∧dz+(∂z∂P​−∂x∂R​)dz∧dx+(∂x∂Q​−∂y∂P​)dx∧dy​这正好是 ∇×F⃗\\nabla\\times\\vec{F}∇×F 对应的通量二形式，所以\ncurl⁡F⃗=∇×F⃗ \\operatorname{curl}\\vec{F}=\\nabla\\times\\vec{F} curlF=∇×F也可以理解为外微分把“沿曲线测量环量的一形式”变成了“穿过曲面测量环量密度的二形式”。\n对于通量二形式\nη=Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy \\eta=P\\mathrm{d}y\\wedge\\mathrm{d}z +Q\\mathrm{d}z\\wedge\\mathrm{d}x +R\\mathrm{d}x\\wedge\\mathrm{d}y η=Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy外微分为\ndη=(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dx∧dy∧dz \\mathrm{d}\\eta =\\left(\\frac{\\partial P}{\\partial x}+\\frac{\\partial Q}{\\partial y}+\\frac{\\partial R}{\\partial z}\\right) \\mathrm{d}x\\wedge\\mathrm{d}y\\wedge\\mathrm{d}z dη=(∂x∂P​+∂y∂Q​+∂z∂R​)dx∧dy∧dz其中系数就是散度\ndiv⁡F⃗=∇⋅F⃗ \\operatorname{div}\\vec{F}=\\nabla\\cdot\\vec{F} divF=∇⋅F所以散度可以理解为通量二形式外微分之后得到的体积密度。它描述的是向量场在某个微小体积内产生净流出的强度。\n总结起来就是\n零形式→d一形式f↦df⟺grad⁡f=∇f \\begin{array}{ccl} \\text{零形式} \u0026amp; \\xrightarrow{\\mathrm{d}} \u0026amp; \\text{一形式} \\\\ f \u0026amp; \\mapsto \u0026amp; \\mathrm{d}f \\end{array} \\qquad \\Longleftrightarrow \\qquad \\operatorname{grad} f=\\nabla f 零形式f​d​↦​一形式df​⟺gradf=∇f一形式→d二形式F⃗⋅dr⃗↦(∇×F⃗)⋅N⃗dσ \\begin{array}{ccl} \\text{一形式} \u0026amp; \\xrightarrow{\\mathrm{d}} \u0026amp; \\text{二形式} \\\\ \\vec{F}\\cdot\\mathrm{d}\\vec{r} \u0026amp; \\mapsto \u0026amp; (\\nabla\\times\\vec{F})\\cdot\\vec{N}\\mathrm{d}\\sigma \\end{array} 一形式F⋅dr​d​↦​二形式(∇×F)⋅Ndσ​二形式→d三形式F⃗⋅N⃗dσ↦(∇⋅F⃗)dV \\begin{array}{ccl} \\text{二形式} \u0026amp; \\xrightarrow{\\mathrm{d}} \u0026amp; \\text{三形式} \\\\ \\vec{F}\\cdot\\vec{N}\\mathrm{d}\\sigma \u0026amp; \\mapsto \u0026amp; (\\nabla\\cdot\\vec{F})\\mathrm{d}V \\end{array} 二形式F⋅Ndσ​d​↦​三形式(∇⋅F)dV​外微分还有一个重要性质\nd2=0 \\mathrm{d}^2=0 d2=0也就是说，对任意微分形式连续做两次外微分，结果都为零。翻译成向量分析语言，就是两个常见恒等式\n∇×(∇f)=0⃗ \\nabla\\times(\\nabla f)=\\vec{0} ∇×(∇f)=0以及\n∇⋅(∇×F⃗)=0 \\nabla\\cdot(\\nabla\\times\\vec{F})=0 ∇⋅(∇×F)=0这说明“梯度场无旋”和“旋度场无散”并不是两个孤立的公式，而是同一个代数事实 d2=0\\mathrm{d}^2=0d2=0 的不同表现。\n第二类积分：对微分形式积分 第二类积分是对微分形式积分，而微分形式作用于方向相关的对象。因此，第二类积分是方向相关的。\n对于沿流形积分，方向就是所选单位切向量的方向；对于过流形积分，方向就是所选单位法向量的方向。\n第二类曲线积分 第二类曲线积分可以分为两种常见情形：一种是沿曲线方向的积分，另一种是穿过曲线方向的积分。\n沿曲线积分 设平面向量场为\nF⃗(x,y)=P(x,y)i⃗+Q(x,y)j⃗ \\vec{F}(x,y)=P(x,y)\\vec{i}+Q(x,y)\\vec{j} F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j​曲线 CCC 的单位切向量为 T⃗\\vec{T}T。沿曲线方向的第二类曲线积分定义为\nI=∫CF⃗⋅T⃗ds I=\\int_C \\vec{F}\\cdot\\vec{T}\\mathrm{d}s I=∫C​F⋅Tds因为\nT⃗ds=dr⃗=dxi⃗+dyj⃗ \\vec{T}\\mathrm{d}s=\\mathrm{d}\\vec{r}=\\mathrm{d}x\\vec{i}+\\mathrm{d}y\\vec{j} Tds=dr=dxi+dyj​所以该积分可以写成\nI=∫CPdx+Qdy I=\\int_C P\\mathrm{d}x+Q\\mathrm{d}y I=∫C​Pdx+Qdy若曲线参数化为\nr⃗(t)=x(t)i⃗+y(t)j⃗,t∈[a,b] \\vec{r}(t)=x(t)\\vec{i}+y(t)\\vec{j},\\qquad t\\in[a,b] r(t)=x(t)i+y(t)j​,t∈[a,b]则\nI=∫ab(P(x(t),y(t))x′(t)+Q(x(t),y(t))y′(t))dt I=\\int_a^b \\left(P(x(t),y(t))x\u0026#x27;(t)+Q(x(t),y(t))y\u0026#x27;(t)\\right)\\mathrm{d}t I=∫ab​(P(x(t),y(t))x′(t)+Q(x(t),y(t))y′(t))dt如果 CCC 是闭合曲线，则该积分称为环量\nCirc⁡C(F⃗)=∮CF⃗⋅T⃗ds=∮CPdx+Qdy \\operatorname{Circ}_C(\\vec{F}) =\\oint_C \\vec{F}\\cdot\\vec{T}\\mathrm{d}s =\\oint_C P\\mathrm{d}x+Q\\mathrm{d}y CircC​(F)=∮C​F⋅Tds=∮C​Pdx+Qdy环量描述的是向量场沿闭合曲线整体“绕行”的强度。\n过曲线积分 在平面中，曲线还可以把区域分成两侧。因此除了沿曲线方向测量向量场，也可以测量向量场穿过曲线的强度。\n设曲线 CCC 的单位右法向量为\nN⃗right=(Ty,−Tx)T \\vec{N}_{\\mathrm{right}}=(T_y,-T_x)^T Nright​=(Ty​,−Tx​)T则过曲线的第二类曲线积分定义为\nI=∫CF⃗⋅N⃗rightds I=\\int_C \\vec{F}\\cdot\\vec{N}_{\\mathrm{right}}\\mathrm{d}s I=∫C​F⋅Nright​ds因为\nT⃗ds=(dx,dy)T \\vec{T}\\mathrm{d}s=(\\mathrm{d}x,\\mathrm{d}y)^T Tds=(dx,dy)T所以\nN⃗rightds=(dy,−dx)T \\vec{N}_{\\mathrm{right}}\\mathrm{d}s=(\\mathrm{d}y,-\\mathrm{d}x)^T Nright​ds=(dy,−dx)T从而\nF⃗⋅N⃗rightds=Pdy−Qdx \\vec{F}\\cdot\\vec{N}_{\\mathrm{right}}\\mathrm{d}s = P\\mathrm{d}y-Q\\mathrm{d}x F⋅Nright​ds=Pdy−Qdx因此过曲线积分可以写为\nI=∫CPdy−Qdx I=\\int_C P\\mathrm{d}y-Q\\mathrm{d}x I=∫C​Pdy−Qdx若 CCC 是闭合曲线，则该积分称为通量\nFlux⁡C(F⃗)=∮CF⃗⋅N⃗rightds=∮CPdy−Qdx \\operatorname{Flux}_C(\\vec{F}) =\\oint_C \\vec{F}\\cdot\\vec{N}_{\\mathrm{right}}\\mathrm{d}s =\\oint_C P\\mathrm{d}y-Q\\mathrm{d}x FluxC​(F)=∮C​F⋅Nright​ds=∮C​Pdy−Qdx当 CCC 取逆时针方向时，区域位于行进方向左侧，此时右法向量指向区域外部。因此在闭合曲线上，通常用逆时针方向配合右法向量来表示向外通量。\n格林定理 设 RRR 是平面区域，边界为 C=∂RC=\\partial RC=∂R，并取逆时针方向作为 CCC 的正方向。\n对于沿曲线积分，格林定理说\n∮CPdx+Qdy=∬R(∂Q∂x−∂P∂y)dA \\oint_C P\\mathrm{d}x+Q\\mathrm{d}y =\\iint_R \\left(\\frac{\\partial Q}{\\partial x}-\\frac{\\partial P}{\\partial y}\\right)\\mathrm{d}A ∮C​Pdx+Qdy=∬R​(∂x∂Q​−∂y∂P​)dA也就是\n∮CF⃗⋅T⃗ds=∬R(∇×F⃗)⋅k⃗dA \\oint_C \\vec{F}\\cdot\\vec{T}\\mathrm{d}s =\\iint_R (\\nabla\\times\\vec{F})\\cdot\\vec{k}\\mathrm{d}A ∮C​F⋅Tds=∬R​(∇×F)⋅kdA左边是边界上的总环量，右边是区域内部环量密度的累加。\n对于过曲线积分，格林定理也可以写成\n∮CPdy−Qdx=∬R(∂P∂x+∂Q∂y)dA \\oint_C P\\mathrm{d}y-Q\\mathrm{d}x =\\iint_R \\left(\\frac{\\partial P}{\\partial x}+\\frac{\\partial Q}{\\partial y}\\right)\\mathrm{d}A ∮C​Pdy−Qdx=∬R​(∂x∂P​+∂y∂Q​)dA也就是\n∮CF⃗⋅N⃗rightds=∬R∇⋅F⃗dA \\oint_C \\vec{F}\\cdot\\vec{N}_{\\mathrm{right}}\\mathrm{d}s =\\iint_R \\nabla\\cdot\\vec{F}\\mathrm{d}A ∮C​F⋅Nright​ds=∬R​∇⋅FdA左边是边界上的总通量，右边是区域内部通量密度的累加。\n这两个公式表面上看是两个不同版本的格林定理，但用微分形式看，它们其实都是\n∫∂Rω=∬Rdω \\int_{\\partial R}\\omega = \\iint_R \\mathrm{d}\\omega ∫∂R​ω=∬R​dω其中沿曲线积分取\nω=Pdx+Qdy \\omega=P\\mathrm{d}x+Q\\mathrm{d}y ω=Pdx+Qdy过曲线积分取\nω=Pdy−Qdx \\omega=P\\mathrm{d}y-Q\\mathrm{d}x ω=Pdy−Qdx保守场 沿曲线积分有一个特殊情形：如果向量场可以写成某个标量函数的梯度\nF⃗=∇f \\vec{F}=\\nabla f F=∇f则称 F⃗\\vec{F}F 为保守场，fff 称为势函数。\n在微分形式语言中，这意味着\nPdx+Qdy=df P\\mathrm{d}x+Q\\mathrm{d}y=\\mathrm{d}f Pdx+Qdy=df于是沿任意曲线 CCC 从点 AAA 到点 BBB 的积分为\n∫CF⃗⋅T⃗ds=∫Cdf=f(B)−f(A) \\int_C \\vec{F}\\cdot\\vec{T}\\mathrm{d}s =\\int_C \\mathrm{d}f = f(B)-f(A) ∫C​F⋅Tds=∫C​df=f(B)−f(A)这就是沿曲线积分的基本定理。它说明在保守场中，沿曲线积分只与起点和终点有关，与路径无关。\n如果 CCC 是闭合曲线，那么起点和终点相同，所以\n∮CF⃗⋅T⃗ds=0 \\oint_C \\vec{F}\\cdot\\vec{T}\\mathrm{d}s=0 ∮C​F⋅Tds=0此外，由于\nd2f=0 \\mathrm{d}^2f=0 d2f=0所以保守场必然无旋\n∇×F⃗=0⃗ \\nabla\\times\\vec{F}=\\vec{0} ∇×F=0反过来，如果定义域没有洞，比如是单连通区域，那么无旋也可以推出保守。于是保守场的常见判别可以概括为\nF⃗=∇f⟺∫ABF⃗⋅T⃗ds 与路径无关⟺∮CF⃗⋅T⃗ds=0⟺∇×F⃗=0⃗ \\vec{F}=\\nabla f \\quad\\Longleftrightarrow\\quad \\int_A^B \\vec{F}\\cdot\\vec{T}\\mathrm{d}s \\text{ 与路径无关} \\quad\\Longleftrightarrow\\quad \\oint_C \\vec{F}\\cdot\\vec{T}\\mathrm{d}s=0 \\quad\\Longleftrightarrow\\quad \\nabla\\times\\vec{F}=\\vec{0} F=∇f⟺∫AB​F⋅Tds 与路径无关⟺∮C​F⋅Tds=0⟺∇×F=0这里最后一个等价关系需要区域单连通；若区域有洞，无旋场未必一定存在全局势函数。\n第二类曲面积分 曲面积分中最常见的第二类积分是通量积分。\n设三维向量场为\nF⃗(x,y,z)=Pi⃗+Qj⃗+Rk⃗ \\vec{F}(x,y,z)=P\\vec{i}+Q\\vec{j}+R\\vec{k} F(x,y,z)=Pi+Qj​+Rk曲面 SSS 选定单位法向量 N⃗\\vec{N}N 后，过曲面的第二类曲面积分定义为\nI=∬SF⃗⋅N⃗dσ I=\\iint_S \\vec{F}\\cdot\\vec{N}\\mathrm{d}\\sigma I=∬S​F⋅Ndσ它表示向量场穿过曲面 SSS 的总通量。\n若曲面参数化为\nr⃗(u,v)=x(u,v)i⃗+y(u,v)j⃗+z(u,v)k⃗(u,v)∈D \\vec{r}(u,v)=x(u,v)\\vec{i}+y(u,v)\\vec{j}+z(u,v)\\vec{k} \\qquad (u,v)\\in D r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j​+z(u,v)k(u,v)∈D并且取\nN⃗dσ=∂r⃗∂u×∂r⃗∂vdudv \\vec{N}\\mathrm{d}\\sigma =\\frac{\\partial\\vec{r}}{\\partial u}\\times\\frac{\\partial\\vec{r}}{\\partial v}\\mathrm{d}u\\mathrm{d}v Ndσ=∂u∂r​×∂v∂r​dudv则通量积分可以拉回到参数区域 DDD 上\n∬SF⃗⋅N⃗dσ=∬DF⃗(r⃗(u,v))⋅(∂r⃗∂u×∂r⃗∂v)dudv \\iint_S \\vec{F}\\cdot\\vec{N}\\mathrm{d}\\sigma =\\iint_D \\vec{F}(\\vec{r}(u,v))\\cdot \\left(\\frac{\\partial\\vec{r}}{\\partial u}\\times\\frac{\\partial\\vec{r}}{\\partial v}\\right) \\mathrm{d}u\\mathrm{d}v ∬S​F⋅Ndσ=∬D​F(r(u,v))⋅(∂u∂r​×∂v∂r​)dudv也可以用二形式表示为\n∬SF⃗⋅N⃗dσ=∬SPdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy \\iint_S \\vec{F}\\cdot\\vec{N}\\mathrm{d}\\sigma =\\iint_S P\\mathrm{d}y\\wedge\\mathrm{d}z +Q\\mathrm{d}z\\wedge\\mathrm{d}x +R\\mathrm{d}x\\wedge\\mathrm{d}y ∬S​F⋅Ndσ=∬S​Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy若 SSS 是闭合曲面，则该积分称为闭合曲面的通量\nFlux⁡S(F⃗)=∯SF⃗⋅N⃗dσ \\operatorname{Flux}_S(\\vec{F}) =\\oiint_S \\vec{F}\\cdot\\vec{N}\\mathrm{d}\\sigma FluxS​(F)=∬​S​F⋅Ndσ闭合曲面通常取外法向量作为正方向。\n斯托克斯定理 格林定理讨论的是平面区域与其边界之间的关系。斯托克斯定理则将它推广到空间曲面。\n设 SSS 是带边界的有向曲面，边界为\nC=∂S C=\\partial S C=∂S若 SSS 的单位法向量为 N⃗\\vec{N}N，则边界 CCC 的正方向由右手法则决定：右手拇指指向 N⃗\\vec{N}N，四指弯曲的方向就是 CCC 的正方向。\n斯托克斯定理说\n∮CF⃗⋅T⃗ds=∬S(∇×F⃗)⋅N⃗dσ \\oint_C \\vec{F}\\cdot\\vec{T}\\mathrm{d}s =\\iint_S (\\nabla\\times\\vec{F})\\cdot\\vec{N}\\mathrm{d}\\sigma ∮C​F⋅Tds=∬S​(∇×F)⋅Ndσ左边是曲面边界上的总环量，右边是曲面内部旋度通量的累加。\n在微分形式语言中，若\nω=Pdx+Qdy+Rdz \\omega=P\\mathrm{d}x+Q\\mathrm{d}y+R\\mathrm{d}z ω=Pdx+Qdy+Rdz则\ndω=(∇×F⃗)⋅N⃗dσ \\mathrm{d}\\omega = (\\nabla\\times\\vec{F})\\cdot\\vec{N}\\mathrm{d}\\sigma dω=(∇×F)⋅Ndσ所以斯托克斯定理可以写成\n∫∂Sω=∬Sdω \\int_{\\partial S}\\omega=\\iint_S \\mathrm{d}\\omega ∫∂S​ω=∬S​dω当 SSS 恰好是 xyxyxy 平面中的区域时，N⃗=k⃗\\vec{N}=\\vec{k}N=k，斯托克斯定理就退化为格林定理的环量形式。\n高斯定理 高斯定理讨论的是三维区域和其边界曲面之间的关系。\n设 DDD 是三维空间中的有界区域，边界为\nS=∂D S=\\partial D S=∂D并取 SSS 的外法向量为正方向。对于向量场\nF⃗=Pi⃗+Qj⃗+Rk⃗ \\vec{F}=P\\vec{i}+Q\\vec{j}+R\\vec{k} F=Pi+Qj​+Rk高斯定理说\n∯SF⃗⋅N⃗dσ=∭D∇⋅F⃗dV \\oiint_S \\vec{F}\\cdot\\vec{N}\\mathrm{d}\\sigma =\\iiint_D \\nabla\\cdot\\vec{F}\\mathrm{d}V ∬​S​F⋅Ndσ=∭D​∇⋅FdV左边是闭合曲面上的总通量，右边是区域内部散度的累加。\n从物理直觉看，散度表示单位体积内净流出的强度。于是对整个区域积分后，就得到了穿过边界曲面的总净流出量。\n用微分形式表示，通量二形式为\nη=Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy \\eta=P\\mathrm{d}y\\wedge\\mathrm{d}z +Q\\mathrm{d}z\\wedge\\mathrm{d}x +R\\mathrm{d}x\\wedge\\mathrm{d}y η=Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy其外微分为\ndη=(∇⋅F⃗)dx∧dy∧dz \\mathrm{d}\\eta=(\\nabla\\cdot\\vec{F})\\mathrm{d}x\\wedge\\mathrm{d}y\\wedge\\mathrm{d}z dη=(∇⋅F)dx∧dy∧dz因此高斯定理可以写成\n∫∂Dη=∭Ddη \\int_{\\partial D}\\eta=\\iiint_D \\mathrm{d}\\eta ∫∂D​η=∭D​dη广义斯托克斯公式 格林定理、斯托克斯定理和高斯定理看起来分别对应平面区域、空间曲面和空间区域，但它们的结构完全一致：边界上的积分等于内部外微分的积分。\n这就是广义斯托克斯公式\n∫∂Mω=∫Mdω \\int_{\\partial M}\\omega=\\int_M \\mathrm{d}\\omega ∫∂M​ω=∫M​dω其中 MMM 是有向流形，∂M\\partial M∂M 是它的边界，ω\\omegaω 是定义在边界上可积分的微分形式。\n不同维度下，它对应不同的经典定理：\nMωdω对应定理区间fdf微积分基本定理平面区域Pdx+Qdy(Qx−Py)dx∧dy格林定理空间曲面Pdx+Qdy+Rdzcurl⁡F⃗ 对应的二形式斯托克斯定理空间区域Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy(∇⋅F⃗)dV高斯定理 \\begin{array}{c|c|c|c} M \u0026amp; \\omega \u0026amp; \\mathrm{d}\\omega \u0026amp; \\text{对应定理} \\\\ \\hline \\text{区间} \u0026amp; f \u0026amp; \\mathrm{d}f \u0026amp; \\text{微积分基本定理} \\\\ \\text{平面区域} \u0026amp; P\\mathrm{d}x+Q\\mathrm{d}y \u0026amp; \\left(Q_x-P_y\\right)\\mathrm{d}x\\wedge\\mathrm{d}y \u0026amp; \\text{格林定理} \\\\ \\text{空间曲面} \u0026amp; P\\mathrm{d}x+Q\\mathrm{d}y+R\\mathrm{d}z \u0026amp; \\operatorname{curl}\\vec{F}\\text{ 对应的二形式} \u0026amp; \\text{斯托克斯定理} \\\\ \\text{空间区域} \u0026amp; P\\mathrm{d}y\\wedge\\mathrm{d}z+Q\\mathrm{d}z\\wedge\\mathrm{d}x+R\\mathrm{d}x\\wedge\\mathrm{d}y \u0026amp; (\\nabla\\cdot\\vec{F})\\mathrm{d}V \u0026amp; \\text{高斯定理} \\end{array} M区间平面区域空间曲面空间区域​ωfPdx+QdyPdx+Qdy+RdzPdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy​dωdf(Qx​−Py​)dx∧dycurlF 对应的二形式(∇⋅F)dV​对应定理微积分基本定理格林定理斯托克斯定理高斯定理​​这样看，向量分析中的三个积分定理并不是互不相关的技巧，而是同一个定理在不同维度、不同微分形式上的表现。\n回到本文开头的观点：曲线和曲面都是嵌入欧氏空间的流形。第一类积分是在这些流形上对测度积分，第二类积分是在这些流形上对微分形式积分。而微分形式的外微分，则把边界上的积分和内部的密度积分联系起来。\n","permalink":"https://juemuren.github.io/blog/posts/math/%E6%B5%81%E5%BD%A2%E4%B8%8A%E7%9A%84%E7%A7%AF%E5%88%86/","summary":"用流形理论重新解释平面曲线和空间曲面上的积分，并推导广义斯托克斯公式。","title":"流形上的积分：平面曲线和空间曲面"},{"content":"本文将从线性代数的角度，将单变量函数 R→R\\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}R→R 的微分扩展到多变量函数 Rn→R\\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{R}Rn→R 上。用到的数学工具只有向量和矩阵。\n多元函数的微分 一阶导数：梯度向量 设 f:Rn→Rf: \\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{R}f:Rn→R，我们可以对自变量 x=(x1,x2,⋯ ,xn)T\\mathbf{x}=(x_1, x_2, \\cdots, x_n)^Tx=(x1​,x2​,⋯,xn​)T 的每个分量分别求导数\n∂f∂xi=lim⁡h→0f(x1,⋯ ,xi+h,⋯ ,xn)−f(x1,⋯ ,xi,⋯ ,xn)h \\frac{\\partial f}{\\partial x_i} = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x_1,\\cdots,x_i+h,\\cdots,x_n) - f(x_1,\\cdots,x_i,\\cdots,x_n)}{h} ∂xi​∂f​=h→0lim​hf(x1​,⋯,xi​+h,⋯,xn​)−f(x1​,⋯,xi​,⋯,xn​)​这就是 fff 的偏导数。但偏导数固定其余分量，只变化第 iii 个分量，因此只能表示对特定方向的变化率。\n若想表示对任意方向的变化率，则我们需要一种来自线性代数的方法——先把原向量分解到每个分量上，然后计算各分量方向上的变化量，最后求和得到总的变化量。若 fff 在 x0\\mathbf{x}_0x0​ 处可微，则在 x0\\mathbf{x}_0x0​ 处 fff 有局部的线性性，因此这种分解是成立的。\n对于单位向量 u∈Rn\\mathbf{u} \\in \\mathbb{R}^nu∈Rn，其坐标已经完成了分解\nu=[u1u2⋮un] \\mathbf{u} = \\begin{bmatrix} u_1 \\\\ u_2 \\\\ \\vdots \\\\ u_n \\end{bmatrix} u=​u1​u2​⋮un​​​从而函数在该方向的变化率，即方向导数为\nDuf(x)=∂f∂x1u1+∂f∂x2u2+⋯+∂f∂xnun=∑i=1n∂f∂xiui D_{\\mathbf{u}} f(\\mathbf{x}) = \\frac{\\partial f}{\\partial x_1} u_1 + \\frac{\\partial f}{\\partial x_2} u_2 + \\cdots + \\frac{\\partial f}{\\partial x_n} u_n = \\sum_{i=1}^n \\frac{\\partial f}{\\partial x_i} u_i Du​f(x)=∂x1​∂f​u1​+∂x2​∂f​u2​+⋯+∂xn​∂f​un​=i=1∑n​∂xi​∂f​ui​写成向量形式\nDuf(x)=[∂f∂x1∂f∂x2⋯∂f∂xn]u D_{\\mathbf{u}} f(\\mathbf{x}) = \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial f}{\\partial x_1} \u0026amp; \\frac{\\partial f}{\\partial x_2} \u0026amp; \\cdots \u0026amp; \\frac{\\partial f}{\\partial x_n} \\end{bmatrix} \\mathbf{u} Du​f(x)=[∂x1​∂f​​∂x2​∂f​​⋯​∂xn​∂f​​]u该行向量的转置就是梯度向量——由各一阶偏导数组成的列向量\n∇f(x)=[∂f∂x1∂f∂x2⋮∂f∂xn] \\nabla f(\\mathbf{x}) = \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial f}{\\partial x_1} \\\\ \\frac{\\partial f}{\\partial x_2} \\\\ \\vdots \\\\ \\frac{\\partial f}{\\partial x_n} \\end{bmatrix} ∇f(x)=​∂x1​∂f​∂x2​∂f​⋮∂xn​∂f​​​函数沿 dx=(dx1,dx2,⋯ ,dxn)T\\mathrm{d}\\mathbf{x} = (\\mathrm{d}x_1, \\mathrm{d}x_2, \\cdots, \\mathrm{d}x_n)^Tdx=(dx1​,dx2​,⋯,dxn​)T 的变化量为\ndf=∇f(x)⋅dx=∑i=1n∂f∂xidxi \\mathrm{d}f = \\nabla f(\\mathbf{x}) \\cdot \\mathrm{d}\\mathbf{x} = \\sum_{i=1}^n \\frac{\\partial f}{\\partial x_i} \\mathrm{d}x_i df=∇f(x)⋅dx=i=1∑n​∂xi​∂f​dxi​这就是全微分公式。\n二阶导数：海森矩阵 要继续求二阶导数，直接对梯度向量 ∇f\\nabla f∇f 的每个分量 ∂f∂xi\\frac{\\partial f}{\\partial x_i}∂xi​∂f​ 继续求全微分即可\nd(∂f∂xi)=∑j=1n∂∂xj(∂f∂xi)dxj=∑j=1n∂2f∂xj∂xidxj=[∂2f∂x1∂xi∂2f∂x2∂xi⋯∂2f∂xn∂xi][dx1dx2⋮dxn] \\begin{align*} \\mathrm{d} \\left( \\frac{\\partial f}{\\partial x_i} \\right) \u0026amp;= \\sum_{j=1}^n \\frac{\\partial}{\\partial x_j} \\left( \\frac{\\partial f}{\\partial x_i} \\right) \\mathrm{d}x_j \\\\ \u0026amp;= \\sum_{j=1}^n \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_j \\partial x_i} \\mathrm{d}x_j \\\\ \u0026amp;= \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_1 \\partial x_i} \u0026amp; \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_2 \\partial x_i} \u0026amp; \\cdots \u0026amp; \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_n \\partial x_i} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\mathrm{d}x_1 \\\\ \\mathrm{d}x_2 \\\\ \\vdots \\\\ \\mathrm{d}x_n \\end{bmatrix} \\end{align*} d(∂xi​∂f​)​=j=1∑n​∂xj​∂​(∂xi​∂f​)dxj​=j=1∑n​∂xj​∂xi​∂2f​dxj​=[∂x1​∂xi​∂2f​​∂x2​∂xi​∂2f​​⋯​∂xn​∂xi​∂2f​​]​dx1​dx2​⋮dxn​​​​写成完整的矩阵形式\nd[∂f∂x1∂f∂x2⋮∂f∂xn]=[∂2f∂x12∂2f∂x2∂x1⋯∂2f∂xn∂x1∂2f∂x1∂x2∂2f∂x22⋯∂2f∂xn∂x2⋮⋮⋱⋮∂2f∂x1∂xn∂2f∂x2∂xn⋯∂2f∂xn2][dx1dx2⋮dxn] \\mathrm{d}\\begin{bmatrix} \\frac{\\partial f}{\\partial x_1} \\\\ \\frac{\\partial f}{\\partial x_2} \\\\ \\vdots \\\\ \\frac{\\partial f}{\\partial x_n} \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_1^2} \u0026amp; \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_2 \\partial x_1} \u0026amp; \\cdots \u0026amp; \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_n \\partial x_1} \\\\ \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_1 \\partial x_2} \u0026amp; \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_2^2} \u0026amp; \\cdots \u0026amp; \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_n \\partial x_2} \\\\ \\vdots \u0026amp; \\vdots \u0026amp; \\ddots \u0026amp; \\vdots \\\\ \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_1 \\partial x_n} \u0026amp; \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_2 \\partial x_n} \u0026amp; \\cdots \u0026amp; \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_n^2} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\mathrm{d}x_1 \\\\ \\mathrm{d}x_2 \\\\ \\vdots \\\\ \\mathrm{d}x_n \\end{bmatrix} d​∂x1​∂f​∂x2​∂f​⋮∂xn​∂f​​​=​∂x12​∂2f​∂x1​∂x2​∂2f​⋮∂x1​∂xn​∂2f​​∂x2​∂x1​∂2f​∂x22​∂2f​⋮∂x2​∂xn​∂2f​​⋯⋯⋱⋯​∂xn​∂x1​∂2f​∂xn​∂x2​∂2f​⋮∂xn2​∂2f​​​​dx1​dx2​⋮dxn​​​该矩阵的转置就是海森矩阵\nHf(x)=[∂2f∂x12∂2f∂x1∂x2⋯∂2f∂x1∂xn∂2f∂x2∂x1∂2f∂x22⋯∂2f∂x2∂xn⋮⋮⋱⋮∂2f∂xn∂x1∂2f∂xn∂x2⋯∂2f∂xn2] \\mathbf{H}_f(\\mathbf{x}) = \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_1^2} \u0026amp; \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_1 \\partial x_2} \u0026amp; \\cdots \u0026amp; \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_1 \\partial x_n} \\\\ \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_2 \\partial x_1} \u0026amp; \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_2^2} \u0026amp; \\cdots \u0026amp; \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_2 \\partial x_n} \\\\ \\vdots \u0026amp; \\vdots \u0026amp; \\ddots \u0026amp; \\vdots \\\\ \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_n \\partial x_1} \u0026amp; \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_n \\partial x_2} \u0026amp; \\cdots \u0026amp; \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_n^2} \\end{bmatrix} Hf​(x)=​∂x12​∂2f​∂x2​∂x1​∂2f​⋮∂xn​∂x1​∂2f​​∂x1​∂x2​∂2f​∂x22​∂2f​⋮∂xn​∂x2​∂2f​​⋯⋯⋱⋯​∂x1​∂xn​∂2f​∂x2​∂xn​∂2f​⋮∂xn2​∂2f​​​引入海森矩阵后，上述结果可优美地表示为\nd(∇f)=HfTdx \\mathrm{d}(\\nabla f) = \\mathbf{H}_f^{T} \\mathrm{d}\\mathbf{x} d(∇f)=HfT​dx现计算沿 dx=(dx1,dx2,⋯ ,dxn)T\\mathrm{d}\\mathbf{x} = (\\mathrm{d}x_1, \\mathrm{d}x_2, \\cdots, \\mathrm{d}x_n)^Tdx=(dx1​,dx2​,⋯,dxn​)T 的二阶变化量。我们已经得到了梯度向量的变化量 d(∇f)\\mathrm{d} \\left(\\nabla f\\right)d(∇f)，接着计算点积即可\nd2f=d(∇f)⋅dx=(HfTdx)Tdx=dxTHfdx \\begin{align*} \\mathrm{d}^2 f \u0026amp;= \\mathrm{d} \\left(\\nabla f\\right) \\cdot \\mathrm{d}\\mathbf{x} \\\\ \u0026amp;= \\left( \\mathbf{H}_f^T \\mathrm{d}\\mathbf{x} \\right)^T \\mathrm{d}\\mathbf{x} \\\\ \u0026amp;= \\mathrm{d}\\mathbf{x}^T \\mathbf{H}_f \\mathrm{d}\\mathbf{x} \\end{align*} d2f​=d(∇f)⋅dx=(HfT​dx)Tdx=dxTHf​dx​这是一个标准的二次型。后文会尝试将其分解，以讨论更多的几何与代数含义。\n当然，海森矩阵存在的前提是 fff 具有二阶可微性。同时，若 fff 的所有二阶偏导数连续，即 f∈C2f \\in C^2f∈C2，则混合偏导数与求导顺序无关\n∂2f∂xi∂xj=∂2f∂xj∂xi \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_i \\partial x_j} = \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_j \\partial x_i} ∂xi​∂xj​∂2f​=∂xj​∂xi​∂2f​从而海森矩阵是对称矩阵，即 HfT=Hf\\mathbf{H}_f^T = \\mathbf{H}_fHfT​=Hf​。\n高阶导数：张量与微分算子 那么，多元函数的任意阶导数怎么求呢？先回顾一下 Rn→R\\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{R}Rn→R 函数的一阶和二阶导数，它们的求导方式其实可以用微分算子进行统一表示。\n定义微分算子\n∇=[∂1∂2⋮∂n] \\nabla = \\begin{bmatrix} \\partial_1 \\\\ \\partial_2 \\\\ \\vdots \\\\ \\partial_n \\end{bmatrix} ∇=​∂1​∂2​⋮∂n​​​其中 ∂i=∂∂xi\\partial_i = \\frac{\\partial}{\\partial x_i}∂i​=∂xi​∂​ 是对偏导数算子的简写。\n一阶导数可以表示为该算子与函数的张量积。此时可以将张量积理解为线性代数中的外积\nD1f=∇⊗f=∇(fT)=∇f \\mathcal{D}^1 f = \\nabla \\otimes f = \\nabla (f^T) = \\nabla f D1f=∇⊗f=∇(fT)=∇f算子是 nnn 维向量，和标量 fff 求张量积，得到 nnn 维向量，即\n∇f=[∂1∂2⋮∂n]f=[∂1f∂2f⋮∂nf] \\nabla f = \\begin{bmatrix} \\partial_1 \\\\ \\partial_2 \\\\ \\vdots \\\\ \\partial_n \\end{bmatrix} f = \\begin{bmatrix} \\partial_1 f\\\\ \\partial_2 f\\\\ \\vdots \\\\ \\partial_n f \\end{bmatrix} ∇f=​∂1​∂2​⋮∂n​​​f=​∂1​f∂2​f⋮∂n​f​​这就是梯度向量。继续把微分算子和一阶导数进行张量积，就得到了二阶导数\nD2f=∇⊗(D1f)=∇(∇f)T=∇∇Tf \\mathcal{D}^2 f = \\nabla \\otimes (\\mathcal{D}^1 f) = \\nabla (\\nabla f)^T = \\nabla \\nabla^T f D2f=∇⊗(D1f)=∇(∇f)T=∇∇Tf算子仍然是 nnn 维向量，和 nnn 维向量 ∇f\\nabla f∇f 求张量积，得到 n×nn \\times nn×n 维矩阵，即\n∇∇Tf=[∂1∂2⋮∂n][∂1∂2⋯∂n]f=[∂1∂1f∂1∂2f⋯∂1∂nf∂2∂1f∂2∂2f⋯∂2∂nf⋮⋮⋱⋮∂n∂1f∂n∂2f⋯∂n∂nf] \\begin{align*} \\nabla \\nabla^T f \u0026amp;= \\begin{bmatrix} \\partial_1 \\\\ \\partial_2 \\\\ \\vdots \\\\ \\partial_n \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\partial_1 \u0026amp; \\partial_2 \u0026amp; \\cdots \u0026amp; \\partial_n \\end{bmatrix} f \\\\ \u0026amp;= \\begin{bmatrix} \\partial_1\\partial_1 f \u0026amp; \\partial_1\\partial_2 f \u0026amp; \\cdots \u0026amp; \\partial_1\\partial_n f \\\\ \\partial_2\\partial_1 f \u0026amp; \\partial_2\\partial_2 f \u0026amp; \\cdots \u0026amp; \\partial_2\\partial_n f \\\\ \\vdots \u0026amp; \\vdots \u0026amp; \\ddots \u0026amp; \\vdots \\\\ \\partial_n\\partial_1 f \u0026amp; \\partial_n\\partial_2 f \u0026amp; \\cdots \u0026amp; \\partial_n\\partial_n f \\end{bmatrix} \\end{align*} ∇∇Tf​=​∂1​∂2​⋮∂n​​​[∂1​​∂2​​⋯​∂n​​]f=​∂1​∂1​f∂2​∂1​f⋮∂n​∂1​f​∂1​∂2​f∂2​∂2​f⋮∂n​∂2​f​⋯⋯⋱⋯​∂1​∂n​f∂2​∂n​f⋮∂n​∂n​f​​​这就是海森矩阵。\n推广到三阶导数时，线性代数的外积无法表示张量积了。因此我们必须得定义张量积\n一个 MMM 阶张量 A\\mathcal{A}A，维度为 I1×I2×⋯×IMI_1 \\times I_2 \\times \\dots \\times I_MI1​×I2​×⋯×IM​，另一个 NNN 阶张量 B\\mathcal{B}B，维度为 J1×J2×⋯×JNJ_1 \\times J_2 \\times \\dots \\times J_NJ1​×J2​×⋯×JN​，则它们的张量积 C=A⊗B\\mathcal{C} = \\mathcal{A} \\otimes \\mathcal{B}C=A⊗B 定义为\n[A⊗B]i1…iMj1…jN=Ai1…iMBj1…jN[\\mathcal{A} \\otimes \\mathcal{B}]_{i_1 \\dots i_M j_1 \\dots j_N} = \\mathcal{A}_{i_1 \\dots i_M} \\mathcal{B}_{j_1 \\dots j_N}[A⊗B]i1​…iM​j1​…jN​​=Ai1​…iM​​Bj1​…jN​​ 其阶数相加为 M+NM + NM+N，维度拼接为 I1×⋯×IM×J1×⋯×JNI_1 \\times \\dots \\times I_M \\times J_1 \\times \\dots \\times J_NI1​×⋯×IM​×J1​×⋯×JN​，而任意位置 (i1…iMj1…jN)(i_1 \\dots i_M j_1 \\dots j_N)(i1​…iM​j1​…jN​) 的元素，就等于原来两个张量在 (i1…iM)(i_1 \\dots i_M)(i1​…iM​) 和 (j1…jN)(j_1 \\dots j_N)(j1​…jN​) 处元素的乘积。张量积可以看作矩阵（二阶张量）乘法的推广。\n由此得到三阶导数的定义\nD3f=∇⊗(D2f) \\mathcal{D}^3 f = \\nabla \\otimes (\\mathcal{D}^2 f) D3f=∇⊗(D2f)D3f\\mathcal{D}^3 fD3f 是三阶张量，由一阶张量 ∇\\nabla∇ 和二阶张量 D2f\\mathcal{D}^2 fD2f 进行向量积得到。\n可以进行递归定义\nDkf=∇⊗(Dk−1f) \\mathcal{D}^k f = \\nabla \\otimes (\\mathcal{D}^{k-1} f) Dkf=∇⊗(Dk−1f)如果不断展开，就可以得到\nDkf=∇⊗(Dk−1f)=∇⊗∇⊗(Dk−2f)⋯=∇⊗∇⊗⋯⊗∇f=∇⊗kf \\begin{align*} \\mathcal{D}^k f \u0026amp;= \\nabla \\otimes (\\mathcal{D}^{k-1} f) \\\\ \u0026amp;= \\nabla \\otimes \\nabla \\otimes (\\mathcal{D}^{k-2} f) \\\\ \u0026amp;\\cdots \\\\ \u0026amp;= \\nabla \\otimes \\nabla \\otimes \\cdots \\otimes \\nabla f \\\\ \u0026amp;= \\nabla^{\\otimes k} f \\end{align*} Dkf​=∇⊗(Dk−1f)=∇⊗∇⊗(Dk−2f)⋯=∇⊗∇⊗⋯⊗∇f=∇⊗kf​其中 ∇⊗k\\nabla^{\\otimes k}∇⊗k 表示 ∇\\nabla∇ 与自己进行张量积 kkk 次。\n不过实际分析时，一般最多用到二阶导数，毕竟张量表示起来还是太麻烦了。\n多元函数微分的应用 代数应用：极值判别 由于一阶变化量和二阶变化量都已经得到，我们可以进一步对多元函数进行泰勒展开\nf(x0+h)=f(x0)+∇f(x0)Th+12hTHf(x0)h+o(∥h∥2) f(\\mathbf{x}_0+\\mathbf{h}) = f(\\mathbf{x}_0) + \\nabla f(\\mathbf{x}_0)^T \\mathbf{h} + \\frac{1}{2} \\mathbf{h}^T \\mathbf{H}_f(\\mathbf{x}_0) \\mathbf{h} + o(\\|\\mathbf{h}\\|^2) f(x0​+h)=f(x0​)+∇f(x0​)Th+21​hTHf​(x0​)h+o(∥h∥2)忽略掉高次项后，函数 fff 在 x0\\mathbf{x}_0x0​ 附近的性质完全由线性项和二次项主导。\n如果 x0\\mathbf{x}_0x0​ 是驻点，即 ∇f(x0)=0\\nabla f(\\mathbf{x}_0)=\\mathbf{0}∇f(x0​)=0，那么上式可被简化为\nf(x0+h)−f(x0)=12hTHf(x0)h+o(∥h∥2) f(\\mathbf{x}_0+\\mathbf{h}) - f(\\mathbf{x}_0) = \\frac{1}{2} \\mathbf{h}^T \\mathbf{H}_f(\\mathbf{x}_0) \\mathbf{h} + o(\\|\\mathbf{h}\\|^2) f(x0​+h)−f(x0​)=21​hTHf​(x0​)h+o(∥h∥2)此时增量 Δf=f(x0+h)−f(x0)\\Delta f = f(\\mathbf{x}_0+\\mathbf{h}) - f(\\mathbf{x}_0)Δf=f(x0​+h)−f(x0​) 的符号由二次型 Q(h)=hTHf(x0)h\\mathcal{Q}(\\mathbf{h}) =\\mathbf{h}^T \\mathbf{H}_f(\\mathbf{x}_0) \\mathbf{h}Q(h)=hTHf​(x0​)h 决定。\n令 A=Hf(x0)\\mathbf{A} = \\mathbf{H}_f(\\mathbf{x}_0)A=Hf​(x0​)。当 A\\mathbf{A}A 是实对称矩阵时，可以正交对角化为\nA=QΛQT \\mathbf{A} = \\mathbf{Q} \\boldsymbol{\\Lambda} \\mathbf{Q}^T A=QΛQT其中\nQ=[q1q2⋯qn] \\mathbf{Q} = \\begin{bmatrix} \\mathbf{q}_1 \u0026amp; \\mathbf{q}_2 \u0026amp; \\cdots \u0026amp; \\mathbf{q}_n \\end{bmatrix} Q=[q1​​q2​​⋯​qn​​]是正交矩阵。每列 qi\\mathbf{q}_iqi​ 为标准正交的特征向量，且满足 QT=Q−1\\mathbf{Q}^T = \\mathbf{Q}^{-1}QT=Q−1。而\nΛ=[λ10⋯00λ2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯λn] \\boldsymbol{\\Lambda} = \\begin{bmatrix} \\lambda_1 \u0026amp; 0 \u0026amp; \\cdots \u0026amp; 0 \\\\ 0 \u0026amp; \\lambda_2 \u0026amp; \\cdots \u0026amp; 0 \\\\ \\vdots \u0026amp; \\vdots \u0026amp; \\ddots \u0026amp; \\vdots \\\\ 0 \u0026amp; 0 \u0026amp; \\cdots \u0026amp; \\lambda_n \\\\ \\end{bmatrix} Λ=​λ1​0⋮0​0λ2​⋮0​⋯⋯⋱⋯​00⋮λn​​​是对角矩阵，主对角线上的每个元素 λi\\lambda_iλi​ 均为实数特征值。\n进一步用谱分解将 A\\mathbf{A}A 展开为秩一矩阵之和\nA=QΛQT=[q1q2⋯qn][λ10⋯00λ2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯λn][q1Tq2T⋮qnT]=∑i=1nλiqiqiT \\begin{align*} \\mathbf{A} \u0026amp;= \\mathbf{Q} \\boldsymbol{\\Lambda} \\mathbf{Q}^T \\\\ \u0026amp;= \\begin{bmatrix} \\mathbf{q}_1 \u0026amp; \\mathbf{q}_2 \u0026amp; \\cdots \u0026amp; \\mathbf{q}_n \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\lambda_1 \u0026amp; 0 \u0026amp; \\cdots \u0026amp; 0 \\\\ 0 \u0026amp; \\lambda_2 \u0026amp; \\cdots \u0026amp; 0 \\\\ \\vdots \u0026amp; \\vdots \u0026amp; \\ddots \u0026amp; \\vdots \\\\ 0 \u0026amp; 0 \u0026amp; \\cdots \u0026amp; \\lambda_n \\\\ \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\mathbf{q}_1^T \\\\ \\mathbf{q}_2^T \\\\ \\vdots \\\\ \\mathbf{q}_n^T \\end{bmatrix} \\\\ \u0026amp;= \\sum_{i=1}^{n} \\lambda_i\\mathbf{q}_i\\mathbf{q}_i^T \\end{align*} A​=QΛQT=[q1​​q2​​⋯​qn​​]​λ1​0⋮0​0λ2​⋮0​⋯⋯⋱⋯​00⋮λn​​​​q1T​q2T​⋮qnT​​​=i=1∑n​λi​qi​qiT​​于是二次型变为\nQ(h)=hTAh=hT(∑i=1nλiqiqiT)h=∑i=1nλihTqiqiTh=∑i=1nλi(h⋅qi)2 \\begin{align*} \\mathcal{Q}(\\mathbf{h}) \u0026amp;= \\mathbf{h}^T \\mathbf{A} \\mathbf{h} \\\\ \u0026amp;= \\mathbf{h}^T \\left(\\sum_{i=1}^{n} \\lambda_i\\mathbf{q}_i\\mathbf{q}_i^T\\right) \\mathbf{h}\\\\ \u0026amp;= \\sum_{i=1}^{n} \\lambda_i \\mathbf{h}^T\\mathbf{q}_i\\mathbf{q}_i^T\\mathbf{h} \\\\ \u0026amp;= \\sum_{i=1}^{n} \\lambda_i (\\mathbf{h} \\cdot \\mathbf{q}_i)^2 \\end{align*} Q(h)​=hTAh=hT(i=1∑n​λi​qi​qiT​)h=i=1∑n​λi​hTqi​qiT​h=i=1∑n​λi​(h⋅qi​)2​显然 (h⋅qi)2(\\mathbf{h} \\cdot \\mathbf{q}_i)^2(h⋅qi​)2 非负。\n因此，在驻点处，极值类型由海森矩阵各特征值的符号决定\n若所有 λi\u0026gt;0\\lambda_i \u0026gt; 0λi​\u0026gt;0，则海森矩阵正定。对任意非零 h\\mathbf{h}h，Q(h)\u0026gt;0Q(\\mathbf{h}) \u0026gt; 0Q(h)\u0026gt;0，从而 f(x0+h)−f(x0)\u0026gt;0f(\\mathbf{x}_0 + \\mathbf{h}) - f(\\mathbf{x}_0) \u0026gt; 0f(x0​+h)−f(x0​)\u0026gt;0。此时称 x0\\mathbf{x}_0x0​ 为局部极小点 若所有 λi\u0026lt;0\\lambda_i \u0026lt; 0λi​\u0026lt;0，则海森矩阵负定。对任意非零 h\\mathbf{h}h，Q(h)\u0026lt;0Q(\\mathbf{h}) \u0026lt; 0Q(h)\u0026lt;0，从而 f(x0+h)−f(x0)\u0026lt;0f(\\mathbf{x}_0 + \\mathbf{h}) - f(\\mathbf{x}_0) \u0026lt; 0f(x0​+h)−f(x0​)\u0026lt;0。此时称 x0\\mathbf{x}_0x0​ 为局部极大点 若特征值有正有负，则海森矩阵不定，则存在一些 h\\mathbf{h}h 使 Q\u0026gt;0Q\u0026gt;0Q\u0026gt;0，另一些 h\\mathbf{h}h 使 Q\u0026lt;0Q\u0026lt;0Q\u0026lt;0，于是 fff 在 x0\\mathbf{x}_0x0​ 处沿不同方向既可能上升也可能下降。此时称 x0\\mathbf{x}_0x0​ 为鞍点 若所有非零特征值同号且存在零特征值，则海森矩阵半正定或半负定。此时极值判定还需要看更高阶的项 几何应用：曲率 二次型 hTHf(x0)h\\mathbf{h}^T \\mathbf{H}_f(\\mathbf{x}_0) \\mathbf{h}hTHf​(x0​)h 除了可以判别驻点的类型外，还有重要的几何意义——它可以描述截面曲线在 x0\\mathbf{x}_0x0​ 附近沿不同方向的曲率。\n取一点 x0\\mathbf{x}_0x0​ 和一个单位方向向量 v∈Rn\\mathbf{v}\\in\\mathbb{R}^nv∈Rn，考虑经过 x0\\mathbf{x}_0x0​ 且方向为 v\\mathbf{v}v 的参数化直线\nl⃗(t)=x0+tvt∈R \\vec{l}(t) = \\mathbf{x}_0 + t\\mathbf{v} \\quad t\\in\\mathbb{R} l(t)=x0​+tvt∈R将 fff 的自变量限制在这条直线上，得到一元函数\ng(t)=f(x0+tv) g(t) = f(\\mathbf{x}_0 + t\\mathbf{v}) g(t)=f(x0​+tv)g(t)g(t)g(t) 的图形是在点 x0\\mathbf{x}_0x0​ 处用过 v\\mathbf{v}v 的平面截取出的曲线。对 g(t)g(t)g(t) 求导得到\ndgdt=∇f(x0+tv)Tv \\frac{\\mathrm{d}g}{\\mathrm{d}t} =\\nabla f(\\mathbf{x}_0 + t \\mathbf{v})^T \\mathbf{v} dtdg​=∇f(x0​+tv)Tv二阶导为\nd2gdt2=vTHf(x0+tv)v \\frac{\\mathrm{d}^2g}{\\mathrm{d}t^2} = \\mathbf{v}^T \\mathbf{H}_f(\\mathbf{x}_0 + t \\mathbf{v}) \\mathbf{v} dt2d2g​=vTHf​(x0​+tv)v于是在 t=0t=0t=0 处\ng′(0)=∇f(x0)Tvg′′(0)=vTHf(x0)v \\begin{align*} g\u0026#x27;(0) \u0026amp;= \\nabla f(\\mathbf{x}_0)^T \\mathbf{v} \\\\ g\u0026#x27;\u0026#x27;(0) \u0026amp;= \\mathbf{v}^T \\mathbf{H}_f(\\mathbf{x}_0) \\mathbf{v} \\end{align*} g′(0)g′′(0)​=∇f(x0​)Tv=vTHf​(x0​)v​根据平面曲线上曲率的定义，点 x0\\mathbf{x}_0x0​ 处的有向曲率为\nκv=g′′(0)[1+g′(0)2]3/2 \\kappa_{\\mathbf{v}} = \\frac{g\u0026#x27;\u0026#x27;(0)}{\\left[1+g\u0026#x27;(0)^2\\right]^{3/2}} κv​=[1+g′(0)2]3/2g′′(0)​在驻点处，即 ∇f(x0)=0\\nabla f(\\mathbf{x}_0)=\\mathbf{0}∇f(x0​)=0 从而 g′(0)=0g\u0026#x27;(0)=0g′(0)=0 时，有向曲率的表达式可以大幅简化为\nκv=g′′(0)=vTHf(x0)v \\kappa_{\\mathbf{v}} = g\u0026#x27;\u0026#x27;(0) = \\mathbf{v}^T \\mathbf{H}_f(\\mathbf{x}_0) \\mathbf{v} κv​=g′′(0)=vTHf​(x0​)v此时曲率也由二次型 Q(v)=vTHf(x0)v\\mathcal{Q}(\\mathbf{v}) =\\mathbf{v}^T \\mathbf{H}_f(\\mathbf{x}_0) \\mathbf{v}Q(v)=vTHf​(x0​)v 决定。\n令 A=Hf(x0)\\mathbf{A} = \\mathbf{H}_f(\\mathbf{x}_0)A=Hf​(x0​)，复用之前谱分解的结果\nA=∑i=1nλiqiqiT \\mathbf{A} = \\sum_{i=1}^{n} \\lambda_i\\mathbf{q}_i\\mathbf{q}_i^T A=i=1∑n​λi​qi​qiT​对于任意方向 v\\mathbf{v}v，代入可得\nvTAv=∑i=1nλi(v⋅qi)2 \\mathbf{v}^T \\mathbf{A} \\mathbf{v} = \\sum_{i=1}^{n} \\lambda_i (\\mathbf{v} \\cdot \\mathbf{q}_i)^2 vTAv=i=1∑n​λi​(v⋅qi​)2由正交性可知\nqjTAqj=∑i=1nλi(qj⋅qi)2=λj(qjTqj)2=λj \\mathbf{q}_j^T \\mathbf{A} \\mathbf{q}_j = \\sum_{i=1}^{n} \\lambda_i (\\mathbf{q}_j \\cdot \\mathbf{q}_i)^2 = \\lambda_j(\\mathbf{q}_j^T \\mathbf{q}_j)^2 = \\lambda_j qjT​Aqj​=i=1∑n​λi​(qj​⋅qi​)2=λj​(qjT​qj​)2=λj​因此沿着特征向量 qi\\mathbf{q}_iqi​ 的有向截面曲率，就是对应的特征值 λi\\lambda_iλi​。而 v\\mathbf{v}v 上的曲率是投影到各特征方向 qi\\mathbf{q}_iqi​ 上的曲率之和。\n不过截面曲率只考虑一个方向的曲率，但有一些曲率是综合考虑了所有方向的——比如高斯曲率。\n当 n=2n=2n=2 时，函数 f:R2→Rf: \\mathbb{R}^2 \\to \\mathbb{R}f:R2→R 的图像是一个曲面，过 x0\\mathbf{x}_0x0​ 的每个方向都有一条曲线。若用正负号表示弯曲的方向，用绝对值大小表示弯曲的程度，那么就得到了有向法曲率。有向法曲率的最大值和最小值被称为主曲率 k1,k2k_1, k_2k1​,k2​，而其方向被叫做主方向。高斯曲率就定义为主曲率的乘积\nK=k1k2 K = k_1 k_2 K=k1​k2​可以证明，在驻点处，高斯曲率恰好等于海森矩阵的行列式。\n计算驻点 x0\\mathbf{x}_0x0​ 处沿方向 u\\mathbf{u}u 的有向法曲率\nκu=uTHf(x0)u \\kappa_{\\mathbf{u}} = \\mathbf{u}^T \\mathbf{H}_f(\\mathbf{x}_0) \\mathbf{u} κu​=uTHf​(x0​)u根据瑞利商的性质，能取到这个二次型极值的单位向量，恰好就是海森矩阵 Hf\\mathbf{H}_fHf​ 的两个特征向量 q1,q2\\mathbf{q}_1, \\mathbf{q}_2q1​,q2​。我们可以验证一下这个结论。\n设单位向量为\nu=[cos⁡(θ)sin⁡(θ)] \\mathbf{u} = \\begin{bmatrix} \\cos(\\theta) \\\\ \\sin(\\theta) \\end{bmatrix} u=[cos(θ)sin(θ)​]把海森矩阵简写为\nHf(x0)=[fxxfxyfxyfyy] \\mathbf{H}_f(\\mathbf{x}_0) = \\begin{bmatrix} f_{xx} \u0026amp; f_{xy} \\\\ f_{xy} \u0026amp; f_{yy} \\end{bmatrix} Hf​(x0​)=[fxx​fxy​​fxy​fyy​​]于是\nκu(θ)=[cos⁡(θ)sin⁡(θ)][fxxfxyfxyfyy][cos⁡(θ)sin⁡(θ)]=fxxcos⁡2(θ)+2fxycos⁡(θ)sin⁡(θ)+fyysin⁡2(θ) \\begin{align*} \\kappa_{\\mathbf{u}}(\\theta) \u0026amp;= \\begin{bmatrix} \\cos(\\theta) \u0026amp; \\sin(\\theta) \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} f_{xx} \u0026amp; f_{xy} \\\\ f_{xy} \u0026amp; f_{yy} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\cos(\\theta) \\\\ \\sin(\\theta) \\end{bmatrix} \\\\ \u0026amp;= f_{xx}\\cos^2(\\theta) + 2f_{xy}\\cos(\\theta)\\sin(\\theta) + f_{yy}\\sin^2(\\theta) \\end{align*} κu​(θ)​=[cos(θ)​sin(θ)​][fxx​fxy​​fxy​fyy​​][cos(θ)sin(θ)​]=fxx​cos2(θ)+2fxy​cos(θ)sin(θ)+fyy​sin2(θ)​对 θ\\thetaθ 求导\ndκudθ=(−2fxx+2fyy)sin⁡θcos⁡θ+2fxy(cos⁡2θ−sin⁡2θ) \\frac{\\mathrm{d}\\kappa_{\\mathbf{u}}}{\\mathrm{d}\\theta} = (-2f_{xx} +2f_{yy})\\sin\\theta\\cos\\theta + 2f_{xy}(\\cos^2\\theta - \\sin^2\\theta) dθdκu​​=(−2fxx​+2fyy​)sinθcosθ+2fxy​(cos2θ−sin2θ)令导数为 000，得到\n(fxx−fyy)sin⁡θcos⁡θ=fxy(cos⁡2θ−sin⁡2θ) (f_{xx} - f_{yy})\\sin\\theta\\cos\\theta = f_{xy}(\\cos^2\\theta - \\sin^2\\theta) (fxx​−fyy​)sinθcosθ=fxy​(cos2θ−sin2θ)而若 u\\mathbf{u}u 为 H\\mathbf{H}H 的特征向量，则根据定义有\nHu=λu \\mathbf{H}\\mathbf{u} = \\lambda\\mathbf{u} Hu=λu这得到两个方程\n{fxxcos⁡θ+fxysin⁡θ=λcos⁡θfxycos⁡θ+fyysin⁡θ=λsin⁡θ \\begin{cases} f_{xx}\\cos\\theta + f_{xy}\\sin\\theta = \\lambda \\cos\\theta \\\\ f_{xy}\\cos\\theta + f_{yy}\\sin\\theta = \\lambda \\sin\\theta \\end{cases} {fxx​cosθ+fxy​sinθ=λcosθfxy​cosθ+fyy​sinθ=λsinθ​消去 λ\\lambdaλ 得到\n(fxx−fyy)cos⁡θsin⁡θ=fxy(cos⁡2θ−sin⁡2θ) (f_{xx} - f_{yy})\\cos\\theta\\sin\\theta = f_{xy}(\\cos^2\\theta - \\sin^2\\theta) (fxx​−fyy​)cosθsinθ=fxy​(cos2θ−sin2θ)这和之前令导数为 000 得到的方程一模一样，于是两个方程有相同的解——这便证明了主方向恰好就是特征向量的方向。而特征向量方向的曲率为 λ1,λ2\\lambda_1, \\lambda_2λ1​,λ2​，继而得到\nK=k1k2=λ1λ2=det⁡Hf(x0) K = k_1 k_2 = \\lambda_1 \\lambda_2 = \\det\\mathbf{H}_f(\\mathbf{x}_0) K=k1​k2​=λ1​λ2​=detHf​(x0​)因此，在曲面的驻点处，高斯曲率的符号由海森矩阵的行列式决定\n若 det⁡Hf\u0026gt;0\\det\\mathbf{H}_f \u0026gt; 0detHf​\u0026gt;0，则高斯曲率为正。该点为椭圆点。由于只有两个特征值，因此 λ1,λ2\\lambda_1, \\lambda_2λ1​,λ2​ 必然同号。若两个主曲率同正，则该点为局部极小点；若两个主曲率同负，则该点为局部极大点 若 det⁡Hf\u0026lt;0\\det\\mathbf{H}_f \u0026lt; 0detHf​\u0026lt;0，则高斯曲率为负。该点为双曲点，也可以叫鞍点 若 det⁡Hf=0\\det\\mathbf{H}_f = 0detHf​=0，则高斯曲率为零。若一个主曲率为零，另一个非零，则该点为抛物点；若两个主曲率都为零，则该点是退化的情形。 ","permalink":"https://juemuren.github.io/blog/posts/math/%E5%A4%9A%E5%8F%98%E9%87%8F%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%BE%AE%E5%88%86/","summary":"用线性代数相关理论，把单变量函数的微分直观且清晰地推广到多变量函数。","title":"多变量函数的微分：梯度向量和海森矩阵"},{"content":"雅可比矩阵 单变量函数的变换 在介绍雅可比矩阵之前，我们先尝试对单变量函数进行换元，即把 111 维空间的微元变换到另一个 111 维空间中。\n设关于 xxx 的函数为 f(x)f(x)f(x)，现做一个 R→R\\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}R→R 变换\nu=u(x) u=u(x) u=u(x)设其逆变换为\nx=x(u) x=x(u) x=x(u)于是 f(x)f(x)f(x) 可以用 uuu 表示为\nf(x)=f(x(u)) f(x) = f(x(u)) f(x)=f(x(u))在积分时，不仅要换函数里的变量，还要换积分微元。而积分微元之间的关系可以通过导数求得\ndx=dxdudu \\mathrm{d}x = \\frac{\\mathrm{d}x}{\\mathrm{d}u} \\mathrm{d}u dx=dudx​du于是\n∫f(x)dx=∫f(x(u))dxdudu \\int f(x) \\mathrm{d}x = \\int f(x(u)) \\frac{\\mathrm{d}x}{\\mathrm{d}u} \\mathrm{d}u ∫f(x)dx=∫f(x(u))dudx​du当变换推广到多变量函数时，就需要用到雅可比矩阵。\n多变量函数的变换 设关于 x,yx,yx,y 的函数为 f(x,y)f(x,y)f(x,y)，现做一个 R2→R2\\mathbb{R}^2 \\to \\mathbb{R}^2R2→R2 变换\n{u=u(x,y)v=v(x,y) \\begin{cases} u=u(x,y) \\\\ v=v(x,y) \\end{cases} {u=u(x,y)v=v(x,y)​设逆变换为\n{x=x(u,v)y=y(u,v) \\begin{cases} x=x(u,v) \\\\ y=y(u,v) \\end{cases} {x=x(u,v)y=y(u,v)​于是 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 可以用 u,vu,vu,v 表示为\nf(x,y)=f(x(u,v),y(u,v)) f(x,y) = f(x(u,v), y(u, v)) f(x,y)=f(x(u,v),y(u,v))在积分时替换变量和微元\n∫f(x,y)dxdy=∫f(x(u,v),y(u,v))∂(x,y)∂(u,v)dudv \\int f(x,y) \\mathrm{d}x\\mathrm{d}y = \\int f(x(u,v), y(u, v)) \\frac{\\partial(x,y)}{\\partial(u,v)} \\mathrm{d}u\\mathrm{d}v ∫f(x,y)dxdy=∫f(x(u,v),y(u,v))∂(u,v)∂(x,y)​dudv上式的 ∂(x,y)∂(u,v)\\frac{\\partial(x,y)}{\\partial(u,v)}∂(u,v)∂(x,y)​ 仿照了单变量换元的符号 dxdu\\frac{\\mathrm{d}x}{\\mathrm{d}u}dudx​，其被定义为雅可比矩阵的行列式\n∂(x,y)∂(u,v)=∣J∣ \\frac{\\partial(x,y)}{\\partial(u,v)} = |\\mathbf{J}| ∂(u,v)∂(x,y)​=∣J∣后文将分别从几何与代数的角度，推导雅可比矩阵的表达式。\n局部线性变换 理解雅可比矩阵的最佳方式，就是通过线性代数。先对 x=x(u,v)x=x(u,v)x=x(u,v) 和 y=y(u,v)y=y(u,v)y=y(u,v) 进行全微分，得到\ndx=∂x∂udu+∂x∂vdvdy=∂y∂udu+∂y∂vdv \\mathrm{d}x = \\frac{\\partial x}{\\partial u} \\mathrm{d}u + \\frac{\\partial x}{\\partial v} \\mathrm{d}v \\\\ \\mathrm{d}y = \\frac{\\partial y}{\\partial u} \\mathrm{d}u + \\frac{\\partial y}{\\partial v} \\mathrm{d}v dx=∂u∂x​du+∂v∂x​dvdy=∂u∂y​du+∂v∂y​dv然后改写为向量形式\n[dxdy]=[∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v][dudv] \\begin{bmatrix} \\mathrm{d}x \\\\ \\mathrm{d}y \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial x}{\\partial u} \u0026amp; \\frac{\\partial x}{\\partial v} \\\\ \\frac{\\partial y}{\\partial u} \u0026amp; \\frac{\\partial y}{\\partial v} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\mathrm{d}u \\\\ \\mathrm{d}v \\end{bmatrix} [dxdy​]=[∂u∂x​∂u∂y​​∂v∂x​∂v∂y​​][dudv​]上式中的矩阵就是雅可比矩阵\nJ=[∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v] \\mathbf{J} = \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial x}{\\partial u} \u0026amp; \\frac{\\partial x}{\\partial v} \\\\ \\frac{\\partial y}{\\partial u} \u0026amp; \\frac{\\partial y}{\\partial v} \\end{bmatrix} J=[∂u∂x​∂u∂y​​∂v∂x​∂v∂y​​]这个矩阵把微元从 222 维空间变换到另一个 222 维空间。原变换 x(u,v)x(u,v)x(u,v) 和 y(u,v)y(u,v)y(u,v) 可能是非线性的，但只要函数可微，那么变换在局部就是线性的。而矩阵正是线性变换的一种表示方式。\n矩阵的行列式有着非常清晰的几何含义：它表示一个线性变换对尺寸的缩放系数。对于 2×22\\times22×2 的雅可比矩阵，其行列式就表示面积的缩放因子\n∣J∣=∣∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v∣=(∂x∂u∂y∂v−∂x∂v∂y∂u) |\\mathbf{J}| = \\begin{vmatrix} \\frac{\\partial x}{\\partial u} \u0026amp; \\frac{\\partial x}{\\partial v} \\\\ \\frac{\\partial y}{\\partial u} \u0026amp; \\frac{\\partial y}{\\partial v} \\end{vmatrix} = \\left( \\frac{\\partial x}{\\partial u}\\frac{\\partial y}{\\partial v} - \\frac{\\partial x}{\\partial v}\\frac{\\partial y}{\\partial u} \\right) ∣J∣=​∂u∂x​∂u∂y​​∂v∂x​∂v∂y​​​=(∂u∂x​∂v∂y​−∂v∂x​∂u∂y​)即 uvuvuv 平面上一个面积为 dudv\\mathrm{d}u\\mathrm{d}vdudv 的矩形，映射到 xyxyxy 平面后，在局部变为一个平行四边形，其有向面积为\ndxdy=∣J∣dudv=(∂x∂u∂y∂v−∂x∂v∂y∂u)dudv \\mathrm{d}x\\mathrm{d}y = |\\mathbf{J}| \\mathrm{d}u\\mathrm{d}v = \\left( \\frac{\\partial x}{\\partial u}\\frac{\\partial y}{\\partial v} - \\frac{\\partial x}{\\partial v}\\frac{\\partial y}{\\partial u} \\right) \\mathrm{d}u\\mathrm{d}v dxdy=∣J∣dudv=(∂u∂x​∂v∂y​−∂v∂x​∂u∂y​)dudv这样就得到了最终的积分换元表达式\n∫f(x,y)dxdy=∫f(x(u,v),y(u,v))(∂x∂u∂y∂v−∂x∂v∂y∂u)dudv \\int f(x,y) \\mathrm{d}x\\mathrm{d}y = \\int f(x(u,v), y(u, v)) \\left( \\frac{\\partial x}{\\partial u}\\frac{\\partial y}{\\partial v} - \\frac{\\partial x}{\\partial v}\\frac{\\partial y}{\\partial u} \\right) \\mathrm{d}u\\mathrm{d}v ∫f(x,y)dxdy=∫f(x(u,v),y(u,v))(∂u∂x​∂v∂y​−∂v∂x​∂u∂y​)dudv用这种方式可以很自然地把雅可比矩阵推广到任意维度的空间中——只要写一遍向量形式的全微分公式就行了。\n设关于 x=(x1,x2,…,xn)T\\mathbf{x}=(x_1,x_2,\\dots,x_n)^Tx=(x1​,x2​,…,xn​)T 的函数为 f(x)f(\\mathbf{x})f(x)，定义一个 Rm→Rn\\mathbb{R}^m \\to \\mathbb{R}^nRm→Rn 变换 x(u)\\mathbf{x}(\\mathbf{u})x(u)，将原函数变为关于 u=(u1,u2,⋯ ,um)T\\mathbf{u}=(u_1,u_2,\\cdots,u_m)^Tu=(u1​,u2​,⋯,um​)T 的函数 f(x(u))f(\\mathbf{x}(\\mathbf{u}))f(x(u))。则对于该变换，x\\mathbf{x}x 各分量的全微分为\ndx1=∂x1∂u1du1+∂x1∂u2du2+⋯+∂x1∂umdumdx2=∂x2∂u1du1+∂x2∂u2du2+⋯+∂x2∂umdum⋮dxn=∂xn∂u1du1+∂xn∂u2du2+⋯+∂xn∂umdum \\mathrm{d}x_1 = \\frac{\\partial x_1}{\\partial u_1} \\mathrm{d}u_1 + \\frac{\\partial x_1}{\\partial u_2} \\mathrm{d}u_2 + \\cdots + \\frac{\\partial x_1}{\\partial u_m} \\mathrm{d}u_m \\\\ \\mathrm{d}x_2 = \\frac{\\partial x_2}{\\partial u_1} \\mathrm{d}u_1 + \\frac{\\partial x_2}{\\partial u_2} \\mathrm{d}u_2 + \\cdots + \\frac{\\partial x_2}{\\partial u_m} \\mathrm{d}u_m \\\\ \\vdots \\\\ \\mathrm{d}x_n = \\frac{\\partial x_n}{\\partial u_1} \\mathrm{d}u_1 + \\frac{\\partial x_n}{\\partial u_2} \\mathrm{d}u_2 + \\cdots + \\frac{\\partial x_n}{\\partial u_m} \\mathrm{d}u_m \\\\ dx1​=∂u1​∂x1​​du1​+∂u2​∂x1​​du2​+⋯+∂um​∂x1​​dum​dx2​=∂u1​∂x2​​du1​+∂u2​∂x2​​du2​+⋯+∂um​∂x2​​dum​⋮dxn​=∂u1​∂xn​​du1​+∂u2​∂xn​​du2​+⋯+∂um​∂xn​​dum​改成向量形式，即可得到雅可比矩阵\n[dx1dx2⋮dxn]=[∂x1∂u1∂x1∂u2⋯∂x1∂um∂x2∂u1∂x2∂u2⋯∂x2∂um⋮⋮⋱⋮∂xn∂u1∂xn∂u2⋯∂xn∂um][du1du2⋮dum] \\begin{bmatrix} \\mathrm{d}x_1 \\\\ \\mathrm{d}x_2 \\\\ \\vdots \\\\ \\mathrm{d}x_n \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial x_1}{\\partial u_1} \u0026amp; \\frac{\\partial x_1}{\\partial u_2} \u0026amp; \\cdots \u0026amp; \\frac{\\partial x_1}{\\partial u_m} \\\\ \\frac{\\partial x_2}{\\partial u_1} \u0026amp; \\frac{\\partial x_2}{\\partial u_2} \u0026amp; \\cdots \u0026amp; \\frac{\\partial x_2}{\\partial u_m} \\\\ \\vdots \u0026amp; \\vdots \u0026amp; \\ddots \u0026amp; \\vdots \\\\ \\frac{\\partial x_n}{\\partial u_1} \u0026amp; \\frac{\\partial x_n}{\\partial u_2} \u0026amp; \\cdots \u0026amp; \\frac{\\partial x_n}{\\partial u_m} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\mathrm{d}u_1 \\\\ \\mathrm{d}u_2 \\\\ \\vdots \\\\ \\mathrm{d}u_m \\end{bmatrix} ​dx1​dx2​⋮dxn​​​=​∂u1​∂x1​​∂u1​∂x2​​⋮∂u1​∂xn​​​∂u2​∂x1​​∂u2​∂x2​​⋮∂u2​∂xn​​​⋯⋯⋱⋯​∂um​∂x1​​∂um​∂x2​​⋮∂um​∂xn​​​​​du1​du2​⋮dum​​​其第 iii 行第 jjj 列的元素为\n[Jx(u)]ij=∂∂ujxi(u)=∂∂uj[x(u)]i [\\mathbf{J}_{\\mathbf{x}}(\\mathbf{u})]_{ij} = \\frac{\\partial}{\\partial u_j}x_i(\\mathbf{u}) = \\frac{\\partial}{\\partial u_j} \\left[\\mathbf{x}(\\mathbf{u})\\right]_i [Jx​(u)]ij​=∂uj​∂​xi​(u)=∂uj​∂​[x(u)]i​对于 m≠nm\\neq nm=n 的情况，雅可比矩阵不是方阵，因此不存在行列式。