第一类曲线积分：为什么积分上限必须大于积分下限

Tue, 26 Dec 2023 00:00:00 +0000

第一类曲线积分要求积分上限大于积分下限，并不是说改变方向会影响结果。只是通过这个规定，我们可以免去中间的过程。

从有问题的弧长公式说起

对参数向量定义的曲线 $C:\vec{r}(t)$，从 $t = a$ 到 $t = b$ 的这段弧长为

$$s = \int_{C}^{} \mathrm{d}s= \int_{a}^{b} \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \mathrm{d}t$$

看上去似乎没什么问题。但我们知道，对定积分来说，交换上下限会导致结果的正负相反。而一段曲线从 $t = b$ 到 $t = a$ 的长度应该等于从 $t = a$ 到 $t = b$ 的长度。这公式显然与事实不符。

问题出在哪里呢？不妨想一下该公式可以怎样修改。为了解决上述问题，一个更准确的弧长公式应该长这样

$$s = \left| \int_{a}^{b} \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \mathrm{d}t \right|$$

如果把绝对值放进去，马上就发现了问题所在

$$s = \int_{a}^{b} \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \left| \mathrm{d}t \right|$$

是的，问题的根源就在于弧长微元。改正后的弧长微元变为

$$\mathrm{d}s = \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \left| \mathrm{d}t \right|$$

弧长微元就是一小段曲线的长度，肯定为非负数，而 $\mathrm{d}t$ 有可能是负数，所以必须加上绝对值。