特征方程的本质：用矩阵求解微分方程和差分方程

Thu, 20 Mar 2025 00:00:00 +0000

如果一个数学问题要用到特征方程，那么这个问题一定可以用矩阵进行描述和求解，并且答案往往会和矩阵的任意正整数次幂有关。

而为了计算矩阵幂，我们需要对角化或约旦标准化矩阵。特征方程就是此时出现的。所有数学问题中出现的特征方程本质上都是矩阵的特征方程。

后文将以常系数线性微分方程和常系数线性差分方程这两个问题为例阐明上述的话究竟是什么意思。为了不偏离主题，我们只讨论齐次的情况。

常系数线性齐次微分方程

用矩阵描述常系数线性齐次微分方程

任意高阶的线性齐次微分方程，都可通过下述方法转化为等价的一阶线性齐次微分方程组。

以三阶线性齐次微分方程为例

已知 $x(0)$、$x'(0)$、$x''(0)$，求 $x(t)$ 满足
$$x'''(t) = ax(t) + bx'(t) + cx''(t)$$

可令

$$\begin{align*} x_0(t) &= x(t) \\ x_1(t) &= x'(t) \\ x_2(t) &= x''(t) \end{align*}$$

从而将问题改写为如下形式

已知 $x_0(0)$、$x_1(0)$、$x_2(0)$，求 $x_0(t)$、$x_1(t)$、$x_2(t)$ 满足
$$\begin{align*} x_0'(t) &= x_1(t) \\x_1'(t) &= x_2(t) \\ x_2'(t) &= ax_0(t) + bx_1(t) + cx_2(t) \end{align*}$$

因此一阶线性齐次微分方程组是比高阶线性齐次微分方程更一般的情况，我们先重点讨论前者，最后再专门讲下后者。

现在用矩阵来描述我们要讨论的问题

已知 $\mathbf{x}(0)$，求 $\mathbf{x}(t)$ 满足如下方程
$$\mathbf{x}'(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t)$$
其中 $\mathbf{x}(t) = \begin{bmatrix} x_0(t)\\ x_1(t) \\ \dots \\ x_{n-1}(t) \\ \end{bmatrix}$ 称为向量值函数，对每一个确定的 $t$，$\mathbf{x}(t)$ 为一个 $n\times1$ 的列向量；$\mathbf{x}'(t) = \begin{bmatrix} x_0'(t) \\ x_1'(t) \\ \dots \\ x_{n-1}'(t) \\ \end{bmatrix}$ 表示对 $\mathbf{x}(t)$ 的每一个分量分别求导；$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}$ 称为系数矩阵，大小为 $n\times n$

矩阵 on 无限能指

特征方程的本质：用矩阵求解微分方程和差分方程

常系数线性齐次微分方程

用矩阵描述常系数线性齐次微分方程