伯努利过程

数学假设 对于该问题，我们不得不做出一些数学上非常重要但现实中非常不靠谱的假设：做爱对个人而言是独立同分布的，对时间而言也是独立同分布的，不考虑性别、文化、经济、季节、时差、地区等因素。 后续需要用到的数据提前列出如下： 世界上的总人数为 $N$，根据公开数据进行取整得 $N = 8 \times 10^9$ 人均做爱次数为每年 $M$ 次，根据部分调查报告，取比较保守的估计 $M = 50$ 平均做爱时长为每次 $\mu$ 秒，由于没有靠谱的统计数据，粗暴地令 $\mu = 300$ 一年的总时间为 $Y$ 秒，忽略闰年闰秒等情况有 $Y=365\times24\times60\times60$ 伯努利过程 首先用最简单的伯努利过程进行建模。 伯努利过程模型 每个人每一刻都以概率 $p$ 处于做爱状态。每过一刻，所有人同时重新判定处于哪种状态。 伯努利过程分析 用 $X$ 表示处于做爱状态的人数。 在任意时刻，某人处于做爱状态的概率为 $p$，处于非做爱状态的概率为 $1-p$。由于做爱对人是独立同分布的，因此在该时刻处于做爱状态的人数符合伯努利分布，即 $$P(X = k) = \binom{N}{k} p^k (1-p)^{N-k}$$于是得到同时做爱人数的期望为 $$E[X] = Np$$所有人都不在做爱的概率为 $$P(X = 0) = (1-p)^N$$代入数据得到 $$p = \frac{M\mu}{Y}= \frac{50 \times 300}{ 365 \times 24 \times 60 \times 60} \approx 4.756\times10^{-4}$$因此 平均做爱人数为 $Np \approx 3.805\times10^6$ 所有人都不在做爱的概率为 $(1-p)^N \approx e^{-3.806\times10^6}$ 泊松过程 伯努利过程的模型虽然简单，但其有着明显的缺陷：时间被离散化了，所有人只是不停地、在每个时间节点同步地抛硬币决定自身的状态。一个可能更合理的模型需用到泊松过程，这样能够让时间是连续的。不过考虑到泊松过程对多数人而言较为陌生，我们先从简单的模型说起。 ...