数学假设

对于该问题，我们不得不做出一些数学上非常重要但现实中非常不靠谱的假设：做爱对个人而言是独立同分布的，对时间而言也是独立同分布的，不考虑性别、文化、经济、季节、时差、地区等因素。

后续需要用到的数据提前列出如下：

  • 世界上的总人数为 $N$，根据公开数据进行取整得 $N = 8 \times 10^9$
  • 人均做爱次数为每年 $M$ 次，根据部分调查报告，取比较保守的估计 $M = 50$
  • 平均做爱时长为每次 $\mu$ 秒，由于没有靠谱的统计数据，粗暴地令 $\mu = 300$
  • 一年的总时间为 $Y$ 秒，忽略闰年闰秒等情况有 $Y=365\times24\times60\times60$

伯努利过程

首先用最简单的伯努利过程进行建模。

伯努利过程模型

每个人每一刻都以概率 $p$ 处于做爱状态。每过一刻，所有人同时重新判定处于哪种状态。

伯努利过程分析

用 $X$ 表示处于做爱状态的人数。

在任意时刻，某人处于做爱状态的概率为 $p$，处于非做爱状态的概率为 $1-p$。由于做爱对人是独立同分布的，因此在该时刻处于做爱状态的人数符合伯努利分布，即

$$P(X = k) = \binom{N}{k} p^k (1-p)^{N-k}$$

于是得到同时做爱人数的期望为

$$E[X] = Np$$

所有人都不在做爱的概率为

$$P(X = 0) = (1-p)^N$$

代入数据得到

$$p = \frac{M\mu}{Y}= \frac{50 \times 300}{ 365 \times 24 \times 60 \times 60} \approx 4.756\times10^{-4}$$

因此

  • 平均做爱人数为 $Np \approx 3.805\times10^6$
  • 所有人都不在做爱的概率为 $(1-p)^N \approx e^{-3.806\times10^6}$

泊松过程

伯努利过程的模型虽然简单，但其有着明显的缺陷：时间被离散化了，所有人只是不停地、在每个时间节点同步地抛硬币决定自身的状态。一个可能更合理的模型需用到泊松过程，这样能够让时间是连续的。不过考虑到泊松过程对多数人而言较为陌生，我们先从简单的模型说起。

泊松过程简单模型

世界上以每单位时间（秒）平均 $\lambda$ 次的强度发生着做爱开始事件。

泊松过程分析

用 $X(t),t \geq 0$ 表示在 $[0, t]$ 这段时间内发生的做爱开始事件的总次数。

取时间段 $[0, \tau]$ 并将其分为 $n$ 等份，每份的时长为 $\delta = \frac{\tau}{n}$。我们可以将 $\delta$ 取到任意小的值，使每个时段内都不可能发生多次做爱开始事件。设时段 $[0, \delta]$ 内发生一次做爱开始事件的概率为 $p$，于是得到

$$\begin{cases} P(X(\delta) = 0) = 1 - p \\ P(X(\delta) = 1) = p \\ P(X(\delta) \geq 2) = 0 \end{cases}$$

由于做爱对时间独立同分布，所以这 $n$ 个长为 $\delta$ 的时段内发生的做爱开始事件的总次数的期望为

$$E[X (n\delta)]=np$$

而由泊松过程模型可知时段 $[0, \tau]$ 内发生的做爱开始事件的平均次数等于时长乘强度，即

$$E[X (\tau)]=\lambda \tau$$

再代入 $\tau = n\delta$ 可得 $p = \lambda \delta$，即时段 $[0, \delta]$ 内发生一次做爱开始事件的概率为 $\lambda \delta$（前提是 $\delta$ 短到不可能发生多次做爱开始事件）。

通过这种分割，用伯努利过程近似了泊松过程，于是套用伯努利分布的结论，得到

$$\begin{align*} P(X(\tau)=k) &=\frac{n!}{(n-k)!k!}(\lambda\delta)^k(1-\lambda\delta)^{n-k} \\ &=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}(\frac{\lambda\tau}{n})^k(1-\frac{\lambda\tau}{n})^{n-k} \\ &=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k} \frac{\lambda^k\tau^k}{k!} (1-\frac{\lambda\tau}{n})^{n-k} \\ &=\frac{n}{n} \frac{n-1}{n} \cdots \frac{n-k+1}{n} \frac{\lambda^k\tau^k}{k!} (1-\frac{\lambda\tau}{n})^{n} (1-\frac{\lambda\tau}{n})^{-k} \end{align*}$$