此时变换是不可逆的——它改变了微元空间的维度。\n几何推导 如果觉得线性代数有点过于抽象的话，这里补一个更详细的几何推导过程。不过这种方法不方便推广到更高的维度，因此只分析 R2→R2\\mathbb{R}^2 \\to \\mathbb{R}^2R2→R2 的变换。\n考虑 uvuvuv 平面上一个小矩形，其中各点分别为\nA=[u0v0]TB=[u0+duv0]TC=[u0v0+dv]TD=[u0+duv0+dv]T \\begin{align*} A \u0026amp;= \\begin{bmatrix} u_0 \u0026amp; v_0 \\end{bmatrix}^T \\\\ B \u0026amp;= \\begin{bmatrix} u_0 + \\mathrm{d}u \u0026amp; v_0 \\end{bmatrix}^T \\\\ C \u0026amp;= \\begin{bmatrix} u_0 \u0026amp; v_0 + \\mathrm{d}v \\end{bmatrix}^T \\\\ D \u0026amp;= \\begin{bmatrix} u_0 + \\mathrm{d}u \u0026amp; v_0 + \\mathrm{d}v \\end{bmatrix}^T \\end{align*} ABCD​=[u0​​v0​​]T=[u0​+du​v0​​]T=[u0​​v0​+dv​]T=[u0​+du​v0​+dv​]T​其长度为 du\\mathrm{d}udu，宽度为 dv\\mathrm{d}vdv，面积为 dudv\\mathrm{d}u\\mathrm{d}vdudv。将其变换到 xyxyxy 平面\nA′=[x(u0,v0)y(u0,v0)]TB′=[x(u0+du,v0)y(u0+du,v0)]TC′=[x(u0,v0+dv)y(u0,v0+dv)]TD′=[x(u0+du,v0+dv)y(u0+du,v0+dv)]T \\begin{align*} A\u0026#x27; \u0026amp;= \\begin{bmatrix}x(u_0,v_0) \u0026amp; y(u_0,v_0)\\end{bmatrix}^T \\\\ B\u0026#x27; \u0026amp;= \\begin{bmatrix}x(u_0 + \\mathrm{d}u,v_0) \u0026amp; y(u_0 + \\mathrm{d}u,v_0)\\end{bmatrix}^T \\\\ C\u0026#x27; \u0026amp;= \\begin{bmatrix}x(u_0,v_0 + \\mathrm{d}v) \u0026amp; y(u_0,v_0 + \\mathrm{d}v)\\end{bmatrix}^T \\\\ D\u0026#x27; \u0026amp;= \\begin{bmatrix}x(u_0 + \\mathrm{d}u, v_0 + \\mathrm{d}v) \u0026amp; y(u_0 + \\mathrm{d}u, v_0 + \\mathrm{d}v)\\end{bmatrix}^T \\end{align*} A′B′C′D′​=[x(u0​,v0​)​y(u0​,v0​)​]T=[x(u0​+du,v0​)​y(u0​+du,v0​)​]T=[x(u0​,v0​+dv)​y(u0​,v0​+dv)​]T=[x(u0​+du,v0​+dv)​y(u0​+du,v0​+dv)​]T​虽然变换可能不是线性的，但只要函数是可微的，那么在局部依然可以近似为平行四边形。其一边为\nA′B′→=[x(u0+du,v0)−x(u0,v0)y(u0+du,v0)−y(u0,v0)]T \\overrightarrow{A\u0026#x27;B\u0026#x27;} = \\begin{bmatrix} x(u_0+\\mathrm{d}u, v_0) - x(u_0,v_0) \u0026amp; y(u_0+\\mathrm{d}u, v_0) - y(u_0,v_0) \\end{bmatrix}^T A′B′=[x(u0​+du,v0​)−x(u0​,v0​)​y(u0​+du,v0​)−y(u0​,v0​)​]T根据偏微分的定义，可以得到\nx(u0+du,v0)−x(u0,v0)=∂x∂udu x(u_0+\\mathrm{d}u, v_0) - x(u_0,v_0) = \\frac{\\partial x}{\\partial u}\\mathrm{d}u x(u0​+du,v0​)−x(u0​,v0​)=∂u∂x​du同理有\ny(u0+du,v0)−y(u0,v0)=∂y∂udu y(u_0+\\mathrm{d}u, v_0) - y(u_0,v_0) = \\frac{\\partial y}{\\partial u}\\mathrm{d}u y(u0​+du,v0​)−y(u0​,v0​)=∂u∂y​du从而\nA′B′→=[∂x∂udu∂y∂udu]T=[∂x∂u∂y∂u]du \\begin{align*} \\overrightarrow{A\u0026#x27;B\u0026#x27;} \u0026amp;= \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial x}{\\partial u}\\mathrm{d}u \u0026amp; \\frac{\\partial y}{\\partial u}\\mathrm{d}u \\end{bmatrix}^T \\\\ \u0026amp;= \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial x}{\\partial u} \\\\ \\frac{\\partial y}{\\partial u} \\end{bmatrix} \\mathrm{d}u \\end{align*} A′B′​=[∂u∂x​du​∂u∂y​du​]T=[∂u∂x​∂u∂y​​]du​与此同时，另外一边……\nA′C′→=[x(u0,v0+dv)−x(u0,v0)y(u0,v0+dv)−y(u0,v0)]T=[∂x∂vdv∂y∂vdv]T=[∂x∂v∂y∂v]dv \\begin{align*} \\overrightarrow{A\u0026#x27;C\u0026#x27;} \u0026amp;= \\begin{bmatrix} x(u_0, v_0+\\mathrm{d}v) - x(u_0,v_0) \u0026amp; y(u_0, v_0+\\mathrm{d}v) - y(u_0,v_0) \\end{bmatrix}^T \\\\ \u0026amp;= \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial x}{\\partial v}\\mathrm{d}v \u0026amp; \\frac{\\partial y}{\\partial v}\\mathrm{d}v \\end{bmatrix}^T \\\\ \u0026amp;= \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial x}{\\partial v} \\\\ \\frac{\\partial y}{\\partial v} \\end{bmatrix} \\mathrm{d}v \\end{align*} A′C′​=[x(u0​,v0​+dv)−x(u0​,v0​)​y(u0​,v0​+dv)−y(u0​,v0​)​]T=[∂v∂x​dv​∂v∂y​dv​]T=[∂v∂x​∂v∂y​​]dv​平行四边形的有向面积可以通过行列式求得\nSA′B′C′D′=∣A′B′→A′C′→∣=∣[∂x∂u∂y∂u]du[∂x∂v∂y∂v]dv∣=∣∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v∣dudv \\begin{align*} S_{A\u0026#x27;B\u0026#x27;C\u0026#x27;D\u0026#x27;} \u0026amp;= \\begin{vmatrix} \\overrightarrow{A\u0026#x27;B\u0026#x27;} \u0026amp; \\overrightarrow{A\u0026#x27;C\u0026#x27;} \\end{vmatrix} \\\\ \u0026amp;= \\begin{vmatrix} \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial x}{\\partial u} \\\\ \\frac{\\partial y}{\\partial u} \\end{bmatrix} \\mathrm{d}u \u0026amp; \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial x}{\\partial v} \\\\ \\frac{\\partial y}{\\partial v} \\end{bmatrix} \\mathrm{d}v \\\\ \\end{vmatrix} \\\\ \u0026amp;= \\begin{vmatrix} \\frac{\\partial x}{\\partial u} \u0026amp; \\frac{\\partial x}{\\partial v} \\\\ \\frac{\\partial y}{\\partial u} \u0026amp; \\frac{\\partial y}{\\partial v} \\end{vmatrix} \\mathrm{d}u\\mathrm{d}v \\end{align*} SA′B′C′D′​​=​A′B′​A′C′​​=​[∂u∂x​∂u∂y​​]du​[∂v∂x​∂v∂y​​]dv​​=​∂u∂x​∂u∂y​​∂v∂x​∂v∂y​​​dudv​这样我们也能得到雅可比行列式。虽然不是通过矩阵得到的，但对于没接触过线性代数的人而言，这种解释可能更直观。\n外微分形式 如果了解过外微分形式，那么雅可比矩阵有一种更加代数化的几何推导方式——楔积。\n数学上使用楔积 ∧\\wedge∧ 表示由向量张成的有向面积，其满足一些关系\n两根完全重合的线段张不出面积 du∧du=0dv∧dv=0 \\begin{align*} \\mathrm{d}u \\wedge \\mathrm{d}u \u0026amp;= 0 \\\\ \\mathrm{d}v \\wedge \\mathrm{d}v \u0026amp;= 0 \\end{align*} du∧dudv∧dv​=0=0​ 交换顺序会改变面积的定向 dv∧du=−du∧dv \\mathrm{d}v \\wedge \\mathrm{d}u = -\\mathrm{d}u \\wedge \\mathrm{d}v dv∧du=−du∧dv 代入全微分公式，有\ndx∧dy=(∂x∂udu+∂x∂vdv)∧(∂y∂udu+∂y∂vdv)=∂x∂u∂y∂u du∧du+∂x∂u∂y∂v du∧dv+∂x∂v∂y∂u dv∧du+∂x∂v∂y∂v dv∧dv \\begin{align*} \\mathrm{d}x \\wedge \\mathrm{d}y \u0026amp;= \\left( \\frac{\\partial x}{\\partial u}\\mathrm{d}u + \\frac{\\partial x}{\\partial v}\\mathrm{d}v \\right) \\wedge \\left( \\frac{\\partial y}{\\partial u}\\mathrm{d}u + \\frac{\\partial y}{\\partial v}\\mathrm{d}v \\right) \\\\ \u0026amp;= \\frac{\\partial x}{\\partial u}\\frac{\\partial y}{\\partial u}\\; \\mathrm{d}u \\wedge \\mathrm{d}u + \\frac{\\partial x}{\\partial u}\\frac{\\partial y}{\\partial v}\\; \\mathrm{d}u \\wedge \\mathrm{d}v + \\frac{\\partial x}{\\partial v}\\frac{\\partial y}{\\partial u}\\; \\mathrm{d}v \\wedge \\mathrm{d}u + \\frac{\\partial x}{\\partial v}\\frac{\\partial y}{\\partial v}\\; \\mathrm{d}v \\wedge \\mathrm{d}v \\end{align*} dx∧dy​=(∂u∂x​du+∂v∂x​dv)∧(∂u∂y​du+∂v∂y​dv)=∂u∂x​∂u∂y​du∧du+∂u∂x​∂v∂y​du∧dv+∂v∂x​∂u∂y​dv∧du+∂v∂x​∂v∂y​dv∧dv​根据楔积满足的关系，得到\ndx∧dy=(∂x∂u∂y∂v−∂x∂v∂y∂u)du∧dv \\mathrm{d}x \\wedge \\mathrm{d}y = \\left( \\frac{\\partial x}{\\partial u}\\frac{\\partial y}{\\partial v} - \\frac{\\partial x}{\\partial v}\\frac{\\partial y}{\\partial u} \\right) \\mathrm{d}u \\wedge \\mathrm{d}v dx∧dy=(∂u∂x​∂v∂y​−∂v∂x​∂u∂y​)du∧dv而积分表达式中的面积微元 dxdy\\mathrm{d}x\\mathrm{d}ydxdy 和 dudv\\mathrm{d}u\\mathrm{d}vdudv 就是有向面积微元 dx∧dy\\mathrm{d}x \\wedge \\mathrm{d}ydx∧dy 和 du∧dv\\mathrm{d}u \\wedge \\mathrm{d}vdu∧dv 的简写，因此\ndxdy=(∂x∂u∂y∂v−∂x∂v∂y∂u)dudv \\mathrm{d}x\\mathrm{d}y = \\left( \\frac{\\partial x}{\\partial u}\\frac{\\partial y}{\\partial v} - \\frac{\\partial x}{\\partial v}\\frac{\\partial y}{\\partial u} \\right) \\mathrm{d}u\\mathrm{d}v dxdy=(∂u∂x​∂v∂y​−∂v∂x​∂u∂y​)dudv雅可比矩阵的转置 链式法则 除了用于积分换元，雅可比矩阵还出现在链式法则中——不过是以转置的形式。\n当 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 被换元为 f(x(u,v),y(u,v))f(x(u,v),y(u,v))f(x(u,v),y(u,v)) 后，由链式法则可得\n∂f∂u=∂f∂x∂x∂u+∂f∂y∂y∂u∂f∂v=∂f∂x∂x∂v+∂f∂y∂y∂v \\begin{align*} \\frac{\\partial f}{\\partial u} = \\frac{\\partial f}{\\partial x}\\frac{\\partial x}{\\partial u} + \\frac{\\partial f}{\\partial y}\\frac{\\partial y}{\\partial u}\\\\ \\frac{\\partial f}{\\partial v} = \\frac{\\partial f}{\\partial x}\\frac{\\partial x}{\\partial v} + \\frac{\\partial f}{\\partial y}\\frac{\\partial y}{\\partial v} \\end{align*} ∂u∂f​=∂x∂f​∂u∂x​+∂y∂f​∂u∂y​∂v∂f​=∂x∂f​∂v∂x​+∂y∂f​∂v∂y​​写成向量形式\n[∂f∂u∂f∂v]=[∂x∂u∂y∂u∂x∂v∂y∂v][∂f∂x∂f∂y] \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial f}{\\partial u} \\\\ \\frac{\\partial f}{\\partial v} \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial x}{\\partial u} \u0026amp; \\frac{\\partial y}{\\partial u} \\\\ \\frac{\\partial x}{\\partial v} \u0026amp; \\frac{\\partial y}{\\partial v} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial f}{\\partial x} \\\\ \\frac{\\partial f}{\\partial y} \\end{bmatrix} [∂u∂f​∂v∂f​​]=[∂u∂x​∂v∂x​​∂u∂y​∂v∂y​​][∂x∂f​∂y∂f​​]其中的矩阵恰好是雅可比矩阵的转置\nJT=[∂x∂u∂y∂u∂x∂v∂y∂v] \\mathbf{J}^T = \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial x}{\\partial u} \u0026amp; \\frac{\\partial y}{\\partial u} \\\\ \\frac{\\partial x}{\\partial v} \u0026amp; \\frac{\\partial y}{\\partial v} \\end{bmatrix} JT=[∂u∂x​∂v∂x​​∂u∂y​∂v∂y​​]梯度向量与海森矩阵 多元函数 f:Rn→Rf: \\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{R}f:Rn→R 的梯度向量\n∇f(x)=[∂f∂x1∂f∂x2⋮∂f∂xn] \\nabla f(\\mathbf{x}) = \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial f}{\\partial x_1} \\\\ \\frac{\\partial f}{\\partial x_2} \\\\ \\vdots \\\\ \\frac{\\partial f}{\\partial x_n} \\end{bmatrix} ∇f(x)=​∂x1​∂f​∂x2​∂f​⋮∂xn​∂f​​​是雅可比矩阵的转置\n[∇f(x)]j1=∂f∂xj=∂∂xjf(x)=[Jf(x)]1j \\left[\\nabla f(\\mathbf{x})\\right]_{j1} = \\frac{\\partial f}{\\partial x_j} = \\frac{\\partial}{\\partial x_j}f(\\mathbf{x}) = \\left[\\mathbf{J}_f(\\mathbf{x})\\right]_{1j} [∇f(x)]j1​=∂xj​∂f​=∂xj​∂​f(x)=[Jf​(x)]1j​即\n∇f(x)=Jf(x)T \\nabla f(\\mathbf{x}) = \\mathbf{J}_{f}(\\mathbf{x})^T ∇f(x)=Jf​(x)T而海森矩阵\nHf(x)=[∂2f∂x12∂2f∂x1∂x2⋯∂2f∂x1∂xn∂2f∂x2∂x1∂2f∂x22⋯∂2f∂x2∂xn⋮⋮⋱⋮∂2f∂xn∂x1∂2f∂xn∂x2⋯∂2f∂xn2] \\mathbf{H}_f(\\mathbf{x}) = \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_1^2} \u0026amp; \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_1 \\partial x_2} \u0026amp; \\cdots \u0026amp; \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_1 \\partial x_n} \\\\ \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_2 \\partial x_1} \u0026amp; \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_2^2} \u0026amp; \\cdots \u0026amp; \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_2 \\partial x_n} \\\\ \\vdots \u0026amp; \\vdots \u0026amp; \\ddots \u0026amp; \\vdots \\\\ \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_n \\partial x_1} \u0026amp; \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_n \\partial x_2} \u0026amp; \\cdots \u0026amp; \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_n^2} \\end{bmatrix} Hf​(x)=​∂x12​∂2f​∂x2​∂x1​∂2f​⋮∂xn​∂x1​∂2f​​∂x1​∂x2​∂2f​∂x22​∂2f​⋮∂xn​∂x2​∂2f​​⋯⋯⋱⋯​∂x1​∂xn​∂2f​∂x2​∂xn​∂2f​⋮∂xn2​∂2f​​​可通过对梯度向量求雅可比矩阵的转置得到\n[Hf(x)]ji=∂2f∂xj∂xi=∂∂xj(∂f∂xi)=∂∂xj[∇f(x)]i=[J∇f(x)]ij \\left[ \\mathbf{H}_f(\\mathbf{x}) \\right]_{ji} = \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_j \\partial x_i} = \\frac{\\partial}{\\partial x_j}\\left(\\frac{\\partial f}{\\partial x_i}\\right) = \\frac{\\partial}{\\partial x_j} \\left[\\nabla f(\\mathbf{x})\\right]_i = \\left[ \\mathbf{J}_{\\nabla f}(\\mathbf{x}) \\right]_{ij} [Hf​(x)]ji​=∂xj​∂xi​∂2f​=∂xj​∂​(∂xi​∂f​)=∂xj​∂​[∇f(x)]i​=[J∇f​(x)]ij​即\nHf(x)=J∇f(x)T \\mathbf{H}_f(\\mathbf{x}) = \\mathbf{J}_{\\nabla f}(\\mathbf{x})^T Hf​(x)=J∇f​(x)T但对海森矩阵就无法继续求雅可比矩阵的转置了。之后的结果涉及到高阶张量，需要定义张量积以推广这种运算。\n","permalink":"https://juemuren.github.io/blog/posts/math/%E9%9B%85%E5%8F%AF%E6%AF%94%E7%9F%A9%E9%98%B5/","summary":"从局部线性变换的角度，解释雅可比矩阵及其行列式。","title":"雅可比矩阵：微积分中的局部线性变换"},{"content":"Box-Muller 算法可以把独立的均匀分布随机数变换为独立的正态分布随机数\n设 U1,U2∼i.i.d.U(0,1)U_1, U_2 \\stackrel{\\text{i.i.d.}}{\\sim} U(0,1)U1​,U2​∼i.i.d.U(0,1)，则 −2ln⁡U1cos⁡(2πU2)\\sqrt{-2\\ln U_1} \\cos(2\\pi U_2)−2lnU1​​cos(2πU2​) 和 −2ln⁡U1sin⁡(2πU2)\\sqrt{-2\\ln U_1} \\sin(2\\pi U_2)−2lnU1​​sin(2πU2​) 独立且都服从标准正态分布 N(0,1)\\mathcal{N}(0,1)N(0,1)。\n这种算法简单得令人难以置信，不过证明它的正确性其实并不困难：核心思路是对二维正态分布进行极坐标变换。只要注意到二维正态分布独特的对称性质，那么接下来的一切推导就都是普通和理所当然的。\n数学证明 二维正态分布的极坐标表示 众所周知，一维正态分布的概率密度函数为\nfX(x)=12πσe−(x−μ)22σ2x∈R f_X(x) = \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}\\sigma} e^{\\frac{-(x-\\mu)^2}{2\\sigma^2}} \\quad x\\in\\mathbb{R} fX​(x)=2π​σ1​e2σ2−(x−μ)2​x∈R令 μ=0,σ=1\\mu=0, \\sigma=1μ=0,σ=1 就可以得到标准正态分布\nfX(x)=12πe−x22 f_X(x) = \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} e^{-\\frac{x^2}{2}} fX​(x)=2π​1​e−2x2​二维正态分布与一维的类似。设 X,Y∼i.i.d.N(0,1)X, Y \\stackrel{\\text{i.i.d.}}{\\sim} \\mathcal{N}(0,1)X,Y∼i.i.d.N(0,1)，则其联合概率密度函数为\nfX,Y(x,y)=12πe−x2+y22(x,y)∈R2 f_{X,Y}(x,y) = \\frac{1}{2\\pi} e^{-\\frac{x^2+y^2}{2}} \\quad (x,y)\\in\\mathbb{R}^2 fX,Y​(x,y)=2π1​e−2x2+y2​(x,y)∈R2对随机变量作极坐标变换\n{X=Rcos⁡ΘY=Rsin⁡Θ \\begin{cases} X = R\\cos\\Theta \\\\ Y = R\\sin\\Theta \\end{cases} {X=RcosΘY=RsinΘ​得到\n{x(r,θ)=rcos⁡θy(r,θ)=rsin⁡θ \\begin{cases} x(r, \\theta) = r\\cos\\theta \\\\ y(r, \\theta) = r\\sin\\theta \\end{cases} {x(r,θ)=rcosθy(r,θ)=rsinθ​其中\n{r≥0θ∈[0,2π) \\begin{cases} r\\ge 0 \\\\ \\theta\\in[0,2\\pi) \\end{cases} {r≥0θ∈[0,2π)​变换的雅可比矩阵为\nJ=[∂x∂r∂x∂θ∂y∂r∂y∂θ]=[cos⁡θ−rsin⁡θsin⁡θrcos⁡θ] J = \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial x}{\\partial r} \u0026amp; \\frac{\\partial x}{\\partial \\theta} \\\\ \\frac{\\partial y}{\\partial r} \u0026amp; \\frac{\\partial y}{\\partial \\theta} \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\cos\\theta \u0026amp; -r\\sin\\theta \\\\ \\sin\\theta \u0026amp; r\\cos\\theta \\end{bmatrix} J=[∂r∂x​∂r∂y​​∂θ∂x​∂θ∂y​​]=[cosθsinθ​−rsinθrcosθ​]雅可比行列式为\n∣J∣=∣cos⁡θ−rsin⁡θsin⁡θrcos⁡θ∣=rcos⁡2θ+rsin⁡2θ=r |J| = \\begin{vmatrix} \\cos\\theta \u0026amp; -r\\sin\\theta \\\\ \\sin\\theta \u0026amp; r\\cos\\theta \\end{vmatrix} = r\\cos^2\\theta + r\\sin^2\\theta = r ∣J∣=​cosθsinθ​−rsinθrcosθ​​=rcos2θ+rsin2θ=r得到 R,ΘR,\\ThetaR,Θ 的联合概率密度\nfR,Θ(r,θ)=fX,Y(x(r,θ),y(r,θ))∣J∣=12πe−(rcos⁡θ)2+(rsin⁡θ)22r=12πre−r22 \\begin{align*} f_{R,\\Theta}(r,\\theta) \u0026amp;= f_{X,Y}(x(r,\\theta),y(r, \\theta)) |J| \\\\ \u0026amp;= \\frac{1}{2\\pi} e^{-\\frac{(r\\cos\\theta)^2+(r\\sin\\theta)^2}{2}}r \\\\ \u0026amp;= \\frac{1}{2\\pi} r e^{-\\frac{r^2}{2}} \\end{align*} fR,Θ​(r,θ)​=fX,Y​(x(r,θ),y(r,θ))∣J∣=2π1​e−2(rcosθ)2+(rsinθ)2​r=2π1​re−2r2​​即\nfR,Θ(r,θ)=12πre−r22r≥0,θ∈[0,2π) f_{R,\\Theta}(r,\\theta) = \\frac{1}{2\\pi} r e^{-\\frac{r^2}{2}} \\quad r\\ge 0, \\theta\\in[0,2\\pi) fR,Θ​(r,θ)=2π1​re−2r2​r≥0,θ∈[0,2π)计算 Θ\\ThetaΘ 的边缘密度\nfΘ(θ)=∫0∞fR,Θ(r,θ)dr=∫0∞12πre−r22dr f_\\Theta(\\theta) = \\int_0^{\\infty} f_{R,\\Theta}(r,\\theta) \\mathrm{d}r = \\int_0^{\\infty} \\frac{1}{2\\pi} r e^{-\\frac{r^2}{2}} \\mathrm{d}r fΘ​(θ)=∫0∞​fR,Θ​(r,θ)dr=∫0∞​2π1​re−2r2​dr不过这里并不需要真的进行积分——显然积分的结果是个和 θ\\thetaθ 无关的常数。于是 fΘ(θ)f_\\Theta(\\theta)fΘ​(θ) 在取值范围内为常数。又已知 θ∈[0,2π)\\theta\\in[0,2\\pi)θ∈[0,2π)，所以\nΘ∼U(0,2π) \\Theta \\sim U(0,2\\pi) Θ∼U(0,2π)计算 RRR 的边缘密度\nfR(r)=∫02πfR,Θ(r,θ)dθ=∫02π12πre−r22dθ=re−r22 f_R(r) = \\int_0^{2\\pi} f_{R,\\Theta}(r,\\theta) \\mathrm{d}\\theta = \\int_0^{2\\pi} \\frac{1}{2\\pi} r e^{-\\frac{r^2}{2}} \\mathrm{d}\\theta = r e^{-\\frac{r^2}{2}} fR​(r)=∫02π​fR,Θ​(r,θ)dθ=∫02π​2π1​re−2r2​dθ=re−2r2​如果缺乏注意力的话，这里不太能够直接看出 RRR 的分布。但这个概率密度函数和指数分布的 fX(x)=λe−λxf_X(x)=\\lambda e^{-\\lambda x}fX​(x)=λe−λx 有点相似，因此接下来再对 RRR 进行换元。\n令 R=SR = \\sqrt{S}R=S​，则 r(s)=sr(s) = \\sqrt{s}r(s)=s​，从而有\nfS(s)=fR(r(s))∣drds∣=fR(s)∣dsds∣=se−s212s=12e−s2 \\begin{align*} f_S(s) \u0026amp;= f_R(r(s)) \\left| \\frac{\\mathrm{d}r}{\\mathrm{d}s} \\right| \\\\ \u0026amp;= f_R(\\sqrt{s}) \\left| \\frac{\\mathrm{d}\\sqrt{s}}{\\mathrm{d}s} \\right| \\\\ \u0026amp;= \\sqrt{s} e^{-\\frac{s}{2}} \\frac{1}{2\\sqrt{s}} \\\\ \u0026amp;= \\frac{1}{2} e^{-\\frac{s}{2}} \\end{align*} fS​(s)​=fR​(r(s))​dsdr​​=fR​(s​)​dsds​​​=s​e−2s​2s​1​=21​e−2s​​现在和指数分布的概率密度完全一样了。因此 SSS 服从 λ=1/2\\lambda=1/2λ=1/2 的指数分布，即\nS∼Exp⁡(1/2) S \\sim \\operatorname{Exp}(1/2) S∼Exp(1/2)下一步就是把均匀分布的随机变量变为指数分布的随机变量。\n随机变量逆变换 将随机变量 XXX 变为 YYY 的通用公式为\nY=FY−1(FX(X)) Y=F_Y^{-1}(F_X(X)) Y=FY−1​(FX​(X))该公式分为两个部分。首先对源分布 XXX 进行概率积分变换 FX(X)F_X(X)FX​(X) 得到均匀分布 UUU\nP(FX(X)≤u)=P(X≤FX−1(u))=FX(FX−1(u))=u=P(U≤u) P(\\textcolor{red}{F_X(X)} \\le u) = P(X \\le F_X^{-1}(u)) = F_X(F_X^{-1}(u)) = u = P(\\textcolor{red}{U} \\le u) P(FX​(X)≤u)=P(X≤FX−1​(u))=FX​(FX−1​(u))=u=P(U≤u)再对均匀分布 UUU 进行逆变换采样 FY−1(U)F_Y^{-1}(U)FY−1​(U) 得到目标分布 YYY\nP(FY−1(U)≤y)=P(U≤FY(y))=FY(y)=P(Y≤y) P(\\textcolor{red}{F_Y^{-1}(U)} \\le y) = P(U \\le F_Y(y)) = F_Y(y) = P(\\textcolor{red}{Y} \\le y) P(FY−1​(U)≤y)=P(U≤FY​(y))=FY​(y)=P(Y≤y)由于源分布已经是均匀分布 U(0,1)U(0,1)U(0,1)，因此接下来只需计算指数分布的累积分布函数 FSF_SFS​ ，然后再求其反函数 FS−1F_S^{-1}FS−1​ 即可。\n对于 Exp⁡(1/2)\\operatorname{Exp}(1/2)Exp(1/2)，其累积分布函数为\nFS(s)=∫0sfS(s)ds=∫0s12e−s2ds=[−e−t2]0s=1−e−s2 \\begin{align*} F_S(s) \u0026amp;= \\int_0^{s} f_S(s) \\mathrm{d}s \\\\ \u0026amp;= \\int_0^{s} \\frac{1}{2} e^{-\\frac{s}{2}} \\mathrm{d}s \\\\ \u0026amp;= [-e^{-\\frac{t}{2}}]_0^s \\\\ \u0026amp;= 1 - e^{-\\frac{s}{2}} \\end{align*} FS​(s)​=∫0s​fS​(s)ds=∫0s​21​e−2s​ds=[−e−2t​]0s​=1−e−2s​​推导其反函数\ne−s2=1−FS−s2=ln⁡(1−FS)s=−2ln⁡(1−FS) \\begin{align*} e^{-\\frac{s}{2}} \u0026amp;= 1 - F_S \\\\ -\\frac{s}{2} \u0026amp;= \\ln(1 - F_S) \\\\ s \u0026amp;= -2\\ln(1 - F_S) \\end{align*} e−2s​−2s​s​=1−FS​=ln(1−FS​)=−2ln(1−FS​)​即\nFS−1(u)=−2ln⁡(1−u)u∈[0,1) F_S^{-1}(u)=-2\\ln(1-u) \\quad u\\in[0,1) FS−1​(u)=−2ln(1−u)u∈[0,1)设 U1∼U(0,1)U_1 \\sim U(0,1)U1​∼U(0,1)，于是有\nS=FS−1(U1)=−2ln⁡(1−U1) S = F_S^{-1}(U_1)=-2\\ln(1-U_1) S=FS−1​(U1​)=−2ln(1−U1​)由 1−U1∼U(0,1)1-U_1 \\sim U(0,1)1−U1​∼U(0,1) 进一步得到\nS=−2ln⁡U1 S = -2\\ln U_1 S=−2lnU1​而之前已经得到 Θ∼U(0,2π)\\Theta \\sim U(0,2\\pi)Θ∼U(0,2π)。设 U2∼U(0,1)U_2 \\sim U(0,1)U2​∼U(0,1)，则\nΘ=2πU2 \\Theta = 2\\pi U_2 Θ=2πU2​于是\n{R=S=−2ln⁡U1Θ=2πU2 \\begin{cases} R = \\sqrt{S} = \\sqrt{-2\\ln U_1} \\\\ \\Theta = 2\\pi U_2 \\end{cases} {R=S​=−2lnU1​​Θ=2πU2​​带入\n{X=Rcos⁡ΘY=Rsin⁡Θ \\begin{cases} X = R\\cos\\Theta \\\\ Y = R\\sin\\Theta \\end{cases} {X=RcosΘY=RsinΘ​得到最终结果\nX=−2ln⁡U1cos⁡(2πU2)Y=−2ln⁡U1sin⁡(2πU2) \\begin{align*} X \u0026amp;= \\sqrt{-2\\ln U_1}\\cos(2\\pi U_2) \\\\ Y \u0026amp;= \\sqrt{-2\\ln U_1}\\sin(2\\pi U_2) \\end{align*} XY​=−2lnU1​​cos(2πU2​)=−2lnU1​​sin(2πU2​)​显然，若 U1U_1U1​ 与 U2U_2U2​ 独立，则 XXX 与 YYY 独立。这样就成功用一对独立的均匀分布随机数生成了独立的高斯分布随机数。\n代码实现 由于我就是在 最近做的一个 Web 项目 中用到了 Box-Muller 算法（这也是写本文的原因），因此这里给出该算法的 JavaScript 实现。\n其实 JavaScript 的 Math.random() 能够生成 U(0,1)U(0,1)U(0,1) 随机数，但该方法不允许设置种子，导致缺少很多乐趣，所以我这里先实现了一个基于线性同余的均匀随机数生成器。\nfunction createUniformRandomGenerator(seed) { let state = seed \u0026gt;\u0026gt;\u0026gt; 0; return () =\u0026gt; { state = (1664525 * state + 1013904223) \u0026gt;\u0026gt;\u0026gt; 0; return state / 0xffffffff; }; } function createGaussianRandomGenerator(seed) { const getUniformRandom = createUniformRandomGenerator(seed); let spare = null; return () =\u0026gt; { if (spare !== null) { const value = spare; spare = null; return value; } let u_1 = getUniformRandom(); while (u_1 === 0) { u_1 = getUniformRandom(); } const u_2 = getUniformRandom(); const r = Math.sqrt(-2 * Math.log(u_1)); const theta = 2 * Math.PI * u_2; spare = r * Math.sin(theta); return r * Math.cos(theta); }; } 实现中有两个需要注意的点\n由于不能对 000 取对数，因此当 u_1 随机到 000 时需要重试 由于算法一次调用生成两个随机数，但只返回一个，所以用 spare 缓存另一个，这样偶数次调用时就不会重复计算了 调用示例\nSEED=114514 COUNT=5 const g = createGaussianRandomGenerator(SEED) for (let i = 0; i \u0026lt; COUNT; i++) console.log(g()) 输出为\n0.6756921337282962 0.7153015025880592 -1.090593327207687 -0.43173865912412884 2.1300190649693405 本文选择给出 JavaScript 实现，其实还有一个好处：每个能浏览网页的设备，事实上都有 JavaScript 的运行环境。对于桌面端，只需在浏览器里按下 F12 打开 DevTools，然后找到 控制台（Console）面板，再把上面的两段代码复制进去就能运行了\n移动端的话没法打开 DevTools，可以到能够在线运行 JavaScript 的网站上尝试。\n","permalink":"https://juemuren.github.io/blog/posts/math/%E9%AB%98%E6%96%AF%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E6%95%B0%E7%94%9F%E6%88%90%E5%99%A8/","summary":"用极坐标变换推导 Box-Muller 算法，并给出一个 JavaScript 实现。","title":"高斯随机数生成器：Box-Muller 变换的数学证明和代码实现"},{"content":" 只用“是”与“不是”可以理解物理世界，但无法理解人类社会。\n排中律与矛盾律 在经典逻辑中，排中律和矛盾律总是成立的：前者认为一个命题必须为真或假，即 P∨¬PP \\lor \\lnot PP∨¬P 永远为真；后者认为一个命题不能同时为真和假，即 P∧¬PP \\land \\lnot PP∧¬P 永远为假。\n基于这两条定律，事物可以被二分。对于 x∈Ax \\in Ax∈A 这一命题，运用排中律，则 x∈Ax \\in Ax∈A 和 ¬(x∈A)≡x∉A≡x∈∁A\\lnot(x \\in A) \\equiv x \\notin A \\equiv x \\in \\complement{A}¬(x∈A)≡x∈/A≡x∈∁A 至少有一个成立，不可能出现 x∉A∧x∉∁Ax \\notin A \\land x \\notin \\complement{A}x∈/A∧x∈/∁A 的情况；运用矛盾律，则 x∈Ax \\in Ax∈A 和 x∈∁Ax \\in \\complement{A}x∈∁A 只有一个命题能够成立，不可能出现 x∈A∧x∈∁Ax \\in A \\land x \\in \\complement{A}x∈A∧x∈∁A 的情况。\n然而，对于人类社会，二分法的前提并不成立。\n二分法的失效 现实不是可以判断真假的二值命题。相反，现实充满了矛盾。\n在面对法律、道德、政治等规范性事物时，任何想要用经典逻辑去分析其原理的人，都会感到深深的挫败。\n就拿时下最火热的性举个例子。我们可以提出一个普通的命题：“性是否具有某种不可商品化的价值？”根据排中律和矛盾律，我们必须在是与不是之间做出选择，并据此推导出一整套逻辑自洽的制度与道德判断：如果选择“是”，那么性交易、色情产业就该被全面禁止或严格限制；如果选择“不是”，那么性工作就与一般的劳动无异，完全可以在市场的逻辑下依照自愿的原则进行。\n可现实根本就不在这两个选项里。\n一方面，社会普遍承认性需要特殊保护：性犯罪被区别于别的犯罪，拥有独特的意义，因为性涉及同意、尊严、身体自主——法律认为这些不能完全用金钱衡量，并据此剥夺了自由人的部分权利——出卖自己的权利。另一方面，性又每天都在被衡量、被消费、被交易：在婚恋市场上，性魅力被明码标价地写在个人资料里；买春和卖春，包养和被包养——永远有人为了利益而出卖身体，也永远有人愿意用手头的资源换取这种欢愉。\n现实从来不纠结于“是”或“不是”。它不在两个互斥命题之间做出选择，而是同时承认不同的原则，并在矛盾的张力中维持着一种不稳定的平衡。\n任何想用经典逻辑去规范现实的人，都会在实践中碰壁。现实里只有一堆模糊的、临时妥协的制度——这并非逻辑演绎的产物。现实不是像欧氏几何那样，基于公理推导出来的结果。现实是在实践中生成的——矛盾的实践最终产生了矛盾的现实。\n毫无疑问，经典逻辑无法处理这样的矛盾——这不是逻辑本身的失败。我们试图把复杂的社会现实压缩为可以用排中律和矛盾律所理解的简单命题，但后者根本不配合我们——这是形式化的失败。\n为了描述这种无法被二分的现实结构，我们得用一种新的逻辑——“辩证逻辑”。\n辩证逻辑 辩证逻辑不把矛盾当作需要消灭的错误，反而认为矛盾是事物的内在、普遍的属性。辩证逻辑不进行简单的二分，转而分析矛盾的双方如何互相对抗、互相依赖、互相转化。\n在辩证逻辑看来，性的“不可商品化”和“总被商品化”这对矛盾，不是逻辑的错误，而是结果的必然。这两个原则的并存，非但没有导致现实崩溃，反而驱使着现实不断演变。每一次法律裁决、每一次道德审判，都在两个原则之间划出了一条临时的边界。某些性实践仍被定义为“违法”，而某些性实践却已被默许为“正常”：尽管国内的法律仍然禁止性交易，但其早已实现了去刑事化；对婚前性行为、同居、性开放关系，尽管道德上仍受指责，但也逐渐被大众所接受；甚至彩礼这种明目张胆的钱色交换，也重新进入了市场和司法所允许的框架之内。\n这种事物内部的矛盾变化，需要在辩证逻辑中把握。现实不是经典逻辑的实例，而是辩证逻辑的运作场。现实构建于矛盾之上，现实的矛盾就是其不断改变自身的动力。\n辩证逻辑不追求无矛盾的终点，相反，它研究矛盾之间的复杂关系。\n意识形态 说到这里，不得不提一下黑格尔。这位辩证法的创始人，其实并没有真正接受矛盾。黑格尔始终相信存在着根本的同一性：通过“否定之否定”，矛盾的双方会被扬弃，并在更高的概念上达成统一。只要不断重复这种辩证过程，万事万物都将回归绝对精神。而绝对精神是无矛盾的同一，整个世界都是绝对精神的展开，矛盾只是世界暂时的缺陷。\n但这终究只是一种消解矛盾的徒劳尝试。用齐泽克的话说，黑格尔的辩证法是一种便秘哲学：绝对精神吞噬一切，却不进行任何代谢。事实上，那些无法被消化、被吸收的排泄物始终存在。\n所有意识形态都声称自己是“无矛盾”的。它们当然可以逻辑自洽，但这是通过排泄实现的：保守派排除了“婚前性”、“非婚性”、“同性性”，进步派则排除了所有“未经充分反思的传统性”。在意识形态许诺的图景里，这些例外不允许存在——它们威胁着意识形态的无矛盾性，是需要消灭的逻辑错误。\n任何声称“无矛盾”的系统——无论是绝对精神、完美市场、纯粹民主，还是圆满的性实践——都值得被怀疑。但这并非不需要意识形态——排泄物的存在，仅仅是证明了现实里永远有意识形态无法覆盖的缝隙。\n否认意识形态的现实作用，只承认矛盾的普遍存在和不可消除，则可能走向一种庸俗的辩证法：一边空洞地讨论着“一切皆矛盾”，一边陷入一种“反正总有矛盾，那我怎样都行”的虚无。对于前者的空洞，应该意识到，并非一切对立都构成具有现实效力的矛盾，关键在于它是否嵌入具体的制度与实践之中；对于后者的虚无，则应承认矛盾本身可能发生变化，进而寻找其中蕴含的、产生新实践的可能——而这正是意识形态存在的目的。\n矛盾分析 辩证法要想成为一种批判的武器，就不能只承认矛盾的存在，而必须对矛盾进行分析：矛盾以什么形式存在——是价值之间的冲突，制度之间的错位，还是主体内部的撕裂？矛盾的双方有什么关系——是互相排斥，互相依赖，还是在不同情境中彼此转化？\n还是用性举例。这种矛盾既表现为价值矛盾：一方面，性在传统观念中涉及同意、尊严与身体自主等特殊领域，不能被完全还原为商品；另一方面，自由主义又承认成年人对身体、劳动和亲密关系拥有自主权。同时它也包含制度矛盾：法律和道德不断重申性的神圣，市场、婚恋和消费文化却持续把性魅力、亲密关系和身体资源纳入交换逻辑。最后它还是一种主体矛盾：具体的个人可能既厌恶关于性或情感的交换，却又不得不依赖这种交换而生存；既希望维护自身尊严，又想要在既有制度中将其拆分、折价和出售。\n这些矛盾的双方不是简单的对立，而是互相依赖、互相生产。正因为性被赋予特殊的尊严、羞耻和禁忌，它才拥有超出普通商品的交换价值；正因为性不断被市场化、消费化和价格化，社会才需要反复重申它“不只是商品”。不可商品化为商品化提供边界，商品化又不断侵蚀并重画这条边界——法律、道德、市场和主体都在这组矛盾的拉扯中被持续地重新定位。\n这种分析揭示了矛盾的结构和运动方式，但真正影响现实的，是基于此而提出的、更加尖锐的问题：矛盾如何被分配？哪些矛盾被看见、被争论，哪些矛盾被掩盖、被默认？哪些人可以同时拥有两种态度，哪些人只能被迫选择单一立场？\n对于这个问题，我们需要引入新的理论工具——“话语”。\n话语批判 按照福柯的理论，话语并非简单的表达，而是一种权力-知识网络。它决定什么可以说、谁有资格说，它决定什么可以成为真理、什么只配作为谬误。\n话语不反映现实，而是生产现实。在性的领域里，话语区分了无数种实践——医学话语生产出“性瘾者”，法律话语生产出“卖淫者”，教育话语生产出“早恋者”。每一个概念都依赖它的对立面而存在：没有“变态”，就没有“正常”；没有“违法”，就没有“守法”——这种高下之分并非自然存在，而是话语运作产生的结果。\n话语重新分配了矛盾。关于性交易的公共讨论，几乎全部聚焦于“性能否被商品化”这一矛盾上。然而，这笔交易中的另一个矛盾——“劳动能否被商品化”——却很少被讨论，因为后者早已被制度默认。现实就这样被话语重新建构：一些矛盾被放大为公共议题，另一些则被沉降为不言自明的背景。话语决定了哪些矛盾可以被讨论，进而影响了产生于矛盾的意识形态和现实演变。\n这最终指向了话语权的不平等。一位女性主义学者可以同时持有“性交易既是自由也是剥削”这种矛盾的立场——虽然真实的情景不会这么直白，而更可能表现为“若打击性交易让女性利益受损则高呼自由，反之则抵制剥削”这种灵活的态度——但却很少有人指责这种双标，其主张被称赞为“够辩证”“不极端”。但一个底层性工作者如果说出“我恨这个行业，但也要靠它活命”，则其观点不会被奉为“辩证智慧”，而是被贬为“认知失调”“自我欺骗”甚至“道德混乱”。\n最终，我们又回到了意识形态的问题。那些看起来“进步”的话语，必然通过权力操作，把矛盾中最肮脏的一面排泄到某些群体之上。意识形态通过话语实现自身，而对这一过程进行分析，就是把那些排泄物从沉默和噪音中打捞出来。它迫使那些自以为无矛盾的意识形态不断暴露自己的裂隙，让被压抑的矛盾在制度与行动中重新获得表达的空间。\n","permalink":"https://juemuren.github.io/blog/posts/phil/%E7%9F%9B%E7%9B%BE%E7%9A%84%E7%8E%B0%E5%AE%9E%E4%B8%8E%E7%8E%B0%E5%AE%9E%E7%9A%84%E7%9F%9B%E7%9B%BE/","summary":"只用“是”与“不是”可以理解物理世界，但无法理解人类社会。","title":"矛盾的现实与现实的矛盾：辩证逻辑和话语批判"},{"content":"生产关系视角的局限 在正统马克思主义中，生产关系始终是分析资本主义最重要的工具。但无论是马克思、恩格斯，还是后来的列宁、斯大林，都没能预见资本主义在当今社会发生的剧烈变化：传统的工人阶级不再是天然的革命主体，反而成为了资本主义秩序的一部分。\n这一转变在“五月风暴”中已相当明显地表现了出来。这场爆发于巴黎街头的运动，最初由学生群体带头，并很快得到了法国知识分子的支持。虽然工人阶级之后也加入其中，但他们的诉求仅仅是改善待遇，而非彻底颠覆资本主义秩序。工人在得到了工厂的加薪承诺后便迅速退出。在最终的大选中，支持戴高乐的右翼党派取得大胜——这已经足够反映当时部分民众的真实想法。\n换句话说，资本主义并没有像马克思预言的那样生产出“自身的掘墓人”。反而是那些尚未被资本主义秩序完全吸纳的群体——如学生、知识分子等——更可能保留着建立新秩序的激进理想。\n为什么会这样？单纯从生产关系的角度，完全无法理解这种事情：无产阶级不掌握生产资料，只能被迫出卖劳动力以换取工资；而劳动力所创造的价值事实上高于得到的工资，其中的差额作为剩余价值被资本家占有。无产阶级没有任何理由维护这种“资本家不劳而获，劳动者劳而不获”的生产关系。无产阶级的解放，首先就是夺取生产资料，重新掌握生产秩序，不再服从于资产阶级。\n因此，从生产关系的角度看，无产阶级就是天然的革命主体。《共产党宣言》也是这么说的：“无产者在这个革命中失去的只是锁链，他们获得的将是整个世界”。\n但在现实里，越是发达的资本主义社会，反而越少见真正的无产阶级革命。历史上以“无产阶级”为主要力量的大规模革命，几乎都出现在欠发达的第三世界——而其中的革命主体，往往不是纯粹的产业工人，而是在封建、殖民等前资本主义秩序下诞生的、包含了农民、贫贱者与激进知识分子的联合体。完全由资本主义生产关系所塑造的无产阶级，就历史上能看到的情况而言，他们并不是真的想革资本主义的命。他们依赖资本主义及其带来的现代生活，他们的反抗不过是为自身争取更多在这种秩序中的权益。\n毫无疑问，原有的革命理论是不完备的。而缺失的关键部分，就是它所长期忽视的“意识形态”。\n意识形态具有物质性 在正统马克思主义看来，意识形态只是头脑中的“虚假意识”。无产阶级只要正确地认清现实，就会否定错误的意识形态，成为一个自觉的革命者。而现实是客观的、不以人的意志为转移的——因此，资本主义越发达，矛盾越尖锐，现实越清晰，真相越直白，无产阶级就越容易丢掉错误的意识形态，拾起革命理论武装自身。\n这种观点将意识形态看作一种纯粹的意识，而忽视了其物质性的成分。它难以解释许多现象：为什么在如今高度发达的资本主义社会里，无产阶级革命反而更加难以想象？为什么即使认清了现实，大量劳动者仍然渴望安宁的生活、渴望向上流动，而不是团结起来砸烂资本主义国家机器？\n要回答这些问题，就必须承认：意识形态并非完全悬空的虚假意识，其根植于物质性的实践。资本主义在经济上组织生产关系的同时，也在实践中生产着与之相适应的主体——通过劳动、消费、竞争与社会分工，一种符合社会结构的生活方式与自我理解被塑造出来。无论这种意识形态是被宣传机器灌输的，还是从个人经验中自行总结的，它都真实地反映了现实——在实践中被不断建构出来的现实。\n认清“被剥削”的现实并不会自动拥有相反的意识形态——对于连主体性都是被资本主义生产出来的无产阶级而言，这只不过是让其了解到自身存在的根基。就像孩子被告知自己其实是在一次性交中诞生的——尽管这打破了某些美好的童话，但人们只会说现实就是如此。认清现实并不必然否定现实，关键在于作为现实对立面的意识形态是否具有物质性——它不能只存在于头脑之中，而必须以实践作为根基。否则，个体只能选择在既定的现实中生存，而这种生存作为实践又不断强化了已有的意识形态。\n单纯的“意识到”无法战胜意识形态——只要物质实践还在继续，意识形态就会持续地被再生产。哪怕一个劳动者已经意识到了自己被剥削，只要他还选择继续出卖劳动力，那么他的实践就再生产了“赚钱最重要”的意识形态；哪怕一个学生已经明白了分数异化学习，只要他还选择为考试而拼命，那么他的实践就再生产了“分数决定命运”的意识形态。“不是有了信仰才下跪，而是跪下后信仰随之而来”——即使你厌恶资本主义，你的资本主义实践，仍然客观上再生产了资本主义意识形态。\n意识形态的对抗，不是简单的辩论或思想斗争——任何意识形态的转变，都必须依托于实践形式的重组。说服所有人反对“内卷”，无法直接改变内卷的现实——只有当支撑教育神话的物质力量被瓦解，当集体行动乃至自由联合会出现后，“反内卷”才得以成为一种可能的意识形态。\n因此，意识形态就是秩序，它不能完全从生产关系中分离——意识形态具有鲜明的物质性，无法被还原为纯粹的意识。\n论可能的革命主体 资本主义当然会生产出它的反抗者。甚至可以说，反抗资本主义本身就是资本主义秩序的一部分。提高工资、增加休假、改善劳动环境、获得更多政治权利——这些诉求并不动摇资本主义生产关系，这些举措也不改变无产阶级出卖劳动力的事实。相反，它们成为了秩序得以自我调节的机制。一个能够吸纳反抗的秩序，远比排斥任何反抗的秩序更稳定。因此我们总能看到这样的悖论：越是发达的资本主义国家，其劳动者待遇反而越好；劳动者的反抗越是频繁，就越不致命，甚至能够成为一种日常般的仪式。\n无产阶级并不天生就带着摧毁资本主义秩序的使命——他们只是通过反抗来改善资本主义秩序。当这种秩序本身遭遇真正的威胁时，无产阶级反而会维护它，以保卫他们努力争取的、共同依赖的现代生活。\n对于那些试图摧毁资本主义秩序的无产阶级个体而言，他们失去的不只是“锁链”——他们首先将失去自己，然后再失去一切。他们会成为现代秩序的敌人，他们不得不抛弃取得的一切社会地位，他们必须同所有传统观念实行最彻底的决裂。无产阶级不会自发承担这样的历史任务——这并非被虚假的意识形态所蒙蔽。相反，无产阶级清楚自己就是资本主义秩序的一部分：反抗资产阶级，是调整秩序，是改善自身处境；而摧毁资本主义，则意味着要消灭他们目前所理解的全部自己。\n革命的起点往往是否定自己——这种否定的力量并不来自资本主义，而来自主体内部非资本主义的构成性要素。革命者将否定资本主义的力量作用于自身，扬弃了产生于资本主义的部分自己——这样的革命主体，不可能是除去资本主义主体性后没有剩余的阶级。\n当然，这种纯粹由资本主义塑造的主体事实上并不存在。换句话说，任何人身上都有无法被资本主义整合的部分——在雇佣劳动之外，我们仍然能够进行自觉自由的对象化劳动；在应试教育之中，我们仍然能够经验到非功利的学习冲动；在消费逻辑之下，我们仍然会有无法被商品形式完全承载的欲望。\n这种不相容的可能性，这些无法被同化的异质性成分，这个资本主义之外的世界，其实就内在于主体之中。它不是一个已经成形的立场，而是使主体无法完全等同于其社会角色的偏差，是未被意识形态彻底覆盖的主体裂隙。\n然而，这本身并不直接构成对资本主义的威胁。资本主义不消除这种裂隙，而是将它重新吸纳进现有秩序：由于缺乏物质实践基础，这种裂隙只能以短暂的幻想、私人的不满等形式出现，并随后被消解、被延宕、被重新编码，最终经由再生产而成为秩序本身的一部分。\n不过在特定条件下，这种微观的主体裂隙，仍可能转变为宏观的社会断裂：分散的经验需要被共同化，成为可被识别的集体现象；个体之间需要形成稳定联系，能够在组织中相互支撑；新的实践方式需要出现，哪怕只是局部偏离既有秩序。在这一过程中，革命主体并不是预先存在的，而是动态生成的。它不是某个既定的阶级，而产生于对结构的偏离与重组。\n因此，革命的关键，不应该是寻找某种预设的主体并帮助他们认清现实——真正的且首要的革命任务，是组织起共同经验以连接个体，是创造新的实践形式以中断资本主义的再生产。\n总结 无论如何，天然的革命主体并不存在。革命不是某个阶级的使命，也不是历史自行发生的进程。那些等待阶级觉醒的理论，不过是在重复一种幻觉：只要现实足够清晰，人们就会反对它。\n但历史一次又一次地否定了这种幻想：只要原来的实践结构仍在运作，再清醒的认识也只会被重新吸纳。\n革命的关键不在于认知的觉醒，而在于实践的断裂——当再生产本身遭遇失败，当主体无法继续成为其自身时，一种真正的否定才可能出现。只有那些原本分散、短暂且私人的不一致，无法被整合进既有结构时，它们才可能汇作一种能够改变现实的力量。\n革命主体并不预先存在于结构，而是在实践的断裂中被动态地生成。革命主体并不等待被发现，它就在秩序的失败里存在。\n","permalink":"https://juemuren.github.io/blog/posts/phil/%E4%B8%8D%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%A4%A9%E7%84%B6%E7%9A%84%E9%9D%A9%E5%91%BD%E4%B8%BB%E4%BD%93/","summary":"埋葬对列宁式革命的憧憬，迎接更加混乱但同时拥有更多可能的现实世界吧。","title":"不存在天然的革命主体：请停止对无产阶级的幻想"},{"content":"女性主义的全球浪潮 第一波女性主义浪潮：对形式平等的追求 女性主义运动的第一波浪潮，其主要思想源于自由主义。当资本主义随着启蒙运动和工业革命而节节胜利时，女性却被排除在公民之外。\n因此，女性开始争取选举权、财产权、受教育权以及平等的就业机会。此时女性主义运动所追求的正是一种形式平等：在规则层面消除对女性的公开歧视。\n自由主义女性主义的逻辑清晰而直接：只要男性和女性在机会上完全平等，那么所有不平等的结果就都应归结为个人天赋与努力的差异——如同高考一样，只要所有人都享有平等的受教育权利、参加同一场考试、按同一标准评分，那么分数高低便只是个人差异，而非社会不公。自由主义女性主义者相信，一旦法律上的障碍被拆除，女性就能凭借自身能力获得应有的社会地位。\n第一波女性主义浪潮取得了显著成果：在选举权、财产权、受教育权等领域，女性的法律地位得到了明显的改善。但其局限性也同样明显：家庭、再生产劳动等私人领域未被触及，对女性的结构性压迫、系统性歧视等未被发现。这些搁置的问题，在之后引爆了第二波女性主义浪潮。\n第二波女性主义浪潮：对现有体系的批判 在第二波浪潮兴起之前，出现了两股重要的思潮：一是恩格斯《家庭、私有制和国家的起源》所代表的马克思主义女性主义，二是波伏娃《第二性》所代表的存在主义女性主义。\n在《家庭、私有制和国家的起源》里，恩格斯尝试解释家庭的起源：家庭是为了传承私有财产而发明出来的最小经济单元，而家庭的出现正是男性控制女性的结果。在专偶制确立之前，部族普遍以母系传承血统。由于生理结构的差异，女性可以确定自己后代的血统归属，而男性则无法做出这样的保证。随着私有制的出现，男性为了传承私有财产，需要将女性束缚在家庭之中，防止其接触别的男性，以保证血统的纯正。\n因此可以说，后来女性主义所讨论的父权制，其归根结底就是为了控制女性的身体而出现的。\n不过，因为恩格斯认为父权制源于私有制，所以只有先消灭私有制，才能彻底消除父权制，否则私有制还会不断地生产出父权制。此时的马克思主义女性主义在实践上将首要任务置于消灭私有制，并没有提出消灭父权制的方法。\n在《第二性》里，波伏娃尝试解释女性的处境：基于存在主义的哲学前提——人的存在先于本质——可知，男女皆无固定的本质，一切都只是自由选择的结果。但，波伏娃借用萨特的理论，将他者对自我的“凝视”套用到男性对女性的“凝视”上，指出这种凝视使女性沦为“他者”，从而丧失了主体性。当然，存在主义强调自由不可剥夺，女性成为“第二性”实际上只是一种自欺。只有直面自由，承认自己是主体，并承担与自由选择相对应的责任，女性才可以摆脱自欺，摆脱沦为他者的困境。\n因此可以说，后来女性主义所讨论的父权制，造成了女性容易陷入自欺的处境。\n不过，因为波伏娃始终没有抛弃先验主体的假设，所以她主要关注于女性如何觉醒，并没有详细讨论该如何消灭父权制。\n真正引领第二波女性主义浪潮的，是受这两种思想所启发的激进女性主义和社会主义女性主义。二者均聚焦于对女性的结构性压迫，并将批判延伸至家庭这一私人领域。\n在扫清法律障碍、进入现有体系后，女性发现：职场、学界、文化、语言等各种领域都是由男性主导的，都存在着对女性的隐形压迫。激进女性主义将其称为父权制，视作女性被压迫的根源，并进行了系统的讨论。\n在实践中，这导向了两种不同的方法：一派主张颠覆现有的、由男性主导的体系，在文化、语言和社会规范等领域对父权制进行全面清算；另一派则主张一种分离主义，即女性从现有的体系中脱离，建立全女性或女性友好的平行体系，以对抗父权体系。\n社会主义女性主义同样承认父权制的普遍存在，不过更强调其与资本主义的合谋。这种合谋导致劳动力再生产的成本由女性无偿承担。\n所谓再生产劳动，指维持和更替劳动力的全部过程，包括\n劳动力的日常维持：让今天的劳动者能够恢复体力、充满精神地继续明天的工作，比如做饭、洗衣、打扫、提供情感慰藉 劳动力的代际更替：生育和抚养下一代劳动者，让其从婴儿变成合格的劳动力，比如怀孕、分娩、哺乳、抚育 社会主义女性主义指出，资本主义需要劳动力的再生产，而父权制正好提供了现成的性别分工模式。通过将女性的再生产劳动定义为“私人的”和“非经济的”，资本家得以无偿占有其最终的成果。资本家支付的工资仅用于购买现成的劳动力，而再生产的价值则不被承认。这一方面这加剧了资本的剥削，不仅攫取了劳动力的剩余价值，还完全占有了劳动力再生产的全部价值；另一方面这也导致了家庭内部女性的地位低下，使其在经济上依附于作为劳动力的男性。\n针对这一问题，社会主义女性主义提出了两类解决方案：一派主张激进的革命，要求彻底改造现有的生产关系，从而实现再生产劳动的社会化；另一派主张温和的改良，要求政府从资本家手里收税，并以此补贴女性的家务、生育等劳动。\n除此之外，还有一些市场化的方案。一种是让再生产劳动本身市场化：原有的家庭制度将解体，取而代之的是市场上的家政、情感陪伴、性、代孕、抚养等服务。另一种是让婚姻本身市场化，男性在结婚时必须为女性的再生产劳动预先支付报酬。但这些方案都没有威胁到资本主义，因此未能真正解决问题——为再生产劳动支付工资的主体不是从这种劳动中获利的资本家，而是同样被剥削的男性。所以这并非社会主义女性主义的主张，而更像自由主义视角下为证明“资本主义可以脱离父权制”而进行的设想。\n激进女性主义批判父权制、社会主义女性主义批判资本主义，二者均不满现有体系，因此在实践中形成同盟，共同主导了第二波浪潮。这波浪潮和前一波有着鲜明的区别：自由主义女性主义主张“平等进入现有体系”，而激进女性主义和社会主义女性主义批判现有体系；自由主义女性主义关注法律、政治等公共议题，而激进女性主义和社会主义女性主义深入了家庭、性等私人领域。\n第二波女性主义浪潮同样取得了实质的成果：传统体系受到了一定程度的冲击，再生产劳动的价值也得到了一定程度的承认。然而，在这些成就的背后，隐藏着未被充分质疑的预设：存在一个自然的、统一的“女性”身份，以及一个单一的、普遍的“父权制”或“资本主义”敌人。随着运动的深入，黑人女性、第三世界女性、女同性恋者等群体开始发声，指出主流女性主义往往以中产阶级白人女性为模板，掩盖了种族、阶级、性取向等维度的差异。这种对“普遍女性经验”的质疑，最终催生了第三波女性主义浪潮。\n第三波女性主义浪潮：对性别本质的解构 第三波浪潮深受后现代主义影响。所谓后现代主义，可以视为后结构主义的激进化应用。后结构主义提供了解构、差异、权力-知识、精神分析等工具，而后现代主义将这些工具用于政治、文化和日常生活等更广阔的领域。\n首先，后现代女性主义质疑“女性”这一身份的统一性和自然性。之前的女性主义总是预设了“普遍女性经验”和“共同敌人”——对于自由主义女性主义这是不平等的法律，对于激进女性主义这是父权制，对于社会主义女性主义这是资本主义——但后现代女性主义拒绝这种本质主义。著名的性别操演理论认为：社会性别并非内在本质的外在表达，而是通过不断重复穿衣、姿态、说话等行为而模仿或扮演出来的。即社会性别是建构出来的，不存在所谓等待被解放的“女性本质”，只有持续生成的性别实践。\n其次，后现代女性主义重新阐述了权力的运作方式。权力不再是简单的禁止或压迫，而是毛细血管式的、生产性的：医学话语、广告、教育等知识体系持续生产着“规范的女性主体”。人们通过内化这些话语，进行着自我规训：主动按照权力的要求塑造自己的身体与行为。\n接着，后现代女性主义致力于瓦解形而上学中的二元对立。像男性/女性、异性恋/同性恋这样有着等级秩序的对立，并非自然存在，而是被话语建构出来的。对立项之间彼此构成、相互渗透，而非纯粹排斥——“男性”的定义中已经隐含了对“女性”特质的压抑。因此，不存在“男人”和“女人”这两个本质实体，只有不断流动的“生成”过程，任何主体都可能偏离固定的性别范畴。\n最后，后现代女性主义主张以微小叙事替代宏大叙事，强调多元与包容，反对本质主义的身份政治。不同处境下的女性——包括阶级、种族、性取向、文化背景等——需要不同的解放路径，没有一个抽象的“女性”身份可以用来代表所有的女性。\n于是，女性主义运动开始警惕那些对“女性”进行本质定义的行为，以避免落入新的权力规训。然而，正是由于“女性”这一概念被解构，运动也陷入了一个“差异的迷宫”。在这个意义上，后现代女性主义造成了行动上的瘫痪。不过往好处说，后现代主义也推动了多元包容的实践，女性主义开始正视多种维度的差异，避免以单一经验掩盖其它的声音。\n后现代之后 第四波女性主义浪潮并未出现全新的思想，而只是对之前的理论工具进行了更广泛的应用。如果说第三波浪潮在学院内解构了“女性”的本质，那么第四波浪潮则是在互联网技术的催化下，将这些解构后的碎片投入了前所未有的全球性实践。\n后现代主义对宏大叙事的警惕和对差异与多元的强调，在第四波浪潮中被内化为一种行动直觉：更倾向于“修补局部裂缝”而非“推翻整座大厦”。虽然这种转变显得很务实，但也使得女性主义失去了那种“团结起来彻底改变世界”的激情。究其原因，至少有三点\n后现代主义解构了作为统一政治主体的“女性”，使得“谁能代表女性”成为一个无法自洽的问题，集体行动的基础随之被动摇 资本主义展现出强大的收编能力——女性主义符号被广告、影视、企业文化等吸纳为一种叙事，反抗最终被转化为个人化的生活方式选择 全球范围内大规模社会动员的空间本身在收缩，抗议成本上升、组织难度加大，运动不得不走向原子化、日常化 最终，女性主义在第四波浪潮中呈现出一种矛盾的状态：它比历史上任何时候都更普及、更日常、更贴近个体的微观体验，但也比任何时候都更不可能形成改变宏大结构的集体力量。女性主义变成了装饰现有秩序的一块补丁——精致、多样、无处不在，却难以再撕开通向另一个世界的裂缝。\n女性主义的本土实践 反封建斗争：自由主义女性主义的启蒙 尽管在近代中国，救亡需求常常压倒了启蒙任务，但自由主义女性主义仍取得了重要进展。\n新文化运动时期，一批知识分子大力倡导“妇女解放”，批判传统礼教对女性的束缚。更有一批革命女性以实际行动投身反封建斗争，为女性争取政治权利、经济独立与人格尊严。\n在法律层面，国民党政府颁布的民法首次在形式上赋予女性平等的财产权、继承权和婚姻自主权，并废除了部分封建婚姻习俗。\n与此同时，共产党也在革命根据地积极地推行妇女运动。这些实践虽受限于战争环境，却在某些层面超越了自由主义女性主义。\n人民公社运动：社会主义女性主义的胜利 新中国成立后的社会主义改造将生产资料集体化，而人民公社运动则进一步将再生产劳动社会化：通过集体食堂、集体洗衣房、集体托儿所等公共设施，女性大规模地走出家庭，直接参与农业和工业建设。“妇女能顶半边天”就是这个时代的标志性口号。\n在人民公社制度下，生产成果归公社集体所有，公社内部对其进行民主管理和分配。参与劳动的妇女和集体设施的负责人都可以参与决策并获得报酬，再生产劳动的价值不再被视为“私人事务”，而得到了制度性的承认。\n这在全球范围内都堪称壮举：女性的劳动参与率达到了历史新高，传统的性别分工模式被彻底颠覆。虽然这项运动后来由于各种原因而被迫停止，但其在性别解放层面的尝试——将女性从家庭劳动中解放出来，实现经济独立和政治参与——仍具有重要的历史意义。\n改革开放：激进女性主义的复兴和特色社会主义女性主义的形成 改革开放后，人民公社逐步解体，生产资料向私人化、市场化转型，再生产劳动也重新被推回到家庭内部。尽管初期女性整体劳动参与率仍处在较高水平，但由于女性再生产劳动的价值并没有得到制度性的承认，因此女性事实上面临着劳动和再生产劳动的双重负担。与此同时，劳动力市场出现了性别歧视，女性在就业竞争中处于不利地位。这些都迫使女性放弃或减少劳动，回归家庭，重新依附于男性。\n女性主义由此进入了一段摸索期。此时，社会主义女性主义因“防左”政策而奄奄一息；自由主义女性主义的主张又已基本实现，且无法解释日常生活中的隐性压迫。因此激进女性主义逐渐成为了民间的主要派别。\n不过，社会主义女性主义并未完全消失，而是被“特色化”所修饰，形成了“特色社会主义女性主义”：淡化对资本主义生产关系的批判，试图在现有法律和市场框架内，通过司法倾斜和习俗改造来补偿女性的再生产劳动。彩礼于是从“封建陋习”被重新诠释为“再生产价值补偿”的现代形式，并得到了事实上的制度性承认。\n至此激进女性主义和特色社会主义女性主义完成了合流：前者提供批判的话语资源，后者提供可操作的政策工具。在二者的引领下，女性主义逐渐形成了今天的复杂图景。\n当下 中国当下的女性主义运动呈现出明显不平衡的格局：毫无疑问，激进女性主义依然在民间话语里占据多数，并与特色社会主义女性主义维持着同盟关系，一起主导了女性主义的相关议题。\n其余的女性主义派别虽然存在，但更多是以对抗或补充的形式出现，只被动地回应前两者的主张\n自由主义女性主义目前通常由男性群体倡导。该派别强调机会平等和市场竞争：只要形式规则是中性、普遍的，那么任何结果上的差异都应归因于个人天赋、努力程度或市场选择。然而在激进女性主义看来，这种解释完全回避了女性受到的结构性压迫，不过是为现状辩护。在彩礼议题上，自由主义女性主义往往只能借“再生产劳动市场化”来批评彩礼“缺乏性价比”或“效率低下”，难以从根本上对已经实现了“婚姻市场化”的彩礼进行道德批判。 男性主义是近年来迅速崛起的另一股重要力量。它虽然不属于女性主义谱系，却回应了女性主义的诸多议题。男性主义的核心叙事是“性别不平等反转”：认为当代司法实践已系统性偏向女性，导致男性面临高额彩礼、财产分割不利、虚假指控等结构性风险。该派别主张纠正司法倾向、取消彩礼潜规则等。这是激进女性主义最直接的论战对象。 后现代女性主义在国内缺乏生存和发展的土壤，因此尚未拥有成规模的群体。但后现代主义思潮仍间接影响了国内的女性主义运动：部分吸收了差异和解构的逻辑，却未带来真正的多元与包容。对于 LGBT 等性少数群体，除 L 外均未得到激进女性主义者的普遍接纳；对于女性内部的差异，激进女性主义者承认其存在，却不愿意接受，常常幻想所有女性还可以作为一个无差别的主体去行动，并在现实的分歧出现后演变为尖锐的对立。 至于特色社会主义女性主义，其早已抛弃了对抗资产阶级的立场，转而将家庭内部的男性视为主要博弈对象。其主要贡献就是将彩礼改造为补偿女性再生产劳动的现代制度。\n然而，这一改造存在根本上的局限，无法真正解决核心的问题\n补偿主体的错位。女性再生产劳动的价值被资本家无偿占有，理想的解决方案要么是变革资本主义生产关系，要么是政府对资本征税以补贴女性，而非让同样被剥削的男性承担。这不仅没有改变资本无偿占有再生产价值的现状，反而加剧了家庭内部的两性零和博弈。 受益主体的错位。彩礼通常支付给女方家庭，而非女方本人。在国内多数家庭依然残留父权制的现实下，这笔钱更可能被用来给女方的弟弟买媳妇，而不是改善女方个人的经济独立性。当然，这是因为对彩礼的改造还不够彻底——不过，既然已经有了法律功能更健全的现代合同，为什么还要保留一个物化女性的旧习俗呢？ 支付形式的错误。即使按照特色社会主义女性主义的逻辑，彩礼也还是一笔“男方一次性买断女方的再生产劳动”的交易。结合受益主体的错位，这笔交易则显得更加危险：女方自己偿还债务，而受益人却不直接是女方本人。这种婚姻关系既不健康，也不稳定，更不幸福：男方担心债务人跑路，女方则感觉被债权人控制。最后的结局往往是在离婚诉讼里打财产纠纷的官司。 彩礼制度的理想形式试图实现婚姻本身的市场化，这虽然间接承认了女性再生产劳动的价值，但也把女性抛入了一个危险的处境。不过，由于其确实满足了部分现实需求，因此仍在实践中得到了广泛的应用。\n最后是激进女性主义，其政治诉求主要集中在社交媒体的话语争夺与生活方式的个人抉择上。虽然这一群体高度活跃且存在分裂，难以总结出具体的主张，但其核心立场始终是清晰的：父权制是一切压迫的根源，必须在文化、日常生活等领域对其进行清算。由于后现代主义的影响，这一派别也从宏大叙事转向了碎片化、个人化的实践。\n总结 如果说，第一波女性主义浪潮是“被排除者要求进入”，第二波女性主义浪潮是“进入后发现体系本身存在问题”，那么第三波及之后的女性主义浪潮，则是连“什么是女性”这一前提都不再牢固。后现代主义带来的差异和解构，使曾经的宏大革命热情，让位于局部修补与个人化的日常实践。\n在国内，虽然时间不完全一样，但这些思潮也都相继出现：反封建斗争带来了自由主义女性主义的启蒙；人民公社以再生产劳动社会化的方式，短暂地实现了社会主义女性主义的胜利；改革开放后，激进女性主义迎来复兴，并与新出现的“特色社会主义女性主义”合流，共同主导了当下的女性主义运动。\n在过去，女性主义者的激情总是指向那些宏大的结构，人们普遍相信解放女性同时也是解放男性；但在后现代主义的影响下，女性主义运动转向碎片化、原子化的实践，那种激情逐渐消失在日常诉讼、彩礼争端和社交媒体的对峙之中，并加剧了不同群体之间的对立与误解。这可能就是女性主义运动在公共舆论中日益陷入争议的原因吧。\n","permalink":"https://juemuren.github.io/blog/posts/phil/%E6%B6%88%E5%A4%B1%E7%9A%84%E6%BF%80%E6%83%85/","summary":"关于女性主义的四次浪潮，及其在本土既相似又特色的实践。","title":"消失的激情：女性主义的全球浪潮与本土实践"},{"content":"异化词义的演变：从神学到法兰克福学派 卢梭：自然权利的转让 在进入哲学之前，“异化”一词主要出现在两个领域：法学上指所有权的转让，神学上指人与神的疏离。\n最早将“异化”引入哲学讨论，并赋予其新含义的当属卢梭。\n卢梭认为，人进入社会必须要自我异化全部的自然权利——把自由、财产、自卫权等转让给共同体，并以此建立社会契约。这种异化使个体作为共同体的一员，参与公共意志的形成，从而将自然自由转化为公民自由。\n显然，卢梭的异化更接近原法学的含义。在这一语境下，异化是主动的、契约性的，且具有建构共同体的积极功能，基本上可以视为一个中性甚至偏正面的术语。\n黑格尔：精神的外化 黑格尔赋予了“异化”全新的哲学内涵。\n在黑格尔的哲学体系中，绝对精神为了实现自我认识，必须首先将自身外化为自然、社会、历史等客观对象——这是精神自我发展的必经环节。而异化则是外化的一种特殊、扭曲的形态：主体创造了一个对象，但这个对象反过来成为异己的、与主体相对立的力量。精神必须通过认识和克服这种对立，即“扬弃异化”，才能最终回归到更高层次的自我统一。\n相比卢梭，黑格尔的异化明显来自神学：主体在自身外化的过程中产生了自我疏离。\n至此，“异化”第一次具有了“主体分裂出对立的客体”这层贬义色彩。\n马克思：从哲学批判到科学批判 马克思批判黑格尔的唯心主义，并将异化从精神领域拉回物质生产领域。青年马克思提出：在资本主义制度下，生产资料被资产阶级垄断，无产者只能通过出卖劳动力来换取生活所需的物资。于是，无产者的劳动产品被资本家占有，这导致了四个维度的异化\n人与劳动产品相异化：劳动创造的产品变成商品、资本等统治自身的异己力量。 人与劳动活动相异化：劳动不再是自由自觉的活动，而沦为被迫的、外在的苦役。 人与人的本质相异化：人的本质是自由自觉的活动，但资本主义使劳动降格为维持肉体生存的手段，人因此偏离了自己的本质。 人与人相异化：上述三种异化直接导致无产者与资本家之间、无产者与无产者之间产生了对立关系。 不过，这一阶段的异化理论带有鲜明的人本主义和人道主义痕迹，其更像是对资本主义的道德谴责。\n而成熟马克思创立了历史唯物主义和剩余价值理论，开始用生产力与生产关系、剥削、资本积累等政治经济学概念，对资本主义进行科学分析。此时，“异化”虽然作为一种对现象的描述偶尔还会出现，但已不再是其理论体系的核心。这一转变最重要的影响是，对资本主义的批判不再依赖“人的本质”这一危险的形而上学假设，只需通过揭示资本主义的内在矛盾，就可以证明资本主义必然走向危机与灭亡。由此，消灭资本主义不再是一种将人从异化中解放出来的道德呼吁，而是变革落后生产关系、防止其阻碍生产力发展的历史必然趋势。\n马克思之后 尽管异化在马克思的后期著作中被边缘化，但其并未完全退出哲学舞台。\n卢卡奇提出了“物化”概念，继承并发展了青年马克思的异化理论。此后，法兰克福学派将异化范畴扩展至文化工业、技术理性、社会心理及日常生活等各个领域。异化一词之所以能在人文社科中广泛流传，很大程度上要归功于法兰克福学派。\n近几年异化在中文互联网上相当流行，即使在政治话题之外也经常能看到这个词语。显然在大部分的场景中，异化都更接近于青年马克思的用法：人及其活动偏离了本质，人从主体沦为客体，被自己创造出来的产物所支配。比如\n劳动的异化：劳动偏离了其自由创造的本质，变成只因谋生而进行的、被迫的活动；人从劳动的主体沦为客体，劳动者被当作商品交易，被资本逻辑宰制 学习的异化：学习偏离了其智识探索的本质，变成争夺社会地位的工具；人从学习的主体沦为客体，学习者被当作知识流水线上的机器，受绩效指标压迫 游戏的异化：游戏偏离了其自由娱乐的本质，变成一种炫耀的手段；人从游戏的主体沦为客体，游戏者被评分、排名、输赢和成就所支配 毫无疑问，异化是一个有力的批判武器。但由于异化现象过于普遍，几乎出现在了所有领域，一些对异化理论的质疑便不可避免地被提及：所谓的本质，或者说那种未被异化的状态，真的存在吗？所谓的主体，真的能够不被客体化、不被自己创造出来的产物所支配吗？\n对异化理论的批判：来自结构主义与后结构主义的挑战 事实上，不管是卢卡奇派还是法兰克福学派，都在某种程度上回应了这些质疑：卢卡奇派保留了对解放的承诺，认为主体有能力彻底扬弃异化，抵达一种更高的统一；法兰克福学派不再相信这种彻底的统一性，但依然认为可以有局部的抵抗。\n然而，这种略微矛盾的回答反而引起了更多有关异化的疑问。要重建异化理论，必须触及其哲学根基，即探讨一个更为根本的形而上学问题：人的本质是什么？主体如何产生？\n对于这一问题，西方近代哲学往往预设了先验主体作为人的本质。可以说，最系统地颠覆了这一传统的，就是结构主义和后结构主义，其回答可概括为：人是被各种结构建构出来的，没有先天的、内在的本质；结构先于主体并生产了主体，先验主体是不存在的。\n后文将根据结构主义和后结构主义，从本质与现象、主体与客体、偏离与复归三个层次展开对传统异化理论的批判，并提出一种对异化的替代性理解。\n本质和现象：纯粹本质是一个幻觉 传统异化理论的核心逻辑隐含着一个二元对立结构：存在着一个真实的、应然的“本质”，当现实偏离这一本质时，便发生了异化；批判的目的在于纠正偏离、回归本质。\n然而，结构主义拒绝任何先验的“本质”。\n索绪尔的语言学揭示，意义不是预先内在于某个词，而是产生自差异性的符号关系网络。即单个词的意义由这个词与其它词的差异、由这个词在整个语言中的位置所决定。\n斯特劳斯将这一方法推广至人类学领域，指出所谓“人的本质”不过是特定亲属结构、神话逻辑或经济关系中的一个功能性位置。例如，并非先有一个“自由人的本质”，后被雇佣劳动异化，才出现“工人”这一身份。恰恰相反，“工人”只有在“资本”“机器”“工资”等结构要素之中才能获得其社会意义。不存在脱离具体社会结构而悬设的抽象人本质。\n后结构主义则进一步批判了西方形而上学中的“在场”执念。\n德里达指出，传统思想总是预设一个原初的、完满的、未经分化的在场，然后认为历史是对这一在场的偏离或堕落。然而，这种“原初”本身只是一种语言效果，是被后来建构出来的、用以维系某种秩序的怀旧叙事。在“延异”的运作中，任何起源都已包含着差异与延迟，不存在未被污染的纯粹开端。因此，“回归本质”是一个在逻辑上不可能实现的幻象。\n主体和客体：先验主体是一个神话 传统异化理论最著名的论断之一是：作为主体的人创造了作为客体的物，却反过来被这些物所支配和奴役。这一表述明确预设了一个自主、自因、先于社会而存在的“主体”。\n结构主义对此提出了最根本的质疑：主体不是历史的起源，而是结构的产物。\n阿尔都塞明确指出，历史是一个“无主体的过程”。并非先有一个叫“人”的抽象主体去创造世界，随后遭受异化；相反，是生产方式、意识形态国家机器等社会结构先于个体存在，并通过“询唤”将个体建构为主体。一个人之所以感到被商品、金钱或官僚体制所支配，不是因为他作为主体的本质被异化，而是因为他被建构为一个处在资本主义结构特定位置上的主体。因此，所谓“从主体沦为客体”的描述是一种认识论谬误——人从来就不是纯粹自主的、脱离结构而独立存在的主体。个体的欲望、意识乃至反抗冲动，都是结构运作所产生的效果。\n后结构主义从不同路径深化了这一批判。\n福柯的知识考古学与权力谱系学表明，“主体”是话语实践与权力-知识网络的产物。