第一类曲线积分：为什么积分上限必须大于积分下限

第一类曲线积分要求积分上限大于积分下限，并不是说改变方向会影响结果。只是通过这个规定，我们可以免去中间的过程。

从有问题的弧长公式说起

对参数向量定义的曲线 $C:\vec{r}(t)$，从 $t = a$ 到 $t = b$ 的这段弧长为

$$s = \int_{C}^{} \mathrm{d}s= \int_{a}^{b} \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \mathrm{d}t$$

看上去似乎没什么问题。但我们知道，对定积分来说，交换上下限会导致结果的正负相反。而一段曲线从 $t = b$ 到 $t = a$ 的长度应该等于从 $t = a$ 到 $t = b$ 的长度。这公式显然与事实不符。

问题出在哪里呢？不妨想一下该公式可以怎样修改。为了解决上述问题，一个更准确的弧长公式应该长这样

$$s = \left| \int_{a}^{b} \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \mathrm{d}t \right|$$

如果把绝对值放进去，马上就发现了问题所在

$$s = \int_{a}^{b} \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \left| \mathrm{d}t \right|$$

是的，问题的根源就在于弧长微元。改正后的弧长微元变为

$$\mathrm{d}s = \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \left| \mathrm{d}t \right|$$

弧长微元就是一小段曲线的长度，肯定为非负数，而 $\mathrm{d}t$ 有可能是负数，所以必须加上绝对值。

可加上了绝对值后怎么积分？定积分公式里的积分微元并没有套着绝对值这个玩意。所以我们接下来要去掉绝对值。

去掉绝对值以计算积分

回到刚才提出的正确的弧长公式上

$$s = \int_{a}^{b} \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \left| \mathrm{d}t \right|$$

当 $a < b$ 时，上限大于下限，积分微元 $\mathrm{d}t > 0$，此时 $\left| \mathrm{d}t \right| = \mathrm{d}t$，可以直接去掉绝对值

$$s = \int_{a}^{b} \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \mathrm{d}t \quad (a < b)$$

当 $a > b$ 时，上限小于下限，积分微元 $\mathrm{d}t < 0$，此时 $\left| \mathrm{d}t \right| =- \mathrm{d}t$ ，去掉绝对值后多了个负号。但，通过交换上下限可以再多个负号，负负得正，从而抵消了绝对值的影响

$$s = -\int_{a}^{b} \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \mathrm{d}t=\int_{b}^{a} \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \mathrm{d}t \quad (a > b)$$

总结一下

$$s = \begin{cases} \int_{a}^{b} \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \mathrm{d}t & a b \end{cases}$$

可以看出，去掉绝对值以及可能多出的负号后，积分上限始终大于积分下限。

第一类曲线积分与计算弧长的积分类似，无非多乘了个被积函数 $F$

$$\int_{C}^{} F\mathrm{d}s = \int_{a}^{b} F\left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \left| \mathrm{d}t \right| = \begin{cases} \int_{a}^{b} F\left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \mathrm{d}t & a b \end{cases}$$

所以，第一类曲线积分要求积分上限大于积分下限，并不是说改变方向会影响结果。只是通过这个规定，我们可以免去中间的过程。

如果规定了积分时上限必须大于下限，那么在积分前就可以直接写 $\mathrm{d}s = \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \mathrm{d}t$ 而不需要给 $\mathrm{d}t$ 添加绝对值；如果不做这个规定，为了准确，就不得不补上绝对值，然后积分时再把 $\mathrm{d}s = \left| \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} \right| \left| \mathrm{d}t \right|$ 的绝对值去掉。然而，经过我们之前的分析，后者捣鼓半天计算出来的结果却和前者完全相同。可以说，这个规定实际上省去了很多麻烦。

非参数向量定义的曲线的积分

对于显式定义和隐式定义的曲线

$$\begin{align*} & C:y = f(x) & \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f'(x) \\ & C:F(x,y) = 0 & \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y} } \end{align*}$$

弧长微元可以这样计算

$$\mathrm{d}s = \sqrt{\mathrm{d}x^{2} + \mathrm{d}y^{2}}$$

进一步地

$$\mathrm{d}s = \sqrt{\mathrm{d}x^{2} \left( 1 + \left( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right) ^{2} \right) } =\sqrt{ 1 + \left( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right)^{2} }\sqrt{ \mathrm{d}x^{2} }$$

一些人可能这时候直接就把根号去掉了

$$\mathrm{d}s = \sqrt{ 1 + \left( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right)^{2} } \mathrm{d}x$$

其实这是不准确的。 $\mathrm{d}x$ 一定是非负数吗？不一定，所以去掉根号后应该保留绝对值。更准确的写法如下

$$\mathrm{d}s = \sqrt{ 1 + \left( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right)^{2} } \left| \mathrm{d}x \right|$$

当积分上限大于积分下限时，$\mathrm{d}x > 0$；当积分上限小于积分下限时， $\mathrm{d}x < 0$。于是，设被积函数为 $G$，计算第一类曲线积分

$$\int_{C}^{} G\mathrm{d}s = \int_{a}^{b} G\sqrt{ 1 + \left( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right)^{2} } \left| \mathrm{d}x \right| = \begin{cases} \int_{a}^{b}G\sqrt{ 1 + \left( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right)^{2} }\mathrm{d}x & a b \end{cases}$$

