音乐的数学原理：从振动弦到现代乐理

Sat, 04 Apr 2026 00:00:00 +0000

本文从一根弦出发，首先推导了描述其振动的偏微分方程，再用行波法逐步求得通解，之后继续考虑初始条件和边界条件得到特解，并用傅里叶级数对结果进行了展开。

接着，本文讨论了驻波的性质，用传递函数对声音传播过程进行了建模，并介绍了人的听觉系统，解释了基频决定音高、拨弦位置影响音色的原因。

再之后，本文研究了乐理知识背后的数学原理，包括调律、和弦和节奏。

全文很长，可以挑感兴趣的阅读。

振动弦

众所周知，声音用振动产生。对于大多的乐器，这种振动都是弦的振动。如果要探究音乐的数学原理，首先就要研究弦的振动。

波动方程

不过，弦的振动毕竟较点的振动更为复杂，因此，我们要对问题进行简化：振动只能是竖直方向的。

该假设使得弦上每一点的横坐标被固定。于是，我们可用函数 $u(x, t)$ 来表示弦的振动，其中 $t$ 为时间，$x$ 为点的横坐标，$u$ 为点的纵位移。下图展示了某一时刻的 $u(x)$，其中弦的两端被固定

\begin{tikzpicture}[x=1pt, y=1pt, font=\normalsize]
\draw[gray, thin, ->] (0,0) -- (0,250) node[above] {$u(x)$};
\draw[gray, thin, ->] (0,0) -- (500,0) node[right] {$x$};
\node[gray] at (0,-10) {$0$};
\node[gray] at (400,-10) {$L$};
\draw[black, thick] (0,0) .. controls (150,220) and (300,60) .. (400,0);
\coordinate (P) at (60,70);
\filldraw[black] (P) circle (3pt) node[above] {$P$};
\draw[gray, dashed] (60, 70) -- (60, 0);
\coordinate (Q) at (120,105);
\filldraw[black] (Q) circle (3pt) node[above] {$Q$};
\draw[gray, dashed] (120, 105) -- (120, 0);
\draw[black, <->] (60,20) -- (120,20) node[above, midway] {$\Delta x$};
\draw[blue, line width=2pt] (P) .. controls (80,85) and (100,98) .. (Q);
\draw[red, thick, ->] (P) -- ++(-28,-28) node[below right] {$\mathbf{T}_1$};
\draw[red, thick, ->] (Q) -- ++(36,10) node[above right] {$\mathbf{T}_2$};
\draw[black, thin, dashed] (60,70) -- (110,70);
\draw[purple, thin] (70,70) arc (0:-130:10) node[pos=0, below right] {$\theta_1$};
\draw[black, thin, dashed] (120,105) -- (170,105);
\draw[purple, thin] (130,105) arc (0:18:10) node[pos=0, below right] {$\theta_2$};
\end{tikzpicture}

现在我们对弦上一小段平衡时的长度为 $\Delta x$ 的弧进行受力分析。显然 $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}$ 就是弦的加速度。若用 $\mu$ 表示弦的线密度，则据牛顿第二定理，可得

傅里叶变换 on 无限能指

音乐的数学原理：从振动弦到现代乐理

振动弦

波动方程