现代监狱、医院、学校等机构不是外在于人并奴役人的“异化力量”，相反，它们通过规训技术与规范化裁决，直接塑造了“人”的内涵与边界。不是存在着先于权力关系的“自然人”，然后其被异化为现代囚犯、病人或学生；而是权力关系通过身体、生产等场域创造出了特定的主体形式。因此，不是先存在着主体，随后主体被“异化”；而是“规训”与“自我技术”构成了主体化的机制。\n拉康的精神分析则从另一个维度揭示了主体的构成。在拉康看来，人的主体性是于俄狄浦斯结构中被“阉割”所产生的效果。个体必须屈从于象征秩序中的法则，通过放弃原初想象并认同象征界的能指结构，才得以作为一个主体进入社会。在此意义上，根本不存在从完整到残缺的“异化”过程，因为主体的诞生本身就伴随着原初的缺失与分裂。主体从一开始就是“异化”的，且这“异化”是构成主体的条件，因此无法消除。\n偏离和复归：消灭异化是一种宏大叙事 传统异化理论暗含了一个目的论的时间观：起初，人处于未被异化的本质状态；随后，历史发生了某种堕落，从而人偏离了自身的本质；最终，通过某种形式的革命或救赎，人扬弃异化并复归本质。\n后结构主义将这种叙事模式诊断为典型的“元叙事”。\n利奥塔指出，这种关于人类解放的宏大叙事，在后工业社会与知识状况变革中已经丧失可信性。我们不再普遍相信历史总是朝向一个终极的、统一的、解放的终点前进。\n德里达进一步揭示，这种追求同一性复归的叙事必然内含着对他者、差异与异质性的压抑：为了界定一个纯净不染的“本质自我”，必须排除一切无法被同化的外部元素。异化理论在批判资本主义异化现实的同时，其本身也在构造一个封闭的同质化乌托邦愿景。\n构成性外在：对异化的替代性理解 结构主义与后结构主义并没有简单地宣称“异化不存在”，而是指出传统异化理论的提问方式陷入了形而上学的陷阱。因此，根据结构主义与后结构主义，一种对异化的全新理解为\n没有内在的本质，只有外在的结构性位置。所谓“异化感”，就是主体意识到结构运作机制、意识到自身位置被结构所限定时所产生的效果。 人被语言、符号秩序、资本逻辑等结构所支配，并不是这些结构“偏离了人的本质”，而是人只有进入这些结构，占据其中的某个位置，才能成为一个主体。人既是主体也是客体，人的产物既支配了自身，也提供了主体得以被生产出来的条件。所谓“异化现象”，就是结构创造、改变主体的过程。 基于此种理解，批判的任务便不再是“消除异化、复归本质”，而是揭示各类结构如何运作，分析主体如何在特定结构中被定位和生产。政治实践的目标也因此转为：在承认结构先于主体存在的前提下，于结构内部进行局部的、游牧式的抵抗与重新配置。\n总结 从结构主义与后结构主义的视角回看，传统异化理论实际上是现代人道主义的最后神学形态——它将对社会现实的批判，不自觉地建立在对一个虚构的、完满的“人”的信仰之上。这一信仰预设了一个未被异化的本质状态、一个自主自因的普遍主体以及一条从堕落到救赎的历史道路。然而，这些预设恰恰是二十世纪后半叶的思想运动所着力拆解的对象。\n结构主义与后结构主义提醒我们：人并非一个永恒在场的实体。但这绝不意味着我们失去了批判资本主义的武器。恰恰相反，这一理论变革使批判摆脱了对“人的本质”这一形而上学假设的依赖，转向对具体权力机制、话语实践与结构效应的分析与干预。把“什么是人的真正本质”这一追问，改为“人怎么被建构为这样的主体”“这种建构该如何改变”或许是更严谨、更有效的批判方式。\n值得指出的是，马克思本人作为异化理论的主要奠基者，其实早已完成了类似的转向，尽管这直到数十年后才被阿尔都塞系统地阐明。对异化理论哲学根基的挑战，非但不会动摇马克思主义的批判效力，反而将这种批判从人道主义的形而上学陷阱中解救出来。真正对马克思主义构成威胁的，是对其政治经济学的回避或庸俗化，而非对其异化理论的批判性反思。\n","permalink":"https://juemuren.github.io/blog/posts/phil/%E5%BC%82%E5%8C%96%E7%90%86%E8%AE%BA%E6%89%B9%E5%88%A4/","summary":"溯源异化一词的哲学起源，并批判异化理论自黑格尔以来所蕴含的本质主义。","title":"异化理论批判：告别人的神话"},{"content":"本文首先介绍了存在主义、结构主义和后结构主义的三种主体观，以及各自所对应的文学作品解读视角。随后以渡边淳一的《失乐园》为例，依次从主体中心视角、结构中心视角和生成式视角对其进行鉴赏，并以此论述同一文本在不同主体观下，可以生成截然不同的意义谱系。\n两种对立的主体观 文学作品中总是存在着人物和世界：文学的本质是写人物，而人物又必然处在特定的世界之中。当我们追问到底是人物的意志改变了世界，还是世界的法则摆布了人物时，文学鉴赏便步入了另一个领地——用哲学的说法，这是“主体与结构”的关系之争。\n在二十世纪的哲学史上，对于这一问题的争执，导致了两种哲学思潮的对立：存在主义和结构主义。\n存在主义与主体中心视角 存在主义认为主体是先验的，是永远自由的。存在主义强调“存在先于本质”：人首先作为自由的主体存在，然后在选择中定义自己。\n因此，在存在主义看来，文学作品里的所谓结构，包括社会、家庭、命运等都只是背景，主体的选择才是作品的核心。我称这种解读为主体中心视角。\n结构主义与结构中心视角 结构主义则认为主体并非先天存在，而是被后天建构出来的。结构主义强调“结构先于主体”：语言、亲属关系、经济体系等无意识结构塑造了主体。\n因此，在结构主义看来，文学作品中所谓主体的反抗只是为了凸显其背后的结构，结构如何支配主体才是作品的核心。我称这种解读为结构中心视角。\n后结构主义与生成式视角 在存在主义与结构主义对立之中，后结构主义出现了：其质疑存在主义的“先验主体”和结构主义的“固定结构”，并尝试打破“主体”与“结构”的二元对立。\n后结构主义认为，主体与结构是相互生成、彼此解构的。由此产生了第三种视角——生成式视角。这种视角关注身份、权力、话语等如何在叙事中流动。\n将这三种视角用于文艺作品，能产生迥异的解读：主体中心看到英雄，结构中心看到悲剧；主体中心赞美自由，结构中心批判社会；而生成式则在二者之间揭示流动的本质。\n对《失乐园》的鉴赏 渡边淳一的《失乐园》是一篇情爱小说，以大胆的色情描写和对传统婚姻道德的挑战而出名。\n概括地说，这本书的内容就是一个有夫之妇和一个有妇之夫的故事：男主久木和女主凛子因对既有生活的不满而相互吸引，在彼此身上重新找回被压抑的生命激情。随着关系的加深和暴露，他们原有的婚姻与事业相继破裂，并逐步走向与社会的彻底疏离。最后，二人在一栋偏僻的乡间别墅里做爱，于共同的性高潮中服毒殉情。\n这个故事非常适合展示主体、结构与生成之间的张力，因此后文我将用上述的三种视角分别解读和鉴赏《失乐园》这部作品。\n主体中心视角 主体中心视角的核心是：主体先于结构，故事中的主体通过自由选择反抗结构，展现了人性的高光。\n在这一视角下，久木与凛子是清醒的行动者：明知婚外情违反社会规范、家庭契约，却依然一步步走向深渊——这种“明知不可为而为之”正是存在主义式的自由选择。\n久木 55 岁，身为出版社副部长，却早已在婚姻中丧失了激情；凛子 37 岁，嫁给了一名医生，也同样内心空虚。他们相遇后，并非被动地任由“婚外情”这一社会标签所裹挟，而是主动地选择拥抱这份爱。小说开篇即以两人性爱场景的详细描写切入，随后通过一系列具体选择展现了他们的主体性：从工作中的偶然相遇，到租下涩谷的秘密爱巢，再到毅然辞职、隐居于凛子父亲去世前留下的轻井泽别墅，每一步都是他们作为主体的自由选择。结构——婚姻制度、职场文化以及日本社会对中产阶级的体面要求——试图以舆论、指责、夺职、家暴来驯服他们，但两人以肉体与精神的极致契合作为反抗武器，以“活得真实”作为最高法则，拒绝了任何形式的妥协。\n而最终的双双殉情，也并非愚昧和冲动所导致的悲剧，而是主动选择以死亡封存这份爱，让激情永恒不朽。两人赴死前共同说着“不后悔”“没有什么可遗憾的”，就是反思自身存在的证明；在最后一刻仍用力地呼唤对方的名字，就是回到了人的本真状态。遗书中凛子亲笔写道：“请原谅我们最后的任性。请把我们两人葬在一起，这是我们最后的希望。”久木则在给妻女的信中附上“非常感谢你们多年来对我的关照”——这不是失败，而是用一种胜利者的姿态，宣告了对结构的彻底超越。他们用实际行动证明，任何事物都无法剥夺人的自由——死亡就是最后的自由，也没有任何凌驾于人之上的意义——人就是最终极的意义。\n作品歌颂的，正是存在主义式的人性光辉——存在先于本质，人用选择塑造了自己。他们通过在最幸福的一刻赴死，翻转了“失乐园”的含义：时间已经随着死亡而冻结，这个乐园将永远不会再失去。\n结构中心视角 结构中心视角的核心是：结构先于主体，故事展示结构如何生产、撕裂并消解一个主体，体现了现实的无情。\n在这一视角下，久木与凛子的故事是一部彻头彻尾的悲剧：他们被一种无意识的结构所支配，从相遇、沉沦到殉情都是命运的注定。\n结构首先生产了主体。日本战后的资本主义和父权制早已为久木和凛子量身定制了“空洞的中产人生”：久木被困在企业忠诚与家庭责任的双重枷锁中，凛子则被“贤妻良母”的话语规训成无欲的躯壳。他们的婚外情并非自由之举，而是结构的产物——婚姻制度承诺了稳定，却制造了情感荒漠；企业文化许诺成功，却榨干了生命力。久木在出版社的冷板凳使他失去对事业的认同，转向情欲寻求补偿；凛子的丈夫忙于工作、缺乏情感交流，使她的欲望被持续地压抑。看似偶然的相遇，实则是结构决定的必然命运；看似自由的选择，实则是结构在暗中支配。\n随后结构开始撕裂主体。久木和凛子试图从旧有的秩序中脱离，尝试离婚后同居——然而结构不允许他们轻易的离开。婚姻制度、职场文化、家庭观念乃至整个日本社会都不会容忍这种事情。结构以一种残忍的方式报复了他们：一封匿名告发信导致久木被逼到辞职，朋友纷纷疏远了他，妻子和女儿也不断对其进行指责；凛子则被母亲宣布断绝了关系，被自己的丈夫绑起来羞辱——这逐步地切断了他们与社会的连结，只能如同局外人一般过着隐居的二人生活。\n最后，结构以残酷的方式消解了主体。双双饮下毒酒自杀看似浪漫，实则是结构获得了最终的胜利。他们死于社会的谋杀，而非浪漫的殉情——这并非自由的选择，而是结构暴力下的唯一出口。社会不允许“失序的激情”长期存在，于是藉由“情死”这一古老的文化隐喻，把两个叛逃的主体重新收编进了“悲剧恋人”的道德叙事。所谓“失乐园”，就是结构如何吞噬个体的寓言：只要违背了神的意志，就将被造物主逐出伊甸园。主体如何被结构创造，就会如何被结构毁灭。\n生成式视角 生成式视角的核心是：主体与结构相互生成、彼此解构，边界随着故事的发展而不断滑动。\n在这一视角下，久木与凛子既不是单纯的“自由战士”，也不是单纯的“结构囚徒”，一切都在叙事中彼此纠缠、互相生成。\n结构自身包含了矛盾，它先制造了裂缝，然后才生长出主体的反抗——久木和凛子的主体性通过与结构的缠斗而生产出来，正是婚姻的压抑催生了他们极致的肉欲，正是企业的规训激发了他们辞职隐居的决断。他们的每一次越界——从午夜偷情到公开同居——也都在反过来解构着结构：神圣的婚姻被暴露为纸糊的牢笼，企业的忠诚被证明是可随时抛弃的累赘，日本社会“隐忍”的集体无意识也被一对中年男女的狂欢撕开裂口。同时，久木与凛子企图逃离婚姻结构，却创造了一个更为封闭的二人结构。这种“反结构的结构”制造了新的压抑，驱使二人朝着极乐世界飞奔，并最终导向了死亡。\n主体在反抗结构的同时也制造了压迫主体的结构，结构在压迫主体的同时也生产了反抗结构的主体。\n久木既是背叛者，又是忠诚的爱人；凛子既是良家妇女，又是情欲的狂徒——这一身份的流动，正是他们用性与爱重塑自我的结果。小说里大量细腻到近乎生理的性爱描写，构成了一个游离于社会系统之外的“微观权力场”——身体变为生成新主体的场域：既是结构规训的对象，又是主体逃逸的武器。同时，他们的殉情既是对社会规则的终极背叛，又是对日本传统殉情文化“心中”这一结构最忠实的重复。\n没有纯粹的主体，也没有纯粹的结构，只有不断生成中的复合体。\n最终，“失乐园”不再是简单的失落，而是主体和结构共舞后创造的新疆域：人既不是结构的奴隶，也不是自由的上帝，而是在生成与解构的永恒游戏中，一闪而过的幽灵。主体中心视角下的人性光辉与结构中心视角下的结构铁律，都不过是同一生成过程的不同侧影。\n总结 三种视角各有洞见，也各有盲点：主体中心视角可能低估结构的塑造力；结构中心视角容易陷入悲观决定论；生成式视角虽灵活，却难以给出清晰的判断。将它们并置，或许就是哲学式鉴赏的独特之处：这让我们看到了主体观如何影响对文学作品的解读。\n文学鉴赏没有唯一的标准，解读视角也不只有这三种。主体观并非文学鉴赏的“方法论工具”，而是决定我们如何“读”文本的先验框架。正是不同主体观之间的张力，才让文学解读具有了无限的魅力。\n","permalink":"https://juemuren.github.io/blog/posts/art/%E5%93%B2%E5%AD%A6%E5%BC%8F%E6%96%87%E5%AD%A6%E9%89%B4%E8%B5%8F/","summary":"用存在主义、结构主义和后结构主义三种主体观，分别解读渡边淳一的《失乐园》。","title":"哲学式文学鉴赏：以渡边淳一的《失乐园》为例论主体观对文学作品解读的影响"},{"content":"本文从一根弦出发，首先推导了描述其振动的偏微分方程，再用行波法逐步求得通解，之后继续考虑初始条件和边界条件得到特解，并用傅里叶级数对结果进行了展开。\n接着，本文讨论了驻波的性质，用传递函数对声音传播过程进行了建模，并介绍了人的听觉系统，解释了基频决定音高、拨弦位置影响音色的原因。\n最后，本文研究了乐理知识背后的数学原理，包括调律、和弦和节奏。\n全文很长，可以挑感兴趣的阅读。\n振动弦 众所周知，声音由振动产生。而对于大多数乐器，这种振动最初都是弦的振动。\n波动方程 不过，弦的振动毕竟较点的振动更为复杂，因此，我们要对问题进行简化：振动只能是竖直方向的。\n该假设使得弦上每一点的横坐标被固定。于是，我们可用函数 u(x,t)u(x, t)u(x,t) 来表示弦的振动，其中 ttt 为时间，xxx 为点的横坐标，uuu 为点的纵位移。下图展示了某一时刻的 u(x)u(x)u(x)，其中弦的两端被固定\n\\begin{tikzpicture}[x=1pt, y=1pt, font=\\normalsize] \\draw[gray, thin, -\u0026gt;] (0,0) -- (0,250) node[above] {$u(x)$}; \\draw[gray, thin, -\u0026gt;] (0,0) -- (400,0) node[right] {$x$}; \\node[gray] at (0,-10) {$0$}; \\node[gray] at (360,-10) {$L$}; \\draw[black, thick] (0,0) .. controls (150,220) and (300,60) .. (360,0); \\coordinate (P) at (60,70); \\filldraw[black] (P) circle (3pt) node[above] {$P$}; \\draw[gray, dashed] (60, 70) -- (60, 0); \\coordinate (Q) at (120,105); \\filldraw[black] (Q) circle (3pt) node[above] {$Q$}; \\draw[gray, dashed] (120, 105) -- (120, 0); \\draw[black, \u0026lt;-\u0026gt;] (60,20) -- (120,20) node[above, midway] {$\\Delta x$}; \\draw[blue, line width=2pt] (P) .. controls (80,85) and (100,98) .. (Q); \\draw[red, thick, -\u0026gt;] (P) -- ++(-28,-28) node[below right] {$\\mathbf{T}_1$}; \\draw[red, thick, -\u0026gt;] (Q) -- ++(36,10) node[above right] {$\\mathbf{T}_2$}; \\draw[black, thin, dashed] (60,70) -- (110,70); \\draw[purple, thin] (70,70) arc (0:-130:10) node[pos=0, below right] {$\\theta_1$}; \\draw[black, thin, dashed] (120,105) -- (170,105); \\draw[purple, thin] (130,105) arc (0:18:10) node[pos=0, below right] {$\\theta_2$}; \\end{tikzpicture} 现在我们对弦上一小段平衡时长度为 Δx\\Delta xΔx 的弧进行受力分析。显然 ∂2u∂t2\\frac{\\partial^2 u}{\\partial t^2}∂t2∂2u​ 就是这段弧的加速度。若用 μ\\muμ 表示弦的线密度，则据牛顿第二定律，可得\nΔF=μΔx∂2u∂t2 \\Delta F = \\mu\\Delta x \\frac{\\partial^2 u}{\\partial t^2} ΔF=μΔx∂t2∂2u​我们假设了弦不会水平运动，因此这段弧的两端点处，其张力之差只能是竖直方向的。用 TTT 表示张力的大小，θ\\thetaθ 表示与横轴的夹角，由于张力沿切线方向，竖直方向的分量为 Tsin⁡θT\\sin\\thetaTsinθ，从而\nΔF=Δ(Tsin⁡θ) \\Delta F = \\Delta (T\\sin\\theta) ΔF=Δ(Tsinθ)消去 Δ\\DeltaΔ 得到\nΔ(Tsin⁡θ)Δx=μ∂2u∂t2 \\frac{\\Delta (T\\sin\\theta)}{\\Delta x} = \\mu \\frac{\\partial^2 u}{\\partial t^2} ΔxΔ(Tsinθ)​=μ∂t2∂2u​如果振动产生的 θ\\thetaθ 足够小，那么 sin⁡θ\\sin\\thetasinθ 就可近似为 tan⁡θ\\tan\\thetatanθ。又因为张力沿着切线，所以 tan⁡θ=∂u∂x\\tan\\theta = \\frac{\\partial u}{\\partial x}tanθ=∂x∂u​，从而\nΔ(T∂u∂x)Δx=μ∂2u∂t2 \\frac{\\Delta (T\\frac{\\partial u}{\\partial x})}{\\Delta x} = \\mu \\frac{\\partial^2 u}{\\partial t^2} ΔxΔ(T∂x∂u​)​=μ∂t2∂2u​令 Δx→0\\Delta x \\to 0Δx→0，得到\n∂∂x(T∂u∂x)=μ∂2u∂t2 \\frac{\\partial}{\\partial x} \\left( T \\frac{\\partial u}{\\partial x} \\right) = \\mu \\frac{\\partial^2 u}{\\partial t^2} ∂x∂​(T∂x∂u​)=μ∂t2∂2u​我们只考虑 TTT 和 μ\\muμ 为常数的情况，因此\na2∂2u∂x2=∂2u∂t2 a^2 \\frac{\\partial^2 u}{\\partial x^2} = \\frac{\\partial^2 u}{\\partial t^2} a2∂x2∂2u​=∂t2∂2u​其中 a=Tμa = \\sqrt{\\frac{T}{\\mu}}a=μT​​。这就是一维的波动方程。\n通解 对于波动方程，多数人可能比较了解分离变量法，该方法的主要步骤如下\n假设 u(x,t)u(x, t)u(x,t) 可分离为只含 xxx 的函数和只含 ttt 的函数之积，即 u(x,t)=v(x)w(t)u(x, t) = v(x)w(t)u(x,t)=v(x)w(t) 将 u(x,t)=v(x)w(t)u(x, t) = v(x)w(t)u(x,t)=v(x)w(t) 带入原方程，分别求解 v(x)v(x)v(x) 和 w(t)w(t)w(t) 得到 u(x,t)u(x, t)u(x,t) 并验证假设是否正确 也就是说，分离变量法在得到解之前先假设了解的形式。我认为这非常不自然，因此选用行波法来求解，不过这要求更多的注意力。\n注意到，我们可引入两个新的变量\nξ=x+atη=x−at \\begin{align*} \\xi = x + a t \\\\ \\eta = x - a t \\end{align*} ξ=x+atη=x−at​分别求偏导\n∂ξ∂x=1,∂ξ∂t=a∂η∂x=1,∂η∂t=−a \\begin{align*} \\frac{\\partial \\xi}{\\partial x} =1 \u0026amp;, \\frac{\\partial \\xi}{\\partial t} = a\\\\ \\frac{\\partial \\eta}{\\partial x} =1 \u0026amp;, \\frac{\\partial \\eta}{\\partial t} = -a \\end{align*} ∂x∂ξ​=1∂x∂η​=1​,∂t∂ξ​=a,∂t∂η​=−a​由多元函数链式法则得\n∂u∂x=∂u∂ξ∂ξ∂x+∂u∂η∂η∂x=∂u∂ξ+∂u∂η∂u∂t=∂u∂ξ∂ξ∂t+∂u∂η∂η∂t=a∂u∂ξ−a∂u∂η \\begin{align*} \\frac{\\partial u}{\\partial x} \u0026amp;= \\frac{\\partial u}{\\partial \\xi}\\frac{\\partial \\xi}{\\partial x} + \\frac{\\partial u}{\\partial \\eta}\\frac{\\partial \\eta}{\\partial x} = \\frac{\\partial u}{\\partial \\xi} + \\frac{\\partial u}{\\partial \\eta} \\\\ \\frac{\\partial u}{\\partial t} \u0026amp;= \\frac{\\partial u}{\\partial \\xi}\\frac{\\partial \\xi}{\\partial t} + \\frac{\\partial u}{\\partial \\eta}\\frac{\\partial \\eta}{\\partial t} = a\\frac{\\partial u}{\\partial \\xi} -a\\frac{\\partial u}{\\partial \\eta} \\end{align*} ∂x∂u​∂t∂u​​=∂ξ∂u​∂x∂ξ​+∂η∂u​∂x∂η​=∂ξ∂u​+∂η∂u​=∂ξ∂u​∂t∂ξ​+∂η∂u​∂t∂η​=a∂ξ∂u​−a∂η∂u​​这里的 uuu 是任意的函数，因此我们可以用偏微分算子来简化后续的计算\n∂∂x(u)=(∂∂ξ+∂∂η)(u)⇒∂∂x=∂∂ξ+∂∂η∂∂t(u)=(a∂∂ξ−a∂∂η)(u)⇒∂∂t=a∂∂ξ−a∂∂η \\begin{align*} \\frac{\\partial}{\\partial x}(u) = \\left(\\frac{\\partial}{\\partial \\xi} + \\frac{\\partial}{\\partial \\eta}\\right)(u) \u0026amp;\\Rightarrow \\frac{\\partial }{\\partial x} = \\frac{\\partial}{\\partial \\xi} + \\frac{\\partial}{\\partial \\eta} \\\\ \\frac{\\partial}{\\partial t}(u) = \\left(a\\frac{\\partial}{\\partial \\xi} -a \\frac{\\partial}{\\partial \\eta}\\right)(u) \u0026amp;\\Rightarrow \\frac{\\partial }{\\partial t} = a \\frac{\\partial}{\\partial \\xi} -a \\frac{\\partial}{\\partial \\eta} \\end{align*} ∂x∂​(u)=(∂ξ∂​+∂η∂​)(u)∂t∂​(u)=(a∂ξ∂​−a∂η∂​)(u)​⇒∂x∂​=∂ξ∂​+∂η∂​⇒∂t∂​=a∂ξ∂​−a∂η∂​​用算子继续偏微分，得到\n∂2u∂x2=∂∂x(∂u∂ξ+∂u∂η)=(∂∂ξ+∂∂η)(∂u∂ξ+∂u∂η)=∂2u∂ξ2+2∂2u∂ξ∂η+∂2u∂η2∂2u∂t2=∂∂t(a∂u∂ξ−a∂u∂η)=(a∂∂ξ−a∂∂η)(a∂u∂ξ−a∂u∂η)=a2∂2u∂ξ2−2a2∂2u∂ξ∂η+a2∂2u∂η2 \\begin{align*} \\frac{\\partial^2 u}{\\partial x^2} \u0026amp;= \\frac{\\partial}{\\partial x} \\left(\\frac{\\partial u}{\\partial \\xi} + \\frac{\\partial u}{\\partial \\eta}\\right) \\\\ \u0026amp;= \\left( \\frac{\\partial}{\\partial \\xi} + \\frac{\\partial}{\\partial \\eta} \\right) \\left(\\frac{\\partial u}{\\partial \\xi} + \\frac{\\partial u}{\\partial \\eta}\\right) \\\\ \u0026amp;= \\frac{\\partial^2 u}{\\partial \\xi^2} + 2\\frac{\\partial^2 u}{\\partial \\xi \\partial \\eta} + \\frac{\\partial^2 u}{\\partial \\eta^2} \\\\ \\frac{\\partial^2 u}{\\partial t^2} \u0026amp;= \\frac{\\partial}{\\partial t} \\left( a \\frac{\\partial u}{\\partial \\xi} -a \\frac{\\partial u}{\\partial \\eta} \\right) \\\\ \u0026amp;= \\left( a\\frac{\\partial}{\\partial \\xi} -a \\frac{\\partial}{\\partial \\eta} \\right) \\left( a \\frac{\\partial u}{\\partial \\xi} -a \\frac{\\partial u}{\\partial \\eta} \\right) \\\\\u0026amp;= a^2\\frac{\\partial^2 u}{\\partial \\xi^2} - 2a^2\\frac{\\partial^2 u}{\\partial \\xi \\partial \\eta} + a^2\\frac{\\partial^2 u}{\\partial \\eta^2} \\end{align*} ∂x2∂2u​∂t2∂2u​​=∂x∂​(∂ξ∂u​+∂η∂u​)=(∂ξ∂​+∂η∂​)(∂ξ∂u​+∂η∂u​)=∂ξ2∂2u​+2∂ξ∂η∂2u​+∂η2∂2u​=∂t∂​(a∂ξ∂u​−a∂η∂u​)=(a∂ξ∂​−a∂η∂​)(a∂ξ∂u​−a∂η∂u​)=a2∂ξ2∂2u​−2a2∂ξ∂η∂2u​+a2∂η2∂2u​​代回到原方程中，有\na2(∂2u∂ξ2+2∂2u∂ξ∂η+∂2u∂η2)=a2∂2u∂ξ2−2a2∂2u∂ξ∂η+a2∂2u∂η2 a^2 \\left(\\frac{\\partial^2 u}{\\partial \\xi^2} + 2\\frac{\\partial^2 u}{\\partial \\xi \\partial \\eta} + \\frac{\\partial^2 u}{\\partial \\eta^2} \\right) = a^2\\frac{\\partial^2 u}{\\partial \\xi^2} - 2a^2\\frac{\\partial^2 u}{\\partial \\xi \\partial \\eta} + a^2\\frac{\\partial^2 u}{\\partial \\eta^2} a2(∂ξ2∂2u​+2∂ξ∂η∂2u​+∂η2∂2u​)=a2∂ξ2∂2u​−2a2∂ξ∂η∂2u​+a2∂η2∂2u​化简得\n∂2u∂ξ∂η=0 \\frac{\\partial^2 u}{\\partial \\xi \\partial \\eta} = 0 ∂ξ∂η∂2u​=0这可以看作是 ∂∂ξ(∂u∂η)=0\\frac{\\partial}{\\partial \\xi} \\left( \\frac{\\partial u}{\\partial \\eta} \\right) = 0∂ξ∂​(∂η∂u​)=0 和 ∂∂η(∂u∂ξ)=0\\frac{\\partial}{\\partial \\eta} \\left( \\frac{\\partial u}{\\partial \\xi} \\right) = 0∂η∂​(∂ξ∂u​)=0，即 ∂u∂η\\frac{\\partial u}{\\partial \\eta}∂η∂u​ 不依赖于 ξ\\xiξ，∂u∂ξ\\frac{\\partial u}{\\partial \\xi}∂ξ∂u​ 不依赖于 η\\etaη，于是设\n∂u∂ξ=v(ξ)∂u∂η=w(η) \\begin{align*} \\frac{\\partial u}{\\partial \\xi} = v(\\xi) \\\\ \\frac{\\partial u}{\\partial \\eta} = w(\\eta) \\end{align*} ∂ξ∂u​=v(ξ)∂η∂u​=w(η)​由全微分公式得\ndu=∂u∂ξdξ+∂u∂ηdη=v(ξ)dξ+w(η)dη \\mathrm{d}u = \\frac{\\partial u}{\\partial\\xi}\\mathrm{d}\\xi + \\frac{\\partial u}{\\partial\\eta}\\mathrm{d}\\eta = v(\\xi)\\mathrm{d}\\xi + w(\\eta)\\mathrm{d}\\eta du=∂ξ∂u​dξ+∂η∂u​dη=v(ξ)dξ+w(η)dη从而\nu(ξ,η)=∫v(ξ)dξ+∫w(η)dη=f(ξ)+g(η) u(\\xi, \\eta) = \\int v(\\xi)\\mathrm{d}\\xi + \\int w(\\eta)\\mathrm{d}\\eta = f(\\xi) + g(\\eta) u(ξ,η)=∫v(ξ)dξ+∫w(η)dη=f(ξ)+g(η)将 ξ=x+at\\xi = x+atξ=x+at 和 η=x−at\\eta = x- atη=x−at 代回去，有\nu(x,t)=f(x+at)+g(x−at) u(x,t) = f(x+at) + g(x−at) u(x,t)=f(x+at)+g(x−at)这就是波动方程的通解——两个沿相反方向传播的行波之和：f(x+at)f(x+at)f(x+at) 以速度 aaa 正向传播，而 g(x−at)g(x−at)g(x−at) 以速度 aaa 反向传播。\n初始条件 弦振动不同于一般的波动，其有一些特殊的限制条件。下列公式分别表示左边界固定、右边界固定、初始速度和初始位移\n{u(0,t)=0u(L,t)=0∂u∂t(x,0)=ψ(x)u(x,0)=φ(x) \\begin{cases} u(0, t) = 0 \\\\ u(L, t) = 0 \\\\ \\frac{\\partial u}{\\partial t}(x, 0) = \\psi(x) \\\\ u(x, 0) = \\varphi(x) \\end{cases} ⎩⎨⎧​u(0,t)=0u(L,t)=0∂t∂u​(x,0)=ψ(x)u(x,0)=φ(x)​我们先解决后两个初始条件。将 t=0t=0t=0 代入通解有\nu(x,0)=f(x)+g(x)=φ(x) u(x,0) = f(x) + g(x) = \\varphi(x) u(x,0)=f(x)+g(x)=φ(x)求 u(x,t)u(x,t)u(x,t) 对 ttt 的偏导\n∂u∂t(x,t)=af′(x+at)−ag′(x−at) \\frac{\\partial u}{\\partial t}(x, t) = a f\u0026#x27;(x+at) - a g\u0026#x27;(x-at) ∂t∂u​(x,t)=af′(x+at)−ag′(x−at)注意 fff 和 ggg 分别由 ∫v(ξ)dξ\\int v(\\xi)\\mathrm{d}\\xi∫v(ξ)dξ 和 ∫w(η)dη\\int w(\\eta)\\mathrm{d}\\eta∫w(η)dη 得来，都是单变量函数，因此上面的导数记号是无歧义的。接着把 t=0t=0t=0 代入 ∂u∂t\\frac{\\partial u}{\\partial t}∂t∂u​ 中\n∂u∂t(x,0)=af′(x)−ag′(x)=ψ(x) \\frac{\\partial u}{\\partial t}(x, 0) = a f\u0026#x27;(x) - a g\u0026#x27;(x) = \\psi(x) ∂t∂u​(x,0)=af′(x)−ag′(x)=ψ(x)从而得到\nf′(x)−g′(x)=1aψ(x) f\u0026#x27;(x) - g\u0026#x27;(x) = \\frac{1}{a}\\psi(x) f′(x)−g′(x)=a1​ψ(x)对两侧同时积分\nf(x)−g(x)=1a∫0xψ(s)ds+C f(x) - g(x) = \\frac{1}{a}\\int_{0}^{x} \\psi(s) \\mathrm{d}s + C f(x)−g(x)=a1​∫0x​ψ(s)ds+C将上式与 f(x)+g(x)=φ(x)f(x) + g(x) = \\varphi(x)f(x)+g(x)=φ(x) 联立，得\nf(x)=12φ(x)+12a∫0xψ(s)ds+C2g(x)=12φ(x)−12a∫0xψ(s)ds−C2 \\begin{align*} f(x) \u0026amp;= \\frac{1}{2}\\varphi(x) + \\frac{1}{2a}\\int_{0}^{x} \\psi(s)\\mathrm{d}s + \\frac{C}{2} \\\\ g(x) \u0026amp;= \\frac{1}{2}\\varphi(x) - \\frac{1}{2a}\\int_{0}^{x} \\psi(s)\\mathrm{d}s - \\frac{C}{2} \\end{align*} f(x)g(x)​=21​φ(x)+2a1​∫0x​ψ(s)ds+2C​=21​φ(x)−2a1​∫0x​ψ(s)ds−2C​​把 fff 和 ggg 代回到 u(x,t)u(x,t)u(x,t) 中\nu(x,t)=12[φ(x+at)+φ(x−at)]+12a[∫0x+atψ(s)ds−∫0x−atψ(s)ds] u(x,t) = \\frac12\\left[ \\varphi(x+at) + \\varphi(x-at) \\right] + \\frac{1}{2a}\\left[ \\int_{0}^{x+at} \\psi(s)\\mathrm{d}s - \\int_{0}^{x-at} \\psi(s)\\mathrm{d}s \\right] u(x,t)=21​[φ(x+at)+φ(x−at)]+2a1​[∫0x+at​ψ(s)ds−∫0x−at​ψ(s)ds]合并积分项\nu(x,t)=12[φ(x+at)+φ(x−at)]+12a∫x−atx+atψ(s)ds u(x,t) = \\frac12\\left[ \\varphi(x+at) + \\varphi(x-at) \\right] + \\frac{1}{2a} \\int_{x-at}^{x+at} \\psi(s)\\mathrm{d}s u(x,t)=21​[φ(x+at)+φ(x−at)]+2a1​∫x−atx+at​ψ(s)ds这就是达朗贝尔公式。\n边界条件 不过我们还有两个边界条件没用上，难道这些条件是多余的吗？试着把它们代入，发现\nu(0,t)=12[φ(at)+φ(−at)]+12a∫−atatψ(s)ds=0u(L,t)=12[φ(L+at)+φ(L−at)]+12a∫L−atL+atψ(s)ds=0 \\begin{align*} u(0,t) \u0026amp;= \\frac12\\left[ \\varphi(at) + \\varphi(-at) \\right] + \\frac{1}{2a} \\int_{-at}^{at} \\psi(s)\\mathrm{d}s = 0 \\\\ u(L,t) \u0026amp;= \\frac12\\left[ \\varphi(L+at) + \\varphi(L-at) \\right] + \\frac{1}{2a} \\int_{L-at}^{L+at} \\psi(s)\\mathrm{d}s = 0 \\end{align*} u(0,t)u(L,t)​=21​[φ(at)+φ(−at)]+2a1​∫−atat​ψ(s)ds=0=21​[φ(L+at)+φ(L−at)]+2a1​∫L−atL+at​ψ(s)ds=0​这里 φ\\varphiφ 同时在 atatat、−at-at−at、L+atL+atL+at、L−atL-atL−at 上取值，而 ψ\\psiψ 也需要在 [−at,at][-at, at][−at,at] 和 [L−at,L+at][L-at, L+at][L−at,L+at] 上取值。但不论 φ\\varphiφ 还是 ψ\\psiψ 都只在 [0,L][0, L][0,L] 上定义，公式却要求我们考虑弦边界以外的初始条件。\n为什么会发生这种情况？在物理上可以这样理解：如果区间是无界的，那么传播出去的波动就不会再回来影响到自身；但由于区间有限，波动被反射，从而产生了更复杂的影响。因此对于有限区间 [0,L][0,L][0,L]，我们要考虑到反射，在数学上这种方法就是延拓。\n再列出一下刚才得到的结果\nφ(at)+φ(−at)+1a∫−atatψ(s)ds=0φ(L+at)+φ(L−at)+1a∫L−atL+atψ(s)ds=0 \\begin{align*} \\varphi(at) + \\varphi(-at) + \\frac{1}{a} \\int_{-at}^{at} \\psi(s)\\mathrm{d}s \u0026amp;= 0 \\\\ \\varphi(L+at) + \\varphi(L-at) + \\frac{1}{a} \\int_{L-at}^{L+at} \\psi(s)\\mathrm{d}s \u0026amp;= 0 \\end{align*} φ(at)+φ(−at)+a1​∫−atat​ψ(s)dsφ(L+at)+φ(L−at)+a1​∫L−atL+at​ψ(s)ds​=0=0​可以发现 φ\\varphiφ 和 ψ\\psiψ 都是关于 000 和 LLL 中心对称的。因此，我们把 φ\\varphiφ 和 ψ\\psiψ 关于 000 和 LLL 作奇延拓\nφ~(x)={φ(x)0≤x≤L−φ(−x)−L≤x\u0026lt;0−φ(2L−x)L\u0026lt;x≤2L \\tilde\\varphi(x) = \\begin{cases} \\varphi(x) \u0026amp; 0\\le x\\le L \\\\ -\\varphi(-x) \u0026amp; -L\\le x\u0026lt;0 \\\\ -\\varphi(2L-x) \u0026amp; L\u0026lt; x\\le 2L \\end{cases} φ~​(x)=⎩⎨⎧​φ(x)−φ(−x)−φ(2L−x)​0≤x≤L−L≤x\u0026lt;0L\u0026lt;x≤2L​ψ~(x)={ψ(x)0≤x≤L−ψ(−x)−L≤x\u0026lt;0−ψ(2L−x)L\u0026lt;x≤2L \\tilde\\psi(x) = \\begin{cases} \\psi(x) \u0026amp; 0\\le x\\le L \\\\ -\\psi(-x) \u0026amp; -L\\le x\u0026lt;0 \\\\ -\\psi(2L-x) \u0026amp; L\u0026lt; x\\le 2L \\end{cases} ψ~​(x)=⎩⎨⎧​ψ(x)−ψ(−x)−ψ(2L−x)​0≤x≤L−L≤x\u0026lt;0L\u0026lt;x≤2L​但这仍然不够。当 t→∞t\\to \\inftyt→∞ 时，x+atx+atx+at 和 x−atx-atx−at 会分别趋于 +∞+\\infty+∞ 和 −∞-\\infty−∞，而 φ\\varphiφ 和 ψ\\psiψ 都需要在 x+atx+atx+at 和 x−atx-atx−at 上取值，因此它们的定义域必须为整个实数轴。\n用 DDD 表示函数的定义域，观察前几次延拓后 DDD 的变化\n先作关于 000 的奇延拓使 DDD 从 [0,L][0, L][0,L] 变为 [−L,L][-L, L][−L,L] 再作关于 LLL 的奇延拓使 DDD 从 [−L,L][-L, L][−L,L] 变为 [−L,3L][-L, 3L][−L,3L] 继续作关于 000 的奇延拓 DDD 从 [−L,3L][-L, 3L][−L,3L] 变为 [−3L,3L][-3L, 3L][−3L,3L] 注意到，关于 000 的奇延拓多出的定义域，如果关于 LLL 再作奇延拓，则那部分多出的定义域还会继续多出定义域；反之也一样。这就是说，只要把“作一次 000 的奇延拓，再作一次 LLL 的奇延拓”这件事反复进行，最终函数便以 2L2L2L 为周期延拓到了整个实数轴上。\n使用最终被延拓出来的函数，u(x,t)u(x,t)u(x,t) 便不再有问题了\nu(x,t)=12[φ~(x+at)+φ~(x−at)]+12a∫x−atx+atψ~(s)ds u(x,t) = \\frac12\\left[ \\tilde\\varphi(x+at) + \\tilde\\varphi(x-at) \\right] + \\frac{1}{2a}\\int_{x-at}^{x+at} \\tilde\\psi(s)\\mathrm{d}s u(x,t)=21​[φ~​(x+at)+φ~​(x−at)]+2a1​∫x−atx+at​ψ~​(s)ds级数展开 但我们还要做一些更有趣的事情。经过不断地奇延拓，我们可以断言，φ~(x)\\tilde\\varphi(x)φ~​(x) 和 ψ~(x)\\tilde\\psi(x)ψ~​(x) 是以 2L2L2L 为周期的奇函数。如果我们对其进行傅里叶展开，则级数只有正弦项\nφ~(x)=∑n=1∞φnsin⁡nπxL,φn=2L∫0Lφ(s)sin⁡nπsLdsψ~(x)=∑n=1∞ψnsin⁡nπxL,ψn=2L∫0Lψ(s)sin⁡nπsLds \\begin{align*} \\tilde\\varphi(x) = \\sum_{n=1}^{\\infty}\\varphi_n\\sin\\frac{n\\pi x}{L} \u0026amp;, \\varphi_n = \\frac{2}{L}\\int_0^L\\varphi(s)\\sin\\frac{n\\pi s}{L}\\mathrm{d}s \\\\ \\tilde\\psi(x) = \\sum_{n=1}^{\\infty}\\psi_n\\sin\\frac{n\\pi x}{L} \u0026amp;, \\psi_n=\\frac{2}{L}\\int_0^L\\psi(s)\\sin\\frac{n\\pi s}{L}\\mathrm{d}s \\end{align*} φ~​(x)=n=1∑∞​φn​sinLnπx​ψ~​(x)=n=1∑∞​ψn​sinLnπx​​,φn​=L2​∫0L​φ(s)sinLnπs​ds,ψn​=L2​∫0L​ψ(s)sinLnπs​ds​把此级数代入之前的公式。先来处理含 φ~\\tilde\\varphiφ~​ 的部分，利用正弦函数的和差化积，得到\nsin⁡nπ(x+at)L+sin⁡nπ(x−at)L=2sin⁡nπxLcos⁡nπatL \\sin\\frac{n\\pi(x+at)}{L}+\\sin\\frac{n\\pi(x-at)}{L}=2\\sin\\frac{n\\pi x}{L}\\cos\\frac{n\\pi a t}{L} sinLnπ(x+at)​+sinLnπ(x−at)​=2sinLnπx​cosLnπat​因此\n12[φ~(x+at)+φ~(x−at)]=12∑n=1∞φn[sin⁡nπ(x+at)L+sin⁡nπ(x−at)L]=∑n=1∞φncos⁡nπatLsin⁡nπxL \\begin{align*} \u0026amp; \\frac12[\\tilde\\varphi(x+at)+\\tilde\\varphi(x-at)] \\\\ =\u0026amp; \\frac12\\sum_{n=1}^\\infty\\varphi_n\\left[\\sin\\frac{n\\pi(x+at)}{L}+\\sin\\frac{n\\pi(x-at)}{L}\\right] \\\\ =\u0026amp; \\sum_{n=1}^\\infty\\varphi_n\\cos\\frac{n\\pi a t}{L}\\sin\\frac{n\\pi x}{L} \\end{align*} ==​21​[φ~​(x+at)+φ~​(x−at)]21​n=1∑∞​φn​[sinLnπ(x+at)​+sinLnπ(x−at)​]n=1∑∞​φn​cosLnπat​sinLnπx​​再来处理含 ψ~\\tilde\\psiψ~​ 的部分，先对单一正弦项积分，再使用余弦函数的和差化积，可得\n∫x−atx+atsin⁡nπsLds=Lnπ[cos⁡nπ(x−at)L−cos⁡nπ(x+at)L]=2Lnπsin⁡nπxLsin⁡nπatL \\begin{align*} \u0026amp; \\int_{x-at}^{x+at}\\sin\\frac{n\\pi s}{L}\\mathrm{d}s \\\\ =\u0026amp; \\frac{L}{n\\pi} \\left[\\cos\\frac{n\\pi(x-at)}{L}-\\cos\\frac{n\\pi(x+at)}{L}\\right] \\\\ =\u0026amp; \\frac{2L}{n\\pi}\\sin\\frac{n\\pi x}{L}\\sin\\frac{n\\pi a t}{L} \\end{align*} ==​∫x−atx+at​sinLnπs​dsnπL​[cosLnπ(x−at)​−cosLnπ(x+at)​]nπ2L​sinLnπx​sinLnπat​​于是\n12a∫x−atx+atψ~(s)ds=12a∑n=1∞ψn(∫x−atx+atsin⁡nπsLds)=12a∑n=1∞ψn2Lnπsin⁡nπxLsin⁡nπatL=∑n=1∞Lnπaψnsin⁡nπatLsin⁡nπxL \\begin{align*} \u0026amp; \\frac1{2a} \\int_{x-at}^{x+at} \\tilde\\psi(s)\\mathrm{d}s \\\\ =\u0026amp; \\frac1{2a} \\sum_{n=1}^{\\infty} \\psi_n \\left( \\int_{x-at}^{x+at} \\sin\\frac{n\\pi s}{L}\\mathrm{d}s \\right) \\\\ =\u0026amp; \\frac1{2a}\\sum_{n=1}^\\infty\\psi_n\\frac{2L}{n\\pi}\\sin\\frac{n\\pi x}{L}\\sin\\frac{n\\pi a t}{L} \\\\ =\u0026amp; \\sum_{n=1}^\\infty\\frac{L}{n\\pi a}\\psi_n\\sin\\frac{n\\pi a t}{L}\\sin\\frac{n\\pi x}{L} \\end{align*} ===​2a1​∫x−atx+at​ψ~​(s)ds2a1​n=1∑∞​ψn​(∫x−atx+at​sinLnπs​ds)2a1​n=1∑∞​ψn​nπ2L​sinLnπx​sinLnπat​n=1∑∞​nπaL​ψn​sinLnπat​sinLnπx​​合并结果，得到\nu(x,t)=∑n=1∞φncos⁡nπatLsin⁡nπxL+∑n=1∞Lnπaψnsin⁡nπatLsin⁡nπxL=∑n=1∞(φncos⁡nπatL+Lnπaψnsin⁡nπatL)sin⁡nπxL \\begin{align*} u(x,t) \u0026amp;= \\sum_{n=1}^\\infty\\varphi_n\\cos\\frac{n\\pi a t}{L}\\sin\\frac{n\\pi x}{L} + \\sum_{n=1}^\\infty\\frac{L}{n\\pi a}\\psi_n\\sin\\frac{n\\pi a t}{L}\\sin\\frac{n\\pi x}{L} \\\\ \u0026amp; =\\sum_{n=1}^\\infty\\left(\\varphi_n\\cos\\frac{n\\pi a t}{L}+ \\frac{L}{n\\pi a}\\psi_n\\sin\\frac{n\\pi a t}{L}\\right)\\sin\\frac{n\\pi x}{L} \\end{align*} u(x,t)​=n=1∑∞​φn​cosLnπat​sinLnπx​+n=1∑∞​nπaL​ψn​sinLnπat​sinLnπx​=n=1∑∞​(φn​cosLnπat​+nπaL​ψn​sinLnπat​)sinLnπx​​如果再令 An=φnA_n=\\varphi_nAn​=φn​ 和 Bn=LnπaψnB_n=\\frac{L}{n\\pi a}\\psi_nBn​=nπaL​ψn​，那么最后解的形式就和分离变量法的完全一样了\nu(x,t)=∑n=1∞(Ancos⁡nπatL+Bnsin⁡nπatL)sin⁡nπxL u(x,t) = \\sum_{n=1}^{\\infty} \\left( A_n \\cos\\frac{n\\pi a t}{L} + B_n \\sin\\frac{n\\pi a t}{L} \\right) \\sin\\frac{n\\pi x}{L} u(x,t)=n=1∑∞​(An​cosLnπat​+Bn​sinLnπat​)sinLnπx​通常可以认为 ψ=0\\psi = 0ψ=0，这意味着我们松开弦的那一刻弦是没有初始速度的。于是 Bn=0B_n = 0Bn​=0，得到了更优美的式子\nu(x,t)=∑n=1∞Ancos⁡nπatLsin⁡nπxL u(x,t) = \\sum_{n=1}^{\\infty} A_n \\cos\\frac{n\\pi a t}{L} \\sin\\frac{n\\pi x}{L} u(x,t)=n=1∑∞​An​cosLnπat​sinLnπx​其中\nAn=2L∫0Lφ(s)sin⁡nπsLds A_n = \\frac{2}{L}\\int_0^L\\varphi(s)\\sin\\frac{n\\pi s}{L}\\mathrm{d}s An​=L2​∫0L​φ(s)sinLnπs​ds和松开弦时的初始位移有关。\n驻波 上面的结果有非常非常多有趣的地方。不过我们先从驻波开始说起。公式中的每一项\nAncos⁡(nπaLt)sin⁡(nπLx) A_n \\cos\\left(\\frac{n\\pi a}{L}t\\right) \\sin\\left(\\frac{n\\pi}{L}x\\right) An​cos(Lnπa​t)sin(Lnπ​x)都是一个驻波。这种叠加的驻波在空间和时间上都有规律。\n空间规律 和空间有关的项为 sin⁡(nπLx)\\sin\\left(\\frac{n\\pi}{L}x\\right)sin(Lnπ​x)。由于\nsin⁡(nπLx)=0⇒nπLx=kπ⇒x=kLn,k∈N \\begin{align*} \u0026amp; \\sin\\left(\\frac{n\\pi}{L}x\\right) = 0 \\\\ \\Rightarrow \u0026amp; \\frac{n\\pi}{L}x=k\\pi \\\\ \\Rightarrow \u0026amp; x = \\frac{kL}{n}, k \\in \\mathbb{N} \\\\ \\end{align*} ⇒⇒​sin(Lnπ​x)=0Lnπ​x=kπx=nkL​,k∈N​因此弦上存在一些点永远都不会振动。这些位置称为节点，而\nsin⁡(nπLx)=1⇒nπLx=kπ+π2=(2k+1)π2⇒x=(2k+1)L2n,k∈N \\begin{align*} \u0026amp; \\sin\\left(\\frac{n\\pi}{L}x\\right) = 1 \\\\ \\Rightarrow \u0026amp; \\frac{n\\pi}{L}x = k\\pi + \\frac{\\pi}{2} = \\frac{(2k+1)\\pi}{2}\\\\ \\Rightarrow \u0026amp; x = \\frac{(2k+1)L}{2n}, k \\in \\mathbb{N} \\\\ \\end{align*} ⇒⇒​sin(Lnπ​x)=1Lnπ​x=kπ+2π​=2(2k+1)π​x=2n(2k+1)L​,k∈N​因此弦上还有些位置振动的振幅最大，且就夹在节点之间，这被称为腹点。\n下图展示了 n=1,2,3n=1,2,3n=1,2,3 时的节点和腹点\n\\begin{tikzpicture}[x=1pt, y=1pt, font=\\small] \\foreach \\n in {1,2,3} { \\begin{scope}[yshift=-\\n*120] \\draw[gray, thin] (0,0) -- (400,0); \\draw[domain=0:400, samples=200, thick, black] plot (\\x, {60*sin((\\n*pi*\\x)/400 r)}); \\foreach \\i in {0,...,\\n} { \\fill[red] ({\\i*400/\\n}, 0) circle (2pt); } \\pgfmathsetmacro{\\mj}{\\n-1} \\foreach \\j in {0,...,\\mj} { \\fill[blue] ({(\\j+0.5)*400/\\n}, 0) circle (2pt); } \\end{scope} } \\end{tikzpicture} 可以很容易地推算出来，弦的两个端点总是节点，且每个驻波总是有 n+1n+1n+1 个节点和 nnn 个腹点。\n总之，驻波的空间规律就是：节点永不振动，腹点振动最剧烈，而二者在弦上交替着出现。\n时间规律 和时间有关的项为 cos⁡(nπaLt)\\cos\\left(\\frac{n\\pi a}{L}t\\right)cos(Lnπa​t)，可以发现相位是恒定的，和 xxx 无关。这意味着弦上所有点的相位相同，会同时达到最大位移、同时经过零点。\n并且，cos⁡(nπaLt)\\cos\\left(\\frac{n\\pi a}{L}t\\right)cos(Lnπa​t) 还揭示了一个事实——弦的振动存在着最低的频率。ttt 的系数为角频率 wn=nπaLw_n = \\frac{n\\pi a}{L}wn​=Lnπa​，由其与频率的关系可以得到\nfn=wn2π=na2L f_n = \\frac{w_n}{2\\pi} = \\frac{na}{2L} fn​=2πwn​​=2Lna​对于 n=1n=1n=1 的项，其频率称为基频，即\nf1=a2L f_1=\\frac{a}{2L} f1​=2La​对于 n≥2n\\ge 2n≥2 的项，其频率皆为基频的整数倍，被称作泛音或谐波\nfn=nf1 f_n = n f_1 fn​=nf1​基频决定了我们听到的音高。至于其原因，后文马上就会解释。\n感知 真实的声波是无穷多个驻波的叠加，人的听觉系统要怎么进行处理呢？\n声音传播 在振动发生到人产生听觉之间，还有许多复杂的过程要考虑。\n首先是声音的传播。弦振动会挤压和拉伸周围的空气分子，挤压产生高压区，即密部，拉伸会产生低压区，即疏部。高压区会向外推挤相邻的空气，低压区则会拉拽相邻的空气，由此形成一密一疏互相交替的波动，从而声音可以向四面八方传播。因此声波是一种疏密波，通过这种方式经由空气最后被人接收。\n然而，事情并没有这么简单。诸如琴体共鸣、环境、人耳外部结构等因素都会影响到传播。不过，这一切虽然看起来无法分析，但其实都可以在一个理想的假设，即满足线性时不变性质的前提下，统一进行建模\nH(jw)=Hi(jw)×He(jw)×Hh(jw) H(jw) = H_{i}(jw) \\times H_{e}(jw) \\times H_{h}(jw) H(jw)=Hi​(jw)×He​(jw)×Hh​(jw)其中 jjj 为虚数单位，www 表示角频率，HiH_iHi​、HeH_eHe​、HhH_hHh​ 分别是乐器、环境和头部的传递函数，而 HHH 是总的影响。用 Pi(jw)P_i(jw)Pi​(jw) 表示弦振动产生的声压的傅里叶变换，用 Po(jw)P_o(jw)Po​(jw) 表示最终接收到的声压的傅里叶变换，则\nPo(jw)=H(jw)×Pi(jw) P_o(jw) = H(jw) \\times P_i(jw) Po​(jw)=H(jw)×Pi​(jw)这样就可以直接考虑从琴弦产生振动到听者鼓膜处接收到声压的整个物理链路。\n对于一个线性时不变系统，传递函数可以表示为\nH(jw)=∣H(jw)∣ej∠H(jw) H(jw) = |H(jw)| e^{j\\angle H(jw)} H(jw)=∣H(jw)∣ej∠H(jw)即\nPo(jw)=∣H(jw)∣ej∠H(jw)×Pi(jw) P_o(jw) = |H(jw)| e^{j\\angle H(jw)} \\times P_i(jw) Po​(jw)=∣H(jw)∣ej∠H(jw)×Pi​(jw)这意味着，声压中频率为 www 的分量，其振幅要乘上 ∣H(jw)∣|H(jw)|∣H(jw)∣，其相位要加上 ∠H(jw)\\angle H(jw)∠H(jw)。也就是说，在频域上，声压产生了振幅畸变和相位畸变：不同频率分量的振幅、相位可能被不同程度地改变。\n传递函数 HHH 通过傅里叶逆变换可以得到脉冲响应\nh(t)=F−1[H(jw)]=12π∫−∞∞H(jw)ejwtdw h(t) = \\mathcal{F}^{-1}[H(jw)] = \\frac{1}{2\\pi} \\int_{-\\infty}^{\\infty} H(jw) e^{jwt} \\mathrm{d}w h(t)=F−1[H(jw)]=2π1​∫−∞∞​H(jw)ejwtdwPi(jw)P_i(jw)Pi​(jw) 和 Po(jw)P_o(jw)Po​(jw) 也可以通过傅里叶逆变换还原回 pi(t)p_i(t)pi​(t) 和 po(t)p_o(t)po​(t)，这两者分别表示弦振动产生的声压和最终接收到的声压。\n在时域上，输出声压信号是脉冲响应与输入声压信号的卷积，即\npo(t)=h(t)∗pi(t)=∫−∞∞pi(τ)h(t−τ)dτ p_o(t) = h(t) \\ast p_i(t) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} p_i(\\tau) h(t - \\tau) \\mathrm{d}\\tau po​(t)=h(t)∗pi​(t)=∫−∞∞​pi​(τ)h(t−τ)dτ这种影响可以理解为信号在时间上的扩散，能够产生滤波、混响等各种效果。\n\\begin{tikzpicture}[x=1pt, y=1pt, font=\\normalsize, \u0026gt;=stealth] \\draw[thick, rounded corners, gray] (0,0) rectangle (100,50) node[midway] {$p_i(t)$}; \\draw[thick, rounded corners, gray] (0,150) rectangle (100,200) node[midway] {$P_i(jw)$}; \\draw[thick, rounded corners, gray] (200,150) rectangle (300,200) node[midway] {$P_o(jw)$}; \\draw[thick, rounded corners, gray] (200,0) rectangle (300,50) node[midway] {$p_o(t)$}; \\draw[thick, -\u0026gt;] (50,50) -- (50,150) node[midway, left] {$\\mathcal{F}$}; \\draw[thick, -\u0026gt;] (100,175) -- (200,175) node[midway, above] {$\\times H(jw)$}; \\draw[thick, -\u0026gt;] (250,150) -- (250,50) node[midway, left] {$\\mathcal{F}^{-1}$}; \\draw[thick, -\u0026gt;] (100,25) -- (200,25) node[midway, above] {$\\ast h(t)$}; \\end{tikzpicture} 总之，不管过程怎么样，只要整个系统是线性时不变的，就可以认为其只会影响到各个频率分量的振幅和相位。即使这可能导致某些频率分量直接消失，但也绝不会创造出新的频率。于是我们最后得到的结果为\npo(t)=∑n=1∞Cncos⁡(nπaLt+ϕn) p_o(t) = \\sum_{n=1}^{\\infty} C_n \\cos\\left(\\frac{n\\pi a}{L}t + \\phi_n \\right) po​(t)=n=1∑∞​Cn​cos(Lnπa​t+ϕn​)其中 CnC_nCn​ 和 ϕn\\phi_nϕn​ 是各个频率分量的新振幅和新相位。\n当然，线性时不变的假设是有点强硬的。我们忽略了所有环节的非线性和时变因素，包括塔尔蒂尼音、多普勒效应等常见现象。但在此还是不将问题复杂化了。\n听觉系统 最后接收到的声压信号被简化为只有时间这个变量，其角频率还是 nπaL\\frac{n\\pi a}{L}Lnπa​。因此之前发现的规律在这里依然适用：弦振动存在基频，所有谐波频率都是基频的整数倍。既然如此，那如果人的听觉系统可以进行傅里叶变换，岂不是一切都解释得通了？\n事实确实如此。声波经中耳传到耳蜗，引起基底膜振动。而基底膜沿其长度方向，会分别对不同频率的振动产生最大响应，其强度与振幅有关。这种响应的结果就是刺激了相应位置的毛细胞，使其产生神经脉冲。最终这些脉冲被大脑接收、解码并产生听觉感知。\n大脑接收到 f1f_1f1​、2f12f_12f1​、3f13f_13f1​ 等各种频率的信号，识别出这是一个谐波列，然后通过自相关、模式识别等复杂的时域或频域处理，找到了频率的最大公约数，同时也是频率的最小间隔 f1f_1f1​，并通过这个基频产生了对音高的感觉。因此，即使基频分量本身非常弱甚至完全缺失，大脑仍能通过各谐波频率的间隔与公约数来重建基频——显然只要存在着足够数量的谐波，这一计算是很容易的。\n可以说，人的听觉系统把传入的复杂周期信号分解为各频率分量，得到了一张记录着各频率振幅的频谱图\n\\begin{tikzpicture}[x=1pt, y=1pt, font=\\small] \\draw[gray, thin, -\u0026gt;] (0,0) -- (0,200) node[above] {$A$}; \\draw[gray, thin, -\u0026gt;] (0,0) -- (300,0) node[right] {$f$}; \\node[gray] at (-10, -10) {0}; \\foreach \\n in {1,...,5} { \\node[gray] at (\\n*50, -10) {$f_\\n$}; \\draw[thick, black] (\\n*50, 0) -- (\\n*50, 180/\\n^2) node[above] {$A_\\n$}; } \\end{tikzpicture} 音色 由于人的听觉系统对相位的差别不太敏感，更关注振幅，因此各分量的相对振幅最终决定了音色。之前提到了，在声音传播的过程中可能发生频域上的畸变，但由于具体的影响需要实际测量，因此后续将假设振幅之比没有太大变化，即相对振幅为 ∣An∣∣A1∣\\frac{|A_n|}{|A_1|}∣A1​∣∣An​∣​ 。\n而 AnA_nAn​ 又由初始位移 φ(x)\\varphi(x)φ(x) 决定。因此，拨弦位置会影响到音色。设在 ppp 处拨弦，并将此时的弦近似为三角形，高为 hhh，如下图所示\n\\begin{tikzpicture}[x=1pt, y=1pt, font=\\normalsize] \\draw[gray, thin, -\u0026gt;] (0,0) -- (0,200) node[above] {$\\varphi(x)$}; \\draw[gray, thin, -\u0026gt;] (0,0) -- (400,0) node[right] {$x$}; \\node[gray] at (0,-10) {0}; \\node[gray] at (350,-10) {$L$}; \\draw[thick, black] (0,0) -- (50,180) -- (350,0); \\draw[dashed] (50,180) -- (50,0) node[below] {$p$} node[midway, left] {$h$}; \\end{tikzpicture} 于是有\nφ(x)={hpx0≤x≤phL−p(L−x)p\u0026lt;x≤L \\varphi(x) = \\begin{cases} \\dfrac{h}{p}x \u0026amp; 0 \\le x \\le p \\\\ \\dfrac{h}{L-p}(L-x) \u0026amp; p \u0026lt; x \\le L \\end{cases} φ(x)=⎩⎨⎧​ph​xL−ph​(L−x)​0≤x≤pp\u0026lt;x≤L​代入到 An=2L∫0Lφ(s)sin⁡nπsLdsA_n = \\frac{2}{L}\\int_0^L\\varphi(s)\\sin\\frac{n\\pi s}{L}\\mathrm{d}sAn​=L2​∫0L​φ(s)sinLnπs​ds 中\nAn=2L[hp∫0pxsin⁡nπxLdx+hL−p∫pL(L−x)sin⁡nπxLdx] A_n = \\frac{2}{L}\\left[ \\frac{h}{p}\\int_0^p x \\sin\\frac{n\\pi x}{L}dx + \\frac{h}{L-p}\\int_p^L (L-x)\\sin\\frac{n\\pi x}{L}dx \\right] An​=L2​[ph​∫0p​xsinLnπx​dx+L−ph​∫pL​(L−x)sinLnπx​dx]基于积分公式\n∫xsin⁡(ax)dx=1a2sin⁡(ax)−xacos⁡(ax) \\int x\\sin(ax)dx = \\frac{1}{a^2}\\sin(ax) -\\frac{x}{a}\\cos(ax) ∫xsin(ax)dx=a21​sin(ax)−ax​cos(ax)和\n∫(L−x)sin⁡(ax)dx=−1a2sin⁡(ax)+x−Lacos⁡(ax) \\int (L-x)\\sin(ax)dx = - \\frac{1}{a^2}\\sin(ax) + \\frac{x-L}{a}\\cos(ax) ∫(L−x)sin(ax)dx=−a21​sin(ax)+ax−L​cos(ax)用 a=nπLa = \\frac{n\\pi}{L}a=Lnπ​ 替换后有\nAn=2L[hL3n2π2p(L−p)sin⁡nπpL]=2hL2n2π2p(L−p)sin⁡nπpL A_n = \\frac{2}{L}\\left[ \\frac{h L^3}{n^2\\pi^2 p(L-p)}\\sin\\frac{n\\pi p}{L} \\right] = \\frac{2h L^2}{n^2\\pi^2 p(L-p)}\\sin\\frac{n\\pi p}{L} An​=L2​[n2π2p(L−p)hL3​sinLnπp​]=n2π2p(L−p)2hL2​sinLnπp​即\n∣An∣∝1n2∣sin⁡nπpL∣ |A_n| \\propto \\frac{1}{n^2} \\left|\\sin\\frac{n\\pi p}{L}\\right| ∣An​∣∝n21​​sinLnπp​​ 若 p=L/2p = L/2p=L/2，即在弦的中间处拨弦，此时 ∣An∣∝1n2∣sin⁡nπ2∣|A_n| \\propto \\frac{1}{n^2} \\left|\\sin\\frac{n\\pi}{2}\\right|∣An​∣∝n21​​sin2nπ​​，而偶数的 nnn 会使 sin⁡nπ2=0\\sin\\frac{n\\pi}{2}=0sin2nπ​=0，因此偶次谐波消失，音色变得空灵。\n若 p=ε≈0p = \\varepsilon \\approx 0p=ε≈0 或 p=L−ε≈Lp = L -\\varepsilon \\approx Lp=L−ε≈L，即在靠近端点处拨弦，此时对于不是特别大的 nnn，具体地说当 n≪Lπεn \\ll \\frac{L}{\\pi\\varepsilon}n≪πεL​ 时，有 ∣sin⁡nπpL∣≈nπεL\\left|\\sin\\frac{n\\pi p}{L}\\right| \\approx \\frac{n\\pi \\varepsilon}{L}​sinLnπp​​≈Lnπε​，从而 ∣An∣∝1n|A_n| \\propto \\frac{1}{n}∣An​∣∝n1​，因此振幅随频率衰减的速度变慢，高次谐波相对较强，从而产生更金属或更刺耳的声音。\n除拨弦外，还有击弦、拉弦等不同的振动弦的方式，这些都会产生不同的初始位移，从而映射到不同的 AnA_nAn​ 集合，产生不同的音色。\n根据这些原理，我写了个钢琴模拟器，提供 声音合成、乐谱编辑 等多种功能。\n调律 至此终于进入了相对更音乐的领域。\n音高 回顾之前关于基频的计算，并把 a=Tμa=\\sqrt{\\frac{T}{\\mu}}a=μT​​ 代入其中\nf1=a2L=12LTμ f_1=\\frac{a}{2L}=\\frac{1}{2L}\\sqrt{\\frac{T}{\\mu}} f1​=2La​=2L1​μT​​其中 LLL 为长度，TTT 为张力，μ\\muμ 为线密度，这些都和弦本身有关。\n由于基频决定了音高，因此，弦越长、张力越小、密度越大，则音高越低；反之则变高。我们可以据此来设计琴弦，或调整音高。\n关于音高的事实可以解答一个疑问：为什么弦不是按得越用力，就振动得越快，从而音调越高？因为弦的基频已经被弦本身决定了，和释放弦的位置无关。当然，现实中的弦被用力按下后确实可能引起长度、张力、线密度的改变，但这种改变是微小且瞬时的，在持续的振动中基本可以忽略。\n纯律 音乐不是孤立的单音。不同的音先后或同时出现，才能算是音乐。因此，我们需要一套规则——即音阶——来决定哪些音高可以一起使用。而实现音阶的数学手段就是调律。\n两根一起发声的弦，基频之比越是简单，人耳听起来就越协调。因为比例越简单，不同基频所产生的谐波列就越容易混合出相同频率的泛音：当两个音基频比为 n1:n2n_1:n_2n1​:n2​ 时，前者的 n2n_2n2​ 次谐波会等于后者的 n1n_1n1​ 次谐波。\n人们在不断实践中总结出来了很多好听的频率，2:12:12:1 叫八度，3:23:23:2 叫纯五度，4:34:34:3 叫纯四度，5:45:45:4 叫大三度。这种基于简单整数比组成的音阶称为纯律。\n基于纯律，人们发明了一些复杂的调律方法。比如五度相生律：从一个音高开始，不断向上纯五度，即频率乘 3/23/23/2，若超出八度则降八度，即频率除以 222\nC(1)→×3/2G(3/2)→×3/2÷2D(9/8)→×3/2A(27/16)→… C(1) \\xrightarrow{\\times 3/2} G(3/2) \\xrightarrow{\\times 3/2\\div 2} D(9/8) \\xrightarrow{\\times 3/2} A(27/16) \\to \\dots C(1)×3/2​G(3/2)×3/2÷2​D(9/8)×3/2​A(27/16)→…这样就能生成一个八度内所有的音高\n音名 频率比 CCC 1 GGG 3/2 DDD 9/8 AAA 27/16 EEE 81/64 BBB 243/128 F♯/G♭F^\\sharp / G^\\flatF♯/G♭ 729/512 C♯/D♭C^\\sharp / D^\\flatC♯/D♭ 2187/2048 G♯/A♭G^\\sharp / A^\\flatG♯/A♭ 6561/4096 D♯/E♭D^\\sharp / E^\\flatD♯/E♭ 19683/16384 A♯/B♭A^\\sharp / B^\\flatA♯/B♭ 59049/32768 FFF 177147/131072 CCC 531441/524288 经过 121212 步后，向上纯五度了 121212 次，降八度了 777 次，几乎又回到了 CCC\n(32)12≈129.746≠27=128 \\left(\\frac{3}{2}\\right)^{12} \\approx 129.746 \\quad \\ne \\quad 2^7 = 128 (23​)12≈129.746=27=128但两者终究并不相等。这个差值被称为毕达哥拉斯逗号。\n五度相生律的优点是所有五度都是完美的 3:23:23:2，但最大的缺点就是无法自由转调：比如 CCC 大调里的 F♯F^\\sharpF♯ 由 BBB 向上纯五度再降八度得到，而 GGG 大调里的 F♯F^\\sharpF♯ 由 GGG 向上纯五度得到，后者比前者低一点——背后的原因自然就是由毕达哥拉斯逗号导致的八度循环无法闭合。\n十二平均律 为了彻底解决转调问题，人们又发明了十二平均律：将一个八度平均分成 121212 个等距的半音。每个半音的频率比为\n21/12≈1.059463 2^{1/12} \\approx 1.059463 21/12≈1.059463从一个音 f0f_0f0​ 出发，经过 kkk 个半音后的频率为\nfk=2k/12f0 f_k = 2^{k/12}f_0 fk​=2k/12f0​这样，任何两个半音之间的比例只取决于它们相距的半音数，与调无关，这就解决了转调的问题。\n并且，十二平均律和纯律的音程差别不大。从 CCC 到 GGG 是 777 个半音，频率比为 27/12≈1.49832^{7/12} \\approx 1.498327/12≈1.4983，非常接近于纯五度的 1.51.51.5。\n为了更方便地比较不同调律之间的微小差异，需要引入音分这一概念\nδcent=1200log⁡2f1f2 \\delta_{\\text{cent}} = 1200 \\log_2\\frac{f_1}{f_2} δcent​=1200log2​f2​f1​​半音的音程为 100100100 音分，八度为 120012001200 音分。此处列举一些音程在纯律和十二平均律上的差距\n音程 纯律 十二平均律 差值 八度 1200 1200 0 纯五度 701.96 700 -1.96 大三度 386.31 400 +13.69 可见十二平均律的大三度牺牲了相对较多的纯度。不过这换来了转调的自由，因此那些音高固定的乐器在现代更普遍采用十二平均律。\n和弦 在理解了单音的音高和音阶之后，接着研究更为复杂的情形——和弦，即多个弦同时开始振动。这一领域涉及到群论——这是一个研究对称性的数学分支。\n循环群 十二平均律将一个八度等分为 121212 个半音，我们现在用 Z12={0,1,2,…,11}\\mathbb{Z}_{12} = \\{0,1,2,\\dots,11\\}Z12​={0,1,2,…,11} 来表示包含所有半音的集合，每个半音对应于一个数字。和弦现在可表示为 Z12\\mathbb{Z}_{12}Z12​ 的一个子集，我们按从小到大的方式列出其中的元素\n和弦 集合表示 CCC 大三 {0,4,7}\\{0,4,7\\}{0,4,7} CCC 小三 {0,3,7}\\{0,3,7\\}{0,3,7} CCC 增三 {0,4,8}\\{0,4,8\\}{0,4,8} CCC 减三 {0,3,6}\\{0,3,6\\}{0,3,6} 在 Z12\\mathbb{Z}_{12}Z12​ 上定义一个封闭的运算，即加法模 121212。对于 a,b∈Z12a, b \\in \\mathbb{Z}_{12}a,b∈Z12​，用 +12+_{12}+12​ 表示这种加法，以区别于一般的加法\na+12b=(a+b) mod 12 a +_{12} b = (a + b) \\bmod 12 a+12​b=(a+b)mod12其中符号 mod 12\\bmod 12mod12 表示对 121212 取模，意思是通过加上 121212 的整数倍让结果回到 Z12\\mathbb{Z}_{12}Z12​ 中\nx mod m=y⟺y∈Z_m∧x∈{y+mk∣k∈Z} x \\bmod m = y \\Longleftrightarrow y \\in \\mathbb{Z}\\_{m} \\land x \\in \\{ y + mk \\mid k\\in \\mathbb{Z} \\} xmodm=y⟺y∈Z_m∧x∈{y+mk∣k∈Z}因此 Z12\\mathbb{Z}_{12}Z12​ 构成了一个循环群，不管如何相加结果都在这个集合里。\n进一步地，我们可以再定义一种加法，让集合中所有元素加上一个整数，得到一个新的集合。对于 k∈Zk \\in \\mathbb{Z}k∈Z 和集合 XXX 有\nX+12k={x+12k∣x∈X} X +_{12} k = \\{x +_{12} k \\mid x \\in X\\} X+12​k={x+12​k∣x∈X}在音乐上这被叫做移调。大三和弦的移调还是大三和弦，小三和弦的移调还是小三和弦。例如，CCC 大三和弦 {0,4,7}\\{0,4,7\\}{0,4,7} 向上移调 555 得到 {5,9,0}\\{5,9,0\\}{5,9,0}，排完序即为 {0,5,9}\\{0,5,9\\}{0,5,9}，这就是 FFF 大三和弦。\n循环群的另一个重要的映射是取负。对于 x∈Z12x \\in \\mathbb{Z}_{12}x∈Z12​，用 −12-_{12}−12​ 表示以区别于一般的取负\n−12x=−x mod 12 -_{12}x=-x \\bmod 12 −12​x=−xmod12具体地说\n{−12x=0(x=0)−12x=12−x(x≠0) \\begin{cases} -_{12}x = 0 \u0026amp; (x = 0)\\\\ -_{12}x = 12 - x \u0026amp; (x \\ne 0) \\end{cases} {−12​x=0−12​x=12−x​(x=0)(x=0)​对集合取负也一样定义为\n−12X={−12x∣x∈X} -_{12}X = \\{-_{12}x \\mid x \\in X\\} −12​X={−12​x∣x∈X}在音乐上这被叫做倒影。大三和弦的倒影就是小三和弦。例如，CCC 大三和弦 {0,4,7}\\{0,4,7\\}{0,4,7} 取负得 {0,8,5}\\{0,8,5\\}{0,8,5}，排完序即为 {0,5,8}\\{0,5,8\\}{0,5,8}，这就是 FFF 小三和弦。\n如果把 Z12\\mathbb{Z}_{12}Z12​ 想象成一个环，那么和弦就是圆里的一个多边形，移调 xxx 就是顺时针旋转 xxx 次，倒影就是作关于 d0,6d_{0,6}d0,6​ 的对称\n\\begin{tikzpicture}[x=1pt, y=1pt, font=\\normalsize] \\draw[thick, gray] (0,0) circle (90); \\foreach \\k in {0,...,11} { \\pgfmathsetmacro{\\angle}{90 - \\k*30} \\coordinate (P\\k) at ({90*cos(\\angle)}, {90*sin(\\angle)}); \\fill[black] (P\\k) circle (2pt); \\node at ({100*cos(\\angle)}, {100*sin(\\angle)}) {\\k}; } \\draw[thick, dashed, gray] (P0) -- (P6); \\draw[thick, blue] (P0) -- (P4) -- (P7) -- cycle; \\draw[thick, dashed, purple] (P0) -- (P5) -- (P9) -- cycle; \\draw[thick, dashed, orange] (P0) -- (P5) -- (P8) -- cycle; \\end{tikzpicture} 每类和弦都会有一些独特的性质。除大三、小三、增三和减三外，还有很多类和弦，但这里只列举上述和弦的特征\n和弦类型 听觉特征 大三和弦 明亮、稳定、开阔 小三和弦 暗淡、柔和、忧郁 增三和弦 膨胀、悬空、向外 减三和弦 紧缩、压抑、向内 置换群 勋伯格发明了十二音技法，其核心思想是将一个八度内的 121212 个半音全部使用且不重复。因此一个十二音序列是 Z12={0,1,…,11}\\mathbb{Z}_{12}=\\{0,1,\\dots,11\\}Z12​={0,1,…,11} 的一个排列。所有排列构成的集合用 S12S_{12}S12​ 表示\nS12={(a0,a1,…,a11)∣{a0,a1,…,a11}=Z12} S_{12} = \\{ (a_0, a_1, \\dots, a_{11}) \\mid \\{a_0, a_1, \\dots, a_{11}\\} = \\mathbb{Z}_{12} \\} S12​={(a0​,a1​,…,a11​)∣{a0​,a1​,…,a11​}=Z12​}现在我们研究对序列的操作。如果把每个操作都视为一个元素，然后所有操作组成一个集合，并在此集合上定义操作与操作之间的运算，那么这个集合也能变成一个群，我们叫它置换群。\n先来研究最基本的平移操作，其正对应着我们之前讲的加法 +12+_{12}+12​，只不过现在是对序列 s∈S12s \\in S_{12}s∈S12​ 进行的\ns+12k=(a0+12k,a1+12k,…,a11+12k) s +_{12} k = (a_0 +_{12} k, a_1 +_{12} k, \\dots, a_{11} +_{12} k) s+12​k=(a0​+12​k,a1​+12​k,…,a11​+12​k)我们用 tkt_ktk​ 表示这种平移操作\ntk:s↦s+12k t_k: s \\mapsto s +_{12} k tk​:s↦s+12​k这样所有的 tkt_ktk​ 构成了一个集合\nT12={tk∣k∈Z12} T_{12} = \\{t_k \\mid k\\in \\mathbb{Z}_{12}\\} T12​={tk​∣k∈Z12​}现在定义 T12T_{12}T12​ 上的运算 ∘12\\circ_{12}∘12​，对于 ta,tb∈T12t_a, t_b \\in T_{12}ta​,tb​∈T12​ 用\ntb∘12ta t_b \\circ_{12} t_a tb​∘12​ta​来表示这两个操作的复合，顺序为从右到左，即先进行 tat_ata​ 再进行 tbt_btb​。对于任意一个 s∈S12s \\in S_{12}s∈S12​，有\ntb∘12ta:s↦tas+12a↦tb(s+12a)+12b t_b \\circ_{12} t_a: s \\xmapsto{t_a} s +_{12} a \\xmapsto{t_b} (s +_{12} a) +_{12} b tb​∘12​ta​:sta​​s+12​atb​​(s+12​a)+12​b由于 +12+_{12}+12​ 满足结合律，因此\ntb∘12ta:s↦s+12(a+12b) t_b \\circ_{12} t_a: s \\mapsto s +_{12} (a +_{12} b) tb​∘12​ta​:s↦s+12​(a+12​b)也就是说\ntb∘12ta=ta+12b t_b \\circ_{12} t_a = t_{a+_{12}b} tb​∘12​ta​=ta+12​b​由于 +12+_{12}+12​ 是封闭的运算，因此 ∘12\\circ_{12}∘12​ 也是一个封闭的运算。这同时揭示了对于 sss 一共只有 121212 种纯平移操作，分别和 Z12\\mathbb{Z}_{12}Z12​ 中的元素一一对应。我们称 T12T_{12}T12​ 构成了一个置换群。