这与参数向量定义的曲线是一致的。

对微元绝对值的解释

在前两节里，我们去除绝对值的操作非常随意，并且出现了在通常的微积分中不会使用的记号 $|\mathrm{d}t|$。如果你对上述推导过程感到困惑、怀疑或不满，那么我接下来将讲述这么做的原因。

不过，要理解微元绝对值的本质，首先要回到积分的定义。在此介绍两种主要的定义方式——黎曼和与勒贝格测度。

从黎曼和的角度看

定积分 $\int_I f(t)\mathrm{d}t$ 被定义为黎曼和的极限

$$\int_I f(t)\mathrm{d}t = \lim_{\max\Delta t_i\to0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta t_i$$

其中 $t_i$ 构成了被积区间 $I$ 的一个划分，$\Delta t_i = t_i - t_{i-1}$ 是小区间的长度，$\xi_i$ 则是小区间内的任意一点。

对于黎曼和，我们将区间按照递增的方向分割，从而使 $\Delta t_i > 0$。当 $a < b$ 时，对区间 $I=[a, b]$ 按 $t_0=a < t_1 < \dots < t_n=b$ 进行分割。当 $a > b$ 时，我们对区间 $I=[b, a]$ 同样按从小到大的方式进行分割。

总之，黎曼积分是对区间定义积分，而非对上下限定义积分。所谓的上下限，即 $\int_a^b$ 只是一种简单记法

$$\begin{cases} \int_a^b=\int_{[a, b]} & a b \end{cases}$$

现在再来考虑 $|\mathrm{d}t|$ 的意义。我们将其对应于 $|\Delta t_i|$，于是弧长积分用黎曼和定义为

$$\int_a^b \left| \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \right| |\mathrm{d}t| = \lim_{\max\Delta t_i\to0} \sum_{i=1}^n \left| \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}(\xi_i) \right| |\Delta t_i|$$

当然，这不是标准的写法，但我们可以对 $|\Delta t_i|$ 稍微解释一下。如果采用对黎曼积分的另一种理解，也就是基于上下限而非区间定义积分，那么只要始终按照从下限到上限的顺序取值，黎曼积分依然满足原有的性质。

因此，当 $a < b$ 时，参数按递增的方向分割，此时 $|\Delta t_i| = \Delta t_i$，于是有

$$\lim_{\max\Delta t_i\to0} \sum_{i=1}^n \left| \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}(\xi_i) \right| |\Delta t_i| = \lim_{\max\Delta t_i\to0} \sum_{i=1}^n \left| \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}(\xi_i) \right| \Delta t_i \quad (a < b)$$

若 $a > b$，则参数按递减的方向分割，此时 $|\Delta t_i| = -\Delta t_i$，于是有

$$\lim_{\max\Delta t_i\to0} \sum_{i=1}^n \left| \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}(\xi_i) \right| |\Delta t_i| = \lim_{\max\Delta t_i\to0} \sum_{i=1}^n -\left| \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}(\xi_i) \right| \Delta t_i \quad (a > b)$$

显然这分别对应了前文 $\int_a^b \left| \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \right| \mathrm{d}t$ 和 $-\int_a^b \left| \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \right| \mathrm{d}t$ 两种情况。

从测度论的角度看

在测度论中，积分 $\int_a^b f(t)\mathrm{d}t$ 是相对于勒贝格测度的，而 $\mathrm{d}t$ 表示该测度的微分形式。勒贝格测度本质上是非负的，它度量集合的长度，并且不涉及方向。

当我们写下 $\int_a^b f(t)\mathrm{d}t$ 时，通常默认 $a b$，则其并不对应一个自然的定向测度，其实际被定义为 $-\int_b^a$。

现在回到 $|\mathrm{d}t|$。在测度论的框架下这也不是标准写法，但我们可以这样理解：无论参数 $t$ 从 $a$ 到 $b$ 是递增还是递减，我们总是取参数区间 $[\min(a,b),\max(a,b)]$ 上的勒贝格测度。因此

$$\int_a^b f(t)|\mathrm{d}t| = \int_{\min(a,b)}^{\max(a,b)} f(t)\mathrm{d}t$$

这里右侧的积分是通常的勒贝格积分。换句话说，$|\mathrm{d}t|$ 将参数区间视为一个无定向的集合，积分结果只依赖于该集合的测度，而与参数遍历的方向无关。

于是对于弧长公式

$$s = \int_a^b \left| \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \right| |\mathrm{d}t|$$

由之前对 $|\mathrm{d}t|$ 的定义得到

$$s = \int_{\min(a,b)}^{\max(a,b)} \left| \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \right| \mathrm{d}t$$

从而自动满足了积分上限大于积分下限的约定。这正是测度论观点带来的简洁性：弧长本质上是相对于无定向勒贝格测度的积分，参数的方向被完全吸收进测度的非负性中。

从有问题的弧长公式说起#

去掉绝对值以计算积分#

非参数向量定义的曲线的积分#

对微元绝对值的解释#

从黎曼和的角度看#

从测度论的角度看#