对其中含有 $n$ 的式子分别计算 $n \to \infty$ 的极限

$$\begin{align*} &\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n} \frac{n-1}{n} \cdots \frac{n-k+1}{n}=1 \cdot(1- \frac{1}{n})\cdots(1-\frac{k-1}{n}) = 1 \\ &\lim_{n \to \infty} (1-\frac{\lambda\tau}{n})^{-k} = 1 \\ &\lim_{n \to \infty} (1-\frac{\lambda\tau}{n})^{n} = e^{-\lambda\tau} \end{align*}$$

于是得到

$$P(X(\tau)=k) = \frac{\lambda^k\tau^k}{k!}e^{-\lambda\tau}$$

我们现在知道了在时段 $[0, \tau]$ 内发生 $k$ 次做爱开始事件的概率。虽然这也很有趣，但其无法直接得到所有人都不在做爱的概率。我们还得考虑做爱的持续时间。让我们修改下模型吧！

泊松过程复杂模型

世界上以每单位时间（秒）平均 $\lambda$ 次的强度发生着做爱开始事件，然后事件的发起者将立刻做爱一段时间。

泊松过程再分析

用 $X(t),t \geq 0$ 表示 $t$ 这一时刻正在做爱的人数。

新的模型其实是一种 $M/G/\infty$ 排队模型。原始的 $M/G/\infty$ 对顾客到银行接受服务进行建模，其中

  • $M$ 表示顾客到达过程应该是一个马尔可夫过程，而我们的做爱开始过程是一个泊松过程，其恰好是一种特殊的马尔可夫过程（事实上，在时间连续、间隔独立同分布的要求下，具有马尔可夫性质的计数过程只能是泊松过程）
  • $G$ 表示服务时间可以是一般分布，只要求必须非负且期望有限，因此我们可以不对做爱的持续时间进行额外的限制或假设
  • $\infty$ 表示有无穷多个服务台，但这实质是要求顾客不能陷入等待，而我们的做爱模型显然符合这一要求

该排队模型有一些很通用的结论，但我们不引用这些结论，而是从泊松过程的分解定理说起。该定理表述如下

设 $X(t)$ 是一个强度为 $\lambda$ 的泊松过程。若每个发生的事件都独立地以概率 $p$ 归为 $X_1(t)$，以概率 $1-p$ 归为 $X_2(t)$，则 $X_1(t)$ 和 $X_2(t)$ 分别是强度为 $\lambda p$ 和 $\lambda (1-p)$ 的泊松过程，且这两个过程相互独立。

该定理还有推广的版本，允许以不固定的概率进行筛选，即在时刻 $s$ 用与 $s$ 相关的概率 $p(s)$ 进行筛选。此时筛选出来的过程仍是泊松过程，强度为 $\lambda p(s)$。

现在回到先前的 $M/G/\infty$ 排队模型。一个在时刻 $s$ 开始做爱的人，如果时刻 $t$（$t > s$）仍在做爱，则其做爱时间大于 $t-s$。用 $S$ 表示做爱时间，这实际上是在用概率 $P(S > t-s)$ 筛选事件。根据推广的分解定理，由于做爱开始是一个泊松过程，因此被筛选的过程也是一个泊松过程，即时刻 $t$ 正在做爱的人数 $X(t)$ 满足泊松分布。

接着计算具体的分布。在时刻 $s$ 附近的一个长为 $\mathrm{d}s$ 的时段内，开始做爱的人数的期望为 $\lambda \mathrm{d}s$，其中到时刻 $t$ 仍在做爱的人数期望为 $\lambda P(S > t-s) \mathrm{d}s$。对此式积分，即可得到 $X(t)$ 的期望为

$$E[X(t)] = \int_{0}^{t}\lambda P(S > t-s) \mathrm{d}s$$

令 $u = t -s$，换元并修改上下限，可得

$$E[X(t)] = \int_{t}^{0}\lambda P(S > u) (-\mathrm{d}u) = \lambda \int_{0}^{t} P(S > u) \mathrm{d}u$$

根据 $P(S < 0) = 0$ 可以得到

$$\lim_{t \to \infty}E[X(t)] = \lambda \int_{0}^{\infty}P(S > u) \mathrm{d}u = \lambda E[S]$$