\n不过，对于 S12S_{12}S12​ 中的序列，除纯平移外还有很多种置换。只要置换后再置换得到的复合置换，仍然能够用集合中的某个置换表示，那么这些置换组成的集合就是置换群。\n对于十二音技法而言，除移调这个平移置换外，还有下面这些对序列常用的置换，设原序列 s=(a0,a1,…,a11)s = (a_0, a_1, \\dots, a_{11})s=(a0​,a1​,…,a11​)\n置换名 作用 数学表示 原形 序列不变 s↦(a0,a1,…,a11)s \\mapsto (a_0, a_1, \\dots, a_{11})s↦(a0​,a1​,…,a11​) 逆行 将序列反转 s↦(a11,a10,…,a0)s \\mapsto (a_{11}, a_{10}, \\dots, a_0)s↦(a11​,a10​,…,a0​) 倒影 对每个元素取负 s↦(−a0,−a1,…,−a11)s \\mapsto (-a_0, -a_1, \\dots, -a_{11})s↦(−a0​,−a1​,…,−a11​) 逆行倒影 先倒影再逆行 s↦(−a11,−a10,…,−a0)s \\mapsto (-a_{11}, -a_{10}, \\dots, -a_0)s↦(−a11​,−a10​,…,−a0​) 移调有 121212 种，和上述 444 种置换复合后有 484848 种置换。可以验证这 484848 种置换构成的群还是置换群。因此，这个置换群从一个初始的序列开始，最多可以生成 484848 种相关的序列。虽然 Z12\\mathbb{Z}_{12}Z12​ 的所有排列远远不止 484848 个，但这已经足够为作曲提供丰富的方法了。\n总之，音乐中的移调、逆行、倒影等手法，无论多么复杂，都可以理解为置换群中的一种置换。\n节奏 最后再讨论一下音乐的另一个重要概念——节奏。\n模式 节奏中通常都有循环的小节或模式，每个循环周期内又可分成 mmm 个等间距的拍位。如果将节奏看作时间轴上的一个离散信号，只简单地用 111 表示该节拍强，或者叫脉冲，用 000 表示该节拍弱，或者叫休止，那么一个循环的节奏就可表示为一个循环的二进制序列。\n序列的长度就等于节奏模式的长度 mmm，我们再把序列中 111 的个数 nnn 称为该节奏模式的密度。例如，简单的四拍节奏“强、弱、次强、弱”就可以表示为 [1,0,1,0][1,0,1,0][1,0,1,0]，其中 m=4,n=2m=4, n=2m=4,n=2。\n分布 通常，在给定 mmm 和 nnn 时，我们希望将 nnn 个脉冲尽可能均匀地分布在 mmm 个节拍上，而不是某段时间连续脉冲或某段时间连续休止。\n解决这个最均匀分布问题，需要使用到数论的知识。\n先考虑一个较为简单的情形：在 888 个节拍中放入 555 个脉冲，即 m=8,n=5m=8, n=5m=8,n=5，如下图所示\n\\begin{tikzpicture}[x=1pt, y=1pt, font=\\small] \\foreach \\i in {0,...,7} { \\ifnum\\i\u0026lt;5 \\fill[black] (\\i*40,100) rectangle (30+\\i*40,120) node[midway, white] {1}; \\else \\fill[gray] (\\i*40,100) rectangle (30+\\i*40,120) node[midway, black] {0}; \\fi } \\foreach \\i in {0,2,4,6,7} { \\fill[black] (\\i*40,50) rectangle (30+\\i*40,70) node[midway, white] {1}; } \\foreach \\i in {1,3,5} { \\fill[gray] (\\i*40,50) rectangle (30+\\i*40,70) node[midway, black] {0}; } \\end{tikzpicture} 我们的做法是\n得到初始序列 [1,1,1,1,1,0,0,0][1,1,1,1,1,0,0,0][1,1,1,1,1,0,0,0] 将初始序列分成 [1,1,1,1,1][1,1,1,1,1][1,1,1,1,1] 和 [0,0,0][0,0,0][0,0,0]，取较短者 [0,0,0][0,0,0][0,0,0] 一一附着到较长者 [1,1,1,1,1][1,1,1,1,1][1,1,1,1,1] 上，剩余的较长者自行组合，得到数个片段 [1,0],[1,0],[1,0],[1,1][1,0],[1,0],[1,0],[1,1][1,0],[1,0],[1,0],[1,1] 把片段拼接起来 [1,0,1,0,1,0,1,1][1,0,1,0,1,0,1,1][1,0,1,0,1,0,1,1]，这就是 555 个脉冲在 888 个节拍上可以得到的最均匀分布 这种节奏被叫做欧几里得节奏，更一般的构造方法为\n初始化一个包含 nnn 个 111 和 m−nm-nm−n 个 000 的序列 反复将较短的序列折叠到较长的序列上，直到剩余序列的长度都不超过 222 将最后剩下的序列按顺序拼接，得到节奏模式 当然，欧几里得本人不知道什么是欧几里得节奏，只是这一算法和欧几里得计算最大公约数的算法很像，所以后人将其命名为欧几里得节奏。\n那为什么一个求最大公约数的算法能用来设计最均匀分布的节奏呢？\n这得回顾一下欧几里得算法。假设 m\u0026gt;nm \u0026gt; nm\u0026gt;n，求 mmm 和 nnn 的最大公约数 gcd⁡(m,n)\\gcd(m,n)gcd(m,n)，具体步骤为\n计算 m÷nm \\div nm÷n，得到余数 rrr 若 r=0r=0r=0，则 nnn 即为最大公约数 若 r≠0r\\ne0r=0，由于 gcd⁡(m,n)=gcd⁡(n,m mod n)\\gcd(m,n)=\\gcd(n,m \\bmod n)gcd(m,n)=gcd(n,mmodn)，而 m mod n=rm \\bmod n = rmmodn=r，因此继续求 gcd⁡(n,r)\\gcd(n,r)gcd(n,r) 重复以上步骤，直到余数为 000 回到节奏的均匀分布问题上，设 m÷n=q⋯rm\\div n = q \\cdots rm÷n=q⋯r，其中 qqq 是商，rrr 是余数\n如果 r=0r=0r=0，那么可将 mmm 分成 nnn 个长为 qqq 的区间，每个区间里有 111 个脉冲和 q−1q-1q−1 个休止。这就对应着欧几里得算法里 r=0r=0r=0 的情况，从而 mmm 和 nnn 的最大公约数为 nnn\n如果 r≠0r\\ne0r=0，那么在 nnn 个长为 qqq 的区间里分别放入 111 个脉冲和 q−1q-1q−1 个休止后，还剩余 rrr 个休止未被放置，因此还要再把它们均匀分布到 nnn 个区间里。如同把 nnn 个脉冲均匀放到 mmm 个节拍上要计算 m÷nm\\div nm÷n 一样，现在把 rrr 个休止均匀放到 nnn 个区间上要计算 n÷rn\\div rn÷r。这就对应着欧几里得算法里 r≠0r\\ne0r=0 的情况，要继续计算 mmm 和 nnn 的最大公约数 gcd⁡(n,r)\\gcd(n,r)gcd(n,r)\n总结 本文介绍了振动弦、驻波、人的听觉系统、调律、和弦、节奏，尽管东西很多，但这依然不可能穷尽音乐中的所有原理。\n在音乐的最深处，会是什么？也许是数学，如果用一种本体论的说法，那么音乐就是数学在时间中的回响，音乐的本质是数学。\n至于数学为何能引起人的感动——那答案恐怕已不在数学之中。这涉及到哲学上的心身问题——自笛卡尔提出心身二元论后，对这一问题就出现了各种各样的解释——至今没有一个能让所有人都满意：如果承认心身二分，那么音乐就存在着某种超越数学的感性溢出，它无法被完全还原为物质变化，而是通过某种神秘的、不为人知的方式引起了人的感觉；如果取消心身二分，那么音乐就不过是引发了一种复杂的神经状态，它完全可以被数学描述，只不过人们将其命名为感动。\n","permalink":"https://juemuren.github.io/blog/posts/math/%E9%9F%B3%E4%B9%90%E7%9A%84%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8E%9F%E7%90%86/","summary":"振动发生在一个基于牛顿力学的物理世界。在这里，被选中的弦将拥有初始位移，引导波动之力。你将在达朗贝尔公式与傅里叶级数的指引下，揭开音高和音色的秘密，探究调律、和弦与节奏的本质。同时，逐步发掘音乐就是数学的真相。","title":"音乐的数学原理：从振动弦到现代乐理"},{"content":" 世上的一切都与性有关，唯独性本身是关于权力的。\n在传统观念里，性被归入生物学或伦理学范畴，与美这一概念似乎相距甚远。然而，人类的性行为之所以区别于动物的交配，恰恰在于它承载着丰富的意义：对自我的实现、对他者的承认、对禁忌的僭越、对虚无的抗拒。人类的性是一门有趣的学问，值得从美学的角度进行研究。\n本文以批判康德哲学作为起点，介绍性如何从生理冲动上升为审美判断的可能对象。随后借用黑格尔的主奴辩证法、萨特的他者凝视、巴塔耶的色情论以及福柯的微观权力，详细探讨和性有关的复杂体验。\n康德的先验理性：拓展性的审美边界 在康德的哲学体系中，人之所以为人，是因为其拥有理性。这种理性是先验的，使人类能够超越纯粹的自然因果律，从而获得自由与道德的可能。这不仅确立了人在认识论上的主体地位，更暗示了人类区别于动物的本质——人不是完全被本能所驱使，而是能够自主地设定目的并做出判断。\n虽然康德称手淫是“完全违背道德法则的、对自身的侮辱”，并将所有婚姻外的性交都看作是“对人格的物化”，但理性事实上并非完全排斥了色情。在伦理学与美学中，理性对性呈现出了截然不同的态度：一方面，实践理性在道德中贬低性；另一方面，判断力却在形式分析里为性敞开了可供挪用的语言——理性不仅没有真正封禁性的审美可能，反而能够被用于拓展性的审美边界。\n不妨设想一下，你带着现代社会的各种性玩具以及先进的调教手法穿越到了柯尼斯堡，在经过一系列不可描述的过程后，最终，这位终身未婚且鄙视手淫的大哲学家康德跪在你的面前，一边低声乞求着主人的奖励，一边神志不清地喃喃道：“这不是理性的堕落……而是超越自然的崇高……”\n这画面太美，我不敢再往下想了。如果仅仅关注这一场景所呈现出的主体间形式关系，会发现其大体上也符合康德式的审美结构——它是“无利害的愉悦”，不取决于感官刺激；它诉求“无概念的普遍性”，任何人都能领会；它呈现“无目的的合目的性”，精心设计却无确定目的；它具有“无概念的必然性”，直觉上理应如此。虽然这已远远超出康德本人的构想，但也恰好说明了这套美学可以为性的鉴赏提供有效的框架。\n不过，康德的美学语言不足以描述性可能具有的复杂结构——其仅仅作为基本框架，展示了在剥离一切感官体验后，性中所剩下的美究竟是什么——是一种纯粹的、先验的形式。在穿越柯尼斯堡的故事里，这一形式的本质就是所谓的权力——逐步地剥夺了康德的主体性，使其不断挣扎、撕裂并最终彻底恶堕。\n黑格尔的主奴辩证法：性关系中的矛盾运动 如果说康德为性的鉴赏提供了一个只有形式的空容器，那么黑格尔则在其中填充了最关键的内容。\n黑格尔首先区分了两种欲望：一种是针对物的欲望，主体通过否定、消耗物来返回自身；另一种则是两个自我意识之间的欲望，在这里，欲望的对象不再是物，而是另一个欲望——即另一个意识对自身的承认。自我意识只有得到另一个意识的承认，才能确认自身的存在。这种对“承认”的渴求，构成了自我意识通过他者来实现自身的基本结构。\n当两个自我意识相遇时，起初都想把对方视为单纯的对象，加以占有和否定。然而，一旦另一个主体开始无条件地承认，对方的主体性便被取消了。可主体需要的并非物的承认，而是来自另一个主体的承认。这一困境便是主奴辩证法的起点。\n在性关系的初始状态，主体倾向于将对方作为自身欲望的满足对象，试图通过占有来实现自我确认。但内在的悖论很快显现：一个完全被征服的、丧失主体性的对象，给不出自我意识需要的承认。因此，单纯的占有反而使主体无法完成对自身的确认。随着矛盾的发展，主体开始意识到，自身主体性依赖于对方的主体性，不能否定对方的自我意识。于是欲望的方向发生了翻转：主体不再只试图占有对方，也开始尝试成为对方欲望的对象，通过确认对方的主体性来反向确认自身的主体性。这意味着主体完成了对部分自我的否定，将自己交付给他者，成为被欲望、被感受的客体。\n正是在这一相互让渡的过程中，主人与奴隶的二元区分开始瓦解。双方同时既是欲望的主体又是欲望的客体，互相占有又互相满足。自我意识从此有了一种不同于主奴关系的实现方式：双方不是在斗争与支配中达成不对等的承认，而是在相互暴露、相互交付的张力中，各自在他者身上看到了自身的主体性。于是，对立的两者被扬弃，双方在相互承认中达成了动态的统一。\n黑格尔的主奴辩证法展示了性关系中的双方如何在矛盾中维持对立、在运动中达成统一。因此，性行为不再是单纯的生理活动，而成为了辩证法的过程：主体间为承认而进行着反复的权力斗争，并最终共同完成了对主体性的确认。\n萨特的他者凝视：看与被看的永恒博弈 如果说黑格尔为主体间的交互提供了乐观的辩证法图景，那么萨特则在其中投下了难以忽视的怀疑。\n在萨特的存在主义视角下，“凝视”并非简单的看。他者的凝视把我变成了一个对象，我被他者的目光所穿透，被审视、被定义、被评价、被固定为一个对象般的存在，仿佛失去了主体性和自由。而这种被客体化的命运始终威胁着每个人。\n在性关系中，凝视带来了无法调和的冲突。在亲密接触时，一方凝视或触摸另一方，本质上是在尝试将对方固定为纯粹的客体，以确立自身为绝对的主体。但这一过程并非单向——双方都将意识到自己同样被凝视，并发觉自己始终存在于他者的审视之中。主体性就这样在目光的交错中受到威胁，性关系也因此变得不稳定。因此，性总是矛盾的：意识试图在身体层面与对方自由相遇，却又不得不将其对象化。\n基于凝视理论，产生了施虐与受虐的循环：受虐者试图彻底沦为客体，诱使对方用凝视赋予自己存在的重量，却因此放弃了自由；施虐者试图用暴力将对方彻底物化，否认对方的意识，却永远也无法成功——即便在痛苦中，对方依然是自由的——这是存在主义哲学的基本前提：人被判处了自由而非选择了自由，人只可以欺骗自己没有自由，却不可能真正地失去自由。这样性关系就只能是一种脆弱的动态平衡，因为凝视带来的对象化是根本性的、不可改变的。\n萨特的理论带着浓厚的悲观色彩，“凝视”让主体间的关系永远是冲突的——正所谓“他人即地狱”。但恰恰是这种永恒的权力博弈，构成了性关系中无法消解的美学张力。正是由于无法完全占有对方，欲望才得以持续；正因永远存在着他者凝视，性体验才始终伴随着一种既令人焦虑又令人兴奋的矛盾。\n巴塔耶的色情论：由僭越通往神圣 巴塔耶试图揭示主体在理性秩序的边界处，如何通过色情来触及超越自身的极限经验。\n巴塔耶的色情论根植于人类学。人与动物的根本区别在于劳动与禁忌。人类通过劳动工具与死亡意识，将自己从自然的“连续性”中脱离出来，建立了一个理性、秩序、个体性和目的性的世界——主体由此得以确立。但这一过程也伴随着深刻的断裂：人从与自然的直接联系中被连根拔起，成为了孤立、有限、能意识到死亡的个体。主体获得了自由与理性，却失去了与自然、与他者、与存在本身的直接连接。生命与生命之间、生与死之间从此被个体化所割裂。\n与动物的性行为不同，人类的色情是在知晓禁忌的前提下对禁忌的僭越。这种僭越是自觉的、有意识的，它预设了禁忌的存在，并通过对禁忌的否定来确认自身。只有作为主体，才能够意识到禁忌，也只有作为主体；才能够选择去僭越。因此，色情不是对主体性的简单抛弃，而是以一种近乎牺牲的姿态，去触及那个连续性的世界。\n色情也因此连通了死亡。主体性的确立本质上是对死亡的拒斥，但色情却在极致的快感中短暂地消融了个体性的边界，主体由此体验到一种类似于死亡的自我丧失。这种丧失并非毁灭，而是回归个体化之前的连续性，让主体在死亡边缘片刻地消解了由于失去连续性所产生的孤独与虚无。\n巴塔耶的色情哲学展示了主体性的悖论：只有通过否定自身所建立的禁忌，才能触及自身存在的根基。于是僭越本身即是一种权力的彰显，其触及了主体所能触及的最深领域：既是对生的赞许，也是对死的超越。\n福柯的微观权力：在性实践中生产主体 福柯彻底颠覆了对权力本质的理解，倒转了主体与权力之间的关系。\n在传统观念里，权力被认为是那些禁止式的命令和压制性的力量，是某种可以被占有、被夺取，或自上而下施行的东西。可福柯却认为，真正的权力是微观的，如同毛细血管，弥漫于社会肌理，并进入每个人的身体。这是一种生产性的权力，它积极地生产着现实、知识以及主体本身。因此，主体并非先在的实体，而是权力运作的效果，在权力与知识的复合网络中被不断地塑造与颠覆。\n性同样是权力运作的重要场域。主体对性的探索，与其说是在解放被压抑的本真欲望，不如说是在权力建构的话语内进行着自我的生产。BDSM——绑缚与调教、支配与臣服、施虐与受虐——这一当代激进性实践正是权力生产性的极端体现：它并不逃避权力，而是将权力本身作为性的实践方式。在这里，权力不是施加于性的外在压抑，它从隐蔽之处移动到前台，成为一种明确的、可协商的、仪式化的游戏。通过角色、规则、安全词等高度形式化的程序，BDSM 创造出一个微观的剧场。权力在其中生产出新的身份认同、新的身体经验以及新的主体间关系。\n这就是快感的权力化——其不必依附于性器官或生殖规范，从而可以在身体的其它部位中产生，在话语与权力的交织中涌现。从被表扬、被依赖到被嫌弃、被虐待，从与他人的互动到僭越社会规则，只要权力关系被激活并成为反思的对象，就可能产生不同于传统意义的快感。主体性的塑造、剥夺、丧失，主体的挣扎、撕裂、恶堕，这些也无一不是快感的潜在来源——虽然它们常被简化为“反差”，但其深层机制往往涉及权力的流动与运作。\n性在实践中被一次又一次地重新定义，主体也通过对权力的利用来探索自我的边界。由此，主体既是权力关系的承受者，也在权力的缝隙中，通过自我技术将权力关系转化为自我建构的场域。\n福柯的理论为理解性中的权力美学提供了一个相反的视角：不是主体拥有权力，而是权力生产主体。这种权力并非外部的枷锁，而是主体得以构成的要素。在此意义上，性成为了权力美学的典范实践：它既是权力生产主体的场域，也是主体在权力关系中自我创造、自我超越的艺术。\n结语 从康德出发，经过黑格尔、萨特、巴塔耶，最后到福柯，本文无意构建一个统一的理论，而是借助已有的概念，试图勾勒出性体验中所蕴含的多重审美维度。尽管上述哲学家对主体和权力的理解各不相同，但他们的理论都可以用来回答这个问题：在所有和性有关的复杂体验中，除去感官以外的那部分究竟是什么？\n这可以是主体间为承认而进行的辩证过程，可以是凝视与被凝视的博弈，可以是通过僭越触及自身存在的根基，可以是用微观权力网络不断创造新的可能性。性不只是生物的交配或伦理学的研究对象，也可以是在权力关系中不断创造和颠覆主体性的艺术。这就是性中的权力美学，这就是那具有独特意义的、超越感官的性体验。\n","permalink":"https://juemuren.github.io/blog/posts/phil/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%84%9F%E5%AE%98/","summary":"世上的一切都与性有关，唯独性本身是关于权力的。","title":"超越感官：性中的权力美学"},{"content":"俄狄浦斯情结作为精神分析的核心概念，最初被弗洛伊德用来解释人格结构如何形成，如今又被一众哲学家拿来批判资本主义。而这一转变的关键，正在于拉康用结构主义对其进行了重新解读。\n拉康将俄狄浦斯情结形式化为一种结构——“象征秩序”介入“想象性二元关系”。此后，阿尔都塞、德勒兹与加塔利、齐泽克分别将这一结构应用于意识形态国家机器、再域化和晚期资本主义中。本文旨在梳理这一思想谱系，介绍俄狄浦斯情结如何从个体的乱伦幻想演变为一种批判社会制度的理论工具。\n弗洛伊德的发现：从古希腊悲剧到普遍情结 弗洛伊德的精神分析始于对神经症患者的临床接触。他发现许多女性病人对父亲的回忆充满浪漫色彩，同时流露出对母亲的嫉妒；而男性病人则对母亲有过分亲密的描述，并常伴有无意识中对父亲的恐惧与反抗。同时，弗洛伊德也在自我分析中发现：他对父亲怀有隐秘的敌意，对母亲则有着超出寻常的爱恋。这使得弗洛伊德确信，俄狄浦斯情结不是个人的怪癖，而是一种普遍的心理结构。\n弗洛伊德最终选用“俄狄浦斯”来命名这一情结绝非肤浅，恰恰是因为他深刻地领悟到了古希腊悲剧《俄狄浦斯王》中的内涵：俄狄浦斯在不自知的情况下杀死了自己的父亲，并迎娶了自己的母亲，当真相大白后，他主动地刺瞎双眼并流放荒野。尽管神谕早已预言了这一切，但悲剧的出现恰恰是因为所有人都极力地避免悲剧的出现。这是一种不可逃避的命运，就像个体欲望所具有的那种普遍性。只是所有人都恐惧这一真相，因此极力地压抑，将其深埋于无意识之中。而伟大的剧作家索福克勒斯则仅凭直觉就捕捉到了人性的深层真相。\n在弗洛伊德那里，俄狄浦斯情结带有明显的生物学还原论色彩：幼儿具有性欲，因此男孩将母亲视为欲望对象，将父亲视为竞争对手，最终由于“阉割焦虑”——害怕父亲得知自己的愿望从而阉割掉自己的阴茎——放弃了对母亲的占有欲，转而认同父亲。这标志着超我的形成，从此主体内化了各种道德和规范，得以进入文明社会。弗洛伊德虽然也尝试过用这一理论来解释人类文明的诞生，但在其临床应用中，俄狄浦斯情结始终被锚定于家庭三角关系。\n在弗洛伊德提出俄狄浦斯情结之初，其尚未成为社会批判的工具，而只是一个“心理动力学”的理论，其作用是解释人格结构的形成：无法妥善解决俄狄浦斯冲突的个体，将因此出现各种心理症状——若欲望固着于乱伦对象而未能完成认同，便会形成癔症或强迫性神经症，反复陷入三角关系或仪式化的内心挣扎；若阉割焦虑过于严重，则会形成严酷的超我，导致抑郁倾向或自我破坏。\n拉康的结构主义解读：从家庭戏剧到欲望结构 真正将俄狄浦斯情结从家庭叙事中解放出来的，是拉康发起的“回到弗洛伊德”运动。拉康借助结构主义对其进行了一次彻底的重新解读，将俄狄浦斯情结形式化为一种结构，而非由性欲驱动的家庭乱伦三角戏剧。\n在拉康的重构中，介入的不是实在的父亲，而是“父之名”——这是一个纯粹的能指，代表着包括语言、法律、社会禁忌在内的“象征秩序”。同时，婴儿对母亲的欲望也不再是出于性本能，而被重新表述为“想象性二元关系”——这是一种普遍的幻想，认为自己可以从对象中得到所需的一切，认为自己对其拥有绝对的掌控，认为自己是没有缺失的。\n孩子最初尚未将自己从母亲中分离出来，孩子认为自己和母亲处于“想象性二元关系”中，并试图成为母亲欲望的对象，与母亲达成一种全能自恋的完满融合。然而，母亲是有缺失的——孩子并不能完全满足母亲。“父之名”的介入则正式地打破了孩子的幻想，孩子因此被迫认识到：自己不是母亲欲望的全部，自己缺少某个东西。而这个东西，就是父亲似乎拥有的那个东西——“阳具”——这不是真实的阴茎，而是一个象征性的能指，代表了欲望本身所指向的缺失之物。\n从这个意义上说，孩子经历了“阉割”：不是失去现实中的器官，而是承认自己并不拥有那个作为象征的“阳具”。通过阉割，孩子放弃了与母亲的想象性融合，转而认同父之名，开始追寻那个永远失落的对象。正是阉割创造了欲望——此前孩子的欲望只是母亲的欲望。正是阉割让孩子成为了一个主体，从而进入了语言、法律和社会秩序。正是阉割完成了从想象界到象征界的“入场仪式”。\n拉康做出的最大变革在于：“父之名”不必是真实的父亲，任何占据象征性权威位置的能指——法律、君主、上帝、资本、某种意识形态——都可以承担这一功能；“想象性二元关系”也不再局限于母婴之间，任何想象中完美的二元闭环——通过学习和劳动获得的直接满足——都可能因第三者的介入而破裂。拉康打开的这扇门，使得俄狄浦斯作为一种普遍的三元结构，从此可以走出家庭，成为分析一切象征秩序与欲望结构的通用理论工具。\n阿尔都塞的制度化尝试：意识形态国家机器与主体询唤 如果说拉康完成了形式化的抽象，那么阿尔都塞则是第一个使用这套结构来分析现代社会制度的思想家。尽管阿尔都塞本人有意避免在论述中直接使用拉康的术语，但他无疑非常精通拉康的理论。这不仅是因为阿尔都塞写过文章称赞拉康的结构主义精神分析，更是因为他的意识形态国家机器理论与拉康的俄狄浦斯三元结构具有惊人的相似性。\n阿尔都塞认为，意识形态通过将个体“询唤”为主体，使其认同了社会所赋予的位置。可以用拉康的黑话来重新阐释阿尔都塞的理论：在假设的前询唤状态里，个体与“具体的生产关系”之间存在着想象性的直接关联；而询唤的操作者，由作为意识形态国家机器的学校、教会、家庭等来扮演；至于询唤的后果，就是个体放弃了自己原初的幻想，转而认同统治阶级意识形态所赋予的象征身份。\n特别地，阿尔都塞指出，在发达资本主义社会里，学校已经成为了最主要的意识形态国家机器。学校通过一套严格的纪律、评分体系、知识等级和文凭授予，对每一个体进行“询唤”。教育制度作为“父之名”介入了个体与知识的“想象性二元关系”，被“阉割”的是个体对知识的想象性占有——个体被迫认识到，自己并不能完全占有知识——知识总是他者的知识，学习总是要接受一个外在的评判位置。个体于是放弃了完满的自恋幻想，并将其置换为对成绩、文凭和象征身份的认同。个体必须接受制度化的评估和筛选，才能获得社会身份，并最终服从于统治阶级的秩序和权威。\n阿尔都塞虽然没有明确使用拉康的术语，却第一次系统地揭示了现代社会制度如何通过“阉割”完成对主体的规训与再生产。\n德勒兹与加塔利的激进批判：资本主义的再域化 在阿尔都塞之后，德勒兹与加塔利以更激进的姿态批判了俄狄浦斯结构：他们虽然打着“反俄狄浦斯”的旗号，但却并非简单地否定俄狄浦斯的重要性，而是揭示其已成为了资本主义“再域化”的工具。\n在他们看来，欲望并非源于缺乏，其本质上是流动的、去中心化的、具有生产性的。资本主义的成就之一就是其完成了前所未有的“解域化”：通过打破封建等级、血缘纽带、宗教权威等传统秩序，通过将劳动力、土地、财富等一切事物都转化为了可交换的抽象价值，资本主义释放了欲望的流动性。但与此同时，资本主义还必须进行“再域化”，否则欲望的无限制流动将威胁到资本增殖本身。而俄狄浦斯情结就是资本主义重要的“再域化”工具：通过把一切无意识冲突都还原为家庭三角关系，通过宣扬“阉割”和“现实原则”，个体被诱导去放弃对欲望的深入探索，转而顺从既定的社会秩序。资本主义就这样完成了对欲望的驯服。\n在这个意义上，资本虽然不是拉康所说的“父之名”，却发挥了类似的功能——它是一种公理系统。通过抽象等价物——比如金钱或分数——把一切异质性的欲望都被转化为同质性的交换价值。主体在资本主义的生产逻辑下被“俄狄浦斯化”：他必须放弃对具体的、不可通约的使用价值的直接占有，转而认同抽象价值这一空洞的能指。\n然而，德勒兹与加塔利认为，俄狄浦斯终究只是资本主义用来再域化的工具。真正的欲望是一种精神分裂式的欲望，其始终在逃逸，试图冲破俄狄浦斯的牢笼。因此，他们反对传统的精神分析治疗，认为那不过是让患者适应现实，从而压制了欲望具有的革命潜力。他们推崇一种“反俄狄浦斯”的欲望政治，通过精神分裂分析来释放欲望的流动，让欲望直接连接社会、历史、自然，而不经过家庭剧场的编码和资本主义的规训。\n尽管德勒兹与加塔利激烈批判俄狄浦斯结构，但恰恰是他们最系统、最激进地揭示了这一事实：俄狄浦斯不仅是家庭内部的冲突，更是资本主义用来驯服欲望的方式。但他们同时坚持，欲望本身是非俄狄浦斯的、去中心化的。真正的解放不是适应俄狄浦斯，而是彻底超越俄狄浦斯。\n齐泽克的当代普及：父之名的式微和去阉割化的焦虑 齐泽克是这一思想谱系在当代的集大成者。他将拉康的“父之名”、“阉割”、“象征秩序”与马克思的“商品拜物教”、“资本”进行了无缝对接，使得这一分析框架变得家喻户晓。\n尽管都在使用俄狄浦斯对资本主义进行批判，但齐泽克和德勒兹、加塔利之间存在着根本的分歧。德勒兹与加塔利认为，缺乏是资本主义和精神分析共同制造的幻象，欲望本质上是自我生成的，阉割必须被超越；而齐泽克则坚持正统拉康派的观点，认为欲望的本质是缺乏，试图超越缺乏，只会陷入致命的过度享乐。没有象征阉割，就没有符号秩序，进而也就没有产生欲望的主体。因此，阉割不是革命的敌人，而是解放的条件。\n回到齐泽克自己的理论。他认为资本就是现代社会的“大他者”，作为一种抽象的、匿名的象征权威而发挥着“父之名”的功能：通过将一切价值转化为交换价值，资本对个体实施了“阉割”，并逼迫其放弃对使用价值的直接占有。只有认同资本的逻辑，主体才能进入现代社会的象征秩序。\n但齐泽克更为敏锐的洞见在于：晚期资本主义出现了“父之名的式微”。在经典资本主义阶段——即韦伯所谓的“新教伦理”时期——资本还保持着传统父权的特征：通过“禁止命令”——如禁欲、纪律、延迟满足——来组织欲望。可到了晚期资本主义，资本的象征意义发生了翻转：它不再是发出禁令的严厉父亲，而变成了强迫主体去享乐的淫秽超我。广告、消费文化、灵活就业制度等不断地向主体灌输“你必须快乐”“你必须成功”“你必须享受生活”这种没有否定性、没有禁忌的“享乐命令”。\n齐泽克将这一现象称为“象征效率的衰退”，或者“去阉割化”。当父之名不能再提供稳定的象征性权威，当资本的逻辑本身变得过于流动和抽象，主体失去了阉割带来的“欲望缓冲”。其结果不是欲望的解放，而是焦虑的爆炸——主体直接暴露在大他者无底线的要求面前，无法找到一个稳定的象征坐标来安放自己的欲望。当资本变成一个焦虑的、疯狂追逐利润的“非主体”时，个体也随之失去了可认同的界限，陷入了“看似无所不能，实则不知所欲”的困境。\n结语 从弗洛伊德到拉康，再到阿尔都塞、德勒兹、加塔利、齐泽克，俄狄浦斯情结从一种解释“为什么我们会有神经症”的个体心理学理论，变成了一个用于分析“为什么我们会认同支配自己的制度”的社会批判工具。\n无论如何，俄狄浦斯情结揭示了一个深刻的观察：主体不是自然的、先验的，而是在某种结构中被建构出来的。从家庭的父亲、到学校的分数、再到职场的绩效，每一种象征秩序都要求我们通过“阉割”自己原初的、异质性的欲望来换取进入的资格。\n批判的目的，是识别出每一种“父之名”的空洞，并在承认其象征效力的同时，保持对它的警惕。这正是俄狄浦斯情结从乱伦幻想到社会批判的漫长演变中所留下的宝贵思想遗产。\n","permalink":"https://juemuren.github.io/blog/posts/phil/%E4%BF%84%E7%8B%84%E6%B5%A6%E6%96%AF%E6%83%85%E7%BB%93/","summary":"俄狄浦斯情结作为精神分析的核心概念，最初被弗洛伊德用来解释人格结构如何形成，如今又被一众哲学家拿来批判资本主义。而这一转变的关键，正在于拉康用结构主义对其进行了重新解读。本文旨在梳理这一思想谱系。","title":"俄狄浦斯情结：从乱伦幻想到社会批判"},{"content":"今天，互联网上到处都是性：从情感博主，到擦边视频，再到色情内容——性不再被禁止谈论。然而，“性压抑”这个词却从未像现在这样频繁地出现在网络骂战中。当一个人对异性进行言语骚扰，评论区会说“性压抑”；当一个人对纸片人发情，评论区也会说“性压抑”。“性压抑”正在从一个严肃的精神分析术语，变成羞辱他人的标签。\n但仔细想想，一个连性都不再被禁止的时代，为什么“性压抑”反而成为了普遍的现象？我们今天所说的“性压抑”，和弗洛伊德当年所说的“性压抑”，还是同一个东西吗？本文尝试追溯“性压抑”这一概念的演变：从维多利亚时代的禁忌，到互联网时代的匮乏。这一过程反映了文明形态从“禁忌文明”到“消费文明”的转型，也揭示了现代人所面临的全新的结构性困境。\n弗洛伊德提出的性压抑：心理的防御和文明的代价 在弗洛伊德的理论中，压抑是一种无意识的心理防御机制：个体将可能引起焦虑的欲望排除在意识之外，从而防止内在冲突。压抑是普遍的，其中最基本的就是性压抑——在弗洛伊德看来，性是人类最重要的本能。被压抑之物并不会直接消失，而是潜藏在无意识中，并通过各种方式返回——可能是梦、口误、强迫行为，或者神经症。因此，性压抑可能导致个体出现反常的行为，确实是弗洛伊德精神分析的一个结论。\n但弗洛伊德的洞察远不止于个体层面。在弗洛伊德所处的维多利亚时代，道貌岸然的资产阶级为了在道德上区别于旧贵族，制定了各种离谱的性禁忌，并因此产生了大量的神经症患者。弗洛伊德正是基于对这些患者的临床接触，才发展起了精神分析这门学科。文明就建立在对本能的压抑之上，它用禁忌压制冲动，用罪疚惩罚欲望，而代价则是普遍的神经症与痛苦。\n互联网讨论的性压抑：从禁忌到匮乏 然而，维多利亚并非一个纯洁的时代，而是一个畸形的时代。明面上严厉的性禁忌，所导致的另一个结果，就是暗面上夸张的性泛滥。白天，维多利亚人享受着体面的文明社会；夜晚，维多利亚人则进入堕落的地下世界。同个体一样，文明也在压抑着那些不愿看到的欲望。但显然，欲望并没有被消灭，而是被驱赶到了文明所看不到的地下，并最终以扭曲的形式返回：规模惊人的卖淫业，繁荣的地下色情文化，以及上层阶级腐败的私生活。\n如今，无论明面上的性禁忌是否已经消失，一个必须要面对的事实是：文明已经无法再将其不愿看到的欲望都压抑到暗面的地下世界中。压抑这一防御机制早已被突破，所有被压抑之物都近乎原封不动地返回到了文明社会。在这个意义上，如今的痛苦已不再是“压抑”的痛苦，而是“压抑失败”的痛苦。\n互联网就是这样一个表达性的最大的场所。可以说，互联网制造了一个“性唾手可得”的拟态环境，也产生了一个“人人都在享用性”的想象空间。个体置身其中却无法获得满足时，会产生强烈的“相对剥夺感”。这种感觉不是“我不该有欲望”，而是“为什么只有我的欲望无法被满足”。这是一种从“禁忌”到“匮乏”的转变。人们不再为“想到性”而焦虑，人们开始为“想到性却无法实现”而焦虑。它不再是无意识的防御，而是有意识的挫败——这不是弗洛伊德意义上的“压抑”，而是一种“受阻”。\n在弗洛伊德的时代，焦虑主要源于罪疚，是对自我产生的肮脏欲望的厌恶。而今天，焦虑的体验则复杂得多——这是一种混合了自卑、恐惧和无力的感觉。这种体验可以被明确地阐述，其具体内容就是网络上反复出现的抱怨——“我没有性魅力不会有人真正喜欢我”“我在性市场上处于底层好羡慕那些有钱人”“高额的成本让我不愿尝试建立亲密关系”“持续的负面新闻让我害怕接触异性”“我已经不年轻了再也不能像别人那样体验轰轰烈烈的性爱了”“再不主动做些事情我就要当一辈子的处男或者接盘侠了”——它并不藏在无意识中，而就悬浮在意识表层。这种想法愈是清晰，就愈是感到折磨。\n性压抑的话语翻转：从结构批判到符号暴力 性压抑的实质发生了变化，而更耐人寻味的是，“性压抑”一词的语用功能也发生了翻转。\n在弗洛伊德那里，性压抑是心理的防御，是文明的代价，是每个人都无法逃离的精神困境。而在今天的网络论战中，性压抑俨然变成了一个贬义词。“你性压抑”这句话的潜台词是：“你是一个在性上失败的人。你没有魅力，没有资源，无法吸引异性，所以你才会用这种可笑、可悲、令人不适的方式发泄欲望。而我——说出这句话的人——与你不同。”\n这是一种双重羞辱：既羞辱对方的性价值，又将其行为贬作“性压抑导致的扭曲”。在这里，“性压抑”不再是需要被同情或理解的心理状态，而是一种道德污名，用于划定边界——谁是“正常的、成功的、被接纳的”，而谁又是“扭曲的、失败的、被抛弃的”。\n这一翻转事实上意味着，“性压抑”已经成为一个用于人身攻击的工具，它完全失去了自身可能具有的批判社会的力量。说话者通过指认他人的压抑，将自己从结构中抽离出来，确认自己“不压抑”的优越地位。原本指向普遍文明病理的概念，沦为了身份区隔的符号暴力。\n被遮蔽的文明病理：资本主义从生产向消费的转型 可是，这种话语翻转并不能抹煞这样的事实：在现代，这种所谓新的性压抑同样有着结构性的原因——尽管其不同于维多利亚时代，但也不是仅凭个人魅力或心态就可以解决的。\n维多利亚时代的性禁忌，并不单纯是为了“在道德上区别于旧贵族”。早期资本主义需要一套“生产型人格”：自律、节俭、延迟满足、将精力投入工作而非享乐。性禁忌在当时发挥着规训劳动力的功能，压抑性能量，并将其导向生产。\n然而，现代资本主义遇到了一个严重的问题：生产过剩。大规模生产需要相应的大规模消费，资本积累的重心开始从“如何生产更多”转向“如何消费更多”。于是，资本主义开始了一场深刻的自我改造：它不再需要禁欲和延迟满足，而是鼓吹享乐和立即消费。\n这场转型的标志性事件，是战后消费社会的形成，以及随后性革命与资本主义的合流。资本主义成功吸收了对它的反抗，将性解放本身变成了新的消费方式，欲望就这样成为了利润的源泉。互联网也在其中扮演了关键的角色——其早已不是自由的乌托邦，而是被资本收编，引导着消费，并服务于欲望的生产。\n总之，资本主义从“生产型”向“消费型”的转型，深刻地改变了资本与欲望的关系——资本不再需要压抑欲望，反而需要不断生产和放大欲望。互联网加速了这一过程，并将它推向了极致。但这一转型也并非单向的、线性的，我们依然可以看到某种“禁忌”的存在——比如围绕堕胎权的斗争和对网络色情的审查。当代的性压抑体验，其实是在这两种逻辑的张力下形成的。\n我们今天严肃地谈论性压抑，实际上是在借用精神分析的古老词汇，去言说一个相当现代的困境：在一个性被高度绩效化、欲望被不断商品化的时代，我们应该怎么看待自身的欲望？怎么处理与他人的关系？\n如何面对现代的性压抑 当年弗洛伊德指责“禁忌文明”压制本能，现在“消费文明”不再说“你不许有性”，反而说“你可以有性，但你得有魅力、有资源、有社交能力、有情绪价值——否则，你就是那个性压抑的笑话”。面对这一复杂的处境，单纯的“释放欲望”或“谴责压抑”都不能解决问题。或许可以从以下几个方向重新思考：\n第一，区分“压抑”与“受阻”。承认当代人面临的主要是机会匮乏带来的受阻感，而非弗洛伊德意义上的由禁忌导致的罪疚。这一区分有助于我们认清导致性压抑的原因，并避免将其简单归因于个体心理。\n第二，警惕“性压抑”话语的污名化使用。当这个词被用于人身攻击时，它不再服务于批判或解放，而是制造排斥与羞辱。我们需要对这种话语暴力保持清醒。\n第三，重建升华的可能。弗洛伊德认为，压抑并不必然导致痛苦，关键在于能否将性能量转化为创造性的、被文明认可的形式。但在今天，这种性能量往往既无法充分释放，也无法有效升华，从而导致了持续的痛苦。\n第四，回归结构性批判。如果我们承认性压抑的根源在于文明的结构，那么解决之道就不应只是“提升个人魅力”，而是追问：什么样的社会才能让更多人拥有健康的亲密关系？什么样的制度才能给人留出属于爱的空间？\n结语 从维多利亚时代的禁忌，到互联网时代的匮乏；从无意识的防御机制，到有意识的相对剥夺；从对文明的批判，到对他人的污名——“性压抑”这一概念的演化史，本身就是一种对现代人心灵与社会变迁的侧写。\n今天我们在使用“性压抑”这个词时，既需要理解它在网络话语中已经发生的意义翻转，也需要警惕这种翻转可能遮蔽的结构性困境。或许，我们需要在概念的废墟上，重新寻找一种能够言说现状的语言——既不成为道德禁忌的帮凶，也不沦为身份区隔的工具，而是在承认结构困境的同时，仍然为个体的尊严留出可能。\n“性压抑”这一古老的概念在当下仍值得被严肃对待。\n","permalink":"https://juemuren.github.io/blog/posts/phil/%E4%BB%8E%E7%A6%81%E5%BF%8C%E5%88%B0%E5%8C%AE%E4%B9%8F/","summary":"性解放并没有消灭性压抑。恰恰相反，性解放制造了新的性压抑——以一种资本主义的方式。","title":"从禁忌到匮乏：性压抑的概念变迁与结构困境"},{"content":"在 bilibili 上的一条题为《我将出手解决生育率困境》的视频中，作者尝试用“强迫交配”的方案解决低生育率问题，并给出了相当完备的、自洽的法律解释。尽管视频的讲述者使用了较为严肃的语气，但观众仍普遍以戏谑的口吻进行评论，认为这件事情离谱得不可能实际发生。\n可现实中，这种带有强迫性质的、通常被美化为义务的社会工程不仅存在，有些还被视为文明的基石——比如用来提高受教育率的“义务教育”。真正值得思考的问题是：为什么有些强迫被认为是能接受的，甚至是有益的，而另一些则被认为是不可接受的，甚至太过荒唐以至于不可能发生？\n具体到教育和生育，这个问题有许多种解释。诚然，人们可以从公共事务与私人领域、未成年人保护等角度给出无数辩护，以论证教育与生育存在本质上的不同。但本文试图揭示的，正是这两者在结构上的相同：它们共同服务于社会结构的再生产，通过对社会主体进行规训来完成权力的自我实现。通过这种解构，我们不仅能理解教育异象背后的逻辑，更能以此为窗口，窥视结构与主体之间那场永恒的博弈。\n义务教育？强迫学习！ 现行的“义务教育法”宣称：人拥有受教育的权利，同时也必须履行接受教育的义务。这种安排被视为正当的，因为它符合“权利与义务相一致”的原则，现代人也普遍赞同其为社会发展做出了不可磨灭的贡献。\n但如果换一个角度就会发现，这实质上就是另一种“强迫学习”的表述。学习被制度化为教育，并通过法律、学校与考试体系等获得了某种强制性。在这种强迫学习的制度下，社会仍然长期保持稳定，甚至在某种意义上非常成功：升学人数连年攀升，受教育率持续高涨，人才储备越来越丰富。然而在一片欣欣向荣之下，今天的年轻人似乎有了一些小脾气：也许是因为愤怒，也许是因为恐惧，又或者仅仅是感到迷茫，他们的生育意愿相当低。这已经成为了严重的社会隐患。\n既然“强迫学习”如此成功，为什么我们不能再次捡起曾经的“计划生育”政策，将其重新解读为“国家机器有权对人口再生产进行宏观的管理和调控”，然后推出“强迫交配”法案呢？这完全可以用和“义务教育”逻辑一致的说辞进行合理化，且未来的人说不定某天也不得不承认这一制度确实挽回了当时岌岌可危的生育率，解决了危机，拯救了文明，是史无前例的伟大创举。\n强迫交配的理论价值和现实阻碍 从社会结构的角度来看，强迫交配并非荒诞。社会结构要求社会主体进行学习，因为其需要优质的劳动力；社会结构同样要求社会主体进行交配，因为其需要足够的劳动力。这种需要是迫切的，关系到结构的存在和发展。因此结构总是会通过某种方式压迫主体，将主体的行为结构化，并反过来利用主体的内在动机粉饰这种行为。\n具体到学习上，这种结构化表现为教育制度：它通过组织学习活动来提升劳动力的质量。受教育率是衡量社会现代化程度的一个重要指标，生育率同样也很重要：生育是劳动力再生产的关键环节，最直接地决定了劳动力的数量。教育和生育共同构成了社会再生产的基础。既然社会能够以发展的名义，将学习制度化为义务，那么一个类似的想法便会自然地出现：是否可以将交配列为社会义务？\n究竟是什么阻碍着这一伟大想法的实现？是技术不行，能力不足，还是意义不大？也许最合适的答案是伦理。人们害怕身体被控制，害怕权力介入亲密关系，害怕交配行为被异化，害怕人沦为工具。因此，尽管结构不断地进行尝试，主体却总能一次又一次地、团结地保卫了交配的自由。\n学习与交配的同构 可如果身体被控制是不可接受的，如果权力介入是危险的，如果异化是可怕的，如果人沦为工具是无法容忍的——那为什么当这一切都已经发生在了学习之中，却还总能被认为是正常且合理的？\n学习难道就不触及身体吗？学习真的只是头脑里的事情吗？难道学生不是被迫在清晨起床、拖着疲惫的身体赶到教室吗？难道不是被要求在狭窄的座位上端坐数小时，被要求保持安静、专注和顺从吗？难道学生没有被规定什么时候可以起身、可以坐下，什么场合应该说话、应该沉默吗？眼睛要盯着黑板，手要时刻准备书写，注意力要集中，身体要压抑疲倦和所有不合时宜的冲动。这难道不是对身体的直接控制吗？这难道不是对身体的驯化与占有吗？\n学习难道就没有被权力介入吗？考试是谁设定的？是谁规定了优秀，又是谁规定了不合格？是谁决定着一个人能否继续学习、能否接受下一阶段的教育？学生每天都生活在评分、记录、比较和筛选之中。权力并不只能是鞭子，也可以是一张试卷；权力并不只能是命令，也可以是一份排名。在这样的结构里，学生甚至会主动监督和约束自己，主动按照权力的标准塑造自己。如果这不叫权力介入，那什么才算权力介入？\n学习难道就未被异化吗？学习原本意味着什么？意味着好奇，意味着理解世界，意味着人试图超越自身的局限。可在制度之中，学习变成了什么？变成了分数，变成了指标，变成了升学率，变成了简历上的一行文字。当知识被切割成考点、思想被压缩成答案、理解被替换为记忆，学生不会再问“这是真的吗”、“为什么是这样”，而是问“考试会不会考”、“这样写能不能得分”。学生被分数奴役，知识被视为一种工具——这难道不是异化吗？\n一个清醒的、自觉的主体，应该永远持有对教育的质疑；一个不希望被结构支配的主体，应该永远坚定这样的信念：保卫学习的自由！\n保卫学习的自由 保卫学习，不是保卫考试、分数、排名，不是保卫那套把人异化、分类、筛选的教育机器。要保卫的，就是学习本身。\n学习不是制度赐予的恩典。人会提问，会怀疑，会试图理解世界，这不是被教育强加的权利。学习是人的能力，是人的冲动，是人的理性，是人作为主体的自由选择。制度可以组织学校，但制度不可以强迫学习。\n学习不是权力规训的产物。权力可以组织考试，可以发放文凭，可以制造被驯化的工具，却不能决定思想何时出现，不能产生自由的、能动的主体。真正的学习总是出现在权力的裂缝里，出现在怀疑产生的那一刻，出现在意识到答案并不充分的那一刻，出现在拒绝把分数当作真理的那一刻。\n保卫学习的自由，并不是拒绝知识，而是反对学习被教育支配。如果学习失去了自由，如果教育支配了学习，那么学习就只能是一种规训，人必将变成机器这种非人的存在。把学习从分数和排名中解救出来，让学习摆脱焦虑、恐惧和不自由！\n保卫学习的自由！这不是一句空洞的口号，而是对教育的批判，是对结构压迫主体的反抗！任何制度只要试图把学习变为生产过程，就必须被质疑！任何权力只要试图扭曲知识的意义，就必须被挑战！任何结构只要试图把学生驯化为工具，就必须被颠覆！\n","permalink":"https://juemuren.github.io/blog/posts/phil/%E5%AD%A6%E4%B9%A0%E5%90%8C%E4%BA%A4%E9%85%8D/","summary":"教育和生育是劳动力再生产的关键环节，本文尝试分析二者的相同之处。","title":"学习同交配：对教育和生育的结构分析"},{"content":"数学假设 对于该问题，我们不得不做出一些数学上非常重要但现实中非常不靠谱的假设：做爱对个人而言是独立同分布的，对时间而言也是独立同分布的，不考虑性别、文化、经济、季节、时差、地区等因素。\n后续需要用到的数据提前列出如下：\n世界上的总人数为 NNN，根据公开数据进行取整得 N=8×109N = 8 \\times 10^9N=8×109 人均做爱次数为每年 MMM 次，根据部分调查报告，取比较保守的估计 M=50M = 50M=50 平均做爱时长为每次 μ\\muμ 秒，由于没有靠谱的统计数据，粗暴地令 μ=300\\mu = 300μ=300 一年的总时间为 YYY 秒，忽略闰年闰秒等情况有 Y=365×24×60×60Y=365\\times24\\times60\\times60Y=365×24×60×60 伯努利过程 首先用最简单的伯努利过程进行建模。\n伯努利过程模型 每个人每一刻都以概率 ppp 处于做爱状态。每过一刻，所有人同时重新判定处于哪种状态。\n伯努利过程分析 用 XXX 表示处于做爱状态的人数。\n在任意时刻，某人处于做爱状态的概率为 ppp，处于非做爱状态的概率为 1−p1-p1−p。由于做爱对人是独立同分布的，因此在该时刻处于做爱状态的人数符合伯努利分布，即\nP(X=k)=(Nk)pk(1−p)N−kP(X = k) = \\binom{N}{k} p^k (1-p)^{N-k}P(X=k)=(kN​)pk(1−p)N−k于是得到同时做爱人数的期望为\nE[X]=NpE[X] = NpE[X]=Np所有人都不在做爱的概率为\nP(X=0)=(1−p)NP(X = 0) = (1-p)^NP(X=0)=(1−p)N代入数据得到\np=MμY=50×300365×24×60×60≈4.756×10−4p = \\frac{M\\mu}{Y}= \\frac{50 \\times 300}{ 365 \\times 24 \\times 60 \\times 60} \\approx 4.756\\times10^{-4}p=YMμ​=365×24×60×6050×300​≈4.756×10−4因此\n平均做爱人数为 Np≈3.805×106Np \\approx 3.805\\times10^6Np≈3.805×106 所有人都不在做爱的概率为 (1−p)N≈e−3.806×106(1-p)^N \\approx e^{-3.806\\times10^6}(1−p)N≈e−3.806×106 泊松过程 伯努利过程的模型虽然简单，但其有着明显的缺陷：时间被离散化了，所有人只是不停地、在每个时间节点同步地抛硬币决定自身的状态。一个可能更合理的模型需用到泊松过程，这样能够让时间是连续的。不过考虑到泊松过程对多数人而言较为陌生，我们先从简单的模型说起。\n泊松过程简单模型 世界上以每单位时间（秒）平均 λ\\lambdaλ 次的强度发生着做爱开始事件。\n泊松过程分析 用 X(t),t≥0X(t),t \\geq 0X(t),t≥0 表示在 [0,t][0, t][0,t] 这段时间内发生的做爱开始事件的总次数。\n取时间段 [0,τ][0, \\tau][0,τ] 并将其分为 nnn 等份，每份的时长为 δ=τn\\delta = \\frac{\\tau}{n}δ=nτ​。我们可以将 δ\\deltaδ 取到任意小的值，使每个时段内都不可能发生多次做爱开始事件。设时段 [0,δ][0, \\delta][0,δ] 内发生一次做爱开始事件的概率为 ppp，于是得到\n{P(X(δ)=0)=1−pP(X(δ)=1)=pP(X(δ)≥2)=0\\begin{cases} P(X(\\delta) = 0) = 1 - p \\\\ P(X(\\delta) = 1) = p \\\\ P(X(\\delta) \\geq 2) = 0 \\end{cases}⎩⎨⎧​P(X(δ)=0)=1−pP(X(δ)=1)=pP(X(δ)≥2)=0​由于做爱对时间独立同分布，所以这 nnn 个长为 δ\\deltaδ 的时段内发生的做爱开始事件的总次数的期望为\nE[X(nδ)]=npE[X (n\\delta)]=npE[X(nδ)]=np而由泊松过程模型可知时段 [0,τ][0, \\tau][0,τ] 内发生的做爱开始事件的平均次数等于时长乘强度，即\nE[X(τ)]=λτE[X (\\tau)]=\\lambda \\tauE[X(τ)]=λτ再代入 τ=nδ\\tau = n\\deltaτ=nδ 可得 p=λδp = \\lambda \\deltap=λδ，即时段 [0,δ][0, \\delta][0,δ] 内发生一次做爱开始事件的概率为 λδ\\lambda \\deltaλδ（前提是 δ\\deltaδ 短到不可能发生多次做爱开始事件）。\n通过这种分割，用伯努利过程近似了泊松过程，于是套用伯努利分布的结论，得到\nP(X(τ)=k)=n!(n−k)!k!(λδ)k(1−λδ)n−k=n(n−1)⋯(n−k+1)k!(λτn)k(1−λτn)n−k=n(n−1)⋯(n−k+1)nkλkτkk!(1−λτn)n−k=nnn−1n⋯n−k+1nλkτkk!(1−λτn)n(1−λτn)−k\\begin{align*} P(X(\\tau)=k) \u0026amp;=\\frac{n!}{(n-k)!k!}(\\lambda\\delta)^k(1-\\lambda\\delta)^{n-k} \\\\ \u0026amp;=\\frac{n(n-1)\\cdots(n-k+1)}{k!}(\\frac{\\lambda\\tau}{n})^k(1-\\frac{\\lambda\\tau}{n})^{n-k} \\\\ \u0026amp;=\\frac{n(n-1)\\cdots(n-k+1)}{n^k} \\frac{\\lambda^k\\tau^k}{k!} (1-\\frac{\\lambda\\tau}{n})^{n-k} \\\\ \u0026amp;=\\frac{n}{n} \\frac{n-1}{n} \\cdots \\frac{n-k+1}{n} \\frac{\\lambda^k\\tau^k}{k!} (1-\\frac{\\lambda\\tau}{n})^{n} (1-\\frac{\\lambda\\tau}{n})^{-k} \\end{align*}P(X(τ)=k)​=(n−k)!k!n!​(λδ)k(1−λδ)n−k=k!n(n−1)⋯(n−k+1)​(nλτ​)k(1−nλτ​)n−k=nkn(n−1)⋯(n−k+1)​k!λkτk​(1−nλτ​)n−k=nn​nn−1​⋯nn−k+1​k!λkτk​(1−nλτ​)n(1−nλτ​)−k​对其中含有 nnn 的式子分别计算 n→∞n \\to \\inftyn→∞ 的极限\nlim⁡n→∞nnn−1n⋯n−k+1n=1⋅(1−1n)⋯(1−k−1n)=1lim⁡n→∞(1−λτn)−k=1lim⁡n→∞(1−λτn)n=e−λτ\\begin{align*} \u0026amp;\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{n}{n} \\frac{n-1}{n} \\cdots \\frac{n-k+1}{n}=1 \\cdot(1- \\frac{1}{n})\\cdots(1-\\frac{k-1}{n}) = 1 \\\\ \u0026amp;\\lim_{n \\to \\infty} (1-\\frac{\\lambda\\tau}{n})^{-k} = 1 \\\\ \u0026amp;\\lim_{n \\to \\infty} (1-\\frac{\\lambda\\tau}{n})^{n} = e^{-\\lambda\\tau} \\end{align*}​n→∞lim​nn​nn−1​⋯nn−k+1​=1⋅(1−n1​)⋯(1−nk−1​)=1n→∞lim​(1−nλτ​)−k=1n→∞lim​(1−nλτ​)n=e−λτ​于是得到\nP(X(τ)=k)=λkτkk!e−λτP(X(\\tau)=k) = \\frac{\\lambda^k\\tau^k}{k!}e^{-\\lambda\\tau}P(X(τ)=k)=k!λkτk​e−λτ我们现在知道了在时段 [0,τ][0, \\tau][0,τ] 内发生 kkk 次做爱开始事件的概率。虽然这也很有趣，但其无法直接得到所有人都不在做爱的概率。我们还得考虑做爱的持续时间。让我们修改下模型吧！\n泊松过程复杂模型 世界上以每单位时间（秒）平均 λ\\lambdaλ 次的强度发生着做爱开始事件，然后事件的发起者将立刻做爱一段时间。\n泊松过程再分析 用 X(t),t≥0X(t),t \\geq 0X(t),t≥0 表示 ttt 这一时刻正在做爱的人数。\n新的模型其实是一种 M/G/∞M/G/\\inftyM/G/∞ 排队模型。原始的 M/G/∞M/G/\\inftyM/G/∞ 对顾客到银行接受服务进行建模，其中\nMMM 表示顾客到达过程应该是一个马尔可夫过程，而我们的做爱开始过程是一个泊松过程，其恰好是一种特殊的马尔可夫过程（事实上，在时间连续、间隔独立同分布的要求下，具有马尔可夫性质的计数过程只能是泊松过程） GGG 表示服务时间可以是一般分布，只要求必须非负且期望有限，因此我们可以不对做爱的持续时间进行额外的限制或假设 ∞\\infty∞ 表示有无穷多个服务台，但这实质是要求顾客不能陷入等待，而我们的做爱模型显然符合这一要求 该排队模型有一些很通用的结论，但我们不引用这些结论，而是从泊松过程的分解定理说起。该定理表述如下\n设 X(t)X(t)X(t) 是一个强度为 λ\\lambdaλ 的泊松过程。若每个发生的事件都独立地以概率 ppp 归为 X1(t)X_1(t)X1​(t)，以概率 1−p1-p1−p 归为 X2(t)X_2(t)X2​(t)，则 X1(t)X_1(t)X1​(t) 和 X2(t)X_2(t)X2​(t) 分别是强度为 λp\\lambda pλp 和 λ(1−p)\\lambda (1-p)λ(1−p) 的泊松过程，且这两个过程相互独立。\n该定理还有推广的版本，允许以不固定的概率进行筛选，即在时刻 sss 用与 sss 相关的概率 p(s)p(s)p(s) 进行筛选。此时筛选出来的过程仍是泊松过程，强度为 λp(s)\\lambda p(s)λp(s)。\n现在回到先前的 M/G/∞M/G/\\inftyM/G/∞ 排队模型。一个在时刻 sss 开始做爱的人，如果时刻 ttt（t\u0026gt;st \u0026gt; st\u0026gt;s）仍在做爱，则其做爱时间大于 t−st-st−s。用 SSS 表示做爱时间，这实际上是在用概率 P(S\u0026gt;t−s)P(S \u0026gt; t-s)P(S\u0026gt;t−s) 筛选事件。根据推广的分解定理，由于做爱开始是一个泊松过程，因此被筛选的过程也是一个泊松过程，即时刻 ttt 正在做爱的人数 X(t)X(t)X(t) 满足泊松分布。\n接着计算具体的分布。在时刻 sss 附近的一个长为 ds\\mathrm{d}sds 的时段内，开始做爱的人数的期望为 λds\\lambda \\mathrm{d}sλds，其中到时刻 ttt 仍在做爱的人数期望为 λP(S\u0026gt;t−s)ds\\lambda P(S \u0026gt; t-s) \\mathrm{d}sλP(S\u0026gt;t−s)ds。对此式积分，即可得到 X(t)X(t)X(t) 的期望为\nE[X(t)]=∫0tλP(S\u0026gt;t−s)dsE[X(t)] = \\int_{0}^{t}\\lambda P(S \u0026gt; t-s) \\mathrm{d}sE[X(t)]=∫0t​λP(S\u0026gt;t−s)ds令 u=t−su = t -su=t−s，换元并修改上下限，可得\nE[X(t)]=∫t0λP(S\u0026gt;u)(−du)=λ∫0tP(S\u0026gt;u)duE[X(t)] = \\int_{t}^{0}\\lambda P(S \u0026gt; u) (-\\mathrm{d}u) = \\lambda \\int_{0}^{t} P(S \u0026gt; u) \\mathrm{d}uE[X(t)]=∫t0​λP(S\u0026gt;u)(−du)=λ∫0t​P(S\u0026gt;u)du根据 P(S\u0026lt;0)=0P(S \u0026lt; 0) = 0P(S\u0026lt;0)=0 可以得到\nlim⁡t→∞E[X(t)]=λ∫0∞P(S\u0026gt;u)du=λE[S]\\lim_{t \\to \\infty}E[X(t)] = \\lambda \\int_{0}^{\\infty}P(S \u0026gt; u) \\mathrm{d}u = \\lambda E[S]t→∞lim​E[X(t)]=λ∫0∞​P(S\u0026gt;u)du=λE[S]虽然上式中对时间取了极限 t→∞t \\to \\inftyt→∞ 看起来不太现实，但这是因为我们对做爱时间的分布没有额外限制，因此必须考虑到可能任意大的值。但在实际的做爱事件中，持续时长不可能是任意大的，超过一定的阈值后概率就恒为 000 了。我们称此时模型处于统计平衡状态，因为开始做爱的人流量和结束做爱的人流量在概率上持平。我们只是为了数学上的简洁而使用 t→∞t \\to \\inftyt→∞ 表示到达了这种平衡状态。\n由于已知做爱的平均时间为 μ=E[S]\\mu = E[S]μ=E[S]，因此 t→∞t \\to \\inftyt→∞ 时 E[X(t)]=λμE[X(t)] = \\lambda\\muE[X(t)]=λμ，从而得到分布（使用了之前的结论）\nlim⁡t→∞P(X(t)=k)=(λμ)kk!e−λμ\\lim_{t \\to \\infty}P(X(t) = k)=\\frac{(\\lambda\\mu)^k}{k!}e^{-\\lambda\\mu}t→∞lim​P(X(t)=k)=k!(λμ)k​e−λμ当模型处于统计平衡时 X(t)X(t)X(t) 的分布不再随时间变化，因此我们省略掉 ttt，用 P(X=k)P(X = k)P(X=k) 表示模型稳定后同时做爱人数为 kkk 的概率\nP(X=k)=λkμkk!e−λμP(X = k)=\\frac{\\lambda^k\\mu^k}{k!}e^{-\\lambda\\mu}P(X=k)=k!λkμk​e−λμ因此同时做爱人数的期望为\nE[X]=λμE[X] = \\lambda\\muE[X]=λμ所有人都不在做爱的概率为\nP(X=0)=e−λμP(X=0) = e^{-\\lambda\\mu}P(X=0)=e−λμ最后我们代入数据\nλ=MNY=50×8×109365×24×60×60≈1.268×104\\lambda = \\frac{MN}{Y} = \\frac{50\\times8\\times10^9}{365\\times24\\times60\\times60} \\approx 1.268\\times10^{4}λ=YMN​=365×24×60×6050×8×109​≈1.268×104因此\n平均做爱人数为 λμ≈3.805×106\\lambda \\mu \\approx 3.805 \\times10^6λμ≈3.805×106 所有人都不在做爱的概率为 e−λμ≈e−3.805×106e^{-\\lambda\\mu} \\approx e^{-3.805 \\times10^6}e−λμ≈e−3.805×106 期望和伯努利模型是一样的，只是都不在做爱的概率略大一点。\n对结果的解释 由于两种模型的结果差别不大，因此就用泊松模型来举例了。\ne−3.805×106e^{-3.805 \\times10^6}e−3.805×106 这一数值相当小，将底数改为 101010 可能看得更清楚\ne−3.805×106≈10−1.652×106=1101652000e^{-3.805 \\times10^6} \\approx 10^{-1.652 \\times 10^6} = \\frac{1}{10^{1652000}}e−3.805×106≈10−1.652×106=1016520001​若写成小数，这个数字甚至无法完整地放在文章中，只能示意如下\n0.00000⋯00000⏟1,652,00001 0.\\underbrace{00000\\cdots 00000}_{1,652,0000}1 0.1,652,000000000⋯00000​​1作为对比，可观测宇宙中的原子总数只有 108010^{80}1080 这个量级。即使让宇宙中每个原子每秒进行 101010^{10}1010 次尝试，并从宇宙诞生起持续至今（约 4.35×10174.35 \\times 10^{17}4.35×1017 秒），总的尝试次数也仍小于 1011010^{110}10110，远远比不上 1101652000\\frac{1}{10^{1652000}}1016520001​ 的分母。\n因此，所有人都不在做爱完全可以认为是不可能事件。也就是说，世界上确实每时每刻都有人在做爱。\n类似的问题 现在我们有了这些模型，可以研究点类似的问题。比如，将做爱换成一个持续时间更短、频率更低的事件——性高潮，会出现更有趣的结论吗？\n显然我们得多编一些数据\n平均每次做爱会达到 RRR 次性高潮，由于懒得寻找统计数据，粗暴地令 R=0.5R = 0.5R=0.5 平均每次性高潮的持续时间为 ϵ\\epsilonϵ 秒，根据资料保守估计为 ϵ=6\\epsilon = 6ϵ=6 对于伯努利模型\np=MRϵY=50×0.5×6365×24×60×60≈4.756×10−6p = \\frac{MR\\epsilon}{Y} = \\frac{50 \\times 0.5 \\times 6}{365\\times24\\times60\\times60} \\approx 4.756 \\times 10^{-6}p=YMRϵ​=365×24×60×6050×0.5×6​≈4.756×10−6 平均同时性高潮人数为 Np≈3.805×104Np \\approx 3.805\\times10^4Np≈3.805×104 所有人都不在性高潮的概率为 (1−p)N≈e−3.805×104(1−p)^N \\approx e^{-3.805\\times10^4}(1−p)N≈e−3.805×104 对于泊松模型\nλ=MRNY=50×0.5×8×109365×24×60×60≈6.342×103\\lambda = \\frac{MRN}{Y} = \\frac{50\\times0.5\\times8\\times10^9}{365\\times24\\times60\\times60} \\approx 6.342 \\times 10^3λ=YMRN​=365×24×60×6050×0.5×8×109​≈6.342×103 平均同时性高潮人数为 λϵ≈3.805×104\\lambda \\epsilon \\approx 3.805 \\times10^4λϵ≈3.805×104 所有人都不在性高潮的概率为 e−λμ≈e−3.805×104e^{-\\lambda\\mu} \\approx e^{-3.805 \\times10^4}e−λμ≈e−3.805×104 两个模型几乎没有差别（期望完全相同，概率由于只保留了四位有效数字而看不出差别，实际上后者约为前者的 e0.09e^{0.09}e0.09 倍），所有人都不在性高潮仍然是一个几乎不可能发生的事件。\n","permalink":"https://juemuren.github.io/blog/posts/math/%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%BF%87%E7%A8%8B%E5%88%86%E6%9E%90/","summary":"用伯努利过程和泊松过程推算世界上同时做爱的人数。","title":"随机过程分析：世界上每时每刻都有人在做爱吗"},{"content":" 如果一个数学问题要用到特征方程，那么这个问题一定可以用矩阵进行描述和求解，并且答案往往会和矩阵的任意正整数次幂有关。\n而为了计算矩阵幂，我们需要对角化或约旦标准化矩阵。特征方程就是此时出现的。所有数学问题中出现的特征方程本质上都是矩阵的特征方程。\n后文将以常系数线性微分方程和常系数线性差分方程这两个问题为例阐明上述的话究竟是什么意思。为了不偏离主题，我们只讨论齐次的情况。\n常系数线性齐次微分方程 用矩阵描述常系数线性齐次微分方程 任意高阶的线性齐次微分方程，都可通过下述方法转化为等价的一阶线性齐次微分方程组。\n以三阶线性齐次微分方程为例\n已知 x(0)x(0)x(0)、x′(0)x\u0026#x27;(0)x′(0)、x′′(0)x\u0026#x27;\u0026#x27;(0)x′′(0)，求 x(t)x(t)x(t) 满足\nx′′′(t)=ax(t)+bx′(t)+cx′′(t)x\u0026#x27;\u0026#x27;\u0026#x27;(t) = ax(t) + bx\u0026#x27;(t) + cx\u0026#x27;\u0026#x27;(t)x′′′(t)=ax(t)+bx′(t)+cx′′(t) 可令\nx0(t)=x(t)x1(t)=x′(t)x2(t)=x′′(t)\\begin{align*} x_0(t) \u0026amp;= x(t) \\\\ x_1(t) \u0026amp;= x\u0026#x27;(t) \\\\ x_2(t) \u0026amp;= x\u0026#x27;\u0026#x27;(t) \\end{align*}x0​(t)x1​(t)x2​(t)​=x(t)=x′(t)=x′′(t)​从而将问题改写为如下形式\n已知 x0(0)x_0(0)x0​(0)、x1(0)x_1(0)x1​(0)、x2(0)x_2(0)x2​(0)，求 x0(t)x_0(t)x0​(t)、x1(t)x_1(t)x1​(t)、x2(t)x_2(t)x2​(t) 满足\nx0′(t)=x1(t)x1′(t)=x2(t)x2′(t)=ax0(t)+bx1(t)+cx2(t)\\begin{align*} x_0\u0026#x27;(t) \u0026amp;= x_1(t) \\\\x_1\u0026#x27;(t) \u0026amp;= x_2(t) \\\\ x_2\u0026#x27;(t) \u0026amp;= ax_0(t) + bx_1(t) + cx_2(t) \\end{align*}x0′​(t)x1′​(t)x2′​(t)​=x1​(t)=x2​(t)=ax0​(t)+bx1​(t)+cx2​(t)​ 因此一阶线性齐次微分方程组是比高阶线性齐次微分方程更一般的情况，我们先重点讨论前者，最后再专门讲下后者。\n现在用矩阵来描述我们要讨论的问题\n已知 x(0)\\mathbf{x}(0)x(0)，求 x(t)\\mathbf{x}(t)x(t) 满足如下方程\nx′(t)=Ax(t)\\mathbf{x}\u0026#x27;(t) = \\mathbf{A} \\mathbf{x}(t)x′(t)=Ax(t)其中 x(t)=[x0(t)x1(t)…xn−1(t)]\\mathbf{x}(t) = \\begin{bmatrix} x_0(t)\\\\ x_1(t) \\\\ \\dots \\\\ x_{n-1}(t) \\\\ \\end{bmatrix}x(t)=​x0​(t)x1​(t)…xn−1​(t)​​ 称为向量值函数，对每一个确定的 ttt，x(t)\\mathbf{x}(t)x(t) 为一个 n×1n\\times1n×1 的列向量；x′(t)=[x0′(t)x1′(t)…xn−1′(t)]\\mathbf{x}\u0026#x27;(t) = \\begin{bmatrix} x_0\u0026#x27;(t) \\\\ x_1\u0026#x27;(t) \\\\ \\dots \\\\ x_{n-1}\u0026#x27;(t) \\\\ \\end{bmatrix}x′(t)=​x0′​(t)x1′​(t)…xn−1′​(t)​​ 表示对 x(t)\\mathbf{x}(t)x(t) 的每一个分量分别求导；A=[a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann]\\mathbf{A} = \\begin{bmatrix} a_{11} \u0026amp; a_{12} \u0026amp; \\dots \u0026amp; a_{1n} \\\\ a_{21} \u0026amp; a_{22} \u0026amp; \\dots \u0026amp; a_{2n} \\\\ \\dots \u0026amp; \\dots \u0026amp; \\dots \u0026amp; \\dots\\\\ a_{n1} \u0026amp; a_{n2} \u0026amp; \\dots \u0026amp; a_{nn} \\end{bmatrix}A=​a11​a21​…an1​​a12​a22​…an2​​…………​a1n​a2n​…ann​​​ 称为系数矩阵，大小为 n×nn\\times nn×n\n至此我们成功地用矩阵描述了问题。\n用矩阵求解常系数线性齐次微分方程 在求解该方程组之前，我们先回顾一下单个方程该如何求解\n已知 x(0){x}(0)x(0)，求 x(t)x(t)x(t) 满足\nx′(t)=ax(t)x\u0026#x27;(t) = a x(t)x′(t)=ax(t) 假设我们还不知道该解的一般形式，不知道什么是特征方程，也不知道什么是 exe^xex，甚至不知道该怎么用分离变量法得到 ∫1xdx\\int \\frac{1}{x} \\mathrm{d}x∫x1​dx 这种形式。\n在微分方程中有一种很重要的解法——幂级数求解法，该方法简述如下\n假设解可以用幂级数表示，即 x(t)=∑i=0∞aitix(t) = \\sum_{i=0}^{\\infty}a_it^ix(t)=∑i=0∞​ai​ti 将该幂级数代入原微分方程，并结合已知条件，求出 aia_iai​ 的通项公式 将 aia_iai​ 代回到幂级数中，判断该级数的收敛性质 我们试着用此方法来求解上述的微分方程\n首先，假设解可用幂级数表示\nx(t)=∑i=0∞aitix(t) = \\sum_{i=0}^{\\infty}a_it^ix(t)=i=0∑∞​ai​ti然后，将其代入微分方程中\n(∑i=0∞aiti)′=a∑i=0∞aiti∑i=0∞(i+1)ai+1ti=a∑i=0∞aiti∑i=0∞[(i+1)ai+1−aai]ti=0\\begin{align*} (\\sum_{i=0}^{\\infty}a_it^i)\u0026#x27; \u0026amp;= a\\sum_{i=0}^{\\infty}a_it^i \\\\ \\sum_{i=0}^{\\infty}(i+1)a_{i+1}t^i \u0026amp;= a\\sum_{i=0}^{\\infty}a_it^i\\\\ \\sum_{i=0}^{\\infty}[(i+1)a_{i+1}-aa_i]t^i \u0026amp;= 0 \\end{align*}(i=0∑∞​ai​ti)′i=0∑∞​(i+1)ai+1​tii=0∑∞​[(i+1)ai+1​−aai​]ti​=ai=0∑∞​ai​ti=ai=0∑∞​ai​ti=0​由于 ttt 是一个变量，而该方程对任意 ttt 都成立，因此有\n(i+1)ai+1−aai=0(i+1)a_{i+1}-aa_i = 0(i+1)ai+1​−aai​=0接着，以此递推关系求 aia_iai​ 的通项公式\nai=aiai−1=aiai−1ai−2=⋯=aii!a0a_i = \\frac{a}{i}a_{i-1}= \\frac{a}{i}\\frac{a}{i-1}a_{i-2} = \\dots =\\frac{a^i}{i!}a_0ai​=ia​ai−1​=ia​i−1a​ai−2​=⋯=i!ai​a0​而 a0=x(0)a_0=x(0)a0​=x(0) 正好是已知条件，因此\nai=aii!x(0)a_i = \\frac{a^i}{i!}x(0)ai​=i!ai​x(0)最后，将 aia_iai​ 代回到幂级数中\nx(t)=∑i=0∞aiti=∑i=0∞aii!x(0)ti=(∑i=0∞(at)ii!)x(0)x(t) = \\sum_{i=0}^{\\infty}a_it^i = \\sum_{i=0}^{\\infty} \\frac{a^i}{i!}x(0)t^i =(\\sum_{i=0}^{\\infty} \\frac{(at)^i}{i!})x(0)x(t)=i=0∑∞​ai​ti=i=0∑∞​i!ai​x(0)ti=(i=0∑∞​i!(at)i​)x(0) 对于 ∑i=0∞(at)ii!\\sum_{i=0}^{\\infty} \\frac{(at)^i}{i!}∑i=0∞​i!(at)i​ 这个级数，我们令 u=atu=atu=at，并用 f(u)=∑i=0∞uii!f(u)=\\sum_{i=0}^{\\infty} \\frac{u^i}{i!}f(u)=∑i=0∞​i!ui​ 表示它，以便研究它的性质。可以证明\nf(u)f(u)f(u) 在整个实数域上收敛 f(0)=1f(0) = 1f(0)=1 f(u1+u2)=f(u1)f(u2)f(u_1 + u_2) = f(u_1)f(u_2)f(u1​+u2​)=f(u1​)f(u2​) 这个函数其实就是指数函数。如果定义 e=f(1)=∑i=0∞1i!e=f(1)=\\sum_{i=0}^{\\infty} \\frac{1}{i!}e=f(1)=∑i=0∞​i!1​，那么我们就得到了这个指数函数的底数，从而可以方便地把 f(u)f(u)f(u) 表示为 eue^ueu 这一更简洁的形式。\n回到刚才的问题，使用新的定义，我们的答案为\n已知 x(0){x}(0)x(0)，求 x(t)x(t)x(t) 满足\nx′(t)=ax(t)x\u0026#x27;(t) = a x(t)x′(t)=ax(t)该微分方程的解为\nx(t)=eatx(0)x(t) = e^{at}x(0)x(t)=eatx(0) 再回到方程组的情况，我们的求解方法是一样的\n首先，假设解可用幂级数表示\nx(t)=[x0(t)x1(t)…xn−1(t)]=[∑i=0∞a0,iti∑i=0∞a1,iti…∑i=0∞an−1,iti]=∑i=0∞[a0,ia1,i…an−1,i]ti\\mathbf{x}(t) = \\begin{bmatrix} x_0(t) \\\\ x_1(t) \\\\ \\dots \\\\ x_{n-1}(t) \\\\ \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\sum_{i=0}^{\\infty}a_{0,i}t^i \\\\ \\sum_{i=0}^{\\infty}a_{1,i}t^i \\\\ \\dots \\\\ \\sum_{i=0}^{\\infty}a_{n-1,i}t^i \\\\ \\end{bmatrix} = \\sum_{i=0}^{\\infty} \\begin{bmatrix} a_{0,i} \\\\ a_{1,i} \\\\ \\dots \\\\ a_{n-1,i} \\\\ \\end{bmatrix}t^ix(t)=​x0​(t)x1​(t)…xn−1​(t)​​=​∑i=0∞​a0,i​ti∑i=0∞​a1,i​ti…∑i=0∞​an−1,i​ti​​=i=0∑∞​​a0,i​a1,i​…an−1,i​​​ti令\nai=[a0,ia1,i…an−1,i]\\mathbf{a}_i = \\begin{bmatrix} a_{0,i} \\\\ a_{1,i} \\\\ \\dots \\\\ a_{n-1,i} \\\\ \\end{bmatrix}ai​=​a0,i​a1,i​…an−1,i​​​则 x(t)\\mathbf{x}(t)x(t) 可简写为\nx(t)=∑i=0∞aiti\\mathbf{x}(t) = \\sum_{i=0}^{\\infty}\\mathbf{a}_it^ix(t)=i=0∑∞​ai​ti然后，将其代入微分方程组中\n(∑i=0∞aiti)′=A∑i=0∞aiti∑i=0∞(i+1)ai+1ti=A∑i=0∞aiti∑i=0∞[(i+1)ai+1−Aai]ti=0\\begin{align*} (\\sum_{i=0}^{\\infty}\\mathbf{a}_it^i)\u0026#x27; \u0026amp;= \\mathbf{A}\\sum_{i=0}^{\\infty}\\mathbf{a}_it^i \\\\ \\sum_{i=0}^{\\infty}(i+1)\\mathbf{a}_{i+1}t^i \u0026amp;= \\mathbf{A}\\sum_{i=0}^{\\infty}\\mathbf{a}_it^i\\\\ \\sum_{i=0}^{\\infty}[(i+1)\\mathbf{a}_{i+1}-\\mathbf{A}\\mathbf{a}_i]t^i \u0026amp;= \\mathbf0 \\end{align*}(i=0∑∞​ai​ti)′i=0∑∞​(i+1)ai+1​tii=0∑∞​[(i+1)ai+1​−Aai​]ti​=Ai=0∑∞​ai​ti=Ai=0∑∞​ai​ti=0​由于 ttt 是一个变量，而该方程对任意 ttt 都成立，因此有\n(i+1)ai+1−Aai=0(i+1)\\mathbf{a}_{i+1}-\\mathbf{A}\\mathbf{a}_i = \\mathbf0(i+1)ai+1​−Aai​=0接着，以此递推关系求 ai\\mathbf{a}_iai​ 的通项公式\nai=Aiai−1=AiAi−1ai−2=⋯=Aii!a0\\mathbf{a}_i = \\frac{\\mathbf{A}}{i}\\mathbf{a}_{i-1}= \\frac{\\mathbf{A}}{i}\\frac{\\mathbf{A}}{i-1}\\mathbf{a}_{i-2} = \\dots =\\frac{\\mathbf{A}^i}{i!}\\mathbf{a}_0ai​=iA​ai−1​=iA​i−1A​ai−2​=⋯=i!Ai​a0​而 a0=x(0)\\mathbf{a}_0=\\mathbf{x}(0)a0​=x(0)，正好是已知条件，因此\nai=Aii!x(0)\\mathbf{a}_i = \\frac{\\mathbf{A}^i}{i!}\\mathbf{x}(0)ai​=i!Ai​x(0)最后，将 ai\\mathbf{a}_iai​ 代回到幂级数中\nx(t)=∑i=0∞aiti=∑i=0∞Aii!x(0)ti=(∑i=0∞Aii!ti)x(0)\\mathbf{x}(t) = \\sum_{i=0}^{\\infty}\\mathbf{a}_it^i = \\sum_{i=0}^{\\infty} \\frac{\\mathbf{A}^i}{i!}\\mathbf{x}(0)t^i =(\\sum_{i=0}^{\\infty} \\frac{\\mathbf{A}^i}{i!}t^i)\\mathbf{x}(0)x(t)=i=0∑∞​ai​ti=i=0∑∞​i!Ai​x(0)ti=(i=0∑∞​i!Ai​ti)x(0) 级数 ∑i=0∞Aii!ti\\sum_{i=0}^{\\infty} \\frac{\\mathbf{A}^i}{i!}t^i∑i=0∞​i!Ai​ti 和 eate^{at}eat 的幂级数展开形式非常相似！因此我们可以试着定义矩阵指数\neA=∑i=0∞Aii!e^{\\mathbf{A}}=\\sum_{i=0}^{\\infty} \\frac{\\mathbf{A}^i}{i!}eA=i=0∑∞​i!Ai​于是\neAt=∑i=0∞(At)ii!=∑i=0∞Aii!tie^{\\mathbf{A}t}=\\sum_{i=0}^{\\infty} \\frac{\\mathbf{(At)}^i}{i!}=\\sum_{i=0}^{\\infty} \\frac{\\mathbf{A}^i}{i!}t^ieAt=i=0∑∞​i!(At)i​=i=0∑∞​i!Ai​ti有了这个定义后，解就变得更简洁了\n已知 x(0)\\mathbf{x}(0)x(0)，求 x(t)\\mathbf{x}(t)x(t) 满足\nx′(t)=Ax(t)\\mathbf{x}\u0026#x27;(t) = \\mathbf{A} \\mathbf{x}(t)x′(t)=Ax(t)该微分方程组的解为\nx(t)=eAtx(0)\\mathbf{x}(t) = e^{\\mathbf{A}t}\\mathbf{x}(0)x(t)=eAtx(0) 至此我们成功地将解表示为了一个与矩阵有关的形式。\n计算矩阵幂 先别高兴得太早，这样的结果我们肯定是不满意的。\n目前最严重的问题是：根据定义，eAte^{\\mathbf{A}t}eAt 实在太难算了！eAte^{\\mathbf{A}t}eAt 中包含了矩阵的任意正整数次幂，而对于一般的 n×nn\\times nn×n 矩阵，直接计算 Am\\mathbf{A}^mAm 需要 O(mn3)O(mn^3)O(mn3) 的时间复杂度。如果不借助计算机，我们很难判断该级数大概会收敛到哪里。\n因此，我们需要用一些方法来简化计算。不过，为了便于教学，同时也是因为用 LaTeX\\LaTeXLATE​X 打矩阵实在太麻烦了，后面都以 2×22\\times22×2 矩阵举例。\n我们知道有一种矩阵非常容易计算任意正整数次幂\n如果\nD=[λ100λ2]\\mathbf{D} = \\begin{bmatrix} \\lambda_1\u0026amp;0\\\\ 0\u0026amp;\\lambda_2 \\end{bmatrix}D=[λ1​0​0λ2​​]那么\nDn=[λ1n00λ2n]\\mathbf{D}^n = \\begin{bmatrix} \\lambda_1^n\u0026amp;0\\\\ 0\u0026amp;\\lambda_2^n \\end{bmatrix}Dn=[λ1n​0​0λ2n​​]从而\neDt=∑n=0∞Dnn!tn=∑n=0∞[λ1n00λ2n]n!tn=[∑n=0∞λ1nn!tn00∑n=0∞λ2nn!tn]=[eλ1t00eλ2t]\\begin{align*} e^{\\mathbf{D}t} \u0026amp;= \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{\\mathbf{D}^n}{n!}t^n \\\\ \u0026amp;= \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{\\begin{bmatrix} \\lambda_1^n\u0026amp;0\\\\ 0\u0026amp;\\lambda_2^n \\end{bmatrix}}{n!}t^n \\\\ \u0026amp;= \\begin{bmatrix}\\sum_{n=0}^{\\infty}\\frac{ \\lambda_1^n}{n!}t^n\u0026amp;0\\\\ 0\u0026amp;\\sum_{n=0}^{\\infty}\\frac{ \\lambda_2^n}{n!}t^n \\end{bmatrix} \\\\ \u0026amp;=\\begin{bmatrix} e^{\\lambda_1t}\u0026amp;0\\\\ 0\u0026amp;e^{\\lambda_2t} \\end{bmatrix} \\end{align*}eDt​=n=0∑∞​n!Dn​tn=n=0∑∞​n![λ1n​0​0λ2n​​]​tn=[∑n=0∞​n!λ1n​​tn0​0∑n=0∞​n!λ2n​​tn​]=[eλ1​t0​0eλ2​t​]​ 当然，大多数时候我们遇到的矩阵并没有这么简单。不过，线性代数为我们提供了一种对角化矩阵的方法\n对 A\\mathbf{A}A 进行对角化，意思是将其表示为\nA=PDP−1\\mathbf{A} = \\mathbf{P}\\mathbf{D}\\mathbf{P^{-1}}A=PDP−1其中 D=[λ100λ2]\\mathbf{D} = \\begin{bmatrix} \\lambda_1\u0026amp;0\\\\ 0\u0026amp;\\lambda_2 \\end{bmatrix}D=[λ1​0​0λ2​​] 为对角矩阵，P=[v1v2]\\mathbf{P}=\\begin{bmatrix} \\mathbf{v}_1 \u0026amp; \\mathbf{v}_2 \\end{bmatrix}P=[v1​​v2​​] 为可逆矩阵，λ1\\lambda_1λ1​、λ2\\lambda_2λ2​ 为 A\\mathbf{A}A 的特征值，v1\\mathbf{v}_1v1​、v2\\mathbf{v}_2v2​ 为 A\\mathbf{A}A 的特征向量\n对角化后的矩阵也可以方便地求解任意正整数次幂，从而计算出 eAte^{\\mathbf{A}t}eAt，最后得到 x(t)\\mathbf{x}(t)x(t)\n若 A\\mathbf{A}A 已对角化，则\nAn=PDP−1PDP−1…PDP−1=PDnP−1\\mathbf{A}^n = \\mathbf{P}\\mathbf{D}\\mathbf{P^{-1}} \\mathbf{P}\\mathbf{D}\\mathbf{P^{-1}} \\dots \\mathbf{P}\\mathbf{D}\\mathbf{P^{-1}} =\\mathbf{P}\\mathbf{D}^n\\mathbf{P^{-1}}An=PDP−1PDP−1…PDP−1=PDnP−1从而\neAt=∑n=0∞Ann!tn=∑n=0∞PDnP−1n!tn=P∑n=0∞Dnn!tnP−1=P[eλ1t00eλ2t]P−1=[v1eλ1tv2eλ2t]P−1\\begin{align*} e^{\\mathbf{A}t} \u0026amp;= \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{\\mathbf{A}^n}{n!}t^n \\\\ \u0026amp;=\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{\\mathbf{P}\\mathbf{D}^n\\mathbf{P^{-1}}}{n!}t^n \\\\ \u0026amp;= \\mathbf{P}\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{\\mathbf{D}^n}{n!}t^n \\mathbf{P^{-1}}\\\\ \u0026amp;= \\mathbf{P} \\begin{bmatrix} e^{\\lambda_1t} \u0026amp; 0\\\\ 0 \u0026amp; e^{\\lambda_2t} \\end{bmatrix}\\mathbf{P^{-1}} \\\\ \u0026amp;= \\begin{bmatrix} \\mathbf{v}_1e^{\\lambda_1t} \u0026amp; \\mathbf{v}_2 e^{\\lambda_2t}\\end{bmatrix}\\mathbf{P^{-1}} \\end{align*}eAt​=n=0∑∞​n!An​tn=n=0∑∞​n!PDnP−1​tn=Pn=0∑∞​n!Dn​tnP−1=P[eλ1​t0​0eλ2​t​]P−1=[v1​eλ1​t​v2​eλ2​t​]P−1​设\nP−1x(0)=[c1c2]\\mathbf{P^{-1}}\\mathbf{x}(0)=\\begin{bmatrix} c_1 \\\\ c_2 \\end{bmatrix}P−1x(0)=[c1​c2​​]则解为\nx(t)=eAtx(0)=[v1eλ1tv2eλ2t]P−1x(0)=[v1eλ1tv2eλ2t][c1c2]=c1v1eλ1t+c2v2eλ2t\\begin{align*} \\mathbf{x}(t) \u0026amp;= e^{\\mathbf{A}t}\\mathbf{x}(0)\\\\ \u0026amp;= \\begin{bmatrix} \\mathbf{v}_1e^{\\lambda_1t} \u0026amp; \\mathbf{v}_2 e^{\\lambda_2t}\\end{bmatrix}\\mathbf{P^{-1}}\\mathbf{x}(0) \\\\ \u0026amp;=\\begin{bmatrix} \\mathbf{v}_1e^{\\lambda_1t} \u0026amp; \\mathbf{v}_2 e^{\\lambda_2t}\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix} c_1 \\\\ c_2 \\end{bmatrix} \\\\ \u0026amp;= c_1\\mathbf{v}_1e^{\\lambda_1t} +c_2 \\mathbf{v}_2 e^{\\lambda_2t} \\end{align*}x(t)​=eAtx(0)=[v1​eλ1​t​v2​eλ2​t​]P−1x(0)=[v1​eλ1​t​v2​eλ2​t​][c1​c2​​]=c1​v1​eλ1​t+c2​v2​eλ2​t​可以看到，x(t)\\mathbf{x}(t)x(t) 是 v1eλ1t\\mathbf{v}_1e^{\\lambda_1t}v1​eλ1​t 和 v2eλ2t\\mathbf{v}_2e^{\\lambda_2t}v2​eλ2​t 这两个向量值函数的线性组合。这个结论很有用，后续会再提到，届时将借此简化计算过程\n而要对矩阵进行对角化，就要求出特征值；而要求特征值，就要列出特征方程。特征方程就是此时出现的。鉴于大多数的线性代数课程都会介绍对角化的方法，故此处不再赘述，只举一个简单的例子\n对于系数矩阵\nA=[2112]\\mathbf{A} = \\begin{bmatrix} 2 \u0026amp; 1 \\\\ 1 \u0026amp; 2 \\end{bmatrix}A=[21​12​]特征方程为\ndet⁡[2−λ112−λ]=0\\det \\begin{bmatrix} 2-\\lambda \u0026amp; 1 \\\\ 1 \u0026amp; 2-\\lambda \\end{bmatrix}=0det[2−λ1​12−λ​]=0展开行列式得到\nλ2−4λ+3=0\\lambda^2-4\\lambda+3=0λ2−4λ+3=0解得\nλ1=1,λ2=3\\lambda_1=1, \\lambda_2=3λ1​=1,λ2​=3对应的特征向量为\nv1=[−11],v2=[11]\\mathbf{v}_1 = \\begin{bmatrix} -1 \\\\ 1 \\end{bmatrix},\\mathbf{v}_2 = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 1 \\end{bmatrix}v1​=[−11​],v2​=[11​]对角化得到\nA=[−1111][1003][−12121212]\\mathbf{A} = \\begin{bmatrix} -1 \u0026amp; 1 \\\\ 1 \u0026amp; 1 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 1 \u0026amp; 0 \\\\ 0 \u0026amp; 3 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} -\\frac{1}{2} \u0026amp; \\frac{1}{2} \\\\ \\frac{1}{2} \u0026amp; \\frac{1}{2} \\end{bmatrix}A=[−11​11​][10​03​][−21​21​​21​21​​]从而\neAt=[v1eλ1tv2eλ2t]P−1=[[−11]et[11]e3t][−12121212]e^{\\mathbf{A}t}=\\begin{bmatrix} \\mathbf{v}_1e^{\\lambda_1t} \u0026amp; \\mathbf{v}_2 e^{\\lambda_2t}\\end{bmatrix}\\mathbf{P^{-1}}= \\begin{bmatrix} \\begin{bmatrix} -1\\\\ 1 \\end{bmatrix}e^t \u0026amp;\\begin{bmatrix} 1\\\\ 1 \\end{bmatrix}e^{3t}\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} -\\frac{1}{2} \u0026amp; \\frac{1}{2} \\\\ \\frac{1}{2} \u0026amp; \\frac{1}{2} \\end{bmatrix}eAt=[v1​eλ1​t​v2​eλ2​t​]P−1=[[−11​]et​[11​]e3t​][−21​21​​21​21​​]该微分方程组的解为\nx(t)=[[−11]et[11]e3t][−12121212]x(0)\\mathbf{x}(t) = \\begin{bmatrix} \\begin{bmatrix} -1\\\\ 1 \\end{bmatrix}e^t \u0026amp;\\begin{bmatrix} 1\\\\ 1 \\end{bmatrix}e^{3t}\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} -\\frac{1}{2} \u0026amp; \\frac{1}{2} \\\\ \\frac{1}{2} \u0026amp; \\frac{1}{2} \\end{bmatrix}\\mathbf{x}(0)x(t)=[[−11​]et​[11​]e3t​][−21​21​​21​21​​]x(0)将已知条件 x(0)=[x0x1]\\mathbf{x}(0)= \\begin{bmatrix} x_0\\\\ x_1 \\end{bmatrix}x(0)=[x0​x1​​] 代入有\nx(t)=[[−11]et[11]e3t][−12x0+12x112x0+12x1]=(−12x0+12x1)[−11]et+(12x0+12x1)[11]e3t\\begin{align*} \\mathbf{x}(t) \u0026amp;=\\begin{bmatrix} \\begin{bmatrix} -1\\\\ 1 \\end{bmatrix}e^t \u0026amp;\\begin{bmatrix} 1\\\\ 1 \\end{bmatrix}e^{3t}\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} -\\frac{1}{2}x_0 + \\frac{1}{2}x_1 \\\\ \\frac{1}{2}x_0 + \\frac{1}{2}x_1 \\end{bmatrix}\\\\ \u0026amp;=(-\\frac{1}{2}x_0 + \\frac{1}{2}x_1)\\begin{bmatrix} -1\\\\ 1 \\end{bmatrix}e^t+ (\\frac{1}{2}x_0 + \\frac{1}{2}x_1 )\\begin{bmatrix} 1\\\\ 1 \\end{bmatrix}e^{3t} \\end{align*}x(t)​=[[−11​]et​[11​]e3t​][−21​x0​+21​x1​21​x0​+21​x1​​]=(−21​x0​+21​x1​)[−11​]et+(21​x0​+21​x1​)[11​]e3t​可以看到，不管怎样改变 x(0)\\mathbf{x}(0)x(0)，解始终是 [−11]et\\begin{bmatrix} -1\\\\ 1 \\end{bmatrix}e^t[−11​]et 和 [11]e3t\\begin{bmatrix} 1\\\\ 1 \\end{bmatrix}e^{3t}[11​]e3t 这两个向量值函数的线性组合。这符合我们之前发现的结论\n然而，当特征方程存在复根或重根的时候，处理过程会有些不同。\n出现复根时，需要使用欧拉公式进行化简\n对于实系数矩阵 A\\mathbf{A}A，若其特征方程出现复根，则复根必定是成对出现的，且两者互为共轭复数。对于 2×22\\times 22×2 的实系数矩阵，不妨设为\nλ1=a+ib,λ2=a−ib\\lambda_1=a+ib , \\lambda_2 = a - ibλ1​=a+ib,λ2​=a−ib此时复特征值对应的复特征向量也互为共轭复向量，设为\nv1=a+ib,v2=a−ib\\mathbf{v}_1=\\mathbf{a}+i\\mathbf{b},\\mathbf{v}_2=\\mathbf{a}-i\\mathbf{b}v1​=a+ib,v2​=a−ib复特征值和复特征向量并不会影响对角化，即同样有\nA=PDP−1\\mathbf{A} = \\mathbf{P}\\mathbf{D}\\mathbf{P^{-1}}A=PDP−1直接把之前的结论可以照搬过来\neAt=[v1eλ1tv2eλ2t]P−1e^{\\mathbf{A}t}=\\begin{bmatrix} \\mathbf{v}_1e^{\\lambda_1t} \u0026amp; \\mathbf{v}_2 e^{\\lambda_2t}\\end{bmatrix}\\mathbf{P^{-1}}eAt=[v1​eλ1​t​v2​eλ2​t​]P−1运用欧拉公式，有\nv1eλ1t=(a+ib)e(a+ib)t=(a+ib)eat(cos⁡bt+isin⁡bt)=(acos⁡bt−bsin⁡bt)eat+i(asin⁡bt+bcos⁡bt)eatv2eλ2t=(a−ib)e(a−ib)t=(a−ib)eat(cos⁡bt−isin⁡bt)=(acos⁡bt−bsin⁡bt)eat−i(asin⁡bt+bcos⁡bt)eat\\begin{align*} \\mathbf{v}_1e^{\\lambda_1t} \u0026amp;=(\\mathbf{a}+i\\mathbf{b})e^{(a+ib)t}\\\\ \u0026amp;=(\\mathbf{a}+i\\mathbf{b})e^{at}(\\cos bt +i \\sin bt) \\\\ \u0026amp;=(\\mathbf{a}\\cos bt-\\mathbf{b}\\sin bt)e^{at}+i(\\mathbf{a} \\sin bt + \\mathbf{b}\\cos bt)e^{at} \\\\ \\mathbf{v}_2e^{\\lambda_2t} \u0026amp;=(\\mathbf{a}-i\\mathbf{b})e^{(a-ib)t}\\\\ \u0026amp;=(\\mathbf{a}-i\\mathbf{b})e^{at}(\\cos bt -i \\sin bt)\\\\ \u0026amp;=(\\mathbf{a}\\cos bt-\\mathbf{b}\\sin bt)e^{at}-i(\\mathbf{a} \\sin bt + \\mathbf{b}\\cos bt)e^{at} \\end{align*}v1​eλ1​tv2​eλ2​t​=(a+ib)e(a+ib)t=(a+ib)eat(cosbt+isinbt)=(acosbt−bsinbt)eat+i(asinbt+bcosbt)eat=(a−ib)e(a−ib)t=(a−ib)eat(cosbt−isinbt)=(acosbt−bsinbt)eat−i(asinbt+bcosbt)eat​不出意料，v1eλ1t\\mathbf{v}_1e^{\\lambda_1t}v1​eλ1​t 和 v2eλ2t\\mathbf{v}_2e^{\\lambda_2t}v2​eλ2​t 也互为共轭的复向量值函数。不妨令 v1eλ1t\\mathbf{v}_1e^{\\lambda_1t}v1​eλ1​t 的实部为 fRe(t)\\mathbf{f}_{Re}(t)fRe​(t)，虚部为 fIm(t)\\mathbf{f}_{Im}(t)fIm​(t)，即\nfRe(t)=(acos⁡bt−bsin⁡bt)eatfIm(t)=(asin⁡bt+bcos⁡bt)eat\\begin{align*} \\mathbf{f}_{Re}(t)\u0026amp;=(\\mathbf{a}\\cos bt-\\mathbf{b}\\sin bt)e^{at}\\\\ \\mathbf{f}_{Im}(t)\u0026amp;=(\\mathbf{a} \\sin bt + \\mathbf{b}\\cos bt)e^{at} \\end{align*}fRe​(t)fIm​(t)​=(acosbt−bsinbt)eat=(asinbt+bcosbt)eat​从而\neAt=[fRe(t)+ifIm(t)fRe(t)−ifIm(t)]P−1=([fRe(t)fRe(t)]+[ifIm(t)−ifIm(t)])P−1=(fRe(t)[11]+fIm(t)[i−i])P−1=fRe(t)[11]P−1+fIm(t)[i−i]P−1\\begin{align*} e^{\\mathbf{A}t} \u0026amp;=\\begin{bmatrix} \\mathbf{f}_{Re}(t)+i\\mathbf{f}_{Im}(t) \u0026amp; \\mathbf{f}_{Re}(t) -i\\mathbf{f}_{Im}(t)\\end{bmatrix}\\mathbf{P^{-1}}\\\\ \u0026amp;=(\\begin{bmatrix} \\mathbf{f}_{Re}(t) \u0026amp; \\mathbf{f}_{Re}(t)\\end{bmatrix} +\\begin{bmatrix} i\\mathbf{f}_{Im}(t) \u0026amp; -i\\mathbf{f}_{Im}(t)\\end{bmatrix}) \\mathbf{P^{-1}}\\\\ \u0026amp;=(\\mathbf{f}_{Re}(t)\\begin{bmatrix} 1 \u0026amp; 1\\end{bmatrix} +\\mathbf{f}_{Im}(t)\\begin{bmatrix} i \u0026amp; -i\\end{bmatrix}) \\mathbf{P^{-1}}\\\\ \u0026amp;=\\mathbf{f}_{Re}(t)\\begin{bmatrix} 1 \u0026amp; 1\\end{bmatrix}\\mathbf{P^{-1}} +\\mathbf{f}_{Im}(t) \\begin{bmatrix} i \u0026amp; -i\\end{bmatrix} \\mathbf{P^{-1}} \\end{align*}eAt​=[fRe​(t)+ifIm​(t)​fRe​(t)−ifIm​(t)​]P−1=([fRe​(t)​fRe​(t)​]+[ifIm​(t)​−ifIm​(t)​])P−1=(fRe​(t)[1​1​]+fIm​(t)[i​−i​])P−1=fRe​(t)[1​1​]P−1+fIm​(t)[i​−i​]P−1​由于 A\\mathbf{A}A 是实系数矩阵，因此 eAte^{\\mathbf{A}t}eAt 也是个实矩阵，继而 [11]P−1\\begin{bmatrix} 1 \u0026amp; 1\\end{bmatrix}\\mathbf{P^{-1}}[1​1​]P−1 和 [i−i]P−1\\begin{bmatrix} i \u0026amp; -i\\end{bmatrix} \\mathbf{P^{-1}}[i​−i​]P−1 是实的行向量。于是设\n[11]P−1x(0)=c1[i−i]P−1x(0)=c2\\begin{align*} \\begin{bmatrix} 1 \u0026amp; 1\\end{bmatrix}\\mathbf{P^{-1}} \\mathbf{x}(0)\u0026amp;=c_1\\\\ \\begin{bmatrix} i \u0026amp; -i\\end{bmatrix}\\mathbf{P^{-1}} \\mathbf{x}(0)\u0026amp;=c_2 \\end{align*}[1​1​]P−1x(0)[i​−i​]P−1x(0)​=c1​=c2​​则解为\nx(t)=eAtx(0)=(fRe(t)[11]P−1+fIm(t)[i−i]P−1)x(0)=fRe(t)[11]P−1x(0)+fIm(t)[i−i]P−1x(0)=c1fRe(t)+c2fIm(t)\\begin{align*} \\mathbf{x}(t) \u0026amp;= e^{\\mathbf{A}t}\\mathbf{x}(0)\\\\ \u0026amp;=(\\mathbf{f}_{Re}(t)\\begin{bmatrix} 1 \u0026amp; 1\\end{bmatrix}\\mathbf{P^{-1}} +\\mathbf{f}_{Im}(t) \\begin{bmatrix} i \u0026amp; -i\\end{bmatrix} \\mathbf{P^{-1}})\\mathbf{x}(0)\\\\ \u0026amp;=\\mathbf{f}_{Re}(t)\\begin{bmatrix} 1 \u0026amp; 1\\end{bmatrix}\\mathbf{P^{-1}} \\mathbf{x}(0)+\\mathbf{f}_{Im}(t) \\begin{bmatrix} i \u0026amp; -i\\end{bmatrix} \\mathbf{P^{-1}}\\mathbf{x}(0)\\\\ \u0026amp;=c_1\\mathbf{f}_{Re}(t) +c_2 \\mathbf{f}_{Im}(t) \\end{align*}x(t)​=eAtx(0)=(fRe​(t)[1​1​]P−1+fIm​(t)[i​−i​]P−1)x(0)=fRe​(t)[1​1​]P−1x(0)+fIm​(t)[i​−i​]P−1x(0)=c1​fRe​(t)+c2​fIm​(t)​可以看到，x(t)\\mathbf{x}(t)x(t) 是 fRe(t)\\mathbf{f}_{Re}(t)fRe​(t) 和 fIm(t)\\mathbf{f}_{Im}(t)fIm​(t) 这两个向量值函数的线性组合。这个结论同样重要，后续会再次提到\n下面举个具体的例子\n对于实系数矩阵\nA=[1−111]\\mathbf{A} = \\begin{bmatrix} 1 \u0026amp; -1 \\\\ 1 \u0026amp; 1 \\end{bmatrix}A=[11​−11​]其特征方程为\nλ2−2λ+2=0\\lambda^2-2\\lambda+2=0λ2−2λ+2=0解得\nλ1=1−i,λ2=1+i\\lambda_1=1-i,\\lambda_2=1+iλ1​=1−i,λ2​=1+i注意到实部和虚部分别为\na=1,b=−1a=1,b=-1a=1,b=−1对应的特征向量为\nv1=[−i1],v2=[i1]\\mathbf{v}_1=\\begin{bmatrix} -i\\\\ 1 \\end{bmatrix}, \\mathbf{v}_2=\\begin{bmatrix} i\\\\ 1 \\end{bmatrix}v1​=[−i1​],v2​=[i1​]注意到实部和虚部分别为\na=[01],b=[−10]\\mathbf{a}=\\begin{bmatrix} 0\\\\ 1 \\end{bmatrix}, \\mathbf{b}=\\begin{bmatrix} -1\\\\ 0 \\end{bmatrix}a=[01​],b=[−10​]于是得到\nfRe(t)=(acos⁡bt−bsin⁡bt)eat=([01]cos⁡(−t)−[−10]sin⁡(−t))et=[−sin⁡tcos⁡t]etfIm(t)=(asin⁡bt+bcos⁡bt)eat=([01]sin⁡(−t)+[−10]cos⁡(−t))et=[−cos⁡t−sin⁡t]et\\begin{align*} \\mathbf{f}_{Re}(t) \u0026amp;=(\\mathbf{a}\\cos bt-\\mathbf{b}\\sin bt)e^{at}\\\\ \u0026amp;=(\\begin{bmatrix} 0\\\\ 1 \\end{bmatrix}\\cos (-t)-\\begin{bmatrix} -1\\\\ 0 \\end{bmatrix}\\sin (-t))e^{t}\\\\ \u0026amp;=\\begin{bmatrix} -\\sin t\\\\ \\cos t \\end{bmatrix}e^{t}\\\\ \\mathbf{f}_{Im}(t) \u0026amp;=(\\mathbf{a} \\sin bt + \\mathbf{b}\\cos bt)e^{at}\\\\ \u0026amp;=(\\begin{bmatrix} 0\\\\ 1 \\end{bmatrix} \\sin (-t) + \\begin{bmatrix} -1\\\\ 0 \\end{bmatrix}\\cos (-t))e^{t}\\\\ \u0026amp;=\\begin{bmatrix} -\\cos t\\\\ -\\sin t \\end{bmatrix}e^{t} \\end{align*}fRe​(t)fIm​(t)​=(acosbt−bsinbt)eat=([01​]cos(−t)−[−10​]sin(−t))et=[−sintcost​]et=(asinbt+bcosbt)eat=([01​]sin(−t)+[−10​]cos(−t))et=[−cost−sint​]et​对角化结果为\nA=[−ii11][1−i001+i][i212−i212]\\mathbf{A} = \\begin{bmatrix} -i \u0026amp; i \\\\ 1 \u0026amp; 1 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 1-i \u0026amp; 0 \\\\ 0 \u0026amp; 1+i \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\frac{i}2 \u0026amp; \\frac{1}2 \\\\ -\\frac{i}2 \u0026amp; \\frac{1}2 \\end{bmatrix}A=[−i1​i1​][1−i0​01+i​][2i​−2i​​21​21​​]于是\neAt=fRe(t)[11]P−1+fIm(t)[i−i]P−1=[−sin⁡tcos⁡t]et[11][i212−i212]+[−cos⁡t−sin⁡t]et[i−i][i212−i212]=[−sin⁡tcos⁡t]et[01]+[−cos⁡t−sin⁡t]et[−10]\\begin{align*} e^{\\mathbf{A}t} \u0026amp;=\\mathbf{f}_{Re}(t)\\begin{bmatrix} 1 \u0026amp; 1\\end{bmatrix}\\mathbf{P^{-1}} +\\mathbf{f}_{Im}(t) \\begin{bmatrix} i \u0026amp; -i\\end{bmatrix} \\mathbf{P^{-1}}\\\\ \u0026amp;=\\begin{bmatrix} -\\sin t\\\\ \\cos t \\end{bmatrix}e^{t} \\begin{bmatrix} 1\u0026amp; 1 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\frac{i}2 \u0026amp; \\frac{1}2 \\\\ -\\frac{i}2 \u0026amp; \\frac{1}2 \\end{bmatrix} + \\begin{bmatrix} -\\cos t\\\\ -\\sin t \\end{bmatrix}e^{t} \\begin{bmatrix} i\u0026amp; -i \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\frac{i}2 \u0026amp; \\frac{1}2 \\\\ -\\frac{i}2 \u0026amp; \\frac{1}2 \\end{bmatrix}\\\\ \u0026amp;=\\begin{bmatrix} -\\sin t\\\\ \\cos t \\end{bmatrix}e^{t} \\begin{bmatrix} 0\u0026amp; 1 \\end{bmatrix} + \\begin{bmatrix} -\\cos t\\\\ -\\sin t \\end{bmatrix}e^{t} \\begin{bmatrix} -1\u0026amp; 0 \\end{bmatrix} \\end{align*}eAt​=fRe​(t)[1​1​]P−1+fIm​(t)[i​−i​]P−1=[−sintcost​]et[1​1​][2i​−2i​​21​21​​]+[−cost−sint​]et[i​−i​][2i​−2i​​21​21​​]=[−sintcost​]et[0​1​]+[−cost−sint​]et[−1​0​]​该微分方程组的解为\nx(t)=([−sin⁡tcost]et[01]+[−cos⁡t−sin⁡t]et[−10])x(0)\\mathbf{x}(t)= (\\begin{bmatrix} -\\sin t\\\\ cos t \\end{bmatrix}e^{t} \\begin{bmatrix} 0\u0026amp; 1 \\end{bmatrix} + \\begin{bmatrix} -\\cos t\\\\ -\\sin t \\end{bmatrix}e^{t} \\begin{bmatrix} -1\u0026amp; 0 \\end{bmatrix})\\mathbf{x}(0)x(t)=([−sintcost​]et[0​1​]+[−cost−sint​]et[−1​0​])x(0)将已知条件 x(0)=[x0x1]\\mathbf{x}(0)= \\begin{bmatrix} x_0\\\\ x_1 \\end{bmatrix}x(0)=[x0​x1​​] 代入有\nx(t)=x1[−sin⁡tcos⁡t]et−x0[−cos⁡t−sin⁡t]et\\mathbf{x}(t)=x_1\\begin{bmatrix} -\\sin t\\\\ \\cos t \\end{bmatrix}e^{t} -x_0\\begin{bmatrix} -\\cos t\\\\ -\\sin t \\end{bmatrix}e^{t}x(t)=x1​[−sintcost​]et−x0​[−cost−sint​]et同样地，我们看到，不管怎样改变 x(0)\\mathbf{x}(0)x(0)，方程的解始终是 [−sin⁡tcos⁡t]et\\begin{bmatrix} -\\sin t\\\\ \\cos t \\end{bmatrix}e^t[−sintcost​]et 和 [−cos⁡t−sin⁡t]et\\begin{bmatrix} -\\cos t\\\\ -\\sin t \\end{bmatrix}e^{t}[−cost−sint​]et 这两个向量值函数的线性组合。这符合我们之前发现的结论\n最麻烦的是出现重根的时候，矩阵在这一情形下无法对角化。不过，不管什么矩阵都可以进行约旦标准化\n对 A\\mathbf{A}A 进行约旦标准化，意思是将其表示为\nA=PJP−1\\mathbf{A} = \\mathbf{P}\\mathbf{J}\\mathbf{P^{-1}}A=PJP−1其中 J=D+N\\mathbf{J}=\\mathbf{D} + \\mathbf{N}J=D+N 为约旦标准型矩阵，D=[λ100λ2]\\mathbf{D} = \\begin{bmatrix} \\lambda_1\u0026amp;0\\\\ 0\u0026amp;\\lambda_2 \\end{bmatrix}D=[λ1​0​0λ2​​] 为对角矩阵，N\\mathbf{N}N 为幂零矩阵，P=[v1v2]\\mathbf{P}=\\begin{bmatrix} \\mathbf{v}_1 \u0026amp; \\mathbf{v}_2 \\end{bmatrix}P=[v1​​v2​​] 为可逆矩阵，λ1\\lambda_1λ1​、λ2\\lambda_2λ2​ 为 A\\mathbf{A}A 的特征值，v1\\mathbf{v}_1v1​、v2\\mathbf{v}_2v2​ 分别为 A\\mathbf{A}A 的特征向量和广义特征向量。\n显然这里最特殊的就是 N\\mathbf{N}N。对于 2×22\\times 22×2 的系数矩阵，其有两种可能的值\nN=[0000],N=[0100]\\mathbf{N} = \\begin{bmatrix} 0\u0026amp;0\\\\0\u0026amp;0 \\end{bmatrix}, \\mathbf{N} = \\begin{bmatrix} 0\u0026amp;1\\\\0\u0026amp;0 \\end{bmatrix}N=[00​00​],N=[00​10​]对于前一种情形，约旦标准型矩阵同时也是对角矩阵，可以沿用之前的结论，故下文只讨论后一种情形\n约旦标准化同样可以简化矩阵幂的计算，并最终得到方程的解\n当约旦标准化处于后一种情形时，意味着特征方程出现了重根，即\nλ1=λ2=λ\\lambda_1=\\lambda_2=\\lambdaλ1​=λ2​=λ从而将对角矩阵改写为\nD=λI\\mathbf{D}=\\lambda\\mathbf{I}D=λI假设 A\\mathbf{A}A 已约旦标准化，则\nAn=PJP−1PJP−1…PJP−1=PJnP−1\\mathbf{A}^n=\\mathbf{P}\\mathbf{J}\\mathbf{P^{-1}}\\mathbf{P}\\mathbf{J}\\mathbf{P^{-1}}\\dots \\mathbf{P}\\mathbf{J}\\mathbf{P^{-1}} =\\mathbf{P}\\mathbf{J^n}\\mathbf{P^{-1}}An=PJP−1PJP−1…PJP−1=PJnP−1而 Jn\\mathbf{J^n}Jn 可用二项式展开进行计算\nJn=(λI+N)n=∑k=0n(nk)(λI)n−kNk\\mathbf{J^n}=(\\lambda \\mathbf{I}+\\mathbf{N})^n =\\sum_{k=0}^n\\binom{n}{k} (\\lambda \\mathbf{I})^{n-k}\\mathbf{N}^kJn=(λI+N)n=k=0∑n​(kn​)(λI)n−kNk当 k\u0026gt;1k\u0026gt;1k\u0026gt;1 时，Nk=0\\mathbf{N}^k = \\mathbf{0}Nk=0，于是\nJn=λnI+nλn−1N=[λnnλn−10λn]\\mathbf{J^n}=\\lambda^n\\mathbf{I}+n\\lambda^{n-1}\\mathbf{N} =\\begin{bmatrix} \\lambda^n\u0026amp;n\\lambda^{n-1}\\\\0\u0026amp;\\lambda^n \\end{bmatrix}Jn=λnI+nλn−1N=[λn0​nλn−1λn​]进一步计算得\n∑n=0∞Jnn!tn=∑n=0∞[λnnλn−10λn]n!tn=[∑n=0∞λntnn!∑n=0∞nλn−1tnn!0∑n=0∞λntnn!]\\sum_{n=0}^{\\infty}\\frac{\\mathbf{J^n}}{n!}t^n =\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{ \\begin{bmatrix} \\lambda^n\u0026amp;n\\lambda^{n-1}\\\\ 0\u0026amp;\\lambda^n \\end{bmatrix} }{n!}t^n =\\begin{bmatrix}\\sum_{n=0}^{\\infty}\\frac{ \\lambda^nt^n}{n!}\u0026amp;\\sum_{n=0}^{\\infty}\\frac{ n\\lambda^{n-1}t^{n}}{n!}\\\\ 0\u0026amp;\\sum_{n=0}^{\\infty}\\frac{ \\lambda^nt^n}{n!} \\end{bmatrix}n=0∑∞​n!Jn​tn=n=0∑∞​n![λn0​nλn−1λn​]​tn=[∑n=0∞​n!λntn​0​∑n=0∞​n!nλn−1tn​∑n=0∞​n!λntn​​]其中\n∑n=0∞nλn−1tnn!=t∑n=1∞λn−1tn−1(n−1)!=t∑m=0∞λmtmm!=teλt\\sum_{n=0}^{\\infty}\\frac{ n\\lambda^{n-1}t^{n}}{n!}=t\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{ \\lambda^{n-1}t^{n-1}}{(n-1)!}=t\\sum_{m=0}^{\\infty}\\frac{ \\lambda^{m}t^{m}}{m!}=te^{\\lambda t}n=0∑∞​n!nλn−1tn​=tn=1∑∞​(n−1)!λn−1tn−1​=tm=0∑∞​m!λmtm​=teλt于是\n∑n=0∞Jnn!tn=[eλtteλt0eλt]\\sum_{n=0}^{\\infty}\\frac{\\mathbf{J^n}}{n!}t^n=\\begin{bmatrix} e^{\\lambda t} \u0026amp; te^{\\lambda t}\\\\ 0 \u0026amp; e^{\\lambda t} \\end{bmatrix}n=0∑∞​n!Jn​tn=[eλt0​teλteλt​]从而\neAt=∑n=0∞Ann!tn=∑n=0∞PJnP−1n!tn=P∑n=0∞Jnn!tnP−1=P[eλtteλt0eλt]P−1=[v1eλtv1teλt+v2eλt]P−1\\begin{align*} e^{\\mathbf{A}t} \u0026amp;=\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{\\mathbf{A}^n}{n!}t^n \\\\ \u0026amp;=\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{\\mathbf{P}\\mathbf{J}^n\\mathbf{P^{-1}}}{n!}t^n \\\\ \u0026amp;=\\mathbf{P}\\sum_{n=0}^{\\infty}\\frac{\\mathbf{J^n}}{n!}t^n \\mathbf{P^{-1}}\\\\ \u0026amp;= \\mathbf{P} \\begin{bmatrix} e^{\\lambda t} \u0026amp; te^{\\lambda t}\\\\ 0 \u0026amp; e^{\\lambda t} \\end{bmatrix} \\mathbf{P^{-1}}\\\\ \u0026amp;=\\begin{bmatrix} \\mathbf{v}_1e^{\\lambda t} \u0026amp; \\mathbf{v}_1te^{\\lambda t}+ \\mathbf{v}_2 e^{\\lambda t}\\end{bmatrix}\\mathbf{P^{-1}} \\end{align*}eAt​=n=0∑∞​n!An​tn=n=0∑∞​n!PJnP−1​tn=Pn=0∑∞​n!Jn​tnP−1=P[eλt0​teλteλt​]P−1=[v1​eλt​v1​teλt+v2​eλt​]P−1​设\nP−1x(0)=[c1c2]\\mathbf{P^{-1}}\\mathbf{x}(0)=\\begin{bmatrix} c_1 \\\\ c_2 \\end{bmatrix}P−1x(0)=[c1​c2​​]则解为\nx(t)=eAtx(0)=[v1eλtv1teλt+v2eλt]P−1x(0)=[v1eλtv1teλt+v2eλt][c1c2]=c1v1eλt+c2(v1teλt+v2eλt)\\begin{align*} \\mathbf{x}(t) \u0026amp;= e^{\\mathbf{A}t}\\mathbf{x}(0)\\\\ \u0026amp;= \\begin{bmatrix} \\mathbf{v}_1e^{\\lambda t} \u0026amp; \\mathbf{v}_1te^{\\lambda t}+ \\mathbf{v}_2 e^{\\lambda t}\\end{bmatrix}\\mathbf{P^{-1}}\\mathbf{x}(0)\\\\ \u0026amp;= \\begin{bmatrix} \\mathbf{v}_1e^{\\lambda t} \u0026amp; \\mathbf{v}_1te^{\\lambda t}+ \\mathbf{v}_2 e^{\\lambda t}\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix} c_1 \\\\ c_2 \\end{bmatrix}\\\\ \u0026amp;=c_1\\mathbf{v}_1e^{\\lambda t} +c_2 (\\mathbf{v}_1te^{\\lambda t}+\\mathbf{v}_2 e^{\\lambda t}) \\end{align*}x(t)​=eAtx(0)=[v1​eλt​v1​teλt+v2​eλt​]P−1x(0)=[v1​eλt​v1​teλt+v2​eλt​][c1​c2​​]=c1​v1​eλt+c2​(v1​teλt+v2​eλt)​可以看到，x(t)\\mathbf{x}(t)x(t) 是 v1eλ1t\\mathbf{v}_1e^{\\lambda_1t}v1​eλ1​t 和 v1teλt+v2eλt\\mathbf{v}_1te^{\\lambda t}+\\mathbf{v}_2 e^{\\lambda t}v1​teλt+v2​eλt 这两个向量值函数的线性组合。这个结论也是非常有用的，后续会再次提到\n这里不介绍约旦标准化的具体步骤，感兴趣者可自行了解。下面列举一个简单的例子\n对于系数矩阵\nA=[11−13]\\mathbf{A} = \\begin{bmatrix} 1 \u0026amp; 1 \\\\ -1 \u0026amp; 3 \\end{bmatrix}A=[1−1​13​]特征方程为\nλ2−4λ+4=0\\lambda^2-4\\lambda+4=0λ2−4λ+4=0解得\nλ1=λ2=2\\lambda_1=\\lambda_2=2λ1​=λ2​=2特征方程出现了重根，尝试进行约旦标准化，得到\nA=[−11−10][2102][0−11−1]\\mathbf{A} = \\begin{bmatrix} -1 \u0026amp; 1 \\\\ -1 \u0026amp; 0 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 2 \u0026amp; 1 \\\\ 0 \u0026amp; 2 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 0 \u0026amp; -1 \\\\ 1 \u0026amp; -1 \\end{bmatrix}A=[−1−1​10​][20​12​][01​−1−1​]于是\neAt=[v1eλtv1teλt+v2eλt]P−1=[[−1−1]e2t[−1−1]te2t+[10]e2t][0−11−1]\\begin{align*} e^{\\mathbf{A}t} \u0026amp;= \\begin{bmatrix} \\mathbf{v}_1e^{\\lambda t} \u0026amp; \\mathbf{v}_1te^{\\lambda t}+ \\mathbf{v}_2 e^{\\lambda t}\\end{bmatrix}\\mathbf{P^{-1}}\\\\ \u0026amp;=\\begin{bmatrix} \\begin{bmatrix} -1 \\\\ -1 \\end{bmatrix} e^{2t} \u0026amp;\\begin{bmatrix} -1 \\\\ -1 \\end{bmatrix} te^{2t}+\\begin{bmatrix} 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix}e^{2t} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 0 \u0026amp; -1 \\\\ 1 \u0026amp; -1 \\end{bmatrix} \\end{align*}eAt​=[v1​eλt​v1​teλt+v2​eλt​]P−1=[[−1−1​]e2t​[−1−1​]te2t+[10​]e2t​][01​−1−1​]​该微分方程组的解为\nx(t)=[[−1−1]e2t[−1−1]te2t+[10]e2t][0−11−1]x(0)\\mathbf{x}(t)= \\begin{bmatrix} \\begin{bmatrix} -1 \\\\ -1 \\end{bmatrix} e^{2t} \u0026amp;\\begin{bmatrix} -1 \\\\ -1 \\end{bmatrix} te^{2t}+\\begin{bmatrix} 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix}e^{2t} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 0 \u0026amp; -1 \\\\ 1 \u0026amp; -1 \\end{bmatrix}\\mathbf{x}(0)x(t)=[[−1−1​]e2t​[−1−1​]te2t+[10​]e2t​][01​−1−1​]x(0)将已知条件 x(0)=[x0x1]\\mathbf{x}(0)= \\begin{bmatrix} x_0\\\\ x_1 \\end{bmatrix}x(0)=[x0​x1​​] 代入有\nx(t)=[[−1−1]e2t[−1−1]te2t+[10]e2t][−x1x0−x1]=−x1[−1−1]e2t+(x0−x1)([−1−1]te2t+[10]e2t)\\begin{align*} \\mathbf{x}(t) \u0026amp;=\\begin{bmatrix} \\begin{bmatrix} -1 \\\\ -1 \\end{bmatrix} e^{2t} \u0026amp;\\begin{bmatrix} -1 \\\\ -1 \\end{bmatrix} te^{2t}+\\begin{bmatrix} 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix}e^{2t} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} -x_1 \\\\ x_0 -x_1 \\end{bmatrix}\\\\ \u0026amp;=-x_1\\begin{bmatrix} -1 \\\\ -1 \\end{bmatrix} e^{2t} + (x_0-x_1)(\\begin{bmatrix} -1 \\\\ -1 \\end{bmatrix} te^{2t}+\\begin{bmatrix} 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix}e^{2t}) \\end{align*}x(t)​=[[−1−1​]e2t​[−1−1​]te2t+[10​]e2t​][−x1​x0​−x1​​]=−x1​[−1−1​]e2t+(x0​−x1​)([−1−1​]te2t+[10​]e2t)​还是一样，不管怎样改变 x(0)\\mathbf{x}(0)x(0)，方程的解始终为 [−1−1]e2t\\begin{bmatrix} -1 \\\\ -1 \\end{bmatrix} e^{2t}[−1−1​]e2t 和 [−1−1]te2t+[10]e2t\\begin{bmatrix} -1 \\\\ -1 \\end{bmatrix} te^{2t}+\\begin{bmatrix} 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix}e^{2t}[−1−1​]te2t+[10​]e2t 这两个向量值函数的线性组合。这同样符合我们之前的发现\n常系数线性齐次微分方程求解方法总结 实际求解微分方程的时候不必像上面几个例子那样麻烦。至少有一步是可以省略的——我们不需要去求逆矩阵 P−1\\mathbf{P^{-1}}P−1。下面讲述具体的原因。\n基于前面的分析，我们知道了一个非常重要的事实：一阶线性齐次微分方程组的解是某些向量与某些函数之积的线性组合。这些向量我们称为特征向量，这些函数我们称为特征函数，而线性组合的具体系数可以通过已知条件求得。\n对于特征方程无复根和重根的情况\n已知 x(0)\\mathbf{x}(0)x(0)，求 x(t)\\mathbf{x}(t)x(t) 满足\nx′(t)=Ax(t)\\mathbf{x}\u0026#x27;(t) = \\mathbf{A} \\mathbf{x}(t)x′(t)=Ax(t)该微分方程组的解为\nx(t)=∑i=1ncivieλit\\mathbf{x}(t)=\\sum_{i=1}^n c_i\\mathbf{v}_ie^{\\lambda_it}x(t)=i=1∑n​ci​vi​eλi​t其中 λi\\lambda_iλi​ 为系数矩阵 A\\mathbf{A}A 的特征值，vi\\mathbf{v}_ivi​ 为 λi\\lambda_iλi​ 对应的特征向量，cic_ici​ 可通过初值条件计算\n因此，我们在求出特征值以及对应的特征向量后，可以直接设 x(t)=∑i=1ncivieλit\\mathbf{x}(t)=\\sum_{i=1}^n c_i\\mathbf{v}_ie^{\\lambda_it}x(t)=∑i=1n​ci​vi​eλi​t，然后代入初值条件解出 c1c_1c1​、c2c_2c2​……cnc_ncn​。有 nnn 个未知系数，而初值条件 x(0)\\mathbf{x}(0)x(0) 代入微分方程 x′(0)=Ax(0)\\mathbf{x}\u0026#x27;(0) = \\mathbf{A}\\mathbf{x}(0)x′(0)=Ax(0) 后得到了 nnn 个代数方程，所以总是能够算出系数的。虽然说求逆矩阵本质也是解方程组，但显然这里直接解方程组会比例题里先求 P−1\\mathbf{P^{-1}}P−1 然后再用 P−1\\mathbf{P^{-1}}P−1 乘 x(0)\\mathbf{x}(0)x(0) 计算系数更简单。\n当特征方程出现复根或重根后，情况会更复杂一点。对于 2×22\\times22×2 的系数矩阵，前面的例子已经给出了出现复根或重根时的答案，这里再总结一下。\n对于出现了复根的情况\n微分方程组的解为\nx(t)=c1(acos⁡bt−bsin⁡bt)eat+c2(asin⁡bt+bcos⁡bt)eat\\mathbf{x}(t)=c_1(\\mathbf{a}\\cos bt-\\mathbf{b}\\sin bt)e^{at} +c_2 (\\mathbf{a}\\sin bt+\\mathbf{b}\\cos bt)e^{at}x(t)=c1​(acosbt−bsinbt)eat+c2​(asinbt+bcosbt)eat其中 aaa、bbb 分别是复特征值 λ1\\lambda_1λ1​ 的实部和虚部，a\\mathbf{a}a、b\\mathbf{b}b 分别是复特征向量 v1\\mathbf{v}_1v1​ 的实部和虚部，c1c_1c1​、c2c_2c2​ 可通过初值条件计算\n对于出现了重根的情况\n微分方程组的解为\nx(t)=c1v1eλt+c2(v1teλt+v2eλt)\\mathbf{x}(t)=c_1\\mathbf{v}_1e^{\\lambda t} +c_2 (\\mathbf{v}_1te^{\\lambda t}+\\mathbf{v}_2 e^{\\lambda t})x(t)=c1​v1​eλt+c2​(v1​teλt+v2​eλt)其中 λ=λ1=λ2\\lambda=\\lambda_1=\\lambda_2λ=λ1​=λ2​ 是相同的特征值，v1\\mathbf{v}_1v1​、v2\\mathbf{v}_2v2​ 是 λ\\lambdaλ 对应的广义特征向量，c1c_1c1​、c2c_2c2​ 可通过初值条件计算\n读者可自行研究该答案要怎么推广到更高阶的矩阵。\n最后简要提一下单个的高阶线性微分方程。由于高阶方程化为等价的一阶方程组后，系数矩阵具有特殊的形式，我们可以利用这一点来得到更方便求解的结论。\n还是以开头提到的三阶微分方程为例\n已知 x(0)x(0)x(0)、x′(0)x\u0026#x27;(0)x′(0)、x′′(0)x\u0026#x27;\u0026#x27;(0)x′′(0)，求 x(t)x(t)x(t) 满足\nx′′′(t)=ax(t)+bx′(t)+cx′′(t)x\u0026#x27;\u0026#x27;\u0026#x27;(t) = ax(t) + bx\u0026#x27;(t) + cx\u0026#x27;\u0026#x27;(t)x′′′(t)=ax(t)+bx′(t)+cx′′(t) 我们已经将其转为了等价的一阶微分方程组\n已知 x0(0)x_0(0)x0​(0)、x1(0)x_1(0)x1​(0)、x2(0)x_2(0)x2​(0)，求 x0(t)x_0(t)x0​(t)、x1(t)x_1(t)x1​(t)、x2(t)x_2(t)x2​(t) 满足\nx0′(t)=x1(t)x1′(t)=x2(t)x2′(t)=ax0(t)+bx1(t)+cx2(t)\\begin{align*} x_0\u0026#x27;(t) \u0026amp;= x_1(t) \\\\ x_1\u0026#x27;(t) \u0026amp;= x_2(t) \\\\ x_2\u0026#x27;(t) \u0026amp;= ax_0(t) + bx_1(t) + cx_2(t) \\end{align*}x0′​(t)x1′​(t)x2′​(t)​=x1​(t)=x2​(t)=ax0​(t)+bx1​(t)+cx2​(t)​ 可以看到，系数矩阵为\nA=[010001abc]\\mathbf{A}=\\begin{bmatrix} 0 \u0026amp; 1 \u0026amp;0\\\\ 0 \u0026amp; 0 \u0026amp;1\\\\ a \u0026amp; b \u0026amp;c \\end{bmatrix}A=​00a​10b​01c​​首先求其特征值\n矩阵的特征值满足如下性质\ndet⁡(A−λI)=0\\det(\\mathbf{A}-\\lambda\\mathbf{I})=0det(A−λI)=0即\ndet⁡[−λ100−λ1abc−λ]=0\\det\\begin{bmatrix} -\\lambda \u0026amp; 1 \u0026amp;0\\\\ 0 \u0026amp; -\\lambda \u0026amp;1\\\\ a \u0026amp; b \u0026amp;c -\\lambda \\end{bmatrix}=0det​−λ0a​1−λb​01c−λ​​=0展开行列式得到特征方程\nλ3=a+bλ+cλ2\\lambda^3=a+b\\lambda+c\\lambda^2λ3=a+bλ+cλ2而原微分方程为\nx′′′(t)=ax(t)+bx′(t)+cx′′(t)x\u0026#x27;\u0026#x27;\u0026#x27;(t) = ax(t) + bx\u0026#x27;(t) + cx\u0026#x27;\u0026#x27;(t)x′′′(t)=ax(t)+bx′(t)+cx′′(t) 我们发现，特征方程中 λn\\lambda^nλn 的系数正好就是微分方程中 x(n)(t)x^{(n)}(t)x(n)(t) 的系数。正是这个特殊的系数矩阵导致了这一结果。\n然后我们求出对应的特征向量\n设特征值 λ\\lambdaλ 对应的特征向量为\nv=[v1v2v3]\\mathbf{v}=\\begin{bmatrix} v_1\\\\ v_2\\\\ v_3 \\end{bmatrix}v=​v1​v2​v3​​​由 Av=λv\\mathbf{A}\\mathbf{v}=\\lambda\\mathbf{v}Av=λv 得 (A−λI)v=0(\\mathbf{A}-\\lambda\\mathbf{I})\\mathbf{v}=\\mathbf0(A−λI)v=0，即\n[−λ100−λ1abc−λ][v1v2v3]=0\\begin{bmatrix} -\\lambda \u0026amp; 1 \u0026amp;0\\\\ 0 \u0026amp; -\\lambda \u0026amp;1\\\\ a \u0026amp; b \u0026amp;c -\\lambda \\end{bmatrix}\\begin{bmatrix} v_1\\\\ v_2\\\\ v_3 \\end{bmatrix}=\\mathbf0​−λ0a​1−λb​01c−λ​​​v1​v2​v3​​​=0相乘后得到三个等式\nv2=λv1v3=λv2λv3=av1+bv2+cv3\\begin{align*} v_2 \u0026amp;=\\lambda v_1\\\\ v_3 \u0026amp;=\\lambda v_2\\\\ \\lambda v_3 \u0026amp;=av_1+bv_2+cv_3 \\end{align*}v2​v3​λv3​​=λv1​=λv2​=av1​+bv2​+cv3​​对最后一个等式消去 v3v_3v3​、v2v_2v2​ 得到\nλ3v1=(a+bλ+cλ2)v1\\lambda^3v_1=(a+b\\lambda+c\\lambda^2)v_1λ3v1​=(a+bλ+cλ2)v1​由于 λ\\lambdaλ 是特征值，满足特征方程\nλ3=a+bλ+cλ2\\lambda^3=a+b\\lambda+c\\lambda^2λ3=a+bλ+cλ2因此任意 v1v_1v1​ 都能使等式成立。不妨取 v1=1v_1=1v1​=1，从而特征值 λ\\lambdaλ 对应的特征向量为\nv=[1λλ2]\\mathbf{v}=\\begin{bmatrix} 1\\\\ \\lambda \\\\ \\lambda^2 \\end{bmatrix}v=​1λλ2​​ 我们发现，该矩阵的特征向量也非常容易计算。这仍然要归功于那个特殊的系数矩阵。\n最后我们试着解出微分方程\n因为对该高阶方程，我们只需要求出 x(t)x(t)x(t)，即等价一阶方程组中的 x0(t)x_0(t)x0​(t)，所以我们只关注特征向量的第一个分量。而对该矩阵的所有特征向量，第一个分量都是任意的，故可全取为 111，于是有\nx(t)=c1f1(t)+c2f2(t)+c3f3(t)x(t)=c_1f_1(t)+c_2f_2(t)+c_3f_3(t)x(t)=c1​f1​(t)+c2​f2​(t)+c3​f3​(t)其中 fi(t)f_i(t)fi​(t) 为 λi\\lambda_iλi​ 对应的特征函数，若 λi\\lambda_iλi​ 不为复根或重根则 fi(t)=eλitf_i(t)=e^{\\lambda_it}fi​(t)=eλi​t，其余情况 fi(t)f_i(t)fi​(t) 具有更复杂的形式；c1c_1c1​、c2c_2c2​、c3c_3c3​ 可通过初值条件求出\n我们发现，该微分方程的计算其实并不需要经过求特征向量、对角化或约旦标准化、矩阵相乘等繁琐的步骤。我们可以首先根据微分方程的系数直接列写特征方程，然后算出特征值并求对应的特征函数，最后代入初值条件求出线性组合的系数。能够这样做，同样是因为那个特殊的系数矩阵。\n对于更高阶的方程也可以用这个方法求解。这里直接给出推广到 nnn 阶线性齐次微分方程的解法\n根据微分方程的系数列写特征方程并求解，从而得到特征值 λ1\\lambda_1λ1​、λ2\\lambda_2λ2​……λn\\lambda_nλn​（由代数基本定理，算上复根和重根，一元 nnn 次方程一定会有 nnn 个解） 按特征值的不同情况分类讨论，从而得到特征函数 特征值 λi\\lambda_iλi​ 是与其他特征值相异的实根，则特征函数为 eλite^{\\lambda_it}eλi​t 特征值 λi\\lambda_iλi​ 和 λj\\lambda_jλj​ 是共轭的复根，分别为 a±iba\\pm iba±ib，则特征函数为 eatcos⁡bte^{at}\\cos bteatcosbt 和 eatsin⁡bte^{at}\\sin bteatsinbt 特征值 λi1=λi2=⋯=λik\\lambda_{i1}=\\lambda_{i2}=\\dots=\\lambda_{ik}λi1​=λi2​=⋯=λik​ 是 kkk 个相同的实根，都等于 λ\\lambdaλ，则特征函数为 eλte^{\\lambda t}eλt、teλtte^{\\lambda t}teλt……tk−1eλtt^{k-1}e^{\\lambda t}tk−1eλt 特征值 λi1=λi2=⋯=λik\\lambda_{i1}=\\lambda_{i2}=\\dots=\\lambda_{ik}λi1​=λi2​=⋯=λik​ 是 kkk 个相同的复根，都等于 a+iba + iba+ib，而 λj1=λj2=⋯=λjk\\lambda_{j1}=\\lambda_{j2}=\\dots=\\lambda_{jk}λj1​=λj2​=⋯=λjk​ 是 kkk 个相同的与前者共轭的复根，都等于 a−iba - iba−ib，则特征函数为 eatcos⁡bte^{at}\\cos bteatcosbt、eatsin⁡bte^{at}\\sin bteatsinbt、teatcos⁡btte^{at}\\cos btteatcosbt、teatsin⁡btte^{at}\\sin btteatsinbt……tk−1eatcos⁡btt^{k-1}e^{at}\\cos bttk−1eatcosbt、tk−1eatsin⁡btt^{k-1}e^{at}\\sin bttk−1eatsinbt 设 x(t)=∑i=0ncifi(t)x(t)=\\sum_{i=0}^nc_if_i(t)x(t)=∑i=0n​ci​fi​(t)，其中 fi(t)f_i(t)fi​(t) 为刚才求得的特征函数。代入初值条件求出 cic_ici​ 常系数线性齐次差分方程 用矩阵描述常系数线性齐次差分方程 差分方程对于部分人而言可能较为陌生。不过差分方程其实很常见，比如之前在用幂级数求解微分方程的时候就遇到了一个差分方程\n已知 a0a_0a0​，求 ana_nan​ 满足 (n+1)an+1−aan=0(n+1)a_{n+1}-aa_n=0(n+1)an+1​−aan​=0 的通项公式\n没错，求解数列递推问题其实就是在解差分方程。为了使其看起来更像微分方程，我们这里用一套更专业的符号来定义差分方程和差分方程的解\n差分方程的解是一个数列。我们用 x[n]x[n]x[n] 来表示数列，其中 nnn 为非负整数。x[0]x[0]x[0] 表示该数列的第 111 个数，x[1]x[1]x[1] 表示该数列的第 222 个数，以此类推，x[n]x[n]x[n] 表示该数列的第 n+1n+1n+1 个数\n一阶齐次线性差分方程的一般形式为\nx[n+1]=ax[n]x[n+1]=ax[n]x[n+1]=ax[n]其中 aaa 是常数\nkkk 阶齐次线性差分方程的一般形式为\nx[n+k]=a1x[n]+a2x[n+1]+⋯+akx[n+k−1]x[n+k]=a_1x[n]+a_2x[n+1]+\\dots+a_kx[n+k-1]x[n+k]=a1​x[n]+a2​x[n+1]+⋯+ak​x[n+k−1]其中 a1a_1a1​、a2a_2a2​……aka_kak​ 是常数\n解差分方程，就是求 x[n]x[n]x[n] 在 nnn 为任意非负整数时的表达式\n注意，根据定义，因为 (n+1)an+1−aan=0(n+1)a_{n+1}-aa_n=0(n+1)an+1​−aan​=0 中存在非常数系数 n+1n+1n+1，所以这个数列递推问题不属于常系数线性差分方程，无法使用特征方程法求解。\n由于高阶线性齐次差分方程可用与微分方程同样的方法转化为一阶线性齐次差分方程组，因此线性齐次差分方程组是更一般的情况，我们只讨论此情况。\n现在用矩阵描述我们的问题\n已知 x[0]\\mathbf{x}[0]x[0]，求 x[n]\\mathbf{x}[n]x[n] 满足\nx[n+1]=Ax[n]\\mathbf{x}[n+1]=\\mathbf{A}\\mathbf{x}[n]x[n+1]=Ax[n]其中 x[n]=[x0[n]x1[n]…xm−1[n]]\\mathbf{x}[n] = \\begin{bmatrix} x_0[n] \\\\ x_1[n] \\\\ \\dots \\\\ x_{m-1}[n] \\\\ \\end{bmatrix}x[n]=​x0​[n]x1​[n]…xm−1​[n]​​ 称为向量值数列，对每一个非负整数 nnn，x[n]\\mathbf{x}[n]x[n] 为一个 m×1m\\times1m×1 的列向量；A=[a11a12…a1ma21a22…a2m…………am1am2…amm]\\mathbf{A} = \\begin{bmatrix} a_{11} \u0026amp; a_{12} \u0026amp; \\dots \u0026amp; a_{1m} \\\\ a_{21} \u0026amp; a_{22} \u0026amp; \\dots \u0026amp; a_{2m} \\\\ \\dots \u0026amp; \\dots \u0026amp; \\dots \u0026amp; \\dots\\\\ a_{m1} \u0026amp; a_{m2} \u0026amp; \\dots \u0026amp; a_{mm} \\end{bmatrix}A=​a11​a21​…am1​​a12​a22​…am2​​…………​a1m​a2m​…amm​​​ 称为系数矩阵，大小为 m×mm\\times mm×m\n至此我们成功地用矩阵描述了问题。\n用矩阵求解常系数线性齐次差分方程 求解差分方程相比微分方程简单多了\n对于\nx[n+1]=Ax[n]\\mathbf{x}[n+1]=\\mathbf{A}\\mathbf{x}[n]x[n+1]=Ax[n]令 nnn 取不同的值，得\nx[n]=Ax[n−1]x[n−1]=Ax[n−2]…x[1]=Ax[0]\\begin{align*} \\mathbf{x}[n]\u0026amp;=\\mathbf{A}\\mathbf{x}[n-1]\\\\ \\mathbf{x}[n-1]\u0026amp;=\\mathbf{A}\\mathbf{x}[n-2]\\\\ \u0026amp;\\dots \\\\ \\mathbf{x}[1]\u0026amp;=\\mathbf{A}\\mathbf{x}[0] \\end{align*}x[n]x[n−1]x[1]​=Ax[n−1]=Ax[n−2]…=Ax[0]​不断地用下面的等式替换上面的等式，从而\nx[n]=Ax[n−1]=A×Ax[n−2]=⋯=Anx[0]\\mathbf{x}[n]=\\mathbf{A}\\mathbf{x}[n-1]=\\mathbf{A}\\times\\mathbf{A}\\mathbf{x}[n-2]=\\dots=\\mathbf{A}^n\\mathbf{x}[0]x[n]=Ax[n−1]=A×Ax[n−2]=⋯=Anx[0] 至此我们成功地将解表示为了一个与矩阵有关的形式。\n最后又回到了计算矩阵幂的问题。An\\mathbf{A}^nAn 通常不好计算，但我们可以对角化或约旦标准化 A\\mathbf{A}A 从而快速计算矩阵幂。特征方程就是此时出现的。这些都已在解微分方程时讨论过了，此处不再赘述。\n总结 除了在解微分方程和差分方程时要用到特征方程外，其实特征方程还出现在一些别的地方。如果你学过信号与系统或控制理论，那么可能听说过线性时不变系统的特征方程。对于状态空间模型，即用微分方程或微分方程组描述的系统，此时特征方程显然就是微分方程或微分方程组的特征方程；对于传递函数模型，即用传递函数描述的系统，由于传递函数是通过对微分方程或微分方程组两边同时拉普拉斯变换得到的，因此其本质上还是微分方程或微分方程组的特征方程。\n最后把开头的那段话复述如下，相信你应该有了更深的理解\n如果一个数学问题要用到特征方程，那么这个问题一定可以用矩阵进行描述和求解，并且答案往往会和矩阵的任意正整数次幂有关。\n而为了计算矩阵幂，我们需要对角化或约旦标准化矩阵。特征方程就是此时出现的。所有数学问题中出现的特征方程本质上都是矩阵的特征方程。\n","permalink":"https://juemuren.github.io/blog/posts/math/%E7%89%B9%E5%BE%81%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%9A%84%E6%9C%AC%E8%B4%A8/","summary":"如果一个数学问题要用到特征方程，那么这个问题一定可以用矩阵进行描述和求解。","title":"特征方程的本质：用矩阵求解微分方程和差分方程"},{"content":" 第一类曲线积分要求积分上限大于积分下限，并不是说改变方向会影响结果。只是通过这个规定，我们可以免去中间的过程。\n从有问题的弧长公式说起 对参数向量定义的曲线 C:r⃗(t)C:\\vec{r}(t)C:r(t)，从 t=at = at=a 到 t=bt = bt=b 的这段弧长为\ns=∫Cds=∫ab∣dr⃗dt∣dts = \\int_{C}^{} \\mathrm{d}s= \\int_{a}^{b} \\left| \\frac{\\mathrm{d} \\vec{r}}{\\mathrm{d} t} \\right| \\mathrm{d}ts=∫C​ds=∫ab​​dtdr​​dt看上去似乎没什么问题。但我们知道，对定积分来说，交换上下限会导致结果的正负相反。而一段曲线从 t=bt = bt=b 到 t=at = at=a 的长度应该等于从 t=at = at=a 到 t=bt = bt=b 的长度。这公式显然与事实不符。\n问题出在哪里呢？不妨想一下该公式可以怎样修改。为了解决上述问题，一个更准确的弧长公式应该长这样\ns=∣∫ab∣dr⃗dt∣dt∣s = \\left| \\int_{a}^{b} \\left| \\frac{\\mathrm{d} \\vec{r}}{\\mathrm{d} t} \\right| \\mathrm{d}t \\right|s=​∫ab​​dtdr​​dt​如果把绝对值放进去，马上就发现了问题所在\ns=∫ab∣dr⃗dt∣∣dt∣s = \\int_{a}^{b} \\left| \\frac{\\mathrm{d} \\vec{r}}{\\mathrm{d} t} \\right| \\left| \\mathrm{d}t \\right|s=∫ab​​dtdr​​∣dt∣是的，问题的根源就在于弧长微元。改正后的弧长微元变为\nds=∣dr⃗dt∣∣dt∣\\mathrm{d}s = \\left| \\frac{\\mathrm{d} \\vec{r}}{\\mathrm{d} t} \\right| \\left| \\mathrm{d}t \\right|ds=​dtdr​​∣dt∣弧长微元就是一小段曲线的长度，肯定为非负数，而 dt\\mathrm{d}tdt 有可能是负数，所以必须加上绝对值。\n可加上了绝对值后怎么积分？定积分公式里的积分微元并没有套着绝对值这个玩意。所以我们接下来要去掉绝对值。\n去掉绝对值以计算积分 回到刚才提出的正确的弧长公式上\ns=∫ab∣dr⃗dt∣∣dt∣s = \\int_{a}^{b} \\left| \\frac{\\mathrm{d} \\vec{r}}{\\mathrm{d} t} \\right| \\left| \\mathrm{d}t \\right|s=∫ab​​dtdr​​∣dt∣当 a\u0026lt;ba \u0026lt; ba\u0026lt;b 时，上限大于下限，积分微元 dt\u0026gt;0\\mathrm{d}t \u0026gt; 0dt\u0026gt;0，此时 ∣dt∣=dt\\left| \\mathrm{d}t \\right| = \\mathrm{d}t∣dt∣=dt，可以直接去掉绝对值\ns=∫ab∣dr⃗dt∣dt(a\u0026lt;b)s = \\int_{a}^{b} \\left| \\frac{\\mathrm{d} \\vec{r}}{\\mathrm{d} t} \\right| \\mathrm{d}t \\quad (a \u0026lt; b)s=∫ab​​dtdr​​dt(a\u0026lt;b)当 a\u0026gt;ba \u0026gt; ba\u0026gt;b 时，上限小于下限，积分微元 dt\u0026lt;0\\mathrm{d}t \u0026lt; 0dt\u0026lt;0，此时 ∣dt∣=−dt\\left| \\mathrm{d}t \\right| =- \\mathrm{d}t∣dt∣=−dt ，去掉绝对值后多了个负号。但，通过交换上下限可以再多个负号，负负得正，从而抵消了绝对值的影响\ns=−∫ab∣dr⃗dt∣dt=∫ba∣dr⃗dt∣dt(a\u0026gt;b)s = -\\int_{a}^{b} \\left| \\frac{\\mathrm{d} \\vec{r}}{\\mathrm{d} t} \\right| \\mathrm{d}t=\\int_{b}^{a} \\left| \\frac{\\mathrm{d} \\vec{r}}{\\mathrm{d} t} \\right| \\mathrm{d}t \\quad (a \u0026gt; b)s=−∫ab​​dtdr​​dt=∫ba​​dtdr​​dt(a\u0026gt;b)总结一下\ns={∫ab∣dr⃗dt∣dta\u0026lt;b∫ba∣dr⃗dt∣dta\u0026gt;bs = \\begin{cases} \\int_{a}^{b} \\left| \\frac{\\mathrm{d} \\vec{r}}{\\mathrm{d} t} \\right| \\mathrm{d}t \u0026amp; a \u0026lt; b \\\\ \\int_{b}^{a} \\left| \\frac{\\mathrm{d} \\vec{r}}{\\mathrm{d} t} \\right| \\mathrm{d}t \u0026amp; a \u0026gt; b \\end{cases}s={∫ab​​dtdr​​dt∫ba​​dtdr​​dt​a\u0026lt;ba\u0026gt;b​可以看出，去掉绝对值以及可能多出的负号后，积分上限始终大于积分下限。\n第一类曲线积分与计算弧长的积分类似，无非多乘了个被积函数 FFF\n∫CFds=∫abF∣dr⃗dt∣∣dt∣={∫abF∣dr⃗dt∣dta\u0026lt;b∫baF∣dr⃗dt∣dta\u0026gt;b\\int_{C}^{} F\\mathrm{d}s = \\int_{a}^{b} F\\left| \\frac{\\mathrm{d} \\vec{r}}{\\mathrm{d} t} \\right| \\left| \\mathrm{d}t \\right| = \\begin{cases} \\int_{a}^{b} F\\left| \\frac{\\mathrm{d} \\vec{r}}{\\mathrm{d} t} \\right| \\mathrm{d}t \u0026amp; a \u0026lt; b \\\\ \\int_{b}^{a} F\\left| \\frac{\\mathrm{d} \\vec{r}}{\\mathrm{d} t} \\right| \\mathrm{d}t \u0026amp; a \u0026gt; b \\end{cases}∫C​Fds=∫ab​F​dtdr​​∣dt∣={∫ab​F​dtdr​​dt∫ba​F​dtdr​​dt​a\u0026lt;ba\u0026gt;b​所以，第一类曲线积分要求积分上限大于积分下限，并不是说改变方向会影响结果。只是通过这个规定，我们可以免去中间的过程。\n如果规定了积分时上限必须大于下限，那么在积分前就可以直接写 ds=∣dr⃗dt∣dt\\mathrm{d}s = \\left| \\frac{\\mathrm{d} \\vec{r}}{\\mathrm{d} t} \\right| \\mathrm{d}tds=​dtdr​​dt 而不需要给 dt\\mathrm{d}tdt 添加绝对值；如果不做这个规定，为了准确，就不得不补上绝对值，然后积分时再把 ds=∣dr⃗dt∣∣dt∣\\mathrm{d}s = \\left| \\frac{\\mathrm{d} \\vec{r}}{\\mathrm{d} t} \\right| \\left| \\mathrm{d}t \\right|ds=​dtdr​​∣dt∣ 的绝对值去掉。然而，经过我们之前的分析，后者捣鼓半天计算出来的结果却和前者完全相同。可以说，这个规定实际上省去了很多麻烦。\n非参数向量定义的曲线的积分 对于显式定义和隐式定义的曲线\nC:y=f(x)dydx=f′(x)C:F(x,y)=0dydx=−∂F∂x∂F∂y\\begin{align*} \u0026amp; C:y = f(x) \u0026amp; \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x} = f\u0026#x27;(x) \\\\ \u0026amp; C:F(x,y) = 0 \u0026amp; \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x} = -\\frac{\\frac{\\partial F}{\\partial x}}{\\frac{\\partial F}{\\partial y} } \\end{align*}​C:y=f(x)C:F(x,y)=0​dxdy​=f′(x)dxdy​=−∂y∂F​∂x∂F​​​弧长微元可以这样计算\nds=dx2+dy2\\mathrm{d}s = \\sqrt{\\mathrm{d}x^{2} + \\mathrm{d}y^{2}}ds=dx2+dy2​进一步地\nds=dx2(1+(dydx)2)=1+(dydx)2dx2\\mathrm{d}s = \\sqrt{\\mathrm{d}x^{2} \\left( 1 + \\left( \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x} \\right) ^{2} \\right) } =\\sqrt{ 1 + \\left( \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x} \\right)^{2} }\\sqrt{ \\mathrm{d}x^{2} }ds=dx2(1+(dxdy​)2)​=1+(dxdy​)2​dx2​一些人可能这时候直接就把根号去掉了\nds=1+(dydx)2dx\\mathrm{d}s = \\sqrt{ 1 + \\left( \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x} \\right)^{2} } \\mathrm{d}xds=1+(dxdy​)2​dx其实这是不准确的。 dx\\mathrm{d}xdx 一定是非负数吗？不一定，所以去掉根号后应该保留绝对值。更准确的写法如下\nds=1+(dydx)2∣dx∣\\mathrm{d}s = \\sqrt{ 1 + \\left( \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x} \\right)^{2} } \\left| \\mathrm{d}x \\right|ds=1+(dxdy​)2​∣dx∣当积分上限大于积分下限时，dx\u0026gt;0\\mathrm{d}x \u0026gt; 0dx\u0026gt;0；当积分上限小于积分下限时， dx\u0026lt;0\\mathrm{d}x \u0026lt; 0dx\u0026lt;0。于是，设被积函数为 GGG，计算第一类曲线积分\n∫CGds=∫abG1+(dydx)2∣dx∣={∫abG1+(dydx)2dxa\u0026lt;b∫baG1+(dydx)2dxa\u0026gt;b\\int_{C}^{} G\\mathrm{d}s = \\int_{a}^{b} G\\sqrt{ 1 + \\left( \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x} \\right)^{2} } \\left| \\mathrm{d}x \\right| = \\begin{cases} \\int_{a}^{b}G\\sqrt{ 1 + \\left( \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x} \\right)^{2} }\\mathrm{d}x \u0026amp; a \u0026lt; b \\\\ \\int_{b}^{a} G\\sqrt{ 1 + \\left( \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x} \\right)^{2} }\\mathrm{d}x \u0026amp; a \u0026gt; b \\end{cases}∫C​Gds=∫ab​G1+(dxdy​)2​∣dx∣=⎩⎨⎧​∫ab​G1+(dxdy​)2​dx∫ba​G1+(dxdy​)2​dx​a\u0026lt;ba\u0026gt;b​这与参数向量定义的曲线是一致的。\n对微元绝对值的解释 在前两节里，我们去除绝对值的操作非常随意，并且出现了在通常的微积分中不会使用的记号 ∣dt∣|\\mathrm{d}t|∣dt∣。如果你对上述推导过程感到困惑、怀疑或不满，那么我接下来将讲述这么做的原因。\n不过，要理解微元绝对值的本质，首先要回到积分的定义。在此介绍两种主要的定义方式——黎曼和与勒贝格测度。\n从黎曼和的角度看 定积分 ∫If(t)dt\\int_I f(t)\\mathrm{d}t∫I​f(t)dt 被定义为黎曼和的极限\n∫If(t)dt=lim⁡max⁡Δti→0∑i=1nf(ξi)Δti\\int_I f(t)\\mathrm{d}t = \\lim_{\\max\\Delta t_i\\to0} \\sum_{i=1}^n f(\\xi_i)\\Delta t_i∫I​f(t)dt=maxΔti​→0lim​i=1∑n​f(ξi​)Δti​其中 tit_iti​ 构成了被积区间 III 的一个划分，Δti=ti−ti−1\\Delta t_i = t_i - t_{i-1}Δti​=ti​−ti−1​ 是小区间的长度，ξi\\xi_iξi​ 则是小区间内的任意一点。\n对于黎曼和，我们将区间按照递增的方向分割，从而使 Δti\u0026gt;0\\Delta t_i \u0026gt; 0Δti​\u0026gt;0。当 a\u0026lt;ba \u0026lt; ba\u0026lt;b 时，对区间 I=[a,b]I=[a, b]I=[a,b] 按 t0=a\u0026lt;t1\u0026lt;⋯\u0026lt;tn=bt_0=a \u0026lt; t_1 \u0026lt; \\dots \u0026lt; t_n=bt0​=a\u0026lt;t1​\u0026lt;⋯\u0026lt;tn​=b 进行分割。当 a\u0026gt;ba \u0026gt; ba\u0026gt;b 时，我们对区间 I=[b,a]I=[b, a]I=[b,a] 同样按从小到大的方式进行分割。\n总之，黎曼积分是对区间定义积分，而非对上下限定义积分。所谓的上下限，即 ∫ab\\int_a^b∫ab​ 只是一种简单记法\n{∫ab=∫[a,b]a\u0026lt;b∫ab=−∫[b,a]a\u0026gt;b\\begin{cases} \\int_a^b=\\int_{[a, b]} \u0026amp; a \u0026lt; b \\\\ \\int_a^b=-\\int_{[b, a]} \u0026amp; a \u0026gt; b \\end{cases}{∫ab​=∫[a,b]​∫ab​=−∫[b,a]​​a\u0026lt;ba\u0026gt;b​现在再来考虑 ∣dt∣|\\mathrm{d}t|∣dt∣ 的意义。