虽然上式中对时间取了极限 $t \to \infty$ 看起来不太现实，但这是因为我们对做爱时间的分布没有额外限制，因此必须考虑到可能任意大的值。但在实际的做爱事件中，持续时长不可能是任意大的，超过一定的阈值后概率就恒为 $0$ 了。我们称此时模型处于统计平衡状态，因为开始做爱的人流量和结束做爱的人流量在概率上持平。我们只是为了数学上的简洁而使用 $t \to \infty$ 表示到达了这种平衡状态。

由于已知做爱的平均时间为 $\mu = E[S]$，因此 $t \to \infty$ 时 $E[X(t)] = \lambda\mu$，从而得到分布（使用了之前的结论）

$$\lim_{t \to \infty}P(X(t) = k)=\frac{(\lambda\mu)^k}{k!}e^{-\lambda\mu}$$

当模型处于统计平衡时 $X(t)$ 的分布不再随时间变化，因此我们省略掉 $t$，用 $P(X = k)$ 表示模型稳定后同时做爱人数为 $k$ 的概率

$$P(X = k)=\frac{\lambda^k\mu^k}{k!}e^{-\lambda\mu}$$

因此同时做爱人数的期望为

$$E[X] = \lambda\mu$$

所有人都不在做爱的概率为

$$P(X=0) = e^{-\lambda\mu}$$

最后我们代入数据

$$\lambda = \frac{MN}{Y} = \frac{50\times8\times10^9}{365\times24\times60\times60} \approx 1.268\times10^{4}$$

因此

  • 平均做爱人数为 $\lambda \mu \approx 3.805 \times10^6$
  • 所有人都不在做爱的概率为 $e^{-\lambda\mu} \approx e^{-3.805 \times10^6}$

期望和伯努利模型是一样的，只是都不在做爱的概率略大一点。

对结果的解释

由于两种模型的结果差别不大，因此就用泊松模型来举例了。

$e^{-3.805 \times10^6}$ 这一数值相当小，将底数改为 $10$ 可能看得更清楚

$$e^{-3.805 \times10^6} \approx 10^{-1.652 \times 10^6} = \frac{1}{10^{1652000}}$$

若写成小数，这个数字甚至无法完整地放在文章中，只能示意如下

0.00000...(省略约 1652000 个 0)...000001

作为对比，可观测宇宙中的原子总数只有 $10^{80}$ 这个量级。即使让宇宙中每个原子每秒进行 $10^{10}$ 次尝试，并从宇宙诞生起持续至今（约 $4.35 \times 10^{17}$ 秒），总的尝试次数也仍小于 $10^{110}$，远远比不上 $\frac{1}{10^{1652000}}$ 的分母。

因此，所有人都不在做爱完全可以认为是不可能事件。也就是说，世界上确实每时每刻都有人在做爱。

类似的问题

现在我们有了这些模型，可以研究点类似的问题。比如，将做爱换成一个持续时间更短、频率更低的事件——性高潮，会出现更有趣的结论吗？

显然我们得多编一些数据

  • 平均每次做爱会达到 $R$ 次性高潮，由于懒得寻找统计数据，粗暴地令 $R = 0.5$
  • 平均每次性高潮的持续时间为 $\epsilon$ 秒，根据资料保守估计为 $\epsilon = 6$

对于伯努利模型

$$p = \frac{MR\epsilon}{Y} = \frac{50 \times 0.5 \times 6}{365\times24\times60\times60} \approx 4.756 \times 10^{-6}$$
  • 平均同时性高潮人数为 $Np \approx 3.805\times10^4$
  • 所有人都不在性高潮的概率为 $(1−p)^N \approx e^{-3.805\times10^4}$

对于泊松模型

$$\lambda = \frac{MRN}{Y} = \frac{50\times0.5\times8\times10^9}{365\times24\times60\times60} \approx 6.342 \times 10^3$$
  • 平均同时性高潮人数为 $\lambda \epsilon \approx 3.805 \times10^4$
  • 所有人都不在性高潮的概率为 $e^{-\lambda\mu} \approx e^{-3.805 \times10^4}$

两个模型几乎没有差别（期望完全相同，概率由于只保留了四位有效数字而看不出差别，实际上后者约为前者的 $e^{0.09}$ 倍），所有人都不在性高潮仍然是一个几乎不可能发生的事件。