我们将其对应于 ∣Δti∣|\\Delta t_i|∣Δti​∣，于是弧长积分用黎曼和定义为\n∫ab∣dr⃗dt∣∣dt∣=lim⁡max⁡Δti→0∑i=1n∣dr⃗dt(ξi)∣∣Δti∣\\int_a^b \\left| \\frac{\\mathrm{d}\\vec{r}}{\\mathrm{d}t} \\right| |\\mathrm{d}t| = \\lim_{\\max\\Delta t_i\\to0} \\sum_{i=1}^n \\left| \\frac{\\mathrm{d}\\vec{r}}{\\mathrm{d}t}(\\xi_i) \\right| |\\Delta t_i|∫ab​​dtdr​​∣dt∣=maxΔti​→0lim​i=1∑n​​dtdr​(ξi​)​∣Δti​∣当然，这不是标准的写法，但我们可以对 ∣Δti∣|\\Delta t_i|∣Δti​∣ 稍微解释一下。如果采用对黎曼积分的另一种理解，也就是基于上下限而非区间定义积分，那么只要始终按照从下限到上限的顺序取值，黎曼积分依然满足原有的性质。\n因此，当 a\u0026lt;ba \u0026lt; ba\u0026lt;b 时，参数按递增的方向分割，此时 ∣Δti∣=Δti|\\Delta t_i| = \\Delta t_i∣Δti​∣=Δti​，于是有\nlim⁡max⁡Δti→0∑i=1n∣dr⃗dt(ξi)∣∣Δti∣=lim⁡max⁡Δti→0∑i=1n∣dr⃗dt(ξi)∣Δti(a\u0026lt;b)\\lim_{\\max\\Delta t_i\\to0} \\sum_{i=1}^n \\left| \\frac{\\mathrm{d}\\vec{r}}{\\mathrm{d}t}(\\xi_i) \\right| |\\Delta t_i| = \\lim_{\\max\\Delta t_i\\to0} \\sum_{i=1}^n \\left| \\frac{\\mathrm{d}\\vec{r}}{\\mathrm{d}t}(\\xi_i) \\right| \\Delta t_i \\quad (a \u0026lt; b)maxΔti​→0lim​i=1∑n​​dtdr​(ξi​)​∣Δti​∣=maxΔti​→0lim​i=1∑n​​dtdr​(ξi​)​Δti​(a\u0026lt;b)若 a\u0026gt;ba \u0026gt; ba\u0026gt;b，则参数按递减的方向分割，此时 ∣Δti∣=−Δti|\\Delta t_i| = -\\Delta t_i∣Δti​∣=−Δti​，于是有\nlim⁡max⁡Δti→0∑i=1n∣dr⃗dt(ξi)∣∣Δti∣=lim⁡max⁡Δti→0∑i=1n−∣dr⃗dt(ξi)∣Δti(a\u0026gt;b)\\lim_{\\max\\Delta t_i\\to0} \\sum_{i=1}^n \\left| \\frac{\\mathrm{d}\\vec{r}}{\\mathrm{d}t}(\\xi_i) \\right| |\\Delta t_i| = \\lim_{\\max\\Delta t_i\\to0} \\sum_{i=1}^n -\\left| \\frac{\\mathrm{d}\\vec{r}}{\\mathrm{d}t}(\\xi_i) \\right| \\Delta t_i \\quad (a \u0026gt; b)maxΔti​→0lim​i=1∑n​​dtdr​(ξi​)​∣Δti​∣=maxΔti​→0lim​i=1∑n​−​dtdr​(ξi​)​Δti​(a\u0026gt;b)显然这分别对应了前文 ∫ab∣dr⃗dt∣dt\\int_a^b \\left| \\frac{\\mathrm{d}\\vec{r}}{\\mathrm{d}t} \\right| \\mathrm{d}t∫ab​​dtdr​​dt 和 −∫ab∣dr⃗dt∣dt-\\int_a^b \\left| \\frac{\\mathrm{d}\\vec{r}}{\\mathrm{d}t} \\right| \\mathrm{d}t−∫ab​​dtdr​​dt 两种情况。\n从测度论的角度看 在测度论中，积分 ∫abf(t)dt\\int_a^b f(t)\\mathrm{d}t∫ab​f(t)dt 是相对于勒贝格测度的，而 dt\\mathrm{d}tdt 表示该测度的微分形式。勒贝格测度本质上是非负的，它度量集合的长度，并且不涉及方向。\n当我们写下 ∫abf(t)dt\\int_a^b f(t)\\mathrm{d}t∫ab​f(t)dt 时，通常默认 a\u0026lt;ba \u0026lt; b a\u0026lt;b，积分区间 [a,b][a,b][a,b] 的勒贝格测度就是 b−ab-ab−a。但符号 ∫ab\\int_a^b∫ab​ 只是一种约定，若 a\u0026gt;ba \u0026gt; ba\u0026gt;b，则其并不对应一个自然的定向测度，其实际被定义为 −∫ba-\\int_b^a−∫ba​。\n现在回到 ∣dt∣|\\mathrm{d}t|∣dt∣。在测度论的框架下这也不是标准写法，但我们可以这样理解：无论参数 ttt 从 aaa 到 bbb 是递增还是递减，我们总是取参数区间 [min⁡(a,b),max⁡(a,b)][\\min(a,b),\\max(a,b)][min(a,b),max(a,b)] 上的勒贝格测度。因此\n∫abf(t)∣dt∣=∫min⁡(a,b)max⁡(a,b)f(t)dt\\int_a^b f(t)|\\mathrm{d}t| = \\int_{\\min(a,b)}^{\\max(a,b)} f(t)\\mathrm{d}t∫ab​f(t)∣dt∣=∫min(a,b)max(a,b)​f(t)dt这里右侧的积分是通常的勒贝格积分。换句话说，∣dt∣|\\mathrm{d}t|∣dt∣ 将参数区间视为一个无定向的集合，积分结果只依赖于该集合的测度，而与参数遍历的方向无关。\n于是对于弧长公式\ns=∫ab∣dr⃗dt∣∣dt∣s = \\int_a^b \\left| \\frac{\\mathrm{d}\\vec{r}}{\\mathrm{d}t} \\right| |\\mathrm{d}t|s=∫ab​​dtdr​​∣dt∣由之前对 ∣dt∣|\\mathrm{d}t|∣dt∣ 的定义得到\ns=∫min⁡(a,b)max⁡(a,b)∣dr⃗dt∣dts = \\int_{\\min(a,b)}^{\\max(a,b)} \\left| \\frac{\\mathrm{d}\\vec{r}}{\\mathrm{d}t} \\right| \\mathrm{d}ts=∫min(a,b)max(a,b)​​dtdr​​dt从而自动满足了积分上限大于积分下限的约定。这正是测度论观点带来的简洁性：弧长本质上是相对于无定向勒贝格测度的积分，参数的方向被完全吸收进测度的非负性中。\n","permalink":"https://juemuren.github.io/blog/posts/math/%E7%AC%AC%E4%B8%80%E7%B1%BB%E6%9B%B2%E7%BA%BF%E7%A7%AF%E5%88%86/","summary":"第一类曲线积分要求积分上限大于积分下限，并不是说改变方向会影响结果。只是通过这个规定，我们可以免去中间的过程。","title":"第一类曲线积分：为什么积分上限必须大于积分下限"},{"content":"引言 花香玉音仙女容\n玫瑰梦残血水空\n本可天堂得一见\n何故地狱来相逢\n在介绍那位疯子之前，我想先讲一首诗。\n这首诗最早出现在那位疯子高一的日记本扉页上。当时他还是一个有情有义的少年，这首诗自然也很悲惨地被他拿来抒发了一种爱而不得的愁苦。一年多后，已经发了疯的他重新在日记本的扉页上看见了这首诗，这一次，他突然间就找到了解读它的正确方式。\n你可以把这篇小说当作流传在街头巷尾的趣闻，当作失意文人的发牢骚，当作一位疯子的自言自语，但我希望，当某一天你再次阅读这些文字时，也会突然间找到解读它的正确方式，找到那个我想表达的东西——\n这是一个有关信仰与救赎的故事。\n序章 别了，冬妮娅 苟活了十六年零三百六十四天，我总算做出了这个决定——同传统的观念实行最彻底的决裂。\n——《余暮手稿·别了，冬妮娅》\n我与他不见已快两年了。如果不是这次见面，我根本想象不到他竟变成了这副模样。\n我和他是初中三年的同桌。我们都很内向，谁也不清楚我们最初是怎么聊到一起的。我只记得，我们在逐渐熟悉对方后，发现彼此之间有许多的共同爱好，于是关系越来越好。我们都喜欢阅读，常常傍晚在一起交流世界名著，一谈就要谈到晚自习前才罢休；我们还都喜欢写作，每次写出了新的文章都会第一时间交给对方评点，并且我们对文章的看法总是不谋而合。我们都以为找到了自己的知己，很多同学都羡慕我们之间能有这样的友谊。\n在我的印象里，他是一位个子不高、戴着眼镜的小男生，他一直都很怯懦，怯懦到不敢和女生说话，什么心事都只敢向我倾诉。可如今他竟然说出“同传统的观念实行最彻底的决裂”这样的话，我感到不可思议。\n初中毕业后，我和他去了不同的学校。我们成绩都不错，因此能做的选择很多。我考入了本市一中的实验班，而他因为特殊的原因选择保送进本校高中部的创新班。高一上的期末考前我们还偶尔会在线上聊天，但期末考后我们就只通信过两次。\n第一次是高二上学期期末的时候，他告诉我说他得了抑郁症。我早就知道他留在那样一所学校里肯定会出问题，但碍于自己并不怎么了解抑郁症，并且我们已经分别一年半了，我不知道他的近况，不知道他的抑郁症是怎么产生的，所以只草率地安慰了一下他。高中内卷严重，学业极度繁忙，我本来只打算高中毕业后和他一起叙叙旧情，如果有缘还能再上同一所大学，并没想过花费精力去了解我的这位故友。但自从他告诉我患上抑郁症的事情之后，我还是有意或无意地打听到了一些有关他的消息。据说他自从上高中以后成绩就不断下滑，高一上的时候能稳在年段第一名，高一下的时候能挤进班级前十名，可高二上的时候他就成为班级倒数了。并且我还听说他在高一下的时候染上了网瘾，每个周末都窝在家里打游戏，哪也不去，谁也不见，什么作业都不写。而且他的性情似乎也有了大变，虽然他仍然不敢面对面地和同龄异性讲话，但他已经不再是曾经那个的乖小孩了，他敢顶撞长辈了。那时我天真地以为他是跟那所学校里的坏学生学坏了，因为网瘾而导致成绩下滑，因为成绩下滑而变得叛逆，因为叛逆而变得抑郁。我为他的堕落可惜了许久，但一时也找不到勉励他的话，于是便没再联系他了。\n第二次是高二下学期的劳动节那天，他突然说想见见我。在我给他住址的一小时后，他提着个黑白色的袋子风尘仆仆地赶了过来。袋子里装着他的手稿和日记。他说，他想讲的话都在这里面了。他把包裹交给我后就走了，连一句多余的话都没有留下。看着他那斗志昂扬的双眼和充满自信的身影，所有的谣言不攻自破，我开始笃定自己把那些关于他的只言片语拼成的模糊结论是完全错误的。\n在整齐叠放的手稿的第一页，是一篇标题为“别了，冬妮娅”的文章。在看到这篇文章的第一句话时，我隐约意识到这些手稿和日记不简单，和初中时我们互相交换作文不同，我觉得这次我不能用零碎的时间去看，而应该拿出完整的一大片时间来仔细阅读。在考完期末考的那个短暂的暑假，我把他的手稿和日记一遍遍地翻阅。也是在那时，我得知了一个惊人的消息——他在劳动节那天找完我后就从这座城市消失了。我手中的手稿和日记是他唯二留在这座城市里的东西。在文字里，他的形象逐渐变得立体清晰，我甚至能用一系列连续的故事来叙述他在这座城市中的经历。在读到手稿的最后一页时，我的心里突然萌生出了一个念头——不如把他的故事改编成小说吧——这也算是我那紧张乏味的高三生活中的一点调味剂了。\n《余暮手稿·别了，冬妮娅》\n苟活了十六年零三百六十四天，我总算做出了这个决定——同传统的观念实行最彻底的决裂。\n也许我本可以沿着旧社会为我们搭建的梯子不断地向金字塔上攀爬，去追逐那后浪式的人上人生活，去把一个又一个人踩在脚下。可如今的我却甘愿与金字塔底层的人待在一起，去摧毁这架梯子和这座金字塔。\n学生和小资产阶级一样，具有革命的动摇性。如今我能做出这个决定，想必也是自己那革命的一面终于战胜了那反动的一面吧。\n当初保尔·柯察金参加革命的时候，比我年轻许多，他在旧社会中唯一留念的便是那位资产阶级出身的、名为冬妮娅的女孩。可他最后还是离开了她，踏上了革命这条不归路。我想，这是作者浪漫的笔法。“冬妮娅”可以代指很多东西，比如金钱、权力、功名，或旧社会中其他的阻止人去革命的诱惑。“冬妮娅”是那样迷人，那样美好，可她终究只是保尔·柯察金的幻想，是近在咫尺却无法真实拥有的幻想。幻想便是如此，既让你得不到她，又让你想要得到她，让你离不开她。保尔·柯察金和冬妮娅俩人最亲密的时候可以躺在同一张床上，可他们之间却隔了一整道阶级的鸿沟。小资产阶级想越过这道鸿沟成为新的资产阶级，可那终究只是少数，大多数人只能看着那些少数个例，做着自己的美梦，然后被分化进无产阶级的队伍。资本主义就是这样，它给所有人希望，却只拯救少数人。我也曾有个“冬妮娅”般的美丽幻想，也曾渴望被资本主义拯救，也曾愚蠢地祈祷着奇迹的发生。可最后没有发生奇迹，却发生了“灾难”，一颗名为“真理”的炮弹炸毁了这座用谎言搭建的幻想大厦。旧梦碎成了一根根用谎言串成的线，美丽的“冬妮娅”终于在真相面前露出了其丑恶的一面。\n别了，冬妮娅。我曾沉溺在你带给我的美好幻觉之中，也曾在美梦破碎后寻找各种各样的精神麻醉剂来麻痹自己。如今，我要与这段不堪回首的过往诀别了。从今往后，我不再是怯懦的囚徒，我将成为勇敢的战士。过去的自己，以及过去的社会，我会亲手将他们埋葬。\n不要追问我去往何处，我会始终出现在太阳升起的地方，我将成为新社会的第一缕光芒。\n2022.5.1\n第一章 禁欲计划 黑格尔在某个地方说过，一切伟大的世界历史事变和人物，可以说都出现两次。他忘记补充一点：第一次是作为悲剧出现，第二次是作为笑剧出现。\n——卡尔·马克思《路易·波拿巴的雾月十八日》\n2019 年 2 月 12 日，裕隆花园。\n小区里“欢庆春节”的横幅还在随风摆动着，鞭炮声却日渐没了踪影。在南方小城 L 市里，年味一年比一年淡，而今年无疑是最冷清的一年。仅仅到了年初八，这片小区就跟“死”了一样，上班的回去上班了，上学的回去上学了。这个社会留给人自由支配的时间似乎正在急剧减少，人们连一个完整的春节都没享受完，就又回到原先忙碌的生活中了。\n不过对于余暮来说，热闹与否并不重要——或许他还希望冷清一点呢。他这一整个寒假——虽说是寒假，但学校推迟放假加提前收假，前后各砍一刀，也就只剩下十几天——都把自己关在卧室里，没去过节，也没去拜年，而是实行着所谓的“禁欲计划”。\n这张“禁欲计划”现在就贴在书柜右侧的墙壁上。每次余暮要起身拿书时，都可以看到它——为了时刻警醒自己，余暮选择把它贴在卧室里最显眼的位置。“禁欲计划”的最上方是一行大大的标题：“禁欲计划（第四版）”。标题下方有几行字，那是余暮列出的“禁欲清单”。清单的下方是一个表格，表格的第一列写着余暮要求自己每天必须完成的任务。表格的下方，即“禁欲计划”的倒数第二行，只有 8 个字：“记住此刻你所想的”。最后一行是日期：“2018.11.16”。\n多年以后，站在溪南桥上面对烟溪，余暮会回想起那个在老师的蛊惑下决定戒游戏的早晨。\n当时刚期中考完不久，余暮的成绩不很理想，只有班级第 9 名。其实这成绩并不差，余暮自己也觉得可以接受，更何况他从幼儿园到现在都没有积极主动地学习过……小时候的余暮只有两个兴趣爱好：玩游戏和思考人生。\n思考人生是余暮小学五年级才开始的。那年余暮情窦初开，喜欢上了班里的一名女生。然而余暮却胆小得不敢和她说话，只能自己偷偷地喜欢。这种思念和爱慕的感觉让余暮快速地成长，由此学会了思考人生。在小学期末考结束的那个傍晚，青色的天空下起了淅淅沥沥的小雨，之后余暮就与那位女生再没见面和联系过了。\n玩游戏是余暮小学二年级就学会的。玩过《植物大战僵尸》《侠盗猎车手：罪恶都市》《我的世界》这样的单机游戏，也玩过《穿越火线》《造梦西游》《三国杀》《机甲旋风》这样的氪金网游。不过余暮玩得最久的还是一款叫《奥拉星》的游戏——他在小学二年级就注册了账号。但自从 2015 年《奥拉星》出了超系这种克制一切原系的东西后，余暮就有点不想玩了。六年级时他拥有了自己的第一部手机——父亲淘汰下来给他的 iPhone5。从此余暮便很少玩电脑，转头玩手机游戏去了。《饥荒》《泰拉瑞亚》《部落冲突》这些都玩过，还去玩了当时最火的《王者荣耀》。不过余暮比较菜，三个月过去了还是没走出白银坑，于是就卸载了游戏。上初中后余暮患上了社交恐惧症，更不敢玩这种竞技类网游了，主要都在玩单机以及与单机没啥区别的网游。\n至于学习，余暮除了听课和写老师布置的作业外，就没有花过多余的时间，辅导班根本没去上过。但偏偏从小学五年级开始，余暮就成了班里屹立不倒的第一名。小学考试是没有排名的，但大家都默认余暮是第一了，因为余暮每次数学都考满分。借余暮作业抄的人越来越多，余暮也渐渐地有了一个新外号——学霸。长期处在长辈的夸赞和同学的羡慕中，余暮自己也相信了自己是个“天才”。在小学六年级时余暮报名了西山中学的招生考试，并在 7000 多名考生中夺得了第五名。余暮由此进入了西山中学的创新班，即七年级六班，这个市里最好初中的最好班级。结果在创新班里，余暮的“天才梦”破灭了。他得知班里许多人也和自己一样，从来没有用多余的时间去学习，但照样包揽了几年的第一名……不过余暮在班里依然还能有前十名。对此余暮不思进取，在校思考人生，在家打游戏，如此一直混到八年级上学期的期中考。但就在 2018 年 11 月 16 日这天，余暮心里的某个沉睡的东西突然被唤醒了……\n其实父母在此之前就多次教导余暮“少玩游戏”，老师也多次告诫学生“不要玩游戏”，但余暮对此并不在意。期中考前的一个多月，余暮打过了他玩的网游《不思议迷宫》的一个重要的主线关卡，于是解锁了“天空”这个新模式。这新模式说不上有多好玩，但能获得很多资源，不过特别肝。余暮借新模式迅速变强，打原先的副本已经不需要动脑了，更何况这游戏的副本还可以扫荡。余暮周末上线后就把体力全拿去扫荡，然后再去肝那个无聊的新模式，愣是把一款“RougeLike”游戏玩成了“种田收菜”游戏。当游戏变成了打卡上班，那还有什么乐趣呢？余暮在这游戏里又没朋友，只随便加了个“联盟”，因此已经有了退坑的打算。\n2018 年 11 月 16 日早上讲评期中考试卷，似乎是商量好的一样，所有老师都提了一嘴游戏。第一位老师说“考上好大学的人都是不玩游戏的”，并把发布在某微信公众号上的一篇对今年考上清华的学生的采访念了一遍。第二位老师则说同学“考差都是游戏害的”，说自己小时候家里贫穷，她得一边劳作一边抽空学习，哪有心思想着玩。第三位老师则猛烈地抨击游戏，说游戏毒害青年，毒害社会，说学生们都“中了游戏的毒”……余暮一开始听的时候，仍然只是左耳进右耳出，不放在心上，毕竟早起耳茧了。可越听到后面余暮越触动，渐渐地开始反思自己。那个早晨余暮很沉默，一个念头在他的心底缓缓升起——不如戒了游戏吧，反正也玩腻了。于是余暮拿出一张白纸，在上面写下了自己的第一份禁欲计划，同时也是余暮的禁欲宣言：\n“禁欲计划\n一，不准玩游戏。\n二，改变放松方式。将玩游戏的时间拿去阅读、学竞赛、看纪录片或锻炼。\n记住此刻你所想的。\n2018.11.16”\n其实一款游戏玩不下去了，是可以换一款游戏玩的。可偏偏在这个节点上，余暮被老师说动了……余暮选择了最极端的方法，并由此踏上了禁欲主义的道路。\n不过后来的余暮对于“禁欲主义”这种提法有点意见。\n这“禁欲主义”和中世纪的禁欲主义不同，僧侣相信自己会有个美好的来世，而我不相信有来生了，却还相信长辈口中的虚无缥缈的未来，所以这“禁欲主义”应称为“新禁欲主义”。不过后者说法也不准确，因为“禁欲”这一行为本身的就是为了满足自己更大的欲望——考个好成绩，进而去个好大学，最后走上人生巅峰。叫“禁娱乐”也不大准确，因为“Studies serve for delight”，读书本身就是一种娱乐。那么只能称其为“禁止长辈所说的一切不利于学习的娱乐”了，但这么念又太麻烦，所以干脆还是写成“禁欲主义”吧。\n——《余暮手稿·我为什么活着》\n在第一版禁欲计划诞生后的一个月内，余暮基本完成了戒游戏的任务。但余暮很快发现一个问题，不玩游戏后自己总是会忍不住地刷手机，这样仍然没法提高成绩。于是余暮注销了抖音账号，卸载了哔哩哔哩，并把“不准刷手机”加进了“禁欲清单”里。又过了不到一星期，余暮意识到禁欲计划不仅可以用来提高成绩，还可以用来废除自己的一些陋习，让自己生活更加健康。于是“不准吃零食”也进了“禁欲清单”。禁欲就这样从学习领域扩大到了生活领域。截至第四版禁欲计划出台前，“禁欲清单”里已经有三样东西了。\n“他吻了我，吻了又吻。我离开他怀抱抬起头来一看，只见那位寡妇站在那儿，脸色苍白，神情严肃而惊讶。我只朝她微微一笑，便跑上楼去了。‘下次再解释也行。’我想。但是到了房间里，想起她一时会对看到的情况产生误解，心里便感到一阵痛楚。然而喜悦抹去了一切其他感情。尽管在两小时的暴风雨中，狂风大作，雷声隆隆，电光闪闪，暴雨如注，我并不害怕，并不畏惧。这中间罗切斯特先生三次上门，问我是否平安无事。这无论如何给了我安慰和力量。\n早晨我还没起床，小阿黛勒就跑来告诉我，果园尽头的大七叶树夜里遭了雷击，被劈去了一半。”\n“呼……”余暮长出一口气，合上了《简·爱》，望着书的封面发呆，“真不知道班里的女生为什么喜欢看言情。”\n《简·爱》是初二的推荐阅读书目，语文老师陈媛春要求余暮他们要在这个寒假看完。这种直接以人名为书名的、讲述个人成长经历的西方古典小说就一个特点——难看。像《大卫·科波菲尔》《简·爱》这样的书，讲一个人物，偏要从出生到死亡不分重点地全部详细叙述；由于翻译的缘故，小说总是读着不通顺，更导致阅读速度缓慢。余暮每次都会在翻开《简·爱》的半小时内进入昏昏欲睡的状态。就这样硬啃了十几天，简·爱才刚跟罗切斯特表白。余暮摸了摸剩余的书页，那厚厚的一沓纸总让他心上不安。\n“算了，明天回学校再看吧。”余暮把书塞进书包，转身走向了贴在墙上的“禁欲计划”。\n“应该看了两小时吧。”余暮大概回想了一下开始看书的时间，随即在“看书两小时”这一行的最后一列打了个钩。\n如今这张表格已经被填完了。第一行“看书两小时”除了年三十、年初一、年初二、年初三这四天因为小区太吵看不进书没有打钩以外，其他的十四列都打了钩。第二行“写作业六小时”一直钩到年初二，这天余暮把作业写完了，于是后面就没钩了。第三行“做《培优新方法》（数学或物理）一节”只有三列打了钩。第四行“看纪录片一集”倒是全钩上了。余暮这个寒假把《地球脉动第一季》和《航拍中国第一季》看完了，主要是为了应付下学期的小中考，所以余暮选了这两个和地理生物有关的纪录片。第五行“锻炼三十分钟”则一个钩都没有，与上一行形成了鲜明的对比。虽然余暮看上去非常自律，可他其实是个懒骨头，这个寒假都没出过几次门呢。\n“还有好多地方没打钩啊……果然还是太放纵自己了……”余暮扶了扶眼镜，“奇怪，时间都跑去哪去了，我这个寒假可没玩游戏啊……”\n余暮似乎忘了，他的两个爱好，只有“玩游戏”被抛弃了，“思考人生”的毛病还没有改。每天他都会发上几小时呆。写作业时发呆，写完作业后发呆，看书时发呆，看完书后发呆，吃饭时发呆，吃完饭后发呆，睡觉前发呆，睡觉时……这个时候似乎不能再发呆了吧……\n余暮拿起了放在床头充电的手机，并熟练地点开了 QQ——这是他唯一允许自己的娱乐了。现在已接近十点半，但班级群里依然有人在滔滔不绝地聊天。\n“有谁作业写完了吗？”\n“数学和物理一张卷子都没写。”\n“从放假到现在没打开过书包，你觉得呢？”\n“那就好，大家都不写就没事，要骂也是一起骂。”\n“老师敢骂我我就怼回去。这作业量明显不合理。寒假满打满算也就十八天，布置了五十多张卷子，谁他妈写得完。”\n“就是，还要过年呢。老师根本就没想让我们好好放假。”\n“甩下一堆作业，开学后又只收不讲，做了有屁用。”\n“就是用来折磨我们的，让我们假期不得安宁。我早看透了，不管作业就是最好的做法。”\n“真的有病。自己跑去玩不让我们休息。”\n“傻逼学校出点傻逼老师还挺正常的。”\n“就不该来这个破学校。”\n……\n余暮从头翻到尾，也没有看到江雨清发的消息。“她这个寒假在群里怎么这么安静。明天就开学了，她好像还没在群里说过一句话……”\n余暮退出了群聊，望着空白的主页发呆。除了过年那天他收到了几个群发的祝福外，这个寒假似乎还没有人找他私聊过……只有在群里，他才能感受到活人的存在。说起来，余暮自己这个寒假也没有在群里说过哪怕一句话。\n余暮点开了和江雨清的聊天框，对着空白的界面发呆。他和江雨清的聊天记录被删光了，好像是余暮自己有次不小心删掉的……不过余暮早就记住了他和江雨清之间说过每一句的重要的话。\n“算上这个寒假，她已经半年多没有找我聊天了。”余暮退出 QQ，把手机放在床头，躲进了被窝里，然后摸了摸枕边的一个毛茸茸的兔子玩偶，望向天花板又发起了呆。\n“明天开学应该就能见到她了吧。”余暮关掉灯，闭上眼睛，渐渐地睡去了。\n睡梦里，江雨清正笑脸盈盈地抱着一个兔子玩偶朝自己走来……\n第二章 甜蜜的暗恋 苦难超过了一定的程度，人们就会被某种邪恶的冷漠征服。\n——维克多·雨果《悲惨世界》\n西山中学的校门口有一片挺大的停车场，不过现在已经停满了。今天是初一初二的学生返校，初三、高一、高二在年初六就返校了，至于高三……听说年初三就回来了。\n西山中学的大门呈一个拱形，宽约 25 米，在一众中学里算很有牌面的了。不过西山中学很少把正门打开，一般只开放大门左下角保安室旁的一个狭窄过道——只有那里有安检门和安检仪。此刻拎着大包小包的学生和家长就在那里排起了长长的队。\n余暮过了安检门，拿起自己过了安检仪的东西——一个行李箱、一个大袋子和一个书包，独自一人走在了校道上。母亲林忠梅说自己有事，送余暮到校门口后就走了。和其他一家三口一起进学校的学生相比，余暮一个人孤单的身影显得有些落寞。\n和其他学生不一样，余暮并没有因开学这件事感到苦闷，反而觉得有点兴奋。毕竟他是一个爱学习的好孩子，除了那本《简·爱》没啃完，老师布置的所有作业他都做完了。但还有一个更重要的原因，那就是余暮此刻满脑子都在想的事——\n他马上就能见到江雨清了。\n他和江雨清的故事开始于初一的寒假。当时余暮正在表弟林木家一个人玩《不思议迷宫》，忽然 QQ 收到一条好友申请。《不思议迷宫》虽是网游，但随时能暂停。余暮就这样和一个 ID 叫“寒星”的人成为了好友。“寒星”是从班级群里找到余暮的，备注为“我是江雨清”。\n“你有带政治提纲吗？”\n余暮还没开始研究“寒星”的个人主页，就收到了这条消息。余暮起身去翻书包，找出了七年级上册《道德与法治》的提纲，一页页拍照发给了她。\n“是这个吗？”\n“嗯。”\n“你人真好，我给小夕夕发消息，他半天都没理我。找你三分钟就把问题解决了。”\n“我只是恰好无聊而已……”余暮说的是实话。他有社恐，不敢主动和人聊天，在西山中学待了一学期还没几个认识的人，除了他的舍友、坐他左边的张乔峰和坐他同桌的封欲雪外，他就没什么能聊天的人。寒假他被母亲赶到表弟家去住，他表弟又喜欢《王者荣耀》，和自己玩不来。寒假开始了三天，江雨清还是第一个给余暮发消息的人。\n“嘻嘻，我现在也无聊，陪我聊会天呗。”\n“……”江雨清应该不知道，余暮有轻微的恐女，只要是跟年龄相仿的异性说话，他就会不自觉地紧张害怕。陪女生聊天这种事……怎么想都不太妙啊……\n“你的 QQ 昵称为什么是‘夜雨做成秋’啊？”\n“从纳兰性德的一首词里摘出来的。”\n“你喜欢诗词呀？”\n“算是吧。”\n“最喜欢哪首呀？”\n“元稹的《离思·其四》。”\n“我也挺喜欢诗词的，我最喜欢李清照的《一剪梅》。”\n“哦。”\n余暮回完后，对面沉默了几分钟。\n“喜欢听音乐吗？”\n“嗯。”\n“喜欢哪种音乐呀？”\n“纯音乐。”说着，余暮把自己的网易云里“我喜欢的音乐”发了过去，一个歌单里 700 多首歌，全是纯音乐……\n又出现了几分钟的沉默。\n“听说你学过钢琴？”\n“小学学的，考了八级。”\n“哇，好厉害啊。”\n“几首曲子练一年，猪都会弹了。”\n“你真幽默。”\n“这种东西也就只能在外行面前炫耀炫耀。证书其实啥都没证明，顶多证明你有健全的一双手和没坏的一个脑子。”\n“可我啥乐器都没学过，真羡慕你们。”\n“……”\n余暮发完省略号后，又有几分钟没消息了。\n“你日记写了吗？”\n寒假语文老师要他们每人写五篇日记。真不知道这种要交给老师看的日记能写些什么东西。\n“写了一篇。”\n“能看看么？”\n余暮又翻出日记，拍照发了过去。\n“写得挺好的呀。”\n余暮疑惑，这其实只是篇流水账而已，再加上他那小学生字体，怎么样都不会给人一种“挺好”的印象吧……\n“给你看看我的。”\n江雨清住在县城，放寒假的那天傍晚离校，江雨清坐了两个多小时的车才回到家，天早就黑了。一路上的光影变化引起了她的联想，而这篇日记写的就是那些联想。可以说这日记写得非常“意识流”……反正余暮欣赏不来。不过江雨清的字倒挺清秀的。\n“挺好的。”余暮犹豫着打出了这几个字，心里盘算着会不会太敷衍了。\n再一次陷入沉默。\n“你喜欢看书吗？”\n“嗯。”\n……\n就这样，江雨清一问，余暮一答，间隔着数次沉默，两人聊了一整个下午。\n“下次再聊吧，我要吃饭了。”\n“拜拜。”\n余暮看了眼时间，已经六点半了。他默默地把备注从“江雨清”改成了“雨清小姐姐”，然后用抱枕捂住自己的脸。抱枕之下是一个止不住的笑容。第一次和同龄异性聊天竟然聊了四个多小时。余暮没有遇到什么“花丛”，到目前为止也就遇见了江雨清这朵花而已……但他还是“回顾”了。余暮心中留给那个小学女同学的位置已经换人居住了……\n余暮推开宿舍的门，放下了所有行李，老黑突然叫住了他。\n“作业写了多少？”\n“写完了。”\n“啊？能借下不？”\n余暮从书包里拿出那一大叠试卷，放到了四床上铺，那里老黑正架了个折叠桌补作业。\n西山中学每间宿舍有四个床，每床都有上下两铺。一般来说，如此抠门的学校肯定会让每间宿舍都住满八个人。但余暮所在的创新班有特权，多拿了四间男寝和两间女寝，因此住得并不拥挤。余暮宿舍就四个人，都住在上铺，下铺拿来放杂物。\n宿舍里的四个人都在开学第一天就有了自己的外号。汪非因为长得黑，被叫做“老黑”；李欣星因为名字被叫做“大猩猩”；熊浩凡因为长得粗壮，又姓“熊”，而得名“狗熊”；余暮因为看上去很呆，而被称作“呆呆”。不过只有老黑这个外号常被人叫，余暮印象中除了第一天取外号的时候，就没有人叫过自己“呆呆”。哦，好像有，江雨清曾经叫过自己“呆呆”，不过她更多时间还是称呼自己“阿暮”。\n“每次都是我找话题，你怎么不会主动说话呀？”\n“我……不会聊天……”\n“这样可是追不到女孩子的喔。”\n“……”\n“真是呆呢。怪不得你叫呆呆。”\n“你怎么知道我的外号……”\n“老黑把你们宿舍所有人的外号都告诉我啦。”\n“……”\n“呆呆，你这样不行哦，以后没有女生愿意找你聊天的。”\n可你不还愿意找我聊天嘛。余暮想了想，删掉了这句话，照例发了一串省略号。\n“……”\n余暮爬上箱梯，给自己的一床上铺铺床垫和床单，丢被子和枕头，最后又拿出了一只毛茸茸的兔子玩偶，小心翼翼地在枕头旁放下。\n“卧槽！真全做完了！牛逼啊！”\n“教室门开了吗？”\n“还没回去，不知道。”\n“好吧。”余暮整理完床铺后就径直走出了宿舍。\n余暮班级有 50 个人，而此刻出现教室的不到 20 个。十多天没见面了，大家都聚在一起聊天，少数几个坐在位置上补作业。余暮在第二行第三列的那个位置坐下，默默地看起了书。不过他很快发现，现在这种环境似乎不太适合看《简·爱》这种书……太吵了根本看不进去啊……\n余暮朝左上方望去，江雨清的座位现在还是空的，她同桌王雯菲也没到。但王雯菲的后桌张乔峰已经到了，此刻应该在写作业。\n张乔峰就只和余暮隔了一个过道。开学初两人关系不错，坐得近，偶尔还会互相问问题。但自从初一寒假之后，余暮就越发讨厌张乔峰了。\n余暮可以百分百地肯定张乔峰是自己情敌。其实余暮并不介意别人喜欢江雨清，江雨清又美丽又善良，不喜欢她才奇怪。余暮只是嫉妒张乔峰，嫉妒他离江雨清更近，嫉妒他每节下课都能和江雨清、王雯菲聚在一起聊天。上课的时候张乔峰也总是伺机找江雨清说话，余暮常常往江雨清的方向偷瞄，张乔峰做了什么他都知道。余暮嫉妒张乔峰，嫉妒他有勇气主动和自己喜欢的女孩子讲话。就算让余暮坐在张乔峰同桌姚源升的座位上，余暮也肯定不敢主动找江雨清说话。余暮嫉妒张乔峰，嫉妒他敢和喜欢的女生开玩笑，嫉妒他能让江雨清捂着嘴笑，嫉妒他能把江雨清惹急，嫉妒他下课的时候被江雨清追着满教室跑。余暮嫉妒张乔峰，嫉妒他从不掩饰自己的喜欢。张乔峰在江雨清生日的时候给她送礼物，而余暮连江雨清的生日是什么时候都不知道，尽管她的生日和自己的生日在同一个月份。自那江雨清的生日后，余暮对张乔峰已不仅是嫉妒，而上升到恨了。反正两人又没在 QQ 上聊过天，余暮就把张乔峰拉黑了，在心理上复仇来安慰自己。余暮恨张乔峰，张乔峰身上有一种余暮永远也无法拥有的东西。\n如果余暮有那种东西的话，他就不会苦等江雨清几个月了。\n在那个初一寒假之后，余暮也渐渐地意识到自己喜欢上了江雨清。他总是会不自觉地偷偷看向她，不自觉地留意有关她的一举一动，不自觉地关心着她生活的一切。但余暮没有张乔峰的胆子，他不敢主动和女孩子聊天，江雨清也从来没有在学校里主动找他说话。余暮最期待的事情就是回到家中，只要回到了家里，再等上一两个小时，江雨清也就回到家了。那时她就会主动地找自己聊天，而一边玩游戏、一边等待的余暮就会立刻把游戏关掉陪她说话。\n随着两人交流的次数越来越多，他们之间的关系也越来越亲密。\n江雨清会穿上自己新买的小裙子，拍照发给余暮看。\n“阿暮，你觉得好看吗？”\n“嗯。”\n“嘿嘿，好开心，这是我第一次穿裙子耶。”\n江雨清会偷偷打听余暮的生日，并在余暮生日当天的晚上给余暮发消息，祝他生日快乐，然后把自己床头的一堆玩偶拍给余暮看。\n“阿暮，喜欢哪个？”\n“对了，那个皮卡丘不能选。”\n余暮选了只毛茸茸的兔子。返校后，江雨清就把那个兔子玩偶放到了余暮的座位上——那是江雨清送给余暮的生日礼物。\n江雨清会用“土味情话”来逗余暮，余暮不甘示弱，马上就去网上找了句土味情话来回击。\n“你会弹吉他吗？”\n“不会。”\n“那你怎么能拨动我的心弦啊！”\n“可以啊，阿暮，终于会撩女孩子了。”\n你教的。余暮想了想，把这句话删了，习惯性地又发省略号。\n“……”\n江雨清竟然没生气，还夸了自己，余暮愣是对着手机屏幕傻笑了半个小时。\n每天余暮都和江雨清从早聊到晚。说起来江雨清还对余暮戒游戏有帮助，每天余暮不是在看消息、发消息，就是在等江雨清的消息，游戏都没怎么玩。那时余暮在家睡前最后一件事情就是翻聊天记录，把当天那滑十分钟也滑不到顶的消息再重温一遍。余暮觉得江雨清肯定知道自己的那点小心思，虽然没有正式表白，但也打过像“土味情话”那样的擦边球。江雨清没有明确拒绝，也没有明确接受，但她还愿意找自己聊天，有这点余暮就知足了。\n在初一下学期的最后一个周末，江雨清给余暮发了条他永远也忘不了的消息。\n“阿暮，你真好，从来没有男生这么久了还愿意这么真诚地陪我聊天，真感谢你。”\n然后江雨清又发了个“抱抱”的表情。\n余暮看后嘿嘿直笑。他连江雨清手都没碰过，更别提去抱她了。他确实很真诚，每个周末都守在聊天界面准备秒回。这种真诚从初一寒假结束后就开始了，一直持续到……到初一暑假的那个夜晚。\n余暮的父亲余辉在余暮小学四年级的时候去 Z 市创业了，余暮从那时起便只和母亲林忠梅住在一起。余暮的叛逆期来得早，母亲控制欲又很强，从五年级起余暮就和母亲吵个不停。而余暮父亲创业期间很少见到余暮，很想念自己的儿子，每当闲下来的时候就要打个电话给余暮，一聊就是好几十分钟。小学毕业后，公司渐渐地稳定下来，父亲想念余暮到了极点，而母亲和余暮的矛盾也发展到了极点。父亲想见余暮，母亲嫌余暮天天在家玩手机不听话而不想管余暮，于是两人一拍即合，让余暮暑假去父亲在 Z 市创办的公司里住。父亲说余暮想回来随时可以回来，余暮便答应了。结果到了公司那边，父亲立刻就没收了余暮的通讯工具——父亲送余暮的 iPhone5。据后来余辉所说，这件事是林忠梅交代他做的，目的是不让余暮天天玩手机。但父亲还是给余暮留了个活路，他的办公室隔壁有几台闲置的电脑，他允许余暮去玩。但余暮 QQ 开了设备锁登不上去。余暮说要回家，父亲却说“才刚来没几天”“你的堂兄堂弟明天就来了他们想和你一起玩”“现在很忙再过几天”。就这样靠着不断找理由推脱，父亲终于把余暮留到了西山中学初一开学的前一天。余暮一个暑假都没能和小学同学联系，甚至连家长们自费举办的毕业晚会都没去。回到 L 市后，余暮看着 QQ 里一堆问他去哪了的消息，看着同学在班级群里约着打游戏，看着 QQ 空间里面朋友晒着毕业晚会时拍的照片，余暮的心里不知不觉地就多了一样东西——孤僻。\n初一寒假，父亲公司有点事，抽不出空，母亲就把余暮赶到了表弟家住。初一暑假，父亲又来到 L 市，说要带余暮去公司。余暮有了一次被骗的教训，自然不会同意。结果父母两人在余暮半夜睡着的时候，趁余暮不知情偷偷把他抱到了车的后座。当余暮被颠簸弄醒的时候，发现自己旁边的兔子玩偶不见了，猛地惊醒，才知道自己已经在父亲车上了。他的所有通讯设备——一台 iPhone5、一台第四代 iPad 都被留在了 L 市。余暮 QQ 的设备锁依然没关，因为他没料到父母会使出这种人贩子才用的手段。一个月后，也就是返校的前一天，余暮才回到裕隆花园。余暮在 QQ 上只看到了江雨清发给自己的三条消息：\n“阿暮，我今天去吃牛排了，嘻嘻。”\n一张牛排的图片。\n“阿暮？咋不理我呀？”\n时间是 2018 年 7 月 2 日。\n“抱歉，我被父亲拐去 Z 市了，没法回你消息。”\n时间是 2018 年 8 月 3 日。\n之后江雨清就没再和余暮网上聊天了。\n余暮这人怂，线上都不敢问江雨清为什么不理自己了，线下就更别提了。余暮把这件事告诉了同桌封欲雪，但显然后者也没有恋爱经验，“爱等就等，等不及了就自己去问她”。余暮不敢问，就这样苦苦地等了七个月，还是没等到江雨清找自己。余暮想是不是自己没解释清楚，江雨清是不是误解了自己。但他又什么都不敢说，怕打扰到她，怕她讨厌自己，怕……好吧，余暮也不知道自己究竟在怕什么。\n“江——雨——清——”\n“别捏啦，痛死了。”\n当余暮正在发呆的时候，两个娇小的身影冲进了教室，坐在了教室最左上的两个座位。\n“再不放开的话，我就挠你痒痒喽……”江雨清一边说着一边把手伸向了王雯菲。\n“哼。”后者冷冷地回应了一下，收回了手。\n“发生啥了？”坐在后面补作业的张乔峰适时加入了对话。\n他总是这样，他总是能和她们聊到一块。余暮收回了目光，没再看他们，看了也只会让自己伤心，自己什么时候能有张乔峰那样的勇气去和江雨清解释清楚事情的经过呢……\n“咯噔咯噔”，一阵高跟鞋踩地的声音让那三人停止了打闹，也让整个教室瞬间安静下来。班主任兼语文老师陈媛春抱着一叠白花花的资料走上了讲台。\n“大家先回座位上吧。教科书还没到，这几天上课只能用讲义了。科代表上来发一下。”\n王雯菲和陈夕柏走了上去。\n“其他科的资料应该在办公室里，各科代表等会也去拿一下。”\n“这么多人没到啊……那语文作业晚上再收吧。科代表记住了啊。”\n余暮的初二下学期就这样在一节陈媛春看班的自习课中开始了。早上没排课，下午两点才有课。自习一直持续到 11:50。\n下课铃响了，余暮收起《简·爱》，一个人走在了去食堂的路上。\n西山中学吝啬的形象可谓早已深入 L 市每一位学生的心中。外校学生没有目睹，也有耳闻。虽然每年生活费一万多元，但西山中学的吃住条件都不算好。宿舍只是为了让学生有地方住，不至于冻死，虽然 L 市的冬天你躺大街上一整晚也不一定会冻死；食堂只是为了让学生有东西吃，不至于饿死，虽然很多人会选择去小卖部买面包或者让家长从外面送吃的。食堂一天伙食费四十多元，同样的价格在 L 市可以吃到更多更好吃的东西。不过……生活费是提前交好的，就算你不去食堂吃饭也不会把钱还你。更何况进了西山中学的校门就很难再出去了。余暮他们初二还算好的，和初一一样每周周六中午放假，周天晚自习前回校，一周有一天多的假期。初三、高一、高二两周放一次假，高三更是一个月才能回家一次……\n食堂给每个班都分了几张桌子。不过只有初一上学期刚开学的时候大家会老老实实地坐在自己班级的区域里吃饭。过了一两个月大家就不怎么讲究了，但出于习惯，大家打完饭后还是会往自己班级的那几张桌子走去。这就是一种默契，大家都觉得同班同学会坐那里，大家也都觉得同班同学会来这里找自己，这样吃饭的时候就可以聚在一起聊天了。\n此时八年级六班的那张长桌子的一边已经坐了四五个人，余暮知道他们又在聊游戏，于是坐到了长桌的另一头。但他还是时不时能听见他们说出的“上王者”“带飞”这样的话。有那么一瞬间，余暮似乎听到了“江雨清”三个字。不过余暮不确定是不是他们说的，也可能是自己太想她了，以致出现了幻觉。\n下午的最后一节课是体育课。余暮初一的体育老师很水，每节课集体跑两圈后就自由活动了。初二换了体育老师，是保卫科主任，很有责任心，跑完三圈后还要做体能训练，一直练到下课为止。不过考虑到今天刚开学，体育老师放过了他们，留了二十分钟给他们自由活动。\n如往常一样，余暮独自一个人在操场上一边散步一边发呆。他还在想着江雨清的事，直到……直到有个人在他后面拍了拍他的肩膀。\n“跟你说个事。”看见身后的人是张乔峰，余暮露出了一丝不悦。\n“什么事？”\n“有关江雨清的事。”\n“关我屁事。”余暮没好气地扭回头，继续往前走。\n“别装了。我知道你喜欢他。”\n余暮停住了，他记得自己只告诉过封欲雪这件事啊……封欲雪这个人看上去那么老实，应该不会到处乱说吧……\n“时不时地就要往她那边看，对我的态度也越来越坏，你真以为我猜不到为什么啊。”\n“我不关心她的事。”\n“不，这件事你肯定关心。”张乔峰顿了顿，调整了一下语气，“江雨清有男朋友了。”\n“你怎么知道？”\n“猜的。”\n“别乱传谣。”\n“不是谣言，绝对真实。我花了一个寒假的时间来推理。\n我寒假的时候在 QQ 上和江雨清表白。她没同意我也没拒绝我，她就像没看到那条消息一样什么回应都没有，继续和我如往常般聊天。当时我就感觉不对劲，于是联想到了班里传的绯闻……”\n“什么绯闻？”\n“你真是 2G 网啊。整天只和你那个呆同桌说话，两个呆子能搞到什么外界消息。”张乔峰停下想了想，“这事怎么说呢……去年暑假，班里的几个人建了个游戏开黑群，她是第一批进群的，群里到现在都还只有她一个女生。她整天就和一帮男的一起玩《王者荣耀》和《绝地求生》。我打听到有这个群之后，为了能获得更多接触江雨清的机会，也去玩了前一款游戏，然后找人把我拉了进去。那整个群都是围着江雨清转的。她不在群里的时候，群里一片冷清，开黑都凑不齐一队；她一出现，潜水的全都冒出来。我发现不对劲之后，就根据班级的绯闻和我在群里的观察，锁定了几个目标，一一和他们套话\n我首先去和老黑联系。问他知不知道班里的绯闻，他说知道。我说一个女生怎么会同时和那么多男生有绯闻，感觉她不简单。然后他就说他感觉江雨清在吊着自己。之后我们互相交换了聊天记录，发现她和我们两个人的聊天都很暧昧。\n然后我又去找了林清远。他后来也给我发了聊天记录。他处境和我差不多，他比我更早表白，但江雨清也是不拒绝不接受，关系不清不楚的。\n“就这样我手上的聊天记录越来越多，证据越来越充足。我试着向其他人证明江雨清是个婊子，让他们别被骗了。和所有人的对话都很顺利，只在一个人那边遇到了障碍。”张乔峰故作神秘地停了停，“是陈夕柏。”\n“我把自己的聊天记录发给他，结果他说：‘江雨清就这性格，她没同意你是不想谈恋爱，没拒绝你是不想失去你这个朋友，别把人想太坏。’然后我又把别人的聊天记录发给他，说：‘你不觉得这很婊吗？’结果他回我：‘江雨清和男生聊得来，是她人缘好；和男生比较亲密，是她性格好。你怎么就会说人坏话？’我发了句‘你怎么这么了解她’，你猜他怎么讲的？‘反正比你懂’。”张乔峰笑了笑，“不是舔狗，就是男友。不过我猜后者可能性更大一点。”\n“我不信，你聊天记录发给我看一看。”\n“行。我们 12 位受害者建了个群，叫‘江雨清后援会’，资料都在群文件里。我到时候拉你进去。”张乔峰说，“对了，你把我拉黑了。我本来想寒假就跟你说这事，看那婊子骗人心里不舒服。结果你他妈竟然敢拉黑我……\n“我们 12 个人都已经决定和江雨清少联系了，劝你也少和她讲话。不过有几个人想靠江雨清上分，所以我们决定暂时不要在全班人面前公开这件事。你知不知道可能还在被江雨清骗感情的人？算了看你这么呆你应该啥也不懂。”\n“我看你今天还不停凑上去和前面那俩人聊天。”余暮反问张乔峰。\n“那个啊……我准备给江雨清一个恶作剧……敢骗我感情……我得让她受点惩罚……”\n余暮至今也不知道张乔峰准备的“恶作剧”到底是指什么。只知道初二下学期第一次月考出成绩的时候，一堆人凑到教室前门旁边的一块白板前看刚贴上去的成绩单。余暮向来不喜欢凑热闹，就坐在自己的位置上看他们。结果余暮的余光瞥到了靠在教室外的铁护栏上独自哭泣的江雨清。余暮本想过去安慰她。其实余暮并不讨厌她，也不觉得她是婊子，余暮从没指望自己能占有她，只要能和她说说话自己就满足了。江雨清毕竟是曾经给自己带来过几个月的幸福的女人，余暮不忍心看她哭，但余暮也没胆子过去找她，于是就坐在座位上盯着她看……结果很快余暮就连看都看不了，因为一群人围到余暮旁边把他的视线挡住了。\n“第一？六啊！”\n“寒假回去又偷偷学习了是吧！”\n……\n余暮一开始以为江雨清是没考好才哭的。但自从那一天之后，张乔峰就没有凑到前面去和江雨清讲话了。可能是恶作剧已经成功不需要再伪装了吧。\n张乔峰说得没错，不是舔狗就是男友。陈夕柏是男友，两人在初一上学期就确定了关系，但一直没什么动静，到初三才正式公开恋爱；余暮是舔狗，他一直觉得江雨清不坏，她只是太善良，对谁都好而已。但余暮又和一般的舔狗不一样。别的舔狗都是主动舔，大胆地舔；余暮却是被动舔，小心地舔。主人不理自己了，他连摇个尾巴表示抗议都不敢，就缩着脑袋等主人来找自己。\n有些东西张乔峰永远也不会明白。张乔峰可以换一个女生追，可以轻易地忘掉江雨清，但余暮不能。对余暮来说，江雨清就是全部，就是唯一。她是唯一一个主动找自己聊天的女孩，唯一一个不嫌弃自己的孤僻的女孩，唯一一个知道自己生日还送了自己生日礼物的女孩……所有有关她的记忆都是美好的。她让自己阴郁的青春出现了色彩，让自己那未知的明天变得值得期待。\n别人都说暗恋是苦涩的，可余暮却觉得那段日子很甜蜜，回想起来的时候，心里都会罩上一层粉红。\n不过在看了“江雨清后援会”里的资料后，余暮还是做出了一个决定——忘掉江雨清。他把那个兔子玩偶放在了衣柜的角落里，他的“禁欲清单”从此又多一条——\n不准想女人。\n第三章 生日祝福 幸福的家庭都是相似的，不幸的家庭各有各的不幸。\n——列夫·托尔斯泰《安娜·卡列尼娜》\n不知不觉间，江雨清送来兔子玩偶已有将近一年了。余暮自戒游戏成功后，便仿佛戒东西戒上瘾了，什么东西都想要戒，连买新衣服、洗热水澡、使用交通工具、使用手机都被他加进了“禁欲清单”里。所以，面对那个即将到来的生日，余暮是非常不想过的。2019 年 4 月 28 日上学前，当母亲对余暮说去学校邀同学来家里过生日的时候，余暮直接拒绝了。\n“我不想过生日，烦人。”\n“你怎么可以这样！同学都那么关心你，你父亲还说特意从 Z 市赶回来给你送生日礼物呢！大家对你这么好，你却一点都不领情？你这样以后怎么可以交到朋友？”\n余暮蹲在门口穿鞋，听到这话时露出了一抹自嘲般的微笑。林忠梅恐怕还不知道自己是怎么变得孤僻的吧。\n余暮永远忘不了小学毕业后的那个暑假。他被父亲囚禁在公司里，每天要和一群不认识的人打招呼，和一群陌生人一起吃饭。他是老板的儿子，员工对他都毕恭毕敬，一口一个“小余总”。他不喜欢这种感觉。他只想和小学同学一起打游戏，和他们一起出去玩。公司里一位员工带了个熊孩子小学生来公司，一直要求余暮陪他玩游戏，余暮拒绝后他就会把余暮的作业抢走来威胁；余暮有一位堂兄一位堂弟，到了公司后两人无所事事，天天拉着余暮出去做坏事；公司还有一个女人跟父亲走得很近，几乎在哪都能看到他们在一起。晚上他们也要睡同一个房间，父亲就让余暮去另一个房间住。有一天半夜，余暮出房间去上厕所，走在过道上，看到父亲房间的房门底下透出了光，仔细听还能听到里面传来的床板晃动的声音。第二天早晨余暮趁父亲去公司上班，溜进了他的房间，在橱柜的上方找到了一瓶撕了标签的药，药片上有品牌的 logo。余暮记了下来，用公司的电脑搜了一下——那是一家生产避孕药的公司。\n“你没资格替我做决定，更没资格评价我。”余暮说完重重地关上了门。\n林忠梅把门推开，对着余暮大喊起来：“什么叫我没资格？我生你养你十多年，比谁都了解你！我怎么没资格？你只会白吃白喝，衣来伸手、饭来张口，不仅不懂得感恩，还反而来教育我……我都是为你好！你这个不知回报的白眼狼，真后悔生出你这样的儿子！”\n余暮没理她，自顾自地往前走。他累了，他现在不想吵架。\n余暮今年寒假才刚和父母吵完架。本来这个初二寒假父母还打算带余暮去 Z 市，余暮只能一个人和两个人对峙。从开始的谈话，发展到后来的争吵，其实主要还是林忠梅的功劳。她向来不讲道理，辩论不过余暮就开始扯辈分，一副“我是长辈阅历比你丰富所以你要听我的”“我是你妈我都是为你好所以你要听我的”的嘴脸。好在余暮父亲在，林忠梅还算收敛，没有像今天这样对余暮进行人身攻击。不然这件事就得发展到打架的程度了。最终事情的解决还是靠了余辉。父亲多少讲点道理，对自己去年绑架余暮的事情道了歉，并且尊重了余暮自己的选择，顺便还帮忙摆平了林忠梅，让余暮留在了 L 市的裕隆花园里。\n那天他们吵了一个下午。最开始是余暮一个人对付两个人，后来是林忠梅一个人对付两个人。余暮从来没有这么累过。如果是以前林忠梅像现在这样骂他“白眼狼”，余暮肯定会忍不住回击：“你不想生我，我还不想出生呢，倒了八辈子霉才会摊上你这样的母亲。”林忠梅被回击后有两种可能，一种可能是哭，表现出很委屈的样子；另一种可能是更加愤怒，拿东西来打余暮。开始是衣架，然后是拖把，接着是剪刀，最后是菜刀。意识到自己有生命危险的时候，余暮倒是很识趣地溜到门外了。林忠梅好面子，不可能拿着菜刀追出来。等林忠梅平静下来后，余暮再悄悄回到自己房间，越想越气，但又不敢再说话了。\n可今天余暮一反常态，没有回击，而是忍着一肚子气走出了小区。\n转眼到了 2019 年 5 月 1 日。下午放假，余暮老远就看到了林忠梅的车。他没往那边走，而是自己悄悄地往另一边走回了家。快天黑的时候终于走到了裕隆花园，却发现母亲的车早就等候在小区门口了。\n“跑哪里去了？大家都在等你过生日呢！”\n“我不过生日。”\n“就算不过也要去见一下你的那些朋友！他们一放学就跑来参加你的聚会了！”\n余暮无奈，还是上了车。\n聚会地点在西山中学旁边的一家饭店。走上二楼的一间包厢，发现里面已经坐满了人。包厢里有两张桌子，大人坐一桌，小孩坐一桌。人应该都是母亲邀的，有裕隆花园的邻居，有余暮的表弟，还有余暮的同学，都是住在市区的。菜已经上得差不多了，但寿星没到，大家都没有开吃，而是一起打游戏。余暮悄悄找了个位置坐下，没有人发现余暮。后来是林忠梅大声喊了一声“寿星来了”，大家才一个接一个地给余暮送来祝福，然后继续低头玩游戏。余暮觉得就算自己不来，大家一样能玩得很开心，甚至更尽兴。自己才是多余的人。\n很快饭吃完了，大家又开始玩起了游戏。《王者荣耀》的“五五开黑节”要到了，所有商城直售的英雄都可以免费玩，所有人都舍不得浪费这点宝贵时间。母亲拿出余暮的 iPhone5，叫他和朋友一起玩。余暮连机都没开，就把手机收进了口袋。\n你以前天天叫我别玩游戏，托你的福，我把游戏戒了，傻逼。\n余暮发了会呆，随后悄悄溜出了饭店。表弟林木在这没什么认识的人，独自坐在包厢门口看小说，知道余暮要走，也跟着出去了。\n此时天已经黑了。两人出了饭店，往左拐，然后穿过天桥，来到一处阴暗的街道。这里没有别的行人，只有余暮和林木。夜里很静，静到有一丝丝的恐怖。远处加油站里传来犬吠，树叶落在地上，被踩了，发出痛苦的呻吟。又穿过了几个红绿灯，两人来到校门口。拱形校门上“西山中学”四个大字正在黑夜中发出耀眼的红光。\n在这片红与黑中，借着保安室里散发出的明亮的白光，隐约可以看见前方有一个半径 20 米的圆形广场，叫孔子广场；孔子广场的中央立了一尊 5 米多高的雕像，叫孔子雕像。西山中学是西学集团投资建设的一所私立中学，而孔子是私学的始作俑者，可能是因为欠了孔子专利费而心生愧疚吧，西学集团旗下的每所中学都建了一个孔子雕像。\n12 年前，余暮所站立的地方还是一座水泥厂。西学集团想把自己的教育帝国扩张到 L 市，而那时 L 市又刚好在搞绿色发展，要转移一批污染大的工厂。于是集团的老板相中了这块地，投资把这里改建成了一所中学。因为西边靠山，所以中学被命名为“西山中学”。西山中学设有初中部和高中部，三年多前，即 2015 年才正式开始招生。第一学期期末的区统考，西山中学初中部的成绩就远超区里其他的老牌中学。虽然还没市统考过，但“全市最好初中”的名声已经传出去了；而 2018 年，西山中学第一届初中毕业生的中考成绩更是坐实了这个称号——全市前十西山中学占了 5 个。余暮是 2017 年入校的，是初中部的第三届学生。当 2018 年中考成绩出来之后，余暮班里的家长相当眼红。在家委会的强烈要求之下，校方把带第一届创新班的老师都调来教余暮他们了。余暮初二开学的第一天，只认识两个老师——地理老师和生物老师。只有这两个老师没换。\n西山中学能取得如此令人羡慕的成绩，自然和西学集团那一套相当先进的教育理念脱不开关系。在衡水模式还未备受瞩目的时候，西学集团就在 F 省推行起来了。西山中学初中部自然也是 L 市第一个实行衡水模式的初中。\n余暮记得自己刚上初一那会，国庆节前两天西山中学公布了初一的放假安排，一位天真的同学在课上问教道德与法治的老师，为什么西山中学不遵守国家的法律放满 7 天。而我们的政治老师给出了一个更天真的回答：“国家法律管不到西山中学。”\n一针见血啊……\n西山中学的成功就在于这是一片无法之地。在义务教育阶段举办招生考试，假期收费补课还强迫学生在自愿申请书上签名……排得满满当当的课表，书包都塞不下的假期作业，短暂的休息时间，不足的睡眠，打架的双眼……这些都是其他中学不具备的优势。也无怪于西学集团要把支持奴隶制的大圣人孔子建在校园里了，这哪是教育学生，这是在培养奴隶吧……\n不过，到了高中，因过了义务教育阶段，其他中学也不遵守国家法律了，大家一起违法，一起内卷。西山中学因此丧失了唯一的优势，高中部的名声至今还没打响……\n余暮小学六年级的时候，也是这样一个晚上，父亲带他来西山中学参观。他当时只感觉这所学校比自己的小学大，有一栋行政楼，一栋艺术楼，一栋图书馆，四栋教学楼，两栋高中两栋初中，四栋宿舍楼，两栋男生两栋女生。还有一个 400 米的大操场，和一个上下两层的大食堂。\n当时余暮站在西山中学的大操场上，对着天空暗自发誓——我将来一定要成为这里的主角。\n那时，余暮是小学班级里无可置疑的第一名，父母对他的期望也很高：考上 L 市最好的初中班级——西山中学的创新班，再考上 L 市最好的高中班级——L 市第一中学的实验班，最后考到 F 省最好的大学——X 大。余暮自己也认同了这样的人生目标。余暮的人生就是一个被卷子决定的人生——一张卷子决定他的初中生活，一张卷子决定他的高中生活，最后再来一张卷子决定他往后几十年的生活。父母对余暮的人生规划到高考就结束了，余暮对自己高考后的人生走向，也是一片空白。自己究竟想成为什么样的人？小时候他的答案是科学家，后来变成了作家。可现在呢？现在他会怎么回答这个问题？自己真的想过自己的未来吗？他试着询问自己，却发现自己的内心和此刻的校园一样一片漆黑。\n当余暮站在校门口发呆的时候，一旁自拍的表弟突然接到了林忠梅的电话。林木开了免提，余暮可以清楚地听到每一个字：\n“你们跑哪去了？大家都在焦急地等待寿星吃蛋糕呢！你们快回来！”\n两人飞快地往回跑。当余暮喘着气推开包厢门的时候，饭桌上已经吃完的饭菜还没收，小孩那桌依然在玩《王者荣耀》，大人那桌依然在边喝酒边开玩笑。哪有蛋糕的影子？哪有焦急等待的人？余暮发现自己被骗了，呆了一会，然后拔腿就跑。\n余暮刚出饭店大门，就听到林忠梅在身后喊着自己的名字。余暮终究还是不忍心，又掉头走了回去。在通往饭店二楼的楼梯上，母亲拿出了一个盒子。\n“父亲刚赶过来，这是他送你的生日礼物。最新款的华为手机。”\n盒子上写的是“HUAWEI nova 4e”，2019 年 3 月 21 日才正式发售，在当时确实算是最新的一批华为手机了。但最新不意味着最好，nova 4e 定位是低端机，母亲手上那台 6G+128G 的机型首发售价才 2299 元。但作为低端机，nova 4e 却没有低端机该有的性价比。搭载的是 Kirin710 芯片，和同价位的其他手机相比，性能低了不止一个档次。当时华为正被美国制裁，靠着爱国情怀，就这样坑了不少不懂手机的小白的钱。\n余暮没有接过盒子，他绕过林忠梅走上了二楼。他在包厢里找了个角落坐下。林忠梅进来，看到余暮独自坐在角落发呆，便跑过去对那些围在一起打《王者荣耀》的人进行了一通骚扰。\n“哎呀，别围在这里，去陪寿星啊。”\n“游戏先暂停吧，寿星还在等着呢。”\n……\n“唉！你输了！快快快快关了去跟寿星玩！”\n陈夕柏默默地站了起来，走向余暮。他没输，只是他操作的角色死了而已，他的队友还在战斗，而且再过二十几秒他的角色就复活了。他没输，但却败给了林忠梅的唠叨。队友就是在周围一起开黑的人，他们应该不会举报自己挂机，他们只会感谢他，感谢他让林忠梅终于安静下来。他打开了一款象棋软件，搬了个椅子坐到角落和余暮下棋。\n十分钟后，余暮赢了。陈夕柏把手机交给余暮，自己跑去看别人玩了。余暮开了盘人机，是默认的“入门”难度。经过一番激战，余暮最终获胜了。他把手机还给陈夕柏。余暮其实并不想打扰他们，他只想一个人静一静。\n蛋糕上来的时候已经接近九点了。回家后，余暮在那台 nova 4e 上下载了一款同样的象棋软件，同样是默认的“入门”难度，却怎么都赢不了。正在与人机较量的时候，余暮突然收到了两条 QQ 消息。\n“祝你生日快乐！”\n“嘻嘻，我应该是第一个吧？”\n时间是 2019 年 5 月 2 日 00:00。时隔 303 天，江雨清终于回了他的消息。余暮思考了一下，只回了两个字，这就是他们之间在 QQ 上说过的最后一句话：\n“谢谢。”\n余暮回到那盘残局，毫无疑问又输了。然而余暮却笑了起来。这是他十四年以来，记忆中唯一一条真心的生日祝福，却来自一个自己想要忘记的人。\n2019 年 5 月 2 日，余暮的十四岁生日。这天他没有再收到任何生日祝福。\n她不仅是第一个，还是最后一个。\n第四章 新桃花源 带来欢愉的性行为就是反抗。欲望是思想罪。\n——乔治·奥威尔《一九八四》\n西山中学里的生活，实在没什么可写的。外人常调侃这里是 L 市第一监狱，因为这里的生活实在无聊透顶。军事化的管理，机械式的学习，监狱般的生活，学生就像机器一样，变成了严格的规章制度的奴隶。\n初中部 6:00 吹哨起床，6:20 在操场集合跑操，3 圈跑完去食堂二楼吃早饭，7:00 上早读，7:30 早读下课，每个课间有 10 分钟，7:40 上第一节课，8:35 上第二节课，9:30 初一初二到操场做广播体操，初三自习，10:00 上第三节课，10:55 上第四节课，11:40 初一去吃午饭，初一初二自习，11:50 初二去吃午饭，初三继续自习，12:00 初三去吃午饭，12:40 熄灯午休，13:40 吹哨起床，14:00 上第五节课，14:55 上第六节课，15:50 上第七节课，16:45 上第八节课，17:30 开始自由活动，不过初三要应付体育中考所以还得下操场跑 3 圈。17:30 一直到 18:15 这段时间食堂都是有饭的。18:30 上晚自习第一节课，19:55 上晚自习第二节课，21:10 初一初二下课回寝，21:20 初三上晚自习第三节课，21:40 初三下课回寝，22:00 初中宿舍楼熄灯。\n高中部作息大致相同，就起床和睡觉的时间有点差别。6:20 吹哨起床，高考不考体育，所以免受跑操苦刑，直接去吃早饭，地点在食堂一楼。7:00 上早读，后面时间安排一致，11:40 高一去吃午饭，11:50 高二去吃午饭，12:00 高三去吃午饭。下午作息与初中部相同。18:30 上晚一，19:55 上晚二，21:20 上晚三，22:30 高一高二回寝，22:40 高三回寝，23:00 高中宿舍楼熄灯。\n在西山中学，你只要把今天复制下来，粘贴一下，就知道明天会怎么样。这里不会有新闻，这里发生的都叫故事。\n余暮就像一个钟表一样不停地运作，整天忙碌不停。他的老师说过：“中学生要把自己每天的时间安排精确到每一秒。”余暮下课不和同学打闹，上课认真听讲，自习安静地独立完成作业，甚至最近很久没有往江雨清那里偷瞄了。不过发呆这个毛病仍然没改。\n余暮还在西山中学养了两个坏习惯。\n第一个是不洗澡。其实也不是不洗，每个周末回去还是会洗的。一开始不洗澡是为了省钱。学校浴室用热水要扣卡里的水费。2017 年刚入校的时候每个人卡里有 100 元水费，余暮用到 2018 年底就用光了。余暮又懒得去排队充水费，就干脆好几周没在学校洗过澡了。结果余暮发现这样挺省时间，而且自己平时除了跑操和体育课外不怎么运动，身上并不臭，之后干脆就没在学校洗过澡了。2019 年 3 月的一个早晨，余暮发现自己遗精了，不得不去冲了个冷水澡。然后余暮想到洗冷水澡其实是一种磨练意志的手段，就把洗热水澡加进了“禁欲清单”里。不到万不得已，不在学校洗澡；到了万不得已的时候，比如遗精或运动量太大全身出汗，就洗冷水澡。\n第二个是不吃晚饭。17:30，初中三个年段同时下课，食堂二楼挤满了人，余暮就选择先自习一会再去吃饭。结果 2019 年 4 月的一个傍晚他跟一道数学几何题杠上了，一看时间已经过了饭点，就索性不吃了。结果余暮发现自己晚自习的时候不饿。于是为了省出那傍晚宝贵的自习时间，之后余暮就都不去吃晚饭了。\n2019 年 3 月 13 日，中考百日誓师，初二要参加小中考，也一起参与了誓师。\n2019 年 5 月 28 日，小中考质检，余暮地理 99，生物 98，拿了区第一。\n2019 年 6 月 23 日，小中考，余暮考试时突然肚子痛，发挥不好，没拿到双百，地理 98，生物 99。\n2019 年 6 月 26 日，初二期末区统考。余暮拿到了区第二，第一名是李欣星，比余暮高 1.5 分。\n期末考出成绩的时候，余暮正在用客厅的电视看纪录片《大国崛起》。陈媛春激动地和林忠梅打电话：“余暮每一科都不错，数学更是拔尖，这次试卷这么难，班级平均分才 100 出头，余暮都能考 147；余暮就是语文差了点，才 125，刚过平均分。要是余暮中考语文能多考十分，妥妥地拿个中考状元。余暮主要是作文不行，才 48，阅读也有点缺陷，东扣一点西扣一点。暑假叫余暮多看点书，多练练笔，提高一下阅读和写作的能力。”\n正好林忠梅也想赶余暮走，余暮总是在家霸占她的电视看无聊的纪录片，害得她看不了电视剧了；余暮自己也想走，林忠梅看电视剧时声音开得特别大，他在卧室里都能听见那些狗血台词，而且林忠梅还总是进书房骚扰他，并时不时要请一些人到家里开 party。更何况两人在家，互看不顺眼，稍有摩擦就要吵架，若林忠梅又激动起来，吵架就变成打架了。所以当余暮提出自己去书吧看书时，林忠梅马上就答应了。\n接下来就是选书的问题。余暮书架上的书并不多，只有从小学到初中的教材推荐阅读书目。吸取了上个寒假啃《简·爱》的悲惨经历，余暮决定不根据课本的推荐来选书了。他多少有点从众心理，觉得大家喜欢的书才是好书，于是去“豆瓣读书 Top250”上挑书。\n第一名《红楼梦》。余暮小时候去小姨林忠兰家玩的时候在书柜里看到过这本书，别人说这是中国古典小说的巅峰之作，余暮好奇就翻了翻，那种文白夹杂的语言看得他半懂不懂。想来这本书不会比《简·爱》好啃，一个暑假都不一定能看完。余暮放弃了。\n第二名《活着》。现实主义文学，似乎很沉重，可以试一试。\n第三名《1984》。政治寓言小说，以前没看过类似的，试一试。\n第四名《百年孤独》。魔幻现实主义文学，听起来挺有趣的，试一试。\n第五名《三体》。科幻小说，网友说很好看，试一试。\n第六名《哈利·波特》。小时候看过一点，不对胃，放弃。\n……\n就这样余暮选了十套书，分别是《活着》《1984》《百年孤独》《三体》《飘》《白夜行》《小王子》《呐喊》《明朝那些事儿》《围城》。余暮把这些书放在购物车里，网购比较便宜，加起来就 300 多元。不过林忠梅还是心疼钱。\n“买了之后要好好看，不然就是浪费我的钱。为了供你上学，我每天起早贪黑地上班，很累的。”\n哪有起早贪黑，我看你天天宅在家里，要么看电视，刷手机，要么就发微信，打电话，找人泡茶。骗人都不打个草稿。余暮点了点头，没有说话。\n两年多后，余暮会知道，这几年花在自己身上的钱，包括学费、生活费这些，以及母亲买房买车的钱，其实都是父亲出的。\n这几天书没到，余暮背着书包自己去书吧写作业。书吧的书柜上也有书，不过大多是社科著作、鸡汤读物和儿童文学。余暮不想看那些。回家的时候，余暮去附近的一家商店里买了个白底黑条纹的、有拉链的手提袋，准备用来装书。\n离裕隆花园最近的一个书吧在一中南门边上，叫“趣读吧”，是一个公益书吧，不用收钱。不过进门的时候得扫个二维码。余暮于是不得不把那台 nova 4e 带在身上。书吧柜台有一位工作人员，每天有不同的人轮班，余暮猜测他们是来维护书吧秩序的。有时候有小孩子在玩闹，书吧很吵，工作人员就会马上出来制止。\n林忠梅在 2019 年初的时候在一中东门旁买了间店铺卖茶叶，有时候也会来书吧找余暮。不过自从林忠梅在书吧大声喧哗被工作人员训斥之后，就收敛很多了，也很少再来骚扰余暮了。\n书吧早上 8:00 开门，晚上 21:30 关门，余暮就每天 7:30 从家出发步行 35 分钟左右来到书吧抢座位，中午和傍晚去同街道的一家店里吃清汤粉，吃完后再赶回书吧。有时候林忠梅有做饭，就去她的茶叶店里解决午餐和晚餐。晚上关门后余暮才会离开书吧，再步行 35 分钟回家。后来的余暮是这样评价这段日子的：\n这就是在高楼林立的城市中的隐居生活，一段美妙的虚度的岁月。\n——《余暮手稿·桂花香》\n初二暑假只有 24 天，余暮啃完了 7 套书。只有《飘》《呐喊》《明朝那些事儿》没啃完。那段时间余暮也有写文章，有时是书评，有时是散文。好吧，余暮那时写的应该不算散文。散文形散神不散，余暮写的形散神更散，应该叫做流水账。不过余暮写得很快乐，他喜欢这种“思想宣泄”的感觉。\n因为沉迷看书和写作，余暮这个暑假除了开学那几天没书看的时候写了点作业，其他时间练习册和试卷碰都没碰。不过陈媛春并不生气：“你其他科都挺好，这些作业本来就是用来巩固的，不写也没什么关系，只要语文能提上来就行。”\n余暮上了初三后，越发沉迷看书和写作了。余暮在初二下学期发奋图强的时候，不仅把老师讲的东西学完了，还把初三要讲的东西给自学完了。余暮所在的是创新班，进度快，剩下要自学的东西本来也没多少。余暮初三刚开学的时候试着听了几节课，发现都是自己自学过的，没什么收获，而他自己又有更想做的事情。于是除了化学课听一听，其他课他都不听了，有布置作业的话就做作业，没布置作业就自己看书写作。老师看到了也没说什么，余暮作业完成的都不错，而且他确实需要补语文。\n在啃完那剩余的三本书后，余暮又看了一些书，印象里只有《巴黎圣母院》《月亮与六便士》《人间失格》《牧羊少年奇幻之旅》这几本了。\n2019 年 7 月 24 日，大课间，余暮坐在座位上看书，封欲雪在埋头写作业，抬头瞄了余暮一眼，突然来了句：“原来你也看《飘》？”封欲雪算是余暮在班里最熟的人了，但两人都内向，平时除了问问题外很少交流。哪知封欲雪小时候看过这么多书，就跟余暮叽叽喳喳地交流了起来。聊得兴起，余暮拿出了自己暑假写的《评〈围城〉》给封欲雪看。没想到封欲雪对《围城》的看法和余暮差不多。两人相见恨晚。\n自那天之后，两人便总是走在一起。无论是中午吃饭的时候，还是傍晚跑步的时候。两人有时是讨论一本书，有时是互相交换作文看。可惜封欲雪住在县城，不然余暮周末还想拉他一起去书吧看书呢。\n不过余暮读了那么多书，写了那么多文章，语文成绩却没怎么提高。陈媛春教语文教了十多年，竟然连这样一个简单的道理都不明白：中学语文其实质是命题人意图学加上模板套用学。做阅读题要猜对命题人的意图，然后按照模板答题；作文也要先猜命题人的意图，然后按照模板写文章。很多人批评应试作文写八股，但他们却没意识到阅读题也写八股。余暮很反感这种做法。他不喜欢猜命题人的意图，也不喜欢套模板。他觉得写作和阅读都不应该以得分为目的。这一点封欲雪也相当认同。余暮本人是这样说的：\n窃以为想写好文章，首先得对文字虔诚，而不是把它当作一种赚分的工具。\n——《余暮手稿·诗文与人品》\n暑假刚结束的时候，九年级六班级搞了个学生最讨厌的开学考。那时余暮还有班级第二名，只比第一名姚源升低了 2 分。不过自那以后，余暮的成绩就不断下滑。到了 2019 年 11 月 21 日期中考的时候，余暮已经排到班级第 14 名了。\n余暮在暑假到期中考这段时间看了很多书，也写了很多文章。有散文，也有小说。那时余暮平均每天产出 1000 字，不过基本上都是些垃圾话，很多时候写文章纯粹就是为了保持一种手感，写出来的东西根本不能看。后来余暮在整理自己手稿的时候说：“我那时受着小资产阶级情调和禁欲主义的影响，文章处处透露着文艺青年的伤感、小资产阶级的迷茫和禁欲主义者特有的中二自大。”不过他还是说有几篇文章勉强能看，按写作时间排下来分别是小说《水性》、小说《桂花香》、散文《诗文与人品》、演讲稿《以书为伴》。\n《余暮手稿·水性》\n我迷恋上了雨。\n在我的印象里，似乎所有和雨有关的记忆都是美好的：从小时候第一次听见那首令自己久久不能忘怀的《Kiss The Rain》，到长大后惊艳于那些和雨有关的诗词，再到如今被水分子的巧妙构造所折服，我仿佛一辈子都和雨有着不解之缘——只要有雨就欣喜万分，激动无比。\n然而我喜爱雨，却也不仅仅是“雨”，应该说一切的“水”我都喜欢。浩瀚的大海，壮阔的湖泊，我喜欢；奔腾的河水，清澈的小溪，我喜欢；甚至清晨的雾气，傍晚的彩云，我也喜欢。我喜欢水，并不是因为它们对生命多么重要，不是因为没有它们，就没有面前的高楼和纸笔，没有一切的繁荣与文明——我喜爱水，是因为喜欢水性。水最温柔，最美丽，最淡雅，最纯洁。水有广阔的胸怀，可以包容一切，溶解万物；水也有无边的神力，可以浮船，可以穿石，连那庞大的泰坦尼克号，也是被水为之而成的冰所击沉。古时的道家提出要以水为师，观水悟道。他们说，“上善若水”——最好的品格就是像水一样。在《三体》中，外星文明派来的探测器也被人们称作“水滴”。他们说，水滴形状简洁，有着精妙绝伦的外形，曲面上的每一个点都恰到好处，是梦之海中跃出的镜面海豚，是宇宙间所有爱的结晶。我自以为，从古到今，无论中外，水都是世间最神圣、最崇高、最美丽的一个艺术品——没有之一。\n在众多的水中，我最喜欢的还是雨。毕竟那是从天上来的东西，有一种不同于尘世的美丽。南方的小城见不着雪，但雨也足以满足我对美丽的幻想了。\n我对雨的喜爱已经到了一种痴狂的地步：只要下了雨，就一定得去淋。\n学校里的生活是枯燥而无味的，但雨带给了我惊喜。不过有雨也得偷偷地淋。自从有了一次淋雨被老师训斥的经历后，凡事就都小心翼翼了，不找个合适的理由是不会轻易去淋雨的。比如说要找早晨掉到校道上的东西，或者说要到门卫取书本——但这种谎话是不耐用的，有时讲着讲着自己就脸红了。我最盼望下雨的时候是清晨和傍晚——清晨要从宿舍去学校，傍晚要去洗衣房拿衣服——这两个时刻可以肆无忌惮地淋雨。即使被老师看见，他也只会说：“你怎么这么笨，下雨了也不来借把伞？”生管室就在宿舍旁边，不过我当然不会去借伞——借了伞就不能和雨亲密接触了。\n在各种季节的雨中，我最喜欢秋天的雨，不像夏天那样热烈，不像冬天那样吝啬，更不像春天那样缠绵——明快清晰，华而不艳，哀而不伤——这便是我理解的秋雨。\n海子说：“雨是悲欢离合，雨是一生的错过。”我曾一直难以理解这句诗。直到后来一件事情的发生，才终于让我读懂了，那雨的哀怨和凄婉。\n故事开始于我上初中的第一个夏天。那天傍晚，窗外传来了雨声，雨声很大，铁护栏都耐不住性子了，跟着呼啸起来。我于是离开嘈杂的教室去赏雨。但见眼前茫茫一片，千万条银线从空中撒落。地上泛着白光，有如天堂的倒影。见此景象，我立即冲出了教学楼，不管今天宿舍有没有送衣服了——隐隐之中，我仿佛察觉，以后都不会再有这么大的雨了。错过这场雨，要再等一辈子的。\n雨中的景象是普通人难以想象的。就像在地面上望着白云，你觉得很美；可真正到了白云上，你却开始恐高，开始怕冷——许多美景是只可远望而不可近赏的。但有的人不一样——比如我，竟觉得这暴雨打在身上有一种痛快感。在雨中奔跑，有种天地交融起来的错觉。天空和大地间不再只有浑茫的空气，而多了那无数条的雨丝；天空很快乐，大地很快乐，那雨也很快乐——它蹦跳得多么欢快！而他们的快乐，此刻又传染给我了——看！那个男孩在雨中不知疲倦地奔走，嘴里还不时地吟唱诗词：“莫听穿林打叶声，何妨吟啸且徐行！竹杖芒鞋轻胜马，谁怕，一蓑烟雨任平生！”但男孩不知道的是，他怪异的行为已经引起了许多人的注意——包括一位老师——就是上次抓到我训斥的那位老师。我不久后便听见远处传来的一句怒骂声，深感不妙，于是沿着校道跑走了。\n当我再次回到教学楼旁的时候，全身已经湿透，眼镜上也都是水。忽然身后有人叫自己名字，我摘下眼镜，只看见一个模糊不清的人影——是一个女生，而且应该是同班的一个女生。其实她一开口，我就认出她了——她的声音很好听，说话也很温柔。她是一个如水一般的女孩，不仅如水那般温婉美丽，而且笑容也如水那般澄澈空明——纯洁到了极致。我只是不明白她为什么要叫我。虽然我知道自己和班上的许多人一样都对她有好感，但我和她之前从未说过一句话。\n“喂，你去哪了？怎么全身都湿了？”\n“过来吧，我这有纸，你要擦么？”\n我愣住了，呆在原地不知去哪。看见她一步一步地朝自己走来，我才突然晃过神：\n真该死！怎么这么狼狈的模样被她看到了！\n我没有犹豫，转身就冲进了楼梯。在转角处不小心瞥了她一眼，透过眼镜上的一颗颗水珠，我似乎看见了她脸上那一闪而过的莫名的失望。发现我在看她，她又笑起来了——那笑就荡漾在她身后的雨水里，和整个世界融为一体，那么美丽，又那么迷人。心中某个坚硬的东西似乎突然间融化了，但最后我还是回过头，走上了楼梯。\n第二天的清晨，我在书桌里发现了一封信——是那位女孩写来的。她问我为什么要躲着她。我回答她，之前从未有女生对我这么亲近，一时之间有些害怕。我用最工整的字写完了信，傍晚把信塞到了她的书桌里。次日清晨我收到了她的回信。她说我真可爱，可她又不是什么恶魔，为什么会感到害怕呢？见她夸我，我有些沾沾自喜，随即也赞美了一下她：“你当然不是什么恶魔，你那么温柔，那么美丽，你是我的天使呀！”此后我们便一直用书信交流。清晨她给我一封信，傍晚我再回她一封信。收她的信，也成了我最盼望的事情。\n从她的信里，我看见了一个完全不一样的她。我才知道原来她也有很多心事——我一直以为她笑得那样灿烂可爱，是没有心事的。她说她很自卑，因为她的同桌是一个学霸，每次老师都只表扬她的同桌，而没有看见她自己的努力。她还告诉我，别的宿舍的女生说她身材不好，没胸没屁股还长得矮，就只会唱几首歌，却参加了才艺表演。我不会安慰人，只写了一句自以为很有道理的话给她——那句话是鲁迅说的：“惟沉默是最高的轻蔑。”她似乎并不爱听，并不喜欢我这样讲大道理。或者说，她希望我也讲一讲自己的心事吧。可我有什么心事？我没有朋友，所以没有背叛和欺骗；我不会攀比，所以不会自卑和嫉妒；我从不在意别人的看法，更不可能为之苦闷或难受。我唯一的心事就是她啊，可她又怎会明白？\n我和她的关系很奇怪。尽管我们每天都互相写信，但彼此之间却从未说过一句话——如果写在信里的文字不算话。她和我的交流，是只靠信和笑的——她每次见我都会笑，那笑也越来越美丽，越来越迷人，越来越难以捉摸。\n她也有和其他男生交往，但不管她和别的男生怎样不停地聊天，不管她和别的男生怎样彻夜地开黑，甚至是才艺表演上她和别的男生一起合唱，我也都不太在意。因为我觉得，她把自己最脆弱的那一面留给了我。我对她是最重要，最不可或缺的。\n那年夏天很快过去，转眼间秋天也到了尾声，雨越来越少下了。有一次她写信告诉我，从来没有一个男生这么久了还会这么真诚地和她写信，她很感动，想要抱抱我。我收到信后高兴得忘乎所以，便写信告诉她：其实我暗恋她很久了，为了不让她担心，我那半个夏天和整个秋天都没再淋过雨。我把信塞进了她的书桌里，接着便开始了无限的幻想：她收到信后娇羞地牵起我的手，然后我们一起在斜阳照射的雨中漫步。她靠在我的肩上，雨水打湿了她的头发，也迷离了她的脸庞。我们带着几分醉意，互相说着情话……可自从我送出信的那一刻，心就不停地颤抖。美丽的幻想中混进了一丝不安。\n日子一天天地过去，冬天在不知不觉中就来了。\n她终于给我回了信，不过她似乎并不知道我写了什么，又或者说她装作没有看见吧。她告诉我她又遇到烦心事了，班上有人在传她的绯闻——是她和许多男生的绯闻。现在班里的女生都说她是婊子。\n我不知道该怎么回复她，因为这件事我早就知道了——那些绯闻中也有我和她的一个。而且据我所知，那些男生应该也都知道并很乐意接受这样的绯闻——他们的想法或许是和我一样的。暗恋与否，情敌的直觉总是最敏锐的。\n我没回她的信。\n她也再没给我写过信了。\n不过我还是常常能看到她在写信，却不知是写给谁的。她见了我仍然会笑，只不过笑中又多了一种我读不懂的神色。现在我们的交流方式只剩下一种了。\n一直以来，写信挑起话题的总是她；我在信中，只不过回答她的一些问题，附和着她的话而已。偶尔也会有几天她没给我写信的，等到她记起我了，给我写信了，我再配合着她回信。我并不知道怎么打开话闸子——没有信的日子里，我只能一直沉默着。\n我有时会觉得自己似乎做错了什么，想要写信和她道歉，却不知该用怎样的语气。于是信写了又撕，撕了又写，最后我终于想明白了：既然她已不再和我写信，那我也不再打扰她了罢。或许在她的心里，我并没有那么重要。省得到时自作多情，被人笑话了。\n那年冬天，一滴雨也没有下过。\n我常常望着窗外出神。看着晴朗的天空，我总希望突然出现几朵乌云，突然再来几场雨。我不知道如果我又一次湿透了回来，她还会不会像曾经那样叫住我，为我擦额上的水——如果会，那么我一定要趁机抱紧她，把那个一直欠着的拥抱还给她。\n终于熬到了春天。一天清晨，一醒来便听见了窗外传来的雨声。我激动得忘了洗漱，只随意地穿了件衣服就冲出了宿舍。\n雨下的不大，附着了一层早春的寒气，打在身上软绵绵的，好似情人在耳边低声细语。树木还含着泪水，花草也卷着被窝，整个世界朦胧胧的，就像一场还没有醒来的梦。在雨中，一切忧愁都消失了，只剩下晶莹剔透的欢乐。我仿佛又回到了去年的雨季，仿佛又找回了曾经的情趣。我以为，自己已经忘了她，可以重新开始正常的生活了。正当此刻，我看见面前闪出一把伞，伞下有一对男女，男孩左手拿着伞，右手挽着女孩的左手。女孩的头依靠在男孩的肩膀上，似乎在悄悄地讲着情话。我低下头，看了看孑然一身的自己，想起那个被“遗忘”的人，突然又觉得这美丽的雨中好像少了点什么。\n继续往前走着，离那对情侣越来越近了。我忽然有些慌张：那女孩的背影，怎么看着这么熟悉？我强作镇定，迈着颤抖的脚，悄悄来到他们身边。我假装不经意地向他们看了一眼。让我没想到的是，那女孩居然也在看着我。她笑了，对着我笑了。我措手不及。顷刻间，慌乱显露，无处藏匿。\n果然是她！那样的笑容，我一辈子也忘不了的！我原以为她在这样的情景下见了我，会感到害羞和害怕，至少脸蛋会微微发红，至少目光会微微闪躲。可是，我却从她的脸上找不到一丝的异常！我原以为借她的慌张可以掩盖我自己的恐惧，可以振作自己的勇气，可她笑得那么从容，那么淡定！她的笑像是嘲笑，又像是同情。她的笑越来越可怕了——就像一潭千丈深的水，表面平静美丽，却不知藏了多少心机？\n我呆呆地站在原地，止住了回忆，也暂停了思考。那个男孩见女孩忽然停下不走了，觉得有些奇怪，便在她的耳边说了句话——声音很轻很轻，但还是被我听见了：\n“他是谁？”\n女孩没有马上回答他，仍是用那捉摸不透的表情看着我，犹如一双鹰爪，要将我所有的防备撕碎。幻想中的她还是那个天使，可此刻的她却变成了恶魔出现在我面前。我正站在我最爱的雨中，正站在我最爱的她面前。我不应该害怕，可一股寒意还是止不住地从心底蔓延开来。我不知从哪来的勇气，突然撇回头，装作什么都没看见一样，继续往前走着，很快就从他们面前消失了。\n我走得越来越快，雨也下得越来越大。最后我变成了狂奔，雨也变成了暴雨。每一棵树、每一片瓦都在悲鸣。眼镜很快布满水珠——白茫茫的一片，什么也看不见了。我已不懂如何停下，只一个劲地跑着。跑过一条条熟悉的校道，跑过一层层坚固的雨雾。我不去想这样做有什么意义，只知道这样歇斯底里，或许可以免去一些难过。滑倒了，手磨破皮流出血，我却没事一样，捡起掉在地上的眼镜继续奔跑。此刻，身伤已然为心伤所遮盖，觉察不到了。我在暴雨中一次次地发问：为什么，为什么我挚爱的雨和她，都让我如此狼狈？\n我终于累了，躺在身边的一片草地上，闭起眼睛，大口大口地喘着气。\n草地上都是水，躺在这里就跟躺在湿地上一样。我又回到了水的怀抱里。\n我突然很想哭。但脸上全都是水，早已分不清哪个是泪，哪个是汗，哪个是雨了。我感觉自己仿佛做了一个很长很长的梦。她就像一场雨，悄悄地来，又悄悄地走了。她浇灌了嫩芽，又摧毁了花朵，只剩我这株半残的根茎，仍在风雨中飘摇。我知道她恩惠的不仅是我——当然，受摧残的也不只有我。这么一想，又感觉自己幸运多了。至少我不像他们一样，总以为只有自己的头顶有乌云，总以为只有自己的头顶在下雨，总是沉浸在那虚假的、刻意营造的欢乐里。她只是我人生路上匆匆行过的一朵云。我终将要随着那落下的雨，汇入河里，然后带上那段云间的记忆，奔向大海。从此再无悲喜，再无波澜。\n那场雨后来成了我心上的乌云，永远淅淅沥沥地下着。\n雨未央，心却已不伤。\n忽然想起一句话：“女人是水做的。”因为女人有水性——\n水性杨花的本性。\n2019.9.10\n在手稿的末尾，还有几行工整的小字，与上方歪歪斜斜、寥寥草草的小说正文形成了鲜明的对比：“这篇小说是根据我和江雨清的故事改编的。非常抱歉把她在小说里写成这样一个形象。小说最后两段侮辱了女性，这只代表我当时的思想。如有冒犯，我向全体女性道个歉。”\n《余暮手稿·桂花香》\n我讨厌那个女孩。\n自初一的暑假开始，我便每天都要去一趟书吧。书吧里很安静，就像一个小桃花源，我在这躲避现实中的不堪，把自己藏进书籍筑起的高墙里。虽然书吧里偶尔也会有一些没素质的人在玩闹，把我又带回世俗的喧嚣。但那也不过一瞬的出神，随后便有工作人员来制止，而我自己很快又回到那沉醉忘我的境界。\n这就是在高楼林立的城市中的隐居生活，一段美妙的虚度的岁月。\n但那个女孩的到来打破了书吧的宁静。\n我是在快要开学的前一段时间第一次遇见她的。或许她之前也有来过这，只是我未曾注意到罢了。她坐在我旁边的椅子上，埋着头，盯着面前的作业，一会儿抓头发，一会儿托下巴，一会儿拿起铅笔胡乱地画，一会儿又握住橡皮拼命地擦。我不屑地用余光扫视了她一眼，那位女孩大概是在补暑假作业吧。\n她就在那个座位补了一个下午的暑假作业。而我，苦于没有多余的空位，只好在她边上看了一个下午的书。因为她的动静实在太大，我愣是一个字都没看进去。\n那天下午，是我暑假中最无助的时刻。桃花源来了位不速之客。她，扰乱了我安宁的美梦。\n开学之后，学校一个星期只放假一天，我便只有周六下午的短暂时光可以去一趟书吧。九月的第二个周末便是中秋了，学校在周五就放了假。那天晚上家里来了很多客人，小小的房子一下就被挤满了。他们吃饱饭后却并无去意，仍在客厅里一面喝酒，一面聊天。然而我只觉得他们吵闹。声音穿过了厚厚的房门，打在耳膜上，依旧十分地疼。\n我实在是忍受不了，便带上没读完的书悄悄地溜出了家门。\n我本来并未打算去书吧的，因为在我的印象中，似乎从未见过夜晚还亮着灯的书吧；更何况今天还是中秋，人得回家团圆，工作人员也应该走了。但那天我的心情似乎有些沉闷，神色一直很恍惚，迷迷蒙蒙地便错来到了书吧门前。\n于是，我便见到了那个在圆月之下，闪着光芒的公益书吧。\n户外的空气总是清新的，没有家中那股酒味。桂花开了，远远地就能闻到一阵芬芳。印象中在书吧的门口确实有一棵树，没想到居然是桂花树，一棵盛放在中秋的桂花树，盛满了秋天和书籍的味道。淡白的花，淡雅的香，连同那淡淡的月色，一同在清风中摇曳，装点了美丽的中秋。\n照往常来说，我一进书吧，总要先查看一下里面的人，看有没有上次见到的那个女孩。如果她在，那么我便一定要找一个离她远点的地方，以防受她的干扰。\n但今天，我没有这样的顾虑了。书吧里空余的位置很多，随便找一处周围没人的位置，坐下，开始神游于奇妙的异世界。\n……\n“那个，你可以教我一道数学题吗？”耳畔传来一句清脆的女声。\n我抬起头，一位女孩，一位不知是从哪里钻出来的女孩，拿着笔轻轻地点了点我的手臂。\n我放下书本，顿时有些失色。面前这位，就是我次次躲着、不愿再见的那个女孩。\n“你去问别人吧，我没空。”我看也没看，便愤然地转回了头。\n“哦。”她犹豫了一会，似乎有些委屈，起身就要离开。大概只是因为好奇，我回头瞄了眼她手里的试卷，又把她叫住了：\n“试卷给我看下。”\n这是一张数学卷子——卷子上全是一元二次方程的基础题。虽然那时我才刚上八年级，但这种简单的东西，肯定是早已预习过的。\n“看见你穿的校服，我就知道你一定是一个聪明的人，这种题目肯定会做的。”她或许是想鼓励我把题做出来，才突然将脸凑近，这样说的吧。就在那一瞬间，我看清了她的全貌，竟有些可人。于是我一时念起，便想要戏弄一下这位呆萌的女孩。\n“你平时都学的什么？怎么连求根公式都不会背？”\n她忽地满脸通红，思索良久，才支支吾吾地说：“我以前在学校没认真学习……”\n“既然你不爱学习，又为何今天来这里读书，而不回家去过节呢？”\n话音未落，只见她脸上的羞涩更浓重了。我看着她答不上来而尴尬的模样，心中暗自冷笑着，这回可算报了之前的仇。\n她不知怎么，突然整个人小心地靠过来，脸上的神情也沉重许多：“这个事情，我可以跟你说，但你不要告诉别人，这不光彩的……”\n“你在学校不认真学习的事好像也不光彩啊？”\n“不是这样啦……”她争辩着，泪水在眼睛里打着转，“我已经没有家了！”\n“怎……怎么了？”我意识到自己好像做了错事，开始有点害怕。\n“我的父母要离婚了……如果我考不上高中，就得跟着父亲去外地工作……我不想离开我的母亲，也不愿离开我的故乡……我的父亲拒绝为我请家教，我没办法了，功底实在太差，只能每晚独自一人来到这里，补偿曾经犯下的过错……”她说这些话的时候声音很低，总是断断续续的，仿佛下一秒就要咽气了；泪水还时不时地落在地上。\n我知道，自己此时也得说些什么来补偿之前的过错了：\n“其实我和你差不多啦。我以前在家只会玩，在学校也无心于学习。每当我想要开始认真读书了，想要改变自己的生活了，却又会受家中的影响而甘愿继续堕落。我的母亲无所事事，成天在家刷手机、看电视，对我的学业从来不理不问，却总爱监管我的生活。我在家里读书，她还时不时地还要进书房骚扰我。我的父亲远在外省，每个周末都会以关心我的借口打电话来干扰我的学习。他总是想拉着我出去玩，甚至还说要带我去他工作的地方上学。我曾有好几个寒暑假被父亲囚禁在他的公司里，对那里已经有了阴影。我被没收了手机，只能整日看他的脸色行事，想回也回不了家。我讨厌我的父亲，也讨厌我的母亲。在学校里我没有朋友，在家里又常常和亲人闹矛盾。我从不敢把自己的真实想法告诉别人，因为我知道，没有人会理解我。我曾一度把游戏作为自己的解脱。可后来我才明白，有些事情不能总怪别人。家庭也好，学校也罢，很多东西我们自己无法改变，但至少我们可以决定自己的行为。我相信，靠自己的努力，生活是可以越来越好的。你也一样，你还有一年的时间，别放弃。这一年，什么都可以改变的。你要相信，你现在就已经遇见你的希望了。”\n“额……希望……是什么意思？”\n“我数理化都很好，足够教你的。”\n“真的么？你可以当我的老师么？”\n“当然可以。”\n不知为何，在说出这句话的时候，我心中突然颤了一下。\n但无论怎样，她总算是笑了。她瞪大了眼睛，激动地看着我。我于是怀着另一种目光又审视了一遍她。她这回穿着一身清秀而雪白的衣服，披着一头修长而乌黑的头发，发间露出一个发夹，是一朵桂花的形状，还隐约飘出一丝桂花的香——哦，那应该是她身上的香。坐在她身旁，总能感到她那温暖的身躯和炽热的目光，这让我品尝了一种奇怪的滋味。这种滋味，似乎既有一丝兴奋，又有一丝怜悯，还有一丝惧怕。如此复杂的感觉，我之前是从未体验过的。\n说实话，她挺笨的。每次我问她听懂了没，她都说好像懂了。可我再问她要怎么做时，她却又不会了。一个晚上过去，我也只教会了她三道题。但她似乎很满足，临走的时候开心地笑着，问我什么时候可以再来。我告诉她，我们学校很少放假，但一有放假我肯定会来的。\n那天晚上回到家后，我便不断地回忆着自己之前说的那一大段话。那些话，究竟是为了安慰她而编造的，还是发自内心说出来的？我思考了一遍又一遍，却发现，自己也无法回答。\n之后我和她的见面就显得比较平常了。每次我来时，她都拿着一大堆的题目来找我，说这些都是我不在时积累下来的。她偶尔也会告诉我，她最近的考试进步很大，被老师表扬了。她常常是一下课就来了书吧，因而没吃晚饭，我得知此事后，便会在来时用自己的零钱帮她买几个面包充饥。再后来，我们会一起于深夜离开书吧，我陪着她走夜路，路上聊些学校发生的趣事。我一直送到她居住的小区，然后再自己一个人穿过漫长而昏暗的街道回家。\n有些东西我们都心照不宣。我只是她迷茫时遇见的一座灯塔，而她也只是我枯燥生活中飘来的一缕暗香。我对她从未有过分的幻想，而她也从未说出过分的话。\n她总是戴着那朵桂花似的发夹。她告诉我，这是她母亲买给她的。她喜欢桂花，喜欢它的芬芳与美丽。她说，每一次看见桂花，她都能找到活下去的希望。\n临近中考的那几天，学校没有放假。她在准备中考，而我也在学校里准备小中考。期末考完后，我被请到表弟家中教他八年级物理，因而一个暑假都没有再来过书吧。\n新学期到了，我像往常一样去到那家书吧找她，却没有看到她的身影。我从早上一直坐到了晚上，看着夕阳一点点落下，可始终等不到她出现在我的身旁。我不知道她是否考上了高中，也不知道她是否如我所说的那样生活越过越好了。\n我去问值班的人，问他有没有见过一位个子矮，眼睛大，头戴一朵桂花，样子有点傻，但笑起来总是特别甜、特别可爱的女孩。她每晚都会来这里学习，但最近我看不到她了。\n值班的人告诉我，他们本来在晚上是不营业的，但因为那个女孩某一天向他们哭诉，他们才最终同意了她的请求，每晚的灯都至少亮到她走的那一刻。他说，那个女孩其实挺可怜的，她的父亲有时会醉醺醺地满脸怒气来书店找她，但都被值班的人拦下了。在中考的前几天她就没来，听说是被父亲拖到外地去了罢。值班的人也不知道具体原因，只是把这个传闻告诉给了我而已。\n那一刻，我呆呆地望着书吧门前的那棵桂花树。就像一阵风吹过，花香飘来，却又很快飘走了，哪怕伸出手去接，花瓣还是不自觉地掉落。\n我没有泪水，只是感到难过。\n后来我还是如往常一样，一放假就会跑去那家书吧，书吧的灯依然能亮到晚上。我还是一个人看书，一个人买面包，一个人走夜路。不过失去了一位分享快乐的伙伴，不过失去了一位倾诉痛苦的朋友，不过重新回到原先孤苦伶仃的生活而已。\n我的中考的脚步也越来越近，生活还将继续下去。\n那段陶渊明般的日子已经成为遥远的回忆，但生命中的那缕桂花香却仍在心中飘荡。\n2019.10.15\n余暮自己写的批注：“这只是一个意淫出来的故事。在她之后我没有真正再爱上任何一个具体的人。”\n《余暮手稿·诗文与人品》\n很久以前被一首《离思·其四》感动了。“曾经沧海难为水，除却巫山不是云。取次花丛懒回顾，半缘修道半缘君。”我以为这就是人间最美的誓言。然而我在韩兆琦的《唐诗精讲》中看到这首诗的评注，当讲到元稹在韦丛去世几个月后就纳了妾时，作者写了这样一句话，我至今都记得：“有些人的诗文，并不一定就恰如其人。”\n是的，写一篇好文章容易，做一个好人就难了。\n元稹在写这首诗的时候可能确实是有真情实感的，只不过他后来并没有履行他的誓言。留下至美的诗句，也只能感动那些并不清楚故事结局的人了。\n我也有写过文章，自然清楚诗文与人品的差别。我的作文成绩很差，在我周围有不少应试写作水平非常高的人，却从未见到能让我敬佩的君子。\n最开始尝试自己写文章的原因，有很大一部分是不满老师教我们“套作”。从初中开始，不论是哪个语文老师都会告诉我们准备几篇能“套”的作文，说“这样考试就能轻松拿高分”。于是有人四处去拼凑文章，补成所谓的作文后就去考场上用了。很有效，只要点个题就能拿到不错的分数。我讨厌这种做法，因此常常被老师批评，被说是“不够聪明”。所以从一开始我就告诉自己，就算文章写不好，也不去抄袭，不抄别人也不抄自己。我不相信老师说的“好文章都是‘模仿’出来的”。窃以为想写好文章，首先得对文字虔诚，而不是把它当作一种赚分的工具。为了分数而去写作文，不管写得多好，都只是空谈，外表很美但根茎是烂的。有时为了取悦别人，我们不得不抒发一些自己根本没体会过的情感，不得不表达一些自己根本没理解的道理。那些用过的华丽词藻，那些说过的豪情壮志，都只为取悦改卷的人，只为骗分，谁会真正在意自己所写的东西？文章中的誓言铿锵有力，掷地有声，却仅仅是为了博他人一悦，分数到手后就对自己的文章概不负责，仿佛话不是自己说的。应试写作就这样变成了说谎训练。至少我了解的就有好几个例子。\n那些写到自己考试失利后要努力读书的人，该玩的还是继续玩，该闲聊的还是继续闲聊，作业也不见做得有比以前认真；那些写到自己受了老师鼓舞后要坚持锻炼的人，却总是在体育课请假，锻炼时总想着如何偷懒，还常常聚在一起交流划水的诀窍；那些写到自己经历挫折后学会坚强勇敢的人，仍每天哭着喊着打电话回家，抱怨生活的辛苦，说要送零食，说要请假。因此我从来不羡慕那些作文分数高的人。我给自己制定了一个原则：先做人，再作文。\n关于诗文与人品相去甚远的例子还有很多，也有些许名人，就不多谈了。我个人以为，他们写文章时或许并不是真的为了欺骗读者。文字只是表达的一种方式，有偏差性。可能某一时刻他们被一种情绪主导了，于是写出类似“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海”这样激昂向上的话语。但更多的时候他们情绪是平静的，不能理解写作时的心境，自然和自己的说法有些偏差了。写文章时的人和平时的人是不同的。人在写文章时往往严肃正经，但平时却可能调皮活泼。而且写文章时一字一斟酌，但平时有谁的言谈举止会三思而后行呢？\n写文章从来都不应该是为了取悦读者。应试作文给了我太多的伤痛，看着那些被应试作文毒害的学生也让常我感到悲哀。中国古代的学者在描述完一个个的形象后，往往都会现身说法，亲自修炼。比如孔孟论述了君子，自己就去做了君子；墨子论述了侠义，自己就去做了侠者；老庄论述了大道，自己就去行大道。我有一个愿望。应试作文的腐朽我应该是改变不了的。我并不一定要和圣人比肩，我只希望自己能永远地履行自己在文章中写下的誓言。我不希望有一天自己会成为一位让别人失望的人。\n2019.10.30\n2019 年 11 月 11 日，余暮被请到升旗仪式上演讲，演讲的主题是“以书为伴”。回到班上后陈媛春就一直在夸这篇演讲稿写得很好，甚至高三创新班的语文老师邱存华还因为觉得这篇演讲稿写得好而找到余暮谈话。余暮在周末的时候才收到要演讲的通知，连夜赶出了这篇演讲稿。他本人对这篇演讲稿并不是很满意，也不明白为什么那些语文老师那么满意。可能老师的审美总是和学生不同吧。\n《余暮手稿·以书为伴》\n大家早上好！我是九年级六班的余暮，今天我演讲的主题是“以书为伴”。\n前段时间在网上有一位流浪汉很出名，他的名字叫沈巍。26 年里，他每天凌晨两点推着三轮车拾荒，但只要有书读，他就能发自内心地感到快乐。读书也是一个常见的话题了。读书的意思很多，一般而言指的就是阅读书籍。罗素曾经说过：“读一部书有两个动机，一个是你喜爱它，另一个是你可以夸耀它。”但不管是为了什么，虚荣也好，功名也罢，读书总是有好处的。\n读书可以使人谈吐优雅。《三国演义》影视里有一个很火的片段，当时刘关张三人结拜兄弟，关羽对刘备说：“关某虽一介武夫，亦颇知忠义二字。正所谓择木之禽，得栖良木；择主之臣，得遇明主，关某平生之愿足矣。从今往后，关某之命即是刘兄之命，关某之躯即为刘兄之躯，但凭驱使，绝无二心。”而张飞没什么文化，就随口附和了几句：“俺也一样。”关羽的爱书是出了名的，读《春秋》的故事就流传甚广；张飞是一介莽夫，只要一出口别人就知道他没有读过书了。苏轼诗云：“腹有诗书气自华。”说的也是这个道理。书读得多了，气质自然就会与众不同。美化灵魂有不少途径，但其中最廉价也最易行的就是读书。“读书是门槛最低的高贵”这句话在任何时候都不会错的。\n读书可以使人视野开阔。欲穷千里目，就要更上一层楼。而走上这层楼的方式就是读书。不是有人把书籍比作“人类进步的阶梯”么？一个不喜欢阅读的人，他的视野和想法受眼前世界所禁锢，他的生活是刻板无趣的；而一个养成读书习惯的人，他就能听见别人所听不见的，看到别人所看不到的。有了书籍的陪伴，他永远也不会感到孤独。今天看见了数学这片严肃的森林，明天望见了哲学这座深思的大山，后天瞧见了史学这条奔腾的河流，最后又听见了名为文学的海上澎湃的波涛声。于是日日有不同的风景，每天都是焕然一新的体验。许多人总盼望着假期出去游玩，会因为没有到过某些地方而感到遗憾。可书中自有数不胜数的美丽，而你始终不去领略。就好比眼前一座富丽堂皇的宫殿，你只来到了大门口就掉头离开。摆在你手边的书籍，你却不肯走进它的内心，只对着封面叹气——这不是更大的遗憾么？\n尽管读书有诸多益处，然而有一个很可悲的事实：现代人似乎越来越不爱读书了。这一点我自己也深有感触。上初中之前我会半夜爬起来阅读，只因睡前看的书太令人着迷，以致失眠睡不着觉。然而上了初中后，每天为各种事情操劳，读书的时间越来越少。久而久之，便觉书也有些生疏了。回想曾经半夜读书的经历，也如隔了世一般模糊。村上春树有一篇文章叫《人们为什么不读书了》，我觉得讲的很到位。自己总结了一下，大概有三个原因：\n首先是时间上的问题。家里买了许多书本想留着以后来看，却又常常抽不出时间。偶尔来了兴致，拿起一本书却又被骇人的厚度给吓走了。于是书架上的书愈来愈多，而时间却愈来愈少，以后的事也就成了生后的事。\n其次是氛围上的问题。如今读书的氛围显然不如以前那么浓烈了。书本成为众多媒体中的一员，不再是人们获取信息的唯一途径。从前没有读过一定数量的书是会被人瞧不起的，而如今“你说的是什么？那玩意儿没看过，不知道”便可以应付一切问题，畅通无阻了。\n最后是心境上的问题。现在的人心浮躁，要他们安静地听几首纯音乐都不大可能，更别谈读书了。有的人一见书就头大，一见书就发昏，于是宁可打几盘游戏，也绝不看书一眼。\n这些问题都是普遍存在的。然而也不是所有的病都不可医治。\n有人说，时间太少，读不了书。但其实我们每个人的时间都是充裕的。你觉得时间少了，只是因为你不知不觉中浪费的时间多了。鲁迅曾说：“世界上哪有什么天才，我只是把别人喝咖啡的时间用在工作上了。”清晨起得早一点，吃饭吃得快一点，路上浪费的时间少一点，无用的闲话少讲一些，你就会发现，每天竟神奇地多出了大把的时间。可见，没有时间并不能成为不读书的理由。你只是缺少挤时间去读书的决心。\n有人说，环境太吵，读不了书。但安静的地方总会有的，更重要的是自己的内心安静。我每个周末都会带着几本书，走上 35 分钟的路程，穿过 2.1 公里的街道，去往城市另一头的书吧，找一个安静的角落，静静地从上午坐到下午，再从下午坐到黄昏。每当夕阳落下之时，生命中的美好就这样被照亮了。一直以来所追寻的理想生活，终于被自己找到了。那时的感觉，就像重逢了一位失散多年的故友，不用刻意的流泪，也不需过多的寒暄，只相视一笑，所有的一切，便幻化为远天的白云，漂泊半生，总算寻到了归途。\n读书的意义在于用生活所感去读书，用读书所得去生活。愿你我的余生都能为书香所萦绕，愿你我都能这般诗意地生活。\n谢谢大家！\n2019.11.9\n末尾的批注：“这篇演讲稿的观点片面且幼稚，充满了小资产阶级的气味。我无法认同，甚至无法阅读它。”\n刚开始禁欲的时候，我以为看书和写作是有利于学习的娱乐，于是没有把它们列入禁欲清单里，然而事实似乎并非如此。我的语文差，我按着老师的建议去加强阅读，买了许多世界名著，没想到自己很快就沉迷进这种其他学生看不下去的书中了，想必是禁欲期间太无聊了罢。在沉迷看书之后的那段时间里，我一直将书籍视为逃避生活的武器，它为我筑起了铜墙铁壁，我把自己埋在书里，沉浸在一个个或离奇或美丽的故事里，以屏蔽现实中的不堪，忘记生活中的烦恼。老师还建议说想提高作文分数就得多练笔，于是我开始写点文章，并渐渐地体会到这种“思想宣泄”的快乐，逐渐沉迷其中。我会把自己的烦心事变成笔下的几句嘲讽和调侃，或一个比现实还要悲伤的故事。我还经常会模仿儒学圣人的笔法，以一种救世主的姿态俯瞰世人，同情怜悯他们被欲望纠缠的可笑姿态，施舍般地为他们指明禁欲主义这条正确的出路，看似高尚，实则是在劝说自己去相信那自己都开始怀疑的禁欲主义，装出一副摆脱欲望后超越世俗的模样来安慰自己罢了。如果说读书是逃避，那么写作更像是反抗：身体在抵触禁欲，可大脑却一意孤行，最后大脑为了反抗身体，就出现了这种自欺欺人的文章。说得冠冕些，那些文章是对正不断从眼前逝去的青春年华的追忆和挽留，但我现在觉得，这更像是一位正走向末路的禁欲主义者发出的最后哀叹。因为在那时，禁欲主义过了上升期，正逐渐没落了。读书和写作实际上替代了游戏的地位，发挥着游戏的作用，成为了我继游戏之后的新的心灵栖息地和避难所。相比于游戏只能在家里玩的缺陷，读书和写作却在任何地方都可以进行。自以为摆脱了魔鬼，可实际上魔鬼从未离开过，所谓的“禁欲主义道路”其实是我为了实现某个更大的欲望而踏上的，魔鬼从我踏上这条道路起就步步紧随，失败是注定的。那段时间我的成绩掉得很严重，上初三以后，我就几乎没再认真读过初中的东西，每天晚自习应付完作业就开始折腾书和笔的游戏。显然那成为人上人的号召对我再没有任何吸引力了，至少它比不上几个小小的兴趣爱好。\n——《余暮手稿·我为什么活着》\n就这样，阅读和写作成为了余暮的新桃花源，禁欲主义开始逐渐地瓦解了。\n第五章 回归互联网 在这个时代中，任何进步同时也是相对的退步，一些人的幸福和发展是通过另一些人的痛苦和受压抑而实现的。\n——弗里德里希·恩格斯《家庭、私有制和国家的起源》\n2019 年 11 月 21 日，余暮看完了科普书《上帝掷骰子吗》，一时之间对物理学乃至整个自然科学都产生了浓厚的兴趣。而在 7 月至 11 月这一百多天的疯狂阅读和写作中，余暮几乎没有什么新知识的输入，老师讲的都是自己已经学过的东西，而自己又没有再往后继续学，余暮内心的求知欲得不到满足。禁欲主义又一次受到了挑战：余暮靠着获取新知时的愉悦感来勉强支撑禁欲生活，可现在的学习就是整天咀嚼曾经吃过的剩菜。学习本身失去了乐趣，而学校教育是直接的原因。摆在余暮面前的只有两个选择：继续忍受枯燥无聊的学校教育，让禁欲生活失去动力；或者放弃对高分的执着追求，去享受知识本身的乐趣。为了分数而去学自己不喜欢的东西让余暮感到痛苦，他因此毫不犹豫地选择了后者。\n于是，从那日之后，余暮买来了全套的高中数学和高中物理课本，重新下载了 B 站，假期就在家里上网课。他周末不再去书吧了，不会整天沉浸在一个虚拟的世界之中；他的写作速度也终于恢复正常，不会再为了保持手感而胡乱写一些毫无意义的文字了。新桃花源似乎马上就被摧毁了，余暮的生活又重新出现了转机。\n余暮在学校依然不听课。除了化学，全科都进入中考总复习了，每天在学校的工作就是重复的背书和刷题。课堂上再也学不到任何新知识了，做作业也学不到新东西了，除了无穷无尽的应试技巧。于是余暮连作业也不想写了，课上就捧着高中课本，周末回家看 B 站知识区的视频，什么博弈论、相对论、概率论、量子论、人口论、数论、遗传学、光学、力学、热学、电磁学、经济学、心理学、拓扑学等都接触了一些。\n2020 年 1 月 5 日，距期末考还有 3 天，一位老师意外泄露了初三创新班的放假安排。10 号下午考完马上放假，12 号傍晚回学校补课，一直补到 19 号下午放学。而真正的寒假只有 10 天。加上 10 号到 12 号这 2 天也才 12 天。一时之间民怨四起，作为一位有正义感的青年，余暮拟写了一份的《请愿书》，并请封欲雪和其他同学做了些修改。\n《余暮手稿·请愿书》\n拯救孩子们的假期\n亲爱的老师：\n您好！\n寒假将近，祝您新春愉快。同时，也希望您能让所有的孩子都新春愉快。\n事情是这样的。今年的假期显然有些短了，孩子们已是苦不堪言，怨声四起，真怕您又布置一大叠的作业，引起更多人的不满。这不仅有损老师的威信，而且影响学生们的心情。\n为此，我想事先做个善意的劝告：少布置点作业，放过孩子们吧。\n我讲几个我的理由，希望你们可以接受。\n首先，我讲一下必要性。假期存在的意义是为了给孩子们一个放松的机会。一根弦如果绷得太紧，就会断裂；一潭水如果放得太久，就会浑浊。而放假就是一个松弦、换水的过程。张弛有度的生活，可以让我们身心愉悦；而轻松愉悦的身心，又有助于我们学习。\n但一个很可悲的事实摆在眼前：假期被搞坏了。假期已经失去了其原本存在的意义。老师利用假期布置更多的作业，并告诉学生：“假期是弯道超车的机会。”学习不是一项任务，而是一种乐趣。即使没有布置作业，也会有人自发地去学习；而那些热衷于玩游戏的人，不管有多少作业，依然会心安理得地玩着他们的游戏，然后用一些不为人知的手段把作业补完。作业使学习由一种乐趣变成了一项任务，布置作业只会挫伤了学生的积极性，只会让学生愈加反感学习。所以那一张张白花花的试卷，其实起了反效果：原先希望借着假期改造生活的人，当看到一叠又一叠似乎永远也做不完的试卷时，他们疲倦了，害怕了，退缩了，先前的意志化为灰烬，只一叠试卷就耗尽了他们的全部热情。试卷不仅使人神情憔悴，而且从心理上打击一个人的信心，它被称作“白色毒品”，不是没有理由的。\n孩子们期盼的，不过一个纯粹且无毒的假期。可就这么简单的愿望，为什么很难实现呢？\n接着，我再说一下可能性。可能性比较多，就只列举五个吧：\n一：这次的假期已经够短了。以前的假期少说也有两个星期，你们说做些作业，我不支持，但也能理解。但这回假期真没多长了。仅仅几天的假期，布置几个月的作业量，不合适吧？而且你们应该要清楚，不是时间够长，就什么作业都做得完的。很多时候，不是有没有时间做作业的问题，而是想不想做作业的问题。网上常有人调侃，在寒暑假最后几天开始补作业，大多数人都不是开玩笑的。难得盼来了一个假期，可以体会一下不同于学校里的生活，现在又有人逼你学校里天天做的事情，谁会真心愿意呢？\n二：假期的作业没质量。如上所言，假期里是没有人真心愿意做作业的。于是为了应付，人们想出了各种办法。这些只是我的听闻，但我想这些情况应该是普遍存在的：那些试卷，网上都找的到答案，只要肯动一动手指，不到一个小时就抄完了，甚至还有人边玩游戏边抄答案；那些英语背诵，也有人投机取巧，把书本放到手机后面，照着读就可以了，只要不做得太浮夸，谁也不知道你是否真的在背书；那些语文作文，要是不想动脑子，只需找几篇范文，或者把自己以前写的文章改改，也算做完了。一个人要真想应付一件事，方法多了去了，只有想不到的，没有做不出来的。学生是有不对的地方，但你们也要反思反思自己。学生为什么没有积极性？作业是否布置太多了？假期的压力是否超过了学生的承载能力？大家都应该明白，逼迫一个人去做他不愿做的事，是很可笑的。你们永远也达不到想到的效果。他们不会因为做几张试卷就巩固了知识，他们只是浪费了一些时间，一些墨水而已。究其原因，他们并没有从心里认同假期写作业这件事。甚至，你们布置的作业有时还起了反效果——使原先怀有梦想的人也梦想破灭了。\n三：老师很少认真对待假期作业。就拿上个暑假说吧：语文，只讲了一篇作文，名著练习收了没发还；数学，没收；英语，没收；物理，收了没发还。再前几个假期，情况也好不到哪里去，甚至更糟。当然，我不是说你们的工作不到位，我只是感到一些疑惑：布置假期作业，只收上来而不给学生讲评和更正，你们仅仅是为了检验学生是否有完成作业么？或者说，你们只是单纯地为了检验学生假期是否有花时间学习？如果真是这样，那我建议你们换种方式吧。你们布置的那些作业，在学生面前，太不堪一击了，他们的应对千奇百怪，他们的手段层出不穷，而且没有下限。具体的解决措施我们放到后面讨论，这里留个悬念。\n四：学生在学校里已经够辛苦了。正如一位老师所说，如果把我们上课的时间和其他学校的学生比较，我们其实是“多上了一年”的。既然如此，为什么一点点的假期还要紧紧地攥在手里，为什么放了假还不肯安心，一定要布置下成堆的作业才觉得心里踏实？学生不是你们的敌人，学生也不是你们所想的超人。他们在学校学习，也会累的。辛苦的奋斗却换不来一天假期的安宁，他们会迷茫的，会哭的。真的，他们也很脆弱。\n五：学校并非没有人情。事实上，很多的老师还是挺开明的。比如说那位最受学生爱戴的化学老师，就曾告诉我们：“假期是用来放松的，作业在课上写完就行了。”元旦那天我去医院看病的时候，送我去的老师就说：“今天那么多人感冒，又恰好是元旦，为什么学校不放个假呢？”后来学校真的放假了。当时我的身体还挺不舒服，但心情一下子好受多了。那次的放假让我看到了希望。我开始相信，学校还是有良心的，是想要学生好的，只不过有些人被假象蒙蔽久了。若出现敢于直言的人，学校一定不会坐视不管。\n必要性、可能性都具备了，最后我希望我的这封请愿书，可以成为导火线吧。\n我知道，已经有很多老师想好反驳我的话了。“反正放假在家也就是玩游戏，还不如留学校上课。”“放假了还不让布置作业，是想让所有人都痛痛快快地玩一个周末，再浑浑噩噩地回到学校么？”确实，这些现象是广泛存在的，于是给了你们没收假期和布置作业最好的理由。\n不过，这也是我接下来要讨论的话题，是时候揭开悬念了：\n怎么拯救孩子们的假期呢？\n我先要否定一下你们的做法，因为你们这样解决不了问题，而是藏起了问题。学生们确实普遍爱玩游戏，但把学生们关在学校里，把假期缩水并布置超额的作业，就真能解决问题么？\n我曾经也有过一段迷恋游戏的时光，后来自己在某天醒悟，发现了一种胜于游戏的放松方式——阅读和写作。于是那两件事取代了我的游戏娱乐，我终于逃脱沉重的引力，可以在空中自在地飞翔了。\n从那以后，我就一直在思考，思考着如何“普渡众生”，如何像拯救自己一样拯救别人。但我发现，我面对的是一个十分棘手的问题。\n我们得分类讨论。有的人只偶尔玩游戏放松，而有的人是真沉迷。对于不同的人群，要用不同的方法。偶尔玩游戏放松的，注意不要让他们玩过火了；而对于那些已经过火的人，要认真地分析他们沉迷游戏的原因，及时挽救。这其中会有因人而异的主观的原因，但也有一些共通的客观的原因。比如游戏确实很好玩，比写作业有意思，对大多数人都是如此。告诉一个成天待在学校里的学生，写作业可以让你放松，这不明显有些扯淡么？很多学生即使没有玩游戏，也是不肯去学习的。他们宁肯毫无目的地刷着手机，甚至就干坐着，也绝不拿起笔。我曾经就有过这种感受。人们在假期的时候，渴望换一种生活，那样整日与纸笔作伴的日子，他们有些厌倦了。所以劝说别人和我一样用学习的方式来娱乐的想法，被我暂时抛弃了。\n不过，我们无法用学习替代游戏，但可以把学习变得有趣。在假期，学习可以换一种方式。网上有很多免费的公开课，还有很多有意思的科普视频和纪录片。有人愿意坐在书房安静地看书学习，那自然最好不过；但如果说他们愿意去看这些东西，能够学到一些知识，那也是值得提倡的；如果说他们还能在游戏里学到东西，那肯定也不是坏事。此外还有许多半娱乐半学习性质的事，比如旅游和看电影等，如果说他们能或多或少地学会一点东西，不管是学习上的还是生活上的，我认为都应鼓励。他们只是把兴趣放错地方了，如果我们能引导他们，把玩游戏的热情放一些到别处，情况会大有改观的。这件事我很难做到，不过老师应该可以。优秀的老师不仅仅要教授学生知识，也要教会学生做人，要正确地激发学生对学习的热情，而不是粗暴地甩下作业，用试卷逼迫他们去学习。\n你们要相信，学生不全都是坏孩子，他们也不希望自己的每个周末都浪费在手机里。他们只是需要一个引路人。“拯救”的真正含义，是将学生从苦难中拯救出来，让他们明白假期的意义，让他们真正地理解假期、自觉地珍爱假期、合理地规划假期，去做有意义的事情而非浪费时间。学会支配自己的时间，这已经上升为了一种能力，是比做多少张试卷都更有意义的。一味地布置作业，只会将他们引入另一种苦难中——作业的苦难。他们为了躲避这种苦难，反而把游戏当做解脱，直接钻进屏幕的黑洞里去了。你们这样非但没有拯救学生，反使他们越陷越深。\n关于假期到底该怎么管理这个问题，我有一个不怎么成熟的想法。我知道问题不会这么简单，大家都很两难。但我很乐观，我自己的“自救”经历让我一直坚信：希望总是存在的。\n我想引用一下王阳明心学的观点。王阳明认为，每个人都是有“良知”的：“无善无恶心之体，有善有恶意之动。知善知恶是良知，为善去恶是格物。”现在他们的假期有了“恶”，这是“意之动”。而我们需要做的，是拂去遮蔽在他们心上的灰尘，去唤醒他们的“良知”。在这过程中，有一个很重要的点，就是“知行合一”：他们能说出什么是“善”，并不代表他们真正“知道”何为“善”；只有当他们成功地践行了“善”时，才能证明他们“知道”什么叫“善”了。“行”是检验“知”的唯一标准。\n因此我们唤醒了他们的“良知”还不够，得给他们践行“善”的机会。而正如我之前所说，很多人是已被唤醒了“良知”的，但当他们要去践行时，却被作业这座大山阻拦了。在翻山的时候，他们就已耗尽了全部的心力，还未能看到山后的风景，假期就已结束了。这样的事情一次又一次地发生，于是他们感到迷茫，对自己的尝试有了怀疑。最终他们放弃了，选择了堕落和沉沦。可见“行”是必要的。没有了“行”，“知”本身也不成立。所以我有个建议，以后假期就人为地把那座大山铲平了吧。哦不，说“铲平”不准确，应该是别设下那道障碍，把平坦的前路留给孩子们。这或许拯救不了那些自愿堕落的人，但我相信，只要人的“良知”被唤醒，就一切都有可能。总会有愿意探索的人，他们将继续向前行进，他们会惊讶于从未见过的风景。他们到时一定会感谢你们的。\n虽然假期没有了作业，但还有一种方式可以检验他们假期的成果，而且他们可能会更乐意做。你们可以让学生回去之后，自己规划和记录自己的假期，并写成一份报告。如果一个人整天玩着游戏，他可以这样写：王者荣耀赢了 XX 盘，胜率 XX%，上到了 XX 段位；如果一个人出去旅游，他可以把去过的地方、发生的趣事、得到的感受都记录下来；如果一个人在家学习，看了什么书，学到哪些东西，有怎样的体会等都可以写下来。凡觉得有意义之事，皆可写进报告里。这才是真正属于他们自己的假期作业，每一个人都有一份这样独特的假期作业。假期所做的事情都是自愿的，学生会更有积极性和成就感。到时候开学收集起来，可以在班上进行展示评比，看看谁的假期收获最多，评评谁的假期最有意义。这样的活动我想一定很有意思，学生们也能在暗自比对中成长。\n假期毕竟是属于自己的东西。我曾听见有人说自己害怕放假，害怕那一大叠的作业，害怕又陷入手机的深渊。这令我有些难过。产生这种想法的人，多半已经对自己失去信心了。我希望能通过老师、家长和学生三方的共同努力，让那些已经失去信心的孩子重新找回信心。我希望能以这么一种方式，让他们认真对待那个只属于自己的假期，让他们自己试着拯救那个只属于自己的假期。\n说到底“拯救”还是要“自救”，只有学生自己才能拯救自己，当然他们也需要其他人的指导。这是一个长期的工作，我们都面临着前所未有的挑战。我不敢断言这一定能行，后续会发生什么我不清楚，最终会怎样收场我也不知道，更不能预测一切是否都如想象的那样顺利。但没有尝试，何来的成功呢？希望我这一点小小的意见，可以被你们听进去。\n原先我也是一个害怕放假的人，甚至幻想着所有的假期都能来学校里过。但学校不应该是什么“戒网瘾会所”“假期托管中心”，一切都依靠着别的事物，注定要失败的。往小了说，合理的使用手机，是每个新时代学生都应该掌握的技能；往大了说，人的一生会面临许多诱惑，自控力的缺失必将会导致终身遗憾。能在学校里躲六年，难道还能在学校里躲一辈子不成？教育教育，不仅要“教”书，还要“育”人。学生学习的不应只有知识，更重要的是能力。把学生关在学校里，久而久之，对学校的依赖程度越来越深。当他们有一天走出学校，因为能力的缺失，可以猜测一定会出现许多恶果。也许你们只在意中高考成绩怎么样，并不会想那么远。但作为教育工作者，基本的责任心应该要有。祖国未来的花朵，绝不能沦为学校打响名号的工具。\n我每个周末都会做一份假期规划，一张一张的纸就放在家里的书桌下。我曾统计过，本学期一共只有 11 张计划。也就是说，从七月份中旬的补课一直到一月份下旬放寒假的这段期间，你们总共只放了 11 次假。关于学校假期收费补课这件事，我记得国家的法律是不允许的。在 2017 年的时候，江西于都实验中学有一位名为刘文展的高中生，因为举报学校违规补课收费，被劝退了。后来这事闹得挺大，全国上下都知道了。目前在我们学校还没有这样的人，大家并不希望把事情闹大，只是随口骂一骂，相互之间调侃调侃，最后都默默地忍下了。你们可能并不清楚“底层人民”的痛苦。据我所知，现在很多人已经有了不满的情绪。这种情绪一旦蔓延开来，就会像病毒一样疯狂地传染着。最终反噬的，只会是肇事者——学校。\n当我把写请愿书的想法告诉别人之后，我得到了许多人的赞同和鼓励。作为一位有正义感的青年，我觉得无论好话坏话，都有必要说一下；软招硬招，都有必要提一提。\n不知你们这样的行为是不是一个传统。如果不是，改一改不会伤筋动骨；就算成了传统，一些落后的规定也必须得改了。\n鲁迅曾借狂人之口对封建礼教提出过质问。今天，我也要用同样的话来询问你们：\n“从来如此，便对么？”\n我爱这座学校，不愿听见别人说这是“监狱”，更不愿听见自己的同学在背后抱怨。\n此举并非威胁你们，而是真诚地希望学校可以越来越好。你们若能认真听取建议，好好反思不足，谁也不会再斤斤计较。\n孩子的明天，学校的明天，都看你们了。\n看你们了。\n祝\n身体健康，春节快乐\n六班某正直青年\n2020.1.7\n考完回家后的那两天假期，余暮把《请愿书》码上电脑，并打印了 7 份，一份同学间传阅，另 6 份分别塞进了语文、数学、英语、物理、政治、历史老师的办公桌里。化学老师没给，因为化学老师向来不布置周末作业。\n结果只有数学老师在讲课时提到了这件事。她说她不会布置作业，但会布置任务。任务也必须完成，说白了就是个换了名字的作业。其他老师则根本没提这件事，布置的作业依然很多，不知道是不是没看到。总之，请愿行动彻底失败。\n2020 年 1 月 20 日，补完课回家的第二天，余暮就在 B 站看到了钟南山证实新冠病毒“人传人”，并且呼吁“除非极为重要的事情，一般不要去武汉”的新闻。3 天后，即 2020 年 1 月 23 日，又看到了武汉封城的新闻。2020 年 1 月 28 日，L 市教育局发表《致全市师生及家长的一封信》，宣布“全市大中小学幼儿园（高校、中小学、中职学校、幼儿园等，含公办、民办）2020 年春季学期开学时间推迟，具体开学时间一旦确定将提前向社会公布。”而西山中学则宣布在原定的返校时间，即 2020 年 1 月 30 日开始上网课。\n不过不论是正式的寒假，还是网课期间，余暮都没有按学校的要求做事。他没写寒假作业，网课进了会议室后就挂在后台，自己上网课，或者看书。余暮还加入了“一带一路”，这是个班里的人创建的作业交流 QQ 群。每天安排几个人去做当天作业，做完后就把答案发在群里，一个人带动一路人。当然，轮到尽义务的人也不一定要认真做作业，反正余暮知道自己是从网上找的答案，然后手写一遍，就变成自己做的了。余暮可不想在反复的刷题中浪费青春，他要去学真正有用的知识。\n那时余暮已经把高中数学从集合到导数全部学完了，老教材里的一些高考不考的选修课本，比如选修 3-1 数学史选讲、选修 3-4 对称与群、选修 4-1 几何证明选讲、选修 4-4 坐标系与参数方程、选修 4-5 不等式选讲等余暮也都学完了。学完了高中数学，余暮打算继续学高中物理。不过说学完了不太准确，其实只是看了一遍课本而已。不过余暮当时很自信地认为自己“学完了”，那姑且还是称其为“学完了”吧。\n2020 年 2 月 3 日，余暮在 B 站刷到一个视频，介绍在 ins 上粉丝最多的 5 名未退役的日本女优。排第一的是明日花绮罗。在评论区中，一位老哥说看过一部印象很深刻的花老师的片子，在网友的逼问下终于说出了车牌号：IPX-358。\n余暮好奇，就复制了车牌号去夸克浏览器上搜。当时余暮戒网，但总有些问题不得不上网搜，华为自带的浏览器和百度浏览器的主页都太花里胡哨，余暮怕分心，就换了主页干净的夸克浏览器。夸克浏览器还有另一个优点，就是有一个 AI 搜索引擎。余暮用这个 AI 引擎搜出来的第三个结果就是他想要找的东西——IPX-358 的原片。夸克浏览器自带爬取网页视频的功能，余暮把小电影下载了，一个人缩在被窝里偷偷地看。\n“Presented by IDEAPOCKET”\n随着字幕逐渐消失，一段画面闪出，明日花绮罗穿着黑丝躺在床上……哦不，不是明日花绮罗，这片的女主演是相泽南。那位 B 站网友到底是位新司机，居然能把这两位老师弄混。这个真相余暮一年多后才会知道。不过这些对于此刻的余暮来说并不重要。他的右手不由自主地握住了内裤里那根突然变硬的东西，上下撸动了起来——在此之前从来没有人教过他这个动作。也许是某种原始的本能，不过余暮自己也说不清。\n就是在那一刻余暮学会了手淫。\n随着内裤沾上了白色粘稠的液体，一切都变得索然无味，一种罪恶感从余暮的心底升起。\n我还在搞禁欲主义，我还是名中学生，是祖国未来的花朵，这种视频怎么能看！\n余暮马上把视频删了。不过几天后的一个夜晚，余暮突然又有了那种想法，恰巧他又不小心记下了那个色情网站的网址——没办法，那个网站名称就只有 3 个数字和 1 个字母，总共 4 个字符，余暮车牌号都忘了，网址却没忘。于是余暮又上去下载了好几个视频，进入贤者时间后就删除。如此循环重复几次之后，余暮才终于懂了一个道理：他可以战胜情欲，可以不去想江雨清，可他无法战胜性欲。就像饿了要吃饭，渴了要喝水，困了要睡觉一样，性是一种古老而原始的欲望，比禁欲主义本身还要原始和古老。余暮之后索性就把下载的视频都保存了下来。\n禁欲一年半，余暮终于遇见了那个最可怕的对手。这可能就是做题家群体普遍的性压抑吧。\n人的一生要成长三次。第一次是爱上一个人的时候，第二次是达到性高潮的时候，第三次则是参与政治的时候。爱、性、政治，恐怕就是这世界上最快的能使人成长的东西了。余暮在小学就成长了第一次，而在不久前成长了第二次，没想到的是，第三次成长，竟和第二次成长相隔这么近。\n2020 年 2 月 7 日余暮看到了李永乐 2018 年 9 月 4 日发布在 B 站的《这个学霸，他为啥不怕百万伏的高压电？李永乐老师讲\u0026lt;加油向未来\u0026gt;的精彩实验》这个视频，从中得知了《加油向未来》这个科学实验节目，于是就去 B 站看了《加油向未来第三季》。一天一集，一集一个半小时，最后一集两个半小时。11 天后余暮终于看完了这个综艺，对最后得了冠军的陈鲲羽选手越发崇拜。从 B 站网友的口中得知了此人在知乎有号，ID 为“鱼昆”，还写过《三体》的同人科幻小说。于是余暮就去知乎注册了个账号，ID 叫“鱼目”，立刻关注了那位清华的大佬。\n哪知这“鱼昆”表面看上去是一个斯文学霸，背地里却是个混键政1圈的人，关注列表里有一堆键政家，并经常给一些时事评论点赞。余暮就这样不知不觉地混进了键政圈。\n2020 年 3 月 28 日，“鱼昆”点赞了“寒冰射手曹草草2”在“为何很多人认为衡水中学学生是「读书机器」？”这个问题下的回答。又是因为好奇，余暮点进了这篇回答。于是余暮就又一次看到了“囚徒困境”这个词。是的，又一次。余暮曾在自学博弈论的时候了解过“囚徒困境”，当时并没有感到很震惊，只是觉得这玩意很有趣。但这一次，余暮真的大开眼界了。\n2020 年 3 月下旬，我在网上刷到一篇评论衡水中学的文章，其中提到的“囚徒困境”着实让我耳目一新。我曾在自学博弈论的时候了解过这玩意，却从未想到把它放入真实的社会情境中。大概是从那一天起，我开始发觉科学不仅可以解释自然现象，还可以解释社会现象。这为我之后学习社会科学、接触马克思主义埋了个伏笔。\n在那位作者的其他文章里，我又了解到了“内卷”“做题家”这些我以前从来没见过的词语。我幼小的心灵受到了极大的震撼。现在请允许我用自己的理解通俗地解释一下上面这些高深的词汇：\n所谓“做题家”指的是那些以“做题”为唯一人生出路的人，他们是“奋斗哲学”的坚定的信奉者，即相信努力做题就可以过上更好的生活。而在“做题家”前加个“小镇”，特指出身小城的做题家。因为在小镇出路更少，做题家这一群体会更庞大且更典型。“小镇做题家”们为了考上好的大学努力读书，结果却是学习得越来越累，收获反而越来越少。第一年大家每天学八小时，你学十小时就能上清北；第二年大家每天学十小时，你得学十二小时才能上清北。竞争越是激烈，别人越是努力，你就越难成功。因为每个大学招收的名额在各省都是固定的，录取分数线的提高并不会使录取人数也增多。换句话说，即使大家都每天 24 小时高强度学习，全省所有人都考上了 700 分，录取名额依旧不变，能上好大学的依然只有最前面的寥寥数人。你的努力，不过是和别人争抢东西，并不能真正地创造价值，表面上很感人，其实是徒劳无功的；可是，如果你不努力，却又让别人占了便宜，别人轻轻松松就超过了你，长辈会骂你不够开窍，不知道“先苦后甜”。最好的结果当然是大家都很佛系，你稍稍努力就能超过很多人；最差的结果是大家都变成斗战胜佛，你拼了老命也比不过那些可以为教育投资数百万、可以得到更好教育资源的家庭的孩子。但在高考这个体系下，每个人为了自己的利益最大化，都毫无选择，只能比别人更努力，否则就会吃亏。这种“个体最佳选择造成集体最差后果”的困境叫做“囚徒困境”，这种“努力不产生增量只竞争存量”的状态称为“内卷”。\n那天，在学完这些概念后，我陷入了深深的迷茫之中，仿佛自己过去的几年生活和所有努力都被一下子否定了一样。那天，我那“好好学习，然后成为人上人”的理想破灭了，我开始怀疑从父母、老师那边听来的各种各样的“长者教训”，开始觉得自己从出生至今所形成的那套思想可能出了问题。那天，我以为自己窥见了这个社会的秘密，然而我并不知道，这不过是世界运行法则中的冰山一角罢了。我更没有料到，这种恐惧而又惊喜的感觉，在不久后我还要再经历一次，而且那次将比这回更加强烈，它将在我的成长路上烙下一个特别深的印记，甚至永远改变我此后的人生轨迹。\n——《余暮手稿·我为什么活着》\n第六章 颅内战争 人们自己创造自己的历史，但是他们并不是随心所欲地创造，并不是在他们自己选定的条件下创造，而是在直接碰到的、既定的、从过去承继下来的条件下创造。一切已死的先辈们的传统，像梦魇一样纠缠着活人的头脑。\n——卡尔·马克思《路易·波拿巴的雾月十八日》\n2020 年 3 月 10 日，中考百日誓师。班主任要求每位同学拍一段视频到微信群里。余暮左手拿着手机，并用拇指夹着打印下来的宣誓词，右手握拳毫无感情地读完了宣言。\n然而，仅仅一个月多后，即 2020 年 4 月 21 日，F 省就发了公告，说中考延期一个月，调整到 7 月 18 至 7 月 20 日这三天。而 L 市又迟迟不宣布开学时间。于是余暮仍然过着一边应付网课，一边学高中物理，一边刷 B 站和知乎的生活。\n2020 年 4 月 26 日，余暮在知乎刷到一个问题：“如何看待阿里巴巴在 B 站发布的视频评论区沦陷？”\n2020 年 4 月 28 日，余暮又在知乎刷到一个问题：“如何看待起点中文网（阅文集团）的签约合同是‘霸王条款’？”\n2020 年 5 月 3 日，余暮再一次在知乎刷到一个问题：“如何评价 B 站 2020 年五四青年节宣传短片《后浪》？”\n2020 年 4 月 26 日，马云公然喊出“商业本身就是最大的公益”的口号，引起众怒，阿里巴巴发布在 B 站的视频评论区已彻底沦陷：“是人民养活了阿里巴巴，不是阿里巴巴养活了人民”“资本家就资本家，别当了内啥还想立牌坊”“马云老是把资本家吸血说得那么冠冕堂皇”“吸血鬼不怕十字架，但是吸血鬼怕锤子和镰刀”“有点感动，大家还记得新中国的根”。那时我还懵懵懂懂，不知道他们在激动什么，只看见那些革命时期才能见到的字眼在屏幕前飞舞。那时，我只隐隐约约地察觉到，中国似乎藏了一个天大的秘密，有一个阴暗的背面没有被我窥见。\n2020 年 4 月 30 日，阅文集团推出新合约，企图把写作者变成自己的奴隶，引起了各行各业劳动者的不满，他们纷纷为写手声援：“当外国的资本都开始装绅士注意吃相，避免竭泽而渔破坏生态的时候，我们一个社会主义国家竟任由资本卷土重来搞起了垄断和重新定义劳动法等丧心病狂的行径。”“一个能以一己之力垄断渠道的怪物，一个一纸合同就能毁灭占文字工作者半壁江山的行业的怪物，真的是社会主义国家应该有的产物吗？”“新中国成立的基础是佃农，他们缴纳地租，并服各种劳役，遭受繁重剥削。那时候被剥削的是体力劳动力，佃农没有自己的土地，必须入地主家户籍，才有地种，地还不是他们的，相当于家奴，也算是签了卖身契，甚至祖祖孙孙一直这般下去。现在好了，科技进步了，剥削的等级也进步了，开始剥削脑力劳动力。写手们没有自己的版权，必须入腾讯的户籍，才有地种，版权也还不是他们的，他们不听话随时可以换个人种他们的地。写手相当于家奴，签了卖身契，甚至死后五十年还是腾讯的鬼，情况何其相似。新中国成立才多久，我们才发展了多久，腾讯就一屁股坐在了新的资本剥削阶级上了？以为换成新时代的新剥削手段，剥削的是新群体，别人就认不出了呗。历史的倒车也敢开。”\n2020 年 5 月 3 日，《后浪》视频在网上大火，同时也引发了大面积的争议。众多网友对视频中所宣扬的价值观进行了抨击。《后浪》这个视频非常大方地赞美了青年，说他们活在一个好时代，展示了许许多多昂贵的科技产品和青年人热爱的的高消费娱乐。然而实际上大多数青年都过得很苦，在剥削和压迫下艰难度日，没有能力享受这个时代的美好，可这支视频却对此视而不见，有意避开，专挑那些展示人上人美好生活的镜头给我们看。明明鲁迅说过，中国的筋骨和脊梁要去看地底下，可为什么那些本该属于默默付出的年轻人的镜头，那些本该给予真正为社会做出贡献的劳动者的赞美，却都给了那些能用上各种奢侈品、能去各种地方旅游的青年人上人？许多青年人感觉到了一种割裂感，他们感慨：“原来这才是中国的青年，是我不配。”有人说，“你去追逐那百分之一的后浪吧，我将书写底层的蠕虫至死方休”；有人说，“《后浪》最大的危害，就是让学生们相信只要自己努力读书将来就可以像视频中的人那样生活”；有人说，“《后浪》所体现的根本就不是‘五四精神’，说文雅点这叫‘何不食肉糜’，叫‘用鸡汤宣传掩盖阶级叙事’，说粗鲁点这就是‘欺骗’和‘背叛’”。\n——《余暮手稿·我为什么活着》\n后来回忆起这一周的所见所闻，回忆起阿里事件、阅文事件、后浪事件这三大事件的时候，余暮写下了这样一段话：\n当时的她卸下了所有的包装，不是那个束缚在象牙塔中的高高在上的公主，也不是那个流落于各党派间的被随意玷污的妓女。她用最亲民、最端庄、最青春的姿态宣读了她的战斗宣言。穿过纸页，穿过屏幕，她就这样赤裸裸地来到我的面前，用那双在历史长河中浸泡了一个半世纪却仍美丽的双手，为我打开了一个全新的世界。\n——《余暮日记》\n2020 年 5 月 4 日，裕隆花园。\n一百零一年前，一群青年走上街头，喊着由当时政府认证的“反动口号”，一边争主权惩国贼，一边宣传着马克思主义。而一百零一年后，换了一批青年，在高压的政治环境下，人们甚至不再敢走上街头，但他们依然在用自己的双手和键盘，在互联网上继续同反动分子战斗。\n这一百零一年里，革命党人胜利了，但没有彻底胜利，反动势力复辟了，但也没有彻底复辟。历史转了一圈回到原点，但同样没有完全回到原点。旧的灯塔倒塌了，但新的火种仍在燃烧，整个世界在准备一场更彻底、更全面、更猛烈的革命。\n余暮摊在沙发上，无力地继续划着手机。作为一个从小接受爱国教育的人，作为一个电影只看吴京主演，手机只用华为制造的人，余暮不相信会发生这样的事情。他想明白这一切是为什么，他意识到中国社会有一个黑暗的秘密，而且他知道，一旦他懂了社会发展的一般规律，他就能明白这个黑暗的秘密是什么。\n不知为何，也许是因为疫情，也许是因为终于理解了余暮，今年父母没有和余暮说与生日有关的事。余暮自己也忘了这件事。陪他度过 15 岁生日的，是键政圈的网友。而他的生日礼物，是马克思主义。\n余暮终于刷到了他想找的东西。在一位网友的回答中，余暮得知了一个可以阅读马克思主义相关文献的网站——中文马克思主义文库。看了一段《共产党宣言》后，余暮发现里面的内容有点难以理解。从另一位网友的回答中，余暮得知了一本更通俗的、更适合萌新阅读的马克思主义书籍《毛泽东选集》。不过余暮只在中马库里找到了 1 至 5 卷，而那位网友说总共有 7 卷。于是余暮上淘宝去搜，发现淘宝上有卖 6、7 卷，而且是那位网友推荐的静火版。不过因为是非法出版物，书本都是影印，质量并不高，但也够看。余暮就这样把《毛泽东选集》官方版的五卷和静火版的两卷买了，顺便还买了一本《共产党宣言》。\n2020 年 5 月 6 日，书还没到，人却先回学校了。回学校后做的第一件事情就是分小班。其实初三上学期期中考后就分了个小班，只不过那个小班只在晚自习的时候去另一间教室自习，而且当时的小班只有 4 个人：李欣星、姚源升、王雯菲、谢琦，两男两女。因为小班的自习地点在教学楼顶楼，即六楼连廊尽头的一间僻静教室，且那时又有人把他们这种考试时甩后面的人一大截分数的行为称作“孤儿行为”，于是那四个人就自嘲般地把小班称作“孤儿院”了。\n学校这次的想法是要将小班扩充，独立于大班单独授课，有着和大班不一样的进度，并从全校挑选出最优秀的老师来教。其实到最后也就只换掉了历史和政治老师。在官方的称呼中，这个班叫做“状元班”，因为他们认为中考市状元一定会从这个班的人中诞生。不过余暮还是更喜欢称其为“孤儿院”。学校计划将“孤儿院”增加至 15 人，不过原来的班级也就 50 人而已。选拔的标准不得而知，估计是根据历年的成绩综合评选的，人员选定后就不在变更。\n新“孤儿院”的 15 人中，除了原来的那 4 个人，还有余暮、封欲雪、张乔峰、熊浩凡以及 7 个跑龙套的。\n“孤儿院”里只有 4 张空桌子，搬来是为了方便原来那 4 个人自习的。现在空桌子都被搬到了教室外面的连廊上，余暮等 15 人把自己的书桌搬到了“孤儿院”里。从此以后他们便和大班没有物理上的联系了。\n余暮和封欲雪讲了自己网课期间的见闻，包括临近开学时发生的三大事件。然而封欲雪之前对此并不了解，知道了后也不很在意，他说“再过两个月就中考了，网课期间浪费了那么多时间，现在就更不应该浪费时间了。你不应该去想这些乱七八糟的事情，现在的任务是认真复习。”余暮还是很听朋友劝告的，没有再去想这些事，回到家后就把网购的书本塞进书架里吃灰。不过他依然没有专心复习，一有空他还是忍不住地就掏出了高中物理的课本。\n是的，余暮不仅战胜不了性欲，还战胜不了求知欲。中考复习就是整天刷题背书，学不到任何新知识。只有从高中课本这样的禁书中余暮才能享受到学习的快乐。这时候再谈论禁欲主义已经没有必要了。它早就名存实亡了。也许是死在了余暮的新桃花源里，也许是死在了高中课本的书页缝隙里，也许是死在了余暮射出的那滩精液里，也许是死在了 nova 4e 那 6.15 英寸的液晶屏幕里。早在文艺复兴时期它就已被扫进了历史的粪坑，21 世纪却有个余暮这样的傻子把遗物当成宝贝四处炫耀。它现在的真正去处应该是回到垃圾桶里了。算了，它在哪里并不重要，重要的是它没有留下尸体，也没有留下墓碑，它不会再出现在余暮的精神世界里。禁欲主义破产了。至少对余暮来说，它永远无法复活了。\n“孤儿院”里的生活相当惬意。和余暮想象中的不同，大家到了孤儿院这里并没有更加拼命地学习，反而更加拼命地寻找放松的机会。没老师看班的早读课和自习课，下午放学后至晚自习开始前，总之，凡是没有老师在的时候，就会有人打开多媒体电脑来玩。有时候只是放音乐，有时候是看电视剧，有时候是放 B 站的视频。有次谢琦还说她网盘里有 GV，问大家要不要看。这个提议得到了全体男士的一致否决。最后只下载了她网盘里的一部好莱坞电影，叫“雷神”，至于是第几部余暮已经忘了。\n2020 年 5 月 27 日，L 市中考市质检。市第一名不在“孤儿院”里，而是大班的刘阁铭。学校似乎挺慌的，成绩一出来，就马上把刘阁铭调到了小班。现在“孤儿院”里有 16 个人了。\n2020 年 6 月 8 日，市质检成绩出来的第 7 天的晚上，创新班大班和小班的所有人以及平行班的部分人被叫到了阶梯教室中开会。来开会的还有许多领导和老师，校长王长伟，副校长黄鸿，教务处主任吴斌，高中老师邱存华，以及从外地请来的化学金牌教练、物理金牌教练、数学金牌教练，都到了会场。\n首先是副校长黄鸿发言，大概讲明了这次会议的目的：在座的都是质检年段前 200 的学生。本来想搞个保送考的，但因疫情影响没办法完成。于是把质检成绩当成保送考成绩。在座的都可以直接保送进西山中学的高中部创新班，免学费。他说不要觉得西山中学现在没出成绩，就想着去 L 市第一中学读。他说西山中学很重视高中学生，请了三位金牌教练，想去竞赛的同学每周都可以免费上一节辅导课。他还说西学集团非常重视西山中学高中部，从旗下最好的 Z 市实验中学调来了三位非常优秀的高中老师来教西山中学的下一届高一，一位是已经在西山中学教了一年书的邱存华，另外两位还在 Z 市带高三没法过来。他还展示了一张表格，说西山中学高二创新班的成绩已经超过一中。总之，黄鸿说，西山中学和西学集团非常重视高中部，并且创新班的成绩不比一中差。\n接着是校长王长伟发言。他讲了自己的求学经历，说选择比努力更加重要。说完后人就离开会场了。\n然后是高中老师邱存华发言。他说自己很仰慕校长王长伟，所以一年前就主动调来这里带高三了。不过余暮后来知道，其实西山中学在合同里给了邱存华西山乐园的一套房，而且开的工资很高。\n再然后是三位金牌教练发言，聊强基计划新形势，聊自己以前有多牛逼。不过自从那次会议之后余暮就没再见到过他们了，可能西山中学只付了请他们来演讲的钱，而没付请他们来上课的钱吧。\n在会议快要结束的时候，一位高二的学长跑进会场并走到了话筒前。他就是目前西山中学整个高中部最有潜力的一名学生——虽然是西山中学斥巨资买来的。他说一中那样宽松的环境会让人懈怠，反之西山中学的老师管理严格，因为他们关爱学生，知道怎么做才能提高学生的成绩，是真正地为学生好。他说大家要为自己的前途考虑。和校长一样，他也是话讲完就走了。\n会议最终由教务处主任吴斌收场。他讲了一下报名流程和注意事项，还不忘补充一句名额有限，先到先得。西山中学计划高一创新班总共招 50 个人，第一批只招 30 个，剩下的 20 个可以多要点钱，留着后面再招。结果第一批最终只招了不到 20 个人，西山中学不得不把年段 200 名到 300 名的也叫来开了次会，才勉强凑够了 30 人。中考成绩出来后又招了第三批，50 人终于算是满了。\n会议从晚自习开始一直持续到快十点。会议结束后大家直接回宿舍了。余暮走回宿舍的时候就不断在想，他记得自己曾经模模糊糊地有过想留在西山中学的想法，可西山中学三个多小时的洗脑会议已经把他的这个想法弄不见了。\n躺在床上，余暮不断地去记忆中翻找，想弄明白自己为什么曾经会想留在西山中学。突然他想起来了，初三上的时候曾开过一次座谈会，会后封欲雪问他愿不愿意留在西山中学，余暮毫不犹豫地回答了：“会，因为我不想回家。”\n对，没有什么别的原因，就是因为不想回家。去了一中，只有住在县城的人才有资格申请住宿，住市区的人只能走读。而且就算余暮能住宿，他的母亲林忠梅还在学校门口租了间店铺。她会不停地来骚扰自己。她一定会不断地跑到学校和老师、和自己谈话。那时自己会处在她全面的掌控之下，无处遁形。在她的阴影之下，自己一定会进入人生中最黑暗的时期。\n可是他在开完那场洗脑会议之后犹豫了。他现在满脑子都在想那个高二学长的话。那段话让余暮联想到了监狱。他想起了自己被西山中学囚禁的三年。不过转瞬之间他又想起了自己被父亲公司囚禁的两个暑假。他觉得自己的家庭也是个监狱，而且这个监狱远比西山中学那个监狱更加阴森。\n也许，也许整个社会都是监狱，只不过这个监狱更加抽象。伴着这个可怕的想法，余暮睡着了。\n会议的第二天晚上，陈媛春把余暮单独叫到“孤儿院”外的连廊上做思想工作。余暮多少也知道一点，创新班每留下一个人，班主任都能拿到一笔奖金。这个晚自习她已经单独叫了好多人出去，不过基本上没多久人就回来了——应该是被拒绝了。\n陈媛春马上就开始了对余暮的教导。余暮还是第一次这么长时间地近距离注视陈媛春。余暮越看越觉得这像一张山羊的脸。她凸出的嘴巴不停地张张合合，面无表情地说着已经说过了无数遍的台词。唾沫时不时地溅到余暮脸上。等她那滔滔不绝的演讲终于结束了，余暮才开口说话：\n“我会留在西山中学。但我想我的父母不会同意。”\n陈媛春发现有戏，两眼放光：“没事，这个我肯定能帮你解决。”\n又过了一天，下午的最后一节课数学课上到一半，陈媛春的身影突然出现在窗边。她叫余暮去到教学楼楼底，随后自己就走了。\n余暮的父母已经在教学楼下等他了。父亲余辉说想让余暮去 Z 市实验中学读书，他在 Z 市这几年一直在和校长搞关系，以余暮的成绩去那里的高中创新班肯定不成问题；母亲林忠梅说想让余暮去一中读书，她说她在一中东门旁开了间茶叶店，有两楼，地下那一楼可以留给他睡觉和写作业，以后上下学很方便。\n父母两人你一言我一语地讲着，余暮已记不清他们究竟说了些什么。他第一次看两人的面孔，觉得如此陌生。余暮等了好久才终于找到一个缝隙插话：\n“我会留在西山中学。”\n“西山中学有什么好的？你干嘛留在这？”\n因为我讨厌你们。余暮没说出来，转身就往楼梯口走去“我有我自己的打算。你们不会懂的。”\n那次至关重要的谈话进行了半个多小时，但余暮记得，自己只说了这两句话。\n余暮不知道陈媛春是怎么说服自己的父母的。但当谈话第二天的中午下课后，陈媛春带着余暮去了趟行政楼。林忠梅满脸笑容地等在那里。他们三人一起走进了教务处，吴斌非常热情地招待了他们。吴斌说以余暮的成绩在西山中学高中部读三年肯定能考上很好的 985 大学。林忠梅也笑着拍拍余暮的肩膀说到了西山中学要考得比李欣星和姚源升更好。吴斌、陈媛春、林忠梅三个人笑嘻嘻地对余暮的未来评头论足，唯有当事人余暮一直沉默不语。他知道自己上了初三成绩就一直在下滑，他知道自己讨厌应试教育，他知道自己不喜欢刷题和背书，他知道自己这个毛病不改高中三年会过得很惨。他也知道自己来西山中学从不是为了学习。他只想逃避生活。\n余暮在教务处里只做了三件事——发呆、签字、按手印。\n那天晚上回到宿舍，汪非问余暮为什么要留在西山中学。他说陈媛春下午把余暮留在西山中学的事在大班宣传了个遍，还讲了什么“余暮这么优秀的学生都选择留下来了，你们还有什么好犹豫的”“今天你爱答不理，明天你高攀不起”这样的话。\n余暮听完后差点吐出一口老血。他觉得自己有必要解释些什么了。两天后，即 2020 年 6 月 13 日星期六下午放假回家后，余暮便开始写新的文章了。\n《余暮手稿·监狱与地狱间的抉择》\n在几天前，应该是上周日吧，学校开了什么狗屁“优等生座谈会议”（以下简称“会议”），三个多小时的时间全都在给我们洗脑。会议主要就是告诉我们，现在每个人都面临一个选择——去一中还是留西山。会议的所有时间都在吹牛，什么“西山请了很多名师”“西山有非常严格的管理”“西山的老师非常关爱学生”“西山的高中创新班成绩已超过一中”等。西山似乎以为，只要这样就可以骗到很多人留下来。\n他们错了。我一直觉得，西山是真的不清楚自己的学生。不选择留西山，难道只是因为西山没出成绩么？所有学生都在西山待过三年，受过的压迫都还历历在目呢。西山的恶习我用两只手都数不过来，比如学费贼贵还每年增加，比如每次寒暑假都提前开学还美名其曰冬令营夏令营并收取高额费用，比如食堂宿舍条件差却要交大笔的生活费，比如私自吞掉法定节假日并且某政治老师还说私立学校不在国家法律的管辖范围，比如老师或学校对于学生的承诺如同放屁般次次出尔反尔，比如招生手册造假，比如学校小卖部垄断市场提高物价……而整场会议学校都没要谈到这些问题，却一直在成绩上和一中比较。\n确实，学校唯一引以为傲的就是成绩。可西山的成绩是怎么来的？西山的成绩是靠整日做题、压榨学生得到的，这和学校有什么关系？就好比秦始皇派几十万奴隶去建长城，请问真正付出劳动的，是坐在皇宫里高高在上锦衣玉食的秦始皇，还是大热天依然挥洒汗水冒着累死饿死的风险修筑长城的奴隶？\n学校就是这个秦始皇，不谈自己如何对待劳动人民，而一味强调和炫耀他们修筑的长城。不过这回，高中部的长城还没建起，秦始皇于是说，他花钱买了许多大机器，要不要来这里成为奴隶（他们当然不会说我们是奴隶，他们会说我们很幸运），一同分享修建长城的荣誉？\n会议的内容可以用一道选择题概括：现在你的面前有一所监狱，进去之后你便要失去三年的自由，成为一个学习机器，但三年之后你可能会得到一个很好的成绩（钱的事情我就不谈了，不过他们确实在会议上没说学费多少，合同上就更没有讲到，可能是为之后提高学费做准备吧）；如果不进去，你就得到另一个管理宽松的环境中学习，你可以拥有自由，但三年之后你可能会因为贪玩而变得一无是处。请问你愿意进监狱吗？\nA 愿意\nB 不愿意\n说实话，在得知很多人都选了 B 时，我是非常欣慰的。不管是不是跟风，这至少表明，西山的丑恶面目已经被一些人看清了。如今的学生不会再以成绩作为唯一的追求，身心健康真的就没有那点成绩重要么？\n但，很抱歉，我选的是 A。\n不过这和那场会议半毛钱关系也没有。相反的，那场会议让我犹豫了很久，因为它让我想到了所谓的自由，想到了自己那被支配的前半生。\n关于我留西山的这件事情，我曾听到周围很多人的猜测。有的说，我是不愿见到班上的某个女生，所以不去一中；有的说，我已经堕落了，觉得自己考不上一中实验班，所以报了西山；有的说，我是受不了中考太大的压力，选择了提前解脱；还有的说，我是宁做鸡头不做凤尾，想要在西山当老大。\n作为当事人，我觉得我有必要出面解释一下，解释给那些自以为是的人，特别是我的母亲——她此前曾打过好几通电话跟朋友讲我留西山的原因。我真是感到好奇，怎么会有人比我还了解我自己？\n我其实在很久以前就有留西山的意愿了。开完会议后的那天晚上，我便一直在想，我之前究竟是为什么想留西山呢？\n晚上熄灯后，躺在床上翻来覆去，我终于想起来了。\n那是九年级上学期的时候，西山聘请的一位化学专家（这次会议也有来）给创新班的学生开了一次座谈会（那次座谈会同样带有洗脑性质）。散会后我们还得去考语文，在回教室的路上，某同学问我会不会留西山，我的回答很直接：“会，因为我不想回家。”\n是的，原因就这么简单——不想回家。\n不是为了实现远大的理想，也不是为了顾及母校的旧情，更不是为了照亮西山的黑暗。以上这些，都不过是我为了安慰自己而说的话而已。\n我就是在逃避现实。\n对我而言，家就是地狱，而不是什么政治书上说的什么“身心的寄居之所”“心灵的港湾”。如果有一个地方可以让我逃离这个地狱，那么，哪怕那里是监狱，我也会义无反顾、毫不犹豫（但洗脑会议还是让我犹豫了）地奔去。\n至于我把家称作地狱的原因，这又得用很长很长的话来解释了。\n希望以下的文字不会让大家对自己的原生家庭产生什么厌恶，这些仅仅代表我此时此刻的幼稚想法而已。\n下面这几段话摘自我去年年底家长会写给家人的信：\n“我的母亲是个腐朽的人。她老爱拿着那些老旧的思想来教育我。比如，她告诉我，人不应该有梦想，人就应该平凡地活着，安家立业，结婚生子，然后继续教育自己的后代——这样无休无止，代代延续。于是她对我的所有梦想都予以打击。我说我要当科学家，她指责我；我说我要当作家，专门写书批判她这样愚昧的人，她更是骂我。她说，你就是那些书读多了——什么孔孟儒学、庄老道教和王阳明心学，于是思想被带偏了。她说，她爱我，她为我付出了很多，所以她做的都是为我好，我都应该听她的。她似乎是想要掌控我的一生，把我变成她的提线木偶。当我渐渐脱离她的控制时，她便着急了。她常说：‘我怎么会生下你这样的孩子。’每当这个时候，我就会和她争论。她的辩词永远都只有那么几句，不久便败下阵来，然后掩面哭泣，嘴里还叨叨念着：‘我当初就不该把你生下来……’她说她迟早会被我气死，她说我是‘白眼狼’。当她说不过我便开始骂我时，我却反而知道自己已经胜利了。她骂我，是因为我没有成为她理想中的人，这不就证明她也承认了自己教育的失败么？\n我的母亲是一个慵懒的人。我每次回家时，都会发现家里脏乱无比，简直就像一个狗窝——哪怕我上周回来时刚整理过。桌上随意摆着水果零食，架上的东西乱成一团，连钢琴旁也堆满杂物。整日住在这样一个垃圾场里，心情自然是不舒服的。我于是一边整理，一边叫她帮忙。起初她极不情愿，还呵斥我不要乱动她的东西。我听了便觉得有些好笑——她不才是那个胡乱摆放自己东西的人么？然而见我这么认真，她却只好同意我收拾了。我从那橱柜里翻到了很多以前丢失的玩意，才知道原来那些自己在心中已默哀了无数遍的东西，不是真不在了，而是因为被放到不知什么角落而找不到了。我告诉她要改掉这种乱放东西的坏习惯，她却不以为然，还告诉我：‘这是我家，这些是我的东西，我爱怎么放就怎么放，你管不着。’我一时竟分不清她究竟是真听不懂道理，还是只为找个借口掩饰自己的懒惰。后来我每次回家都会偷偷地整理，整理在我去学校的这段时间被她弄乱的家。她看见了却并没有骂我，而是问我把她的东西放哪了。我只好一一向她解释：‘调味品在厨房，化妆品在卧室，水果零食在客厅的圆桌上，拿了个盘子装着。’她然后一面去找东西，一面又夸我真会整理——可她之前却不是这种态度。我于是明白，她只是懒惰而已，如果有免费的童工愿意帮她整理，她还是会欣然接受的。\n我的母亲是一个吵闹的人。和大多数母亲一样，她每有一件鸡毛小事，都要来向我“请示”。但我母亲的唠叨却又和别的母亲有些不一样。我的母亲有很多朋友，她每天总要邀几个人到家中，在客厅里“觥筹交错，起坐喧哗”，从来没考虑过我的感受。她从早到晚就忙着发微信，打电话，或找人泡茶。即使没人可以聊天了，她也要看电视，刷手机。因此在家中，我总是能听到客厅电视里播放的狗血电视剧台词；即使逃到书吧，她也偶尔会来找我——不过没有那么频繁了。因为有一次她在书吧里对着我大声说话，打扰到了别人，被工作人员批评了。那次之后她或许长记性了吧。毕竟作为她的儿子，我都感到颜面尽失；她作为一个死要面子的人，想必早已肠子都悔青了。然而她之后还是如往常般说话絮絮叨叨，扰人没完没了。我告诉她要安静点，她却还来跟我争辩，说自己没有打扰人——真不知道她咋想的。\n我的母亲是一个爱甩锅的人。从她之前说的话就能看出来。她自己不会教育孩子，就说孩子是从垃圾桶里捡来的，说孩子是‘白眼狼’，把一切责任都归咎于别人。毕竟她是伟大的母亲，她什么错误都不会犯。有一次，因为她乱放东西的习惯，我找不到合适的衣服穿了，便发消息问她我的衣服在哪。她却回复我说‘我不在家，你自己不懂找衣服吗？’‘你是低能儿吗？难道什么都要我捧到你面前吗？’‘家里你两手一摊，什么都不会吗？’我只好向她重申一下，是因为她乱放衣服，我才找不到穿的。她这才收起她那张傲慢的嘴脸。凡事都不思考自己的问题，只在别人身上找原因，这或许不是她的爱好，而已经成为一种埋进她骨子里的习惯了吧。\n我的母亲是一个爱造谣的人。她喜欢歪曲事实，有时简直恶心到了让人无法忍受的地步。比如高考那几天学校放假，我在家里看了一会纪录片，她便在朋友圈里说我看了一整个假期的电视。比如小中考那天我突然肚子痛，老师告诉了家长，她便在朋友圈里说我那天喝了生水。八下暑假的时候，我去一位同学家做客，那位同学突然问我为什么小中考那天要喝生水——我被这个莫名其妙的问题搞得晕头转向，茫然地看着他。他于是告诉了我上面那两件事。我才知道母亲会在朋友圈里散布有关我的谣言。还有最开始提到的，母亲和别人解释我留西山的原因，这或许也算是一种造谣吧。至于其他的谣言，我真的不清楚，因为她的朋友圈早就被我屏蔽了。可能我的朋友们更知道吧。\n我的母亲是一个爱虚荣的人。她虽然对我恨之入骨，骂我是‘白眼狼’，说我是从垃圾堆里捡来的，说我不是她的儿子，却总爱拿我的成绩出去炫耀。偶尔街上遇到一个熟人，她总要停下来和那个人交谈上半天——谈的也无非是关于我的成绩。我不断地催着她走，她却批评我不礼貌。她一边绘声绘色地说着，一边对我指手画脚，仿佛那些荣誉的取得者，不是我而是她了——要不是她平日里总是骂我，我还真差点相信她以我为骄傲了——或许我只是她拿来炫耀，满足自己虚荣心的工具罢了。”\n这上面就是那封信3里写的有关母亲的事了。因为那天家长会是父亲来，所以我没有写上父亲的事。但这些东西，我天天惦记着，现在早已是张口就来：\n我的父亲也是个腐朽的人。他坚信孩子是“不打不成才”的，我不管做错了什么事他都要打我。小学一年级的某天，我被他打怕了，放学回来后不敢进家门。他便四处找我，叫上了所有的邻居，最后终于在公寓楼顶的天台上发现了我。于是他把我拎回家又痛扁了一顿，衣架都被打断了。事后他还买了一瓶“旺仔牛奶”送给我。我那时才刚上小学，觉得牛奶好喝，便不再记恨他了。现在回想这件事，不免觉得这种伎俩实在是太恶心了。\n在我上了小学四年级后，父亲便很少回家了，应该是出去创业了吧。那段时间我还是很敬重父亲的，觉得他和母亲不一样，至少他比较有文化，说的东西比较有道理（现在我知道这也不过是一些烂鸡汤）。我甚至偶尔还会盼望他回来，期待他带给我新玩具，期待他给我讲创业的一些故事。\n但在我小学毕业以后，就越发觉得父亲油腻，再也不希望见到父亲了。他有事没事便要给我打电话，问的却是一些有的没的屁事，明明一句话可以说完的东西，他偏要讲二十分钟。我向他表示自己很忙，作业很多，有什么事快点说，他却仍要当一个复读机，一句话重复来重复去。\n每个周末，他都想邀请我去他的公司，或者带我出去玩。曾经我以为他是真的像电话里说的那样想要让我放松一下，可后来才知道，他并非是为了我好，只不过是想借此机会多见我几面罢了。\n小升初的那年暑假，父亲来到 L 市请我去他的公司。一面是母亲嫌我天天在家玩手机不听话，不想管我，而劝我离开；一面是父亲想要见我，想要我陪他，而热情地邀请我走。我没法抗拒，毕竟抗拒了就成了“不孝”的孩子，便只好跟父亲上了车。\n父亲起初答应我，说去了公司后想什么时候回来就什么时候回来。到了第三天，我就说我想要回家，他却讲这几天自己忙，过几天再说。之后我仍不停地和他抗议，说自己要回家，他却一直找理由推托。最终一直到了开学前一天我才回到原来的家。我就这样被他囚禁在公司里整整两个月。\n还是大概讲讲公司里的生活，让大家感受一下吧：\n在公司里，我每天都活在一种窒息的氛围中。每天都要面对各种各样的奉承，要接见一堆生僻的面孔，要一个个毕恭毕敬地叫“叔叔”“阿姨”。公司里有一个熊孩子小学生，总要我陪他玩游戏，一旦被拒绝他就会抢过我的作业来威胁我；公司里有两位无所事事的堂兄堂弟，凡做什么坏事总要拉上我一起；公司还有一个女人跟父亲走得很近，几乎在哪都能看到他们在一起。晚上他们也要睡同一个房间，父亲就让我去另一个房间住。那个女人见了我，总要亲切地叫着我的小名——我只觉得恶心，却还得违心地回声“阿姨”。父亲没收了我的手机，由于 QQ 有设备锁，公司的电脑登不上去，所以回家之后，我总有种自己被世界抛弃的感觉。也许是因为 QQ 上一堆未读的消息，也许是因为没能和朋友玩在一起，也许是因为两个月的封闭隔离。原因是什么不重要，重要的是——自那以后，我变得越发孤僻。\n更让我没有想到的是，第二年，即七年级的暑假，我又被同样的方式“绑架”了。到了第三年，即八年级的寒假，我不知哪里来的勇气，和父母在家里吵了一个下午，终于以一敌二战胜了他们。虽说母亲在家里，日子照样不好过，但至少比在公司的生活舒服，毕竟“两权相害取其轻”嘛（看起来我很久以前就有过在两个坏地方中做选择的经历了）。\n前面说了父亲带我去公司的事，现在再讲讲父亲带我出去玩的事。父亲带我出去玩，也是不肯放过我的。不论我干什么，总得听他的。我想要往前走走，他说不行，要休息会；我说要自己逛逛，他说不行，得陪着他；我在前面走快了，他又要叫我走慢点，和他聊会天。仿佛就是要把我用一根绳子牵着，当成狗一样，一边遛一边听他唠叨，他才会满意。整趟游玩下来，我不仅没有放松到，反而更加疲惫了。可不然么，要伺候两位大人。对了，另一位一起出去玩的就是之前说到的父亲的“情妇”。具体什么画面大家自行想象吧。反正，只要跟着父亲出去玩，我就感觉不到快乐，而是恶心。\n没办法，谁让他是一个卑鄙、无耻、油腻、下流的男人，是一个彻头彻尾、做事不择手段的资本家，而我是一个手无寸铁、无依无靠的无产阶级学生，是一个遵纪守法讲道德的好公民。我的父亲当然可以欺负我，我的母亲也可以欺负我，因为他们掌握经济命脉，拥有这个家庭至高无上的权力。而我，吃的住的都要依靠他们，还得受着已存在几千年的孝道的束缚，若要反抗便会使自己的良心过意不去，还会受到周围人的指责。所以我只能忍气吞声，任凭他们处置，宛如一个封建时代的奴隶。当然，与封建时代的孩子相比，我还是幸运的。那时的父母手持孩子的生死大权，像我这么不听话的人，恐怕早就被父母卖走了罢。\n我们家向来是不和的。从我记事起，父母之间就从未给过对方好脸色，当然他们也没给过我好脸色。应该是两年前吧，他们就已经离了婚（我竟然是前几天中考报名才在户口本上看到的，哈哈）。自那以后，可以明显地感觉到，我们家变得更乱了，父母间的斗争也从阴面转到阳面上了：\n父亲想要我变成他理想中的人，而母亲想要我变成她理想中的人。\n而我，却只想做我自己。\n做我自己，这么一个简单的要求，可十五年过去了，却仍然不能实现。\n我的母亲在一中旁边买下那家茶叶店，便是想要整天监视我，掌控我的生活；我的父亲去 Z 市打拼，和 Z 市实验中学的校长搞好关系，也只是想把我带到 Z 市读书，以便更好地控制我而已。\n我直到最后一刻，才明白他们原来早早地就已经布下了局。\n那一天，他们都来到了西山，找我谈去哪个学校读书的问题。可言语间，我还是察觉到他们各自有各自的心计和目的。父亲依旧是那个复读机，母亲依旧是那个尖酸刻薄的母亲。半个多小时的交谈，我没有感受到他们的一点诚意。\n只不过，那场交谈，让本还有些犹豫的我，一下子坚定了自己做的那个决定。\n不管这个决定是否正确，也不管别人如何评价，我只想真正做一回自己。\n那一天，我真正拥有了选择自己人生的权利。\n或许有人要讲：“等你长大后，你会理解父母的。”那么，我只想说，就让长大后的我去理解吧。\n现在，我只想永远地离开这个地狱。\n2020.6.13\n凌晨 2 点，余暮重新开通了注销一年半的 QQ 空间——他禁欲开始不久后就把 QQ 空间注销了——发了篇日志。标题就是“监狱与地狱间的抉择”。\n在点击“发表”的那一刻，余暮哭了。这是他自禁欲以来的第一次哭泣。\n第七章 倩影 我本可以忍受黑暗，如果我不曾见过太阳。\n——艾米莉·狄金森《如果我不曾见过太阳》\n第二天一早起来，余暮想知道有多少人看了文章，于是就去翻了翻 QQ，结果发现那篇日志被腾讯官方封禁了。\n2020 年 6 月 29 日，西山中学高中部创新班的第一批招生和第二批招生结束了。所幸创新班留下来的人不多，一共只有 4 个：余暮、林清远、刘阁铭、陈夕柏。林清远和刘阁铭两人父母在西山中学高中部教书，似乎有什么合同约定好了，他们不需要余暮那样的报名流程，直接内定在了高中部创新班，而且他们的学费和生活费 3 年全免。但余暮的合同里只免除了高一上学期的学费，后面几个学期的学费是否免除得由期末考成绩来决定，并且不管成绩怎样生活费都是要交的。至于陈夕柏——余暮希望他不是因为自己的缘故才选择留下的。\n学校将第一批和第二批留下来 30 个人组建成了一个“预科班”，从高一高二的老师中挑了数学、物理、化学老师各一名来给他们提前上高一的课。不过只有那位数学老师成了余暮高一的正式老师，余暮高一的物理和化学老师此时还在 Z 市带高三。\n预科班晚上上课。白天余暮还得在“孤儿院”上课，不过自从保送西山高中部之后，似乎也没啥必要继续备战中考了。正好晚自习得去上课，给了余暮一个不写作业的理由。余暮已经把高中物理课本看完了，他买了本《高等数学》在学校里自学微积分。\n2020 年 7 月 4 日，王雯菲下到大班找江雨清玩，回来后把江雨清的同学录发给了余暮。余暮不是很懂为什么会给他，江雨清可是个玻璃心到看完《水性》后就把余暮的 QQ 给删了的人。余暮看了下张乔峰的座位，发现他也有江雨清的同学录。余暮又看了看其他人，似乎全“孤儿院”的人都有。那么余暮大概也知道什么原因了。\n余暮小学给同学发过同学录，但也只是给比较亲密的同学发。不过上初中不久后他就把同学录和小学毕业纪念册一起丢了，也许是因为林忠梅所说的“孤僻”，也许是因为余暮不喜欢怀念过去。反正，余暮初中不打算发同学录了，而且同样打算把初中毕业纪念册扔掉。纪念册里不会有值得他去纪念的东西。里面只会有半年的苦涩暗恋、一年半的痛苦禁欲和临近毕业时做出的无奈选择……\n余暮最终决定阴阳一下江雨清：“你是普渡众生的天使，我是无依无靠的流浪汉。我误读了你的慈悲，错怪了你的善良，自作多情地把你的施舍当成爱意。愿你早日回到你的天堂，我将在人间继续寻找我的归宿。”\n把同学录背面的留言写完后，余暮将它交给了王雯菲。他没有下去大班那边。自从他把桌椅搬上来后，他就没回过大班了。\n2020 年 7 月 20 日，F 省中考的最后一天。余暮早早地就做完了道德与法治的考卷，坐在位置上发呆。不久后，余暮又拿起笔，在草稿纸上写下了一首《考场偶得》：\n“六月复六月，三年又三年。出狱亦入狱，放学即开学。”\n当余暮看到其他学生蹦蹦跳跳地走出校门的时候，他突然有些后悔了。他也想像鸟儿一样自由自在地飞翔，飞出西山中学这个囚笼。不，他不会有自由。他可以飞越西山，却无法飞越家庭。去了 Z 市实验中学，他就得受到父亲的管控；去了 L 市第一中学，他就得受到母亲的管控；他们才是真正的魔鬼。对，他的选择不会错。他应该留在西山中学，也必须留在西山中学，监狱有保安，不会放地狱的魔鬼进来……余暮试着说服自己，可不管怎么办，那个念头总会从心底冒出来。余暮不知道自己是怀着怎样的心情走出大门的。没有毕业的自由，没有分别的伤感，会是放假的喜悦吗？可能有吧，但喜悦中肯定参杂着几分不安……西山中学的高一创新班在 8 月 13 日就要开学，他这个暑假只有 24 天，很短，而他有很多事想干。\n中考完后，仍有很多家长给补习机构交了钱，因为学生要准备一中的保送考了。余暮也在家里学习，不过他看的书是《共产党宣言》，是《毛泽东选集》，是《高等数学》。\n2020 年 7 月 23 日，一中的保送考结束了。然后 7 月 24 日又有新的活动，早晨返校拍照做纪念相册，晚上饭店全体同学聚会。余暮果然还是把初中毕业纪念册扔了。\n2020 年 8 月 5 日，L 市可以查询中考成绩了。今年的 F 省中考格外简单，余暮语文考了 135，不过他并没有拿到状元，陈媛春到底还是欺骗了他妈。\n2020 年 8 月 6 日，余暮回了趟西山中学。所有高一创新班，即高一六班的学生都回去了。一中保送考完后很多没考上实验班的人跑来西山中学的创新班，剩下的 20 个名额很快就满了。到学校后，大家领了宿舍用品和校服，并去整理了宿舍。在家长的要求下，原创新班的 4 个人被分到了同一间宿舍，也就是说余暮的高中室友将会是陈夕柏、林清远和刘阁铭。\n早上 10 点左右所有人又到阶梯教室开了个会。邱存华担任语文老师和高一段长，何于沐担任物理老师和班主任。何于沐就是那个从 Z 市实验中学调上来的老师，教书不到 10 年，却已带了 20 多位清北的学生，算得上年少有为。不过因为和余暮重名，所以为了区别，大家叫他“大于沐”，叫余暮“小余暮”。西山集团为了把他调来，给了他西山乐园的一套房。何于沐此前问过邱存华这里的学生怎么样，邱存华说大山里的孩子肯吃苦，只要抓一下成绩就起来了。于是何于沐签了合同拿了房跑到了西山中学来教书。\n西山乐园是碧桂园和西学集团合作的一个项目。碧桂园是中国著名的房地产商，他们知道西学集团的办学能力，早就料到西山中学正式招生后周围的地价会大涨。所以在西山中学正式招生前，两家公司就谈好了合作。碧桂园买下西山中学旁边的一块地，投资建个西山乐园。西山中学卖自己的学籍来炒房，只要买了西山乐园的房子，子女就可以免试进入西山中学的初中和高中，当然学费照样交，而且想进创新班还得考试。然后碧桂园也回馈西学集团，给西学集团房价上的优惠，西学集团可以用低价出售或免费赠送房子的方式来吸引名师签约西山中学。不过西山乐园在余暮读初三的时候才正式有人入住，而余暮读高一的时候，西山中学在义务教育阶段搞选拔考试、设重点班的行为就被国家制裁了。初中入学资格的获取方式改为摇号，且不得设立重点班。但碧桂园和西学集团的合作没有终止。很多老师会选择住在西山乐园，而不是教师宿舍。在西山乐园，老师可能比学生还多。\n之后数学、英语、化学、生物老师也依次做了介绍。余暮在看《高等数学》，他座位旁边的几个学生在玩《王者荣耀》，大家都没认真听。\n2020 年 8 月 11 日，余暮在刷 B 站的时候得知了一个网站，叫“马恩资料库”，该网站首页看上去非常正能量，有学习强国的广告栏，有习总书记的名言栏，有人民日报、新华社等官方报社的新闻栏，还有教育局、广电总局等国家部门的文件栏。但当你点进首页底部不起眼的分区后，就会立刻进入全新的世界。在“马克思主义原著”分区，你会看到马克思主义原著，包括极为敏感的毛选六、七卷；在“历史资料”分区，你会看到历史资料，包括极为敏感的文革史料。余暮把这两个分区里的东西都下载了，一共 4 个多 G，并挑了一些比较好的文件，用 WPS 的 PDF 打印的“一张多页”，节省了很多纸张和墨水。\n2020 年 8 月 13 日，高一创新班正式开学。余暮和刘阁铭来得比较早，教室门还没开，于是两人回宿舍下了几盘象棋。结果赶回教室的时候发现已经坐满了人，只剩下讲台左右两边各有一个座位。余暮于是就坐在了讲台右边。\n2020 年 8 月 13 日到 8 月 19 日这一周下午的最后两节课要军训，一天就六节课，语数英物化生各一节。8 月 20 日放了一天假，第二天回来后发了课本，是新教材的课本，开始正式上九科的课了。余暮有几节课是不听的：数学课看《高等数学》；物理课看《新概念物理教程》，余暮微积分学得差不多了，可以大概看懂大学物理了；政治课看《马克思恩格斯选集》，这本选集是余暮自己选出来的，收录有《哥达纲领批判》《德意志意识形态》《哲学的贫困》《资本论》《反杜林论》《社会主义从空想到科学的发展》《自然辩证法》等篇目；历史课看《新中国史》，这本书也是余暮自己选出来的，收录有《共和国的历程》《巨人的背影》等书籍。\n在这些文献中，余暮后来印象最深的是《共和国的历程》，他后来写了这样一段推荐语：“这是北京大学马克思主义学会的内部资料。这里有你想知道的中国 70 年历史的全部秘密。建议从头开始看，不要跳。一是北大马会在讲述历史的过程中，穿插讲解了很多原理，这些原理可以帮助你理解历史发展的逻辑；二是历史具有前因后果，你不看前面的历史，就不会明白为什么后面会发生那样的事。全书通俗易懂，文化水平不高的人也可以十分流畅地阅读。”\n2020 年 8 月 22 日，余暮上了高中的第一节政治课。教余暮的是个女老师，叫芬晓红，是个少数民族，戴着粉色眼镜，前额宽大，下巴凸起，嗓门很大，声音嘶哑难听。下课后，余暮跑去问了芬晓红一个问题：“‘中国特色社会主义’和‘修正主义’有什么区别？”没想到芬晓红说：“‘修正主义’是什么，我没听说过，下次我查一查再告诉你。”余暮听完后心里大概也有了预期：这位政治老师人如其名，是个“小粉红”，而且专业知识欠缺，未来日子可能有点难过。\n2020 年 8 月 23 日，余暮第一次见到历史老师黎心雨。黎心雨看上去很年轻，可能大学毕业没多久就来工作了。她有着一头棕色的卷发，五官端正，容貌娇美，声音娇嫩。她穿着一件连衣裙，勾勒出的曲线显得身材很苗条，而且……余暮就坐在讲台边，可以非常清楚地闻到她身上的香味。余暮不是很相信她是自己的历史老师。在余暮的刻板印象里，教重点班的老师应该是像陈媛春、芬晓红那样的大妈，而不是黎心雨那样的大美女。下课后，余暮本来也想去问她个问题试探一下，但最终还是没敢靠近……余暮感觉她周围有一种神圣的气场，没有勇气上前，更何况如果黎心雨也不知道“修正主义”是啥东西，余暮心中对她的美好印象可能就要大打折扣了……\n2020 年 9 月 29 日，月考成绩出来了。余暮拿到了班级第一名，九科 921 分，理六 672 分。当晚正好是黎心雨看班晚自习。她批改完了一个班的作业，然后就拿起了手机，于是看到了智学网上的成绩。她蹲下来对着余暮说：“数学 149 分？怎么考的，这么厉害！”余暮没有说话，脸上不禁泛起了桃红。一是自己被人夸了感到害羞，二是他不小心看到了黎心雨的乳沟。黎心雨很快就回去继续伏案工作了，但余暮内心却一直不能平静。这是他和黎心雨的第一次近距离对话。余暮偷偷瞄了她几眼。她今天穿着白色衬衫、黑色包臀裙和黑色高跟鞋，透过衬衣的短袖口向里看，余暮看到了她内衣的带子……红色的，或者粉红色的，记不清了。\n晚上宿舍熄灯之后，余暮躺在床上，忍不住地回想起了晚自习时发生的事。她的长相，她的声音，她的香味……这一切都交织在他那已被染成玫瑰色的大脑中……晚自习放学后，教学楼的楼道里很寂静，只能听到一双高跟鞋踩地时发出的声音。一个倩影走到楼梯的拐角，突然灯被熄灭了，一只男人的手把她摁在了墙上，她的包臀裙被粗暴地掀起……\n余暮去厕所丢完了纸，很快回到床上。被子里还有余热，他的大脑却渐渐冷却下来。虽然说在刚才自己意淫出来的场景中没有出现那个男人和女人的正脸，但余暮知道他们是谁。他强奸了自己的老师，虽然这只是个幻想。不，余暮似乎意识到了什么，有些痛苦地挣扎着。不，她不该来到西山中学，她那么好看，那么年轻，她可以去当模特，可以去当演员，她甚至可以不用工作，嫁给一个有钱的男人，让他养着自己。她为什么要来教书，为什么还偏偏是在西山中学这样一个见不到光的人间地狱……怎么又这样，怎么又爱上了一个永远也无法得到的人……\n第二天一早，余暮来到教室，拿出了一个空白的笔记本，在扉页上写了一首诗。诗的标题是《倩影》：\n“花香玉音仙女容，玫瑰梦残血水空。本可天堂得一见，何故地狱来相逢。”\n他决定从今天开始写日记。\n第八章 葬礼 她那时候还太年轻，不知道所有命运赠送的礼物，早已在暗中标好了价格。\n——斯蒂芬·茨威格《断头王后》\n2020 年 10 月 1 日，国庆节放假。余暮本来准备坐林忠梅的车回裕隆花园去享受这施舍来的三天假期，结果却发现林忠梅没有把车开过来。她说家搬到了西山乐园，以后余暮可以自己走回家，不用接送了。余暮住在西山乐园 11 幢 1 梯 1604，对门就是何于沐的房子。不过何于沐并没有住在那边，学校送何于沐的那间房子还没装修，是毛胚房。\n林忠梅把裕隆花园的房子拿去出租了，贷款买了这套西山乐园的房，每月得付按揭。房子很小，大概 70 平方米，余暮的卧室可能还不到 15 平。不过房子小也有小的好处。家里不像裕隆花园那里的房子一样能空出一个杂物间来放电脑和打印机，于是这两样东西就放到了余暮卧室的书桌上。裕隆花园的大部分东西都拿过来了，不过余暮找了半天没找到江雨清送的那个兔子玩偶。问林忠梅之后才知道原来被她丢掉了。也对，人不应该这么念旧，大男人还玩一个玩偶确实不合适了。\n余暮逃离了一中旁的茶叶店，却无法阻止林忠梅把茶叶店开在西山中学旁边。噩梦，要开始了。\n2020 年 10 月 17 日，半月考。余暮又拿了第一名。不过余暮有些偏科，英语不太好，只比班级平均分高一点点。邱存华把余暮叫到了段长室，校长王长伟已经在里面等候了。\n“这孩子初三我就在关注了。理科很厉害，语文也不错，就是英语差点。英语提上去了妥妥地上清北。”\n“行啊，那我来给他补习英语吧。”王长伟是个英语老师，虽然当上西学集团的董事长并来到西山中学当校长后就不教书了，但他还是偶尔会自告奋勇地给一些偏科的清北苗子辅导英语。显然，余暮就是一个很好的候选对象。\n于是之后的三个晚上的自习，王长伟都在校长室里给余暮讲非谓语动词。最后一天临走之前校长还塞给了余暮一本他自己编写的语法书，说：“看个五遍，然后把不懂的地方拿来问我，你就什么语法都会了。”不过余暮至今连一遍都没有看完。不是因为懒，而是那本书编得太乱了，没有任何条理。而且王长伟讲语法也讲得不是很好。余暮以作业写不完为代价去上了三个晚上的语法课，对非谓语动词的理解却变得更混乱了。\n从 2020 年的 9 月 14 日开始，西山中学开办了竞赛课。不过西山中学的竞赛课有跟没有一个样。余暮报了数学竞赛和物理竞赛的课。这两个竞赛课都是一周一节，在晚自习的第二节课。西山中学在“洗脑大会”上说会请金牌教练来讲课，实际上来的都是学校平行班的老师。为什么金牌教练没来呢？因为西山中学只付了请他们演讲的钱，没付请他们上课的钱。为什么不是创新班的老师教竞赛呢？因为竞赛辅导课一节 75 分钟但只给 40 元，创新班老师工资高瞧不起这点钱，谁愿意赚外快就让谁去教。物理竞赛课就是念高中课本，第一节课讲完运动学，第二节课讲完静力学，第三节课讲完动力学，第四节课讲完功和能，再下一节课应该就要讲完动量了。不过余暮从第五节课开始就没去听了，因为余暮发现这竞赛课跟竞赛半点关系都没有，听课学到的东西不如自己翻书本来的多。数学竞赛就更有意思了。数竞讲的东西倒是和竞赛有点关系。第一节课老师只发了张印满竞赛题的卷子，然后自己就开始刷手机了。第二节课自然是讲卷子。不过老师显然水平不高，专挑简单的题目讲。讲台底下的学生一直在说“这题会做快讲下一题”，老师却毫不理会，仍不紧不慢地讲她的第二种方法、第三种方法……轮到难题的时候，老师就直接跳过了，有时会敬业地说句“这题下次讲”，还有一次更敬业地抄了一遍答案上的过程。同学问“这一步怎么推出来的”，老师支支吾吾含糊不清地终于应付过去，吓得之后再没写过过程了。上了四节课后，有同学去找段长邱存华反映情况，后来余暮不知道怎么样了，因为他之后就没浪费时间去听课了。余暮觉得自己讲课都比他们好。后来余暮也确实给班里的人上过一次课。那是 2021 年 4 月 23 日 TACA 考试前夜，考试范围有电学，但物理课进度还没到电学，于是余暮自告奋勇地给报名 TACA 的同学上了节电学课。晚自习最后一节，70 分钟，从点电荷讲到高斯定理，期间拿重力场作了个类比。不过这些都是后话了。\n2020 年 11 月 17 日，月考。余暮政治只考了 67 分，虽然离平均分还有 2 分，但余暮已经很满足了。毕竟余暮根本就没听过一节政治课，只在考前随便看了眼提纲；余暮的作业是乱写的，他的答案都和标准答案都不一样，甚至截然相反；考试的时候余暮也会忍不住会阴阳怪气几句，不过改卷老师似乎没看出来是反语，还给了几分。余暮这种行为竟然没有被芬晓红找去谈话，想必芬晓红上课的时候根本就不往讲台边去看余暮，作业也不会认真检查，看到有红笔打钩就写个日期上去。虽然芬晓红教书是这个态度，但她显然还是很注重学生的成绩的。她要求所有没到平均分的学生写一份反思书，晚自习前交给课代表。余暮不幸位列其中。\n余暮无奈，本想着应付一下就过去了，可越想越气，便想调皮一下。\n这是余暮后来根据记忆重写的一份反思书。他的反思书没有标题，因为书里的全部内容都在探讨应该使用什么标题：\n“反思？没有意识到错误的人怎么反思？\n认错？我的错误就是永远也无法意识到自己的错误。\n忏悔？正直的人写不出半个虚情假意的文字。\n赎罪？将谎言交给内心的天神，就能进入所谓的天堂么？”\n晚自习第一节课，芬晓红把余暮叫到了教室外。“你检讨的态度恶劣，我已经告诉班主任了，下次再敢这样我就报给段长。”说着，便把余暮拉到了理科办公室。\n“邱存华跟我说大山的孩子肯吃苦，说你们好教，他妈的好教个屁！作业一次都没有交齐过，上课一堆人在那里打哈欠，下课教室就闹哄哄的，还有你，这写的是什么东西！”何于沐甩了下余暮的反思书，然后拿起手机拍照发到了家长群里。“现在的孩子连反思书都不会写了吗。”何于沐接着又跟了一句。\n家长群很快就有了一条消息。是林忠梅发的。“态度很恶劣，要严肃教育！”\n何于沐头从电脑屏幕前转过来，想看余暮屈服的表情。却发现余暮似乎毫不畏惧，盯住电脑屏幕上林忠梅发的那句话，冷笑着。\n“还敢嬉皮笑脸的？不想读书就从这里跳出去！”何于沐手指着办公室的窗户，愤怒地吼着。整个办公室的人都齐刷刷的看过来。\n余暮还是没到，笑容略微收敛了一点。\n“今天之内写份道歉信，交给芬老师。明天我会去核查，没有你就完蛋了。”\n余暮没写道歉信。第二天的大课间，政治老师把余暮叫到了文科办公室。\n“你上次问我中国特色社会主义和修正主义的区别，我后来查了一下。修正主义是指歪曲和篡改马克思主义基本原理，而中国特色社会主义继承和发展了马克思主义，两者完全不同。”\n“你怎么证明中国特色社会主义‘继承和发展了马克思主义’？”\n“这还要证明？政治书上明明白白地写着，你连教科书都不信？你这种行为放在以前你知道会被怎样吗？你有没有一点廉耻之心？现在就敢怀疑党和政府，以后你会怎么样我想都不敢想……”\n芬晓红越说越激动，越说越大声，很快办公室的人都靠过来了。\n“这已经不是叛逆了吧，这是要造反啊？”\n“听说昨晚理科办公室有个戴眼镜的男生顶撞班主任，不会是同一个人吧？”\n“我家小孩要是这样，我肯定得好好教育一顿。”\n……\n办公室里的窃窃私语传进余暮的耳朵里。余暮脸有些发红，他转头看了看四周，还好，黎心雨不在，她不会看到自己这么尴尬的处境。\n批斗会持续了二十多分钟，等余暮闷闷不乐地回到教室时，大课间已经结束了。现在正在上数学课。余暮越想越气，拿出了学校发的作文纸，在最上面那一行写了三个字：\n平反书。\n《平反书》一开始只有一千来字，余暮始终觉得不够满意。11 月底的半月考余暮在做完历史卷子后发了会呆，突然来了灵感，给《平反书》重写了份大纲。大纲写完余暮又觉得标题叫“平反书”已经不合适了，而且那次批斗带来的创伤已经渐渐消退，所以把文章改名干脆改成了“我为什么活着”。历经两个半月的写作和修改，终于，2021 年 1 月 31 日，《我为什么活着》发表在了余暮的 QQ 空间和“觉木仁”的知乎个人主页，可惜都没过审。余暮索性就不发表了，把自己主动和谐掉的部分重新写了回去。\n《余暮手稿·我为什么活着》\n序言\n这世界对我似乎一直不太友善，然而在我十五岁那年，它送了我一个全世界最好的礼物。\n这几年我的行为表现得很怪异：前一阵子整日摆着一副郁郁寡欢的模样，后一阵子又时常从口中吐出一些偏激的话来。对这样的误会我并不意外。我在很久以前就想写点东西讲讲自己的心路历程，讲讲自己如何变得“抑郁”，如何变得“偏激”，以及自己曾经如何在希望与绝望、悲观与乐观中交替循环。本文写作期间不断地发生一些事，我也在不断地提高自己的认知，纠正了许多错误的或片面的认识。因此这篇文章后来被我不断地修改，如今已超过 13000 字了。当然本人水平有限，文章肯定还有很多讲得不准确的地方，只能希望读者指正了。\n人来到世间，没有谁告诉他们为什么要活着，一切行为都等待他们自己去赋予其意义。苟活十五年，终于一朝闻道，那种如获新生的感觉，我今天仍然难以忘却。能在这纷乱的生活中留下一份坚定的信念，对于我而言实在是一件太过幸运的事情。\n我把我的经历分享在这里。过去做过很多错事，说过很多不当的话，对不起很多人，这些都难以弥补了。此文就当是我给过往的一场葬礼吧。\n零 我的回答\n对于标题这一哲学发问，我的回答只有两个字——真理。我为真理而活着。这真理有两重含义：一是自然科学的真理，如宇宙的终极秘密；二是社会科学的真理，如共产主义的伟大事业。\n本文我将详细地讲述我过去一段时间的遭遇，以丰富这第二层“真理”的内涵。这些内容将分为三个部分：一是“理想的破碎”，在这一阶段，我对自己过去的生活逐渐产生怀疑，在应试教育和禁欲主义的长期摧残下，旧的价值体系开始自发地瓦解，但并未有正确的思想填补空缺的信仰，是一段迷茫期；二是“现实的崩溃”，在这一阶段，我借中国几家大公司出事的机缘，接受了一波又一波新思潮的洗礼，积攒了十多年的三观几乎被彻底摧毁，但对事物认识还不够全面，是一段过渡期；三是“信仰的重建”，我将在这一部分讲讲自己如何正确认识到自己在社会和历史中扮演的角色，如何正确理解当今世界的真实样貌，以及自己是如何用马列毛主义武装自己，重建信仰，实现自我救赎的。\n一 理想的破碎\n在中国有一个奇怪的现象：父母们常常把自己所受的痛苦化为对下一代的期盼。他们或在工厂里打工，或在公司里上班，或在学校里教书，或在医院里治病，总之，他们大多靠出卖劳动力换取生活资料，是典型的无产者。他们受着老板的剥削和资本的压迫，是受苦最深的阶级。然而他们当中却少有人想过反抗社会的不公，或者说他们还没有意识到受苦的根源在哪里。他们认为只要努力就可以过上幸福生活，于是转过头对他们的孩子说：“好好读书，以后考个好大学，出息了，就不用像我们这样受苦了。”他们把希望寄于下一代，并甘愿把自己作为一个反面教材。\n而我，和千千万万的孩子一样，也是在父母这种期盼的目光之下、在社会这种狭隘的成功观之下长大的。我小时候听过最多的话就是“吃得苦中苦，方为人上人”，看过最多的故事就是“某企业家一穷二白地开始创业，然后登上了世界富豪榜”。受了这种思想的熏染，利己主义思想开始在我幼小的心灵中生根发芽。尽管我那时常爱说“钱乃身外之物”，但潜意识里似乎还是害怕成为工人阶级，并且把“当上 CEO，迎娶白富美”视为人生巅峰的。\n这些把高考看成唯一出路的父母们很愿意进行教育投资，只要有利于孩子读书，花多少钱他们都大力支持。很惭愧，我小的时候没怎么去过补习班，空闲时间只热衷于玩游戏和思考人生，辜负了父母为我花钱的满腔热情。好在我所处的这个四线城市的教育竞争并不激烈，让我能够侥幸考进市里最好的初中。初一那年，我依然秉持曾经的作风，没有特别认真地学习，周末回到家就开始没日没夜地打游戏，结果在一次次地考试中被班里的大神甩得不见踪影。父母对我说：“不要再玩游戏了。”我的老师也多次在班上宣传“玩游戏影响学习”“考上好大学的人都不爱玩游戏”的理论。而数次彻夜疯玩之后的空虚感和厌倦感也在不断提醒我“换种生活吧”。最后再加上自己脑中朦朦胧胧的成为人上人的幻想，我不幸走上了禁欲主义这条道路。这“禁欲主义”和中世纪的禁欲主义不同，僧侣相信自己会有个美好的来世，而我不相信有来生了，却还相信长辈口中的虚无缥缈的未来，所以这“禁欲主义”应称为“新禁欲主义”。不过后者说法也不准确，因为“禁欲”这一行为本身的就是为了满足自己更大的欲望——考个好成绩，进而去个好大学，最后走上人生巅峰。叫“禁娱乐”也不大准确，因为“Studies serve for delight”，读书本身就是一种娱乐。那么只能称其为“禁止长辈所说的一切不利于学习的娱乐”了，但这么念又太麻烦，所以干脆还是写成“禁欲主义”吧。\n2018 年 11 月，我制定了第一份禁欲计划，禁欲生活算是正式拉开了序幕。禁欲的第一步是禁游戏。在 2019 年 2 月基本完成后，禁欲进入了下一步，“谈恋爱”和“吃零食”被加进了禁欲清单中。再之后禁欲主义就发展到了有点病态的地步，我甚至把使用手机、出门坐车、买新衣服、洗热水澡都视作放纵的行为，是自我堕落的前奏，不允许自己有任何这样的念头。禁欲的扩大化只是反映了这样一个事实：那时的我信奉教师所传授的方法，迷恋上了自我施压，相信这种超人哲学，即人有很大的潜力，要不断地去逼自己，给自己设下挑战，以摆脱物质的依赖而变得强大。毕竟要“吃得苦中苦”嘛，没有苦也得自讨苦吃。当然，在那时，这些反人类的措施并没有被全部彻底落实，但我还是天真地美其名曰“磨练意志”和“培养良好习惯”。2019 年 5 月之后，禁欲主义发展到顶峰，我甚至公然逃离了自己的生日晚会——因为我并不想过生日，而那些都是父母背着我一手操办的。在这禁欲主义的上升时期，我尝到了一点小小的甜头，沾沾自喜，对禁欲主义的正确性毫不怀疑。不过在外人看来我俨然已是一个精神有点问题的人了。时至今日，我也早已不理解自己当初为什么要这样与自己为敌，和自己过不去。\n2019 年末，我遭到长期禁欲带来的反噬，沉迷上了看书和写作，并回归了互联网。简单地说，应试的学习，即成日的刷题和背书渐渐地让我感到厌烦了，而长期的禁欲更让我感到苦闷，于是我去寻找放松的方式。开始时我仍限制在禁欲主义的条条框框里，从看书和写作中重新发现了新桃花源；最后我打破清规戒律，回归了互联网。刚开始禁欲的时候，我以为看书和写作是有利于学习的娱乐，于是没有把它们列入禁欲清单里，然而事实似乎并非如此。我的语文差，我按着老师的建议去加强阅读，买了许多世界名著，没想到自己很快就沉迷进这种其他学生看不下去的书中了，想必是禁欲期间太无聊了罢。在沉迷看书之后的那段时间里，我一直将书籍视为逃避生活的武器，它为我筑起了铜墙铁壁，我把自己埋在书里，沉浸在一个个或离奇或美丽的故事里，以屏蔽现实中的不堪，忘记生活中的烦恼。老师还建议说想提高作文分数就得多练笔，于是我开始写点文章，并渐渐地体会到这种“思想宣泄”的快乐，逐渐沉迷其中。我会把自己的烦心事变成笔下的几句嘲讽和调侃，或一个比现实还要悲伤的故事。我还经常会模仿儒学圣人的笔法，以一种救世主的姿态俯瞰世人，同情怜悯他们被欲望纠缠的可笑姿态，施舍般地为他们指明禁欲主义这条正确的出路，看似高尚，实则是在劝说自己去相信那自己都开始怀疑的禁欲主义，装出一副摆脱欲望后超越世俗的模样来安慰自己罢了。如果说读书是逃避，那么写作更像是反抗：身体在抵触禁欲，可大脑却一意孤行，最后大脑为了反抗身体，就出现了这种自欺欺人的文章。说得冠冕些，那些文章是对正不断从眼前逝去的青春年华的追忆和挽留，但我现在觉得，这更像是一位正走向末路的禁欲主义者发出的最后哀叹。因为在那时，禁欲主义过了上升期，正逐渐没落了。读书和写作实际上替代了游戏的地位，发挥着游戏的作用，成为了我继游戏之后的新的心灵栖息地和避难所。相比于游戏只能在家里玩的缺陷，读书和写作却在任何地方都可以进行。自以为摆脱了魔鬼，可实际上魔鬼从未离开过，所谓的“禁欲主义道路”其实是我为了实现某个更大的欲望而踏上的，魔鬼从我踏上这条道路起就步步紧随，失败是注定的。那段时间我的成绩掉得很严重，上初三以后，我就几乎没再认真读过初中的东西，每天晚自习应付完作业就开始折腾书和笔的游戏。显然那成为人上人的号召对我再没有任何吸引力了，至少它比不上几个小小的兴趣爱好。那时我读了很多书，大多是一些世界名著，不过现在差不多都忘光了内容；也写了很多文章，但到现在几乎都不忍再直视。唯一对后来有些影响的事，恐怕就是重新拿起了手机，开始正视曾被我认为“危害学习”的网络。应试的学习已经满足不了我了，在初三进入了总复习阶段，每天都是重复的刷题和背书，没有任何新知识填补内心的空虚，对知识的渴望驱使着我去学习。起初我仍是困在禁欲的约束中，只想着利用互联网这种现代化的工具看些网课，既能放松又能学点知识，不违反禁欲原则的同时还能缓解压力。配合着买来的课本和互联网上的课程，我花了半年多的时间自学了一遍高中的数学和物理，以及一些杂碎的化学、生物学、信息学、经济学、心理学、哲学等知识。后来渐渐地我会用互联网看新闻。再后来我会看一些娱乐性质大于学习性质的文章或视频。总之，禁欲主义正逐渐地从内部瓦解，而且它没有任何自救的手段。因为谎言终究是要被看穿的。“禁欲主义”的可笑的真面目已经被我一点点地察觉到了。\n2020 年初，因疫情肆虐，学生们只能在家上网课。早就对“刷题背书”式的生活厌烦的我自然抓住了这段难得的摸鱼时间。2020 年 3 月下旬，我在网上刷到一篇评论衡水中学的文章，其中提到的“囚徒困境”着实让我耳目一新。我曾在自学博弈论的时候了解过这玩意，却从未想到把它放入真实的社会情境中。大概是从那一天起，我开始发觉科学不仅可以解释自然现象，还可以解释社会现象。这为我之后学习社会科学、接触马克思主义埋了个伏笔。\n在那位作者的其他文章里，我又了解到了“内卷”“做题家”这些我以前从来没见过的词语。我幼小的心灵受到了极大的震撼。现在请允许我用自己的理解通俗地解释一下上面这些高深的词汇：\n所谓“做题家”指的是那些以“做题”为唯一人生出路的人，他们是“奋斗哲学”的坚定的信奉者，即相信努力做题就可以过上更好的生活。而在“做题家”前加个“小镇”，特指出身小城的做题家。因为在小镇出路更少，做题家这一群体会更庞大且更典型。“小镇做题家”们为了考上好的大学努力读书，结果却是学习得越来越累，收获反而越来越少。第一年大家每天学八小时，你学十小时就能上清北；第二年大家每天学十小时，你得学十二小时才能上清北。竞争越是激烈，别人越是努力，你就越难成功。因为每个大学招收的名额在各省都是固定的，录取分数线的提高并不会使录取人数也增多。换句话说，即使大家都每天 24 小时高强度学习，全省所有人都考上了 700 分，录取名额依旧不变，能上好大学的依然只有最前面的寥寥数人。你的努力，不过是和别人争抢东西，并不能真正地创造价值，表面上很感人，其实是徒劳无功的；可是，如果你不努力，却又让别人占了便宜，别人轻轻松松就超过了你，长辈会骂你不够开窍，不知道“先苦后甜”。最好的结果当然是大家都很佛系，你稍稍努力就能超过很多人；最差的结果是大家都变成斗战胜佛，你拼了老命也比不过那些可以为教育投资数百万、可以得到更好教育资源的家庭的孩子。但在高考这个体系下，每个人为了自己的利益最大化，都毫无选择，只能比别人更努力，否则就会吃亏。这种“个体最佳选择造成集体最差后果”的困境叫做“囚徒困境”，这种“努力不产生增量只竞争存量”的状态称为“内卷”。\n那天，在学完这些概念后，我陷入了深深的迷茫之中，仿佛自己过去的几年生活和所有努力都被一下子否定了一样。那天，我那“好好学习，然后成为人上人”的理想破灭了，我开始怀疑从父母、老师那边听来的各种各样的“长者教训”，开始觉得自己从出生至今所形成的那套思想可能出了问题。那天，我以为自己窥见了这个社会的秘密，然而我并不知道，这不过是世界运行法则中的冰山一角罢了。我更没有料到，这种恐惧而又惊喜的感觉，在不久后我还要再经历一次，而且那次将比这回更加强烈，它将在我的成长路上烙下一个特别深的印记，甚至永远改变我此后的人生轨迹。\n二 现实的崩溃\n我从小就一直接受着充满民族主义色彩的爱国教育，逐渐形成了一种以国家利益评判一切是非的价值观，并在长大后成为了一名“盲目的爱国主义者”。小时候我以为，国家的一切都是欣欣向荣的，出现的一切问题，都可以通过 GDP 化解。我在发现了当前教育体系的内卷问题之后，依然认为只要在现有的体系下修改一番就能彻底解决。换句话说，我那时把教育的问题看成了一个孤立的问题，而没有意识到其背后牵涉到的一系列其他的社会问题，且这些社会问题最后都指向一个共同的根源——阶级矛盾。\n在历史和政治教科书的误导下，我曾一度以为资产阶级在中国已经被消灭了。事实上，资产阶级确实被消灭过，但后来又复活了。社会主义始终存在着资本主义复辟的可能，而无产阶级文化大革命的目的就是尽可能地铲除资产阶级复辟的土壤。毛泽东逝世后，温和派夺了文革派的权，结束了文化大革命；两年后，走资派又夺了温和派的权，中国正式走上资本主义道路。经过几年的准备，1988 年 4 月 12 日人大《宪法修正案》、1988 年 6 月 15 日国务院公布的《中华人民共和国私营企业暂行条例》以及配套的税收法规等文件又正式承认了私营经济的合法地位。至此，资本家这个群体被合法化，从地下走到了地上，换了个“企业家”的名称开始公开活动，并且今天还在不断发展壮大。小时候父母总喜欢把那些企业家们创业的故事讲给我听，我因此一直以为，企业家都是些努力为社会做贡献的人，他们的钱都是用心血换来的，而不是靠剥削劳动者创造的剩余价值得来的。这种认识直到那天我看见资本家露出的狡猾的尾巴后才有所改变。\n2020 年 4 月 26 日，马云公然喊出“商业本身就是最大的公益”的口号，引起众怒，阿里巴巴发布在 B 站的视频评论区已彻底沦陷：“是人民养活了阿里巴巴，不是阿里巴巴养活了人民”“资本家就资本家，别当了内啥还想立牌坊”“马云老是把资本家吸血说得那么冠冕堂皇”“吸血鬼不怕十字架，但是吸血鬼怕锤子和镰刀”“有点感动，大家还记得新中国的根”。那时我还懵懵懂懂，不知道他们在激动什么，只看见那些革命时期才能见到的字眼在屏幕前飞舞。那时，我只隐隐约约地察觉到，中国似乎藏了一个天大的秘密，有一个阴暗的背面没有被我窥见。\n2020 年 4 月 30 日，阅文集团推出新合约，企图把写作者变成自己的奴隶，引起了各行各业劳动者的不满，他们纷纷为写手声援：“当外国的资本都开始装绅士注意吃相，避免竭泽而渔破坏生态的时候，我们一个社会主义国家竟任由资本卷土重来搞起了垄断和重新定义劳动法等丧心病狂的行径。”“一个能以一己之力垄断渠道的怪物，一个一纸合同就能毁灭占文字工作者半壁江山的行业的怪物，真的是社会主义国家应该有的产物吗？”“新中国成立的基础是佃农，他们缴纳地租，并服各种劳役，遭受繁重剥削。那时候被剥削的是体力劳动力，佃农没有自己的土地，必须入地主家户籍，才有地种，地还不是他们的，相当于家奴，也算是签了卖身契，甚至祖祖孙孙一直这般下去。现在好了，科技进步了，剥削的等级也进步了，开始剥削脑力劳动力。写手们没有自己的版权，必须入腾讯的户籍，才有地种，版权也还不是他们的，他们不听话随时可以换个人种他们的地。写手相当于家奴，签了卖身契，甚至死后五十年还是腾讯的鬼，情况何其相似。新中国成立才多久，我们才发展了多久，腾讯就一屁股坐在了新的资本剥削阶级上了？以为换成新时代的新剥削手段，剥削的是新群体，别人就认不出了呗。历史的倒车也敢开。”\n2020 年 5 月 3 日，《后浪》视频在网上大火，同时也引发了大面积的争议。众多网友对视频中所宣扬的价值观进行了抨击。《后浪》这个视频非常大方地赞美了青年，说他们活在一个好时代，展示了许许多多昂贵的科技产品和青年人热爱的的高消费娱乐。然而实际上大多数青年都过得很苦，在剥削和压迫下艰难度日，没有能力享受这个时代的美好，可这支视频却对此视而不见，有意避开，专挑那些展示人上人美好生活的镜头给我们看。明明鲁迅说过，中国的筋骨和脊梁要去看地底下，可为什么那些本该属于默默付出的年轻人的镜头，那些本该给予真正为社会做出贡献的劳动者的赞美，却都给了那些能用上各种奢侈品、能去各种地方旅游的青年人上人？许多青年人感觉到了一种割裂感，他们感慨：“原来这才是中国的青年，是我不配。”有人说，“你去追逐那百分之一的后浪吧，我将书写底层的蠕虫至死方休”；有人说，“《后浪》最大的危害，就是让学生们相信只要自己努力读书将来就可以像视频中的人那样生活”；有人说，“《后浪》所体现的根本就不是‘五四精神’，说文雅点这叫‘何不食肉糜’，叫‘用鸡汤宣传掩盖阶级叙事’，说粗鲁点这就是‘欺骗’和‘背叛’”。\n从 4 月 26 日至 5 月 3 日这短短一周时间内发生的几件大事，严重动摇了我的价值观。我依然记得那时翻看评论的震撼，我看见了一个和政治书上描写的完全不一样的中国。那段时间我一直进行着颅内战争，不知该听信谁，不知该做什么。正当我迷茫的时候，在一位网友的回答中，我得知了一个可以免费阅读马克思主义相关文献的网站。不过那时已临近中考，我没有时间和精力去认真看文献，只粗略地翻了翻，浅尝辄止。\n在中考之后的十几天短暂假期里，我开始去研究那些买了但一直没时间看的书籍，包括《共产党宣言》（以下简称《宣言》，以我的水平解释马、恩的话可能不够准确，故贴上了原文）和《毛泽东选集》等，它们解答了我不少的疑惑。这里只简略谈谈前一本书给我的解答。\n关于找工作变难的：“现代的工人只有当他们找到工作的时候才能生存，而且只有当他们的劳动增殖资本的时候才能找到工作。这些不得不把自己零星出卖的工人，像其它任何货物一样，也是一种商品，所以他们同样地受到竞争的一切变化、市场的一切波动的影响。”这便是整个社会范围的内卷。在内卷体系下，工人的自相竞争会使得找工作变得困难。\n关于利己主义盛行的：“资产阶级在它已经取得了统治的地方把一切封建的、宗法的和田园诗般的关系都破坏了。它无情地斩断了把人们束缚于天然尊长的形形色色的封建羁绊，它使人和人之间除了赤裸裸的利害关系，除了冷酷无情的‘现金交易’，就再也没有任何别的联系了。它把宗教虔诚、骑士热忱、小市民伤感这些情感的神圣发作，淹没在利己主义打算的冰水之中。”这便是经济基础决定上层建筑。资本主义生产关系是土壤，它孕育了资产阶级思想，并使之在社会中流行开来。\n关于祖国的：“还有人责备共产党人，说他们要取消祖国，取消民族。工人没有祖国。决不能剥夺他们所没有的东西。因为无产阶级首先必须取得政治统治，上升为民族的阶级，把自身组织成为民族，所以它本身还是民族的，虽然完全不是资产阶级所理解的那种意思。随着资产阶级的发展，随着贸易自由的实现和世界市场的建立，随着工业生产以及与之相适应的生活条件的趋于一致，各国人民之间的民族隔绝和对立日益消失。无产阶级的统治将使它们更快地消失。联合的行动，至少是各文明国家的联合的行动，是无产阶级获得解放的首要条件之一。”也就是说，无产阶级是不分国别的，各个国家的无产阶级互相都是朋友，都有共同的敌人。民族不是人的第一属性，阶级才是。无产者在资本主义社会里是奴隶而非主人，资本主义国家是资产阶级用来压迫无产阶级的工具。无产阶级反抗本国的资产阶级不算叛国，在取得无产阶级专政之前，即在无产阶级从国家的奴隶变为国家的主人之前，无产者没有祖国。\n关于公妻制的：“但是，你们共产党人是要实行公妻制的啊——整个资产阶级异口同声地向我们这样叫喊。资产者是把自己的妻子看作单纯的生产工具的。他们听说生产工具将要公共使用，自然就不能不想到妇女也会遭到同样的命运。他们想也没有想到，问题正在于使妇女不再处于单纯生产工具的地位。其实，我们的资产者装得道貌岸然，对所谓的共产党人的正式公妻制表示惊讶，那是再可笑不过了。公妻制无需共产党人来实行，它差不多是一向就有的。我们的资产者不以他们的无产者的妻子和女儿受他们支配为满足，正式的卖淫更不必说了，他们还以互相诱奸妻子为最大的享乐。资产阶级的婚姻实际上是公妻制。人们至多只能责备共产党人，说他们想用正式的、公开的公妻制来代替伪善地掩蔽着的公妻制。其实，不言而喻，随着现在的生产关系的消灭，从这种关系中产生的公妻制，即正式的和非正式的卖淫，也就消失了。”也就是说，实行公妻制的是资产阶级，共产党人恰相反，他们要消灭公妻制，消灭这种用金钱奴役他人的权利。无产者靠出卖劳动力换取生活资料，说不好听点就是卖身，和妓女一样，只不过大多时候他们的身体在干脑力、体力活外不会发挥别的用途。一旦资本主义生产关系被消灭了，劳动力市场就停止运作了，卖淫也就消失了，公妻制也就被废止了。在抗日战争时期，延安就不存在妓女，这便是对生产关系进行改造的结果。\n关于取消私有制会滋生懒惰的：“有人反驳说，私有制一消灭，一切活动就会停止，懒惰之风就会兴起。这样说来，资产阶级社会早就应该因懒惰而灭亡了，因为在这个社会里是劳者不获，获者不劳的。所有这些顾虑，都可以归结为这样一个同义反复：一旦没有资本，也就不再有雇佣劳动了。”也就是说，在资本主义社会，资产者雇佣劳动者为他们劳动，他们剥削工人创造的剩余价值，即不劳而获；真正付出劳动的工人，却只能够维持最低限度的生活，即劳者不获。有的人把雇佣劳动，即打工，等同于劳动，所以他们认为雇佣劳动的消失，等同于劳动的消失，人们会因此变得懒惰。其实，雇佣劳动消失后，劳动并没有随之消失，反而成为真正的劳动，成为一种与打工性质完全不同的劳动。在社会主义生产关系下，产品按劳分配，多劳多得，人们各尽所能，不需要物质刺激，不需要奖金挂帅，就能最大程度地解放劳动力，从而提高生产力。苏联“五年计划”时期的飞速发展就是一个铁证。\n类似上述这样的文段《宣言》里还有很多，感兴趣的可以自己去读原著。\n这是我后来写的读《宣言》的感受：“很久没有如此泪流满面过了。不知从什么时候起，我逐渐地对人和事都丧失了热情。将近成人的年纪，却没有了恋爱的兴趣；习惯了男男女女的无病呻吟，不再会被故事打动，不再会为情歌共鸣；习惯了日日夜夜地刷着手机，游戏玩到麻木，甚至厌弃。获取新知的喜悦被日复一日的刷题抹平，在与学习厮守的岁月里，只剩下柴米油盐，和称不上惊喜的惊喜。年少的心似乎已冻结了，沉寂、冷漠、孤僻，成了最适合形容我的词语。我从未想到过，唤醒了那颗将死之心的，让凝固的血液重新沸腾的，竟是一本许多人认为枯燥而深奥的书籍。”这段文字有些做作，但写出的感受大抵还算真实。\n在读《宣言》的时候，我几乎否定了我所有的过往：我过去所追求的梦想，不过是成为一个人上人，满足自己的私心而已；我过去所承受的苦痛，不过是在无病呻吟，是毫无意义的忧虑而已；我过去所以为的乐趣，不过是小资产阶级情调，是娱乐至死的行为而已。\n《宣言》彻底摧毁了我积攒十多年的三观。回想起过去听过的鸡汤，回想起过去做过的“小资梦”，回想起过去长辈用来教导自己的充满利己主义色彩的“奋斗”，我忽然悲痛至极，开始对在自己身上长期存在的对劳动者的傲慢和自大感到后悔不已，也愤恨向我施加这种价值观的长辈和环境。那些我过去所接受的教育，那些我耳濡目染的东西，让我成为了一个“小粉红”和“精资”4，让我拥有了奴性思维和资产阶级思想。而对于那些真理，对于阶级斗争，对于马克思主义，却从未有人和我说起，我们的教学也仅仅停留在表面，不敢深入地讲解，仿佛有什么不可告人的秘密。\n我被那个虚假的社会主义欺骗太久了，我被那些资本主义文化腐蚀太深了！\n三 信仰的重建\n回顾自己的心路历程：想过隐逸避世，信过王阳明心学，试过禁欲，还听说过曹学和勃学5。童年时就已经看见过无数次的“马克思”，可马克思主义究竟是什么，却根本说不清。在过去，我是一位“个人主义者”，那时我的理想表面上说得高大上，什么“为中华民族伟大复兴而奋斗”，什么“造福社会造福人民”，其实到底是为了个人的私利罢了。追求幸福总是没错的，可在这个内卷的社会中，我自己得到的幸福却损害了他人得到幸福的权利。长期以来我为这样的想法所折磨。\n毛泽东曾说：“社会主义改造有两方面，一方面是制度的改造，一方面是人的改造。”主席还强调：“人的改造，时间就要更长一些。”旧制度已经死去了，但旧文化不会立刻被埋葬，那些长期禁锢在人们脑中的思想，还在不断寻找可以寄生的地方。用马克思的话讲：“一切已死的先辈们的传统，像梦魇一样纠缠着活人的头脑。”奴隶制度已经灭亡了，封建制度已经灭亡了，资本主义制度已经灭亡了，可那些剥削阶级的遗体还在向外发散着臭气，还有人做着旧时代的梦，想要复辟，想要像奴隶主、皇帝和资本家那样不劳而获。虽然改革开放后的中国不讲阶级斗争了，旧制度换了个名字回来了，经济、政治、文化等各个领域资产阶级都逐步完成了复辟，但社会主义是不会死的，劳动人民是会醒的，马克思主义所阐明的客观规律还在发挥着作用。那场对旧思想旧文化旧制度的斗争，在任何时候、任何地点都没有停止过。2020 年，资本主义体系正在全面崩溃，无产阶级正在广泛觉醒，这种斗争已经越来越被人们所熟知，我也是在这一年实现了思想上的转变。\n马克思主义是这个世界所给予我的最好的礼物。于我而言，马克思主义主要教会了我两点：一是认识世界的方法，二是改造世界的方法。\n马克思主义最吸引我的地方，就在其透彻的世界观。马克思主义是剖析历史现象和社会问题的一把好刀子，曾经许多不能理解的东西，再学会了阶级叙事后，答案都特别清晰。阶级社会的一切矛盾，本质都是阶级斗争在各个领域的延伸。社会主义是从资本主义向共产主义过渡的中间时期，社会主义仍然存在着阶级，阶级矛盾仍然是主要矛盾。不谈阶级斗争的“社会主义”，就好比不教微积分的“物理”，所讲的东西必然是空洞肤浅且让人不明所以的；又好比没打补丁的“黄色游戏”，丢失了最核心的东西而徒有其名。现在，让我们重新审视一下阶级视角下的中国：\n先看看无产者的视角。现在的大人们常爱对子女说：“毕业后你就能过上幸福生活了。”但其实，毕业才是苦难生活的开始。上来就要面临生存的压力。资源是有限的，要生存就得和别人抢东西，无论创业还是打工都一样。创业要有一定的启动资金，要有一定的市场远见，小镇做题家没有那样的资源和视野；且大多数行业已被垄断，创业之路狭窄且拥挤，企业难以逃脱破产的结局。打工得和别人拼学历，和自己的打工人同伴相互竞争。好不容易抢到了份工作，可等待自己的却不是幸福生活，而是被剥削。所有的努力换来的不是个人阶层的跃迁，而是老板阶层的巩固。他们的劳动成果被资本家无偿占有，他们只能拿到微薄的仅够维持生存的工资。越发激烈的市场竞争使劳动力越发廉价，“你不愿意拼命，别人愿意拼命”，他们只有更加努力地工作，才能使生活维持在原先的水平。社会财富积累在了少数资本家的手里，物价上涨，房租变贵，无产者却还是那般贫穷，只能更加饥寒交迫地度日。《骆驼祥子》这部小说概括一下就只有一句话：旧社会把人变成鬼。现在，仍有无数的无产者被变成了鬼：他们的肉体被摧残了，长期的高强度劳动造成了各种疾病的发生，甚至有的员工在岗位上猝死；而更残忍的是精神上的摧残，他们失去生活理想，失去人生目标，变得佛系，颓废不堪，萎靡不振，看着那些互联网上的人过着光鲜亮丽的生活，又审视了自己的碌碌无为，想改变一切却又无能为力，于是像个行尸走肉般度日，成为了第二个祥子。\n再看看资产者的视角。他们一方面要增值资本，提高利润，另一方面要维护自己的利益，维护当前这个体系。他们要想尽办法延长工作时间，从有偿 996 到无偿 007，用成功学和鸡汤来包装他们违反劳动法的行为，让放弃加班的人背上懒惰无能的罪名；他们要将失去青春、没有利用价值的无产者无情地抛弃，他们不说自己为了追求利润，而说自己在“向社会输送人才”；他们要树立一个个被操纵的傀儡偶像，吸引没有脑子的人一群群地撞进消费陷阱；他们要巧立名目，制造一个又一个活动，把各种传统节日包装成“购物节”“消费节”；他们要用各种白条和信用卡，把无产者未来的钱也拿到手里，让无产者今天所打的工，变成明天还资产者的债；他们要在全社会宣扬消费主义，用各种媒介来打压和污名化那些低消费群体，让那些还没被消费主义洗脑的人成为社会的笑柄，让他们在婚恋市场上被淘汰；他们要把自己跟民族和国家这种高大上的东西捆绑在一起，狐假虎威，反对他们就是反对国家，反对民族，就是卖国贼；他们要用各种手段压住那些不满的声音，任何投诉和抱怨都会换来严厉的报复；他们要养出一批工贼来进行工人阶级内部恶性竞争，挑动工人和消费者之间的矛盾；他们要用各种歪理邪说，给那些工蚁们洗脑，从而让无产者死心塌地地支持资本家的存在；他们要假装发善心，把吸到的血吐出来一些，并找媒体把自己标榜为“慈善家”和“人民富豪”，让别人以为他们的目的不是赚钱，而是为社会做贡献；他们要把高学历与高收入挂钩，刻意拿出一点资源分给高学历人群，为无产阶级打造了一个取得高学历就能获得高收入的信仰体系，让广大的无产阶级寄希望于自己的下一代，放弃自己斗争的权益。他们要不断地分化无产阶级，不断地削弱斗争意识，不断地模糊阶级概念；但阶级矛盾越发展，阶级斗争就越剧烈，资产阶级的阴谋诡计终会被识破，他们的遮羞布会被扯下，无产者的联合是无法阻挡的。\n无产阶级是最伟大的阶级，他们承载着层层压迫，他们背负着世界前行，他们始终是推动社会不断发展的根本力量。无产阶级应该要成为世界的主人，而且必将要成为世界的主人；无产阶级不需要谁来拯救，他们自己就可以主宰自己的命运。无产者要想得到真正的幸福，只有一种方式，那就是联合起来，推翻资产阶级专政，实行无产阶级专政，再用无产阶级专政消灭阶级，最终实现共产主义。正如《宣言》所指出的：“无产者在这个革命中失去的只是锁链，他们获得的将是整个世界”“代替那存在着阶级和阶级对立的资产阶级旧社会的，将是这样一个联合体，在那里，每个人的自由发展是一切人的自由发展的条件”。\n此外，马克思主义还赐予了我一套积极健康的人生观和价值观。\n首先是对学习的改观。在很长一段时间里，我都不知道自己为什么要学习，只是在那长期机械式的生活下，灵魂深处的惯性还能勉强推着我在地狱中前进。偶尔仰望，幻想长辈所说的毕业后的快乐天堂。直到有一天，美丽的梦破了个洞，不小心被我窥见了背面的黑暗，于是天堂的倒影里只剩下比地狱还要可怕的景象。我开始思考知识的真正意义。知识不是金钱，不是用来考试的，不是用来获取功名利禄的。知识是力量，是一种可以改造世界的力量。正如那个从马克思笔下诞生的“幽灵”，列宁用它摧毁了一个腐朽的旧帝国，毛泽东用它创造了一个美丽的新中国。更多知识意味着更高的能力，我们不该以物质利益为目的去追求高学历，那正是资本家的诡计。无产阶级队伍需要高学历高素质人才，为了人类的解放，为了那个没有阶级的社会，我们应该要学习，而且必须要学习。\n然后是对人生意义的改观。也曾迷恋过，把那些冰冷的代码当作自己的桃花源；也曾深爱过，把一位梦中的女孩作为自己生命的支柱和灵魂的归宿。年轻时，我不懂保尔，我不明白他为什么要离开美丽热情的冬妮娅，去追寻那“假大空”的理想。而后来，我却到了每次读共运史都会想落泪的地步。看着一次次的流血，看着一次次的背叛，看着事物不断地走向反面，却看不到事物走向反面的反面，即正面。毛泽东的那句“物质不灭，不过粉碎”，总是在我的心中回荡着。有过悲观，也有过绝望，可看着那一个个被压迫着的苦难的人，我又不断地回想起导师的教诲：我不仅仅要拯救我自己，我的肩上还承担着拯救所有人的使命。什么游戏，什么谈恋爱，什么人上人，什么伟大复兴，这世间哪还有比解放全人类更壮丽的事业？\n有人说，青春是用来追梦的。“梦”这个字现在沾满了资本主义的铜臭味，有点恶心，我不太喜欢。我觉得青春是用来燃烧的。有的人把青春烧在了打工上，抛弃了高尚的理想，却还是没能逃过卑劣的生活，被老板不停地压榨，充当了资本家的燃料。其实他们还有一种选择——把青春烧给革命，烧破黑暗，烧出光明，最后烧成的灰烬，将会生长出一个“没有剥削，没有压迫”的世界。学生天生的小资产阶级性质是难以克服的。小资产阶级掌握一定的生产资料，可以自给自足，即靠着自己对自己掌握的生产工具施加劳动就可以获取足够的生活资料来维持生活，他们会受到大资本的压迫，会受到大资本的竞争和排挤，因而他们反对资产阶级；但他们又幻想通过自己的努力扩大生产，从而成为新的资产阶级，不愿意将生产资料公有，所以他们又会反对社会主义。而学生情况类似，他们认为应试教育浪费人的精力，把时间都花在了无用的内卷之中，所以反感当前的应试教育体系；另一方面他们又幻想通过这座“独木桥”来获得人上人的头衔，享受人上人的生活，因而反对建立文革时期的教育制度。这两类人在革命中都具有动摇性，同时也常感到迷茫，因为真正彻底解决问题的方式自己总是难以接受。从现在学生对于“内卷”二字所表现出的困惑就可以看出来。上升通道在竞争中逐渐变窄，学业负担加重，学校残忍手段层出不穷。可面对这样的困境，学生自己找不到出路，甚至还把内卷玩成了一个梗。这个代表了严肃社会现象的抽象名词就这样沦为了在学生间被滥用的自娱自乐。中国这里曾零星地爆发过几场学生起义（近几年比较出名的一次是衡水中学学生的“二二四运动”），不过我估计那些为了自己假期权益而联合起来阻止学校为竞争而抢着提前开学的学生中，少有人能意识到解决内卷问题的真正方法是消灭私有制——而这正是共产党人的最终追求。学生是一个进步群体，如果有合适的引导，他们可以成为革命的重要力量；但如果引导不当，则可能被敌人利用。我最喜欢和青年人交谈，青年人没有偏见，他们以是非为评判标准，而不是利益；他们愿意相信真理，愿意接受先进思想的改造。正直善良的青年人拥有朴素的感情，爱国是天经地义的事情，一部分青年人止步于爱国主义，但越来越多的青年人，通过爱国主义的桥梁，最终走向了共产主义。特色社会主义的谎言终究是要被看破的，真相总有水落石出的一天，真理也总有战胜谎言的一天。\n世界上只有一种英雄主义，就是看清生活的真相后依然热爱生活。如果生活欺骗了你，你就用力撕碎它的谎言；如果社会毒打了你，你就用力夺过它的皮鞭。没有从天而降的英雄，只有挺身而出的凡人。我希望，我也相信，未来会有越来越多的人觉醒，会有越来越多的人意识到，与其消极沉沦，不如奋力抗争；与其选择庸俗的残喘，不如选择高尚的绽放。\n2021.1.31\n2021 年 1 月 28 日期末考，余暮数学物理发挥失常，只拿了个班级第五，市里排到了 200 多名。这次数学、物理市统考题量很大，余暮平时又不爱刷题，晚自习做完作业就看闲书。这两科只比班级平均分高了十分。优势科目没发挥出来，英语又在拖后腿，总成绩自然不太好。\n2021 年 1 月 31 日，寒假正式开始。余暮在 B 站刷到了一个宣传马克思主义的视频，UP 主叫“星星之火”。余暮觉得视频不错，就点进主页看了眼，发现有一条动态是 QQ 群的二维码。余暮尝试扫了一下，群名叫“星星之火迎新群”，进群要回答一个问题：“毛最后一次斗争的目的是什么？”\n“反修防修。”余暮就写了四个字，随后点击“发送”。\n很快余暮通过了申请，管理员说了几句欢迎新人的话，随后又说如果想进主群要去群文件里下载“2020-2021 星星之火入门考试.docx”来做，答案另写在一份 word 文档里，备注上 QQ 号发给群管理，考试合格就可以进入主群。\n余暮下载了文件。试卷题目不多，打印下来也就三页。\n2020-2021 星星之火入门考试\n这是一套题，分三大题，选择题，判断题，简答题\n出题人：Exusiai\n考试时间：60 分钟，禁止作弊抄袭\n第一大题，选择题\n1，以下哪篇文章不是毛主席写的（）\nA，《别了，司徒雷登》\nB，《放弃幻想，准备斗争》\nC，《苏联利益和人类利益的一致》\nD，《这是最后的斗争》\n2，马克思主义哲学是（）\nA，从物质第一性，精神第二性出发解决哲学基本问题的\nB，从理论和实践的关系出发解决哲学基本问题的\nC，从实践出发解决哲学基本问题的\nD，从自然和社会的关系出发解决哲学基本问题的\n3，马克思主义哲学的产生是哲学史上的巨大变革，其成就不包括（）\nA，使得无产阶级第一次有了自己的科学理论武器\nB，在人类思想史上第一次有了绝对真理的理论体系\nC，在实践基础上实现了唯物主义自然观和历史观的统一\nD，创立了唯物史观\n4，十月革命前后出现的社会革命党的性质是（）\nA，代表沙俄资产阶级反动利益的傀儡党\nB，俄国无产阶级的武装斗争党\nC，俄国势力最大的小资产阶级党\nD，乌克兰地区无政府主义政党\n5，下面哪一个部分不属于马克思主义的三部分之一（）\nA，社会主义发展部分\nB，无产阶级革命斗争部分\nC，唯物主义哲学部分\nD，政治经济学部分\n6，以下哪条不是教员在《湖南农民运动考察报告》的观点（）\nA，没有调查就没有发言权\nB，北伐军单纯的占领对当地农民运动帮助十分微小\nC，农民运动，不是糟的很，而是好得很！\nD，干部应注意对农民的思想教育，并且不能忽视农民的力量\n7，以下哪位没有对马克思理论做过一定贡献（）\nA，斯大林\nB，伯恩施坦\nC，考茨基\nD，切·格瓦拉\n8，西班牙内战中，是哪国共产党提出了组织国际纵队的想法（）\nA，德国共产党\nB，苏联共产党\nC，法国共产党\nD，西班牙共产党\n9，我们不该和以下哪些人联合（）\nA，思想开明的绅士\nB，安那其（即无政府主义）武装割据\nC，反对资本主义的封建地主\nD，罢工时有意砸毁生产资料的工人\n10，以下哪个观点不是列宁在《共产主义运动中的左派幼稚病》中的观点（）\nA，坚持党内铁一般的纪律\nB，不参与任何反动的工会\nC，德国左派思想有待改进\nD，有目的地与非共党联合\n第二大题，判断题\n11，社会主义阶段不需要进行阶级斗争，只用倾尽全部进行经济建设。（）\n12，工人的工资和资本家的利润成反比。（）\n13，就目前局势看来，列宁的先锋队理论是非常正确的。（）\n14，罗莎·卢森堡是苏联伟大的批修斗士。（）\n15，民族主义和马克思主义是相辅相成的。（）\n16，日本法西斯的投降主要是因为美国的原子弹。（）\n17，托洛茨基认为，社会主义革命不需要外部世界的帮助。（）\n18，苏维埃社会主义联盟是人类史上第一个无产阶级政权。（）\n19，生产的直接目的不是使用价值（既不是直接的使用价值，也不是间接的使用价值，即不是通过商品交换取得使用价值），而是使现有的价值增值，即获得剩余价值。（）\n20，苏俄政府曾将马赫诺的无政府主义武装割据称为“匪帮”。（）\n第三大题，简答题\n21，一句话解释马克思列宁主义中“国家”的概念。\n22，你如何看待“一带一路”和“战狼外交”？\n23，有人说在新时代“要做比尔，不做保尔”。这句话你认同吗？为什么？（保尔指保尔·柯察金，比尔指比尔·盖茨）\n24，新冠疫情期间，相当数量的企业以“紧急状态”为由强迫工人加班，这种行为你认同吗？为什么？\n25，请用三句话或更少描述你认为的共产党是什么样的。\n26，简单论述资本主义转变为帝国主义的必然原因。\n27，《回顾》一书作者认为，共产主义是随着教育发展，人民普遍观念进步，从而和平过渡到共产主义的。你同意吗？为什么？\n28，张教授认为，郑和下西洋“以和为贵”的政策之所以与西方的远洋殖民政策不同，是因为骨子里民族性不同，无关时代。你认同吗？为什么？\n29，你为什么想加入“星星之火”？\n30，你会什么技能吗（例：剪辑视频，文稿配音等）？请简单介绍一下你自己。\n请另行作答在文档上，标明题号，等待考核，谢谢配合\n“1-5 CABAB\n6-10 BBBCB\n11-15 FFFTF\n16-20 FTFFT\n21 国家是统治阶级用来压迫被统治阶级的工具，是一个历史范畴。\n22 一带一路：为发展资本主义积累资金，是对别国的经济侵略。\n战狼外交：违背国际主义原则，是资本主义社会中民族主义不断发展导致的结果。\n23 不认同。\n无产阶级的历史使命是推翻资产阶级专政，建立无产阶级专政。成为比尔，是逆着历史的大道前行；只有成为保尔，才能推动社会的发展，才能真正地实现个人价值。\n24 不认同。\n这是一种压榨工人阶级的行为。\n25 始终强调阶级斗争。\n实行群众路线，即大民主。\n永远站在无产阶级这边。\n26 资本主义不断发展，使生产资料越来越富集，最终被少数人、少数国家垄断。资本主义国家之间、资产者和无产者之间的矛盾无法调和，终将爆发。\n27 不同意。\n共产主义不会和平到来。社会主义是共产主义的初级阶段，是资本主义和共产主义之间的过渡时期。通过推翻资产阶级专政，建立无产阶级专政，资本主义的生产方式受到限制，共产主义的生产方式得到发展，人类逐步从资本主义过渡到共产主义。至于共产主义的到来，不是因为‘教育发展’‘观念进步’，而是生产力不断发展导致的必然结果。\n28 不认同。\n民族性这玩意就是扯淡，是唯心主义者的屁话。民族性在资本主义社会中已经逐渐消亡了。西方远洋殖民，是因为有着资本主义原始积累的迫切需求；中国古代封建经济自给自足，没有扩张侵略的刚需。\n29 身边没有理解我的人，太孤独了，想找一些志同道合的朋友。\n30 会写文章，知乎有 2000 粉丝。个人主页：https://www.zhihu.com/people/yu-mu-2-19。”\n自上高一以后，余暮就一直有在键政圈活跃。他的知乎 ID 改为了“觉木仁”，每个周末回家都会评论几句时事，发表几篇文章。不知不觉间也积累了一些粉丝。凭着这个优势，余暮成功进入了主群。迎新群里有 400 多个人，但主群只有 60 来个。余暮这才知道这不是一个共趣组织，而是一个革命组织，群成员来自全国各地，主要集中在大城市，住在 L 市的只有余暮一个人。\n群友教会了余暮怎么使用 VPN 翻墙浏览境外网站。他们看余暮在知乎有点粉丝，就安排给他宣传的工作。其实也就是在网络论坛上或评论时政，或声援底层人民，或宣传马克思主义，和余暮之前干的事情没什么区别。\n群里氛围很轻松，大家都互道同志，工作没有硬指标，当然也没有工资，大家都是打工自费来搞革命的。“星星之火”有时会举办线下聚会，不过都是在一些大城市里，规模也比较小，一般就 10 来个人，和“中共一大”的出席人数差不多。不过余暮没有和任何一位同志线下见过面。“星星之火”比较经常开的是线上聚会。“星星之火”还有第三个群，叫“星星之火读书会”。读书会每周六晚上九点开始，由主群的人负责主持，会先挑选一本书，由主持人导读，其他人可以在群里自由讨论。余暮只参加过《国家与革命》的那次读书会。参不参加都是自愿的。\n在迎新群里管理不允许大家聊敏感话题。可能是因为迎新群入群门槛低怕混入内鬼。主群则可以随便讨论，甚至群文件里全是敏感资料。迎新群主要聊日常，游戏、恋爱、教育、医疗、房价，反正只要不是太敏感的都可以聊。主群一般都在聊革命工作上的事。在主群里，余暮才知道中国现在有很多地下的革命组织，就像星星或者繁花一样点缀在这 960 万平方公里的国土上。余暮有时也不得不和其他组织的同志交接工作。余暮还不时会听到某某组织被国安局查封的消息，不过这种消息只有主群的人能知道，上浏览器根本搜不到，甚至外网都没有相关消息。\n中国的第二次社会主义革命还处于早期的宣传阶段，这就导致本应秘密进行的革命活动不得不以半公开的方式开展。这是现阶段革命的一个很矛盾的点：以半公开的方式进行秘密活动。怕人知道，又怕人不知道，像极了刚恋爱的小学生。\n余暮发现很多同志都爱用二次元美少女作头像。他们说这种伪装成“无害的二次元肥宅”的伎俩对网警没用，主要是图个自我安慰。余暮也想图个自我安慰——毕竟换上粉粉嫩嫩的萌妹子头像看上去就没有威胁，不容易暴露自己革命者的身份。于是余暮用群友给的梯子上 Pixiv 的排行榜上找图。那时《原神》甘雨刚实装不久，排行榜里全是甘雨的色图。余暮画了半天时间才找到一个画师的原创角色图。不过，自那以后，B 站就天天给余暮推荐《原神》相关的视频。禁欲主义虽然名存实亡，但仍流毒不浅，余波未歇。余暮到现在还是没再碰过游戏，所以看《原神》的二创视频也就图一乐，没想过去玩。\n2021 年 3 月 13 日，高一下学期第一次半月考。余暮不幸考了班级政治倒一。主要是政治刚好教到了党和国家那块，很多问题余暮都忍不住阴阳怪气了一番。之前的几次考试余暮也有阴阳，但那时可阴阳的题目没有这次多。\n2021 年 3 月 14 日，政治课讲评试卷。芬晓红不知哪根筋抽了，突然心血来潮地说要让大家看看政治第一名和政治最后一名的答案有什么差距。于是余暮的答题卡暴露在全班面前：\n“1，党和国家以人民为中心，用武力赶走示威群众，提高了社会治安，使人民生活更加幸福。\n2，党和国家以人民为中心，把国有企业转卖给私人老板，促进了经济的繁荣发展，使人民生活更加富裕。\n3，党和国家以人民为中心，抓捕维权工人和前来声援的学生，保障了生产的秩序，使人民生活更加安全。”\n政治老师很快关掉了智学网，把余暮叫了出去。\n“你行为恶劣，反党恨国，彻彻底底的反动派，放以前可是要坐牢的！”\n“你真的了解过以前的历史吗？以前的共产党鼓励大家对党进行批评，文革时还提倡群众贴大字报，反倒是那些反党恨国的人整天想着怎么堵上人民的嘴。再说，按你这样的逻辑，那些被抓走的五四青年是不是也‘行为恶劣’‘反党恨国’是‘彻彻底底的反动派’？”\n“别跟我扯什么五四运动！时代变了！你现在跟我去见段长！”\n“邱存华段长，这是余暮的政治答题卡。”政治老师把手机拿给段长看，“题目要求举出三个‘党和国家以人民为中心’的例子，余暮却在这里乱写，他这样子是没有分的！”\n邱存华皱了皱眉头，随后又笑着挥了挥手：“嗯，看得出来，余暮还是很关心底层人民的，就是太年轻了，我和他单独聊聊吧。”\n“余暮啊，马克思的书要少看，他讲得太肤浅。知道《商君书》吗？这本书才讲得深刻。里面有句话是‘国以善民治奸民者，必乱至削；国以奸民治善民者，必治至强’，治理奸民就要用奸臣。我对待你们的态度也是这样，好学生就可以好好讲道理，坏学生就要打骂与说教结合，否则没有效果。”\n什么封建古籍也敢来碰瓷马列著作？余暮笑了笑，没说话。\n“其实什么共产主义就是个谎言，美丽的谎言，共产党自己也知道这是个谎言。那为什么要叫共产党呢？因为这只是个口号，是个旗帜，仅仅是为了把人们聚集到一起而已。人性就那样，共产主义永远也实现不了。按需分配？人的需求永远也满足不了，怎么按需分配？”\n“人性不是抽象的永恒不变的；按需分配是为了防止按劳分配所产生的阶级分化，他完全不是你理解的那个意思……”\n“说了马克思的书要少看，你那些理论不还是马克思的东西？你对政治的理解不透彻。我给你推荐几本书。前面说的《商君书》，还有什么《韩非子》《管子》……”\n余暮跟邱存华道过谢后走了。“封建僵尸”“老古董”，这就是余暮对邱存华现在的印象。这种人不值得争辩，他的傲慢已无可救药。\n政治老师回去后在智学网上翻看了余暮前几次考试的答题卡，又详细检查了余暮的作业，发现他原来是惯犯，只不过之前一直没注意到而逍遥法外。芬晓红把这个消息告诉了段长，段长觉得事情不太妙，就召集几个老师开了个会，会后又问了下校长怎么办。\n一时之间，对余暮的讨伐接踵而至。\n2021 年 3 月 14 日晚自习，何于沐把余暮叫到了教室外。\n“有理想是好事，不过现在你的任务是好好学习。将来你才可以去当国家主席，不然你的才华抱负都无处施展。”\n改良主义是吧。你对 100 年前的中国共产党说现在的任务不是搞暴力革命，而是去努力竞选中华民国的总统，看会不会被当成傻逼。余暮想着，没说出来。\n“共产党可不是靠竞选民国总统上台的，人家是靠暴力革命实现理想的。”\n“可现在跟民国时期不一样了。”\n余暮没说话了。一样不一样，可不是人的主观意志能决定的，也不是一两句话就能说清的。反正革命是胜利了，但复辟也成功了，一切不都回到了原点么？要说区别也是有的，至少蒋介石不会声称自己实行的是社会主义路线。\n2021 年 3 月 15 日下午，母亲来学校找到了余暮。母亲说，她的一个同事的儿子本来考上了公务员，结果就因为在网上发表了一些不当言论，被判刑五年，现在他的全家人都在想办法怎么把人弄出来。\n虽然余暮知道这个例子大概是母亲随口编出来的，但余暮还是想说，就这？就这你以为就能吓唬住我？关于这种事情余暮知道的肯定比母亲多，而且还都是真实案例。\n他知道有个叫毛继东的党员，给中央写了封十万字的信，详细解释了邓小平理论怎样歪曲马克思主义，请求把邓小平理论从党章中删除，结果信送到了，人也进局子里了；他知道有个叫曹为平的乌有之乡专栏作者，因为在复旦大学门口发传单，为毛泽东时期的历史拨乱反正，结果人被便衣带走了；他知道北京大学马克思主义学会里的学生去支援佳士工人运动，结果悉数被警察逮捕，被媒体污蔑为“境外势力”；他还知道，在“星星之火”里干活的时候接触到不少革命组织，有些前一天还在交接工作，第二天组织就被查封，人全被网警请去喝茶了。他知道这样的事情每时每刻都在发生，或在互联网上开论战，或在暗巷山区打游击战。在历史上的每个时刻，在世界上的每个角落，都有人在为了心中的正义同邪恶抗争。自文革结束后，在中国，对左派的迫害就没有停止过；即使在中央明确提出要支援左派的文革中，也有一些走资本主义道路的当权派在暗中迫害左派。没点觉悟余暮不会干革命这种事情。余暮很清楚自己的下场，他会被送去监狱，还可能被枪毙。但他并不害怕。历史会公正地审判一切。即使最终他只会成为统计数据上的一个数字，但他仍是反抗暴政的先锋，是为革命牺牲的烈士。他可以被毁灭，但不会被打败。有句鲁迅的话怎么说来着？“真的猛士，敢于直面惨淡的人生，敢于正视淋漓的鲜血。”只要余暮的脑中还有敌人所不能容忍的思想，即使这不会带来任何改变，他也战胜了他们。\n2021 年 3 月 15 日晚上，吴斌把余暮叫到了行政楼里的教务处。\n“你知道王明为什么会犯错吗？”\n余暮呵呵一笑，这套路他在熟悉不过了。我说你修正主义，你骂我教条主义。中国和苏联曾经就这样吵了十年，余暮会不知道他什么想法吗？\n“教条主义。”\n“那王明为什么会犯教条主义错误？不就是没有分析中国国情，错误地把苏联的经验套用在中国革命上吗？我们中国肯定要走有自己特色的社会主义道路，不能一味地……”\n之后的话余暮就没听了，全程“嗯嗯嗯”应付了过去。对于这种连修正主义和教条主义都分不清的人也确实没什么好聊的。果然辩论的最终奥义就在于对概念的解释啊……\n跟吴主任道谢完，余暮本以为可以回班上自习了，没想到吴主任叫自己出教务处后直接去行政楼最里面的校长室。原来校长也要找余暮。\n“你讨厌资本家，对吧？”\n“不能说讨厌。资本家是在社会发展的规律下自然诞生的，但也会随着历史的继续发展而消失。我只是想尽我的微薄之力加速这一进程。”\n“你爸跟我关系不错，早上还来这里坐过。他就是资本家。他知道有你这样的儿子会是什么想法？”\n“恩格斯也是资产阶级出身，人家照样可以成为无产阶级革命领袖。”\n“我就是资本家，我对资本家的了解肯定比你多。告诉你，资本家是消灭不了的。你看文革时期说要消灭资产阶级，造成了多大的混乱！”\n“那些混乱基本都是反对文革的破坏分子制造的，走资派就是他们的最高司令部。走资派最擅长的事情就是挑拨群众斗争群众。而且这还只是第一次群众政治的尝试，经验不足，有部分被坏人利用了。巴黎公社也有很多不完善的地方，但能因此而否认共产主义理想吗？”\n“哪有什么被坏人利用，群众自己就是坏人。当时的造反派都像我们学校这里的社会生一样。社会生知道吧？父母花几万把他们送进来，结果他们什么好的都不学，打架吸烟破坏公物辱骂老师，什么都干！我们创办了学校，让社会生都能接受教育；我们没了，那他们不就没书读了？文革期间大家连受教育的机会都没有！”\n“文革只是取消了高考，学校又没拆，何来教育贫瘠这一说？当时不过是采用群众推荐的方式上大学而已。高考实现了程序正义，但没有实现结果正义。看现在考上大学的人中，农村比例多少？城市比例多少？发达城市比例多少？不发达城市比例多少？是否有一个好的出生很大程度上决定了能否上一个好的大学，这也叫公平吗？群众推荐虽然没有程序正义，但能够实现结果正义。”\n“群众推荐怎么可能比高考靠谱！村干部想推荐这个人，你们群众敢不同意吗？到头来不还变成了人治，有什么公平可言。”\n“文革给了群众打倒干部的权力。”\n“这不就会造成社会的混乱吗！我看那个干部不顺眼，那我是不是就可以打倒他？大家互相斗来斗去，最后斗出个什么结果！”\n“这些情况可以通过完善制度来避免。文革的尝试失败了，但并不代表群众政治是不可行的。就像苏联的尝试失败了，只能证明苏联模式是有问题的，并不能说明共产主义是无法实现的。”\n“行行行，我看你也挺固执的。资产阶级消灭不了，但可以用法律来限制他们。你可以像北欧一样只允许资本家拿 20% 的利润，从而提高人民的生活水平。但要能推行这种法律，你得当上大官，那首先就得好好学习。”\n又拿改良主义忽悠人。余暮抿了抿嘴唇，道了句谢，出了段长室。\n走在回班的路上，一个想法一直漂浮在余暮的脑中——投降。\n如果自己不投降的话，那么自己将来可能会一直这样骚扰来骚扰去。这样的论战根本没有意义，改变不了任何人的想法，谁都不肯听信对方，谁都不能说服对方。只有投降才能结束这场纷争。\n后来会想起这件事，余暮觉得自己当时的动机并不仅仅是“假装投降”。所有的玩笑都有一些真实的成分。为躲避长辈的围剿而暂时屈服恐怕只是个导火索。投降的主要原因余暮可能自己都没有意识到——他对革命能否胜利根本就没有底。他当初混在知乎键政圈的时候，就常常能遇见那种逆天精资。自己明明是被剥削者，却一直为资本家说好话。这种群体并不是一个两个，而是普遍存在着。他们真的能够拯救自己吗？他们真的能当国家主人吗？自己做的这一切值得吗？他能够对得起自己的内心，但别人能对得起他的付出吗？余暮没有认真想过这个问题，但他的潜意识里肯定曾经这么问过自己。\n2021 年 3 月 27 日，政治考试。余暮在答题卡上写下了早已想好的《投降书》。\n《余暮手稿·投降书》\n我将和我那洋溢着斗争热情的青春岁月告别\n我将变得圆滑世故以融入大人的世界\n我将充满偏见地站在真理的对立面\n我将抛弃我的理想并亲手将它埋葬\n是的，我决定投降\n屈服于环境，屈从于师长\n我的行为和我的思想持剑对峙互不相让\n我已被切割成了两半痛苦不堪\n我的精神渴望生命的绽放\n我的肉体却在机械地残喘\n高尚和卑劣在我的骨骼间碰撞\n神圣与罪恶在我的血液中荡漾\n这就是我的主要矛盾，我的对立统一\n尽管知道还有无数的人处在阶级压迫的苦难之中\n但我却连自己也无力拯救\n尽管知道当下的学习早已失去了意义\n但我却必须为了上升几个排名而同我将来的无产阶级战友厮杀拼命\n十六年了，我一直吃着农民种的粮食，住着工人造的房子\n我所使用的一切物品，都翻涌着劳动人民的血和汗\n他们辛辛苦苦地把我养大\n我却没能使他们奴隶般的社会地位得到哪怕一丁点儿的改善\n他们流尽鲜血赶走恶龙把我迎进了新家\n我却没能保卫住社会主义而任凭恶龙归来作乱\n我过去所做的，无非是声援一下底层人民，宣传一下马克思主义\n虽然没几个人看，更没有人会认真听\n可如今，我连这个贡献微薄之力的机会也要失去\n从今往后，我将为了我的成绩，不得不说些违心的话语\n从今往后，我将全身心地投入那场囚徒困境，为了一点蝇头小利牺牲精力\n我就是装糊涂的天才，清醒着的傻子\n我就是可耻的工贼，该死的内奸\n对不起，伟大的无产阶级，我挚爱的战友——\n我背叛了你们！\n于此刻起，我将无期限地退出左圈，不谈论任何与政治沾边的东西\n以上就是我的投降宣言\n2021.3.27\n算上空行和标题，一共 41 行，刚好写满答题卡。\n2021 年 4 月 4 日清明节放假。回到家中，余暮把发表在知乎上的所有回答和文章都删了。他注销了知乎账号。在知乎网友看来，这不过是又多了一个因冲塔而被封号的人。他出了“星星之火”的所有群聊，删了所有同志的好友，他自己的解释是准备去“支援印共毛”。不过他用 QQ 小号重新加进了迎新群。因为他喜欢那个氛围。同学不懂他，老师不懂他，同学不懂他，只有同志懂他。这一次他对群问题的回答是：“为了不让无产阶级吃二茬苦，受二茬罪。”最后，余暮翻出了自己的手稿，把所有和政治有关的文章都挑了出来。\n《马克思主义入门 0：我需要学习马克思主义吗》\n《马克思主义入门 1：学习马克思主义的方法和态度》\n《马克思主义入门 2：资本主义的产生、发展和灭亡》\n《马克思主义入门 3：劳动与社会关系》\n《当代中国教育的七宗罪》\n《现代家庭制度的剥削本质》\n其中前 3 篇文章已经发到了知乎专栏，第 4 篇写完草稿还没修改，最后 2 篇只有大纲。\n余暮看了看《我为什么活着》，犹豫了一下，没把它扔掉。其他涉政文章就没有那么幸运了。\n活了这么久，余暮还是没有学会说谎。自己说了要投降，那就得对自己说的话负责啊。\n余暮把理想从内心驱逐出去了，现在他需要一样东西来填满空虚的心。他下载了《原神》，ID 取为“雨幕”——他要在这个雨天，这个赛博世界，为自己的理想举办一场葬礼。\n我不是二次元，也从未爱过这异世界。我不过希望把我那暴毙于现实的可怜理想，悄悄带到一块平静而舒适的墓地里安葬。\n——《余暮日记》\n望着窗外若有若无的细雨，余暮心里突然产生了一种难以言说的滋味。他终于明白为什么要在清明节扫墓了。\n第九章 熄灭 它是站在海岸遥望海中已经看得见桅杆尖头了的一只航船，它是立于高山之巅远看东方已见光芒四射喷薄欲出的一轮朝日，它是躁动于母腹中的快要成熟了的一个婴儿。\n——毛泽东《星星之火，可以燎原》\n这时 nova 4e 的拉跨性能就体现出来了。《原神》移动端的最低画质竟然带不到 20 帧，而且游戏没玩到半小时就闪退了。余暮试着用家里的电脑玩，结果更离谱，最低画质可能还不到 10 帧，而且才玩五分钟程序就崩溃了。余暮于是去玩云游戏，不过卧室里 WiFi 不太好，云游戏延迟太高，最后余暮索性就去客厅里玩了。打开云游戏后余暮才知道自己之前玩的是 B 服。反正 B 服也就玩了不到一小时，余暮就去注册了个官服账号。填写身份证的时候，余暮犹豫了一会，不过最终还是写上了自己的身份证。\n一来余暮当时还不知道父母的身份证，虽然他也听说过班上有同学上网找通缉犯的身份证来实名认证的，但他总觉得用陌生人的身份证不安全。二来他觉得自己这种正直的人不能干这种勾当，他至今都还不太会撒谎，不然他完全可以在政治考试和政治作业中掩盖自己的思想。三来他可能也不希望自己沉迷游戏，毕竟自己只是想把它当成一个理想的坟墓，帮助转移一下注意力，让自己忘掉马克思主义。\n不过《原神》这种全是单机内容的网游，其实防沉迷最好的方式就是一下子把游戏打穿，当没有任务和活动可做，每天只是无聊地清体力做日常，重复这种机械劳动，也就是到了俗称“长草期”的时候，游戏就没意思了，自然一段时间后就放弃了。每天限制 1.5 小时其实更容易沉迷——可惜我们亲爱的光腚总局只会一刀切，永远也无法明白这一点。\n就这样，在日限 1.5 小时的帮助下，余暮成功沉迷了原神。回到学校后，他每天晚上都要去隔壁徐叶的宿舍，在那里和徐叶、林清远聊天。班上就他们三个人在玩《原神》，其他的男生要么在玩《王者荣耀》，要么就在玩《和平精英》；至于女生……余暮知道的有玩游戏的不多，她们更喜欢刷抖音和追剧追星。这就是他们课外的全部文化活动了。在这个四线城市里，人们的娱乐方式极其单一，而监狱里的学生的精神更是和他们所能得到的爱与关怀一样贫瘠。\n云游戏每次进游戏的时候，界面上的图标全都是红点。余暮有轻微的强迫症，习惯先把红点清掉。2021 年 5 月 2 日这天，余暮发现邮件多了个红点，里面竟然是米哈游送来的生日礼物——一个蛋糕和两个脆弱树脂——这是继 nova 4e 之后余暮第一次收到礼物。余暮这才想起来自己又大了一岁。16 岁，花一般盛放的年纪，却有着一颗快要凋谢的心灵。可惜这份来自赛博空间的礼物没能治愈余暮心中的痛楚。\n2021 年 5 月 12 日，历史教到了新中国史。余暮看到作业里那些睁眼说瞎话的题目，还是忍不住“指点江山，激扬文字”了一番。第二天黎心雨就来找余暮了。\n那时候黎心雨正好在值班——教学楼里的连廊也是要有人看管的，一天轮换一人。上课的时候看是否有学生私自离开班级，自习的时候看哪个班吵闹不安静，中午和晚上下课后检查各班是否关灯关门，以及教室里是否还有人——每天做的就是这种工作。5 月 13 日的中午放学后余暮正打算去吃饭，刚出教室门就被黎心雨叫住了并拉到了值班的座位旁。\n“你是对历史教科书有什么意见吗？”\n“嗯，抹黑前三十年，洗白后四十年。”\n“可前三十年确实有很多问题，后四十年也确实有很多成就啊……”\n“片面的真相和假象没有区别。他们不敢把前三十年的成就全部展现出来，也不敢把后四十年的问题全部暴露出来。他们更不敢把出现问题和取得成绩的原因都说清楚明白。前三十年的问题一部分是因为初次建设社会主义缺乏经验，另一部分原因是反动势力暗中破坏；后四十年的成就，主要是靠压榨劳动群众、侵吞公共财产和出卖国家利益取得的……”\n“嗯……人们对历史事件本来就有不同的评价。立场不同，看法不同。不过中国确实有点特殊，很多事情都不允许有相反的声音。我有个导师，就是研究文革历史的，每次论文都没法过审，得一遍一遍地修改。”\n“是的。历史不能放开讨论，政治不能全民参与——只有心虚的统治者才会做出这样的事情。而我们正处在这样一个表面自信内心自卑的国度里。”\n“你这些东西都是哪里看来的？”\n“网上看的。有一个网站叫马恩资料库，就是这个……”余暮接过黎心雨的手机，输入了马恩资料库的网址，Loading 了一会，不出意料地出现了“无法访问此页面”的字样。“嗯……网站可能出了些问题……”\n“时间也不早了，去吃饭吧。老师是教历史的，就算真实历史和教科书有出入，那我也不能不这样教啊……”黎心雨拍了拍余暮的肩膀，露出了一个灿烂的微笑，“我平时就在文科办公室，有什么问题都可以来找我哦。”\n我以后不能和你聊这个，我已经投降了。我答应过他们不能再讨论政治相关的东西。这次谈话本就已经违反投降宣言了。这话余暮没说出来。他内心里其实很想和黎心雨多谈谈。他感觉黎心雨和别的老师不一样。但余暮甚至全程不敢看黎心雨的眼睛。他相信，只要黎心雨注意到他那闪躲的眼神，一下就能把他所有的脆弱和怯懦都看破。\n5 月 16 日，周末回到家中，余暮用梯子试了下，还是进不去马恩资料库的网站。大约马恩资料库的确已经消失了。\n2021 年 5 月 19 日，早晨。余暮在食堂吃饭，隐约听到周围的人在谈论和“跳楼”有关的事。回到班上后，也有人在说这件事。早读课结束后，学校突然来了个全年段，不，应该是全校范围的大检查。余暮他们被赶出教室，出教室前还得用金属探测仪扫一下身体。然后几个生管老师检查书包、挂袋、抽屉和柜子。教室外闲聊大家又聊了起来。余暮也大概知道了原因：昨晚一个初中部的女生留在寝室没去教室自习，晚二的时候从女生宿舍楼上跳下。死后不久几个生管过来处理尸体，收尸现场被人拍下来并发到了微博上。学校怀疑是某个偷带手机的学生拍的，正费尽心机地想把那个人揪出来。中午放学后，一位男生打开了班里的多媒体电脑，登上自己的 QQ，打开了一个群聊——那个视频在微博上被封禁了，但却在 L 市的学生群里疯传。\n视频是从高处偷拍的，可以看见垃圾池前有一滩血迹，血迹正中央是一具尸体，尸体旁围了三个老师，或者也可能是领导，似乎正在商量怎么处理。虽然画面很模糊，但却比那些高清的电影镜头更让人感到恐怖——毕竟是真实发生在自己身边的事情。围在多媒体旁的几个女生见到尸体后尖叫着跑开了。余暮站在一旁静静地看完了。视频不长，就十多秒，视角还一直在晃——偷拍的人应该也很慌张，匆匆忙忙地就结束录制了。那位男生刚把 QQ 退掉，连廊值班的老师就过来催人撤离教室了。余暮拿上校卡就走去了食堂。\n西山中学最外面那一排的每栋楼上都有标语。从大门外望进去，从左到右依次是行政楼、图书楼、艺术楼、食堂兼女生宿舍楼（其中一二层是食堂，三层以上是女生宿舍）。行政楼上的标语是“只为成功想办法，不为失败找理由”，图书楼上的标语是“创一流名校，谱百年华章”，艺术楼上的标语是“为孩子的美好未来领航”。而那位女生是从标语为“不落下一个学生”的宿舍楼上落下来的。\n其实知道有人跳楼的消息后，余暮并没有多大震惊，想必其他学生也是这么觉得的。L 市里一直流传着“西山教学楼，一跳解千愁”的段子，L 市没有一个中学生不知道西山中学是个什么鸟样。余暮反而觉得有些奇怪，六年多了才发生第一起命案，不知道是不是有些不堪回首的往事被学校压下去了。\n之后发生的种种事情再次证实了跳楼一事。学校在每栋教学楼的护栏上又加装了铁丝网——现在一只麻雀都飞不进来。教室的窗户也加装了三根大铁柱，算上原来就有的三根，六根粗棍子把不到两米高的窗户封得严严实实的，别说人跳出去，头都伸不出去。二楼、三楼、四楼的连廊上都装了铁门。不过三楼连廊和四楼连廊的门之后再没打开过。除此之外，教学楼楼道以及其他许多出入口都装了铁门，连同二楼连廊的门一起，在上课期间和学生离开之后全部关闭；换句话说就是只有学生老师出入教学楼的时候才会开门。学生们的评价是纯狱风格。这下真成监狱了。\n以后在西山中学走夜路的时候，再也不用害怕孤独了——有一个女鬼会永远陪着你。\n2021 年 6 月 30 日，期末考结束，高一暑假开始了。\n这次期末班级成绩都不理想。高一上时班里没有一个进入市前 100 的，高一下终于实现了从零到一的突破。不过这点小进步并没有让何于沐满意。何于沐觉得这个班教不出什么名堂，在搞下去可能把自己名师的称号给毁了，于是违约跳槽去了省外的一所私立高中教书。\n邱存华因为教学上的一些分歧和家委以及校长闹掰了。邱存华不喜欢何于沐管理班级的方法，觉得何于沐对学生太宽容，想抢过他班主任的位置，就跑去和家委以及校长说何于沐的坏话，比如不负责任、纵容学生等等，想替代他成为下学期的班主任。结果校长不同意，因为何于沐他是从 Z 市实验中学高价买过来的；家委也不同意，因为在孩子们的转述中何于沐比邱存华更好。邱存华有点发飙了，又怼校长又怼家委，说他要是下学期没当上班主任就辞职。结果何于沐先辞职了，校长和家委都以为他是被邱存华逼走的，一时对邱存华的声讨不断。而在这个尴尬的时刻，省内的另一所私立高中邀请他去当副校长，邱存华便直接跑路了，临走前还给校长放了句狠话“没有我，西山中学就没有未来”。\n学校让刘怀仁，也就是刘阁铭的父亲来当六班的新班主任。刘怀仁教语文，也是刚高考完的高三创新班的班主任。他带的班成绩还不错，出了一名清北的学生。虽然那位学生是买来的——他中考考到了 Z 市某县的县状元，西山中学花了几十万请他来这里读高中。对了，他就是洗脑大会上那位高二的学生代表，说出了“一中宽松的管理方式会让人懈怠，而西山严格的规章制度会促人进步”这句至理名言。\n至于空缺出来的段长的位置，就让同样刚考完的高三那届的段长赵秋来当了。\n余暮那会在家玩原神看同人，不太关注这件事。他所有的消息都是从班级 QQ 群里得知的，不保真哦。\n吃了那么多老师的瓜，余暮还吃到了一个同学的瓜：陈夕柏利用难得的假期去找江雨清玩，结果发现江雨清一直在低头刷手机，一番质问后得知江雨清在搞网恋，两人就此分手。\n这是余暮进入中学以来过的最长的一个假期了。一是师资变动，二是疫情影响，余暮在家玩了整整 40 天。\n林忠梅看余暮天天坐在客厅沙发上玩手机，挺生气的，偷偷观察了一段时间，记下了余暮玩的游戏的名字——原神。\n在得知余暮的成绩、班级其他人的成绩以及两位 Z 市来的名师跳槽后，林忠梅更生气了，逮着客厅玩《原神》的余暮就是破口大骂：“和那群废物待在一起越学越差。”并且林忠梅还嚷嚷着要把余暮送到 Z 市实验中学去读，说：“这破学校不能再待了。”余暮干脆地拒绝了。林忠梅于是自己跑去找了校长，不过校长说余暮“还有潜力”，不让走。林忠梅碰壁之后更生气了，天天在家嘴臭余暮。不过相处这么久，余暮也算是学会了怎么和母亲说话。母亲越是唠叨，余暮就把耳机声音开得越大——耳不听为净。\n进入高二，就要面临分科的事情了。其实这件事高一期末前就在做了。西山中学高一有两个创新班：创新 A 班和创新 B 班。创新 A 班就是余暮那个班级，都是签合同进来的；而创新 B 班则是中考成绩出来后按正常的志愿录取流程招进来的。高二则出现了三个创新班：理科创新 A 班，理科创新 B 班，文科创新班。虽然 F 省已经实行了 3+1+2 的模式，但西山中学还是沿用了以前的叫法。西山中学高二没有实行走班制，理创 A 和理创 B 都必须选物化生，文创则必须选史地政。创新 A 班中选了物化生的进入理创 A，选了政史地的进入文创，其他选科就只能进其他班了。理创 B 则根据期末考成绩，把选了物化生的其他班的人择优挑进去。文创则类似，除了创新 A 班中选史地政的，还会把年段里选史地政的成绩考前的挑进去。另外高二还多了四个实验班，选科分别是物化地、物生地、物化政、物生政。重理轻文确实是各大中学的通病。\n余暮自然选的是物化生——谁愿意整天和谎言待在一起呢。班上有 6 个人选了史地政，2 个转学了，剩下 42 个全部和余暮一样去到了理创 A。\n黎心雨去教文创了。理创 A 则换了个专门带会考班的男老师，人有点胖，样子憨憨的，虽然没有黎心雨养眼，但同学们都很喜欢，因为他每节课都会留点时间给同学们放历史相关的纪录片。不过这些都是开学后的事了。\n2021 年 8 月 9 日，开学前一天。刘怀仁来余暮家家访。刘怀仁也住在西山中学，来余暮家很方便。\n虽然余暮高一下期末考只有班级十二名，但刘怀仁依然很看好余暮。刘怀仁说自己初中就有在关注余暮了，“一路看着他长大的，跟父亲一样”。刘怀仁说高一上期末考和高一下期末考拿第一的那两个人都不配当第一，真正的第一只有余暮一个，他自己的儿子刘阁铭也只能排第二。余暮在一旁静静地听，越听对刘怀仁的印象越差。林忠梅则在旁一直附和着，临走前还说“反正也方便，以后常来”。\n2021 年 8 月 12 日，开学考试的成绩出来了。余暮考到了班级第九名，相比期末考进步了三名。不过刘怀仁显然对这点进步不满意，在班上告诫大家不要玩《原神》。回家后林忠梅把刘怀仁发给他的消息转给余暮看：“余暮这次在班里只有第九名，玩一个暑假玩废了。”余暮直接流汗黄豆。我期末考只考到十二名，是不是学一个学期学废了啊？傻逼刘怀仁。\n2021 年 8 月 30 日，国家新闻出版署发布了《关于进一步严格管理切实防止未成年人沉迷网络游戏的通知》，规定“严格限制向未成年人提供网络游戏服务的时间。自本通知施行之日起，所有网络游戏企业仅可在周五、周六、周日和法定节假日每日 20 时至 21 时向未成年人提供 1 小时网络游戏服务，其他时间均不得以任何形式向未成年人提供网络游戏服务”。余暮当时在原神群里看到别人转发这条消息的时候直接破防了。当天晚上，余暮切了小号，打开“星星之火迎新群”——他知道这里有最理解他的人，他每次心情不好想键政就会来这里发泄。\n“未成年人真就没有人权呗？”\n“白马非马，未成年人非人。”\n“在中国十八岁才有被选举权，某种意义上来说未成年人确实没有人权。”\n……\n余暮很快就加入了和群友一起骂防沉迷新规的行列。\n2021 年 9 月 11 日晚上 7 点 55 分，余暮拿着手机守在云游戏的页面，不停地点着开始。然而不知是网速慢了，还是手速慢了，余暮最终还是进入了排了半个小时的队才玩上《原神》。那时是雷电将军的池子。余暮自从 7 月 9 日看了 2.0 的预告后就想要这个角色，目前攒了 14000 多个原石，算上刚从邮件领的未成年人月卡补偿以及星辉星尘，差不多 130 多抽。余暮在万叶池出了万叶后就没再抽过角色了，这 130 多抽只出了一个金——迪卢克。好吧，看来米哈游不打算挽留他这个失意的未成年人。余暮花光原石后就把备注改为了“已退坑，勿挂念”。其实他根本没必要改备注。他好友就两个，还都是熟人，一个是徐叶，另一个是林清远，这俩人用的都是成年人的身份证。这回轮到正直的人承担正直的后果了。\n刘怀仁说别玩《原神》，这回余暮是真玩不了了。\n余暮打开电脑，登录了 Steam。其实他在高一暑假就下载了 Steam，那时他在 B 站刷到一个刻晴的婚纱 MMD，评论内里一位老哥说：“怎么和我看的版本不一样，我记得最后衣服会掉地上的。”在楼中楼里热心网友说出了那个 R18 版本的 MMD 要在哪看——Steam 上的 Wallpaper Engine。于是余暮就在那时下载了 Steam，注册了账号，并花 19 块钱买了壁纸引擎。余暮这才知道世界上原来还有一个如此特殊的游戏平台，里面有琳琅满目的游戏，而且没有防沉迷限制。关掉云游戏后余暮第一个想起的就是 Steam。现在余暮很感激那位 LSP 网友。\n傻逼广电，不让老子玩游戏，我偏要玩，还要更疯狂更彻底更尽兴地玩，气死你。\n不过余暮现在的库里只有壁纸引擎这一个游戏——好吧，这应该不算游戏。余暮现在其实可以去玩别的网游了：2021 年 8 月开学前一周左右，学校组织学生集体去打新冠疫苗，而填单子的时候要监护人的身份证号，余暮就这样要到了母亲的身份证号。不过余暮并不想用它来进行网游的实名认证——他不想再玩网游了。网游玩到最后就是上班。他想去 Steam 玩些真正的游戏艺术品了。\n余暮现在又突然有点感谢防沉迷政策。16 岁前每月限制充值 200 元，每单最高 50；16 岁到 18 岁每月限充 400 元，单笔最高少于 100。余暮那时只充值双倍的 98、30 和 6 这几档，并且买了几张月卡，加起来就 400 块左右吧。幸好有消费的限制，不然余暮可能真的抽上头氪个 648 出来。现在他的微信里还剩 1500 元的零花钱。\n在余暮小时候就一直听别人说什么 3A 大作，于是当场就原价买了个《上古卷轴 5》和《巫师 3》。不过打开老滚 5 的时候游戏没加载出来就闪退了。余暮这才上网去了解了下电脑的相关知识……他的电脑 CPU 是 i3-8100，用的是核显，内存 4G，硬盘有两块，一块 128G 的固态，一块 1T 的机械，电源只有 450W，散热就一个装 CPU 上的小风扇、主板是华硕的、机箱一看也是便宜货。\n余暮大致分析了一下。CPU 应该够用了，主板散热电源机箱硬盘也没什么必要换，而且换平台太麻烦；显卡肯定得买，显卡槽不能只插空气了；内存也肯定得换，4G 太容易爆满了。\n余暮上 Steam 看了看硬件统计，用的最多的是 1060 显卡，大多数游戏 1060 就能 1080p 稳定 60 帧了。余暮的显示器就是 1080p 和 60Hz 的，显卡再往上没意义了，而且电源还不一定撑得住。内存至少要 8G，不然游戏会闪退。\n当时正值矿潮，1063 都要 1400 多元；内存价格也还没跌，一根 8G 的条要 250 多。余暮就只买了根 8G 内存条，打算先玩玩那些不是很吃显卡的游戏。\n不过在原价买了《Noita》《饥荒》《泰拉瑞亚》和几款《Mirror》那样的小黄油之后，余暮看到了打折的《文明 6》，才知道评论区里的那一大片“我是傻逼”是什么意思。打折力度最大的时候是圣诞节冬促。余暮还剩个 700 多元，打算留到冬促再花了。\n为了找《Mirror》的补丁，余暮加了个黄油群，群文件里有很多盗版游戏的资源，余暮此后就乐此不疲地玩起了盗版小游戏。每个周末都锁门窝在卧室里。虽然玩盗版游戏让精神洁癖的余暮有一点不爽，不过他在心里安慰自己将来一定会补票的。\n2020 年 10 月 2 日晚上，余暮换小号去“星星之火迎新群”里翻消息。余暮花了五分钟滑到消息的最顶上，刚准备一行行往下看，就突然收到了一条@全体成员的消息。余暮于是又回到了消息的最底下。那条消息是一位群管理发的：\n“国庆期间，国安局加强了网警的巡查。主群的一位同志被请到公安局喝茶，他把在星星之火干的工作全部坦白了。现在主群已被查封，迎新群暂未受到波及。为了大家的安全，希望大家能自行退群。”\n一条消息，一下把潜水的人全部炸了出来。\n有人在质疑消息的真实性，“目前群管理都还没有一个退群的，你们急什么”；有人已经在告别了，“很高兴认识各位同志，江湖有缘再会”；还有的人在担心，“我们也会被请去喝茶吗？我只是因为感兴趣才加的这个群，我啥都没干啊”。余暮没说话。他当年在主群里不知见过多少次类似的场面。他知道“星星之火”也会有这一天。他早就见怪不怪了。可能这就是他一直对革命能否胜利没有信心的原因吧。\n五分钟，十分钟，二十分钟，余暮自己也不知道过了多久，他只记得消息一条一条地飞快地从眼前闪过，群成员一个接一个地离开，直到……直到一个弹窗的出现让整个世界安静下来——群被管理员解散了。\n星星之火，熄灭了。\n第十章 无罪的囚徒 释放不等于解放。他离开监狱，却没有摆脱罪名。\n——维克多·雨果《悲惨世界》\n余暮发现自己最近变得不爱学习了。准确地说余暮从初三开始就讨厌学习了，但那时他讨厌的还只是应试教育，而这次他真正地无法接受新知识了。余暮无法确定自己开始厌倦新知的时间，也许是在《投降书》发表之后，也许是在玩《原神》之后，也许是在“防沉迷”升级之后，也许是在“星星之火”熄灭之后。余暮的《高等数学》，自从看到多变量微积分后就一直似懂非懂，愣是硬着头皮啃完了；《新概念物理教程·力学》勉强能看懂，但之后的《新概念物理教程·电磁学》，自从麦克斯韦方程组出来之后，就完完全全看不懂了。余暮又试着买了《普通生物学》《无机化学》《基础有机化学》，结果发现这些书本也看不进去。至于《马克思恩格斯选集》和《新中国史》嘛……余暮自发表《投降书》后就把它们丢了，文件也删得一干二净，他只在书柜上留了一本《共产党宣言》。余暮又试着重读《共产党宣言》，不出意料地，他依然看不下去，仿佛大脑在抗拒什么。\n余暮最近有种错觉，他觉得他只真正活了半年——从 2020 年 7 月 21 日看《共产党宣言》活到 2021 年 3 月 27 日《投降书》发表。在 2020 年 7 月 21 日之前，他只是头没有理想的愚蠢的猪；在 2021 年 3 月 27 日后，他只是个行尸走肉。\n2021 年 11 月 17 日，期中考。余暮自投降后成绩就在缓慢下降，到了这个时候，成绩已经来到班级中游了。期中考总分在班里排 20 多名，而英语更是不幸拿到了班级倒一。余暮又一次遭到了长辈围剿。刘怀仁找余暮谈话，英语老师找余暮谈话，高二新段长赵秋来找余暮谈话，吴斌找余暮谈话，母亲林忠梅来找余暮谈话，甚至最后校长也来找余暮谈话。谈话内容无非就是给余暮施加压力，要求余暮赶紧补英语。\n余暮的叛逆心一下就被激发了。于是他把所有时间都拿去学英语，下次半月考只认真考了英语这一科。英语考到了 122，过了平均分，但余暮其他科目全都炸了，总分只有 33 名。对了，余暮班上可是有 6 个选了历史，2 个转学的，剩下总共就 42 个人，这一回算是突破性进展，进入了倒数前十。英语老师夸赞了余暮；刘怀仁说余暮只要英语上去就行，其他科目都很强，一次没考好说明不了什么；校长、段长、教务处主任都没说话，倒是余暮的母亲情绪激动，说“还不如不补英语”。就这样，长辈们的英语围剿战线成功出现一个缺口。\n2021 年 12 月 15 日，月考。余暮试着认真去考全部科目，结果最后的成绩还是很差。他发现自己的潜意识里似乎开始抵触考试。读题时读到结尾就忘了开头，写题时一直在胡思乱想，根本静不下心。并且，余暮在考试的时候有种困意，这种困意在遇到语文、英语这种大段文本的时候尤为强烈。没错，余暮考语文、英语的时候睡着了。最终这次考试排到了 37 名，再一次刷新纪录。\n母亲质问余暮为什么这几次越考越差。余暮说他不是故意的，他觉得自己可能有精神问题，得去精神病院检查。母亲语气轻蔑，听着根本就不相信：“好啊，看就看，下次放假再去。”\n2021 年 12 月 31 日，放假。母亲开了车来接余暮，车上还有余暮的小姨林忠兰。小姨给林忠梅推荐了家医院，叫博爱医院，是私立的，在精神疾病这方面比较专业。\n做检查的过程还蛮简单的。脑电图、心电图、眼动测试，最后是心理测试。做心理测试的时候，一个有点胖胖的女护士带着余暮到了一个小房间里，里面只有一张桌子、两把椅子和一台电脑。护士教余暮怎么做题，每道题有五个选项，从上到下依次表示程度的轻重。护士着重强调了会严格保密，必须认真答题。护士说她就待在房间门口，有问题随时可以叫她，然后就出去了。\n博爱医院的心理测试总共有差不多 100 道题，余暮花了十多分钟才做完。护士又领他到了另一个房间的门口，林忠兰和林忠梅正坐在那个房间门口的椅子上一边刷手机一边等。那个房间里面应该还有别人，余暮能听见谈话声。\n不久后，门开了，医生看了看检测报告，说情况可能不太好。简单问了几个问题后，医生说余暮有中度或重度抑郁症，现在先开一个疗程的药，并且之后一个星期每天都要来医院做 TMS（经颅磁刺激）治疗，地点呢就在本医院靠后边的一个房……\n医生话还没说完，林忠梅突然打断了医生的话：“快要期末考了不能影响孩子的学习。”\n医生很大声地反问了一句：“你真的是那个孩子的家长吗？病成这样了不治疗怎么读得进书？”\n林忠梅看起来很气愤，但又不知道要怎么反驳。印象中这是余暮第二次看见林忠梅吃瘪。第一次还是初二暑假林忠梅在书吧大吵大闹被管理员训斥的时候。\n医生交代完事情之后，余暮拿着报告单和药走了。路上小姨说林忠梅如果没空她可以送余暮去，林忠梅则在小姨耳边说了几句悄悄话，余暮没听清楚说的到底是什么。\n回家后余暮开始研究单子和药。单子比较专业，有很多专有名词，余暮看得不是很懂，只有最后那个结果余暮能够看懂：“中度或重度抑郁，情绪低落明显，感觉毫无生气，没有愉快的感觉，经常产生无助感或者绝望感，睡眠障碍明显，入睡困难或者早醒，兴趣消退明显，甚至连性欲也会丧失。”\n……\n【原稿已丢失】\n终章 最后一面 死时仍然仇恨他们，这就是自由。\n——乔治·奥威尔《一九八四》\n……\n【原稿已丢失】\n作者后记 如果你从头到尾完整地看到了这里，我想你应该早已猜到了这个事实：余暮不是我的朋友，余暮就是我。\n这篇小说是我在抑郁症和精神分裂症期间写的。除少数情节经过了艺术化的重排和加工外，从第一章到第十章发生的都是真实的事；除部分私密信息经过去敏化处理外，所有出现的手稿和日记都一字未改。在主要人物中，只有封欲雪的虚构成分最多，拼凑感最强，因为我需要这个第三者来在引言、序章和终章里转述故事，但由于其在正篇的存在感不强，所以这点不真实完全可以忽略。\n为什么第十章和终章没写完？为什么原稿遗失了？这是因为我整理这篇小说的原稿花了不少时间，当码字到第十章时，高考已经结束一个多月了。我完全离开了学校，也基本摆脱了家庭。我的革命狂热逐渐褪去，抑郁症也迎来了好转。一方面，我觉得小说想传达的思想实在太幼稚了，另一方面，我也不愿再去接触那些略带痛苦的回忆。于是我把原稿扔进了垃圾堆里，然后删除了已写好的文档。\n大约两年后，我在旧手机文件系统的某个角落里找到了一个备份。我开始重新审视这篇小说。尽管它仍然没什么价值，但它确实记录了我那略微独特的青春。这篇小说从开始构思到完成创作经历了至少一年半的时间，几乎完整地陪我熬过了精神障碍。最后我决定将其保留下来。当然，垃圾桶里的原稿肯定找不回来了，补写也没什么意义，因为现在的文字无法代表当时的想法。不过我还隐约记得小说后续的情节，算是勉强弥补下原稿丢失的遗憾吧。\n第十章讲的是真实发生的事。余暮被确诊抑郁症，但母亲和老师等人都不理解这种病，甚至觉得余暮在装病。余暮在吃完博爱医院开的药并做了几次经颅磁刺激后，仍然没有提高成绩，于是母亲联合老师对余暮实施了更严苛的逼迫。然而高压手段也未能提高余暮的成绩，母亲就又带余暮去了趟医院，但这次换成了 L 市第三医院。余暮诊断出了精神分裂症，但母亲不希望余暮离开学校接受治疗，只象征性地拿了几次药。可吃完药后余暮的成绩还是没有提高，母亲请教朋友后请了个心理医生，当然只是在周末的时候简单谈几句话。余暮把自己的文章给了心理医生看，之后心理医生带着余暮出去玩了几次。过了一段时间余暮的成绩依旧没有提高，母亲认为心理医生是骗子，便赶走了她。\n刚才讲的只是第十章的主线，期间还穿插发生了很多值得写的事情，但我已经忘了大部分细节，同时也完全想不起来具体的时间线，只能模糊地叙述一下：母亲在校门口和班主任说余暮心机很深，为了不学习什么都能做出来，要求老师严加管教，这句话被同班的一个女生听到了，并转告给了余暮；各科老师轮番找余暮谈话，要求其上进，要求余暮不要认为自己有精神问题，身体的困难应该努力地克服；寒假放假前一天，母亲来到学校和班主任谈话，之后把余暮叫来办公室，母亲威胁余暮，如果寒假敢玩电脑或手机就把它们砸了，回到教室后余暮把所有寒假作业都撕碎并扔到了垃圾桶里；余暮用母亲的手机买教材时发现了淘宝购物车里的家用摄像头，余暮认为母亲已经监控了自己，发了疯地在卧室里翻找，但并没有找到证据；班主任一直在学校里监视着余暮，并经常找余暮谈话，说他装病装得太明显了，要求其认真学习，有次晚自习没收并撕毁了余暮正在写的文章；余暮的幻觉逐渐严重，甚至觉得周围的同学也是班主任派来监视自己的，最终余暮在一次语文考试的作文中写下《续投降书》，祈求不要再监视他，不要再频繁地找他谈话，他可以承认一切都是装的，只要不再折磨他。\n终章讲的则是虚构的事。2022 年 5 月 1 日，心理医生被赶走后，仍尝试私下邀请余暮出去玩。他们在一家略微轻奢的牛排店里吃午饭。分别前，心理医生拥抱了余暮。回家后，也许是经历了什么复杂的思绪，余暮突然决定去死。他写下《别了，冬妮娅》，并开始整理手稿和日记。翻开日记本的扉页时，余暮对《倩影》这首诗进行了全新的解读。之后余暮要到了封欲雪的住址，把手稿和日记都交给了他。接着余暮去了趟毛泽东故居，傍晚路过溪南桥时接到了母亲的电话，余暮没有接听而是把手机扔到了烟溪里。最后余暮继续往灯火阑珊处走去。结尾没有说余暮去了哪里，只隐晦地暗示了他想死在无人知晓的深山老林。小说的最后一段文字在描写劳动节的夜晚，简单地说了下学生与工人分别在做什么后，视角转向西山乐园的某个房间，那里一个女人正焦急地到处打着电话，因为她的孩子失踪了。\n好吧，虚构的结局似乎太消极了，现实可能更让人满意一点。我艰难地熬到了高三下学期，最终在第一次高考市质检的语文作文上，我写下了对母亲、班主任的控诉，扬言要向全世界展示他们的罪行，并对他们进行报复。之后我的异常作文被发现，班主任及段长紧急召开会议，我的父亲也从 Z 市赶了回来。我请了一个月的假，和父亲到 Z 市生活。一个月后我回到学校，但仍然无法学习，于是我又请假去了 L 市第三医院住院治疗。治疗结束后我回到学校，此时距离高考只剩不到一个星期的时间。起初我依然无法学习，但不久之后就可以看书了，到高考前甚至能够做题。我正常参加了高考，排名大约为省前 5%。我离开了母亲，和父亲一起居住，并去了省外的一所大学读书。我拥有了新的兴趣爱好，接触了新的哲学理念，认识了新的朋友同学……当然了，这现实的事还没有完结，所以我无法告诉你最后的结局。\n生活，尽管有悲剧，但毕竟还可以是美好的。小说里所讲述的事情，已经很少在我的记忆里浮现了。未来也许有一天，我甚至不得不借助这篇小说才能回忆起自己的过去。到了那时，我大概也会由衷地感叹一句：“我感觉自己从未这样年轻，即便一切都快结束了。”\n是的，毕竟来日方长。\n【冯玉注】全称键盘政治，即用键盘在网络上讨论政治相关的话题。\u0026#160;\u0026#x21a9;\u0026#xfe0e;\n【冯玉注】该用户后来多次更改名称。截至二〇二三年三月二十八日，该用户的名称为“伏罗希洛夫射手”。\u0026#160;\u0026#x21a9;\u0026#xfe0e;\n【余暮注】那封信还有两段，一段是开头，一段是结尾。开头谈了在我心目中母亲形象的变化，从而就引出上面的正文，结尾升华了一下主题，说母亲在我的人生中扮演了一个反面教材，让我知道了什么样的行为是惹人讨厌的，由此说母亲对我的成长、对我思想的形成起到了极为重要的作用。这两段和本次的主题无关，我就不放出来了。\u0026#160;\u0026#x21a9;\u0026#xfe0e;\n【余暮注】网络用语，“小粉红”指受资产阶级国家观念影响的民族主义者，“精资”指身为被剥削者却站在资产阶级立场的精神资本家。\u0026#160;\u0026#x21a9;\u0026#xfe0e;\n【余暮注】曹学和勃学是在当代互联网上诞生的显学，都回答了在内卷社会中个人该如何抉择的问题。曹学家认为人应该去一个内卷程度相对低的领域里追求幸福；而勃学家认为人应该放弃自己那成为人上人的幻想，接受自己的平凡。这两派人都不主张打破现有体系。曹学家的做法和资本家解决经济危机的方法一样，这种方法是一种“使防止危机的手段越来越少的办法”，无法根本解决问题；勃学家则是放下武器彻底躺平向敌人投降。\u0026#160;\u0026#x21a9;\u0026#xfe0e;\n","permalink":"https://juemuren.github.io/blog/posts/nov/%E6%88%91%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E7%96%AF%E5%AD%90%E6%9C%8B%E5%8F%8B/","summary":"花香玉音仙女容，玫瑰梦残血水空。本可天堂得一见，何故地狱来相逢。","title":"我的一个疯子朋友"}]